(THCS) các dạng toán ứng dụng hệ thức vi ét

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ............
TRƯỜNG THCS ............

ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
“Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét”
Thuộc lĩnh vực: Toán

Người thực hiện: ............
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS ............

............, tháng 4 năm 2019


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Phịng Giáo dục và Đào tạo ............
Hội đồng sáng kiến huyện ............
Số
TT

Họ và tên

1 ............

Ngày
tháng
năm
sinh

Nơi cơng
tác

Chức
danh

Trình độ
Tỷ lệ
chun
(%)
mơn
đóng góp
vào việc
tạo ra
sáng
kiến
Trường
Giáo viên Cao đẳng
THCS ..........
Tốn- Thể 100%
..
dục

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Các dạng toán ứng dụng hệ
thức Vi-ét
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến :
Họ và tên: ............ - Giáo viên trường THCS ............
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :
Lĩnh vực Toán lớp 9 cấp THCS
3. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử :

Ngày 10 tháng 4 năm 2018
4. Mô tả bản chất của sáng kiến :
Mơn Tốn ở trường THCS có một vai trị rất quan trọng, một mặt nó phát triển
hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở
bậc THCS, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ
cần thiết để tiếp tục học lên THPT, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào
các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Tốn học.
Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học là quá trình giáo viên
tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác
muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học
2


sinh những kiến thức cơ bản, tìm tịi đủ cách giải bài tốn để phát huy tính tích cực
của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong các năm gần đây, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 đều có các bài tốn
phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa
đa dạng
Đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các
em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết chưa đáp
ứng nội dung các bài tập cần thiết. Vì thế tơi chọn và viết sáng kiến : “Các dạng
tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét'' để nâng cao chất lượng học tập cho các em học
sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai tốt nhất,
góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
PHẦN I: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Trong những năm học qua, kì thi học kì II, thi thử vào lớp 10, thi tuyển sinh
vào lớp 10 THPT đã được Sở Giáo dục đào tạo ............, Phòng giáo dục đào

tạo ............ tổ chức và triển khai thi đến các trường học trong huyện, trong tỉnh,
các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 đều có các bài tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức
Vi-ét khá phổ biến nhằm đánh giá kết quả học tập của các em. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa
đa dạng. thực tế trong chương trình tốn lớp 9 phần Đại số học sinh được học 2 tiết
về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng :
- 1 tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét
để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm
hai số biết tổng và tích của chúng.
- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa
học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Hệ thức Vi-ét và ứng dụng nhưng
khơng có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em
3


nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng
và hướng dẫn học sinh học tốt kiến thức phần này.
2. Thực trạng :
a. Thuận lợi:
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối 9 được 2 năm, bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào
lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện sáng kiến: “Các dạng tốn
ứng dụng hệ thức Vi-ét ”.
b. Khó khăn:
Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình
tốn lớp 9 phần Đại số chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Hầu hết số học sinh của trường là
học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng
cao kiến thức.

Tôi đã tiến hành khảo sát học sinh khối lớp 9 trường THCS ............ trước
khi áp dụng sáng kiến với đề kiểm tra các bài tập sử dụng Hệ thức Vi-ét với đề
toán sau (thời gian làm bài 30 phút):
Bài 1 (5,0 điểm): Tìm hai số u và v trong trường hợp sau:
a) u + v = 32, u.v = 231
b) u + v = -8, u.v = - 105
Bài 2 (5,0 điểm): Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Khơng giải phương
trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A =

1
1
+ ;
x1 x 2

b) B = x12 − x 22

Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2017-2018 cụ thể như sau:
Số HS

Giỏi

Khá

TB

Yếu

33

1

5

17

10

Ghi chú

Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2018-2019 cụ thể như sau:
4


Số HS

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Ghi chú

43
1
6
20

16
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với sáng kiến này tôi mong giáo viên sẽ
giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi.
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng
hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập
A. Kiến thức cơ bản
*.Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) thì:
b

x
+
x
=−
1
2


a

x .x = c
1
2

a


( Định lí Vi-ét)

* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương
trình có một nghiệm là x1 = 1, cịn nghiệm kia là x2 =

c
a

* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 =

−c
a

* Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình
x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S2 - 4P ≥ 0 )
B. Bài tập áp dụng và bài tập phát triển, nâng cao
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

−c
a

Ví dụ:
5

Dùng hệ thức Vi- ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 23x2 - 9x - 32 = 0 (1)
b/ 7x2 - 9x +2 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy: Phương trình (1) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1=
-1 ,cịn nghiệm kia là x2 =

32
23

Ta thấy: Phương trình (2) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1
,còn nghiệm kia là x2 =

2
7

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 7x2 + 500x - 507 = 0
b/ x2 - 49x - 50 = 0
c/ 1975 x2 + 4x -1979 = 0
d/ 31,1x2 - 50,9x +19,8 = 0
2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ
ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm
của phương trình.

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai
nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0 ⇒ p =

1
4
5

5

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x = 2
1
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
6


25+ 25 + q = 0 ⇒ q = −50
−50

−50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x = 5 = −10
1
c/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức
Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
 x1 − x2 = 11
⇔


 x1 + x2 = 7

 x1 = 9

 x2 = − 2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức
Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

 x1 = 2 x2
⇔ 2 x2 2 = 50 ⇔ x2 2 = 52 ⇔

 x1.x2 = 50

 x2 = 5

 x2 = − 5

Với x2 = 5 thì x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
Với x2 = −5 thì x1 = −10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15
II. Lập phương trình bậc hai :
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ: Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
 S = x1 + x2 = 5
 P = x1.x2 = 6

Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:

x2 – Sx + P = 0 ⇔ x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1 = 8 và x2 = - 3
b/ x1 = 36 và x2 = - 104
c/ x1 =

1
1
và x2 =
10 − 72
10 + 6 2

( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ............

năm 2006-2007)
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm
của một phương trình cho trước
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
7


y1 = x2 +

1
1
và y2 = x1 +
x2
x1

Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

S = y1 + y2 = x2 +

1 1
1
1
x+x
3 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
2 2
 x1 x2 


1
1
1
1 9
P = y1. y2 =  x2 + ÷.  x1 + ÷ = x1.x2 + 1 + 1 +
= 2 + 1+ 1+ =
x1  
x2 
x1 x2
2 2

Vậy phương trình cần lập có dạng:
9

2

9
2

y 2 − Sy + P = 0 hay y 2 − y + = 0 ⇔ 2 y 2 − 9 y + 9 = 0
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1 = x1 +

1
1
và y2 = x2 + x
x2
1

5
1
2
2
(Đáp số: y + y − = 0 ⇔ 6 y + 5 y − 3 = 0 )
6
2

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1 = x14 và y2 = x2 4

(Đáp số: y 2 − 727 y + 1 = 0 )

III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
8


a/ S = 3

và P = 2

b/ S = -3

và P = 6

c/ S = 9

và P = 20

Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9

và a2 + b2 = 41

b/ a - b = 5

và a.b = 36

c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì
cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab =
2

2

2

(

81 − a 2 + b 2
2

) = 20

 x1 = 4
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x − 9 x + 20 = 0 ⇔ 
 x2 = 5
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36

 x1 = − 4
2
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x − 5 x − 36 = 0 ⇔ 
 x2 = 9
Do đó:

Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9

thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
2

2

2

2

 a + b = −13
2
⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 
 a + b = 13

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

 x1 = −4
x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔ 
 x2 = −9

Vậy a = - 4 thì b = - 9
9


- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x = 4
x 2 − 13x + 36 = 0 ⇔  1
 x2 = 9

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 a + b = −11
2
2
2
2
2
2
Từ a + b = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11 ⇒ 
 a + b = 11

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
 x = −5
x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔  1
 x2 = −6

