Tài liệu Phương pháp không gian trạng thái ppt

1

Phương pháp không gian trạng thái
1. Mô hình trong không gian trạng thái:
Lý thyuyết điều khiển hiện đại. Khuynh hướng hiện đại trong hệ thống kỹ thuật là hướng
tới sự phức tạp hơn, bởi vì chủ yếu yêu cầu của các nhiệm vụ phức tạp và độ chính xác
tốt. Hệ thống phức tạp có thể có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra và có thể thay đổi theo thời
gian. Bởi vì sự can thiết để đáp ứng yêu cầu gia tăng về chất lượng của hệ thống điều
khiển, sự gia tăng trong độ phức tạp hệ thống, và dễ dàng truy xuất đến máy tính lớn phức
tạp, lý thuyết điều khiển hiện đại,màlà moat tiếp can mới trong phân tích và thiết kế hệ
thống điều khiển phức tạp, đã được phát triển từ năm 1960. Tiếp can này dựa trên khái
niệm trạng thái. Khái niệm trạng thái tự nó không có gìmới vì nó đã tồn tại trong thời gian
dài tronglónh vực động học cổ điển và các lónh vực khác.
Lý thuyết điều khiển hiện đại và lý thuyết điều khiển thông thường (cổ điển). Lý thuyết
điều khiển hiện đại thì đối lập với lý thuyết điều khiển thông thường (cổ điển). Lý thuyết
điều khiển hiện đại có thể ứng dụng trong hệ thống có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra
(multi-input-multi-output system), có thể là hệ tuyến tính hay phi tuyến, bất biến theo thời
gian hay thay đổi theo thời gian. Trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ có thể ứng dụng
được cho hệ thống moat ngõ vàomột ngõ ra bất biến theo thời gian. Lý thuyết điều khiển
hiện đại chủ yếu là tiếp can miền thời gian, trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển là tiếp
can miền tần số phức. Trước khi chúng ta tiến hàn hơn nữa, chúng ta phải định nghóa trạng
thái, biến trạng thái, vectơ trạng thái và không gian trạng thái.
Trạng thái. Trạng thái của moat hệ thống động là tập hợp nhỏ nhất của các biến (được
gọilà biến trạng thái) để mà tri thức của những biến này tại t=t0 cùng với tri thức của ngõ
vào ở t>=t0, hoàn toàn xác định hành vi của hệ thống cho bất kì t>=t0.
Chú ý là khái niệm trạng thái không chỉ giới hạn tới hệ thống vật lí. Nó còn áp dụng được
cho hệ thống sinh học, hệ thống kinh tế, hệ thống xã hội hay cái khác.
Biến trạng thái. Biến trạng thái của hệ thống động là những biến tạo nên tập hợp nhỏ nhất
của các biến mà xác định trạng thái của hệ thống động. Nếu ít nhất n biến x1 , x 2 ,..., x n được
can để mô tả đầy đủ hành vi của hệ thống động (đểmà khi ngõ vào với t>=t0 và trạng thái
đầu tạit=t0 được chỉ ra, thì trạng thái tương lai của hệ thống hoàn toàn được xác định), thế

thì n biến như vậy là tập hợp biến trạng thái.

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


2

Chú ý là biến trạng thái không can được đo lường vật lí hay là đại lượng có thể quan sát
được. Biến trạng thái mà không thể hiện đại lượng vật lí và mà hoặc không đo lường hay
quan sát được thì có thể được chọn như biến trạng thái. Sự chọn tự do biến trạng thái là
moat thuận lợi của phương pháp không gian trạng thái.
Vectơ trạng thái. Nếu n biến trạng thái được can để mô tả hoàn toàn hành vi của của moat
hệ cho trước, thì n biến trạng thái này có thể đượcxem như là n thành phần của vectơ x.
Vectơ như vậy được gọi là vectơ trạng thái. Một vectơ trạng thái là vectơ mà xác định duy
nhất trạng thái hệ thống x(t) cho bất kì t>=t0, vì trạng thái tại t=t0 là được cho trước và ngõ
vài u(t) với t>=t0 được chỉ ra.

