hinh giai tich oxyz trong cac de thi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 34 trang )
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
1
ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Đề 01: A- 2012 (1) Cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
và
(
)
0;0;3
I
. Viết phương trình mặt
cầu tâm (S) có tâm I và cắt
d
tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I.
Bài giải:
Vectơ chỉ phương của d là
(
)
1;2;1
a
=
. Gọi H là trung điểm AB, suy ra
IH AB
⊥
.
Ta có
(
)
(
)
1;2 ; 2 1;2 ; 1
H t t t d IH t t t
− + ∈ ⇒ = − −
1 2 2 2
. 0 1 4 1 0 ; ; .
3 3 3 3
IH AB IH a t t t t IH
⊥ ⇔ = ⇔ − + + − = ⇔ = ⇒ = − −
Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính mặt cầu (S) bằng
2 6
2 .
3
S IA IH= = =
Do đó, phương trình mặt cầu (S):
( )
2
2 2
8
3
3
x y z
+ + − =
.
Đề 02:
A- 2012 (2) Cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mặt phẳng (P):
2 5 0
x y z
+ − + =
và
điểm
(
)
1; 1;2
A
−
. Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt
d
và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là
trung điểm của đoạn MN.
Bài giải:
Ta có:
1 2
:
2
x t
d y t
z t
= − +
=
= +
. Gọi
(
)
1 2 ; ;2
M t t t d
− + + ∈
Do A là trung điểm của MN, suy ra
(
)
3 2 ; 2 ;2
N t t t
− − − −
.
Mặt khác:
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4
N P t t t t M
∈ ⇔ − − − − − + = ⇔ = ⇒
.
Đường thẳng
∆
đi qua A và M có phương trình:
1 1 2
2 3 2
x y z
− + −
= =
.
Đề 03: B- 2012 (1) Cho đường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
−
và hai điểm
(
)
(
)
2;1;0 , 2;3;2
A B
−
. Viết
phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc
d
.
Bài giải:
Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S).
Do
(
)
1 2 ; ; 2
I d I t t t
∈ ⇒ + −
. Do
(
)
,
A B S
∈
suy ra:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 1 1 4 2 3 3 2 2 1
IA IB t t t t t t t
= ⇔ − + − + = + + − + + ⇔ = −
Do đó
(
)
1; 1;2
I
− −
, suy ra bán kính của (S):
17
R IA= =
.
Vậy phương trình (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 17.
x y z+ + + + − =
Đề 04:
B- 2012 (2) Cho
(
)
(
)
0;0;3 , 1;2;0
A M
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các
trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Bài giải:
Do
,
B Ox C Oy
∈ ∈
nên tọa độ B, C có dạng
(
)
(
)
;0;0 , 0; ;0
B b C c
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
; ;1
3 3
b c
G
.
Ta có
(
)
1;2; 3
AM
= −
nên đường thẳng AM có phương trình:
3
1 2 3
x y z
−
= =
−
.
Do
2
2
4
3 6 3
b
b c
G AM
c
=
−
∈ ⇔ = = ⇔
=
−
.
Do đó phương trình mặt phẳng (P):
1 6 3 4 12 0.
2 4 3
x y z
x y z
+ + = ⇔ + + − =
Đề 05: D- 2012 (1) Cho mặt phẳng (P):
2 2 10 0
x y z
+ − + =
và điểm
(
)
2;1;3
I
. Viết phương trình
mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bài giải:
Gọi H là hình chiếu của I trên (P), suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng
(P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình.
Ta có:
(
)
(
)
, 3
d
IH I P
= =
, bán kính mặt cầu (S):
2 2
3 4 5
R
= + =
.
Phương trình mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 25.
x y z− + − + − =
Đề 06: D- 2012 (2) Cho đường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai điểm
(
)
(
)
1; 1;2 , 2; 1;0
A B
− −
.
Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Bài giải:
Do
M d
∈
nên tọa độ M có dạng
(
)
1 2 ; 1 ; .
M t t t
+ − −
Ta có
(
)
(
)
2 ; ; 2 , 1 2 ; ; .
AM t t t BM t t t
= − − = − + −
Theo giả thiết, tam giác AMB vuông tại M
(
)
(
)
2
. 0 2 1 2 2 0
AM BM t t t t t
⇔ = ⇔ − + + + − =
2
0
6 4 0
2
3
t
t t
t
=
⇔ − = ⇔
=
.
Do đó có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là
( )
7 5 2
1; 1;0 , ; ;
3 3 3
M M
− −
.
Đề 07: A- 2011 (1) Cho hai điểm
(
)
(
)
2;0;1 , 0; 2;3
−A B
và mặt phẳng
(
)
: 2 4 0.
− − + =
P x y z
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho
3
= =
MA MB
.
Bài giải:
Gọi
(
)
; ;
M x y z
, ta có
(
)
∈
M P
và
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2 4 0
2 1 9
2 3 9
− − + =
= ⇔ − + + − =
+ + + − =
x y z
MA MB x y z
x y z
( ) ( )
2 2 2
2
2 4 0 2 2
2 0 3
7 11 4 0
2 1 9
− − + = = −
⇔ + − + = ⇔ =
− + =
− + + − =
x y z x y
x y z z y
y y
x y z
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
3
(
)
(
)
; ; 0;1;3
⇔ =x y z
hoặc
( )
6 4 12
; ; ; ;
7 7 7
= −
x y z
.
Vậy ta có
(
)
0;1;3
M
hoặc
6 4 12
; ;
7 7 7
−
M
.
Đề 08:
A- 2011 (2) Cho mặt cầu
(
)
2 2 2
: 4 4 4 0
+ + − − − =
S x y z x y z
và điểm
(
)
4;4;0
A
. Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải:
(S) có tâm
(
)
2;2;2 ,
I
bán kính
2 3.
=R
Nhận xét: O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp
4 2
3 3
= =
OA
r
.
Khoảng cách:
( )
( )
2 2
2
d ,
3
= − =I P R r
(P) đi qua O có phương trình dạng:
(
)
2 2 2
0 0 (*)
+ + = + + >ax by cz a b c
(P) đi qua A, suy ra:
4 4 0 .
+ = ⇒ = −
a b b a
( )
( )
(
)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
d , 2 3 .
3
2 2
+ +
= = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ±
+ + + +
a b c
c c
I P a c c c a
a b c a c a c
Theo (*) suy ra (P):
0
− + =
x y z
hoặc
0
− − =
x y z
.
Đề 09: B- 2011 (1) Cho đường thẳng
2 1
:
1 2 1
− +
∆ = =
− −
x y z
và mặt phẳng
(
)
: 3 0.
+ + − =
P x y z
Gọi I là giao điểm của
∆
và
(
)
P
. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với
∆
và
4 14
=
MI
.
Bài giải:
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
( )
2 1
1;1;1
1 2 1
3 0
− +
= =
⇒
− −
+ + − =
x y z
I
x y z
Gọi
(
)
; ;
M a b c
, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 0
: 2 2 0
4 14
1 1 1 224
+ + − =
⊥ ∆
∈ ⇔ − − + =
=
− + − + − =
a b c
MI
M P a b c
MI
a b c
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1
3 4
1 2 2 3 3 224
= −
⇔ = − +
− + − + − + =
b a
c a
a a a
(
)
(
)
; ; 5;9; 11
⇔ = −
a b c
hoặc
(
)
(
)
; ; 3; 7;13
= − −
a b c
.
Vậy ta có
(
)
5;9; 11
−
M
hoặc
(
)
3; 7;13
− −
M
.
Đề 10:
B- 2011 (2) Cho đường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
+ − +
∆ = =
−
x y z
và hai điểm
(
)
2;1;1 ,
−
A
(
)
3; 1;2
− −
B
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho
∆
MAB có diện tích bằng
3 5.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4
Bài giải:
Gọi
∈ ∆
M
, suy ra tọa độ M có dạng
(
)
2 ;1 3 ; 5 2 .
− + + − −
M t t t
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2
2 2
;3 ; 6 2 ; 1; 2;1
, 12; 6;
0
3 5 12 6 180 12 0
12
∆
⇒ = − − = − −
⇒ = − − +
=
= ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔
= −
MAB
AM t t t AB
AM AB t t t
t
S t t t t t
t
Vậy
(
)
2;1; 5
− −
M
và
(
)
14; 35;19
− −M
.
