TIỂU LUẬN VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN Đề tài: VỀ MÔĐUN XOẮN VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————– * ———————

TIỂU LUẬN
VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN
Đề tài: VỀ MÔĐUN XOẮN
VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO

Giảng viên hướng dẫn : GS.TS. Lê Văn Thuyết
Học viên thực hiện

: Trần Quang Thạnh

HUẾ, 3-2013


MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Chương 1. Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Môđun và vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 2. Môđun xoắn và môđun xoắn tự do . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1. Môđun X-xoắn và môđun X-xoắn tự do . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2. Tập Ore phải và môđun con X-xoắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 3. Một số bài tập về miền Ore phải, môđun xoắn và môđun
xoắn tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

i

MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết về môđun, một phần tử a của môđun A trên một vành R được
gọi là một phần tử xoắn của mơđun nếu có một phần tử chính quy r của vành
R (một phần tử khác khơng của vành mà không là ước của không) triệt tiêu a,
tức là ar = 0. Trong một miền nguyên (vành giao hốn khơng có ước của khơng),
mỗi phần tử khác khơng là phần tử chính quy, do đó, mỗi phần tử xoắn của một
môđun trên miền nguyên bị triệt tiêu bởi một phần tử khác khơng nào đó của
miền ngun này.
Từ khái niệm phần tử xoắn của một môđun, một môđun A trên vành R được
gọi là môđun xoắn nếu tất cả các phần tử của nó đều là phần tử xoắn và môđun
được gọi là xoắn tự do nếu phần-tử-không là phần tử xoắn duy nhất. Nếu R là
vành giao hốn thì tập tất cả các phần tử xoắn tạo thành một môđun con của A,
gọi là môđun con xoắn của A, kí hiệu là t(A). Nếu R khơng giao hốn, t(A) chưa
hẳn là một mơđun con.
Một cách tổng quát hơn, xét A là một môđun trên vành R có đơn vị 1R , X là
một tập con chứa 1R và đóng đối với phép nhân của R. Một phần tử a của A được
gọi là phần tử X-xoắn nếu tồn tại phần tử x ∈ X sao cho x triệt tiêu a, tức là
ax = 0. Điều quan tâm của chúng ta là tập tX (A) gồm các phần tử X-xoắn của
A có phải là một mơđun con của A hay khơng? Ví dụ 2 cho thấy rằng tX (A) có
thể khơng là mơđun con của A. Để tX (A) trở thành một môđun con của A, vào
những thập niên 30 của thế kỉ XX, hai nhà toán học Ore và Asano đã đưa ra điều
kiện đối với tập nhân X, sau này được gọi là điều kiện Ore.
Với mục đích tìm hiểu về điều kiện Ore, mơđun X-xoắn, mơđun X-xoắn tự do
cũng như các tính chất và ứng dụng của chúng, người viết xin trình bày cuốn tiểu
luận thành ba chương:
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản.
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun và vành Noether nhằm
phục vụ cho những chứng minh của các chương sau. Trong chương này, chúng tôi
xin phép khơng trình bày hoặc chứng minh lại một số kiến thức cơ bản về môđun

đã được học trong các giáo trình Đại học và Cao học.
ii


Chương 2. Môđun xoắn và môđun xoắn tự do.
Chương này trình bày định nghĩa về điều kiện Ore, tập Ore, mơđun X-xoắn và
mơđun X-xoắn tự do cũng như các tính chất và một vài ứng dụng của chúng.
Chương 3. Một số bài tập về miền Ore phải, môđun xoắn và mơđun
xoắn tự do.
Chương này trình bày một số bài tập về miền Ore phải, môđun xoắn và môđun
xoắn tự do cũng như mối liên hệ của chúng với môđun nội xạ.
Để hồn thành được tiểu luận này, tơi xin chân thành cám ơn thầy giáo, GS.TS.
Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo điều kiện. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song
trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót, mong q thầy
cơ giáo chỉ bày thêm để cuốn tiểu luận được hoàn thiện hơn.
Huế, Ngày 14 tháng 4 năm 2013
Học viên thực hiện
Trần Quang Thạnh.

iii


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Môđun và vành Noether
Định nghĩa 1.1. Cho R là một vành và M là một R-môđun phải.
1) Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dãy tăng (ACC) nếu với mọi dãy vô
hạn các môđun con của M
M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ . . .
đều tồn tại n ∈ N sao cho Mn = Mn+i , i = 1, 2, . . .

