Tài liệu Quan hệ pdf

I-Quan hệ hai ngôi:
1.Định nghĩa:
1.1-Tích đề các:
− Tích đề-các của hai tập A&B là tập:
-− Tích đề-các của các tập A
1
, A
2
, …, A
n

là tập:
},/),{( BbAabaBA
∈∈=×
}/), ,{(
2121 iinn
AaaaaAAA ∈=×××
Ví dụ:
Cho 2 tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b, c}
A×B = {(1; a), (1; b),(1,c), (2; a), (2; b), (2;
c), (3; a), (3; b), (3; c),}
B×A = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b;
3), (c; 1), (c; 2), (c; 3),}
B×A = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b;
3), (c; 1), (c; 2), (c; 3),}
1.2 –Định nghĩa:
Quan hệ hai ngôi R giữa tập A và tập B là tập
con của tích đề-các A×B.
+ Nếu A = B ta nói R là quan hệ (hai ngôi)
trên A
ba RR,b)(a, ∉


Ví dụ

Xét quan hệ hai ngôi R trên N như sau:

“ ∀a, b ∈ N, aRb ⇔ (a + b) là số chẵn”

Hãy kiểm tra các tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu,
phản đối xứng của quan hệ R

c) Ma trận biểu diễn quan hệ:

Cho 2 tập A = {a
1
, a
2
, …, a
m
}, B = {b
1
, b
2
, …, b
n
}

Ma trận biểu diễn quan hệ giữa A&B, kí hiệu:

M

R
= (m
ij
)
mxn

Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào
đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi
đó:





=
ji
ji
ij
bRakhi0
Rbakhi1
m

Ví dụ:

Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28}

Xét quan hệ hai ngôi R giữa A&B sau:

aRb ⇔ “a là ước của b”


Một ma trận biểu diễn quan hệ trên:










=
0101
0111
0001
28
21
1
9731
R
M
II-Quan Hệ Tương Đương

I.Quan hệ tương đương:

1.ĐỊNH NGHĨA:
-
Quan hệ R trên A được gọi là quan hệ tương
đương nếu có đủ 3 tính chất : phản xạ, đối xứng và
bắt cầu.

•
Ví dụ 1: các quan hệ “=, ≡, // “ là quan hệ
tương đương.
•
Ví dụ 2:các quan hệ “ “ không phải là quan
hệ tương đương vì không có tính đối xứng.
≤⊥,
≤⊥
,
•
Ví dụ 3: trên tập hợp các mệnh đề thì quan hệ
“tương đương logic” là một quan hệ tương đương.
•
Ví dụ 4: trên tập A = { 1,2,3 } thì

R = {(1,1),(2,2),(3,3)} là quan hệ tương đương.

R còn là quan hệ tương đương có ít phần tử nhất.

T = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} là quan hệ tương đương.
Dễ nhận thấy:
+ (1,1),(2,2),(3,3) có tính phản xạ
+ (1,2),(2,1) có tính đối xứng
+ (1,2),(2,1),(2,2) có tính bắc cầu
=> T là quan hệ tương đương

H = {(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} không là quan hệ
tương đương vì không đối xứng.

K = {(1,1),(2,1),(1,2),(2,1) } không là quan hệ

tương đương vì không có tính phản xạ.

Ví dụ 5:trên tập số nguyên Z cho quan hệ hai ngôi
f.Xác định như sau:
x ϵ Z , y ϵ Z, (x;y) ϵ f <=> 7.x^2 - 9.x = 7y^2 - 9y.
f có phải là quan hệ tương đương không?
∈
x

+ 7x² - 9x = 7x² - 9x với mọi x ϵ Z => (x,x) ϵ f; vậy
f có tính phản xạ (1*)
+ 7x²-9x ϵ Z với mọi x ϵ Z, mà trong Z có tính bắc
cầu với quan hệ '='
tức là m = n và n = k (m,n,k ϵ Z) => m = k
giả sử (x,y) ϵ f và (y,z) ϵ f: ta có: 7x² - 9x = 7y² - 9y
và 7y² - 9y = 7z² - 9z
=> 7x² - 9x = 7z² - 9z => (x,z) ϵ f => f có tính bắc
cầu (2*)

