Bài giảng lý thuyết vành và mô đun

Đại học Huế
Trờng Đại học S phạm

Bài giảng:

Lý THUYếT

VàNH Và MÔĐUN
(Dành cho học viên cao học chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số)

TS Trơng Công Quỳnh (Chủ biên) - GS.TS. Lê văn Thuyết

Huế (hay Đà Nẵng ?) - 2012

1


`.I NOI
´ D
ˆU
-`
LO
A
L´
y thuyˆe´t v`anh v`a mˆod¯un d¯´
ong mˆ
o.t vai tr`
o quan tro.ng trong d¯a.i sˆ
o´ kˆe´t
.
.

.
.
.
- i.nh
ho. p. V´o i viˆe.c nghiˆen c´
u u nˆo.i ta.i cu’a cˆ
a´u tr´
uc v`
anh, ch´
ung ta d¯˜
a c´
o d¯u o. c D
.
.
.
’
´
’
’
’
l´
y nˆo i tiˆeng cua Wedderburn-Artin, trong d¯´
o mˆ
o ta v`
anh nu a d¯o n nhu l`
a tˆo’ng
.
tru. c tiˆe´p cu’a c´ac v`anh ma trˆ
a.n trˆen mˆ
o.t thˆe’, m`

a v`
anh ma trˆ
a.n trˆen mˆ
o.t thˆe’
.
.
.
’
th`ı qu´a quen thuˆo.c. V´o i su. tˆ
o ng qu´
at ho´
a c´
ac khˆ
ong gian vecto , ta c´
o d¯u.o..c
c´ac mˆod¯un, v`a la.i c´o pha.m tr`
u Mod-R (R-Mod) c´
ac R-mˆ
od¯un pha’i (tr´
ai tu.o.ng
u
´.ng). Ngu.`o.i ta la.i d`
ung Mod-R v`
a R-Mod d¯ˆe’ d¯˘
a.c tru.ng v`
anh R. Phu.o.ng
.
.
.
- i.nh l´

`eu D
ph´ap n`ay m´o i ra d¯`o i nhu ng d¯˜
a to’ ra c´
o hiˆe.u qua’, v`
a nhiˆ
y quan tro.ng
.
.
.
.
- i.nh l´
ra d¯`o i, nhu D
y mˆo ta’ v`anh nu’ a d¯o n cu’a B. Osofsky. D˜ı nhiˆen, d¯i xa ho.n,
`ay cu’a pha.m tr`
R. Wisbauer d¯˜a d`
ung mˆo.t pha.m tr`
u con d¯ˆ
u Mod-R d¯´
o ch´ınh l`a
σ [M] d¯ˆe’ mˆo ta’ MR .
Trong khuˆon khˆo’ mˆo.t b`
ai gia’ng d`
anh cho c´
ac l´
o.p sau d¯a.i ho.c chuyˆen
- a.i sˆo´ v`a l´
`e cˆ
u.c co. ba’n
ng`anh D
y thuyˆe´t sˆo´, ch´

ung tˆ
oi d¯˜
a d¯ˆ
a.p d¯ˆe´n nh˜
u.ng kiˆe´n th´
`an khˆ
nhˆa´t cu’a l´
y thuyˆe´t v`anh v`a mˆod¯un, d˜ı nhiˆen c´
o thˆe’ kˆe’ d¯ˆe´n hai phˆ
ong t´ach
.
riˆeng nhau: d¯´o l`a c´ac cˆong cu. cu’a n´
o nhu c˘
an, d¯ˆe´, vˆe´t, c´
ai ga.t bo’, ... v`
a c´ac
.
.
.
.
.
`a m cung
`an n`
l´o p mˆod¯un v`a v`anh nhu Artin, No te, nu’ a d¯o n, ... C´
ac phˆ
ay nh˘
.
.
.
’

´
´
´
`
’
cˆa p cho ho.c viˆen nh˜
u ng kiˆen th´
u c co ban nhˆ
a t, ng˜
o hˆ
au c´
o thˆe d¯a.t d¯u.o..c mˆo.t
.
.
.
`an n`ao c´ac y
`e cˆ
a.p o’ trˆen. Ngo`
ai ra d¯ˆe’ tiˆe.n cho ho.c viˆen tham
phˆ
´ tu o’ ng d¯˜a d¯ˆ
.
.
`an kiˆe´n th´
`e mˆ
u c vˆ
od¯un o’. chu.o.ng 0.
kha’o, ch´
ung tˆoi d¯u a thˆem phˆ
Khˆong tr´anh kho’i nh˜

u.ng thiˆe´u s´
ot trong biˆen soa.n, mong c´
ac d¯ˆ
o.c gia’
.
`an thiˆe´t.
op y
´ cˆ
thˆong ca’m v`a cho ch´
ung tˆoi nh˜
u ng g´
’
´ GIA
TAC

Typeset by AMS-TEX
3


Chơng 0:

Môđun
Trong toàn bộ bài giảng bày, ta qui ớc vành R có đơn vị khác không
và đợc kí hiệu là 1.
Đ1. Định nghĩa môđun.
1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản.

1.1.1. Định nghĩa và các kí hiệu. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là:
(1) nhóm cộng aben M cùng với
(2) ánh xạ M ì R M

(m, r) mr

đợc gọi là phép nhân môđun, thoả các điều kiện sau:
(i) qui tắc kết hợp : (mr1 )r2 = m(r1 r2 )
(ii) qui tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r
m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2
(iii) qui t¾c unita: m1 = m
trong đó m, m1 , m2 là các phần tư t ý cđa M , r1 , r2 ∈ R.
Lúc đó R đợc gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta thờng
kí hiệu M = MR . Tơng tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau:
1.1.2. Mệnh đề. Cho MR . Lúc đó ta cã:
0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r)

víi mäi m ∈ M, r ∈ R.
Chứng minh: Với mọi r R, ta cố định r, thì ánh xạ
M M
m mr

là một đồng cÊu nhãm do ®iỊu kiƯn (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r. V× vËy 0M r = 0M
và (m)r = mr.
Mặt khác nhờ điều kiện m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 , khi cố định m thì ánh xạ
R M

4


r mr

là một đồng cấu nhóm cộng. Vì vậy ta có m0R = 0M và m(r) = mr. Đó là
điều phải chứng minh.
1.2. Ví dụ.

