(THCS) một số dạng toán ứng dụng hệ thức vi ét

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ..................
TRƯỜNG THCS ..................

ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
“MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ET”
Thuộc lĩnh vực: Dạy và học bộ môn Tốn

Người

thực hiện: ..................

Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THCS ..................

.................., tháng 4 năm 2019

1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính

gửi:

Hội

đồng

sáng

kiến

huyện ..................
Tỷ lệ
Ngày
Số
TT

Họ và tên

tháng
năm
sinh

(%)
Nơi cơng tác

Chức

(hoặc nơi

Trình độ

đóng

chun

góp vào

mơn

việc tạo

danh

thường trú)

ra sáng
kiến

1

..................

Trường THCS
..................

Giáo viên

Đại học
Toán

100%

Là tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Một số dạng tốn ứng dụng
hệ thức Vi-ét”
1.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Họ và tên: ..................- Giáo viên trường THCS ...................
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :

Áp dụng sáng kiến trong lĩnh vực dạy học bộ mơn Tốn lớp 9 chương
trình THCS phần kiến thức về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
3. Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 26/3/2018
4. Mô tả bản chất của sáng kiến :
Sáng kiến "Một số dạng toán ứng dụng hệ thức viet-ét".
A. Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu.
Là một giáo viên dạy Tốn tại trường THCS .................., một trường
khơng mấy xa trung tâm nhưng kết quả học tập trung bình của các em còn chưa
2


cao nếu khơng muốn nói là cịn yếu. Từ khi được giao nhiệm vụ dạy Tốn đã
nhiều lần tơi tự hỏi tại sao lực học của các em còn yếu?. Có nhiều lí do nhưng có
lẽ phương pháp học của trò và phương pháp dạy của thầy còn nhiều vấn đề phải
bàn. Chính vì vậy khi được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào
THPT, với thời lượng cho phép, tôi bắt đầu thực hiện ôn tập cho học sinh
theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự
lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học
sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của
các em sẽ khơng có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em khơng cao,
bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT của các tỉnh nói chung và của
tỉnh .................. nói riêng đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét. Chính vì
thế, tơi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo
để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét. Sau đó đã tiến hành phân dạng và với
từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó. Từ cách nghĩ và cách làm đó tơi đã nảy
sinh ra việc viết sáng kiến “Một sơ dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ”.
1. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các bài tốn được sắp xếp theo dạng tốn mà việc giải
nó sử dụng hệ thức Vi-ét.
2. Đối tượng áp dụng sáng kiến: là học sinh lớp 9 các trường THCS

trong toàn huyện.
3. Nội dung sáng kiến:
Sáng kiến: “ Một số dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ” đã ơn lại lí thuyết về
hệ thức Vi-ét và khai thác sâu các ứng dụng của nó vào giải tốn Đại số 9.
Các dạng toán được phân theo dạng, mỗi dạng toán đưa ra đều có phương pháp
giải tổng quát và kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, chọn lọc trong Sách giáo
khoa (SGK), Sách bài tập (SBT), đề thi tuyển sinh mơn Tốn 9 cùng lời giải chi
tiết. Bên cạnh đó với mỗi dạng có nhận xét đánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn
mạnh những khó khăn, những sai sót mà học sinh hay mắc phải khi giải tốn và
cách khắc phục. Sau đó đưa ra các bài tập áp dụng cụ thể giúp cho việc cụ thể
hóa các bài tập liên quan.
3


Sáng kiến “Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét ” có khả năng áp dụng
rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà. Giúp giáo viên có tài
liệu và phương pháp giảng dạy, ôn tập các kiến thức về hệ thức Vi-ét một cách
đầy đủ khoa học. Giúp học sinh nâng cao kết quả trong việc giải toán về hệ thức
Vi-ét và củng cố được nhiều kiến thức tốn học khác. Từ đó góp phần nâng cao
kết quả thi vào THPTcho học sinh và tạo tiền đề vững chắc cho các em trong
quá trình học tập sau này.
4. Tính mới của sáng kiến: Có nhiều sáng kiến cũng nghiên cứu vấn đề
này xong chưa đưa ra đầy đủ các dạng tốn mạng tính hệ thống đầy đủ cho học
sinh. Các dạng toán mới khi thi vào THPT cũng ít người đưa vào lồng trong các
dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét nên khi ôn thi các em cho là các dạng toán lạ
và khó. Có thể nói sáng kiến đã khắc phục những hạn chế về việc phân loại thiếu
dạng toán và cung cấp cho các em cái nhìn tổng thể về các dạng bài tập ứng
dụng hệ thức.
5. Các phương pháp dạy học sử dụng:
Áp dụng sáng kiến cũng cần kết hợp các phương pháp dạy học tích cực. Bên

