Bài tập số học

Bài 1: Cho hai số nguyên tố
p
,
q
phân biệt và số nguyên dương
a
thỏa mãn
2 1
1
q
a a a p

   

. Chứng minh rằng:
1(mod )
p q

.
Bài 2: Cho số nguyên tố
p
thỏa mãn
2(mod3)
p

. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
n
luôn tồn tại vô số số nguyên
m
thỏa mãn
3

(mod )
n m p
 .
Bài 3: Tìm các số nguyên tố
p
,
q
thỏa mãn
(3 7 )(3 7 )
p p q q
pq   .
Bài 4: Cho
p
nguyên tố,
a
và
b
nguyên thỏa mãn:
( , ) 1
a b

,
(mod )
a b p

. Chứng
minh rằng: Với mọi số nguyên dương
n
luôn có
( ) ( ) ( )

n n
p p p
v a b v a b v n
    .
Bài 5: Tìm số nguyên dương
n
lớn hơn 1 thỏa mãn:
2
2 1
n
n


.
Bài 6: Cho số nguyên tố
p
thỏa mãn
1(mod3)
p

. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
x

thỏa mãn
1(mod )
x p

và
3
1(mod )

x p
 .
Bài 7: Cho số nguyên tố
p
,
1(mod3)
p

và hai số
a
,
b
nguyên dương thỏa mãn: Nếu
,
x y
nguyên thỏa mãn
3 3
(mod )
ax bx ay by p
   thì
(mod )
x y p

. Chứng minh
rằng:
b
không chia hết cho
p
và
a

chia hết cho
p
.
Bài 8: Cho số nguyên dương
n
lớn hơn 5. Chứng minh rằng không tồn tại
,
p q
nguyên
dương thỏa mãn:
p q n
 
và
1
2 1 3 2.3
n p q

   .
Bài 9: Cho số nguyên tố
p
và số nguyên dương
n
thỏa mãn:
p
không lớn hơn ước
nguyên tố nhỏ nhất của
n
và
2 1
n

p


.Chứng minh rằng
3
p

.
Bài 10: Chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng
nhau thỏa mãn:
2 1
a
b


,
2 1
b
c


,
2 1
c
a


.
Bài 11: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương
n

thoả mãn
2 1
n
n


.
Bài 12: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên
, ,
x y z
thoả mãn
2
3
z
x y
 
,
3(mod4)
z

.
Bài 13: Cho 3 số nguyên dương
, ,
a b c
thoả mãn
( , , ) 1
a b c

. Chứng minh rằng tồn tại
số nguyên dương

n
sao cho với mọi số nguyên dương
k
ta luôn có
k k k
a b c
 
không
chia hết cho
2
n
.
Bài 14: Cho số nguyên tố
p
thoả mãn
1(mod4)
p


a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
1
1,2, ,
2
p
a

 

 
 

luôn tồn tại duy nhất
số nguyên dương
1
1,2, ,
2
p
b

 

 
 
thoả mãn
2 2
0(mod )
a b p
  .
b) Chứng minh rằng
1
2 2
2
1
2 1
2
4
p
k
k k p
p p



 
   

 
 
   
   
 


c) Chứng minh rằng
1
2
2
1
( 1)( 5)
24
p
k
k p p
p


 
 

 
 


.