Đề 11: D- 2011 (1) Cho điểm
(
)
1;2;3
A
và đường thẳng
1 3
:
2 1 2
+ −
= =
−
x y z
d
. Viết phương trình
đường thẳng
∆
đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Bài giải:
Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình:
2 2 2 0.
+ − + =
x y z
Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra
∆
là đường thẳng đi qua các điểm A, B.
Ta có:
(
)
;0;0
∈ ⇒B Ox B b
thỏa mãn phương trình
(
)
2 2 0 1;0;0 .
+ = ⇒ −b B
Phương trình
1 2
: 2 2
3 3
= +
∆ = +
= +
x t
y t
z t
Đề 12:
D- 2011 (2) Cho đường thẳng
1 3
:
2 4 1
− −
∆ = =
x y z
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 0.
− + =
P x y z
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
∆
, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P).
Bài giải:
Gọi I là tâm của mặt cầu. Do
(
)
1 2 ;3 4 ;
∈∆ ⇒ + +
I I t t t
.
Mặt cầu tiếp xúc với (P)
( )
( )
(
)
(
)
2 1 2 3 4 2
2
d , 1 1
3
1
+ − + +
=
⇔ = ⇔ = ⇔
= −
t t t
t
I P
t
Suy ra
(
)
5;11;2
I
hoặc
(
)
1; 1; 1
− − −
I
.
Phương trình mặt cầu:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
5 11 2 1
− + − + − =
x y z
hoặc
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 1 1
+ + + + + =
x y z
Đề 13:A- 2010 (1) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
− +
∆ = =
−
x y z
và mặt phẳng
(P):
2 0
− + =
x y z
. Gọi C là giao điểm của
∆
và (P), M là một điểm thuộc
∆
. Tính khoảng cách
từ M đến mp(P), biết
6
=
MC
.
Bài giải: Đường thẳng
∆
có vectơ chỉ phương
(
)
2;1; 1
= −
v
và
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(
)
1; 2;1
= −
n
.
Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có:
(
)
cos cos , .
=
HMC v n
Ta có:
( )
( )
( )
2 2 1
1
d , .cos . cos , 6.
6 6 6
− −
= = = = =
M P MH MC HMC MC v n
∆
∆∆
∆
M
H
C
P
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2014
Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu
5
14: A- 2010 (2) Cho im
(0;0; 2)
A
v
2 2 3
:
2 3 2
+ +
= =
x y z
. Tớnh khong cỏch t A n
. Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct
ti hai im B, C sao cho
8
=
BC
.
Bi gii:
ng thng
i qua im
(
)
2;2; 3
M
, nhn
(
)
2;3;2
=
v
lm vect ch phng.
Ta cú:
( ) ( )
2; 2;1 , 7;2; 10
= =
MA v MA
Suy ra:
( )
,
49 4 100
d , 3
4 9 4
+ +
= = =
+ +
v MA
A
v
Gi (S) l mt cu tõm A, ct
ti B v C sao cho
8
=
BC
. Suy ra bỏn kớnh ca (S) l:
5
=
R
.
15:
B- 2010 (1)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các đi
ểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ),
A B b C c
trong đó , 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0. Xác địn
h và , biết mặt phẳng (ABC) vuông
1
góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng .
3
> + =b c P y z b c
Bi gii:
Mt phng (ABC) cú phng trỡnh:
1
1
+ + =
x y z
b c
.
Mt phng (ABC) vuụng gúc vi mt phng (P):
1 0
+ =
y z
, suy ra:
1 1
0
=
b c
(1)
Ta cú:
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1
d O, ABC 8
3 3
1 1
1
= = + =
+ +
b c
b c
(2)
T (1) v (2), do
, 0
>
b c
suy ra
1
2
= =
b c
.
16:
B- 2010 (2)
1
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đờng
thẳng : . Xác định
2 1 2
= =
x y z
tọa độ
điểm M
trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M
đến bằng OM.
Bi gii:
ng thng
i qua im
(
)
0;1;0
A
v cú vect ch phng
(
)
2;1;2
=
v
.
Do M thuc trc honh, nờn M cú ta
(
)
;0;0
t
, suy ra:
(
)
; 1;0
=
AM t
.
(
)
( )
2
2
, 2;2 ; 2
1
5 4 8
d , 2 0
3
2
=
=
+ +
= = =
=
v AM t t
t
t t
M OM t t t
t
Suy ra
(
)
1;0;0
M
hoc
(
)
2;0;0
M
.
17: D- 2010 (1)
Cho hai mp(P): 3 0 và (Q): 1 0.
+ + = + =
x y z x y z
Viết phơng trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R
) bằng 2.
Bi gii:
Ta cú vect phỏp tuyn ca (P) v (Q) ln lt l:
(
)
1;1;1
=
P
n
v
(
)
1; 1;1
=
Q
n
, suy ra:
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyờn HèNH GII TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2014
Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu
6
(
)
, 2;0; 2
=
P Q
n n
l vect phỏp tuyn ca (R).
Mt phng (R) cú phng trỡnh dng
0
+ =
x z D
.
Ta cú
( )
( )
d ,
2
=
D
O R
suy ra:
2 2 2
2
= =
D
D
hoc
2 2
=
D
.
Vy phng trỡnh mt phng (R):
2 2 0
+ =
x z
hoc
2 2 0
=
x z
.
18: D- 2010 (2)
1
3
Cho đờng thẳng :
= +
=
=
x t
y t
z t
2
1
và :
2 1 2
= =
x y z
1 2
Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho kh
oảng cách từ M đến bằng 1.
Ta cú: +
1
M
, nờn
(
)
3 ; ;
+
M t t t
.
+
2
i qua
(
)
2;1;0
A
v cú vect ch phng
(
)
2;1;2
=
v
.
Do ú:
( ) ( )
1; 1; ; , 2 ;2; 3 .
= + =
AM t t t v AM t t
Ta cú:
( )
2
2
,
2 10 17
d ,
3
+
= =
v AM
t t
M
v
suy ra
2
2 10 17
1
3
+
=
t t
2
1
5 4 0
4
=
+ =
=
t
t t
t
Suy ra
(
)
4;1;1
M
hoc
(
)
7;4;4
M
.
19:
A- 2009 (1)
Cho mt phng
( ) : 2 2 4 0
=
P x y z
v mt cu
(
)
2 2 2
S : 2 4 6 11 0
x y z x y z
+ + =
.
Chng minh rng: mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh ta tõm v
tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
Bi gii:
(S) cú tõm
(
)
1;2;3
I
, bỏn kớnh
5
=
R
.
Khong cỏch t I n (P):
( )
( )
2 4 3 4
d , 3
3
= = <
I P R
; suy ra .p.c.m
Gi H v r ln lt l tõm v bỏn kớnh ca ng trũn giao tuyn, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I
trờn (P):
( )
(
)
2 2
d , 3, 4
= = = =
IH I P r R IH
.
Ta
(
)
; ;
H x y z
tha món:
1 2
2 2
3
2 2 4 0
= +
=
=
=
x t
y t
z t
x y z
Gii h ta c
(
)
3;0;2
H
.
20:
A-2009 (2) Cho mt phng
(
)
P : 2 2 1 0
x y z
+ =
v 2 ng thng
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
7
∆
1
:
1 9
1 1 6
+ +
= =
x y z
và
∆
2
:
1 3 1
2 1 2
− − +
= =
−
x y z
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
∆
2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng
nhau.
Bài giải:
2
∆
qua
(
)
1;3; 1
−
A
và có vectơ chỉ phương
(
)
2;1; 2
= −
u
.
(
)
( ) ( )
1
2
1 ; ; 9 6
2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4
, 3 29 88 68
∈∆ ⇒ − + − +
= − − − = − − −
⇒ = − +
M M t t t
MA t t t MA u t t t
MA u t t
Khoảng cách từ M đến
2
∆
:
( )
2
2
,
d , 29 88 68
∆ = = − +
MA u
M t t
u
Khoảng cách từ M đến (P):
( )
( )
( )
2
2 2
1 2 12 18 1 11 20
d ,
3
1 2 2
− + − + − − −
= =
+ − +
t t t t
M P
( )
2 2
1
11 20
29 88 68 35 88 53 0
53
3
35
53 18 53 3
1 0;1; 3 ; ; ;
35 35 35 35
=
−
⇒ − + = ⇔ − + = ⇔
=
= ⇒ − = ⇒
t
t
t t t t
t
t M t M
Đề 21:
B-2009 (1) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh
(
)
1;2;1 ,
A
(
)
(
)
2;1;3 , 2; 1;1
B C− −
và
(
)
0;3;1
D
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách
từ D đến (P).