cạnh các phương pháp truyền thống như thuyết trình, Nêu và giải quyết vấn đề
Cần kết hợp các phương pháp mới hhư dạy học dự án; Phương pháp khăn trải
bàn; Hẹn hò .....Tăng cường hoạt động nhóm, trao đổi, thảo luận. Làm tăng hứng
thú và khả năng ghi nhớ cho các em nhằm thu được hiệu quả cao nhất.
6. Khả năng áp dụng. Áp dụng cho Giáo viên và học sinh lớp 9 trong
q trình giảng dạy và học tập trong tồn huyện trong q trình ơn tập, bồi
dưỡng và thi THPT.
B. MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Khảo sát điều tra ban đầu.
Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng khơng nhiều chỉ
có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện
nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà khơng đầu tư cho
việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập
thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ
4


bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề
thi vào THPT.
Tháng 3 năm 2018 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ơn tập các bài
tốn về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm tra
khảo sát học sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 45 phút):
Câu1: (2.0 điểm). Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
a)

2
b) (m − 1) x − (2m + 3) x + m + 4 = 0 với m ≠ 1 .

x 2 − 2019 x − 2020 = 0

Câu 2: (2.0 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình
(m là tham số ):
a) -x2 + 5x + 1 = 0

b) 3x2 - 2x + m = 0

Câu 3: (3,0đ): Tìm hai số biết tổng của chúng là -23 và tích là 120
2
Câu 4. (3,0 điểm): Cho phương trình x − 4 x + 4m − 3 = 0 . Tính giá trị của m,

2
2
x
+
x
= 14 .
1
2
biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện

Với ba bài toán đưa ra, mặc dù chỉ kiểm tra kiến thức cơ bản nhất thì tơi
thấy số lượng các em giải trọn vẹn cả bốn bài chiếm rất ít, một số em chỉ giải
được bài toán 1,2, phần a, phần lớn các em trình bày lời giải cịn mắc nhiều sai
lầm, lúng tings khi hệ số có sự tham gia bởi các tham số. Bài 3 các em khơng
biết làm vì thấy hai số không là u,v hoặc là nhầm dấu, khơng kết luận được đủ
số nghiệm cần tìm ; Bài 4 đa số khơng tìm ra hướng làm.
* Ngun nhân:
- Không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
- Không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với
các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập.

* Kết quả khảo sát : Sau khi chấm theo thang điểm 10 kết quả cụ thể như
sau:
Sĩ

học
2017-2018

số
120

2018-2019

92

5

Năm

Giỏi
SL %
6
5
4

4.

Khá
SL
%
12

10
7

7.6

TB
SL
68

Yếu
% SL %
56.7 28 24.3

55

59.7

20

21.7

Kém
SL
%
6
5
6

6.5

3
Qua kết quả ta thấy số tỉ lệ khá giỏi chưa cao, tỉ lệ dưới trung bình
cịn nhiều. Từ thực trạng như vậy, tôi đã dành nhiều th ời gian đ ể th ử
nghiệm áp dụng sáng kiến của mình trong năm 2017-2018; 2018-2019 và
đã khẳng định được kết quả của sáng kiến .
3. Các biện pháp
3.1. Ơn tập lí thuyết.
Về mặt lí thuyết hệ thức Vi-ét các em đã được học nên ch ỉ mang tính ch ất
nhắc lại.
* Định lí Vi-ét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) thì
b

x
+
x
=
−
1
2


a

x x = c
1 2

a


Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình
bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình
c
có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = a .
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình
c
có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - a .
*Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
u + v = S

u.v = P
- Nếu hai số u, v thỏa mãn 
thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P ≥ 0)
6