(1) Không gian vectơ chính là một môđun trên một thể R.
(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem nh là một ZZ -môđun. Ngợc
lại, mọi ZZ -môđun đều thu đợc từ nhóm aben cộng.
(3) Vành R có thể đợc xem nh là môđun phải (trái) trên chính nó.
Nhờ trờng hợp này ngời ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vành thông
qua môđun trên vành đó.
(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị. Lúc đó vành R[x] các đa thức
ẩn x lÊy hƯ tư trong R. XÐt R[x] víi phÐp cộng thông thờng cùng với phép
nhân môđun xác định nh sau:
r(a0 + a1 x + ... + an xn ) = ra0 + ra1 x + ... + ran xn

víi mäi r ∈ R, mäi a0 , a1 , ..., an R. Lúc đó có thể dễ dàng kiểm chứng đợc
R[x] là một R-môđun.
Ta sẽ sử dụng nhiều đến Bổ đề sau trong nhiều chứng minh cuả lý thuyết
vành và môđun. Bổ đề sau tơng đơng với Tiên đề chọn.
Bổ đề Zorn. Giả sử A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn
phần cuả A đều có cận trên trong A, thì A có phần tử cực đại.
Đ2. Môđun CON Và môđun thơng.
2.1. môđun con.

2.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M đợc gọi là
môđun con của M (kí hiÖu A < M hay AR < MR ), nÕu A là R-môđun phải với
phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A.
Chú ý rằng kí hiệu A < M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuần
tuý A M . Ngoài ra nếu ta viết
A < M có nghĩa là A là môđun con thực sự của M .

A

=
<

M có nghĩa là A không là môđun con của M .

Sau đây là đặc trng của môđun con.
5


2.1.2. Định lý. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là tập con khác của
M , thì các điều kiện sau là tơng đơng:
i) A < M
ii) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M vµ víi mäi a ∈ A, r ∈ R
ta cã ar ∈ A
iii) víi mäi a1 , a2 ∈ A ta cã a1 + a2 ∈ A, vµ víi mäi a ∈ A, r ∈ R ta cã
ar ∈ A.

Chøng minh:
tập.

Dành phần chứng minh này cho ngời đọc xem nh là bài

Ta có một nhận xét thú vị là: vì vành đợc xét nh là R-môđun phải
(trái), nên ta chú ý rằng iđêan phải (trái) của vành R chính là môđun con của
RR (R R).
2.1.3. Ví dụ.
(1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thờng là {0} (ta sẽ chỉ
kí hiệu là 0) và M , trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử không

của môđun M .
(2) Cho MR và m0 M . Lúc đó dùng Định lý 2.1.2 ta có thể thấy
m0 R := {mo r |r R}

là môđun con của M .
(3) Cho M là không gian vectơ trên thể K . Lúc đó các môđun con chính
là các không gian vectơ con.
2.2. Giao và tổng các môđun con.

2.2.1. Bổ đề. Cho là một tập nào đó các môđun con của M . Khi đó
A = {m M|A [m A]}
A

là một môđun con của M .
Chứng minh: Kiểm chứng dễ dàng nhờ Định lý 2.1.2 và chú ý khi = thì
A = M.
A∈∅

Tõ Bỉ ®Ị 2.2.1 cã thĨ suy ra ngay
6


A là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A .

2.2.2. Hệ quả.

A

2.2.3. Bổ đề. Cho X là tập con của MR . Khi đó

A :=

{

n
j=1

xj rj |xj ∈ X, rj ∈ R vµ n ∈ IN},

0,

nếu X =
nếu X =

là môđun con của M .
Chứng minh: Khi X = thì dễ dàng cã A
m

n

M . NÕu X = ∅, ta cã

m

n

xj rj ∈ A ⇒

xi ri ,
i=1

<

j=1

xj rj ∈ A,

xi ri +
i=1

j=1

m

n

xj rj A, r R
j=1

Vậy theo Định lý 2.1.2, A

xj rj r A.
j=1

<

M.

2.2.4. Định nghĩa. Môđun A xác định nhờ Bổ đề 2.2.3 đợc gọi là môđun
con cuả M sinh ra bởi tập X và kí hiệu là |X).

2.2.5. Định lý. |X) là môđun con bé nhất của M chứa X và
|X) =

trong đó C

<

C

M và X ⊂ C.

Chøng minh: Khi X = ∅ th× kÕt luËn cuả Định lý là dễ dàng có, vì lúc đó
|X) = 0.

Nếu X = . Cho C là môđun con cu¶ M tïy ý chøa X . Nhê tÝnh chÊt
cu¶ môđun con nên ta có ngay |X) < C. Ngoài ra do X là tập con cuả |X) nên
|X) là môđun con bé nhất cuả M chứa X .
Bây giờ giả sử D = C trong đó C < M và X C . Khi đó X là tập con
cuả D. Do D < M nên |X) < D. Mặt khác |X) có thể xem nh là một trong
các C , nên D < |X). Ta có điều phải chứng minh.
2.2.6. Định nghĩa. Cho MR .
(1) Tập con X cuả M đợc gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M.
(2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) đợc gọi là hữu hạn sinh nếu đối
với M tồn tại hệ sinh gồm hữu hạn phần tử.
7


(3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) đợc gọi là cyclic (iđêan phải chính,
iđêan trái chính) nếu nó đợc sinh bởi một phần tử.
(4) Tập con X cuả môđun M đợc gọi là độc lập nếu đối với mỗi

tập con hữu hạn {x1 , ..., xm } X mà xi = xj víi i = j (i, j = 1, ..., m) th×
m
i=1 xi ri = 0, ri ∈ R kÐo theo ri = 0(i = 1, ..., m).
(5) Tập con X cuả môđun M đợc gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệ
sinh đối với M và độc lập.
2.2.7. Ví dụ.
(1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thờng chính là M .
(2) Cho R là vành. Khi đó {1} là cơ sở của RR (hay R R).
(3) Ta sÏ chøng minh r»ng Q
I ZZ không có hệ sinh hữu hạn. Trớc hết, ta
chứng minh kết quả sau:
I ZZ ta rút ra hữu hạn một số phần
Mệnh đề. Nếu từ một hệ sinh tùy ý X của Q
tử tùy ý thì tập hợp các phần tử còn lại vẫn là hệ sinh của Q
I ZZ .

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh kết quả đúng khi ta rót mét phÇn tư x0 ra
khái X . Nếu rút nhiều phần tử thì ta chứng minh bằng quy nạp.
Vì X là hệ sinh nên x0 /2 có thể biểu diễn thành một tổng hữu hạn nh
sau
x0
= x0 z0 +
2

xi zi , xi ∈ X, zi ∈ ZZ.
xi =x0

Tõ ®ã:
xi 2zi , xi ∈ X, zi ∈ ZZ.

x0 = x0 2z0 +
xi =x0

vµ
x0 n =

xi 2zi ,
xi =x0

trong ®ã n := 1 − 2z0 ∈ ZZ, n = 0. Giả sử bây giờ ta lại biểu diễn x0 /n nh trên
thì:
x0
= x0 z0 +
n

xj zj , xj X, zj ∈ ZZ.
xj =x0

Khi ®ã
x0 = x0 nz0 +

xj nzj =
xj =x0

xi 2zi z0 +
xi =x0

xk z”k , xk ∈ X, z”k ∈ ZZ

xj nzj =

xj =x0

8

xk =x0


nghĩa là phần tử x0 đợc biểu diễn qua tập X \ {x0 }. Do X lµ hƯ sinh cđa Q
I ZZ
nên X \ {x0 } cũng là hệ sinh của Q
I ZZ .
I ZZ có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo nh kết quả
Từ đây, ta suy ra Q
trên, sau một số lần rút các phần tử ra khái hƯ sinh, hƯ sinh cđa Q
I ZZ sÏ là ,
hay Q
I ZZ là 0. Vô lí.