Bài giải:
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
(P) đi qua A, B và song song với CD.
Vec tơ pháp tuyến của (P):
,
=
n AB CD
.
(
)
(
)
(
)
3; 1;2 , 8; 4; 14 8; 4; 14
= − − = − − − ⇒ = − − −
AB CD n
.
Phương trình (P):
4 2 7 15 0
+ + − =
x y z
Trường hợp 2:
(P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Ta có:
(
)
(
)
1;1;1 0; 1;0
⇒ = −
I AI
; vectơ pháp tuyến của (P):
( )
, 2;0;3
= =
n AB AI
Phương trình (P):
2 3 5 0
+ − =
x z
.
Vậy (P):
4 2 7 15 0
+ + − =
x y z
hoặc (P):
2 3 5 0
+ − =
x z
.
Đề 22:
B-2009 (2) Cho mặt phẳng
(
)
P : 2 2 5 0
x y z
− + − =
và hai điểm
(
)
(
)
3;0;1 , 1; 1;3
A B− −
.
Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi
∆
là đường thẳng cần tìm;
∆
nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P).
Phương trình (Q):
2 2 1 0
− + + =
x y z
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
8
K, H là hình chiếu của B lên
∆
, (Q). Ta có
≥
BK BH
nên AH là đường thẳng cần tìm.
Tọa độ
(
)
; ;
H x y z
thỏa mãn:
1 1 3
1 11 7
; ;
1 2 2
9 9 9
2 2 1 0
− + −
= =
⇒ −
−
− + + =
x y z
H
x y z
26 11 2
; ;
9 9 9
= −
AH
. Vậy phương trình
3 1
:
26 11 2
+ −
∆ = =
−
x y z
.
Đề 23:
D-2009 (1) Cho các điểm
(
)
(
)
(
)
2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0
A B C
và mp
(
)
P : 20 0
x y z
+ + − =
. Xác
định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng
(P).
Bài giải:
(
)
1;1;2
= −
AB
, phương trình
2
: 1
2
= −
= +
=
x t
AB y t
z t
.
D thuộc đường thẳng AB
(
)
(
)
2 ;1 ;2 1 ; ;2 .
⇒ − + ⇒ = −
D t t t CD t t t
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
(
)
1;1;1
=
n
.
Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P).
( )
1
//( ) . 0 1. 1 1. 1.2 0
2
⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −
CD P n CD t t t t
. Vậy
5 1
; ; 1
2 2
−
D
.
Đề 24:
D-2009 (2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
∆
:
2 2
1 1 1
+ −
= =
−
x y z
và mặt phẳng
(
)
P : x 2y 3z 4 0
+ − + =
. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d
cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
.
Bài giải:
Tọa độ giao điểm I của
∆
với (P) thỏa mãn hệ:
( )
2 2
3;1;1
1 1 1
2 3 4 0
+ −
= =
⇒ −
−
+ − + =
x y z
I
x y z
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
(
)
1;2; 3
= −
n
, vectơ chỉ phương của
(
)
: 1;1; 1
∆ = −
u
.
Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương
[
]
(
)
, 1; 2; 1
= = − −
v n u
.
Phương trình
3
: 1 2
1
= − +
= −
= −
x t
d y t
z t
.
Đề 25:
A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
(
)
2;5;3
A
và
1 2
:
2 1 2
− −
= =
x y z
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mp(
α
) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (
α
) lớn nhất .
Bài giải:
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(
)
2;1;2
=
u
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d,
suy ra
(
)
(
)
1 2 ; ;2 2 ; 2 1; 5;2 1 .
+ + = − − −
H t t t AH t t t
B
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
9
Vì
⊥
AH d
suy ra
(
)
(
)
. 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1.
= ⇔ − + − + − = ⇔ =
AH u t t t t
Suy ra
(
)
3;1;4
H
.
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
(
)
α
.
Ta có:
(
)
(
)
d A,
α
= ≤
AK AH
.
Do đó
(
)
(
)
d A,
α
lớn nhất
AK AH
⇔ =
, hay
≡
K H
.
Suy ra
(
)
α
qua H và nhận
(
)
1; 4;1
= −
AH
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của
(
)
α
là:
(
)
(
)
(
)
1 3 4 1 1 4 0 4 3 0.
− − − + − = ⇔ − + − =
x y z x y z
Đề 26:
B-2008 Cho ba điểm
(
)
(
)
(
)
0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1
A B C− −
.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng
2 2 3 0
x y z
+ + − =
sao cho
MA MB MC
= =
.
Bài giải:
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
2; 3; 1 , 2; 1; 1 , 2;4; 8
= − − = − − − ⇒ = = −
AB AC n AB AC
.
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận
n
làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 0 4 1 8 2 0 2 4 6 0
− + − − − = ⇔ + − + =
x y z x y z
.
b) Ta có
. 0
=
AB AC
nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung
điểm
(
)
0; 1;1
−I
của BC.
Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình:
2 2 3 0
1 1
1 2 4
+ + − =
+ −
= =
−
x y z
x y z
Suy ra
(
)
2;3; 7
−
M
Đề 27:
D-2008 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài giải:
a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng:
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 * 0 (**)
+ + + + + + = + + − >x y z ax by cz d a b c d
Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình:
6 6 18
6 6 18
6 6 18
6 6 6 27
+ + = −
+ + = −
+ + = −
+ + + = −
a b d
a c d
b c d
a b c d
Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu:
2 2 2
3 3 3 0
+ + − − − =
x y z x y z
.
b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm
3 3 3
; ;
2 2 2
I
.
Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:
(
)
2 2 2
0 0
+ + + = + + >
mx ny pz q m n p
.
Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được:
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
10
3 3 0
3 3 0 6 6 6 0
3 3 0
+ + =
+ + = ⇒ = = = − ≠
+ + =
m n q
m p q m n p q
n p q
Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:
6 0
+ + − =
x y z
.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt
phẳng (ABC).
Phương trình đường thẳng IH:
3 3 3
2 2 2
1 1 1
− − −
= =
x y z
.
Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
6 0
3 3 3
2 2 2
1 1 1
+ + − =
− − −
= =
x y z
x y z
Giải hệ trên ta được
(
)
2;2;2
H
.
Đề 28:
Dự bị A 1-2008
Cho hai đường thẳng
1
3 3 3
:
2 2 1
− − −
= =
x y z
d
;
2
5 6 6 13 0
:
6 6 7 0
− − + =
− + − =
x y z
d
x y z
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
cắt nhau .
b) Gọi I là giao điểm của
1
d
và
2
d
. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc
1
d
,
2
d
sao cho
tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng
41
42
.
Bài giải:
a) Tọa độ giao điểm của
1
d
và
2
d
( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình:
3 3 3
1
2 2 1
5 6 6 13 0 1
6 6 7 0 2
− − −
= =
=
− − + = ⇔ =
− + − = =
x y z
x
x y z y
x y z z
Vậy
1
d
cắt
2
d
tại giao điểm
(
)
1;1;2
I
.
b)
1
d
đi qua điểm
(
)
1
3;3;3
M
có vectơ chỉ phương
1
(2;2;1)
u =
;
2
d
là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là
1
(5; 6; 6)
n
= − −
;
2
(1; 6;6)
n = −
nên
có vectơ chỉ phương là
[
]
(
)
1 2
; 72; 36; 24
n n = − − −
. Chọn vectơ chỉ phương là
2
(6;3;2)
u =
Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
Ta có:
1 2 2
1 2
.
20 41
cos sin 1 cos
. 21 21
u u
u u
ϕ ϕ ϕ
= = ⇒ = − =
Giả sử
0.