3.2. Phân loại và đưa ra một số dạng toán và phương pháp gi ải.
Dạng Tốn 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách nh ẩm
nghiệm.
* Phương pháp giải:
Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 ⇔ a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm còn lại là
x2 =

c
a

b) Nếu cho x = − 1 thì ta có (*) ⇔ a.( − 1)2 + b( − 1) + c = 0 ⇔ a − b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
x2 = −

x1 = −1 và nghiệm còn lại là

c
a

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
2
a) 2 x + 5 x + 3 = 0 (1)

2
b) 3 x + 8 x − 11 = 0

(2)

Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a − b + c = 2-5+3=0 nên có nghiệm:
x1 = −1 và

x2 =

−3
2

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 3+8+(-11)=0 nên có nghi ệm:

x1 = 1

và

x2 =

−11
3

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình
sau:
Bài tập 1: Khoanh trịn vào trước câu trả lời đúng:
2
a) Nghiệm của phương trình: 15 x − 26 x + 11 = 0 là

A.

x1 = 1, x2 =

13
;
15

B.

x1 = 1, x2 =

26

;
15

2
b) Nghiệm của phương trình 17 x + 26 x + 9 = 0

7

C.

x1 = 1, x2 =

11
;
15


A.

x1 = −1, x2 =

26
;
17

B.

x1 = 1, x2 =

9

;
17

C.

x1 = −1, x2 =

−9
;
17

Bài tập 2: Giải phương trình
a) 35x2 - 37x + 2 = 0
Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó ph ương
c 2
=
trình có một nghiệm là x1 = 1, x2 = a 35 .
2
b) 2018 x − x − 2019 = 0

Ta có a - b+c=2018 − (−1) + (−2019) = 0
⇒ x1 = −1, x2 =

2019
;
2018

2
c) (5 2 − 1) x + (3 2 + 7) x − 8 2 − 6 = 0 (Hệ số là các biểu thức phức tạp)

Giải: Ta có
a+b+c= (5 2 − 1) + (3 2 + 7) + (−8 2 − 6) = 5 2 − 1 + 3 2 + 7 − 8 2 − 6 = 0
⇒ x1 = 1, x2 =

−8 2 − 6 −86 − 38 2
=
49
5 2 −1

Bài tập 3: Tìm nghiệm của phương trình sau. ( Hệ số chứa các tham số.)
2
a) (m − 1) x − (2 m + 3) x + m + 4 = 0 với m ≠ 1

Ta có a + b+ c = (m − 1) − (2m + 3) + m + 4 = m − 1 − 2m − 3 + m + 4 = 0
⇒ x1 = 1, x2 =

m+4
m −1

Dạng tốn 2: Khơng giải phương trình, tính tổng và tích hai
nghiệm của phương trình bậc hai.
* Phương pháp:
Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem
phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay khơng (T ức là ki ểm tra

a ≠ 0, ∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 ) có thỏa mãn khơng).
8


Tính tổng và tích hai nghiệm theo Vi-et

b

x
+
x
=
−
1
2


a

x x = c
1 2

a


* Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 2x2 - 17x + 1 = 0

b) 25x2 + 10x + 1 = 0

Giải
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 ≠ 0, b = -17, c = 1)
Ta có: ∆ = ( −17 ) − 4.2.1 = 281 > 0 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2

b 17
c 1
x1 + x 2 = − = , x1.x 2 = =
a 2
a 2.
x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 ≠ 0, b = 2b’ = 10, c = 1)
2
Ta có: ∆ ' = 5 − 25.1 = 0 ⇒ Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức

b
10
2
c 1
x1 + x 2 = − = − = − , x1.x 2 = =
a
25
5
a 25 .
Vi-ét, ta có:
Bài tập áp dụng
(Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để ph ương trình có nghi ệm, r ồi
tính tổng và tích các nghiệm theo m:
b) x2 + 2 (

a) x2 - 2x + m = 0

m − 1) x + m2 = 0

Giải

a)

x2 - 2x + m = 0 (a = 1 ≠ 0, b = 2b’ = - 2, c = m).
∆ ' = ( −1) − 1.m = 1 − m
2

Ta

có:

.

Để

phương

trình

có

nghiệm

⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 . Vậy với m ≤ 1 , phương trình có hai nghiệm
b
c
x1 + x 2 = − = 2, x1.x 2 = = m
a
a
x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
.

9


b)

x2 + 2 (

m − 1)

m − 1)
x + m2 = 0 (a = 1 ≠ 0, b = 2b’ = (
, c = m).