2) Môđun M là môđun Noether nếu mỗi họ khác rỗng các mơđun con của M
đều có phần tử cực đại.
3) Một vành R được gọi là vành Noether phải nếu RR là Noether phải.
Định lý 1.1.1. Cho R là một vành và M là R-môđun phải. Các điều sau đây là
tương đương:
1) M là R-môđun Noether phải;
2) M thỏa mãn điều kiện dãy tăng (ACC);
3) Tất cả các môđun con của M là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Xem [[1], Proposition 1.1, p. 1]

1.2. Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.2. Một môđun AR được gọi là nội xạ phải nếu với mỗi R-đơn cấu
α : N → M , với mỗi R-đồng cấu β : N → A đều tồn tại R-đồng cấu γ : M → A
sao cho β = γ ◦ α. Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:
0

/N
β

 }

A

1

α /
γ

M

Mệnh đề 1.2.1 (Tiêu chuẩn Baer). Một R-môđun phải A là nội xạ khi và chỉ khi
với mỗi iđêan phải I của R và với mỗi f ∈ HomR (I, A), tồn tại a ∈ A sao cho
f (r) = ar, với mọi r ∈ I.
Chứng minh. Xem [[1], Proposition 5.1, p. 87]

2


CHƯƠNG 2
MƠĐUN XOẮN VÀ MƠĐUN XOẮN TỰ DO
2.1. Mơđun X-xoắn và môđun X-xoắn tự do
Định nghĩa 2.1. Cho R là vành có đơn vị 1 = 0.
1) Một tập nhân trong một vành R là một tập con X ⊆ R sa cho 1 ∈ X và X
đóng đối với phép nhân của R.
2) Cho A là một R-môđun và X là tập nhân trong vành R. Phần tử a ∈ A được
gọi là phần tử X-xoắn nếu tồn tại phần tử x ∈ X sao cho ax = 0. Môđun
A được gọi là X-xoắn nếu mọi phần tử của A đều là phần tử X-xoắn, và
môđun A được gọi là X-xoắn tự do nếu 0 là phần tử X-xoắn duy nhất của
A.
Ví dụ 1. Xét R = Z, X = Z\{0} và xem Z là Z-mơđun. Lúc đó, ZZ là môđun
X-xoắn tự do.
Nhận xét 1. Cho R là một vành, X ⊂ R là tập nhân. Rõ ràng, một R-môđun là
X-xoắn là một R-môđun xoắn; một R-môđun xoắn tự do là một R-mơđun X-xoắn
tự do. Điều ngược lại nói chung không đúng.
Bây giờ, với X ⊂ R là một tập nhân, A là một R-môđun phải, đặt tX (A) =
{a ∈ A|ax = 0, x ∈ X} là tập tất cả các phần tử X-xoắn của A. Điều quan tâm
của chúng ta đó là tX (A) có phải là một R-môđun con của A hay không? Rất tiếc,
điều này không phải lúc nào cũng đúng, chẳng hạn, chúng ta xét ví dụ sau:





k k
x y
 và X = 
 ∈ R|z = 0 .
Ví dụ 2. Cho k là một trường. Xét R = 
0 k
0 z
Chứng tỏ rằng tập tX (RR ) không phải là iđêan của R.
Chứng minh. Để chứng minh tX (RR ) không phải là iđêan của R, ta chỉ cần chỉ
ra một phản ví dụ. Trước hết, ta nhận thấy rằng, vì


 

1 0
0 0
0 0


=

0 0
0 1
0 0
3


nên 

1 0


 ∈ tX (RR ). Nhưng, với

0 0






 

0 1
1 0
1 0
0 1
0 1
 ∈ R, a = 
 ∈ tX (RR ), ta có 

=
∈
r=
/ tX (RR ),
0 1

0 0
0 0
0 1
0 0
bởi vì




 
0 1
x y
0 z


=
 , ∀z = 0.
0 0
0 z
0 0

Vậy, tX (RR ) không phải là iđêan của R.