IA IB a
= = >
Diện tích của tam giác IAB là
2
1 41 41
. . .sin . 1
2 42 42
S IA IB a a
ϕ
= = = ⇒ =
Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1:
(S) :
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 1
− + − + − =
x y z
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
11
Ta có
(
)
1
A d S
= ∩
nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
3 2
3 2
3
( 1) ( 1) ( 2) 1
= +
= +
= +
− + − + − =
x t
y t
z t
x y z
2 2 2
3 2
2 5 5 7
; ;
3 2
3 3 3 3
3
4 1 1 5
; ;
3 3 3 3
(2 2) (2 2) ( 1) 1
= +
= − ⇒ = = =
= +
⇔ ⇒
= +
= − ⇒ = = =
+ + + + + =
x t
t x y z
y t
z t
t x y z
t t t
và
(
)
2
B d S
= ∩
nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
1 6
1 3
2 2
( 1) ( 1) ( 2) 1
= +
= +
⇔
= +
− + − + − =
x t
y t
z t
x y z
2 2 2
1 6
1 13 10 16
; ;
1 3
7 7 7 7
2 2
1 1 4 12
; ;
7 7 7 7
(6 ) (3 ) (2 ) 1
= +
= ⇒ = = =
= +
⇒
= +
−
= ⇒ = = =
+ + =
x t
t x y z
y t
z t
t x y z
t t t
Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:
5 5 7 13 10 16
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
A B
hoặc
5 5 7 1 4 12
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
A B
Hoặc
1 1 5 13 10 16
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
A B
hoặc
1 1 5 1 4 12
; ; ; ; ;
3 3 3 7 7 7
A B
Đề 29:
Dự bị A 2-2008
Cho mặt phẳng (P):
2 3 3 1 0
x y z
+ − + =
, đường thẳng
1
3 5
:
2 9 1
− +
= =
x y z
d
và 3 điểm
(
)
(
)
(
)
4;0;3 , 1; 1;3 , 3;2;6 .
A B C− −
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn có bán kính lớn nhất .
Bài giải:
a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình
2 2 2
( ) : 2 2 2 0
+ + + + + + =
S x y z ax by cz d
có tâm
(
)
; ;
I a b c
− − −
.
Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình:
8 6 25 0
2 2 6 11 0
6 4 12 49 0
2 3 3 1 0
+ + + =
− − + + + =
⇔
+ + + + =
− − + + =
a c d
a b c d
a b c d
a b c
8 6 25 0 1
10 2 14 0 2
2 4 6 24 0 3
2 3 3 1 0 1
+ + + = = −
+ + = = −
⇔
− + + + = = −
− − + + = =
a c d a
a b b
a b c c
a b c d
Phương trình mặt cầu:
2 2 2
( ) : 2 4 6 1 0
+ + − − − + =
S x y z x y z
có tâm
(
)
1;2;3
I
.
b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của
mặt cầu.
Đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ chỉ phương
(2;9;1)
u
=
,
(
)
2; 2; 8
= − −
IM
( )
, 70; 18;22
IM u
⇒ = −
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
12
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến
(
)
35; 9;11
n
= −
nên có phương trình
(Q):
(
)
(
)
(
)
35 1 9 2 11 3 0 35 9 11 50 0.
x y z x y z
− − − + − = ⇔ − + − =
Đề 30: Dự bị B 1-2008 Cho đường thẳng
1
3 5
:
2 9 1
− +
= =
x y z
d
và hai điểm
(
)
(
)
5;4;3 , 6;7;2 .
A B
a) Viết phương trình đường thẳng
2
d
đi qua hai điểm A, B. Chứng minh rằng hai đường
thẳng
1
d
và
2
d
chéo nhau
b) Tìm điểm C thuộc
1
d
sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
Bài giải:
a) Đường thẳng
1
d
qua điểm
(
)
3;0;5
M
và nhận
1
(2;9;1)
u =
làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng
2
d
đi qua điểm
(
)
5;4;3
A
và nhận
2
(1;3; 1)
u AB
= = −
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình
2
5 4 3
:
1 3 1
− − −
= =
−
x y z
d
.
Ta có:
(2;4;8)
=
MA
và
[
]
1 2
, ( 12;3; 3)
u u
= − −
[
]
1 2
, . 24 12 24 36 0
u u MA
⇒ = − + − = − ≠
Vậy hai đường thẳng
1
d
và
2
d
chéo nhau .
b) Ta có: C thuộc đường thẳng
1
d
nên tọa độ
(3 2 ;9 ; 5 )
+ − +
C t t t
và
(2 2;9 4; 8)
= − − −
AC t t t
2
, (12 28; 3 10;3 2) , 162 720 888
AB AC t t t AB AC t t
⇒ = − − + + ⇒ = − +
2
1 162 720 888
,
2 2
− +
= =
ABC
t t
S AB AC
Diện tích nhỏ nhất khi
20 67 25
;20;
9 9 9
= ⇒ −
t C
và
min
22
S =
(đ.v.d.t)
Đề 31:
Dự bị B 2-2008 Cho 3 điểm
(
)
(
)
(
)
1;0; 1 , 2;3; 1 , 1;3;1
A B C− −
và d:
1 0
4
− + =
+ + =
x y
x y z
a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và
vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài giải:
a)
(1;3;0); (0;3;2) , (6; 2;3)
AB AC AB AC
= = ⇒ = −
Phương trình mặt phẳng (ABC):
6 2 3 3 0.
x y z
− + − =
Diện tích tam giác ABC :
1 7
,
2 2
= =
ABC
S AB AC
Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) :
3 6
7
= =
ABC
V
h
S
Từ phương trình đường thẳng d:
1 0
4
− + =
+ + =
x y
x y z
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
0;1;3 , 1;0;5 1;1; 2
M N NM
− ⇒ = −
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
13
Phương trình đường thẳng d:
1
3 2
=
= +
= −
x t
y t
z t
Ta có:
(
)
;1 ;3 2
D d D t t t
∈ ⇒ + −
. Do
5 (5;6; 7)
6 | 4 2 | 6
7 7 7
1 ( 1;0;5)
= −
−
= ⇒ = ⇒ ⇒
= − −
t D
t
h
t D
b) Gọi
(
)
; ;
H a b c
là tọa độ trực tâm tam giác ABC:
( 1; ; 1) ; ( 2; 3; 1) ; ( 1;0;2) ; (0;3;2)
AH a b c BH a b c BC AC= − + = − − + = − =
Ta có hệ phương trình
. 0
2 2 0
85 135 31
. 0 3 2 7 0 ; ;
49 49 49
( ) 6 2 3 3 0
AH BC
a c
BH AC b c a b c
H ABC a b c
=
− + + =
−
= ⇒ + − = ⇒ = = =
∈ − + − =
Phương trình đường thẳng cần tìm
85
6
49
135
2
49
31
3
49
= +
= −
−
= +
x t
y t
z t
Đề 32:
Dự bị D-2008 Cho mặt phẳng (
α
):
2 2 1 0
x y z
− + + =
và:
1 1
:
1 2 2
− −
= =
−
x y z
d
a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (
α
). Tính sin của góc giữa d và (
α
).
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (
α
) và (Oxy).
Bài giải:
a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(
α
) là nghiệm hệ phương trình :
2 1 0 3/ 2
1 1
3
1 0 2 ;2; 1
1 2 2
2
2 2 1 0
2 2 1 0 1
− − = =
− −
= =
⇔ + − = ⇔ = ⇒ −
−
− + + =
− + + = = −
x y x
x y z
y z y A
x y z
x y z z
d có VTCP
(1;2; 2)
u
= −
; (
α
) có vectơ pháp tuyến
(2; 1;2)
n
= −
.
Gọi
ϕ
là góc giữa d và (
α
)
.
4
sin
. 9
u v
u v
ϕ
⇒ = =
b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(Oxy) là nghiệm hệ phương trình :
( )
1
1 1
1 1;1;0
1 2 2
0
0
=
− −
= =
⇔ = ⇒
−
=
=
x
x y z
y B
z
z
Mặt cầu có tâm I thuộc d tiếp xúc với (
α
) và (Oxy)
⇒
Tâm I là trung điểm AB
Tâm
5 3 1
; ;
4 2 2
−
I
bán kính R =
( )
1
d ;( xy)
2
I O
=
Phương trình mặt cầu cần tìm
2 2 2
5 3 1 1
( ) :
4 2 2 4
− + − + + =
S x y z
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
14
Đề 33: A-2007 Cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
− +
= =
−
x y z
d
và
2
1 2
: 1
3
= − +
= +
=
x t
d y t
z
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):
7 4 0
x y z
+ − =
và cắt
hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
Bài giải:
a) +
1
d
đi qua
(
)
0;1; 2
−
M
, có vectơ chỉ phương
(
)
1
2; 1;1 ,
= −
u
+
2
d
đi qua
(
)
1;1;3
−N
, có vectơ chỉ phương
(
)
2
2;1;0 .