∆ ' =  − ( m − 1)  − 1.m 2 = m2 − 2m + 1 − m 2 = 1 − 2m
2

Ta có:

Để phương trình có nghiệm

.

⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 1 − 2m ≥ 0 ⇔ m ≤

1
1
m≤
2 . Vậy với
2,

phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b −2 ( m − 1)
c m2
x1 + x 2 = − =
= 2 ( 1 − m ) , x1.x 2 = =
= m2
a
1
a
1
.

Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn l ại khi ph ương
trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.
* Phương pháp:
Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) cho biết một nghiệm x1 = m.
Tìm nghiệm cịn lại x2 ?
Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1 + x 2 =

−

b
a . Thay x1 = m vào hệ thức,

b
b
c
x 2 = − − x1 = − − m
x1.x 2 =
a

a
a . Thay x1 = m
ta có
hoặc ta dùng hệ thức

c
c
x 2 =  ÷: x1 =  ÷: m
a
a
vào hệ thức, ta có
.
Ví dụ (Bài 39/SBT-Trang 44):
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy
tìm nghiệm kia.
b) Chứng tỏ rằng phương trình -4x 2 - 3x + 115 = 0 có một nghiệm là 5. Tìm
nghiệm kia.
Giải
a) chứng tỏ x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0.
Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0.
Tìm nghiệm còn lại
10


Cách 1:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x 2 =

−

b −2
−2
−2
2 7
x2 =
− x1 =
− ( −3 ) = 3 − =
a = 3 ⇒
3
3
3 3 .

Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1.x 2 =

c −21
7
=
= −7 ⇒ x 2 = ( −7 ) : x1 = ( −7 ) : ( −3) =
a
3
3

b) x1 = 5 là một nghiệm của phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0.
Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x1.x 2 =

c −115

−23
 −115 
 −115 
=
⇒ x2 = 
÷: x1 = 
÷: 5 =
a
4
4
 4 
 4 

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm
x2 của phương trình, rồi tìm giá trị m trong mỗi tr ường h ợp sau:
a) x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7;
1
b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0, biết nghiệm x1 = 3 .
Giải
a) x2 + mx - 35 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x1.x 2 =

c −35
=
= −35
a
1

. Mà x1 = 7 nên suy ra:

x 2 = −35 : x1 = −35 : 7 = −5 .

Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x 2 =

−

b −m
= − m ⇔ 7 + ( −5 ) = − m ⇔ m = −2
a = 1

Vậy x2 = −5 , m = −2 .
b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
11

x1.x 2 =

c 5
1
=
a 3 . Mà x1 = 3 nên suy ra:


5
5 1
x 2 = : x1 = : = 5.
3

3 3
.
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x 2 =

−

2 ( m − 3)
b 2 ( m − 3)
1
⇔ +5=
⇔ 16 = 2m − 6 ⇔ m = 11.
3
3
3
a =

Vậy x2 = 5, m = 11.
Nhận xét: Trong ví dụ 2 này ta sử dụng hệ thức Vi-ét

x2 trước, sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét x1 + x 2 =

−

x1.x 2 =

c
a trước để tìm

b

a (vì lúc này đã biết x1 và

x2) để suy ra giá trị của tham số.
Bài tập 2 :
2
a) Phương trình x − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm

thứ hai.
2
b) Phương trình x + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm

thứ hai.
2
c) Cho phương trình : x − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q

và hai nghiệm của phương trình.
2
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình: x − qx + 50 = 0 , biết phương

trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay

x1 = 2

và phương trình ban đầu ta được :

4−4p +5 = 0⇒ p =

Từ

b) Thay
12

x1 x2 = 5

x1 = 5

1
4

suy ra

x2 =

5 5
=
x1 2

và phương trình ban đầu ta được


25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50

x1 x2 = −50

Từ

suy ra

x2 =

−50 −50
=
= −10
x1
5

c) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và

theo

Vi-eT

ta

có

x1 + x2 = 7

,

x1 − x2 = 11

ta

giải

hệ

sau:

 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

x
+
x
=
7
 1 2
 x2 = −2
Suy ra

q = x1 x2 = −18

d) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử

x1 = 2 x2 và theo

VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 . Suy ra
 x2 = −5
2 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ 
 x2 = 5

Với x2 = −5 thì x1 = −10
Với

x2 = 5 th ì x1 = 10

Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
* Phương pháp:
u + v = S

u.v = P
Nếu hai số u, v thỏa mãn 
thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P ≥ 0) thì ta
 u = x1

v = x2
được: 
hoặc

u = x 2

 v = x1 .

