Toán 10 phương trình đường tròn

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn (C) tâm I  a; b  , bán kính R là:  x  a    y  b   R 2 .
2

2

Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 , là phương trình đường trịn tâm

I  a; b  bán kính R  a 2  b 2  c
2. Phương trình tiếp tuyến
Cho đường trịn (C):  x  a    y  b   R 2
2

2

Tiếp tuyến  của (C) tại điểm M  x 0 ; y 0  là đường thẳng đi qua M và vng góc với IM.
Nên có phương trình là:  :  x 0  a  x  a    y 0  a  y  a   R 2
Chú ý:

 : ax  by  c  0 là tiếp tuyến của (C)  d  I,    R
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn
1. Phương pháp giải
Cách 1: Đưa phương trình về dạng: (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (1)
Xét dấu biểu thức P  a 2  b 2  c
Nếu P  0 thì (1) là phương trình đường trịn (C) có tâm I  a; b  và bán kính R  a 2  b 2  c
Nếu P  0 thì (1) khơng phải là phương trình đường trịn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng:  x  a    y  b   P (2).

2

2

Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường trịn có tâm I  a; b  và bán kính R  P
Nếu P  0 thì (2) khơng phải là phương trình đường trịn.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường trịn có dạng  x  3   y  2   9 . Tìm tâm và bán kính?
2

A. I  3; 2  ; R  3

B. I  3; 2  ; R  3

2

C. I  3; 2  ; R  5

D. I  3; 2  ; R  3

Ví dụ 2: Cho đường trịn có phương trình x 2  y 2  6x  10y  2  0 . Tìm tọa độ tâm của đường trịn.
A. I  3;5 

B. I  3; 5 

C. I  5;3

D. I  5; 3

HDedu - Page 36

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường trịn.
A. x 2  y 2  2x  4y  9  0

B. 2x 2  2y 2  8x  4y  6  0

C. x 2  y 2  6x  4y  13  0

D. 5x 2  4y 2  x  4y  1  0

Ví dụ 4: Cho đường cong  Cm  : x 2  y 2  2mx  4  m  2  y  6  m  0 . Tìm điều kiện để phương trình
trên là phương trình đường trịn.
A. m  2

m  2
B. 
m  1

m  2
C. 
m  1

D. m < 1

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho đường trịn có dạng  x  4    y  3  36 . Tìm bán kính đường trịn đó.
2

A. 2

2

B. 6

Câu 2. Tìm tâm của đường tròn x 2  y 2  x  2y 
 1
A. I  0; 
 2

B. I 1;0 

C. 4

D. 5

59
 0.
4

C. I 1; 1

1

D. I  ; 1
2


Câu 3. Cho  C  : x 2  y 2  2x  4y  m  0 . Tìm m để (C) có bán kính R = 3.
A. m = 3

B. m = 4

C. m  3

D. m  4

HDedu - Page 37


Dạng 2: Viết phương trình đường trịn
1. Phương pháp giải
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I  a; b  của đường trịn (C).
Tìm bán kính R của đường trịn (C).
Viết phương trình của (C) theo dạng  x  a    y  b   R 2 .
2

2

Cách 2:
Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 .
Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a,b,c.
Giải hệ để tìm a,b,c từ đó tìm được phương trình đường trịn (C).
Chú ý:
A thuộc đường tròn (C)  IA  R
(C) tiếp xúc với đường thẳng  tại A  IA  d  I;    R
(C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và  2  d  I; 1   d  I;  2   R .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường trịn có tâm I 1; 5  và đi qua O  0;0  .

A.  x  1   y  5   26

B.  x  1   y  5   26

C.  x  1   y  5   26

D.  x  1   y  5   26

2

2

2

2

2

2

2

2

Ví dụ 2: Lập phương trình đường trịn có đường kính AB với A 1;1 và B  7;5  .
A.  C  :  x  4    y  3  13

C.  C  :  x  4    y  3  14

B.  C  :  x  4    y  3  14

D.  C  :  x  4    y  3  13

2

2

2

2

2

2

2

2

Ví dụ 3: Viết phương trình đường trịn (C) đi qua 3 điểm A 1;1 , B  1; 2  , C  0; 1 .
A. x 2  y 2  x  y  2  0

C. x 2  y 2  x  2y  2  0

B. x 2  y 2  x  y  4  0

D. 2x 2  2y 2  x  y  2  0

Ví dụ 4: Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  1; 2  và tiếp xúc với đường thẳng d : x  2y  7  0 .
A.  C  :  x  1   y  2  

4
5

C.  C  :  x  1   y  2  

4
5

B.  C  :  x  1   y  2  

4
5

D.  C  :  x  1   y  2  

4
5

2

2

2

2

2

2

2

2

HDedu - Page 38


Ví dụ 5: Phương trình đường trịn (C) đi qua A 1;1 , B  3;3 và có tâm I thuộc trục Ox có dạng:
A. x 2   y  4   18
2