Chú ý rằng hợp của các môđun con nói chung không phải là môđun con
(vì hợp của các nhóm con không phải là một nhóm con). Tuy nhiên dễ dàng
suy ra đợc:
2.2.8. Bổ đề. Giả sử = {Ai |i I} là tập nào đó các môđun con Ai
Khi đó:
|

Ai ) =
iI

{

iI

ai |ai Ai và I I và I' hữu hạn }

MR .

nếu =
nếu =

0,

nghĩa là, khi = thì môđun |

<

Ai ) trùng với tập tất cả tổng hữu hạn
iI

ai , ai Ai .

2.2.9. Định nghĩa. Nếu = {Ai |i I} là tập tuỳ ý các môđun con nào đó
Ai < M , thì | Ai ) đợc gọi là tổng các môđun con {Ai , i I}, kí hiệu
Ai .
i∈I

i∈I

Chó ý lµ khi Λ = {A1 , ..., An } thì mỗi phần tử thuộc
viết dới dạng

n

Ai có thể viết đợc

i=1
n

ai , ai Ai .
i=1

Ngoài ra kể cả trong trờng hợp là tập vô hạn thì sự biĨu diƠn ë trong Bỉ
ai =
at nh−ng ai cã thĨ
®Ị 2.2.8 là không duy nhất, nghĩa là có thể có
iI

khác at .

iT

2.2.10. Định nghĩa. (1) Môđun MR đợc gọi là đơn nếu M = 0 và A < M[A =
0 hay A = M], nghÜa lµ M = 0 vµ M chỉ có hai môđun con là 0 và M .
(2) Vành R đợc gọi là đơn nếu R = 0 vµ ∀A < R RR [A = 0 hay A = R],
nghÜa lµ R = 0 vµ R chØ có hai iđêan hai phía là 0 và R.
(3) Môđun con A < M đợc gọi là môđun con cực tiểu (minimal) của
môđun M nếu nh A = 0 và ∀B < M[B < A ⇒ B = 0].
=

(4) T−¬ng tự, môđun con A < M đợc gọi là môđun con cực đại (maximal) của môđun M nếu nh A = M vµ ∀B < M[A < B ⇒ B = M].
=

9


Ta có:
2.2.11. Bổ đề. MR đơn khi và chỉ khi M = 0 vµ ∀m(= 0) ∈ M, M = mR.
Chứng minh: Cho MR đơn và m = 0. Lúc ®ã mR = 0 (râ v× m.1 = m ∈ mR).
Từ đó mR = M . Đảo lại, cho A = 0, A < M vµ a ∈ A, a = 0. Ta cã aR = M. Tõ
®ã M = aR < A < M A = M.
2.2.12. Định lý. Cho MR là R-môđun phải hữu hạn sinh khác không. Lúc đó
mọi môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại. Đặc
biệt, M có một môđun con cực đại.
Chứng minh: Giả sử {m1 , m2 , ..., mn } lµ hƯ sinh cđa M . NÕu A < M , th× ta cã
=
tËp
F = {B|A

<

B < M}
=

khác rỗng vì A F . Nó lại đợc sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Để áp
dụng Bổ đề Zorn, ta cần phải chứng minh rằng mỗi tập con ( F , = )
sắp thứ tự toàn phần có cận trên trong . Đặt
C=

B.
B

Khi đó A < C . Giả sử C = M . Khi ®ã m1 , m2 , ..., mn C . Vậy tồn tại
B để m1 , m2 , ..., mn ∈ B . Do ®ã B = M . M©u thn víi tÝnh chÊt B ∈ Γ.
VËy C ∈ F . bfh ¸p dơng Bỉ đề Zorn, trong F tồn tại phần tử cực đại D nào
đó. Ta chứng minh rằng D là môđun cực đại trong MR . Giả sử D < L < MR .
=

Khi ®ã L ∈ F . Theo tÝnh chÊt cực đại của D trong F , ta có D = L.
Khi cho A = 0, ta cã kÕt luËn cuối cùng.
2.3. môđun thơng.

Cho MR và N < MR . Vì N là nhóm con của nhóm cọng aben M nên
nhóm thơng của nó M/N là một nhóm aben hoàn toàn xác định (theo phần
lý thuyết nhóm). Các phần tử của nó là các lớp ghép x + N của N trong M và
phép toán cọng trong M/N là
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

Ta còn phải đi xác định phép nhân môđun để M/N trở thành R-môdun phải.
2.3.1. Định lý. Cho MR vµ N

<

M.

10


(i) Qui tắc
M/N ì R M/N
(m + N, r) −→ (m + N ).r = mr + N

lµ phÐp nhân môđun.
(ii) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một
R-môđun phải.
Chứng minh: (i). Ta chứng minh qui tắc đó là một ánh xạ. Thật vậy, cho
x + N = x + N ⇒ x − x ∈ N ⇒ (x − x )r ∈ N ⇒ xr − x r ∈ N ⇒ xr + N = x r + N.

(ii) Kiểm tra dựa vào định nghĩa.
2.3.2. Định nghĩa. M/N xác định nh trong Định lý 2.3.1 đợc gọi là môđun
thơng của môđun M trên môđun con N cđa nã.
2.3.3. Chó ý. Khi cho I lµ iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một
R-môđun phải. Nhng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R-môđun
phải và trái, vừa là R/I -môđun phải và trái.
Đ3. Đồng cấu môđun.
3.1. Đồng cấu môđun.

3.1.1. Định nghĩa. Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu từ A vào B
đó là ánh xạ : A B thoả
a1 , a2 A ∀r1 , r2 ∈ R [α(a1 r1 + a2 r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 ].

Lóc ®ã ta viết : AR BR .
Sau đây ta có định nghĩa:
3.1.2. Định nghĩa. Đồng cấu : AR BR đợc gọi là đơn cấu nếu nó là
đơn ánh, đợc gọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và đợc gọi là đẳng cấu
nếu là song ánh, nghĩa là nó là toàn cấu và đơn cấu.
3.1.3. Ví dụ.
(1) Đồng cấu không từ AR vào BR đó lµ 0 : a → 0 ∈ B .
(2) PhÐp nhúng môđun con A vào BR đó là
i : A −→ B
a −→ a.

11


(3) Cho AR thì ta có tự đồng cấu đồng nhÊt kÝ hiÖu
1A : A −→ A
a −→ a.

(4) Cho MR . Lúc đó ta có các R-đồng cấu sau:
Nếu cố định r R, ta kí hiệu
hr : M M
m m,

còn nếu cố định m M , ta cã
fm : R −→ M
r −→ mr.