* Ví dụ:
Ví dụ 1 (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u và v trong tr ường h ợp sau:
a) u + v = 32, u.v = 231;
13


b) u + v = -8, u.v = - 105;
Giải
a) Ta có u + v = 32, u.v = 231.
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0.

∆ = ( −32 ) − 4.231 = 100 > 0 ⇒ ∆ = 100 = 10
2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

32 + 10
32 − 10
= 21; x 2 =
= 11
2
2
.

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
b) Ta có u + v = -8, u.v = - 105.
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 8x - 105 = 0.

∆ = 82 − 4.( −105 ) = 484 > 0 ⇒ ∆ = 22

.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

−8 + 22
−8 − 22
= 7; x 2 =

= −15
2
2
.

Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7.
c) Ta có u + v = 2, u.v = 9
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 2x + 9 = 0.
∆ = ( −2 ) − 4.9 = −32 < 0 ⇒
2

Phương trình vơ nghiệm.

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên.
Bài tập áp dụng: (Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh .................. năm
2010-2011)
Bài tập 1: Tìm u,v biết rằng u-v=2010, u.v=2011.
Giải:
Đặt v'=-v
Ta có u +v'=2010, u.v'=-2011
Hai số u, v' là nghiệm của phương trình.
x2 – Sx + P = 0 (1)
Do đó u và v' là nghiệm của phương trình: x2 - 2010x - 2011 = 0.
Ta có a − b + c = 1 − (−2010) + (−2011) = 0
14


Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = −1; x 2 =

−(−2011)
= 2011
1
.

Vậy u = -1, v' = 2011, v=-2011
hoặc u = 2011, v' = -1, v=1
Bài tập 2: (Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình ): Tìm các
cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và di ện tích c ủa hình ch ữ
nhật bằng 54m2.
Giải
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều ki ện u, v > 0.
Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có ph ương trình:
2.(u + v ) = 30 ⇔ u + v = 15 (1)
Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2, nên ta có phương trình:
u.v = 54 (2)
 u + v = 15

u.v = 54
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
. Do đó u, v là nghiệm của
∆ = ( −15 ) − 4.54 = 9 > 0
2

phương trình bậc hai: x - 15x + 54 = 0. Ta có
2

⇒ phương trình có nghiệm x1 = 6; x 2 = 9 .

Vậy hình chữ nhật có hai cạnh là 6m và 9m.
Bài tập 3. Giải các hệ phương trình sau:
 x − y = 10

xy = 24
a) 

 x 2 + y 2 = 12

b)  xy = −4

Giải

 x − y = 10  x + ( − y ) = 10
⇔

xy = 24

 x.( − y ) = −24 .
a)
Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t 2 - 10t - 24 = 0.
∆ = ( −10 ) − 4.( −24 ) = 196 > 0 ⇒ ∆ = 14
2

Ta có

phân biệt: t1 = 12; t2 = -2.
15

. Phương trình có hai nghiệm

Suy ra x = 12, - y = -2 ⇒ x = 12, y = 2
hoặc x = -2, - y = 12 ⇒ x = - 2, y = -12.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12).

 x + y = 2
2
2
 x 2 + y 2 = 12 ( x + y ) − 2xy = 12 ( x + y ) = 4  
⇔
⇔
⇔   x + y = −2

xy
=
−
4

 xy = −4
 xy = −4
 xy = −4

b)

•

x + y = 2

xy = −4 ⇒

Với x + y = 2, ta có hệ: 
x, y là nghiệm của phương trình:

t2 – 2t - 4 = 0 ⇒ t1 = 1 + 5, t 2 = 1 − 5 .
⇒ x = 1 + 5, y = 1 − 5 hoặc x = 1 − 5, y = 1 + 5 .