D(t)

U(t)

x(t)

x(t )
B(t)

∫ dt

y(t)
C(t)

A(t)

Hình: Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển liên tục, tuyến tính được thể hiện trong không
gian trạng thái.
Không gian trạng thái. Không gian n chiều mà trục toạ độ gồm có trục x1, trục x2,…, xn là
các biến trạng thái, thì được gọi là không gian trạng thái. Bất kì trạng thái có thể được thể
hiện bởi moat điểm trong không gian trạng thái.
1.1.Phương trình trạng thái:

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


3

Giả sử hệ thống có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra gồm n bộ tích phân. Cũng giả sử là có r
ngõ vào u1 (t ), u 2 (t ),..., u r (t ) ,và m ngõ ra y1 (t ), y 2 (t ),..., y m (t ) . Định nghóa n ngõ ra của bộ tích
phân như là biến trạng thái x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t ) . Thế thì hệ thống có thể được mô tả bởi:
x1 (t ) = f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )
x 2 (t ) = f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )
.

(1)

.
.

x n (t ) = f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )

Ngoõ ra y1 (t ), y 2 (t ),..., y m (t ) của hệ thống được cho bởi:

y1 (t ) = g 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )
y 2 (t ) = g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )
.

(2)

.
.

y m (t ) = g m ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )

Nếu chúng ta định nghóa

 x1 (t ) 
 x (t ) 
 2 
 . 
x(t ) = 
,
. 

 . 


 x n (t )



 f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) 
 f ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t ) 

n
1
2
r
 2 1 2


.
f ( x, u , t ) = 

.


.


 f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )



 y1 (t ) 
 y (t ) 
 2 
 . 
y (t ) = 
,
 . 
 . 



 y m (t )



 g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) 
 g ( x , x ,..., x ; u , u ,..., u ; t ) 
n
1
2
r
 2 1 2

.

g ( x, u , t ) = 
,
.

.



 g m ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )



Thì phương trình (1) và (2) trở thành:
Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c

 u1 (t ) 

u (t )
 2 
 . 
u (t ) = 

 . 
 . 


u r (t ) 




4

x (t ) = f ( x , u , t )

(3)

y (t ) = g ( x, u , t )

(4)

Phương trình (3) là phương trình trạng thái và phương trình (4) là phương trình ngõ ra. Nếu
hàm vectơ f và g baogồm thời gian t tường minh thì hệ thống được gọi là hệ thay đổi theo
thời gian.
Nếu phương trình (3) và (4) được tuyến tính hóa quanh trạng tháilàm việc, thì chúng ta có
phương trình trạng thái tuyến tính hóa và phương trình ngõ ra:
x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t )

y (t ) = C (t ) x (t ) + D (t )u (t )

(5)
(6)

Trong đó A(t) được gọilàma trận trạng thái, B(t) là ma trận ngõ vào, C9t) là ma trận ngõ ra,
và D(t) là ma trận chuyển trực tiếp.
Nếu hàm f và g không bao gồm thời gian t tường minh thì hệ thống được gọi là hệ bất biến
theo thời gian (time-invariant system). Phương trình (5) và (6) có thể được đơn giản hóa như
sau:
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )

(7)

y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) (8)

Phương trình (7) là phương trình trạng thái của hệ bất biến theo thời gian. Phương trình (8) là
phương trình ngõ ra của hệ trtên.
Thí dụ : Xét mạch điện gồm 3 phần tử: điện trở R, điện cảm L, và tụ điện C. Điện áp đặt vào mạch
là u1.

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


5

R1

L1

R

CHOKE RF

C1
C

u1

u2

Hình
Phương trình mô tả mạch ở trạng thái động :
U1=uR+uL+uC

Hay u1=i.R + L.