B. x 2  y 2  10  0

D.  x  4   y 2  10
2

C. 2x 2  2y 2  9

Ví dụ 6: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x  3y  2  0 và tiếp xúc
với hai đường 1 : x  y  4  0 ,  2 : 7x  y  4  0 .
A.  x  4    y  6   18
2

2

B.  x  4    y  6   18
2

2

C.  x  4    y  6   18 ,  x  4    y  6   18
2

2

2

2

D.  x  2    y  2   8 ,  x  4    y  6   18
2

2

2

2

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Lập phương trình đường trịn (C) có tâm là gốc tọa độ và bán kính R = 3.
A. x 2  y 2  9  0

B. x 2  y 2  9

C.  x  3   y  1  9 D.  x  3   y  1  9
2

2

2

2

Câu 2. Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;1 và khoảng cách từ tâm đến một điểm thuộc
đường tròn bằng 5.
A.  x  2    y  1  25

C.  x  2    y  1  5

B.  x  2    y  1  5

D.  x  2    y  1  25

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 3. Viết phương trình đường trịn (C) đi qua 3 điểm A 1; 2  , B  1;0  , C  2;1 .
A. x 2  y 2  x  y  2  0

C. x 2  y 2  x  y  2  0

B. x 2  y 2  2x  3y  2  0

D. x 2  2y 2  x  y  2  0

Câu 4. Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;3 và tiếp xúc với Ox.
A.  C  :  x  2    y  3  9

C.  C  :  x  2    y  3  9

B.  C  :  x  2    y  3  9

D.  C  :  x  2    y  3  9

2

2

2

2

2

2

2

2

HDedu - Page 39


Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường trịn với đường trịn
1. Phương pháp giải
 Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường trịn (C) và tính IM.
Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn.
Nếu IM = R suy ra M thuộc đường trịn.
Nếu IM > R suy ra M nằm ngồi đường trịn.
 Vị trí tương đối giữa đường thẳng  và đường trịn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường trịn (C) và tính d  I;   .
Nếu d  I;   < R suy ra  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Nếu d  I;   = R suy ra  tiếp xúc với đường tròn.
Nếu d  I;   > R suy ra  khơng cắt đường trịn.
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng  và đường trịn (C) bằng số
giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
 Vị trí tương đối giữa đường trịn (C) và đường trịn  C 
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I , bán kính R  của đường trịn  C  và tính II ,

R  R , R  R .
Nếu II > R  R  suy ra hai đường trịn khơng cắt nhau và ở ngồi nhau.
Nếu II = R  R  suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau.
Nếu II < R  R  suy ra hai đường trịn khơng cắt nhau và lồng vào nhau.
Nếu II = R  R  suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Nếu R  R  < II < R  R  suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường trịn  C  bằng số
giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
2. Ví dụ minh họa
4
 0 và đường thẳng d : mx  y  2m  3  0 , m   . Với
5
những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d và đường trịn (C) khơng có điểm chung.

Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x 
A. m   ;1   3;  

B. m  1;3

 11 
C. m   2; 
 2

 11

D. m   ; 2    ;  
2


HDedu - Page 40


 C1  : x 2  y 2  2x  4y  4  0
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn 
2
2

 C2  : x  y  2x  2y  14  0
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường trịn?
A. Cắt nhau

B. Đồng tâm

C. Đựng nhau

D. Trùng nhau

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  2my  m 2  0 và  C  :  x  4    y  1  m 2 . Tìm m
2

2

để (C) và  C  tiếp xúc ngoài.
B. m  3

A. m = 0

C. 1  m  1

D. m 

9
4

Ví dụ 4: Cho (C): x 2  y 2  4x  8y  16  0 và (d): y  x  m . Tìm m để (d) cắt (C) tại 2 điểm A và B
sao cho OAB là tam giác đều.
A. m  2  3

B. m  2  6

C. m  3

D. m < 0

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2  y 2  6x  2y  1  0 . Viết phương trình
đường thẳng d đi qua M  0; 2  và cắt đường trịn (C) theo dây cung có độ dài bằng 4.
A. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

B. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

C. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

D. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho  C1  :  x  2    y  1  16 và  C2  : x 2  y 2  6x  2y  1  0 . Hai đường trịn trên:
2

A. Tiếp xúc ngồi.

2

B. Tiếp xúc trong.

C. Đựng nhau.

D. Ngoài nhau.

Câu 2. Cho  C  :  x  1   y  3  4 và    : y  mx  1 . Tìm m để  cắt (C) tại A và B sao cho IAB
2

2

đều.
A. m 

2  6
2

B. m  0

C. m  2  3

D. m 

1 3
2

HDedu - Page 41


Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến với đường trịn
1. Phương pháp giải
Cho đường tròn (C) tâm I  a; b  , bán kính R


Nếu biết tiếp điểm là M  x 0 ; y 0  thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ IM  x 0  a; y 0  b  làm vectơ

pháp tuyến nên có phương trình là  x 0  a  x  x 0    y 0  b  y  y 0   0 .
Nếu khơng biết tiếp điểm thì dùng diều kiện: Đường thẳng  tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi

d  I;    R để xác định tiếp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại điểm M  3;5  biết đường trịn (C) có phương
trình là:  x  1   y  3  9 .
2