•

 x + y = −2

xy = −4 ⇒
Với x + y = - 2, có hệ: 
x, y là nghiệm của phương trình:

t2 + 2t - 4 = 0 ⇒ t 3 = −1 + 5, t 4 = −1 − 5 .
⇒ x = −1 + 5, y = −1 − 5 hoặc x = −1 − 5, y = −1 + 5 .
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

(1+

5; 1 − 5

) ; (1−

5; 1 + 5

) ; ( −1 +

5; − 1 − 5

);

Dạng toán 5 : Dựa vào tổng và tích xét dấu nghiệm c ủa phương
trình bậc hai.
*Phương pháp: Đánh giá dấu hai nghiệm của phương trình d ựa vào
dấu của tổng hai nghiệm và dựa vào dấu của tích hai nghiệm.
*Ví dụ:
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của phương trình:
a) x − 5 x + 6 = 0
2

Vì phương trình có

x1 + x2 = 5

và

x1.x2 = 6

Đánh giá: tích hai nghiệm là số dương nên hai nghiệm cùng d ấu. Kết h ợp
với điều kiện Tổng hai nghiệm là số dương nên hai nghiệm là hai số 2 và 3
16


Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và 3
2
b) x + 3 x − 10 = 0

x .x = −10
Phương trình có : x1 + x2 = 3 ; 1 2

Đánh giá: Tích hai nghiệm âm lên sẽ có hai nghiệm trái dấu.
kết hợp tổng hai nghiệm là số âm lên giá trị tuyệt đối của nghiệm âm l ớn
hơn nghiệm dương.
 x1 + x2 = 3 = −2 + 5

 x1.x2 = −10 = (−2).5

Vậy hai nghiệm của phương trình là -2 và 5
Ví dụ 2 (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44):
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình:
a) x2 - 7x + 12 = 0

b) x2 + 6x + 8 = 0

Giải
a) x2 - 7x + 12 = 0.
∆ = ( −7 ) − 4.1.12 = 1 > 0
2

Ta thấy

thỏa mãn

. Do đó phương trình có hai nghiệm x 1 và x2

 x1 + x 2 = 7
x + x 2 = 3 + 4
⇔ 1

 x1.x 2 = 12 = 3.4

 x1.x 2 = 12 = 3.4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = 4.
b) x2 + 6x + 8 = 0
2
Ta thấy ∆ ' = 3 − 1.8 = 1 > 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa

 x1 + x 2 = ( −2 ) + ( −4 )
 x1 + x 2 = −6
⇔


x1.x 2 = 8 = ( −2 ) .( −4 )
x1.x 2 = 8 = ( −2 ) . ( −4 )




mãn
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4
Dạng tốn 6: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
mà không giải phương trình.
17


* Phương pháp:
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c =
0 ( a ≠ 0 ) là biểu thức có giá trị khơng thay đổi khi ta hốn vị (đổi chỗ) x 1 và
x2.
Ta thực hiện theo các bước:

2
Bước 1: Xét biệt thức ∆ = b − 4ac > 0 thì phương trình có hai nghiệm

phân biệt x1, x2 (hoặc ∆ ' > 0 ).
Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào
biểu thức.
Chú ý: Một số phép biến đổi

(1). x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2
2

(2). x13 + x 32 = ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 ( x1 + x 2 )
3

(3). x14 + x 42 = ( x12 ) + ( x 22 ) = ( x12 + x 22 ) − 2 ( x1x 2 )
2

(4).

2

2

2

1
1 x1 + x 2
+
=
x1 x 2

x 1x 2

1
1 x12 + x 22
(5). 2 + 2 =
x 1 x 2 ( x 1x 2 ) 2

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Khơng giải phương trình, hãy
tính giá trị các biểu thức:
a) A = x + x ;
2
1

2
2

1
1
+
b) B = x1 x 2 ;

2
2
c) C = x1 − x 2

d) D =

x1 − x 2

Giải

Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có ∆ ' = ( −3) − 1.8 = 9 − 8 = 1 > 0 ⇒ phương trình
2

có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có:
18

S = x1 + x 2 = 6

 P = x 1x 2 = 8


2
2
2
x
+
x
−
2x
x
=
S
− 2P = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
x
+
x
(
)
1
2

1
2
1
2
a) A =
=
2

Vậy A = 20

1 1 x1 + x 2 S 6 3
3
+
=
= = =
x1x 2
P 8 4 . Vậy B = 4
b) B = x1 x 2
c) C =

x12 − x 22 = ( x1 + x 2 ) ( x1 − x 2 ) = S.( x1 − x 2 ) = 6. ( x1 − x 2 )

.