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x = 5
x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔  1
 x2 = 6

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu
thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm (S = x 1 + x2 ) và tích hai
nghiệm ( P = x1. x2 ) để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017-2018)
Cho phương trình 2 x 2 + 3x − 1 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.

x x 
P = 2 1 + 2 ÷
 x2 x1 
Khơng giải phương trình háy tính giá trị của biểu thức:
Khi đó giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức P sao cho xuất hiện
dạng tổng và tích hai nghiệm

x1 x2
b
3
+
=− =−
x2 x1
a
2
x1.x2 =

c −1
=
a
2
10


Biến đổi P đồng thời thay vào biểu thức tương ứng để tính tốn:
x
 x 2 + x22
x 
P = 2  1 + 2 ÷= 2.  1
 x2 x1 
 x1 x2


( x1 + x2 ) 2 − 2 x 1.x2
=
2.
÷
x 1.x2


2

 3
 −1 
9
+1

− ÷ − 2 ÷
2
2 


4
P = 2.
= 2.
= −13
1
1
−
−
2
2

Ví dụ 2: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2.. Tính

(

)

2
2
2
2
a/ x1 + x2 = x1 + 2 x1 x2 + x2 − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2

(

2

)

2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) x12 − x1 x2 + x2 2 = ( x1 + x2 )  ( x1 + x2 ) − 3x1x2 


b/
3
= ( x1 + x2 ) − 3x1.x2 ( x1 + x2 )

( ) ( ) (
2

c/ x14 + x2 4 = x12 + x2 2
d/

2

)

2

2

2
= x12 + x2 2 − 2 x12 x22 =  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2



1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
2
2
a/ x1 − x2 = ?

2
2
( HD : x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ... )

b/ x1 − x2 = ?
3

3

3
3
2
2
(HD: x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ... )
2

4
4

c/ x1 − x2 = ?

(

4
4
2
2
( HD: x1 − x2 = x1 + x2

)(x

1

2

)

− x2 2 = ... )

2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
2
2
a/ x1 + x2

1

1

b/ x + x
1
2
11


 S = x1 + x2 = 8
Giải: Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
 P = x1.x2 = 15
2
2
2
2
2
a/ x1 + x2 = ( x1 + 2 x1 x2 + x2 ) − 2 x1x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 8 − 2.15 = 34
2

1

1

x +x

8

1
2
b/ x + x = x x = 15
1
2

1 2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 3x - 8 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
a/ x13 + x23
1

(Đáp án: 99)

1

3
8

b/ x + x
1
2

(Đáp án: − )

2/ Cho phương trình: x2 + kx + 5 = 0 có nghiệm là x1. x2 . Hãy biểu thị các biểu
thức sau theo hệ số k:
a/ x12 + x2 2
1

(Đáp án: k 2 − 10 )

1

k

5

b/ x + x
1
2

(Đáp án: − )

3/ Cho phương trình: x2 - 3x -7 = 0 có nghiệm là x 1. x2 . Khơng giải phương trình,
hãy tính:
a/ x14 + x2 4

(Đáp án: 802)

b/ x1 − x2

(Đáp án:

37 )

4/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 . Không giải phương

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
trình, hãy tính: Q =
5 x1 x23 + 5 x13 x2
(HD: Q =

( )
( )

2

6 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
6 x1 + 10 x1 x2 + 6 x2
17
=
=
=
)
3
3
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
5 x1 x2  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8  4 3 − 2.8 80




2

2

2

6. 4 3 − 2.8

5/ Cho phương trình: x2 + 3x -7 = 0 (1). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
(1). Khơng giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức : F= x12 − 3x2 − 2013
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ............ năm 2012-2013)

12


HD: Vì x1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: x12 + 3x1 − 7 = 0