U2 =

di
+ u2
dt

1
i.dt
C∫

Trạng thái của mạch được quyết định bởi điện áp u2 và dòng điện i. Ta gọi u2 và I là các
biến trạng thái. Ta viết lại hệ phương trình nếu đặt:

U2=x1 là biến trạng thái thứ nhất.
I=x2 là biến trạng thái thứ hai.

du 2
dt
di
R
1
1
= − .i − .u 2 + .u1
dt
L
L
L

i = C.

Suy ra :

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


6

 dx1 1
 dt = C .x 2


 dx 2 = − 1 .x − R .x + 1 .u
1

2
1
 dt
L
L
L

Dạng chính tắc trên được viết lại như sau :

1
 dx1
 dt = 0.x1 + C .x2 + 0.u1


 dx2 = − 1 .x − R .x + 1 .u
1
2
1
 dt
L
L
L


.

có dạng X = AX + Bu

1/ C 
 0



 − 1/ L − R / L 

Các ma trận A = 


 0 
B=
1 / L 




 dx1 


 dt 
X =
 dx 2 


 dt 
.

 x1 
X = 
x 
 2
Ngõ ra Y=C.X với C=[1 0]

Trong lý thuyết hệ thống điều khiển, tập hợp các phương trình vi phân thường bậc nhất gọi là
phương trình trạng thái và x1, x2 gọi là biến trạng thái.

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


7

Thí dụ: Cho hệ thống cơ khí vật-lò xo-đệm có phương trình vi phân :

k
u(t)

m

b

y(t)

Hình: Hệ thống cơ khí.

my + by + ky = u

(1)

Hệ này là bậc hai. Điều này có nghóa là hệ gồmhaikhâu tích phân. Chúng ta hãy định nghóa biến
trạng thái x1(t) và x2(t) như sau:

x1 (t ) = y (t )
x 2 (t ) = y (t )

Thế thì chúng ta có:

x1 = x 2
x2 =

1
1
(−ky − by ) + u
m
m

Hay
(2)

x1 = x2
x2 = −

k
b
1
x1 − x 2 + u
m
m
m

(3)

Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c

8

Phương trình ngõ ra:
(4)

y = x1

Ở dạng ma trận –vectơ, phương trình (2),(3) có thể viết lại:

 x1   0
 x  = − k
 2  m


1  x   0 
b  1 +  1 u (4): là phương trình trạng thái.
−   x2   
m    m 

Phương trình ngõ ra:

x 
y = [1 0] 1  (5)
 x2 
Phương trình (4) và (5) có dạng chuan:

x = Ax + Bu
y = Cx + Du
Trong đó

 0
A= k
− m


1 
0
b  , B =  1 , C = [1 0], D = 0
− 
m
m
 

1.2.Mối quan hệ giữa hàm truyền và phương trình trạng thái :
*xét hệ SISO
Chúng ta hãy xem xét hệ thống có hàm truyền được cho bởi :

Y (s)
= G ( s ) (1)
U (s)
Hệthống này cóthể được thể hiện trong không gian trạng thái bởi các phương trình sau :

x = Ax + Bu

(2)

y = Cx + Du

(3)

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


9

Trong đó x là vectơ trạng thái, u là tín hiệu vào, và y là ngõ ra. Biến đổiLaplace của phương trình
(2) và (3) được cho bởi :
(4)

sX ( s ) − x (0) = AX ( s ) + BU ( s )

(5)

Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )

Vì hàm truyền được định nghóa trước là tỉ số của biến đổi Laplace ngõ ra và biến đổiLaplace ngõ vào
với điều kiện đầu zero, chúng ta cho x(0) =0 trong phương trình (4). Khi đó chúng ta có :

sX ( s ) − AX ( s ) = BU ( s )
Hay

( sI − A) X ( s ) = BU ( s )
Bằng cách nhân trước ( sI − A) −1 vào hai vế của phương trình cuối, chúng ta đạt được :