Mà ta có:

( x1 − x 2 )

2

= x12 + x 22 − 2x1x 2 = ( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 = S2 − 4P = 62 − 4.8 = 4
2

⇒ x1 − x 2 = ±2
Vậy C = ±12.
2
d) D = x1 − x 2 = S − 4P = 4 = 2 .

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của phương
trình là x1 và x2. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu th ức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2

b) x13 + x23

Giải
Phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0 có ∆ = ( −7 ) − 4.2.4 = 17 > 0 ⇒ phương trình có
2

7
S = x1 + x 2 = ,P = x1x 2 = 2
2
hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét:
7
a) x1 + x2 = S = 2 ; x1.x2 = P = 2.

b)

x + x = ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 ( x1 + x 2 )
3

1

3
2

3

3

7
175
7
= S − 3SP =  ÷ − 3. .2 =
2
8 .
2
3

Bài tập 2: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh .................. 2017-2018 )
2
Cho phương trình : 2 x + 3 x − 1 = 0 . Gọi hai nghiệm của phương trình

là x1 và x2. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu th ức sau:
x x 
P = 2 1 + 2 ÷
 x2 x1 
19


Giải:

Xét phương trình có a, c trái dấu nên phương trình ln có hai nghi ệm.
Theo Vi-et ta có

x1 + x 2 =

−3
−1
, x 1x 2 =
2
2

 x1 x2 
 x12
x2 2 
x12 + x22
P = 2 + ÷= 2
+
÷ = 2.
x1 x2
 x2 x1 
 x1 x2 x1 x2 
2

−1
 −3 
−2
2

÷
( x + x2 ) − 2 x1 x2

2
2
P = 2. 1
= 2.  
= −26
−1
x1 x2
2

Bài tập 3 : (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh .................. 2015-2016)
2
Cho phương trình: 2 x + 3 x − 26 = 0 . Gọi hai nghiệm của phương trình

là x1 và x2. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu th ức sau:
C = x1 ( x2 + 1) + x2 ( x1 + 1)

Giải
Xét phương trình có a, c trái dấu nên phương trình ln có hai nghi ệm.
Theo Vi-et ta có

x1 + x 2 =

−3
−26
, x 1x 2 =
2
2

C = x1 ( x2 + 1) + x2 ( x1 + 1) = x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2
C = 2 x1 x2 + ( x1 + x2 )

 −3  −26
C = 2. ÷+
= −16
2
 2 
Dạng tốn 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương
trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.
* Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số ( giả sử tham số là m) để phương trình
có nghiệm x1, x2 (tức là cho ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 ).

20


Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được:

 x1 + x 2 = S

 x1 x 2 = P

(I).

Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.
Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.
* Ví dụ:
Ví dụ 1. (Bài 62/SGK-Trang 64):
Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ th ức Vi-ét, hãy tính

tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Giải
2
a) Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ ( m − 1) + 7m ≥ 0 (đúng với mọi
2

m).
Vậy với mọi giá trị của m phương trình ln có nghiệm.
b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình.

2( 1 − m)
x
+
x
=
S
=
2
 1
7
(I)

2
−
m
x x = P =
1 2
7
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
.

2
2
Theo bài, ta có hệ thức: x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 (2). Thay (I) vào (2), ta
2

 2( 1 − m) 
 −m 2  18m 2 − 8m + 4
x +x =
÷=
 − 2.
7
7 
49



có:
.
2

2
1

2
2

Bài tập vận dụng
Bài tập 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh .................. năm 20182019)
2
Cho phương trình x − 4 x + 4m − 3 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị của m để

2
2
phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 14

21


Giải:
Để phương trình có nghiệm
∆ ' = b '2 − ac = (−2) 2 − (4m − 3) = 4 − 4m + 3 = 7 − 4m
⇔ 7 − 4m > 0
7
⇔m<
4
Theo vi ét ta có
b −(−4)
c 4m − 3
=− =
=4
=
= 4m − 3
a
1
a
1
a) x1 + x2
; x1.x2 =
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
x12 + x2 2 = 14
⇔ (x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x2 = 14