2.2. Tập Ore phải và môđun con X-xoắn
Để tX (A) trở thành môđun con của R-môđun phải A, vào những thập niên 30 của
thế kỉ XX, Ore và Asano đã đưa ra điều kiện sau đây đối với tập nhân X.
Định nghĩa 2.2. Cho X là một tập nhân trong vành R. Tập X được gọi là thỏa
điều kiện Ore phải nếu với mỗi x ∈ X, r ∈ R, tồn tại y ∈ X, s ∈ R sao cho ry = xs,
nghĩa là rX ∩ xR = 0. Một tập nhân thỏa điều kiện Ore phải được gọi (tắt) là một
tập Ore phải. Điều kiện Ore trái và tập Ore trái được định nghĩa tương tự. Một

tập Ore là một tập nhân thỏa điều kiện Ore phải và Ore trái.
Định nghĩa 2.3. Cho R là một miền và S = R\{0}. Nếu S là một tập Ore phải
(t.ứ trái) thì R được gọi là một miền Ore phải (t.ứ trái).
Ví dụ 3. Trong vành giao hốn, mọi tập nhân đều là tập Ore.
Ví dụ 4. Cho R là một miền Noether phải. Lúc đó S = R\{0} là một tập Ore
phải.
Chứng minh. Trước hết, ta nhận thấy rằng, vì R là một miền nền tập S = R\{0}
là tập Ore phải khi và chỉ khi r1 R ∩ r2 R = (0), với mọi r1 , r2 là các phần tử khác
không của R. Do đó, để chứng minh S là tập Ore phải, ta chỉ cần chứng minh rằng
r1 R ∩ r2 R = (0), với mọi r1 , r2 là các phần tử khác không của R.
Để chứng minh điều này, ta giả sử rằng r1 R ∩ r2 R = (0). Ta sẽ chứng tỏ rằng tổng
∞
n
n=0 r2 r1 R

là tổng trực tiếp và như vậy R không phải là vành Noether phải, bởi

vì R chứa một dây chuyền tăng các iđêan phải không dừng
r1 R ⊂ r1 R ⊕ r2 r1 R ⊂ r1 R ⊕ r2 r1 R ⊕ r22 r1 R ⊂ . . .
4


Để chứng minh tổng trên là trực tiếp, ta giả sử rằng tổng là không trực tiếp và
chọn n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại các phần tử khác không
aj ∈ R, j = 0, . . . , n mà

n
n
j=0 r2 r1 aj

= 0. Rõ ràng n ≥ 1. Như vậy,

n−1

r2j r1 aj+1 ∈ r1 R ∩ r2 R = (0).

−r1 a0 = r2
j=0

Mặt khác, vì r1 , r2 là khác khơng và R là miền nên suy ra a0 = 0 và

n−1 j
j=0 r2 r1 aj+1

=

0, điều này mâu thuẫn với cách chọn n.
Với điều kiện Ore phải đã định nghĩa ở trên, chúng ta chứng minh được rằng
với mỗi R-môđun phải A, tập tX (A) là một mơđun con của A và nó được gọi là
môđun con X-xoắn của A. Để đi đến định nghĩa này, ta có bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.2.1. Cho X là một tập Ore phải trong vành R.
1) Với các phần tử x1 , . . . , xn ∈ X, tồn tại các phần tử s1 , . . . , sn ∈ R sao cho
x1 s1 = . . . = xn sn và x1 s1 ∈ X; nghĩa là, x1 R ∩ . . . ∩ xn R ∩ X = ∅.
2) Với mỗi R-môđun phải A, tập
tX (A) = {a ∈ A|ax = 0, x ∈ X}
là một môđun con của A.
Chứng minh.
1) Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh kết luận này.
Thật vậy, vì X là tập Ore phải nên kết luận đúng khi n = 2. Bây giờ,
ta giả sử rằng kết luận đúng đến n, ta chứng minh kết luận cũng đúng

với n + 1. Nghĩa là ta có x1 R ∩ . . . ∩ xn R ∩ X = ∅ và cần chứng minh
x1 R ∩ . . . ∩ xn R ∩ xn+1 R ∩ X = ∅.
Đặt Y = x1 R ∩ . . . ∩ xn R ∩ X ⊂ X ⊂ R. Lúc đó, với y ∈ Y và với xn+1 ở
trên, tồn tại z ∈ X và sn+1 ∈ R sao cho yz = xn+1 sn+1 đồng thời yz ∈ Y , do
đó Y ∩ xn+1 R = ∅.
Vậy, x1 R ∩ . . . ∩ xn R ∩ xn+1 R ∩ X = ∅.
2) Với mọi a ∈ tX (A), với mọi r ∈ R, ta chứng minh ar ∈ tX (A). Thật vậy, vì
a ∈ tX (A) nên tồn tại x ∈ X sao cho ax = 0. Mà với r ∈ R, theo điều kiện
5


