on thi vao lop 10 chuyen de mot so dang toan ve PTBH- he thuc vi-et

T iết 35-44 MT S DNG TON V PHNG TRèNH BC HAI
V H THC VIẫT.
nh ngha phng trỡnh bc hai: Phng trỡnh bc hai l phng trỡnh cú dng
2
ax + bx + c = 0

trong ú x l n ; a, b, c l nhng h s cho trc v

a 0
.
Dng 1: Gii cỏc phng trỡnh bc hai dng khuyt:
( )
2
2
Nếu c = 0: Phơng trình có dạng: ax bx 0 đợc gọi là phơng trình bậc hai khuyết c.
Phơng pháp giải: Đặt nhân tử chung đa về phơng trình tích.
x 0
ax bx 0 x ax + b 0 .
b
x
a
Nếu b = 0: Phơng trình
+ =
=


+ = =
=


2

2 2
có dạng: ax c 0 đợc gọi là phơng trình bậc hai khuyết b.
c
Phơng pháp giải: ax c 0 x .
a
c c
Nếu a và c trái dấu thì - 0: Phơng trình có 2 nghiệm đối nhau x = - .
a a
c
Nếu a và c cùng dấu thì - 0 : Phơn
a
+ =
+ = =
>
< g trình vô nghiệm.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh
a)
2
2x 3x 0 =
b)
2
4x 3 0 =
c)
2
x 2 0+ =
d)
2 2
4x 6x 9x 15x+ =
e)
2 2

8x 3 9x 5
2
5 4

+ =
Gii: a)
2
3
2x 3x 0 x(2x 3) 0 x 0 hoặc x =
2
= = =
b)
2
3
4x 3 0 x
2
= =
c)
2
x 2 0+ =
phng trỡnh vụ nghim
d)
2 2 2
21
4x 6x 9x 15x 5x 21x 0 x(5x 21) 0 x 0 hoặc x =
5
+ = = = =
e)
2 2
2 2 2

8x 3 9x 5
2 32x 12 45x 25 40 77x 77 x 1
5 4

+ = + = = =
Bi tp v nh: Gii cỏc phng trỡnh
a)
2
x 3x 0 =
b)
2
4x 42 0 =
c)
2
5x 2 0+ =
d)
2 2
12x 5x 9x 7x = +
e)
2 2
3x 3 74 2x
0
8 4

+ =
Dng 2: Gii phng trỡnh bc hai bng cụng thc nghim.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh:
CễNG THC NGHIM CA PHNG
TRèNH BC HAI
CễNG THC NGHIM THU GN CA

PHNG TRèNH BC HAI
i vi phng trỡnh:
2
ax bx c 0 (a 0)+ + =
.
Lp
2
b 4ac =
i vi phng trỡnh:
2
ax bx c 0 (a 0)+ + =
cú b =
2b.
Lp
2
' b' ac =

( )
4 ' =
Nu
0 >
thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn
bit:
1 2
-b + -b -
x ; x
2a 2a

= =
Nu

' 0 >
thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:
1 2
-b'+ ' -b'- '
x ; x
a a

= =
Nu
0 =
thỡ phng trỡnh cú nghim kộp:
1 2
-b
x = x =
2a
Nu
' 0 =
thỡ phng trỡnh cú nghim kộp:
1 2
-b'
x = x =
a
Nu
0 <
thỡ phng trỡnh vụ nghim. Nu
' 0 <
thỡ phng trỡnh vụ nghim.
a)
2
2x x 3 0+ =

; b)
2
x 11x 30 0 + =
; c)
2
1
x x 1 0
4
+ + =
; d)
2
3x 2x 1 0+ + =
Hng dn:
( )
2
2 2
a) 2x x 3 0 a 2;b 1;c 3
b 4ac 1 4.2.( 3) 1 24 25 0 5
+ = = = =
= = = + = > =
Vy phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:
1 2
-b + 1 5 -b - 1 5 3
x 1 ; x
2a 4 2a 4 2
+
= = = = = =
( )
2
2 1

b) x 11x 30 0 a 1;b 11;c 30
b 4ac ( 11) 4.1.(30) 121 120 1 0 1
+ = = = =
= = = = > =
Vy phng trỡnh cú hai nghim phõn bit:
1 2
-b + 11 1 -b- 11 1
x 6 ; x 5
2a 2 2a 2
+
= = = = = =
c)
2
1
x x 1 0
4
+ + =