⇒ x12 = −3x1 + 7 . Khi đó :
F = x12 − 3x2 − 2013
= − 3x1 + 7 − 3x2 − 2013
= − 3( x1 + x2 ) − 2006
= − 3.(− 3) − 2006 = − 1997 )
V. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh ............ năm học 2016-2017)
Cho phương trình : x2 - 2mx+ m2-4=0, m là tham số. Gọi x1, x2 là hai
nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 = 26
Phương trình đã cho có ∆ = (−2m) 2 − 4(m 2 − 4) = 16 . Phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt.
-Áp dụng hệ thức vi ét

b 2m
=
= 2m
a
1

c m2 − 4
x1.x2 = =
= m2 − 4
a
1
x1 + x2 = −

Giáo viên hướng dẫn HS biến đổi biểu thức từ hằng đẳng thức bình phương
của tổng hai nghiệm.

( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x22
⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2

13


Theo bài tốn ta có :
(2m) 2 − 2.( m 2 − 4) = 26
⇔ 4m 2 − 2m 2 + 8 = 26
⇔ 2m 2 = 18
⇔ m2 = 9
⇒ m = 3, m = − 3
Ví dụ 2 :

Cho phương trình : x2 - 3x +(k-1) = 0 (1) với k là tham số
Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện một trong các
điều kiện sau :
a/ 2x1 - 3 x2 =1 ;
b/ x12 - x22 = 6;
c/ x12 + x22 = 3 ;

d/ x1 và x2 là hai số nghịch đảo của nhau (x1x2 = 1)
Giải:
Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì:
∆ ≥ 0 ⇔ 9 − 4(k − 1) ≥ 0 ⇔ −4k + 13 ≥ 0 ⇔ k ≤

13
4

Theo hệ thức vi ét: x1 + x2 = 3 và x1x2 = k - 1
a/ Giải hệ:
 x1 + x2 = 3
 x1 = 2 . Khi đó k-1 = x x =2 nên k = 3 (t/m)
1 2
⇔

2
x
−
3
x
=
1
x
=
1
2
 1
 2

b/ Giải hệ:

2
2
 x1 − x2 = 6
⇔

 x1 + x2 = 3

 x1 − x2 = 2
⇔

x
+
x
=
3
 1 2

 x1 = 2,5
.

x
=
0,5
 2

Khi đó k-1 = x1x2 =1,25 nên k = 2,25 (t/m)
c/ Giải hệ:
2
2
2

2
2
 x1 + x2 = 3
⇔ x1 + x2 = (x1 + x2) – 2x1x2

 x1 + x2 = 3

⇔ 3= 9-2(k-1) ⇔ k=4 (không t/m)

14


Khi đó phương trình có dạng x2 -3x + 3 vơ nghiệm vì ∆ < 0. Khơng tồn tại k
thỏa mãn bài toán.
d/ x1 và x2 là hai số nghịch đảo của nhau ⇔ x1x2 = 1 ⇔ k-1 = x1x2 =1 ⇔ k=2 (t/m)
Khi đó phương trình có dạng x2 -3x + 1 có nghiệm vì ∆ > 0. Vậy k =2
Ví dụ 3: Cho phương trình : x2 - 4x+ 4m-3=0, m là tham số. Gọi x1, x2 là hai
nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 = 14
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
∆ = 42 − 4(4m − 3) ≥ 0
⇔ 16 − 16m + 12 ≥ 0
⇔ − 16m ≥ − 28
7
⇔ m≤
4

Áp dụng hệ thức vi ét

b
−4

=−
=4
a
1
c 4m − 3
x1.x2 = =
= 4m − 3
a
1
x1 + x2 = −

Giáo viên hướng dẫn HS biến đổi biểu thức từ hằng đẳng thức bình phương của
tổng hai nghiệm

( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x22
⇒ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
Theo bài toán ta có

42 − 2.(4m − 3) = 14
⇔ 16 − 8m + 6 = 14
⇔ −8m = −8
⇒ m =1
2
2
Vậy với m=1 phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 + x2 = 14

Ví dụ 4 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : x1 + x2 = x1 x2
15