Ore phải, tồn tại z ∈ X, s ∈ R sao cho rz = xs. Do đó arz = axs = 0 hay
ar ∈ tX (A).
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với a1 , a2 ∈ tX (A), ta được a1 ± a2 ∈ tX (A).
Thật vậy, với a1 , a2 ∈ tX (A), tồn tại x1 , x2 ∈ X sao cho a1 x1 = a2 x2 = 0. Từ
1), tồn tại y ∈ x1 R ∩ x2 R ∩ X và (a1 ± a2 )y = 0. Suy ra a1 ± a2 ∈ tX (A).
Định nghĩa 2.4. Cho X là tập Ore phải trong vành R và A là R-mơđun phải.
Lúc đó, tập tX (A) trong Bổ đề 2.2.1.(2) được gọi là môđun con X-xoắn của A.
Môđun con Y -xoắn của R-môđun trái, với Y là tập Ore trái trong vành R, được
định nghĩa tương tự.
Nhận xét 2. Với R là vành bất kì, X ⊂ R là tập Ore phải. Ta có các kết quả sau:
1) Tập tX (RR ) là iđêan của R.
2) Nếu A, B là các R-môđun phải và f : A → B là đồng cấu R-mơđun thì
f (tX (A)) ≤ tX (B).
Sau đây là một số tính chất quan trọng của mơđun con và môđun thương của
môđun X-xoắn và X-xoắn tự do.
Mệnh đề 2.2.2. Cho X là một tập Ore phải trong vành R.
1) Nếu A là một R-mơđun phải thì tX (A) là X-xoắn và A/tX (A) là X-xoắn tự
do.
2) Tất cả các môđun con, môđun thương và tổng (trực tiếp hoặc không) của các

R-môđun phải X-xoắn là X-xoắn.
3) Cho R-môđun phải A. Nếu B ≤ A sao cho B và A/B là X-xoắn thì A cũng
X-xoắn.
4) Tất cả mơđun con và tích trực tiếp của các R-mơđun phải X-xoắn tự do là
xoắn tự do.
5) Cho R-môđun phải A, B ≤ A, B là X-xoắn. Nếu B có giao khác khơng với
tất cả các mơđun con khác khơng của A thì A là X-xoắn tự do.

6


6) Cho R-môđun phải A. Nếu B ≤ A sao cho B và A/B là X-xoắn tự do thì A
là X-xoắn tự do.
Chứng minh. Trước hết, chúng ta lưu ý rằng, điều kiện X là tập Ore phải chỉ
cần thiết cho phần chứng minh các khẳng định 1), phần sau cùng của khẳng định
2) và khẳng định 5). Các khẳng định cịn lại chỉ cần sử dụng tính chất đóng của
X.
1) Khẳng định này được suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.4.
2) Trước hết, giả sử B ≤ A với A là R-mơđun phải X-xoắn. Lúc đó, với mọi
b ∈ B ≤ A, vì A là X-xoắn nên tồn tại x ∈ X sao cho ax = 0 do đó B cũng
X-xoắn.
Tiếp theo, xét môđun thương A/B; với mọi b + B ∈ A/B, vì A là X-xoắn
nên tồn tại x ∈ X sao cho ax = 0. Do đó (b + B)x = B = 0A/B hay A/B
cũng X-xoắn.
Bây giờ, giả sử (Ai )i∈I là một họ các môđun con X-xoắn của R-mơđun phải
A, lúc đó, với điều kiện X là tập Ore phải, tX (A) = {a ∈ A|ax = 0, x ∈
X} trở thành môđun con X-xoắn của AR nên Ai ≤ tX (A), ∀i ∈ I, suy ra
i Ai

≤ tX (A), do đó

i Ai

là X-xoắn.