2 2
1 2
1 b 1
b 4ac 1 4 .1 0. Vậy phơng trình có nghiệm kép x x 2
2
4 2a
4


= = = = = = =
ữ

d)
2
3x x 5 0 + =
(a = -3 ; b = 1 ; c = -5)
2 2
b 4ac (1) 4.( 3).( 5) 1 60 59 0. Vậy phơng trình vô nghiệm = = = = <
Bi 2: Gii phng trỡnh:
a)
2
2x 6x 1 0 + =
; b)
2
3x 4x 4 0+ =
;
2
c)x 2 3x 6 0+ =
; d)
2
4x 10x 9 0 + =

Hng dn:
( )
2
a) 2x 6x 1 0 a 2;b' 3;c 1 + = = = =
2 2
' b' ac ( 3) 2.1 9 2 7 = = = =
'
=
7

Vy phng trỡnh cú hai nghim:
1 2
-b'+ ' 3 7 -b'- ' 3 7
x ; x
a 2 a 2
+
= = = =
b)
1 2
2
x ; x 2
3
= =
; c)
1 2
x 3 3 ; x 3 3= =
; d)
' 0 <

phng trỡnh vụ nghim.
Bi tp v nh:
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh
a)
2
x 2x 3 0 =
; b)
2
x 11x 60 0 =
; c)
2

x 14x 24 0+ + =
; d)
2
x 10x 21 0 + =
e)
2
3x 7x 8 0 + =
; g)
2
5x 6 5x 9 0+ + =
; h)
2
10 5
5x x 0
7 49
+ =
Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh:
a) (3x 1)(x 2) 20 + =
; b)
(x 4)(4x 3) 3 0 + =
; c)
2 2 2
(x 3) (x 4) (x 5) 17x 24 + + = +
d)
2
x 2x x 5
5 3 6
+
=
; e)

x(x 7) 11x x 4
1
3 10 3

=
; g)
2 2
(x 3) (3x 1) x(2x 3)
1
5 5 2
+
+ =

Dng 3: Mt s phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai.
1. Phng trỡnh trựng phng:
Phng trỡnh cú dng
( )
4 2
ax bx c 0 1 , trong đó a, b, c là các số thực cho trớc + + =
và a 0 đợc gọi
là phơng trình trùng phơng.
Phng phỏp gii: t
( )
2
t x điều kiện t 0=
Khi ú phng trỡnh (1) tr thnh:
2
at bt c 0.+ + =
Gii phng trỡnh bc 2:
2

at bt c 0.+ + =

Chn cỏc nghim t tho món iu kin
t 0
, cỏc nghim t < 0 loi. Vi t =
2
x 0 x t =
.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh trựng phng sau:
4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
a) x 5x 4 0 b) x 13x 36 0
c) 4x 5x 9 0 d) 5x 7x 2 0 e) 5x 2x 3 0
+ = + =
+ = + + = + =
Hng dn:
( )
( ) ( )
2
2
2
2
a) Đặt t = x ĐK: t 0
Phơng trình trở thành t 5t 4 0.
Ta có a + b + c = 0 suy ra phơng trình có 2 nghiệm t = 1 nhận ; t = 4 nhận .
Với t = 1 x 1 x 1.
Với t = 4 x 4 x 2.
Vậy phơng trình có 4 nghiệm: x

+ =

= =
= =
= 1; x 2=
( )
( ) ( )
2 4 2 2
4
b)Đặt t = x điều kiện: t 0 . Khi đó phơng trình x 13x 36 0 trở thành t 13t 36 0.
Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm t = 4 nhận ;t 9 nhận
Từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình x = 2; x = 3.
c) 4x 5x
+ = + =
=

+
( ) ( )
2 4 2
9 0 P.trình có nghiệm x = 1 d) 5x 7x 2 0 phơng trình vô nghiệm = + + =
2. Phng trỡnh cha n mu:
Phng phỏp gii: Thc hin theo 4 bc:
Bc 1: Tỡm iu kin xỏc nh ca phng trỡnh.
Bc 2: Qui ng mu thc hai v ca phng trỡnh ri kh mu.
Bc 3: Gii phng trỡnh tỡm c bc 2.
Bc 4: Kt lun (Trong nhng giỏ tr x tỡm c bc 3, giỏ tr x tho món iu kin xỏc nh
ca phng trỡnh l nghim ca phng trỡnh, giỏ tr x khụng tho món iu kin xỏc nh ca
phng trỡnh khụng phi l nghim ca phng trỡnh v b loi).
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
( ) ( )
2
2