(5) Cho MR . XÐt
p : M −→ M/N
x −→ x + N

là một toàn cấu và đợc gọi là toàn cấu chính tắc từ M lên M/N.
3.1.4. Mệnh đề. (1) Nếu f : LR −→ MR vµ g : MR −→ NR là các R-đồng cấu
môđun, thì hợp thành gf của chúng cũng là đồng cấu R-môđun.
(2) Nếu f, g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy.
(3) ánh xạ ngợc f 1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu.
Chứng minh: (1). gf(x + y) = g(f(x + yβ)) = g(f(x)α + f(y)β) = g(f(x))α +
g(f(y))β = (gf)(xα) + (gf)(yβ) víi mäi x, y ∈ L, α, β ∈ R.
(2). Chøng minh nh− bµi tËp.
(3). Ta chøng minh f 1 : MR LR là một R-đồng cÊu. Víi mäi
u, v ∈ M, α, β ∈ R th×

uα + vβ = ff −1 (u)α + ff −1 (v)β = f(f −1 (u)α + f −1 (v)β)

suy ra
f −1 (uα + vβ) = f −1 (u)α + f 1 (v).

Từ Mệnh đề 3.1.4 suy ra ngay:
3.1.5. Hệ quả . Quan hệ LR đẳng cấu với MR là quan hệ tơng đơng trong
lớp các R-môđun phải.
12


Bổ đề sau cho ta thấy tính bảo toàn cấu trúc của các đồng cấu:
3.1.6. Bổ đề . Cho : AR −→ BR . Lóc ®ã:
(1) U < A ⇒ α(U) < B.
(2) V < B ⇒ α−1 (V ) < A.
Chøng minh:

(1). Cho v1 , v2 ∈ α(U), Lúc đó, tồn tại u1 , u2 U sao cho
α = v1 , α(u2 ) = v2 . LÊy r1 , r2 ∈ R. Ta cã α(u1 )r1 + α(u2 )r2 = α(u1 r1 + u2 r2 ) ∈ α(U).
Suy ra u1 r1 + u2 r2 ∈ U . VËy α(U) < B .
(2) Gi¶ sư a1 , a2 ∈ α−1 (V ). Khi ®ã α(a1 ), α(a2 ) V và lấy r2 , r2 R thì
(a1 r1 + a2 r2 ) = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 . Suy ra a1 r1 + a2 r2 ∈ 1 (V ). Vậy 1 (V ) < A.
3.1.7. Định nghĩa. Theo Bổ đề 3.1.6, 1 (0) là môđun con của AR . Ta gọi là
nhân của đồng cấu . Kí hiệu Ker().
Chú ý rằng nó cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên đơn cấu
Ker() = 0.
Cho AR vµ ta kÝ hiƯu: HomR (A, R) = { ®ång cÊu α : AR −→ RR }
3.1.8. MƯnh ®Ị . HomR (A, R) cïng víi hai phÐp to¸n cäng và nhân môđun
xác định nh sau trở thành R-môđun trái
( + β)(a) := α(a) + β(a), víi mäi a ∈ A,

(rα)(a) := rα(a) víi mäi a ∈ A, r ∈ R.

Chøng minh: Cã thĨ kiĨm chøng f + g vµ r HomR (A, R) một cách dễ
dàng, chẳng hạn ta chøng minh rα ∈ HomR (A, R). Víi mäi a, b A và r1 , r2 R
thì
(r)(ar1 + br2 ) = r[α(ar1 + br2 )] = r[α(a)r1 + α(b)r2 =
= rα(a)r1 + rα(b)r2 = (rα)(a)r1 + (rα)(b)r2 .

Ngoài ra bạn đọc có thể kiểm chứng dễ dàng các tiên đề để cho HomR (A, R)
trở thành một R-môđun trái.
3.1.9. Định nghĩa. R-môđun trái HomR (A, R) đợc gọi là môđun đối ngẫu
của AR và kí hiệu là A . Lúc đó R-môđun đối ngẫu của R A đợc gọi là song
đối ngẫu của AR và kí hiệu lµ A∗∗ . VËy
∗
RA

= HomR (A, R)

13


A∗∗
R = HomR (R HomR (AR , RR ),R R).
3.2. Các định lý đồng cấu và đẳng cấu.

Nh trong trờng hợp nhóm và bằng phơng pháp tơng tự, ta chứng
minh đợc các định lý sau:
3.2.1. Định lý về đồng cấu.
Mỗi ®ång cÊu m«®un α : AR −→ BR ®Ịu cã thể phân tích đợc = ,
trong đó : A A/Ker() là toàn cấu chính tắc, còn là đơn cấu xác định

bởi
: A/Ker()

a + Ker() (a) B

Đơn cấu là đẳng cấu khi và chỉ khi là toàn cấu.
3.2.2. Hệ quả . Cho : AR BR là đồng cấu R-môđun . Lúc đó :
A/Ker()

Im().

3.2.3. Định lý thứ nhất về đẳng cấu.
Nếu B < AR và C < AR , thì
(B + C)/C

B/B C.

3.2.4. Định lý thứ hai về đẳng cấu.
Nếu C < B < AR , thì
A/B

Ví dụ: ZZ/3ZZ

(A/C)/(B/C).

(ZZ/6ZZ)/(3ZZ/6ZZ).

Đ4. Tích và tổng trực tiếp của các môđun.
4.1. Các định nghĩa.

Cho (Ai |i I) họ các tập Ai víi tËp chØ sè I = ∅. Lóc ®ã ta có tích
Descartes Ai của họ đó. Nếu cho Ai là các R-môđun phải, ta cần trang bị
iI

các phép toán dể

Ai trở thành một R-môđun phải. Ta có:
iI

14


4.1.1. Mệnh đề. Cho R là vành và (Ai |i I) là họ các R-môđun phải Ai .
Tích Descartes Ai cïng víi hai phÐp to¸n sau:
i∈I

PhÐp céng:

(ai ), (bi ) ∈

(ai ) + (bi ) := (ai + bi ),

Ai
iI

Phép nhân môđun: (ai )r = (ai r)

(ai )

Ai , r R

iI

là R-môđun phải.