=
u
Ta có
[
]
(
)
1 2
, 1;2;4
= −
u u
và
(
)
1;0;5
= −
MN
.
[
]
1 2
, . 21 0
= ≠ ⇒
u u MN
1
d
và
2
d
chéo nhau.
b) Giả sử
d
cắt
1
d
và
2
d
lần lượt tại A, B. Vì
1 2
,
∈ ∈
A d B d
nên
(
)
(
)
(
)
2 ;1 ; 2 , 1 2 ;1 ;3 2 2 1; ; 5
− − + − + + ⇒ = − − + − +
A s s s B t t AB t s t s s
.
(P) có vec tơ pháp tuyến
(
)
7;1; 4 .
= −
n
Ta có
(
)
⊥ ⇔
AB P AB
cùng phương với
n
.
5 9 1 0 1
2 2 1 5
7 1 4
4 3 5 0 2
+ + = =
− − + − +
⇔ = = ⇔ ⇔
−
+ + = = −
t s s
t s t s s
t s t
Phương trình của d là:
2 1
7 1 4
− +
= =
−
x y z
Đề 34:
B-2007
Cho mặt cầu
(
)
2 2 2
: 2 4 2 3 0
S x y z x y z
+ + − + + − =
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 14 0
P x y z
− + − =
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính
bằng 3.
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.
Bài giải:
a) (S):
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 2 1 9
− + + + + =
x y z
có tâm
(
)
1; 2; 1
− −
I
và bán kính
3.
=
R
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có bán kính
3
=
R
nên (Q) chứa I.
(Q) có cặp vectơ chỉ phương là:
(
)
(
)
1; 2; 1 , 1;0;0
= − − =
OI i
⇒
vectơ pháp tuyến của (Q) là:
( )
, 0; 1;2
= = −
n OI i
.
Phương trình của (Q) là:
(
)
(
)
(
)
0. 0 1. 0 2 0 0 2 0.
− − − + − = ⇔ − =
x y z y z
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B.
Nhận xét:
Nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
d , d ,≥
A P B P
thì
(
)
(
)
d ,
M P
lớn nhất khi
.
≡
M A
Phương trình đường thẳng d:
1 2 1
.
2 1 2
− + +
= =
−
x y z
Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ phương trình:
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
15
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1 9
− + +
= =
−
− + + + + =
x y z
x y z
Giải hệ ta tìm được hai giao điểm
(
)
(
)
1; 1; 3 , 3; 3;1 .
− − − −A B
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
d , 7 d , 1
= ≥ =
A P B P
.
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi
(
)
1; 1; 3
− − −
M
.
Đề 35: D- 2007 Cho hai điểm
(
)
(
)
1;4;2 , 1;2;4
A B
−
và đường thẳng
1 2
:
1 1 2
x y z
− +
∆ = =
−
.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho
2 2
MA MB
+
nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Tọa độ trọng tâm:
(
)
0;2;2
G
. Ta có:
(
)
(
)
1;4;2 , 1;2;4
= = −
OA OB
Vectơ chỉ phương của d là:
(
)
(
)
12; 6;6 6 2; 1;1
= − = −
n
.
Phương trình đường thẳng d:
2 2
2 1 1
− −
= =
−
x y z
.
b) Vì
(
)
(
)
2
2 2 2
1 ; 2 ;2 12 48 76 12 2 28 28
∈∆ ⇒ − − + ⇒ + = − + = − + ≥
M M t t t MA MB t t t
.
Ta có:
2 2
+
MA MB
nhỏ nhất
2
⇔ =
t
. Khi đó
(
)
1;0;4
−M
.
Đề 36:
Dự bị 1-A-2007 Cho 2 điểm
(
)
(
)
1;3; 2 , 3;7; 18
A B
− − − −
và mp
(
)
P : 2 1 0
− + + =
x y z
.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho
MA MB
+
nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Ta có
( 2;4; 16)
AB = − −
cùng phương với
(
)
1;2; 8
a
= − −
.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(
)
2; 1;1
n = −
. Ta có
[
]
(
)
, 6;15;3
n a =
cùng phương với (2;5;1)
Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là:
(
)
(
)
(
)
2 1 5 3 1 2 0 2 5 11 0
x y z x y z
+ + − + + = ⇔ + + − =
b) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P). Gọi A' là
điểm đối xứng với A qua (P). Phương trình AA' :
1 3 2
2 1 1
+ − +
= =
−
x y z
Ta có AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ:
2 1 0
(1;2; 1)
1 3 2
2 1 1
− + + =
⇒ −
+ − +
= =
−
x y z
H
x y z
Vì H là trung điểm của AA' nên ta có:
( )
'
'
'
2
2 ' 3;1;0
2
= +
= + ⇒
= +
H A A
H A A
H A A
x x x
y y y A
z z z
Ta có
' ( 6;6; 18)
= − −
A B
(cùng phương với
(
)
1; 1;3
−
)
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
16
Phương trình đường thẳng A'B :
3 1
1 1 3
− −
= =
−
x y z
Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
( )
2 1 0
2;2; 3
3 1
1 1 3
x y z
M
x y z
− + + =
⇒ −
− −
= =
−
Đề 37:
Dự bị 2-A-2007
Cho các điểm
(
)
(
)
2;0;0 , 0;4;0 ,
A B
(
)
2;4;6
C
và đường thẳng d:
6 3 2 0
6 3 2 24 0
− + =
+ + − =
x y z
x y z
a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng
//
∆
d
và cắt các đường thẳng AB, OC.
Bài giải:
a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là
( 2;4;0)
−
hay
( 1;2;0)
a = −
, vectơ chỉ phương
của đường thẳng OC là
(2;4;6)
hay
(1;2;3)
b =
.
và
(2;0;0)
OA =
cùng phương với
(1;0;0)
c =
Lúc đó:
, . 6
=
a b c
≠
0
⇔
AB và OC chéo nhau.
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(
)
12;0;36
−
hay
(
)
1;0;3
u = −
Ta có
( )
, 6;3;2
a u
=
Phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A, có PVT
,
a u
:
(
)
(
)
(
)
(
)
: 6 2 3 0 2 0 0 6 3 2 12 0
x y z x y z
α
− + − + − = ⇔ + + − =
Ta có
( )
, 2 3; 3;1
b u
= −
Phương trình mặt phẳng (
β
) qua O có vectơ pháp tuyến là
(
)
3; 3;1
n = −
:
(
)
: 3 3 0
x y z
β
− + =
.
Vậy phương trình đường thẳng
∆
song song với d cắt AB, BC là:
6 3 2 12 0
3 3 0
+ + − =
− + =
x y z
x y z
Đề 38:
Dự bị 1–B-2007 Cho các điểm
(
)
(
)
3;5; 5 , 5; 3;7
A B− − −
và mặt phẳng
(
)
P : 0
x y z
+ + =
.
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
2 2
MA MB
+
nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Đường thẳng AB có VTCP
(
)
(
)
8; 8;12 4 2; 2;3
a = − = −
Phương trình đường thẳng AB:
3 2
5 2
5 3
= − +
= −
= − +
x t
y t
z t
Điểm
(
)
(
)
3 2 ;5 2 ; 5 3
I t t t AB P
− + − − + ∈ ∩
khi
(
)
(
)
(
)
3 2 5 2 5 3 0 1
t t t t
− + + − + − + = ⇔ =
Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại
(
)
1;3; 2
I
− −
.
b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
17
Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:
2
2 2 2
2
2
+ = +
AB
MA MB MH
Do đó MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
⇔
MH
2
nhỏ nhất. Ta để thấy
(
)
(
)
1;1;1 ,
H M P
∈
.
Suy ra MH nhỏ nhất
⇔
MH
⊥
(P) và để ý rằng mặt phẳng (P):
0
x y z
+ + =
có vectơ pháp
(
)
1;1;1
OH =
và O
∈
(P)
⇒
(
)
0;0;0
M O≡
.
Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
(khi đó, ta có min(MA
2
+ MB
2
) = OA
2
+ OB
2
= (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
Đề 39:
Dự bị 1- B- 2007 Cho các điểm
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 3;6
A M −
.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng
(
)
2 9 0
+ − =
P : x y
tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính
MO. Tìm toạ độ tiếp điểm .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho
3
=
OABC
V
(đ.v.t.t ).
Bài giải:
a) Theo giả thiết
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0; 3;6 , 0;0;0
A M O−
.
Bán kính mặt cầu
( )
2
2
3 6 3 5
= = − + =R MO
.
Khoảng cách từ tâm M của mặt cầu đến mặt phẳng (P):
2 9 0
x y
+ − =
( )
( )
0 6 9
15
d , 3 5
5 5
− −
= = = =
M P R
Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO.
Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
3
3 2
1 2
6
6
=
+
=
⇔ = − +
=
=
x t
x y
y t
z
z
(t
∈
R)
Thế vào phương trình (P) ta có:
(
)
2 2 3 9 0 3
t t t
+ − − = ⇔ =
Vậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là
(
)
3;3;6
t
.
b) Gọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C.
Vì
(
)
2;0;0
A Ox
∈
nên phương trình (Q):
1
2
+ + =
x y z
b c
Ta có
(
)
0; 3;6
M −
∈
mặt phẳng (yOz) nên:
3 6
1 6 3
− + = ⇔ − =
b c bc
b c
(1)
Ta lại có
1 2 1
. . 3
3 3 2 3
= = = =
OABC OBC
bc
V OA S bc
⇒
9
=
bc
(2)
Từ (1) và (2) ta có
9 9
hay
6 3 9 6 3 9
= = −
− = − = −
bc bc
b c b c
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
18
3
3 hay
2
6
= −
⇔ = =
= −
b
b c
c
Vậy có 2 mặt phẳng (Q) có phương trình là:
1
2 3 3
+ + =
x y z
hoặc
2
1
2 3 6
− − =
x y z
.
Đề 40: Dự bị 1- D-2007 Cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
− + +
= =
−
x y z
d
và mp
(
)
P : 2 0
x y z
+ + + =
.
a) Tìm giao điểm M của d và P .
b) Viết phương trình
( )
∆ ⊂
P
sao cho
∆ ⊥
d
và
(
)
d , 42
M ∆ =
.
Bài giải:
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Phương trình số của d:
3 2
2
1
= +
= − +
= − −
x t
y t
z t
có vec tơ chỉ phương là
(
)
2;1; 1
a
= −
Thế vào phương trình (P):
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 1 2 0 1 1; 3;0
t t t t M+ + − + + − − + = ⇔ = − ⇒ −
.
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
, 2; 3;1
Q P
n a n
= = −
Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:
(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 3 3 1 0 0 2 3 11 0
Q x y z x y z
− − + + − = ⇔ − + − =
b) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mp(P) là:
d':
2 0
2 3 11 0
+ + + =
− + − =
x y z
x y z
có vectơ chỉ phương
(
)
'
4;1; 5
d
a
= −
⇒
Phương trình tham số của d':
1 4
3
5
= +
= − +
= −
x t
y t
z t
Trên d' tìm điểm N sao cho MN =
42
. Vì
(
)
' 4 1; 3 ; 5
N d N t t t
∈ ⇒ + − + −
.
( ) ( )
2 2
2 2
4 5 42 42
= + + − = =MN t t t t
2
1
1
1
=
⇒ = ⇔
= −
t
t
t
* Với
(
)
2
1 5; 2; 5
t N
= ⇒ − −
Đường thẳng
∆
1
qua N
1
nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương
( ) ( )
1
'
, 6;9; 3 3 2; 3;1
P d
a n a
∆
= = − − = − −
.
Vậy phương trình
∆
1
:
5 2 5
2 3 1
− + +
= =
−
x y z
* Với
(
)
2
1 3; 4;5
t N= − ⇒ − −
Đường thẳng
∆
2
qua N
2
nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương
( )
2
'
, 3 2; 3;1
P d
a n a
∆
= = − −
Q
P
∆
N
M
d
d'
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
19
Vậy phương trình
∆
2
:
3 4 5
2 3 1
+ + −
= =
−
x y z
Đề 41:
Dự bị 1- D-2007
Cho mp(P):
2 2 1 0
x y z
− + − =
và 2 đường thẳng
1 2
1 3 5 5
: ; : .
2 3 2 6 4 5
− − − +
= = = =
− −
x y z x y z
d d
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
1
d
và (Q) vuông góc với (P).
b) Tìm các điểm
1 2
, N d
∈ ∈
M d
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài giải:
a) d
1
đi qua
(
)
1;3;0
A
và có vectơ chỉ phương
(
)
2; 3;2
a = −
. Mặt phẳng (P) có PVT
(
)
1; 2;2
P
n = −
Mặt phẳng (Q) chứa d
1
và
⊥
(P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến
( )
, 2; 2; 1
Q P
n a n
= = − − −
Vậy (Q) qua A có vectơ pháp tuyến
(
)
2; 2; 1
Q
n
= − − −
nên phương trình (Q):
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 1 0 0 2 2 8 0
x y z x y z
− − − − − − = ⇔ + + − =
b) Phương trình trình tham số d
1
:
1 2
3 3
2
= +
= −
=
x t
y t
z t
. Do
(
)
1
1 2 ;3 3 ;2
M d M t t t
∈ ⇒ + −
Phương trình tham số d
2
:
5 6 '
4 '
5 5 '
= +
=
= − −
x t
y t
z t
. Do
(
)
2
5 6 ';4 '; 5 5 '
M d N t t t
∈ ⇒ + − −
Vậy
(
)
6 ' 2 4;4 ' 3 3; 5 ' 2 5
MN t t t t t t
= − + + − − − −
. Mặt phẳng (P) có PVT
(
)
1; 2;2
P
n = −
Vì MN // (P)
. 0
⇔ =
P
MN n
(
)
(
)
(
)
1 6 ' 2 4 2 4 ' 3 3 2 5 ' 2 5 0 '
⇔ − + − + − + − − − = ⇔ = −
t t t t t t t t
Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì MN // (P)
(
)
(
)
1 2 2 3 3 2 2 1
2
1 4 4
+ − − + −
=
+ +
t t t
6 12 6 1
6 12 6
6 12 6 0
− + = =
⇔ − + = ⇔ ⇔
− + = − =
t t
t
t t
* Với
(
)
(
)
1 1
1 ' 1 3;0;2 , 1; 4;0 .
t t M N= ⇒ = − ⇒ − −
* Với
(
)
(
)
1 1
0 ' 0 1;3;0 , 5;0; 5 .
t t M N
= ⇒ = ⇒ −
Đề 42: A- 2006 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 ,
A B D
(
)
' 0;0;1 .
A
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.
b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
α
biết
1
cos
6
α
=
Bài giải:
a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN. Khi đó:
(
)
(
)
(
)
d ' , d , .
=
A C MN M P
Ta có:
( ) ( ) ( )
1 1
1;1;0 , ;0;0 , ;1;0 ' 1;1; 1 , 0;1;0
2 2
⇒ = − =
C M N A C MN
( )
' , 1;0;1
⇒ =
A C MN
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
20
Mặt phẳng (P) đi qua điểm
(
)
' 0;0;1
A
, có vec tơ pháp tuyến là
(
)
1;0;1
=
n
, có phương trình là:
(
)
(
)
(
)
1. 0 0. 0 1. 1 0 1 0
− + − + − = ⇔ + − =
x y z x z
.
Vậy
( ) ( )
( )
2 2 2
1
0 1
1
2
d ' , d ,
2 2
1 0 1
+ −
= = =
+ +
A C MN M P
.
b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q):
(
)
2 2 2
0 0
+ + + = + + >
ax by cz d a b c
.
Vì (Q) đi qua
(
)
' 0;0;1
A
và
(
)
1;1;0
C
nên:
0
0
+ =
⇔ = − = +
+ + =
c d
c d a b
a b d
.
Do đó, phương trình của (Q) có dạng:
(
)
(
)
0.