2
2 2 3
x 2 6 2x x x 8
a) 3 b)
x 5 2 x x 1 x 1 x 4
x 70x 300 0
1 1 1 30 13 7 18x
c) d) (x 5x 36 0;x 9, x 4)
x x 50 60 x 1 x x 1 x 1
x 100; x 30
+ +
+ = =
+ +

=
+
+ = = = = =
ữ
+ + +
= =

Hng dn:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

2 2
2
x 2 6
a) 3 1
x 5 2 x
ĐKXĐ: x 2;x 5.
x 2 2 x 3 x 5 2 x 6 x 5
Phơng trình 1
x 5 2 x x 5 2 x
x 2 2 x 3 x 5 2 x 6 x 5 4 x 3x 21x 30 6x 30 0
1
4x 15x 4 0. Giải phơng trình ta đợc x = 4 thoả mãn ĐKXĐ , x thoả mãn ĐKXĐ
4
Vậ
+
+ =


+ +
=

+ + = + + =
= =
( ) ( )
1 2
2
2
1
y phơng trình có hai nghiệm x 4; x .
4

ĐKXĐ: x 1; x 4. Quy đồng, khử mẫu ta đợc pt: x - 7x - 8 = 0.
2x x x 8
b)
x 1 x 1 x 4
Nghịêm của phơng trình là: x = 8
= =


+
=
ữ
+ +

2
ĐKXĐ: x 0, x -50. Quy đồng, khử mẫu ta đợc pt: x 70x 300 0
1 1 1
c)
x x 50 60
Nghiệm của phơng trình là: x 100; x 30

=
+ =
ữ
+
= =

2
2 2 3
ĐKXĐ: x 1. Quy đồng, khử mẫu ta đợc pt: x 5x 36 0.
30 13 7 18x

d)
x 1 x x 1 x 1
Nghiệm của pt là: x 9, x 4

=
+
=
ữ
+ +
= =

3. Phng trỡnh tớch, phng trỡnh a c v phng trỡnh tớch:
Phng phỏp chung: S dng cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t phõn tớch v trỏi
ca phng trỡnh thnh tớch (nu v trỏi cha dng tớch), cũn v phi bng khụng. T ú tỡm nghim
ca phng trỡnh ban u.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
( )
( )
( ) ( )
2 3 2
2 2
3 2 2 2
a) x 1 x 3x 4 0 b) x 4x 3x 0
c) x 3x 2x 6 0 d) x 2x 5 x x 5 .
= + =
+ = + = +
Hng dn:
( )
( )
( )

2
2
3 2 2
2
a) x 1 x 3x 4 0
TH1: x 1 0 x 1.
b
TH2 : x 3x 4 0. Ta có a - b + c = 0. Do đó phơng trình có hai nghiệm x = -1; x = - 4.
a
Vậy phơng trình có 3 nghiệm x = 1, x = -1, x = 4.
b) x 4x 3x 0 x x 4x 3 0
TH1: x 0
TH2 : x 4
=
= =
= =
+ = + =
=

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2 3 2 2 2
2 2
2 2
x 3 0. Ta có a + b + c = 0. Do đó phơng trình có hai nghiệm x = 1, x = 3.
Vậy phơng trình có 3 nghiệm: x = 0, x = 1, x = 3.
c) x 3x 2x 6 0 x 3x 2x 6 0 x x 3 2 x 3 0 x 3 x 2 0.
d) x 2x 5 x x 5 . Cách 1:

+ =
+ = + + = + + = + =
+ = +
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
Dùng hằng đẳng thức a b a b a b
Ta đợc phơng trình 3x - 10 2x x 0 3x 10 x 2x 1 0
Cách 2: Dùng tính chất A B A B hoặc A = -B.
= +
+ = + =
= =
4. Mt s phng phỏp khỏc gii phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai:
Phng phỏp t n ph: Ta thng chn biu thc thớch hp t n ph. Khi ú ta a phng
trỡnh v dng quen thuc ri gii.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
a) 3 x x 2 x x 1 0 ; b) x 4x 2 x 4x 4 0.
x x 1
c) x x 5 x 7 0 ; d) 10. 3
x 1 x
ho
+ + = + + =