Chứng minh: Lần lợt kiểm tra các tiên đề của môđun với chú ý là phần
tử không của Ai là (0)iI và phần tử đối của (ai ) là (ai ).
iI

4.1.2. Định nghĩa. Phần tử (ai )

Ai đợc gọi là có giá hữu hạn nếu nh
iI

tập các chỉ số i I mà ai = 0 là hữu hạn. Nói cách khác ai = 0 với mọi i trừ
một số hữu hạn.
4.1.3. Mệnh đề . Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của
con của

Ai là môđun
iI

Ai .
iI

Chứng minh:

Gọi S là tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

Ai .
i∈I

Tr−íc hÕt ta thÊy S = ∅ v× (0) ∈ S . Ngoµi ra nÕu lÊy (xi ) vµ (yi ) S thì (xi + yi )
cũng có giá hữu hạn nên (xi ) + (yi ) S . LÊy (xi ) ∈ S vµ α ∈ R thì (xi ) cũng
có giá hữu hạn nên (xi ) S . Theo Định lý 5.1.2, S < Ai .
iI

4.1.4. Định nghĩa.
(1) Cho họ các R-môđun phải (Ai |i I). Lúc đó R-môđun phải

Ai
iI

đợc gọi là tích trực tiếp của họ đó.
(2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của

Ai đợc
iI

gọi là tổng trùc tiÕp (ngoµi) cđa hä (Ai , i ∈ I). Ta hay kÝ hiƯu nã lµ

Ai .
i∈I

Cã thĨ suy ngay từ đinh nghĩa là khi I hữu hạn thì
Ai =
iI

Ai .
iI

Khi xét đến tổng và tích trực tiếp của các môđun, ta thờng hay chú ý
đến một vài loại đồng cấu đặc biệt sau:
Ai Aj

j :
iI

15


(aj ) −→ aj
Ai −→

σ:

Ai
⊂∈I

i∈I

(ai ) −→ (ai )
ηj : Aj −→ ⊕ Ai
i∈I

aj −→ (ti )

trong ®ã ti = 0 nÕu i = j vµ ti = aj nÕu i = j .
Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của các đồng cấu trên.
4.1.5. Bổ đề.
(1) j , j là toàn cấu.

(2) j , j là đơn cÊu.
1 Aj ,
nÕu k = j
(3) πk σηj =
.
0,
nÕu k = j
(4) (σηj πj )2 = σηj πj .
(ηj πj σ)2 = ηj πj σ.
(5) NÕu I = {1, ..., n} thì
n

(j j ) = j j và 1
2

Ai

=

j j .
i=1

4.2. Tổng trực tiếp trong.

4.2.1. Định lý . Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi )iI là họ các môđun
con của M . Xét ánh xạ
Mi M

f:
iI

(xi )

xi .
I

Các điều kiên sau là tơng đơng:
(1) f là một đẳng cấu.
(2) Mọi phần tử x M đều có thể viết đợc duy nhất dới dạng x = xi ,
trong đó (xi ) là phần tử của Mi , nghĩa là có giá hữu hạn.
(3) M = iI Mi và mọi hệ thức có dạng iI xi = 0 trong đó phần tử
(xi ) có giá hữu hạn đều suy ra xi = 0 với mọi i ∈ I .
(4) M = i∈I Mi vµ Mi ∩ ( i=j Mj ) = 0 víi mäi i ∈ I .
16


Chứng minh:

(1) (2).

Do f đẳng cấu nên x M, ∃!(xi ) ∈ ⊕Mi ®Ĩ
x = f((xi )) = I xi . Đó chính là (2).
(2) (3). Trớc hÕt chøng minh M = i∈I Mi . ThËt vËy víi x ∈ M , ta
viÕt x = i∈I xi , (xi ) là phần tử có giá hữu hạn. VËy x ∈ i∈I Mi .
B©y giê cho i∈I xi = 0 với phần tử (xi ) có giá hữu hạn. Do (2) cách
biểu diễn 0 = iI 0 là duy nhÊt nªn xi = 0 víi mäi i ∈ I .
(3) ⇒ (4). Cho x ∈ Mi ∩ ( i=j Mj ) th× x = xi = i=j xj trong đó (xj ) có
giá hữu hạn. Lập phần tử (xj ) míi nh− sau:
xj = xj víi j = i
xi = xi Mi

thì từ đẳng thức trên ta có 0 = jI (xj ) mà phần tử (xj ) cũng có giá hữu hạn.
Theo (3) xj = 0 víi mäi j ∈ I . Tõ ®ã ta cã
x = −xi = xi = 0.

VËy Mi ∩ (

j=i

Mj ) = 0.

(4) (1). Bạn đọc có thể kiểm tra f là một đồng cấu dễ dàng. Khi
x M th× theo (4) x cã thĨ viÕt x = i∈I xi trong đó (xi ) có giá hữu hạn.
Lấy phần tư (xi )i∈I ∈ ⊕Mi th× f((xi )) = x nên f là một toàn cấu. Ngoài ra
giả sử (xi ) ∈ Kerf , nghÜa lµ f((xi )I ) = i∈I xi = 0. Lóc ®ã víi mäi i ∈ I
xi = j=i (−xj ) ∈ Mi ∩ ( j=i Mj ) = 0. VËy Kerf = 0 hay f là một đơn cấu.

Tóm lại ta có f là một đẳng cấu.
4.2.2. Định nghĩa. Cho MR và họ (Mi )iI các môđun con của M . M đợc gọi
là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (Mi )iI nếu và chỉ nếu các điều
kiện tơng đơng của Định lý 4.2.1 đợc thoả mÃn. Lúc đó ta kí hiệu:
.

M=

Mi .
I

.

.

Khi I hữu hạn ta viết M = M1 + ... + Mn .
4.2.3. Mèi quan hƯ gi÷a tỉng trùc tiÕp trong vµ ngoµi.
(1) Khi cho MR vµ (Mi )I là họ các môđun con của M . Ta luôn luôn lập
đợc tổng trực tiếp ngoài Mi . Ngoài ra nÕu Mi ∩ ( j=i Mj ) = 0 với mọi i thì
iI

ta cũng lập đợc tổng trực tiếp trong

.

Mi . Theo Định lý 4.2.1 ta có
I
.

Mi

Mi .

17


(2) Nếu cho (Mi )iI là họ các R-môđun phải . Ta luôn luôn lập đợc
M = Mi . Lúc đó M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con (Mi )I sao cho
víi mäi i ∈ I , Mi Mi .
ThËt vËy, víi ηk : Mk −→ ⊕Mi thì mỗi x M biểu diễn duy nhất dới
dạng x = I ηi (xi ) trong ®ã (xi ) có giá hữu hạn. Theo Định lý 4.2.1.(2), M
chính là tỉng trùc tiÕp trong cđa hä Mi = ηi (Mi ) < M . Do i đơn cấu nên
Mi Mi . Do những lý do trên ngời ta thờng đồng nhất hai khái niệm trên

và ít khi phân biệt chúng, và dùng chung một kí hiệu iI Mi .
4.3. Hạng tử trực tiếp.

4.3.1. Định nghĩa. Cho MR và N < M. N đợc gọi là hạng tử trực tiếp của
M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lóc ®ã ta nãi P là
môđun con phụ của N trong M .
Từ định nghĩa ta suy ra ngay:
N là hạng tử trực tiếp cđa M ⇔ ∃P

<

M[M = N + P vµ N P = 0].