+ + + − + =
ax by a b z a b
Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến
(
)
; ;
= +
n a b a b
, mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến
(
)
0;0;1
=
k
.
Vì góc giữa (Q) và (Oxy) là
α
mà
1
cos
6
α
=
nên
( )
1
cos ,
6
n k =
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
1
6 2
2
6
a b
a b
a b a b ab
b a
a b a b
+
= −
⇔ = ⇔ + = + + ⇔
= −
+ + +
Với
2
= −
a b
, chọn
1
= −
b
, được mặt phẳng
(
)
1
: 2 1 0.
− + − =
Q x y z
Với
2
= −
b a
, chọn
1
=
a
, được mặt phẳng
(
)
2
: 2 1 0.
− − + =
Q x y z
Đề 43:
B-2006
Cho điểm
(
)
0;1;2
A
và hai đường thẳng
1 2
1
1 1
: 1 2 ; :
2 1 1
2 .
= +
− +
= − − = =
−
= +
x t
x y z
d y t d
z t
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với
1
d
và
2
d
.
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc
1
d
và điểm M thuộc
2
d
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài giải:
a) Vectơ chỉ phương của
1
d
và
2
d
lần lượt là:
(
)
1
2;1; 1
= −
u
và
(
)
2
1; 2;1
= −
u
.
⇒
Vectơ pháp tuyến của (P) là: Vectơ
[
]
(
)
1 2
, 1; 3; 5 .
= = − − −
n u u
Vì (P) qua
(
)
(
)
0;1;2 : 3 5 13 0.
⇒ + + − =
A P x y z
Do
(
)
(
)
1 2
0;1; 1 , 1; 1;2
− ∈ − ∈
B d C d
nhưng
(
)
, ∉
B C P
nên
(
)
1 2
, //
d d P
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P):
3 5 13 0
+ + − =
x y z
.
b) Vì
1 2
,
∈ ∈
M d N d
nên
(
)
(
)
2 ;1 ; 1 , 1 ; 1 2 ;2
+ − − + − − +
M m m m N n n n
.
(
)
(
)
( )
2 ; ; 3 , 1 ; 2 2 ;
, 2 6 6; 3 3 3; 5 5 .
⇒ = − − = + − −
⇒ = − − − − − − − − − −
AM m m m AN n n n
AM AN mn m n mn m n mn m
A, M, N thẳng hàng
( ) ( )
, 0 0, 1 0;1; 1 , 0;1;1 .
⇔ = ⇔ = = − ⇒ −
AM AN m n M N
Đề 44:
D-2006
Cho điểm
(
)
1;2;3
A
và hai đường thẳng
1 2
2 2 3 1 1 1
: ; :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
− + − − − +
= = = =
− −
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
21
a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng
1
d
.
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
.
Bài giải:
a) Mặt phẳng
(
)
α
đi qua
(
)
1;2;3
A
và vuông góc với
1
d
, có phương trình là:
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 0 2 3 0.
− − − + − = ⇔ − + − =
x y z x y z
Tọa độ giao điểm H của
1
d
và
(
)
α
là nghiệm của hệ:
( )
0
2 2 3
1 0; 1;2
2 1 1
2 3 0
2
=
− + −
= =
⇔ = − ⇒ −
−
− + − =
=
x
x y z
y H
x y z
z
Vì A’ đối xứng với A qua
1
d
nên H là trung điểm của AA’
(
)
' 1; 4;1 .
⇒ − −A
b) Vì
∆
đi qua A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
, nên
∆
đi qua giao điểm B của
2
d
và
(
)
α
.
Tọa độ giao điểm B của
2
d
và
(
)
α
là nghiệm của hệ:
( )
2
1 1 1
1 2; 1; 2
1 2 1
2 3 0
2
=
− − +
= =
⇔ = − ⇒ − −
−
− + − =
= −
x
x y z
y B
x y z
z
.
Vectơ chỉ phương của
∆
là:
(
)
1; 3; 5
= = − −
u AB
.
Phương trình của
∆
là:
1 2 3
.
1 3 5
− − −
= =
− −
x y z
Đề 45:
Dự bị 1- A- 2006
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , ' 0;0;2 .
A B C A
a) Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC').
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC').
Đề 46:
Dự bị 2- A- 2006
Cho mặt phẳng
(
)
: 3 2 4 0
x y z
α
+ − + =
và hai điểm
(
)
(
)
4;0;0 , 0;4;0
A B
.Gọi I là trung điểm
của đoạn thẳng AB.
a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng
( )
α
.
b) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng
( )
α
, đồng thời K cách đều gốc
toạ độ O và mặt phẳng
( )
α
.
Đề 47:
Dự bị 1- B- 2006 Cho hai đường thẳng
1 2
1
3 1
: 1 ; :
1 2 1
2
x t
x y z
d y t d
z
= +
− −
= − − = =
−
=
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1
d
và song song với
2
d
.
b) Xác định điểm A trên
1
d
và điểm B trên
2
d
sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .
Đề 48:
Dự bị 2 - B- 2006 Cho mp
(
)
P : 2 2 5 0
x y z
− + + =
và các điểm
(
)
(
)
0;0;4 , 2;0;0 .
A B
a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Đề 49:
Dự bị 1- D-2006
Đề 50:
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
22
Cho mp(P):
4 3 11 26 0
x y z
− + − =
và 2 đường thẳng
1 2
3 1 4 3
: ;d : .
1 2 3 1 1 2
− + − −
= = = =
−
x y z x y z
d
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
chéo nhau .
b) Viết phương trình đường thẳng
( )
∆ ⊂
P
, đồng thời cắt cả
1
d
và
2
d
.
Đề 51:
A-2005 Cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
− + −
= =
−
x y z
d
và mặt phẳng
(
)
P : 2 2 9 0
x y z
+ − + =
.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham
số của đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), biết
∆
đi qua A và vuông góc với d.
Bài giải:
a) Phương trình tham số của d:
1
3 2
3
x t
y t
z t
= −
= − +
= +
.
Ta có:
( ) ( )
( )
2 2
1 ; 3 2 ;3 , ,
3
d
t
I d I t t t I P
− +
∈ ⇒ − − + + =
( )
( )
4
, 2 1 3
2
d
t
I P t
t
=
⇒ = ⇔ − = ⇔
= −
Vậy có hai điểm
(
)
(
)
1 2
3;5;7 , 3; 7;1
I I
− −
.
b) Vì
(
)
1 ; 3 2 ;3
A d A t t t
∈ ⇒ − − + +
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 3 2 2 3 9 0 1
A P t t t t
∈ ⇔ − + − + − + + = ⇔ =
Vậy
(
)
0; 1;4
A
−
.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
(
)
2;1; 2 .
n
= −
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(
)
1;2;1 .
u
= −
Vì
(
)
P
∆ ⊂
và
d
∆ ⊥
nên
∆
có vectơ chỉ phương
[
]
(
)
, 5;0;5
u n u
∆
= =
.
Phương trình tham số của
: 1
4
x t
y
z t
=
∆ = −
= +
Đề 52:
B-2005
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , 4;0;4 .
A B C B−
a) Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt
phẳng (BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, M và
song song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài MN.
Bài giải:
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
0; 3;4 , 0;3;4 4;3;0 , 0;0;4
A C BC BB
− ⇒ = − =
.
Vec tơ pháp tuyến của
(
)
1 1
BCC B
là
( )
1
, 12;16;0
n BC BB
= =
.
Phương trình mặt phẳng
(
)
1 1
BCC B
:
(
)
12 4 16 0 3 4 12 0
x y x y
− + = ⇔ + − =
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
23
Bán kính mặt cầu:
( )
( )
1 1
2 2
12 12
24
,
5
3 4
dR A BCC B
− −
= = =
+
.
Phương trình mặt cầu:
( )
2
2 2
576
3
25
x y z+ + + =
.
b) Ta có:
( )
1
3 3
2; ;4 , 2; ;4 , 4;3;4 .
2 2
M AM BC
− = = −
Vectơ pháp tuyến của (P) là
( )
1
, 6; 24;12
P
n AM BC
= = − −
.
Phương trình (P):
(
)
6 24 3 12 0 4 2 12 0
x y z x y z
− − + + = ⇔ + − + =
.
Ta thấy
(
)
(
)
4;0;0 .