+
= + =
+


ữ

2 2
đặt t = x + x đặt t = x - 4x + 2
ĐK: x 0, đặt t = x
x x + 1
ĐK: x 0,x -1, đặt t = ặc t =
x + 1 x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
e) x x 1 x 2 x 3 8 x x 3 x 1 x 2 8 x 3x x 3x 2 8 Đặt t =x 3x
Tổng quát: x+a x b x c x d m với a + b = c + d , ta nhóm nh sau:
x+a x b x c x d m, sau đó đặt ẩn phụ nh bài tập trên.

+ + + = + + + = + + + = +


+ + + =
ữ
ữ

+ + + =

( ) ( )
( ) ( )
( )
4 4
4 4
4 2
3 + 5
f) x 3 x 5 16. Đặt t = x + x 4.
2
Phơng trình trở thành t - 1 t 1 16 khai triển các hằng đẳng thức, rút gọn ta đợc t 6t 7 0.
+ + + = = +
+ + = + =
( ) ( )
4 4
Tổng quát: Phơng trình x + a x b m.
a + b
Ta thờng đặt ẩn phụ t = x + hoặc t = x + a hoặc t = x + b. Từ đó rút gọn đa về phơng trình
2
trùng phơng hoặc phơng trình tích.
+ + =
Dng 4: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh bc hai cú nghim tho món iu kin cho
trc.
Kin thc c bn:
1.
( )
Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt hoặc ' 0 >
;

( )
Phơng trình bậc hai có nghiệm kép hoặc ' 0 =
;

( )
Phơng trình bậc hai vô nghiệm hoặc ' 0 <
.
( )
( )
2. Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu a.c < 0.
hoặc ' 0
Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu
P > 0
hoặc ' 0
Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dơng P > 0 ;
S > 0

( )
hoặc ' 0
Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm P > 0
S < 0







2
1 2
1 2 1 2
3. Định lí Viét: Nếu x và x là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax bx c 0 thì tổng và
b c
tích hai nghiệm là: S = x x ; P x .x .
a a
- Khi cho một nghiệm của phơng trình bậc hai, ta có th
ứng dụng:
+ + =
+ = = =
2
1 2
2
ể tính đợc nghiệm còn lại từ hệ thức Viét.
c
- Nhẩm nghiệm: Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 có hai nghiệm: x 1;x .

a
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình bậc hai ax + bx + c =
= =
1 2
c
0 có hai nghiệm: x 1;x .
a
= =
( )
2
4. Định lí Viét đảo tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng .
u + v = S
Nếu hai số u và v có tổng và tích lần lợt là thì hai số u và u là hai nghiệm của phơng trình
u.v = P
bậc hai: x Sx P 0. Điều



+ =
( )
2
kiện để tồn tại hai số u và v là: S 4P .
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Tìm phơng trình bậc hai nhận hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình đó.
ứng dụng:

Bi 1: Cho phng trỡnh bc hai n s x:
2 2
x 2x m 4 0 =
(m l tham s)

a) Chng t rng phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr m.
b) Gi
1 2
x ;x
l hai nghim ca phng trỡnh ó cho. Tỡm m :
2 2
1 2
x x 20+ =
c) Gii phng trỡnh khi
m 2=
Hng dn:
a) Ta cú:
2 2
' 1 m 4 m 5 0 = + + = + >
Vi mi m. Vy phng trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit vi
mi giỏ tr m.
b) p dng h thc Vi-ột ta cú:
2
1 2 1 2
S x x 2;P x .x m 4= + = = =
m
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 20 (x x ) 2x x 20 4 2m 8 20 2m 8 m 4 m 2+ = + = + + = = = =
c) m = -2, ta gii phng trỡnh
2
x 2x 8 0 =
Bi 2: Cho phng trỡnh
2 2
x 2(m 1)x m 4m 5 0 + + + =