4.3.2. Ví dụ:
(1) Cho M là không gian vectơ hữu hạn chiều. Lúc đó mọi không gian
con của M đều có không gian con phụ.
(2) Nói chung không phải mọi môđun con của một môđun đều có môđun
con phụ, chẳng hạn ta xét ZZ . Lấy N = nZZ víi n = 0. Víi mäi mZZ, m = 0
ta cã mn ∈ nZZ ∩ mZZ nªn nZZ mZZ = 0 nghĩa là nZZ + mZ không là tổng trực
tiếp. Vậy nZZ không có môđun con phụ nào trong ZZ .
4.3.3. Mệnh đề. Mọi môđun con phụ của N trong M nếu có đều đẳng cấu
với nhau.
Chứng minh: Cho N < M và N có môđun con phụ trong M là P và P .
Lúc đó M = N ⊕ P. tõ ®ã M/N (N ⊕ P )/N . Theo định lý đẳng cấu thứ nhất,
M/N P/N ∩ P = P/0 P . T−¬ng tù ta cịng có M/N P . Suy ra P P .
Đ5. Môđun tự do.
5.1. Định nghĩa.

5.1.1. Bổ đề . Cho FR là R-môđun phải. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(1) F có .cơ sở.

(2) F = Ai và với mọi i ∈ I, RR Ai .
i∈I

18


Chứng minh: Chú ý đối với trờng hợp F = 0 thì cơ sở của F chính là tập
và do vËy trong (2) ta lÊy I = ∅. Do vËy ta gi¶ sư F = 0.
(1) ⇒ (2). Cho X là cơ sở của F và a X . Lập ánh xạ
a : RR aRR
r ar.

Lúc đó a là toàn cấu R-môđun phải. Ngoài ra, do víi mäi r ∈ R, ar = 0 th×
ar = 0 = a0. Vì X là cơ sở nên r = 0. Vậy a là đơn cấu. Từ đó a là đẳng
cấu.
.
Ta sẽ chứng minh F =
aR. Thật vậy, vì X là cơ sở nên nó là hệ sinh.
aX

aR. Bây giờ cho a0 X là phần tử tuỳ ý. XÐt phÇn tư

Ta cã ngay F =
a∈X

c ∈ ao R

aR.. Lúc đó tồn tại a1 , ..., an X, ai = a0 vµ r0 , r1 , ..., rn ∈ R

a∈X,a=a0

sao cho
c = a0 r0 = a1 r1 + ... + an rn .

Tõ ®ã 0 = −a0 r0 + ni=1 ai ri . Do ai thuéc c¬ së X nªn r0 = r1 = .... = rn = 0.
VËy c = 0, nghÜa lµ a0 R ∩
aR = 0. Theo Định lý 4.2.1, F =
aR.
aX,a=a0

aX

(2) (1). Cho i : RR Ai là các đẳng cấu theo gi¶ thiÕt (2). Ta sÏ
chøng minh {ϕi (1) : i I} là cơ sở của F .
{i (1)} lµ hƯ sinh : Ta cã Ai = ϕi (R) = ϕi (1.R) = ϕi (1)R. Ngoµi ra
.

F =

Ai =
i∈I

ϕi (1)R.
iI

Điều này chứng tỏ {i (1)} là hệ sinh của F .
{i (1)} độc lập: Điều này suy ngay từ tính chất của tổng trực tiếp trong.

5.1.2. Định nghĩa. R-môđun phải F thoả một trong các điều kiện trên của Bổ
đề 5.1.1 đợc gọi là tự do.

5.1.3. Ví dụ:
(1) Vành R là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở là {1}.
(2) Mọi không gian vectơ đều là môđun tự do vì chúng luôn có cơ sở
(!).
Tổng quát hơn của (1) ta cã:
5.1.3. MƯnh ®Ị. Víi tËp chØ sè I tuỳ ý, môđun

R; đợc thành lập bằng
iI

19


cách tổng trực tiếp của I lần R; là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở có lực
lợng bằng lùc l−ỵng cđa I .
Chøng minh:
XÐt hä (Ai |i ∈ I) mµ Ai = RR víi mäi i ∈ I . Theo Bổ đề 5.1.1,
.
i
Ai =
Ai mà RR
Ai
Ai . Từ đó suy ra
R là môđun tự do với cơ sở
iI

iI

iI

{i (1)|i ∈ I}.

Chó ý: Khi I = {1, ..., n} th× ϕi (1) = (0 ...0 1 0 ... 0) do vậy {i (1)}ni=1 đợc gọi
là cơ sở trực chuẩn của Rn .
5.2. Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.

5.2.1. Định lý. Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun
phải tự do nào đó. Nếu MR hữu hạn sinh thì MR là ảnh toàn cấu của một
R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn.
Chứng minh: Giả sử Y là một hệ sinh nào đó của M . Xét môđun tự do
.

R=
Y

b (1)R.
bY

Từ tính chất biểu diễn duy nhất qua các phần tử cơ sở của

R suy ra rằng
Y

qui tắc

.

b (1)R M

R=

Y

bY

b (1)rb

là mét toµn cÊu.
Khi Y = {y1 , ..., yn } thì

brb

R = Rn .
Y

5.2.2. Định lý. Nếu : AR FR là một toàn cấu từ R-môđun phải A vào
môđun tự do F thì tồn tại đồng cấu : FR −→ AR sao cho ϕϕ = 1F .
Chøng minh: Giả sử Y là cơ sở nào đó của môđun FR và đối với mỗi b Y
chọn ab ∈ A sao cho ϕ(ab ) = b. Khi ®ã ánh xạ
: F A
brb

ab rb

là đồng cấu do Y là cơ sở. Vì vậy
(

brb ) = ϕ(

ab rb ) =

20

ϕ(ab )rb =

brb ,


nghĩa là = 1F . Dĩ nhiên, ta cũng có:
.

A = Im( ) + Ker().

Đ6. Tích tenxơ của các môđun.
6.1. Các định nghĩa và tính chất.

Chúng ta đi xây dựng tích tenxơ của các môđun thông qua tính chất phổ
dụng và sau đó chỉ ra một mô hình cụ thể của nó.
6.1.1. Định nghĩa. Cho R là vành có đơn vị 1 = 0. Cho R-môđun phải MR ,
R-môđun trái R N và nhóm aben A. ánh xạ : M × N −→ A tõ tÝch Descartes
M × N vào A đợc gọi là song tuyến tính trong tr−êng hỵp víi mäi m, m1 , m2 ∈
M, n, n1 , n2 ∈ N vµ r ∈ R, β tháa m·n:
(1)
(2)
(3)

β(m1 + m2 , n) = β(m1 , n) + β(m2 , n),
β(m, n1 + n2 ) = β(m, n1 ) + β(m, n2 ),
β(mr, n) = β(m, rn).