⇔ 42 − 2(4m − 3) = 14
⇔ 16 − 8m + 6 − 14 = 0
⇔ −8m + 8 = 0
⇔ m =1
Bài tập 2: (Bài 44/SBT-Trang 44):
Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − x 2 = 4 .
Giải
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
∆ ' ≥ 0 ⇔ ( −3) − m = 9 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 9.
2

(1)
 x1 + x 2 = 6

x x = m (2)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2

Theo bài: x1 − x 2 = 4 (3).
Giải hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 = 10 ⇔ x1 = 5 ⇒ x 2 = 6 − x1 = 6 − 5 = 1.
Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m ⇔ m = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = 5 thì x1 − x 2 = 4 .
Bài tập 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x).
22


a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá tr ị nh ỏ
2
2

nhất của y = x1 + x 2

Giải
2
a) Ta có ∆ ' = ( m − 1) − ( 2m − 4 ) = m − 2m + 1 − 2m + 4 = ( m − 2 ) + 1 > 0 với
2

2

mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
 x1 + x 2 = 2(m − 1) = 2m − 2 (1)

x x = 2m − 4
(2)
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2
2
2
x
+
x
1
2
Theo bài: y =
= ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 (3)
2

Thay (1) và (2) vào (3), ta có:
2
y = ( 2m − 2 ) − 2 ( 2m − 4 ) = 4m − 12m + 12 = ( 2m − 3 ) + 3 .
2

Vì

( 2m − 3)

2

≥0

2

với mọi m nên suy ra y =

⇔ 2m − 3 = 0 ⇔ m =

( 2m − 3)

2

+3≥3

. Dấu “=” xảy ra

3
3
m=
2 . Vậy ymin = 3 ⇔
2

Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm

để chọn giá trị m thì cần chú ý trong trường hợp bài tốn cịn có điều kiện
ràng buộc khác (như ví dụ 3) ta cũng cần đối chiếu giá trị của m để loại bỏ
giá trị khơng thích hợp.
Dạng tốn 8: Xét dấu các nghiệm.
* Phương pháp:
Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x 1, x2 của phương
trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) dựa trên kết quả:
-Phương trình có hai nghiệm trái dấu

x1 < 0 < x 2 ⇔ P =

c
< 0.
a

∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )

-Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0
.
23


-Phương trình có hai nghiệm dương ⇔

-Phương trình có hai nghiệm âm ⇔

∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )

P > 0
S > 0



∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )

P > 0
S < 0


.

.

* Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để
phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu

⇔P=

c
=1− m < 0 ⇔ m <1
a

Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 < x1 < x 2
m 2 + 3m > 0
∆ ' > 0



⇔ P > 0 ⇔ 1 − m > 0
⇔ 0 < m < 1.
S > 0
2 m + 1 > 0
)

 (

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm d ương phân bi ệt.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 6x + m = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
Giải
Để phương trình có hai nghiệm âm x1 ≤ x 2 < 0
Thì điều kiện tương đương là;

24


a ≠ 0
∆ ' ≥ 0

⇔
P > 0
S < 0

m ≠ 0

2

m ≠ 0
9 − m ≥ 0 

−3 ≤ m ≤ 3
⇔ m > 0
⇔
⇔ −3 ≤ m < 0.
m
1 > 0
6
m < 0
 <0
m

Vậy với −3 ≤ m < 0 thì phương trình có hai nghiệm âm.
Dạng tốn 9: Lập một phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn
biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.
* Phương pháp:
Bước 1: Tìm tổng S và tích P của hai nghiệm ph ương trình b ậc hai mu ốn
lập.
Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X 2 – SX + P = 0.
* Ví dụ:
Ví dụ 1: (Bài 42/SBT-Trang 44) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
hai số 4 và 1 − 2 .
Giải
a) Ta có S = x1 + x2 = 4 + 1 − 2 = 5 − 2 , P = x1x2 = 4

(1− 2 ) .

Vậy hai số 4 và 1 − 2 là nghiệm của phương trình cần lập

x2 – ( 5 − 2 )x + 4

( 1 − 2 ) = 0.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có nghiệm là x 1 và x2. Hãy lập
phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi tr ường h ợp sau:
a) -x1 và -x2

1
1
b) x1 và x 2

Giải
2
Phương trình x2 + px – 5 = 0 có ∆ = p + 5 > 0 . Do đó phương trình có hai

nghiệm phân biệt.
25