(m l tham s)
a) nh m d phng trỡnh cú nghim.
b) Gi
1 2
x ;x
l hai nghim ca phng trỡnh. Tớnh
2 2
1 2
x x+
theo m.
c) Tỡm m sao cho
2 2
1 2
x x 12+ =
Hng dn:
a) Ta cú
2 2
' (m 1) m 4m 5 6m 4 = + + =
. Phng trỡnh cú nghim khi
2
' 0 m .
3

b) p dng h thc Vi-ột ta cú:
2
1 2 1 2
S x x 2(m 1);P x .x m 4m 5= + = + = = +
c)
2 2 2
1 2 1 2 1 2

2 2 2 2
1 2
x x 12 (x x ) 2x x 12
4(m 1) 2m 8m 10 12 2m 16 6 12 m 8m 9 0 m 1 ; m 9
+ = + =
+ + = + = + = = =
Bài 3: Cho phương trình:
2
x 4x m 1 0 (1)− + + =
(m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 6, khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Gọi
1 2
x ;x
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để:
2 2
1 2
x x 26+ =
d) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ;x
thoả mãn:
1 2
x 3x 0− =
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Hướng dẫn:
1
2 2 1
a) Thay x 6 vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc: 36 - 24 + m +1 =0 m = - 13.

b
Khi ®ã theo hÖ thøc ViÐt nghiÖm x cña ph¬ng tr×nh: x x 4 6 2.
a
= ⇔
= − − = − = −
b) Kq: m < 3
c) Kq: m = -6
d) Ta có
1 2 2 1
1 2 1 2 2
x x 4 4x 4 x 1
x 3x 0 x 3x x 3
+ = = =
  
⇔ ⇔
  
− = = =
  
Ta có: 1.3 = m + 1 (vì
1 2
x .x m 1= +
) m 2⇔ =
. Vậy m = 2 thì
1 2
x 3x 0− =
.
e) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
a.c 0 m 1 0 m 1.⇔ < ⇔ + < ⇔ < −
Bài 4: Cho phương trình
2

x (m 5)x m 6 0− + − + =
(1) (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm
x 2= −
. Tìm nghiệm còn lại của p.trình.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ;x
thoả mãn
2 2
1 2
x x 13+ =
.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương? Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng
âm.
Bài 5: Cho phương trình:
2
x 2(m 1)x m 3 0− − + − =
(m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
Hướng dẫn:
a)
2 2 2
3 7
' (m 1) m 3 m 3m 4 (m ) 0
2 4
∆ = − − + = − + = − + >

Với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viét ta có:
1 2 1 2
x x 2(m 1) ; x .x m 3+ = − = −
phương tình có hai nghiệm đối nhau khi:
1 2
x x 2(m 1) 0 m 1+ = − = ⇔ =
.
c) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
( )
0 ®óng
P 0 m 3 0 m 3.
P 0

∆ ≥

⇔ ⇔ > ⇔ − > ⇔ >

>


Bài 6: Cho phương trình
2
x 2(m 1)x m 3 0− − + − =
(m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

( )
1 2
1 2
1 1
vµ víi x vµ x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ë c©u a .
x x
Hướng dẫn:
a) Khi m = 2, ta có phương trình:
2
x 2x 1 0.− − =
Giải phương trình ta được
1 2
x 1 2 ; x 1 2= + = −
b) Ta có:
2 2 2
3 7 7
' (m 1) m 3 m 3m 4 (m ) 0
2 4 4
∆ = − − + = − + = − + ≥ >
với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Áp dụng hệ thức Viét ta có:
1 2 1 2
S x x 2m 2 ; P x .x m 3 S 2P 4= + = − = = − + ⇒ + =
Vậy hệ thức các nghiệm không phụ thuộc vào m là:
1 2 1 2
x x 2x x 4+ + =
.
d)
2

1 2 1 2
1 1 1 1
Ta có 2; . 1. Do đó phơng trình cần lập là: x 2x 1 0.
x x x x
+ = = + =
Bi 7: Cho phng trỡnh:
2 2
x 2(m 4)x m 8 0 (m là tham số) + + =
a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim
1 2
x ,x .
b) Tỡm m
1 2 1 2
x x 3x x+
cú giỏ tr ln nht.
Hng dn:
a) Phng trỡnh cú hai nghim
1 2
x ,x

2 2
' 0 (m 4) (m 8) 8m 24 0 m 3 + +
b) Vi
m 3
, p dng nh lớ Viột ta cú:
2
1 2 1 2
x x 2(m 4) ; x .x m 8+ = + =
Khi ú:
2 2 2 2