3) Với mọi a ∈ A, vì A/B là X-xoắn nên tồn tại y ∈ X sao cho (a + B)y =
ay + B = 0A/B = B, suy ra ay ∈ B. Mà B là X-xoắn nên tồn tại z ∈ X sao
cho ayz = 0. Vì X là tập nhân đóng nên x = yz ∈ X, nghĩa là tồn tại x ∈ X
sao cho ax = 0, với mọi a ∈ A. Vậy, A là X-xoắn.
4) Giả sử A là X-xoắn tự do và B ≤ A. Nếu tồn tại phần tử X-xoắn b ∈ B thì
b cũng là phần tử X-xoắn của A. Mà A là X-xoắn tự do nên b = 0. Do đó B
cũng X-xoắn tự do.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng tích trực tiếp của một họ các môđun X-xoắn
tự do là X-xoắn tự do. Thật vậy, xét (Ai )i∈I là họ các môđun X-xoắn tự do.
Lấy (ai )∈

i∈I

Ai và giả sử (ai )i là X-xoắn. Lúc đó tồn tại x ∈ X sao cho

(ai )i x = (0), i ∈ I, suy ra ai x = 0, ∀i ∈ I. Vì mỗi Ai , i ∈ I, là X-xoắn tự do
nên ai = 0, ∀i ∈ I. Do vậy (ai )i = (0) hay
7

i Ai

là X-xoắn tự do.


5) Với điều kiện X là tập Ore phải, ta có tX (A) là mơđun con X-xoắn của Rmơđun phải A và B ∩ tX (A) = tX (B). Vì B là X-xoắn tự do nên tX (B) = 0.

Mà theo giả thiết, B có giao khác khơng với mọi môđun con khác không của
A nên tX (A) = 0. Vậy, A là X-xoắn tự do.
6) Giả sử a là phần tử X-xoắn của A. Lúc đó tồn tại x ∈ X sao cho ax = 0. Lúc
đó (a + B)x = ax + B = B, suy ra a + B là phần tử X-xoắn của A/B. Mà
A/B là X-xoắn tự do nên a + B = B hay a ∈ B, tức a là phần tử X-xoắn
của B. Mặt khác, B là X-xoắn tự do nên a = 0. Vậy, A cũng X-xoắn tự do.

Nhận xét 3. Từ Mệnh đề 2.2.2.(5) ta suy ra rằng mở rộng cốt yếu của một
R-môđun phải X-xoắn tự do là X-xoắn tự do.
Trong phần cuối của chương này, chúng ta sẽ chứng minh một mệnh đề áp dụng
tính chất của mơđun X-xoắn và X-xoắn tự do.
Mệnh đề 2.2.3. Cho X là một tập nhân trong vành R và A là một R-môđun phải
X-xoắn tự do, Noether. Nếu f ∈ EndR (A) và A/f (A) là X-xoắn thì Ker(f ) = 0.
Chứng minh. Trước hết, ta thấy rằng vì ker(f ) ≤ ker(f 2 ) ≤ . . . và A là Noether
nên tồn tại số tự nhiên n sao cho ker(f n ) = ker(f n+1 ).
Với mỗi i ∈ N, tự đồng cấu f : A → A cảm sinh toàn cấu gi : A/f (A) →
f i (A)/f i+1 (A) và f i (A)/f i+1 (A) là X-xoắn. Thật vậy, với i ∈ N, với mỗi y ∈
f i (A)/f i+1 (A), tồn tại x ∈ A/f (A) sao cho y = gi (x). Vì A/f (A) là X-xoắn nên
tồn tại r ∈ X sao cho xr = 0, do đó yr = gi (x)r = gi (xr) = gi (0) = 0 hay
f i (A)/f i+1 (A) là X-xoắn.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với n ở trên, A/f n (A) cũng X-xoắn. Thật vậy,
với y ∈ A/f n (A), ta có y = a + f n (A), a ∈ A. Với phần tử a ∈ A đó, ta có
a + f (A) ∈ A/f (A), suy ra tồn tại x1 ∈ X sao cho (a + f (A))x1 = 0A/f (A)
hay ax1 ∈ f (A). Lúc đó vì ax1 + f 2 (A) ∈ f (A)/f 2 (A) nên tồn tại x2 ∈ X sao
cho ax1 x2 ∈ f 2 (A). Tiếp tục quá trình này, ta có x1 , x2 , x3 , . . . , xn ∈ X sao cho
ax1 x2 . . . xn ∈ f n (A). Đặt x = x1 x2 . . . xn ∈ X (do X là tập nhân), ta có
yx = (a + f n (A))x = ax + f n (A) = 0A/f n (A) .
8

