Một số bài tập "Số học và đại số" cho HSG8

TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008
-2009
BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh: a) n
2
+ 1 không chia hết cho 3 với bất kì số nguyên nào?
b) 30
99
+ 61
100
chia hết cho 31?
c) 7
120
– 1 chia hết cho 143?
d) 11
n+2
+ 12
2n+1
không chia hết cho 133 với bất kì số tự nhiên nào?
e) 43
101
+ 23
101
chia hết cho 66?
f) Cho
( )
2004
1 2 3
2003 .....
n
N k k k k n N= = + + + + ∈

. Với:
3 3 3 3
1 2 3
....
n
S k k k k= + + + +
.
Chứng minh rằng:
( )
1 6S − M
Bài 2: a) Cho:
2
111......1 888....8 1
n n
A = − +
142 43 142 43
. Chứng minh A là số chính phương?
b) Cho:
111......15
n
A =
142 43
;
111......19
n
B =
142 43
. Chứng minh AB + 4 là số chính phương.
c) Cho:
111......1

n
A =
142 43
;
( )
2
1000...011 2
n
B n
−
= ≥
1 2 3
. Chứng minh AB + 4 là số chính phương.
d) Cho:
{
111......155..55 1
n
n
N = +
142 43
. Chứng minh N là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) Với
; ;a b c Z∈
thoả:
1ab bc ca+ + =
thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 . 1 . 1a b c+ + +

là số chính phương.
b) Với
a Z∈
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
1 . 2 . 3 . 4 1a a a a− − − − +
là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh: Nếu n=1 và 2n +1 là các số chính phương thì n chia hết cho 24
Bài 5: a) Cho tam giác đều cạnh bằng 4. lấy 17 điểm bất kì. Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai
điểm mà khoảng cách không vượt quá 1.
b) Cho hình bình hành ABCD kẻ 17 đường thẳng bất kì thoả mãn chia ABCD thành hai hình thang
có tỉ số diện tích bằng 1/3. Có ít nhất bao nhiêu đường thẳng đồng qui. (5 đường)
Bài 6: Cho A = p
4
(p là số nguyên tố). Tìm p để tổng các ước dương của A là một số chính phương.
Bài 7: * Tìm
n N
∈
thoả:
a)
4 7
2 2 2
n
+ +
là số chính phương. b)
2
2 200n n+ + là số chính phương.
c)
2
1234n + là số chính phương. d)

3 2
2n n n− − − là một số nguyên tố.
* Tìm
x Z∈
thoả:
( ) ( ) ( )
. 1 . 7 . 8x x x x− − −
là số chính phương.
Bài 8: Tìm
x R∈
và
n N∈
thoả:
2 1
2 4 2 2 0
n n
x x
+
+ + − + =
.
Bài 9: Tìm
x N
∈
thoả:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 8 4 13 4 2 5
x x x x
− + + = + +
.

Bài 10: Cho:
4 8 9 ; 4 4 ; 7 8a m n p b m n p c m n p= + + = + + = + +
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
p m n a b c= + ⇒ = +
Bài 11: Chứng minh rằng:
( )
5
5 5
x y x y x y+ = + ⇒ = −
hoặc
. 0x y =
.
Bài 12: Cho
2 2
1a b− = −
. Tính:
( ) ( )
6 6 4 4
2 3A a b a b= − + +
Bài 13: Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
4
2M x x y x y x y y= − + + +
là số chính phương với mọi
;x y Z∈
Bài 14: Chứng minh: (Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp)
a)
( )
1

1 2 3 4 .....
2
n n
n
+
+ + + + + =
b)
( ) ( )
2 2 2 2 2
1 2 1
1 2 3 4 .....
6
n n n
n
+ +
+ + + + + =
.
c)
( )
2
1 3 5 ..... 2 1n n+ + + + − =
d)
( )
2
3 3 3 3 3
1 2 3 4 ..... 1 2 3 ...n n+ + + + + = + + + +
e)
( )
( ) ( )
1 2

1.2 2.3 3.4 .... . 1
3
n n n
n n
+ +
+ + + + + =

Nguyễn Văn Anh Trang 1
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008
-2009
f) 1.1! + 2.2! + 3.3! +…. + n.n! = (n+1)! – 1
Bài 15:Cho
0; 0; 0a b c> > >
. Chứng minh:
3
3 3
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
Bài 16: Cho
2a b
+ >
. Chứng minh:
4 4
2a b+ >
Bài 17: Cho
; 2n N n∈ ≥

. Chứng minh:
2 2 2 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4 n
+ + + + <
Bài 18:Chứng minh:
a)
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với
; 0a b >
b)
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
với a;b; c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của
tam giác đó.
Bài 19: Cho
1a b c
+ + =
. Chứng minh:
1

2
ab bc ca+ + ≤
.
Bài 20:Chứng minh:
a)
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + + b)
( )
2 2 2 2
2a b c d a b c d+ + + ≥ + + +
c)
( )
2
2 2 2
3( )a b c a b c+ + ≥ + +
Bài 21: Cho
2a b c d+ + + =
. Chứng minh:
2 2 2 2
1a b c d+ + + ≥
.
Bài 22: Chứng minh:
a)
2 2
1 1 2
1 1 1 .x y x y
+ ≥
+ + +
Với
( )