6.1.2. Ví dụ. Ví dụ quen thuộc nhất của ánh xạ song tuyến tính là phép toán

trong (nhân) của vành R: R ì R R. (1), (2) và (3) đợc tháa m·n do tÝnh
ph©n phèi hai phÝa cđa phÐp nh©n đối với phép cọng và tính kết hợp của phép
nhân.
6.1.3. Định nghĩa. Cho MR và R N là các môđun. Cặp (T, ) bao gồm một
nhóm aben T và một ánh xạ song tuyến tính : M ì N T đợc gọi là
tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến
tính : M ì N A tồn tại duy nhất ZZ -đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm)
f : T A sao cho giản đồ sau giao hoán:


M ìN




T
f
A

nghĩa là, f = .
6.1.4. Nhận xét.
(1). Nếu (T, ) là tích ten xơ của M và N thì rõ ràng f cũng là ánh xạ
song tuyến tính với mọi đồng cấu nhãm f : T −→ A. VËy (T, τ ) là tích tenxơ
của M và N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A
HomZZ (T, A)

f f {| là ánh xạ song tuyến tính M × N −→ A},

21

là một song ánh.
(2). Nếu (T, ) là tích tenxơ của M và N thì (M ì N ) sinh ra nhóm T
(Chứng minh xin dành cho bạn ®äc).
TÝnh duy nhÊt cđa tÝch tenx¬ thĨ hiƯn qua:
6.1.5. MƯnh ®Ị. NÕu (T, τ ) vµ (T , τ ) là hai tích tenxơ của M và N thì lúc
đó tồn tại một ZZ -đẳng cấu f : T T sao cho giản đồ sau giao hoán:


M ìN




T
f
T

nghĩa là, τ = f ◦ τ.
Chøng minh: Theo gØa thiÕt, tån tại các đồng cấu nhóm f và g sao cho các
giản đồ sau giao hoán:


M ìN

M ìN

T
f
T




T
g
T

Lúc đó sự giao hoán của các giản đồ:


M ìN






M ìN

T
gf
T

T
idT
T

cho ta gf = idT . T−¬ng tù fg = idT . Vậy f là một đẳng cấu.
Bây giờ chúng ta bàn đến sự tồn tại của tích tenxơ. Để xây dựng đợc
tích tenxơ của M và N , ta lấy F = ZZ (M ìN ) là nhóm aben tự do sinh ra bởi
M ì N . Lúc đó F có cơ sở tự do (x )M ìN và có thể viÕt F cơ thĨ nh− sau:
F ={

ti (mi , ni )|ti ZZ

và tổng này chỉ là tổng hữu hạn }.

Gọi K là nhóm con của F sinh bởi các phần tử có dạng: (m1 + m2 , n1 ) −
(m1 , n1 ) − (m2 , n1 ), (m1 , n1 + n2 ) − (m1 , n1 ) − (m1 , n2 ), (m1 r, n1 ) − (m1 , rn1 ), và tiếp
đó ta lấy nhóm thơng T = F/K .
Xác định : M ì N T bởi = pj trong đó p là toàn cấu chính tắc
p : F F/K còn j là phép nhúng M ì N F. Nghĩa là
(m, n) = (m, n) + K, ∀m ∈ M, n N.

Ta kiểm chứng là ánh xạ song tuyÕn tÝnh. ThËt vËy,
22


τ (m1 + m2 , n1 ) − τ (m1 , n1 ) − τ (m2 , n1 ) =
= (pj)(m1 + m2 , n1 ) − (pj)(m1 , n1 ) − (pj)(m2 , n1 ) =
= p(m1 + m2 , n1 ) − p(m1 , n1 )p(m2 , n1 ) =

= p((m1 + m2 , n1 ) − (m1 , n1 ) − (m2 , n1 )) =
= 0 (do (m1 + m2 , n1 ) − (m1 , n1 ) − (m2 , n1 ) ∈ K .
VËy τ (m1 + m2 , n1 ) = τ (m1 , n1 ) + τ (m2 , n1 ), ∀m1 , m2 ∈ M, n1 ∈ N .

T−¬ng tù ta kiểm chứng đợc:
(m1 , n1 + n2 ) = τ (m1 , n1 ) + τ (m1 , n2 ), ∀m1 ∈ M, n1 , n2 ∈ N.
τ (m1 r, n1 ) = τ (m1 , rn1 ), ∀r ∈ R, ∀m1 ∈ M, n1 ∈ N.

Ta cã kÕt quả:
6.1.6. Mệnh dề. Với T và xác định nh ở trên, (T, ) là tích tenxơ của MR
và R N.
Chứng minh: Giả sử cho : M ì N A là một ánh xạ song tuyến tính từ
M ì N vào nhóm aben A tùy ý. Vì F là tự do trên M ì N nên có mét ®ång
cÊu nhãm g : F −→ A sao cho giản đồ sau gisao hoán:
j

M ìN




F
g
A

nghĩa là, = g j. Vì là song tuyến tính, ta có:
g((m1 +m2 , n1 )−(m1 , n1 )−(m2 , n1 )) = g(j(m1 +m2 , n1 )−j(m1 , n1 )−j(m2 , n1 )) =
(gj)(m1 +m2 , n1 )−(gj)(m1 , n1 )−(gj)(m2 , n1 ) = β(m1 +m2, n1 )−β(m1 , n1 )(m2 , n1 ) =
0

Tơng tự kiểm chứng đợc
g((m1 , n1 + n2 ) − (m1 , n1 ) − (m1 , n2 )) = 0, g((m1 r, n1 ) − (m1 , rn1 )) = 0.
Suy ra K ⊆ Kerf . Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm, tồn tại một
ZZ -đồng cấu f : T A sao cho giản đồ sau giao hoán:


M ìN




T
f
A

nghĩa là, β = f ◦ τ. Do τ (M × N ) sinh ra T nên f đợc xác định duy nhất qua
giản đồ vừa nêu.
Qua các Mệnh đề vừa nêu, ta nhËn thÊy r»ng khi cho MR , R N và (T, )
là tích tenxơ vừa mới thiết lập, thì (T, ) xác định duy nhất sai khác mét phÐp

23


đẳng cấu. Chính vì vậy, ta viết
T = M R N

và với mỗi (m, n) M ì N , ta viÕt τ (m, n) = m ⊗ n. Ta thờng hay gọi M R N
là tích tenxơ của MR và R N , còn là ánh xạ tenxơ. Chú ý rằng do không
đơn ánh nên không thể ®ång nhÊt M × N víi τ (M × N ) M N đợc, chính
vì thế cũng cần l−u ý khi ta lÊy m ∈ M < M và n N < N , thì m n có thể

đợc hiểu theo nhiều nghĩa, đó là nghĩa theo tích tenxơ M R N và theo tích
tenxơ M ⊗R N . Chó ý r»ng tËp sinh cđa M ⊗R N lµ:
{m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N }

Ta có:
6.1.7. Mệnh đề. Với mỗi ánh xạ song tuyến tính : M ì N A tồn
tại duy nhÊt mét ®ång cÊu nhãm aben: f : M ⊗R N −→ A sao cho víi mäi
m ∈ M, n ∈ N : f(m ⊗ n) = β(m, n).