X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s )

(6)

Thay phương trình (6) vào (5), ta coù :

Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]U ( s )

(7)

So saùnh phương trình (7) với (1), chúng ta thấy rằng :

G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D

(8)

Đây là biểu diễn hàm truyền của hệ thống có phương trình trạng thái ở dạng A,B,C,D.
Chú ý là vế phải của phương trình (8) bao gồm ( sI − A) −1 .Vậy G9s) có thể được viết lại:

G ( s) =

Q( s)
sI − A

Trong đó Q(s) là đa thức theo s. Như vậy sI − A là đa thức đặc trưng của G(s). Nói cách khác, trị
riêng của ma trận A là bằng với cực của G(s).
Thí dụ: Cho hệ thống cơ khí vật-lò xo-đệm có phương trình vi phân :

my + by + ky = u
Phương trình trạng thái và phương trình ngõ ra có dạng chuan:
Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


10

x = Ax + Bu

y = Cx + Du
Trong đó

 0
A= k
− m


1 
0
b  , B =  1 , C = [1 0], D = 0
− 
m
m
 

Tìm hàm truyền của hệ từ phương trình trạng thái.
Thay ma trận A, B,C, D vào (8), ta có:

G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D
 s 0  0

= [1 0]
− k
0 s   − m



s
= [1 0] k

m


−1 
b
s+ 
m

−1

1 
b 
− 
m 


−1

0
1+0
m
 

0
1
m
 

Vì

s
k
m


−1 
b
s+ 
m

−1

b


s+
 m 1
1
=

b
k  k
2
−
s
s + s+

m
m m

Chúng ta có:

b


 s + m 1  0 
1
G ( s ) = [1 0]
 1 
b
k  k
2
s m 
s + s+  −
 

m
m m
1
=
2
ms + bs + k
Thí dụ: Cho hệ thống điều khiển kiểm kê ở hình sau

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


11

dx1 (t )

= −2 x 2 (t )
dt
dx 2 (t )
= −2u (t )
dt
trong đó x1(t)= mức kiểm kê, x2(t)=tốc độ bán ra của sản phẩm và u(t)=tốc độ sản xuất. Phương
trình ngõ ra y(t)=x1(t). Đơn vị thời gian là một ngày. Tìmhàm truyền của hệ.
Giải:
Phương trình trạng thái:

X = AX + Bu
y=C.X
trong đó

0 − 2 
0 
A=
; B = − 2; C = [1 0]
0 0 
 
Hàm truyền heä Gp(s)=C.(sI-A)-1.B

1 0 0 − 2  s 2
sI − A = s 
−
=

0 0  0 0  0 s 

 s 2

( sI − A) −1 = 

0 s 

−1

1
1  s − 2  s
adj ( sI − A) 1  s 0
=
= 2
 = 2 0 s  = 
det( sI − A) s − 2 s 
s 
 0


1

C ( sI − A) −1 B = [1 0] s
0

Vaäy : G p ( s ) =

T

− 2
s 2  0  = 1
1   − 2  s
  

s 

− 2  0  4
 =
s 2  − 2 s 2


4
.
s2

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c

− 2
s2 
1 

s 


12

*Ma trận hàm truyền :
Xét hệ có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra. Giả sử rằng có r ngõ vào u1, u2,…,ur và m ngõ ra y1, y2,…,
ym. Định nghóa :

 y1 
y 
 2
 . 

y= ,
 . 
 . 
 
 ym 
 

 u1 
u 
 2
.
u= 
.
.
 
u r 
 

Ma trận hàm truyền G(s) liên quan ngõ ra Y(s) và ngõ vào U(s), hay

Y ( s ) = G ( s ).U ( s )
Trong đó G(s) đượccho bởi :

G ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D
Vì vectơ u có r chiều và ngõ ra y có m chiều nên ma trận hàm truyền có chiều là m x r.
Ma trận quá độ :
Xét hệ có phương trình trạng thái :

dx(t )
= Ax(t ) + Br (t )

dt

y (t ) = Cx(t ) + Dr (t )
trong đó x(t)=nx1 vector trạng thái.
R(t)=vector ngõ vào.
y(t)=vector ngõ ra.

Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]R ( s )
Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


13

[

Ma trận quá độ : Φ (t ) = e At = L−1 ( sI − A) −1
Hay

φ (t ) = e At = I + At +

]

1 2 2 1 3 3
A t + A t + ...
2!
3!

Ma traän Φ(t) được gọi là ma trận quá độ (ma trận chuyển trạng thái) của hệ thống.
Nghiệm của phương trình trạng thái (Phương trình chuyển trạng thái )
Phương trình chuyển trạng thái được định nghóa là nghiệm của phương trình trạng thái thuần nhất

tuyến tính.
Phương trình trạng thái tuyến tính bất biến theo thời gian

dx(t )
= Ax(t ) + Bu (t )
dt
y(t)=Cx(t)+Du(t)
Nghiệm của phương trình trạng thái là:
t

x(t ) = φ (t − t 0 ) x(t 0 ) + ∫ φ (t − τ )[ Bu (τ )]dτ

t ≥ t 0 (*)

t0

Trường hợp t0=0 và nếu x(0)=0 thì ta có:
t

x(t ) = ∫ φ (t − τ )[ Bu (τ )]dτ

t≥0

(**)

0

Và tìm được ngõ ra y(t)=Cx(t)+Du(t). Nếu D=0 thì y(t)=Cx(t).
Thí dụ: Xem xét phương trình trạng thái sau

 dx1 (t ) 
 dt   0
1   x1 (t )  0
 dx (t )  = 
 +  u (t )

 2  − 2 − 3  x 2 (t ) 1 
 dt 
Bài toán là xác định ma trận chuyển trạng thái φ (t ) và vectơ trạng thái x(t) với t≥0 khi ngõ vào
u(t)=1 với t≥0. Hệ số ma trận được xác định là

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


14

1
0
0 
A=
; B = 1 
− 2 − 3
 

(1)

Khi ñoù

1  s − 1 
 s 0  0

sI − A = 
 − − 2 − 3 = 2 s + 3
0 s  
 


(2)

Ma trận nghịch đảo của (sI-A) là

( sI − A) −1 =

 s + 3 1
1


s + 3s + 2  − 2 s 

(3)

2

Ma trận chuyển trạng thái của A được tìm ra bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của (3)

 2e −t − e −2t
φ (t ) = L [( sI − A) ] = 
−t
− 2t
 − 2e + 2e
−1

−1

e − t − e −2 t 

− e − t + 2e − 2 t 

(4)

Phương trình chuyển trạng thái x(t) với t≥0 được tìm bằng cách thay phương trình (4), ma trận B, và
u(t) vào (*), ta đạt được

 2e − t − e −2t
x(t ) = 
−t
− 2t
 − 2e + 2e
t
 2e −( t −τ ) − e − 2( t −τ )
+∫
− ( t −τ )
+ 2e − 2 (t −τ )
0  − 2e

e − t − e −2t 
 x ( 0)
− e − t + 2e − 2 t 
e −(t −τ ) − e − 2(t −τ )  0
   dτ
− e −( t −τ ) + 2e − 2(t −τ )  1

hay

 2 e − t − e −2 t
x(t ) = 
−t
− 2t
 − 2e + 2e

0.5 − e − t + 0.5e −2t 
e − t − e −2 t 
x ( 0) + 


− e − t + 2e − 2 t 
e −t − e − 2 t



t≥0

2.Thể hiện không gian trạng thái của hệ thống động
Hệ thống động gồm có một số hữu hạn cácphần tử có thểmô tả bởi phương trình vi phân thông
thường trong đó thời gian là biến độc lập. Bằng cách sử dụng kí hiệu ma trận-vectơ, một phương
trình vi phân bậc n có thể được biểu diễn bởi phương trình vi phân ma trận vectơ bậc nhất.Nếu n
phần tử cvectơ là tập hợp biến trạng thái, thì phương trình vi phân ma trận-vectơ làmột phương trình