; 1x y ≥
b)
2 2 2
1 1 1 3
1 1 1 1 . .x y z x y z
+ + ≥
+ + + +
Với
( )
; ; 1x y z ≥
Bài 23:Cho
*
n N∈
. Chứng minh:
a)
1 2 3 1
.... 1
2! 3! 4! !
n
n
−
+ + + + <
b)
2 1 1 1 1 1
..... 1
3 2 1 2 2 2 3 2 1 4 1n n n n n
< + + + + + <
+ + + + +
Bài 26:Chứng minh:
a)

3
2 2
a
a ab b
b
≥ + −
b)
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
Bài 27: Cho:
1 2 3
....
n
a a a a k+ + + + =
. Chứng minh:
2
2 2 2 2
1 2 3
....
n
k
a a a a
n
+ + + + ≥
.
Bài 28: Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a)

2
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
.
b)
1 1 1
; ;
b c c a a b+ + +
củng là độ dài ba cạnh của một tam giác.
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
3a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤
d)
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
Bài 29: Cho ba số dương a;b;c. Chứng minh rằng:
a)
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
. Với a + b + c =1
b)
1 2
a b c

b c c a a b
< + + <
+ + +
.
Bài 30: Cho
; ; 0; 3.a b c a b c≥ + + ≤
Chứng minh rằng:
Nguyễn Văn Anh Trang 2
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008
-2009
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
a b c
a b c a b c
+ + ≤ ≤ + +
+ + + + + +
Bài 31: Tìm giá trò lớn nhất của :
a) A =
2 2
4 12 2 3x x x x− + + − − + +
b)
( )
yx
y
C
+−
=
5
với

Ν∈
yx;
c) G = xy + yz + zx. với x + y + z = 3
Bài 32: Tìm giá trò nhỏ nhất của:
a) C =
2 1
1 x x
+
−
Với 0 < x < 1 . b) F = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
-2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008
c) A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5
d)
20052004
−+−=
xxM
 HD: Xét M trong các khoảng:
xxx
<≤<≤
2005;20052004;2004

e)
( )
212312
2
+−−−=
xxN
 HD: Xét N trong các khoảng:
2
1
;
2
1
≥<
xx
Bài 33: a) Cho ba số
0,,
>
cba
. Tìm GTNN của
ba
c
ac
b
cb
a
A
+
+
+
+

+
=
b) Cho ba số
0,,
>
cba
và
1
222
=++
cba
. Tìm GTNN của
ba
c
ac
b
cb
a
B
+
+
+
+
+
=
333
(HD: p dụng kết quả câu a với
2
1
222

=⇒
+
+
+
+
+
=
MinB
ba
c
c
ac
b
b
cb
a
aB
khi
3
3
===
cba
)
Bài 34: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
a) P =
2
2
2 7 3
2 10
x x

x x
+ +
+ +
b) Q =
2 2
2 1
7
x y
x y
+ +
+ +
c) y =
2
2
4 2 3
1
x x
x
+ +
+
d) A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5 e)
e) A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) Biết x,y

≥
0 và x + y =
10
(HD: Đặt xy = t)
Bài 35:Giải các phương trình sau:
a)
( )( )( )
xyzzyx 32821
222
=+++
(Với
0;;
>
zyx
)
b)
( )( )
4132
2422
++++=++
xxxxxx
c)
03425
22
=−−++
xyxyx
Với
y
nhỏ nhất.
Bài 36: Cho

ABC
∆
vuông cân có cạnh huyền
aBC
=
. Các điểm
ED;
theo thứ tự thuộc các cạnh
ACAB,
. Vẽ
( )
BCKHBCEKBCDH
∈⊥⊥
,,;
. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác
DEHK
khi
ED;
thay
đổi vò trí trên các cạnh
ACAB,
.
Bài 37:Cho đoạn thẳng
AB
và đường thẳng
d
song song với nhau. Từ điểm
M
(
M

và
d
khác phía đối với
AB
) sao cho các tia
MBMA;
tạo với
d
tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Bài 38:Giải các phương trình nghiệm nguyên;
a/
2 2
4 115 2x y x+ = −
b/
2 2 2
3 2 4x y z xy x z+ + = + + −
c/
2
4 25x xy− =
d/
3
3 5x xy− =
e/
.x y x y
+ =
f/
2 3 3
2 4x y z+ =
g/
3 3 3

2 4 0x y z− − =
h/
2 2
5 0x y− =
Bài 39:Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
a/
. . .x y z t x y z t
+ + + =
b/
1 1 1 1
1995x y z
+ + =
c/
. . .
3
x y z x y z
z y x
+ + =
d/
1 . .x y x y z+ + =
e/
2 2
2 5x y− =
f/
2 2
19 28 729x y+ =
g/
2 3xy x y+ − =
h/
2 2 2

2 2 2 2 2 4x y z xy yz z+ + − − − =
i/
2 2
3x xy y− + =
j/
2 2
6 5 74x y− =
k/
( ) ( ) ( )
2
. 1 . 1 . 1x x x x y+ + + =

l/
2
5 5 2 0x xy y x− + − + =
m/
2 2
2 2 2 10 0x y xy x y+ − + + − =
Nguyễn Văn Anh Trang 3
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008
-2009
Bài 40:Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm:
3 3 3
2000x y z x y z+ + = + + +
Bài 41: Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương
 Tìm số nguyên a lớn nhất để:
27 1016
4 4 4
a
T = + + là một số chính phương

 Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x; y; z thoả:
5 5 7 10xyz x y z= + + +
 Tìm các số nguyên dương x; y; z thoả:
( ) ( )
2 1 1 1xy z x y− = − −
Nguyễn Văn Anh Trang 4