Như vậy mọi phần tử của A/f n (A) đều là phần tử X-xoắn hay A/f n (A) là X-xoắn.
Bây giờ, ta chứng minh ker(f ) = 0. Thật vậy, với mọi a ∈ ker(f ), ta có f (a) = 0
và vì A/f n (A) là X-xoắn nên tồn tại x ∈ X sao cho (a + f n (A))x = 0A/f n (A) , tức
là ax ∈ f n (A), do đó tồn tại b ∈ A sao cho ax = f n (b).
Ta có f (ax) = f (a)x = 0 nên f (f n (b)) = 0, suy ra b ∈ ker(f n+1 ) = ker(f n ) hay
f n (b) = 0, nghĩa là ax = 0. Mặt khác, A là X-xoắn tự do nên 0 là phần tử X-xoắn
duy nhất của A, do vậy a = 0.
Hệ quả 2.2.4. Cho X là một tập Ore phải trong vành Noether phải R. Nếu
l.annR (x) = 0 với mọi x ∈ X thì tất cả các phần tử của X khơng có ước của khơng
trong R.
Chứng minh. Vì l.annR (x) = 0, ∀x ∈ X nên r = 0 là phần tử xoắn duy nhất của
RR hay RR là X-xoắn tự do. Bây giờ, với mỗi x ∈ X cố định, đặt f : RR → RR
sao cho f (r) = xr. Với mọi a ∈ R/f (R), ta có a = b + f (R), b ∈ R. Vì X là tập
Ore phải nên với x ∈ X và b ∈ R, tồn tại y ∈ X, c ∈ R sao cho by = xc. Suy ra
ay = by + f (R) = xc + f (R) = f (c) + f (R) = 0R/f (R) (vì xc = f (c) ∈ f (R)), do
đó R/f (R) là X-xoắn.
Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 ta suy ra ker(f ) = 0, nghĩa là r.annR (x) = 0. Kết hợp giả
thiết l.annR (x) = 0 ta được x khơng có ước của khơng trong R.
Hệ quả 2.2.5. Cho R là vành Noether phải. Ta có các mệnh đề sau:
1) Mọi tự tồn cấu giữa các R-mơđun phải hữu hạn sinh là tự đẳng cấu.
2) Nếu x, y ∈ R và xy = 1 thì yx = 1.
Chứng minh.
1) Vì AR hữu hạn sinh và f : AR → AR là toàn cấu nên A/f (A) = 0. Lấy
X = {1} thì A là X-xoắn tự do và Noether. Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 ta được
ker(f ) = 0; do đó f là tự đẳng cấu R-mơđun.
2) Với x ∈ R, đặt f : RR → RR sao cho f (y) = xy, là một tự toàn cấu Rmôđun hữu hạn sinh. Áp dụng phần trên, suy ra f là tự đẳng cấu và do đó
yx = xy = 1.
9

CHƯƠNG 3
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MIỀN ORE PHẢI,
MÔĐUN XOẮN VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO
Trong chương này, người viết xin trình bày một số bài tốn về miền Ore phải,
mơđun xoắn và mơđun xoắn tự do.
Bài tốn 1. Cho R là một miền Ore phải. Chứng minh rằng một R-môđun phải
xoắn tự do M là chia được khi và chỉ khi nó là một R-mơđun nội xạ.
Chứng minh. (⇐) Giả sử MR là nội xạ. Lúc đó, R-đồng cấu mơđun f : aR → M
có thể mở rộng thành R-đồng cấu môđun từ RR → MR , tức f là một phép nhân
trái bởi phần tử n thuộc MR , do đó, với mọi m ∈ M , ta có m = f (a) = na; hay
M là R-môđun chia được.
(⇒) Để chứng minh R-môđun M là nội xạ, ta sẽ áp dụng tiêu chuẩn Baer. Giả sử
I là một iđêan phải khác không của R và f ∈ HomR (I, M ). Với mỗi 0 = a ∈ I, tồn
tại duy nhất phần tử ma ∈ M sao cho f (a) = ma a. Ta sẽ chứng tỏ rằng tất cả các
phần tử ma , a ∈ I\{0}, là bằng nhau. Thật vây, với a, b ∈ I\{0}, vì R là miền Ore
phải nên ta có ar = bs, với r, s là các phần tử khác không nào đó thuộc R. Lúc đó
f (ar) = f (bs) ⇒ f (a)r = f (b)s
⇒ ma ar = mb bs ⇒ (ma − mb )ar = 0
⇒ ma = mb
bởi vì MR là xoắn tự do. Từ đó, với mọi a ∈ I, ta đều có f (a) = ma, nghĩa là f
được mở rộng thành R-đồng cấu môđun từ RR vào MR bởi 1 → m.
Nhận xét 4. Trong chứng minh trên, điều kiện R là miền Ore phải chỉ sử dụng
cho phần (⇒). Vì vậy, với R là một miền, ta cũng có kết quả nếu MR là nội xạ
phải thì MR là chia được.
Bài tốn 2. Chứng minh rằng một miền R là Ore phải khi và chỉ khi tồn tại một
R-môđun nội xạ phải xoắn tự do.
10