Chøng minh: Theo định nghĩa của tích tenxơ.
Ta sẽ nêu lên các tính chất số học của tích tenxơ mà việc chứng minh
suy ra ngay từ định nghĩa.
6.1.8. Mệnh đề. Với mỗi phần tử của M N có thể đợc biểu diễn dới
dạng tổng hữu hạn i (mi ni )(mi ∈ M, ni ∈ N ). Ngoµi ra, víi mäi m1 , m2 ∈
M, n1 , n2 ∈ N, r ∈ R, ta cã:
(1)
(2)
(3)

(m1 + m2 ) ⊗ n1 = (m1 ⊗ n1 ) + (m2 ⊗ n1 ),
m1 ⊗ (n1 + n2 ) = (m1 ⊗ n1 ) + (m1 ⊗ n2 ),
(m1 r) ⊗ n = m1 ⊗ (rn).

6.1.9. Định nghĩa. Cho R và S là hai vành có đơn vị khác không. Nhóm aben
(M, +) là một song môđun R-bên phải S -bên trái, kí hiệu S MR nếu
(a) M là R-môđun phải và S -môđun trái.
(b) (sx)r = s(xr), ∀ r ∈ R, s ∈ S, x M.
6.1.10. Chú ý.
(1) Mặc dù (M ì N ) = {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N } sinh ra M ⊗R N , nh−ng nãi
chung τ (M × N ) = M ⊗R N . Ngoài ra, sự biểu diễn các phần tử của M R N

nh là tổng hữu hạn i (mi ni ) không phải duy nhất.
(2) Tích tenxơ của hai môđun khác không có thể bằng không. Ví dụ lấy
A = ZZ/2ZZ, U = ZZ/3ZZ. Khi ®ã víi mäi a ∈ A, u ∈ U , trong A ⊗ZZ U, ta cã:
24


0 = 0 ⊗ 0 = a ⊗ 0 − 0 ⊗ u = a ⊗ (3u) − (2a) ⊗ u = 3(a ⊗ u) − 2(a ⊗ u) = a ⊗ u.
VËy A ⊗ZZ U = 0.

(3) Nhãm aben M R N nói chung không phải là R-môđun. Tuy nhiên
cấu trúc song môđun trên M hay N cảm sinh cấu trúc môđun trên M R N .
Giả sử, ví dơ ta lÊy S MR , R N . Lóc đó với mỗi s S ta dễ dàng kiểm tra đợc
với phép toán s(m n) = (sm) n lµm cho M ⊗R N trë thµnh mét S -môđun
trái. Tơng tự cho N = R NT là song môđun thì M R N là T -môđun phải với
phép toán (m n)t = m (nt).
Đối với R RR , ta cã ngay M ⊗R R lµ mét R-môđun phải còn R R N là
một R-môđun trái. Ta có:
6.1.11. Mệnh đề. Với mỗi R-môđun phải M , có R-đẳng cấu:
r : M R R M

xác định bởi νr (m ⊗ r) = mr.

Chøng minh: Ta cã ¸nh xạ M ì R M xác định bởi (m, r) mr là ánh
xạ song tuyến tính nên tồn t¹i νr : M ⊗R R −→ M sao cho r (m r) = mr. Ta
kiểm tra đợc r là đẳng cấu thông qua đồng cấu : M M R R xác định
bởi (m) = m 1 vµ ta cã ngay νr ◦ η = idM , η ◦ νr = idM ⊗R R .
T−¬ng tù ta có:
6.1.12. Mệnh đề. Với mỗi R-môđun trái N , có R-đẳng cấu:
l : R R N N

xác định bëi νl (r ⊗ n) = rn.

6.2 TÝch tenx¬ cđa các đồng cấu.

Cho M, M là các R-môđun phải, và cho N, N là các R-môđun trái. Hơn
nữa, giả sử cho f : M −→ M , g : N N là các R-đồng cấu. Xác định ánh
xạ
(f, g) : M ì N M R N

xác định bởi (f, g)(m, n) = f(m) ⊗ g(n). Râ rµng (f, g) là một ánh xạ song tuyến
tính. Vì vậy tồn tại duy nhất một ZZ đồng cấu từ M R N vào M R N sao
cho giản đồ sau giao hoán:
M ìN




(f, g)

25

M R N

M R N


6.2.1. Định nghĩa. ánh xạ vừa mới nêu đợc gọi là tích tenxơ của hai đồng
cấu f và g , kí hiệu f g, xác định bởi
(f g)(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n), m ∈ M, n ∈ N.

6.2.2. MƯnh ®Ị. XÐt MR , MR , R N, R N , ∀ f1 , f2 , f ∈ HomR (M, M ) vµ ∀g1, g2 , g ∈
HomR (N, N ). Ta cã:
(1) (f1 + f2 ) ⊗ g = (f1 ⊗ g) + (f2 ⊗ g)
(2) f ⊗ (g1 + g2 ) = (f ⊗ g1 ) + (f ⊗ g2 ).
(3) f ⊗ 0 = 0 ⊗ g = 0.
(4) idM ⊗ idN = idM R N .
Chứng minh: Ta chứng minh dựa vào các phÇn tư sinh m ⊗ n cđa M ⊗R N.
6.2.3. Mệnh đề. Cho các R-đồng cấu f : M M , f : M −→ M”, g : N −→ N
vµ g : N −→ N ”. Ta cã:
(f ⊗ g )(f ⊗ g) = (ff ) ⊗ (gg ).

Chứng minh: Ta chứng minh cũng dựa vào các phần tư sinh m⊗n cđa M ⊗R N.
Cho R K vµ MR . Cho M < M vµ i : M M là phép nhúng. Lúc đó xét
tích tenxơ của i ⊗ idK : M ⊗R K −→ M ⊗R K nói chung không đơn cấu. Chính
vì thế:
6.2.4. Định nghĩa. Môđun con M đợc gọi là K tinh nếu i idK là đơn cấu.
6.3. Tích tenxơ và tổng trực tiếp.

Định lý sau nói lên sự giao hoán của tích tenxơ với tổng trực tiếp.
6.3.1. Định lý. Cho MR vµ R N = ⊕Λ Nλ víi phÐp nhóng chÝnh tắc : R N
R N và phép chiếu πλ : R N −→ R Nλ . Lóc ®ã (M ⊗R N, idM ⊗ λ ) lµ mét tỉng
trùc tiÕp cđa {M ⊗R Nλ }Λ , nghÜa lµ
M ⊗ (⊕Λ Nλ )

⊕Λ (M ⊗R Nλ ).

Chøng minh: Víi c¸c ¸nh x¹ idM ⊗ πλ : M ⊗R N −→ M R N , từ các tính
chất của tích tenxơ của các đồng cấu ta có:
(idM à )(idM

)

26

= ∂λµ idM ⊗Nλ .