1 2 1 2
1 97 1 97 97
x x 3x x 2(m 4) 3.(m 8) 3m 2m 32 3 (m ) 3(m )
3 9 3 3 3

+ = + = + + = = +


Du bng xỏy ra khi
1 1
m 0 m
3 3
= =
(tho món iu kin).
Vy
1
m
3
=
thỡ biu thc
1 2 1 2
x x 3x x+
t giỏ tr ln nht.
Bi 8: Cho phng trỡnh:
2
x 2(m 1)x 3 2m 0 + =
a) Chng t phng trỡnh luụn cú hai nghim
1 2
x , x
vi mi giỏ tr ca m.

b) Tỡm m sao cho
2 2
1 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất.+
Hng dn:
a)
2 2
' m 4m 4 (m 2) 0 = + =
vi mi m. Vy phng trỡnh luụn cú hai nghim vi mi giỏ tr m.
b)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x 4m 12m 10 (2m 3) 1 1+ = + = + = +
. Du bng xy ra khi
3
m
2
=
Vy
3
m
2
=
thỡ
2 2
1 2
x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1+
Bi 9: Cho phng trỡnh:
2 2
x 6mx m 3m 5 0 + =

a) Chng t rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit
1 2
x ;x
vi mi m.
b) Tỡm m sao cho
2 2
1 2 1 2
x x 7(x x )+ = +
Hng dn:
a)
2
3 47
' (m ) 0
2 4
= + >
b)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
x x 7(x x ) (x x ) 2x x 7(x x ) 6 2( m 3m 5) 7.6
m 3m 2 0 m 1haym 2
+ = + + = + + =
+ = = =
Võy. M = 1 hay m = 2 thỡ
2 2
1 2 1 2
x x 7(x x )+ = +
Bi 10: Vi giỏ tr no ca m
a) Phng trỡnh
2

3x 5x m 0 + =
cú cỏc nghim
1 2
x ,x
tho món h thc:
1 2
6x x 0+ =
b) Phng trỡnh
2
x 6x m 0 + =
cú cỏc nghim
1 2
x ,x
tho món h thc:
1 2
3x 2x 20+ =
Hng dn:
a) Gii h phng trỡnh
1 2 1
1 2 2
5 1
x x x
3 3
6x x 0 x 2


+ = =

+ = =

ta cú
1 2
2 m
x x m 2
3 3
= = =
b) gii tng t cõu a)
Bi 11: Cho phng trỡnh
+ =
2
x 2mx 2m 1 0
a) Chng t rng phng trỡnh luụn cú hai nghim
1 2
x ;x
vi mi m.
b) Tớnh giỏ tr biu thc
2 2
2 2 1 2
A 2(x x ) 5x x= +
theo m. Tỡm m sao cho A = 27.
c) Tỡm m sao cho phng trỡnh cú nghim ny bng hai ln nghim kia.
Hng dn:
a)
2
' (m 1) 0 =
b)
2 2 2
2 2 1 2

A 2(x x ) 5x x 8m 18m 9= + − = − +
;
2
3
A 27 8m 18m 9 27 m 3;m
4
= ⇔ − + = ⇔ = = −
1 2 1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 2
c) Gi¶ sö : x 2x x x 3x 3x 2m (1)
x 2x x x 2x 2x 2m 1 (2)
= ⇔ + = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ = −

lấy (2) trừ (1) ta có
2
2 2 2 2
1
2x 3x 1 0 x 1hay x
2
− + = ⇔ = =
Với
2 1
3
x 1 x 2 m
2
= ⇒ = ⇒ =
; Với
2 1

1 3
x x 1 m
2 4
= ⇒ = ⇒ =
Bài 12: Cho phương trình:
2 2
x 2mx m 1 0− − − =
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
x ;x
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa
1 2
x ;x
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ;x
thoả mãn:
1 2
2 1
x x
5
x x 2
+ = −
Hướng dẫn:
a)
2
' 2m 1 0∆ = + >
b)

2
1 2 1 2
x x 2m vµ x .x (m 1).+ = = − +
Rút m theo
1 2
x ;x
c)
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
x x x x (x x ) 2x x
5 5 5
x x 2 x x 2 x x 2
+ + −
+ = − ⇔ = − ⇔ = −