B P
∉
Do đó (P) đi qua A, M và song song với
1
BC
.
Ta có:
(
)
1 1
0;6;0
AC
=
. Phương trình tham số của đường thẳng
1 1
AC
là:
0
3
4
x
y t
z
=
= − +
=
(
)
1 1
0; 3 ;4
N AC N t
∈ ⇒ − +
. Vì
(
)
N P
∈
nên
(
)
0 4 3 8 12 0 2.
t t
+ − + − + = ⇔ =
Vậy
( ) ( ) ( )
2
2 2
3 17
0; 1;4 2 0 1 4 4
2 2
N MN
− ⇒ = − + − + + − =
.
Đề 53:
D-2005 Cho hai đường thẳng
1 2 1
:
1
3 1 2
− + +
= =
−
x y z
d
và
2
2 0
:
3 12 0
+ − − =
+ − =
x y z
d
x y
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa cả hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
b) Mặt phẳng toạ dộ Oxy cắt hai đường thẳng
1
d
và
2
d
lần lượt tại các điểm A, B.
Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
Bài giải:
a)
1
d
đi qua
(
)
1
1; 2; 1
M
− −
và có vectơ chỉ phương
(
)
1
3; 1;2
u
= −
.
2
d
có vectơ chỉ phương là
( )
2
1 1 1 1 1 1
; ; 3; 1;2
3 0 0 1 1 3
u
− −
= = −
.
Vì
1 2
u u
=
và
1 2 1 2
//
M d d d
∉ ⇒
.
Mặt phẳng (P) chứa
2
d
nên phương trình có dạng:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 12 0 0 .
x y z x y
α β α β
+ − − + + − = + >
Vì
(
)
(
)
(
)
1
1 2 1 2 1 6 12 0 2 17 0
M P
α β α β
∈ ⇔ − + − + − − = ⇔ + =
.
Chọn
17 2.
α β
= ⇒ = −
Phương trình (P) là:
15 11 17 10 0.
x y z
+ − − =
b) Vì
, 0
A B
A B Oxz y y
∈ ⇒ = =
.
Vì
1
A d
∈
nên
( )
1 2 1
5 5;0; 5
3 1 2
A A
A A
x z
x z A
− +
= = ⇒ = = − ⇒ − −
−
.
( )
2
2 0 12
12;0;10
12 0 10
B B B
B B
x z x
B d B
x z
− − = =
∈ ⇒ ⇔ ⇒
− = =
( ) ( ) ( )
5;0; 5 , 12;0;10 , 0; 10;0
OA OB OA OB
= − − = ⇒ = −
.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
24
Lúc đó:
1 1
, .10 5
2 2
OAB
S OA OB
∆
= = =
(đ.v.d.t)
Đề 54:
Dự bị A 1-2005 Cho 3 điểm
(
)
(
)
(
)
1;1;0 , 0;2;0 , 0;0;2 .
A B C
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ giao
điểm của AC với mặt phẳng (P).
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện OABC.
Bài giải:
a)Ta có
(
)
0; 2;2
BC = −
. Mặt phẳng (P) qua
(
)
0;0;0
O
và vuông góc với BC có phương trình là
0. 2 2 0 0
− + = ⇔ − =
x y z y z
Ta có
(
)
1; 1;2
AC = − −
, phương trình tham số của AC là
1
1
2
= −
= −
=
x t
y t
z t
.
Thế phương trình (AC) vào phương trình mp(P). Ta có
1
1 2 0
3
− − = ⇔ =
t t t
. Thế
1
3
=
t
vào
phương trình (AC) ta có
2 2 2
; ;
3 3 3
M
là giao điểm của AC với mp(P).
b) Với
(
)
1;1;0
A
,
(
)
0;2;0
B
,
(
)
0;0;2
C
. Ta có:
(
)
1;1;0
AB = −
,
(
)
1; 1;2
AC = − −
⇒
. 1 1 0
= − = ⇔ ⊥
AB AC AB AC
⇒
∆
ABC
vuông tại A
Ta dễ thấy
∆
BOC
cũng vuông tại O. Do đó A, O nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông. Do đó A, O
nằm trên mặt cầu đường kính BC, có tâm I là trung điểm của BC. Ta dễ dàng tìm được
(
)
0;1;1
I
và
2 2
1 1 2
= + =
R
.
Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là :
(
)
(
)
2 2
2
1 1 2
+ − + − =
x y z
Đề 55:
Dự bị A 2-2005 Cho 3 điểm
(
)
(
)
(
)
2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4
A C S
.
a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
b) Tìm tọa độ điểm
1
A
đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
Bài giải:
a) Tứ giác OABC là hình chữ nhật
⇒
=
OC AB
⇒
B(2;4;0)
* Đoạn OB có trung điểm là
(
)
1;2;0
H
. Điểm H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
vuông OBC. Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I(1;2;2) là tâm mặt
cầu và bán kính R =
1 1
4 16 16 3
2 2
= + + =
SB
,
Vậy phương trình mặt cầu là
(
)
(
)
2 2
2
1 2 ( 2) 9
− + − + − =
x y z
b)
(
)
0;4; 4
SC
= −
chọn
(
)
0;1; 1
−
là vectơ chỉ phương của SC.
TaiLieuLuyenThi.Net
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
25
Pt tham số đường thẳng SC:
0
4
=
=
= −
x
y t
z t
Mp(P) qua
(
)
2;0;0
A
và vuông góc với SC có phương trình là:
(
)
0 2 0 0
− + − = ⇔ − =
x y z y z
Thế phương trình tham số của SC và phương trình (P)
2
t
⇒ =
và suy ra
(
)
0;2;2
M
.
Gọi
(
)
1
; ;
A x y z
là điểm đối xứng với A qua SC.
Có M là trung điểm của
1
AA
nên
2 2.0 2
0 2.2 4
0 2.2 4
+ = = −
+ = ⇒ =
+ = =
x x
y y
z z
Vậy
(
)
1
2;4;4
A
−
Đề 56: Dự bị B-1 2005 Cho hai đường thẳng
1
:
1 1 2
= =
x y z
d
và
2
1 2
:
1
= − −
=
= +
x t
d y t
z t
a) Xét vị trí tương đối của
1
d
và
2
d
.
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
d
và N thuộc
2
d
sao cho đường thẳng MN song song với
mặt phẳng (P):
0
− + =
x y z
và độ dài đọan
2
MN =
.
Bài giải:
a)
1
d
qua
(
)
0,0,0
O
và có vectơ chỉ phương
(
)
1,1,2
=
a
2
d
qua
(
)
1;0;1
B
−
và có vectơ chỉ phương
(
)
2;1;1
b = −
Ta có:
( )
, 1; 5;3
a b
= − −
,
(
)
1;0;1
OB = −
1 2
, . 1 3 4 0 ,
a b OB d d
⇒ = + = ≠ ⇔
chéo nhau
b)
(
)
1
'; ';2 '
M d M t t t
∈ ⇒
;
(
)
2
1 2 ; ;1
N d N t t t
∈ ⇒ − − +
(
)
2 ' 1; '; 2 ' 1
MN t t t t t t
= − − − − − +
. Vì MN // (P)
(
)
1; 1;1
p
MN n⇔ ⊥ = −
. 0 2 ' 1 ' 2 ' 1 0
⇔ = ⇔ − − − − + + − + =
p
MN n t t t t t t
'
⇔ = −
t t
.
( ) ( )
2 2
2
' 1 4 ' 1 3 ' 2
= − + + − =
MN t t t
( )
2
' 0
14 ' 8 ' 2 2 2 ' 7 ' 4 0
4
'
7
=
⇔ − + = ⇔ − = ⇔
=
t
t t t t
t
* Với
' 0
t
=
ta có
(
)
(
)
0;0;0
M O P
≡ ∈
(loại)
* Với
4
'
7
=
t
ta có
4 4 8 1 4 3
; ; ; ; ;
7 7 7 7 7 7
M N
−
Đề 57:
Dự bị B-2 2005 Cho điểm
(
)
5;2; 3
M
−
và mp(P):
2 2 1 0
+ − + =
x y z
.
a) Gọi
1
M
là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ điểm
1
M
và tính độ dài đọan
1
MM
.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng:
1 1 5
2 1 6
− − −
= =
−
x y z
.
TaiLieuLuyenThi.Net