Chứng minh. Trước hết, giả sử rằng R là một miền Ore phải. Lúc đó vành các

thương phải chia được K của R là xoắn tự do và chia được như một R-mơđun
phải. Áp dụng Bài tốn 1, ta được KR là nội xạ.
Ngược lại, giả sử rằng M = 0 là một R-môđun nội xạ phải xoắn tự do. Cố định
một phần tử khác không m ∈ M và giả sử rằng R không phải là miền Ore phải,
lúc đó tồn tại các phần tử phân biệt khác khơng a, b ∈ R sao cho aR ∩ bR = 0.
Gọi f là R-đồng cấu từ aR ⊕ bR → M biến a, b thành m. Do MR nội xạ nên f có
thể mở rộng thành g : RR → MR . Đặt m = g(1) ∈ M , ta có
m = g(a) = g(1.a) = g(1)a = m a,
và tương tự, m = m b. Từ hai đẳng thức trên ta có m = 0 và m (a − b) = 0; mà
M là R-môđun xoắn tự do nên a = b, mâu thuẫn. Vậy, R là miền Ore phải.
Bài toán 3. Cho R ⊆ L là các miền. Hãy chứng tỏ rằng L là nội xạ như một
R-môđun phải thì R là Ore phải và L chứa vành các thương phải chia được K của
R.
Chứng minh. Giả sử rằng LR là nội xạ phải. Lúc đó, từ Nhận xét 4, ta có LR
là xoắn tự do, nên theo Bài toán 2, R là Ore phải. Nếu chúng ta có thể chứng tỏ
rằng với mỗi phần tử khác khơng a ∈ R có phần tử nghịch trong L, thì lúc đó
R ⊆ K ⊆ L.
Thật vậy, đồng cấu R-mơđun f : aR → L xác định bởi f (a) = 1 có thể mở rộng
thành g : R → L, do LR nội xạ phải. Ta có 1 = f (a) = g(1)a, điều này chứng tỏ
rằng a−1 tồn tại trong L.

11


KẾT LUẬN
Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được
chia làm ba chương. Trong đó, chương 1 nêu lên một số kiến thức cơ bản về môđun
Noether làm nền tảng và cơ sở cho các chứng minh trong chương còn lại.
Chương 2 của tiểu luận trình bày về mơđun X-xoắn và mơđun X-xoắn tự do.
Nội dung chính của chương đã chỉ ra rằng nếu X là một tập Ore phải của vành R

và A là một R-mơđun phải thì tX (A) là một môđun con của A, gọi là môđun con
X-xoắn của A; đồng thời trong chương cũng đã nêu lên một số tính chất và ứng
dụng của tập Ore phải cũng như của mơđun con X-xoắn.
Chương 3 của tiểu luận trình bày một số kết quả về mối liên hệ giữa miền Ore,
môđun xoắn tự do và môđun nội xạ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng trong q trình nghiên cứu và trình bày
khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự góp ý của q thầy cơ và các bạn để
tiểu luận được hồn thiện hơn. Một lần nữa tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo
hướng dẫn và các bạn học viên.

12


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] K. R. Goodearl, R. B. Warfield (2004), An Introduction to Noncommutative
Noetherian Rings, Cambridge University Press.
[2] T. Y. Lam (2007), Exercises in Modules and Rings, Springer Publishers.

13