+7x²-9x và 7y²-9y đều thuộc Z (với x,y ϵ Z)
nên từ 7x²-9x = 7y²-9y => 7y²-9y = 7x²-9x
vậy: nếu (x,y) ϵ f thì (y,x) ϵ f => f có tính đối xứng
(3*)
f có đủ 3 tính chất (1*), (2*), (3*) nên là quan hệ
tương đương trong Z
II. Lớp Tương đương:
Cho R là quan hệ tương đương trên A. tập con của A
gồm các phần tử tương đương với x A gọi là lớp
tương đương chứa x. thường kí hiệu tương đương x là
[x] hay . Theo đó,

Ví Dụ 1: trên tập A = {1,2,3} thì T = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),
(2,1) } là quan hệ tương đương. Vì:
+ (1,1),(2,2),(3,3) có tính phản xạ
+ (1,2),(2,1) có tính đối xứng
+ (1,2),(2,1),(2,2) có tính bắc cầu
=> T là quan hệ tương đương
Ta có: [1] = {1,2} = [2]
[3] = {3,3}
=> Có 2 lớp tương đương
Ví dụ 2: Trên tập Z các số nguyên xét quan hệ =(mod3) như
sau: x,y Z, ∈ x=y(mod3) x và y có cùng ⇔ số dư khi chia cho 3. Dễ
chứng minh được đây là quan hệ tương đương trên Z. Ta được:
[0] = {….,-6,-3,0,3,6,….}
[1] = {… ,-4 1,1,4,……}
[2] = {… ,-5,-2,2,5,……}

Tính chất: Giả sử R là một quan hệ tương
đương trên A. Khi ấy

(i). x A x [x] ∀ ∈ ⇒ ∈

(ii). x,y A, xRy [x] =[y] ∀ ∈ ⇔

(iii). Hai lớp tương đương [x], [y] sao cho
[x]∩[y]≠ thì ∅
trùng nhau.
III. Sự phân hoạch thành lớp tương đương:
Cho quan hệ R tương đương trên A. Ta có:
1) Các lớp tương đương của R sẽ lập nên một
phân hoạch của A

2) Với một phân hoạch,sẽ tồn tại một quan hệ
tương đương R tương ứng
3) Hai phần tử có quan hệ tương đương sẽ cùng
thuộc một lớp tương đương,hai phần tử không
quan hệ tương đương sẽ thuộc hai lớp tương
đương khác nhau
4) Trong mỗi lớp tương đương,ta có thể chọn bất kỳ phần
tử nào làm đại diện cho lớp
Ví Dụ :
Cho quan hệ S={ Việt Nam, Mỹ, Ý, Nhật, Áo, Úc, Nga,
Libi, Lào, Anh, Peru, Maroc, Chile,Iran, Bỉ }
Với x,y ϵ S:x R y x,y thuộc cùng một châu lục
(R:quan hệ tương đương)
[Việt Nam]={x ϵ S / x R Việt Nam}={Nhật, Lào, Việt
Nam, Iran}
[Mỹ]={Chile, Peru, Mỹ}
[Ý]={Nga, Áo, Anh, Mỹ, Ý}
[Úc]={Úc}
[Libi]={Libi, Maroc}
I/ Biểu đồ hasse:
1/Giới thiệu:
Quan hệ thứ tự: quan hệ R trên tập A là quan
hệ thứ tự nếu nó có tính chất phản xạ , phản xứng và
bắc cầu.
Ký hiệu: ≺
Cặp (A, ) được gọi là tập sắp xếp thứ tự ≺
hay poset.
Phản xạ: a a.≺
Phản xứng: (a b) (b a)≺ ≺ (a=b)
Bắc cầu : (a b) (b c)≺ ≺ (a c).≺

Vd: quan hệ ước số trên tập số nguyên dương là quan
hệ thứ tự , nghĩa là (Z+, |) là poset.
-Tính phản xạ: có, x|x vì x=1*x
-Tính phản xứng: có, a|b nghĩa là b=k.a(1)
b|a nghĩa là a=j.b(2)
thay 2 vào 1 ta có b=k.j.b đúng khi k=j=1
-Tính bắc cầu: a|b  b=k.a(1)
b|c c=j.b(2)
thay 1 vào 2 ta có c= j.k.a a|c
Vd2 : (Z,|) là poset? Không phải vì không theo tính
chất phản xứng : 3|-3 -3|3 nhưng 3!=-3

Ví dụ:

U
n
= {a∈N: a|n} với quan hệ R: xRy ⇔ x|y

U
12
={ 1,2,3,4,6,12}

R={{1,1},{1,2} ,{1,3} ,{1,4} ,{1,6} ,{1,12},
{2,2},{2,4},{2,6},{2,12},{3,3},{3,6},
{3,12},{4,4},{4,12},(6,6}{6,12},
{12,12}}