Giải :
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì :
m ≠ 0
 m ≠ 0
m − 1 ≠ 0
⇔
⇔
2


2
2
∆ ' ≥ 0
 ∆ ' = 9 m − 2m + 1 − 9m + 27 ≥ 0
∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9 ( m − 3) m ≥ 0

(

)

m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
 m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
6(m − 1)


S
=
x
+
x
=
1
2

m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có : 
 P = x .x = 9( m − 3)
1 2

m

Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết)
Nên

6(m − 1) 9( m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7 ( thỏa mãn)
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức : x1 + x2 = x1 x2
Ví dụ 5 :
Cho phương trình : x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để
hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Giải :
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì :

(

)

2
∆ ' = ∆ ' = ( 2m + 1) − 4 m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥
2

7
4

 S = x1 + x2 = 2m + 1
2
 P = x1.x2 = m + 2

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có : 

Vì 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 (giả thiết)
 m = 2(TM )
Nên 3 m + 2 − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 
4
m = ( KTM )
3


(

2

)

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức :
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

16


Bài tập áp dụng :
1/ Cho phương trình : x2 + 2x + k = 0 (1) với k là tham số
Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện một trong các
điều kiện sau : a/ x1 - x2 =14 ;

b/ x1 = 2 x2 ;

c/ x12 + x22 = 10

2/ Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m là tham số).
a/ Giải phương trình khi m = 3
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 16
VI. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm :
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm
của phương trình. Tìm m để: A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

 S = x1 + x2 = − ( 2m − 1)
 P = x1.x2 = − m

Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Theo đề bài ta có:

A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m 2 − 12m + 1 = ( 2m − 3) − 8 ≥ −8
2

2

Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 ⇔ m =

2

3
2

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:

B=

2 x1 x2
x12 + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)

 S = x1 + x2 = m
Giải: Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: 
 P = x1.x2 = m − 1
Theo đề bài ta có: B =

2 ( m − 1) + 3 2m + 1
2 x1 x2
2 x1 x2

=
=
= 2
x12 + x22 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) 2 + 2
m2 + 2
m +2

Giải: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:

B=

(

) = 1 − ( m − 1)

m 2 + 2 − m 2 − 2m + 1
m2 + 2

2

m2 + 2

17


Vì ( m − 1)

2

( m − 1)

≥ 0⇒

2

m2 + 2

≥ 0⇒ B≤1

Vậy max B = 1 ⇔ m = 1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:

1 2
1
1 2
1
m + 2m + 2 − m 2 − 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 ) ( m + 2 ) 2
(
1
2
2
B= 2
=2
=
−
2
2
m +2
m +2
2 ( m2 + 2 ) 2

Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

2

1
1
≥ 0 ⇒ B ≥ − . Vậy min B = − ⇔ m = − 2
2
2 m +2
2

(

2

)

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức
A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x 1 và
x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B = x12 + x2 2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
PHẦN II: KẾT LUẬN
Trên đây là nội dung sáng kiến ''Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét'' mà

tơi đã hệ thống trong q trình dạy cho học sinh lớp 9 ôn thi vào THPT. Bằng cách
hệ thống thành nhiều dạng:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình
Dạng 5: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Dạng 6: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ
thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm kiến thức, đồng thời rèn
18


luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn thi
các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế các em
khi gặp ''Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét'' trong các kỳ thi vào THPT khơng
cịn khó khăn nữa và các em biết vận dụng linh hoạt khi tiếp tục học lên chương
trình THPT.
5. Những thông tin cần được bảo mật : Không
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Hiện nay với việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực của học sinh
thì việc dạy học theo chủ đề là rất cần thiết.
* Với giáo viên để áp dụng được sáng kiến cần nghiên cứu kỹ tài liệu và
phương pháp giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét.
*Với học sinh cần có thái độ nghiêm túc trong học tập, hiểu và nghiên cứu
kỹ về hệ thức Vi-ét.
Để nhân rộng được sáng kiến này bản thân tơi đã tích cực sưu tầm, tập hợp
các bài toán theo từng dạng để bổ sung vào nội dung sáng kiến. Với việc làm đó tơi
tin tưởng sáng kiến kinh nghiệm “Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét” ln