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c

15

trạng thái. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày phương pháp để đạt được thể hiện không gian trạng
thái của hệ thống liên tục thời gian.
2.1.Thể hiện không gian trạng thái của hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc n mà tín hiệu
vào (hàm tác động) không có chứa thành phần đạo hàm:
Xem xét hệ phương trình bậc n sau:

d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
+ a1
+ ... + a n −1
+ a n y (t ) = u (t ) (2-182)
n
n −1
dt
dt
dt
Chuù ý rằng tri thức về y (0),

dy
d n−1 y
(0), n −1 (0) ,cùng với ngõ vào u(t) với t>=0 xác định hoàn toàn
dt
dt

hành vi tương lai của hệ thống. Chúng ta có thể dùng y (t ),
trạng thái.
Chúng ta định nghóa

x1 = y
x2 = y
.
.
.
( n −1)

xn = y
Phương trình (2-182) có thể viết lại như sau:

x1 = x 2
x 2 = x3
.
.
.
x n −1 = x n
x n = − a n x1 − ... − a1 x n + u
Hay

x = Ax + Bu

(2-183)

Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c

dy (t )
d n −1 y (t )
,...,
như là tập hợp n biến

dt
dt n−1


16

Trong đó

 0
 x1 
 0
x 

 2
 .
.

x= ,A= .
.
 .
.

 
 0
 xn 
 
− a
 n

1

0

0
1

...
...

.
.
.

.
.
.

...
...
...

0
− a n −1

0
− a n−2

...
...

0 

0

0
0 
 
.
. 

 
. , B = .
.
. 

 
1 
0

1 
− a1 
 

Ngoõ ra có thể được cho bởi:

 x1 
x 
 2
.
y = [1 0 ... 0] 
.
.

 
 xn 
 
Hay y = C.x

(2-184)

Trong đó C = [1 0 ... 0]
Chú ý là D=0
Phương trình (2-183) là phương trình trạng thái và phương trình (2-184) là phương trình ngõ ra.
Chú ý là thể hiện không gian trạng thái cho hệ hàm truyeàn

Y (s)
1
= n
n −1
U ( s ) s + a1 s + ... + a n −1 s + a n
Cũng được cho bởi phương trình (2-183) và (2-184).
Thí dụ 1: Cho phương trình vi phân mô tả hệ:

y (t ) + 4 y (t ) + y (t ) = 5 r (t )
Tím phương trình trạng thái:
Đặt
Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


17

x1 (t ) = y (t )
x 2 (t ) = x1 (t ) = y (t )

x 2 (t ) = y (t )
Phương trình trên được viết lại:

x1 (t ) = x 2 (t )
x 2 = − x1 − 4 x 2 + 5r (t )
Phương trình trạng thái có dạng: áp dụng công thức (2-84)

 x(t ) = Ax(t ) + Br (t )

y (t ) = Cx (t )

với

x 
x 
x =  1 , x =  1 
 x2 
 x2 
1  0
1 
 0
A=
 =  − 1 − 4,

− a 2 − a1  
 0  0 
B =   =  ,
b0  5
C = [1 0]
Thí dụ 2: Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào-ra mô tả bằng phương trình vi phân sau:

2 c (t ) + 5c (t ) + 6c (t ) + 10c (t ) = r (t )
Tìm phương trình trạng thái.