2

A. x  2y  0

B. x  2  13  0

C. x  2y  7  0

D. x  y  13  0

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x 2  y 2  4x  4y  4  0 , điểm M  4;6  . Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) đi qua M.
A. 3x  4y  12  0

B. 3x  4y  8  0

C. 3x  4y  12  0

D. 3x  4y  2  0

Ví dụ 3: Cho đường trịn (C) có phương trình: x 2  y 2  4x  8y  18  0 . Tổng hệ số góc của hai phương

trình tiếp tuyến của (C) đi qua A 1;1 là:
A. 10

B. 4

C. 12

D. 3

Ví dụ 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y 2  8x  12  0 và điểm E  4;1 . Tìm tọa độ điểm
M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho E
thuộc đường thẳng AB.
A. M 1; 4 

B. M  0; 4 

C. M  4; 4 

D. M  0; 4 

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M  3; 4  biết đường trịn (C) có phương
trình là:  x  1   y  2   8 .
2

A. 2x  2y  7  0

2

B. x  y  14  0

C. 2x  y  14  0

D. x  y  7  0

Câu 2. Cho đường trịn (C) có phương trình: x 2  y 2  4x  8y  18  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) đi qua A 1; 3 .
A. x  y  8  0

B. x  y  4  0

C. x  y  4  0

D. x  y  4  0

HDedu - Page 42


PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tìm độ dài bán kính đường trịn 16x 2  16y 2  16x  8y  11  0 .
A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2. Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I  2;0  và R = 2.
A.  x  2    y  2   4 B.  x  2   y 2  4

2

2

C.  x  2   y 2  4

2

D.  x  2   y 2  1

2

2

Câu 3. Viết phương trình đường trịn (C) có đường kính AB với A 1;1 , B  5;3 .
A.  x  3   y  2   5 B.  x  3   y  2   5 C.  x  3   y  2   5 D.  x  3   y  2   5
2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn  Cm  có phương trình x 2  y 2  2mx  2  m  1 y  12  0 .
Với giá trị nào của m thì bán kính đường trịn nhỏ nhất?
A. m = 0

C. m  

B. m = 1

1
2

D. m 

1
2

Câu 5. Trong mp Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : 2x  y  1  0 , d 2 : 2x  y  2  0 . Viết phương trình
đường trịn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d 2 .
2

1
9

A.  x    y 2 
2
20


2

1
9

B.  x    y 2 
2
20


2

2

1
9
1
9


C.  x    y 2 
 0 D.  x    y 2 
4
20
4
20



Câu 6. Cho (C): x 2  y 2  8x  6y  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại O  0;0  thuộc (C).

A. 2x  3y  0

B. 2x  3y  0

C. 4x  3y  0

D. 4x  3y  0

Câu 7. Cho  Cm  : x 2  y 2  2mx  4  m  1 x  m 2  1  0 và d : x  my  1  0 . Tìm m để d đi qua tâm
của đường trịn.
A. m = 1

B. m 

1
 m 1
2

C. m 

1
2

D. m = 4

Câu 8. Cho  C  : x 2  y 2  4x  4y  4  0 và A  6; 2  . Tìm khẳng định đúng.
A. A nằm trong (C).

B. A nằm trên (C).

C. A trùng với tâm (C).

D. AI = 2R

Câu 9. Cho  C1  : x 2  y 2  2x  4y  4  0;  C2  : x 2  y 2  6x  2y  6  0 . Hai đường tròn trên:
A. Tiếp xúc ngoài.

B. Tiếp xúc trong.

C. Đựng nhau.

D. Ngoài nhau.

HDedu - Page 43


2

2

m2 
m3

Câu 10. Cho đường tròn (C):  x 
 y
 1.
m 1  
m 1 

Tìm tập hợp tâm I của (C)

A. Tập hợp là đường thẳng 2x  3y  5 .
B. Tập hợp là đường thẳng 3x  2y  0 .
C. Tập hợp là đường thẳng x  y  1  0 .
D. Tập hợp là đường tròn  C  : x 2  y 2  3x  2y  1  0 .
Câu 11. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  4y  8  0 . Tìm trên trục Oy những điểm mà từ đó kẻ được
hai tiếp tuyến vng góc với nhau đến (C).
A. M  0; 2 

B. M  0; 2 

C. M  0; 3

D. M  0;3

Câu 12. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4x  2y  4  0 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến  tiếp xúc với
đường tròn tại điểm A  1;1 .
A. 3x  2y  5  0

B. 3x  2y  5  0

C. 3x  2y  5  0

D. 3x  2y  5  0

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  6y  6  0 và điểm M  2; 4  . Viết
phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường trịn tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB.
A. d : x  y  3  0

B. d : x  y  3  0

C. d : x  y  6  0

D. d : x  y  6  0

Câu 14. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x  4    y  1  20 và điểm M  3; 1 .
2

2

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB bằng
8.
A. 4x  3y  9  0

B. 4x  3y  9  0

C. 4x  3y  9  0

D. 4x  3y  9  0

HDedu - Page 44