khẳng định được tính khả thi và giá trị áp dụng của nó cho học sinh lớp 9 của
trường THCS ............ nói riêng, cho học sinh lớp 9 các trường THCS trong huyện
nói chung khi ôn tập để tham gia các kỳ thi đều làm tốt các dạng bài tập này.
7. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả :
Sau khi áp dụng sáng kiến “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” tôi đã
tiến hành khảo sát học sinh khối lớp 9 trường THCS ............ với đề kiểm tra các
bài tập sử dụng Hệ thức Vi-ét vẫn với đề tốn đó khi khảo sát ở phần thực trạng
(thời gian làm bài 30 phút):
Bài 1 (5,0 điểm): Tìm hai số u và v trong trường hợp sau:
a) u + v = 32, u.v = 23
b) u + v = -8, u.v = - 105
Bài 2 (5,0 điểm): Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Khơng giải phương
trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
19


a) A =

1
1
+ ;
x1 x 2

b) B = x12 − x 22
Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2017-2018 cụ thể như sau:
Số HS

Giỏi

Khá

TB

Yếu

33

4

10

19

0

Ghi chú

Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2018-2019 cụ thể như sau:
Số HS

Giỏi

Khá

TB

Yếu

43

5

12

26

0

Ghi chú

Với sự so sánh đối chiếu kết quả trước khi chưa áp dụng sáng kiến và sau
khi áp dụng sáng kiến “Các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” tôi khẳng định
sáng kiến đã giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiến thức về hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng
nhưng đầy đủ và hấp dẫn, lôi cuốn các đối tượng học sinh tham gia học tập. Học
sinh tích cực, chủ động và có nhiều em biểu hiện sự sáng tạo, say mê, kết quả làm
bài cao. Đặc biệt trong kì thi tuyển sinh vào THPT năm học 2018-2019 học sinh
của tơi đều làm tốt bài tập dạng này.
Qua q trình đúc rút kinh nghiệm và việc áp dụng các biện pháp tại nhà
trường, trên cơ sở phân tích, đối chiếu, so sánh, một lần nữa tôi khẳng định Sáng
kiến “Các dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét” có khả năng áp dụng rộng rãi cho
mỗi giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường THCS. Sáng kiến đã chỉ ra được việc
cần thiết phải phân dạng các bài toán về hệ thức Vi-ét và việc ứng dụng của nó
đồng thời chỉ rõ các biện pháp cụ thể để thực hiện từng nội dung. Giúp giáo viên
có tài liệu để giảng dạy chủ đề Hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ, hệ thống, khoa học.
Từ đó nâng cao chất lượng cho học sinh không chỉ giới hạn trong việc giải quyết
các bài tốn về Hệ thức Vi-ét mà cịn củng cố rèn luyện được nhiều kiến thức tốn
học khác. Góp phần nâng cao kết quả trong kì thi vào THPT và tạo tiền đề vững
chắc cho việc học toán sau này của các em.

8. Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu :
20


Số
TT
1

2

Họ và Ngày tháng Nơi cơng Chức
tên

năm sinh

............ 28/9/1980

tác
Trường

Trình độ Nội dung cơng việc hỗ

danh chun mơn
Giáo

Cao đẳng:

THCS ....... viên

Tốn-Thể

.....

dục

Vũ Thị 5/11/1979

Trường

Giáo

Bích Đào

THCS Việt viên

Đại học:

trợ
Áp dụng sáng kiến

Áp dụng sáng kiến

Tốn

Ấn
Tơi xin cam đoan mọi thơng tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và
hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
............, ngày 08 tháng 4 năm 2019
Người nộp đơn

............
/>KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
...........................................................................................
XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU
21


.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................

.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
22


.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
............................

23