2.2.Thể hiện không gian trạng thái của hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc n mà
hàm ngõ vào có chứa thành phần đạo hàm.
Xét hệ phương trình vi phân mà bao gồm đạo hàm của tín hiệu vào, như là:

dny
d n −1 y
dy
d nu
d n −1u
du
+ a1 n −1 + ... + a n −1
+ a n y = b0 n + b1 n −1 + ... + bn −1
+ bn u (2-185)
n
dt
dt
dt
dt
dt
dt

Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


18

Bài toán chính là định nghóa biến trạng thái trong trường hợp này name ở thành phần đạo hàm. Biến
trạng thái phải là biến để mà loại bỏ đạo hàm của u trong phương trình trạng thái.
Một cách để đạt được phương trình trạng thái và phương trình ngõ ra là định nghóa n biến
sau như là tập hợp n biến trạng thái.

x1 = y − β 0 u
x 2 = y − β 0 u − β 1u = x1 − β 1u
x 3 = y − β 0 u − β 1u − β 2 u = x 2 − β 2 u
(2-186)

.
.
.
( n −1)

( n −1)

( n − 2)

x n = y − β 0 u − β 1 u − ... − β n − 2 u − β n −1u = x n −1 − β n−1u
Trong đó β 0 , β 1 , β 2 ,..., β n được xác định từ:

β 0 = b0
β1 = b1 − a1 β 0
β 2 = b2 − a1 β 1 − a 2 β 0
β 3 = b3 − a1 β 2 − a 2 β1 − a3 β 0
.

(2-187)

.
.

β n = bn − a1 β n −1 − ... − a n −1 β 1 − a n β 0
Với sự chọn lựa biến trạng thái này sự tồn tại và duy nhất của nghiệm phương trình trạng
thái được bảo đảm. Với sự chọn lựa biến trạng thái hiện tại, chúng ta đạt được:

x1 = x 2 + β 1u
x 2 = x3 + β 2 u
.
.

(2-188)

.
x n −1 = x n + β n −1u
x n = − a n x1 − a n −1 x 2 − ... − a1 x n + β n u
Ở dạng phương trìmh ma trận –vectơ, phương trình (2-188) có thể được viết như sau:

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


19

 x1   0
x   0
 2  
 .   .
 


 . = .
 .   .

 
 x n −1   0
 x  − a
 n   n

1
0

0
1

...
...

.
.
.

.
.
.

...
...
...

0

− a n−1

0
− a n−2

...
...

0   x1   β 1 
0   x2   β 2 
 


 .   . 
.
 


. . .  +  . .u
.  .   . 

 

1   x n −1   β n −1 
− a1   x n   β n 
 



 x1 

x 
 2
.
y = [1 0 ... 0].  + β 0 .u
.
.
 
 xn 
 
Hay

x = A.x + B.u

(2-189)

y = C .x + D.u

(2-190)

Trong đó:

 x1 
 0
x 
 0
 2 

 . 
 .




x =  . , A =  .
 . 
 .



 x n −1 
 0
x 
− a
 n 
 n

1
0

0
1

.
.
.

.
.
.

0

− a n −1

0
− a n−2

0 
0 

. 

. 
. 

... 1 
... − a1 

...
...

Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


20

 β1 
β 
 2 
 . 



B =  .  , C = [1 0 ... 0], D = β 0 = b0
 . 


 β n −1 
β 
 n 
Trong thể hiện không gian trạng thái này, ma trận A và C là giống như ơ phương trình (2-182).
Đạo hàm ở vế phải của phương trình (2-185) chỉ ảnh hưởng ma trận B.
Chú ý là thể hiện không gian trạng thái của hàm truyền

Y ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + ... + bn −1 s + bn
= n
U (s)
s + a1 s n −1 + ... + a n −1 s + a n
Cũng được cho bởi phương trình (2-189) và (2-190).
Thí dụ: Xét hệ sau:

Hình : Hệ khối lượng-lò xo-đệm gắn trên xe.

Phương trình vi phân mô tả hệ:

Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


21

y+

b

k
b
k
y+ y= u+ u
m
m
m
m
(1)

Hàm truyền là:

G (s) =

Y (s)
bs + k
=
2
U ( s ) ms + bs + k

(2)

Trước tiên ta so sánh (1) với dạng chuan:

y + a1 y + a 2 y = b0 u + b1u + b2 u
Và nhận diện ra a1, a2, b0, b1 và b2 nhö sau:

a1 =

b

k
b
k
, a 2 = , b0 = 0, b1 = , b2 =
m
m
m
m

Theo phương trình (2-187) ta coù:

β 0 = b0 = 0
β 1 = b1 − a1 β 0 =

b
m

k b
β 2 = b2 − a1 β 1 − a 2 β 0 = −  
m m

2

Theo phương trình (2-186) ta định nghóa:

x1 = y − β 0 u = y
x 2 = x1 − β 1u = x1 −

b
u

m

Từ phương trình (2-188) ta có :

x1 = x 2 + β 1u = x 2 +

b
u
m

x 2 = − a 2 x1 − a1 x 2 + β 2 u = −

 k  b 2 
k
b
x1 − x 2 +  −   u
m
m
m  m  



Và phương trình ngõ ra:

y = x1
Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


22

Hay
Phương trình trạng thái:

 x1   0
 x  = − k
 2  m


b


1  x  

m
b  1  + 
2 .u
−   x2   k  b  
− 
m
m  m  



Phương trình ngõ ra:

x 
y = [1 0] 1 
 x2 
3.Chuyển đổi mô hình toán học bằng Matlab
Matlab có ích để chuyển mô hình hệ thống từ hàm truyền ra khọng gian trạng thái và ngược lại.

Lệnh tf2ss: chuyển hàm truyền ra phương trình trạng thái.
Cú pháp: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den).
Thí dụ: Cho hàm truyền

Y (s)
s
= 3
. Tìm phương trình trạng thái và phương
2
U ( s ) s + 14 s + 56 s + 160

trình ngõ ra.
Num=[0 0 1 0];
Den=[1 14 56 160];
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A=
-14 -56 -160
1

0

0

0

1

0

B=

1
0
Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


23

0
C=
0

1 0

D=
0

Lệnh ss2tf: chuyển từ không gian trạng thái ra hàm truyền:
Cú pháp : [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
Trong đó iu chỉ ra hệ có nhiều hơn một ngõ vào. Thí dụ,nếu hệ có 3 ngõ vàom (u1, u2, u3) thì iu
sẽ là 1, 2 hay 3, trong đó 1 chỉ u1, 2 chỉ u2 và 3 chỉ u3.
Thí dụ: Xét hệ trên,lệnh :
A=[-14 -56 -160;1 0 0;0 1 0];
B=[1;0;0];
C=[0 1 0];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
Hay [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
Num= 0 0

1 0

Den= 1 14

56 160

Thí dụ: Cho hệ có phương trình trạng thái sau:

1
0   x1   0 
 x1   0
x  =  0
0
1   x 2  +  25 u
 2 
  

 x3  − 5 − 25 − 5  x3  − 120
  
  

 x1 
y = [1 0 0] x 2 
 
 x3 
 
Phương pháp khơng gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c


24

Tìm hàm truyền.
Hàm truyền đạt được dùng Matlab là:

Y ( s)
25s + 5
= 3
U ( s ) s + 5s 2 + 25s + 5
Leänh Matlab:
A=[0 1 0;0 0 1;-5 -25 -5];
B=[0;25;-120];
C=[1 0 0];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
Num=
0

0.0000 25.0000 5.0000

Den=
1.0000 5.0000 25.0000 5.0000
%ket qua sau cung co the dat duoc bang lenh sau day
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
Num=
0

0.0000 25.0000 5.0000

Den=
1.0000 5.0000 25.0000 5.0000

Tham kh o: 1. Katsuhiko Ogata,Modern control engineering, Prentice Hall, 4th edition, 2002.

Phương pháp không gian tr ng thái © Huỳnh Minh Ng c