phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hồng Thị Oanh

PHÉP CHIA CĨ DƯ TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số :

60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình hướng dẫn và
giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, TS. Trần Lương Cơng Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thu Hương đã nhiệt tình giảng
dạy, truyền thụ cho chúng tơi những kiến thức về didactic tốn.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tơi trong q trình học tập và
nghiên cứu về didactic tốn.
- Ban giám hiệu và các thầy cơ, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi,

giúp đỡ và ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học của mình.
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận
lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học.
- Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học.
Hồng Thị Oanh


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Pccd

:

Phép chia có dư

Pch

:

Phép chia hết

UCLN

:

Ước chung lớn nhất

TCTH

:

Tổ chức tốn học

THPT

:

Trung học phổ thơng

THCS

:

Trung học cơ sở

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên

SBT

:

Sách bài tập

SGK3

:

Sách giáo khoa toán 3

SGK4

:

Sách giáo khoa toán 4

SGK5

:

Sách giáo khoa toán 5

SGK6

:

Sách giáo khoa tốn 6

SGK7

:

Sách giáo khoa tốn 7

MTBT

:

Máy tính bỏ túi

Tr

:

Trang


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về
bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là
“ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý
những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và
nghĩa của phép chia trong những tình huống đó.
Phép chia có những nghĩa như sau:
-

Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết.

-

Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng.

-

Phép chia là phép tốn ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào
phép nhân tương ứng.

Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư :
-

Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết.

-

Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi cịn một số đối tượng
khơng thể phân phối đều được nữa.

Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa:
-

Phép chia hết là phép chia mà khơng có dư

-

Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia.

Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau.
Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt
ra :
Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có
cịn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay khơng? Phép chia có dư xuất hiện

trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì tốn học gì ?

2. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học
nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học
và THCS. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao
tác về pccd. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế
dạy học pccd ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó chúng tơi xây dựng các tổ chức tốn học xung quanh
khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên.


Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử
của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối
tượng phép chia có dư. Ở đây, chúng tơi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và
quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd.
Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu:
Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có
những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trị công cụ cho những tri thức nào ?
Q2. Trong thể chế dạy học tốn ở phổ thơng Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế
nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể
chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào?
Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong
quá trình dạy – học phép chia có dư ?
3. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là:
Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:
 Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học
về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải
quyết những vấn đề nào.
 Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thơng: phân tích chương trình và SGK Việt

Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết
những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra
những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực
nghiệm.
 Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã
được đặt ra ở trên.
Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:


NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA
HỌC

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN
GIẢNG DẠY
(Thể chế dạy học Việt Nam)

THỰC NGHIỆM

4. Tổ chức luận văn:
Luận văn gồm những phần chính sau đây:
 Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn
đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên
cứu và tổ chức của luận văn.
 Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo
trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế cơng cụ
của khái niệm này.
 Chương 2: Chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK
Việt Nam. Từ đó chúng tơi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.
 Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà
chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.

 Phần kết luận
Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có
thể mở ra của luận văn.


CHƯƠNG I
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế cơng cụ của phép chia
có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng
tơi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và
các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trị cơng cụ của phép chia có dư trong việc nghiên
cứu những khái niệm có liên quan.
Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư.
Ở đây chúng tơi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại
cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam :
[a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục
[b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động –
Người dịch: Bùi Xn Toại
[c] Hồng Xn Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục
Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan
đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Việc phân tích so sánh
các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ
giáo trình đại học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tơi thực hiện phân tích phép chia có dư
được giảng dạy ở phổ thơng.
1. Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học
1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng
Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự
nhiên.
Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương
trong phép chia a cho b.”
Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán
nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải
phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này khơng phải lúc nào cũng có
nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận
xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a  b” [trang 11]
với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong


bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày khơng thể hiện mối quan hệ nào giữa phép
trừ và phép chia.
Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở
trang 11 như sau:
“Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn
a = bq + r ; 0  r < b”
Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự
nhiên đã được định nghĩa như sau:
“Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn:
a = bq + r ; 0  r < b
a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.
Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.”
Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b  0 ) thì ln
tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư ln thực hiện được trong tập
hợp số tự nhiên. Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước.
Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.
Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư cịn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong
tập hợp Z:
“Cho hai số nguyên a và b, b  0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho:
a = bq + r ; 0  r< |b|”

Định lý này là mở rộng của định lý 5 được nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý này cơ
bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý này trong trường hợp b >
0, a < 0.
Khi a < 0 thì – a > 0 khi đó tồn tại q, r để
a = bq + r hay a = - bq – r ; 0  r < b
o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0)
o khi 0 < r < b thì a = - bq – r
= b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b.
Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r).
Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp
số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị
chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia
Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3.
Ta có - 14 = - 3.4 – 2


= 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1.
Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp
(q, r) cho trường hợp a < 0.
Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa
vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau:
“Cho hai số nguyên a và b, b  0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số
nguyên q, r sao cho
a = bq + r ; 0  r < |b|.
Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.
Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là :
a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a  b; hoặc :
b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a”
Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc
biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư ln là số ngun khơng âm và bé hơn số

chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngơn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là
“bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngơn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ
“chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] khơng đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư.
Điều này gây khơng ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có
dư.
Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới
tính chia hết.
1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện cơng cụ.
a. Ước chung lớn nhất (UCLN)
Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau:
“Nếu số d là ước số của tất cả các số a1, a2,..,an thì d được gọi là ước chung của các số a1,
a2,..,an.
Một ước chung của các số a1, a2,..,an được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia
hết cho mọi ước chung của các số đó.
ƯCLN của a1, a2,..,an được kí hiệu là ƯCLN(a 1, a2,..,an ).
ƯCLN dương của a1, a2,..,an được kí hiệu là (a1, a2,..,an ).”
Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập
ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung cịn
lại. Thơng qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có
thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn.


Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh
đơi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở
trang 45 như sau:
“5. Nếu có số aj sao cho aj \ ai với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a1, a2, ..., an) =  aj
6. Cho a = bq + c; a, b, c, q  Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c
và ngược lại.”
Tính chất này được nêu ra mà khơng trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau:
a = bq + r thì (a, b) = (b, r)

Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm UCLN bằng thuật tốn Euclide. Thuật toán Euclide
được đưa vào ở trang 46 như sau:
“Cho hai số nguyên a  0 và b  0.
Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q0, r0),(q1, r1),...,(qn, rn) sao cho
a = bq0 + r0 ; 0 < r0 < |b|
b = r0q 1 + r1 ; 0 < r1 < r0
r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1.
…………
rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2
rn – 2 = rn – 1qn + rn ; rn = 0.
Vì |b| > r0 > r1 > ….. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, khi đó thuật tốn kết thúc.
Dãy các số a, b, r0, r1,….rn – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.”
Dựa vào thuật tốn Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a,
b) = (b, r0) = ... = (rn-2, rn-2 ) = rn-1. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác khơng trong thuật tốn
Euclide. Thuật tốn Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép
chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật tốn này, số dư đóng vai trị quan trọng, thuật
tốn sẽ dừng lại khi r = 0.
Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, ... , an.
(a1, a2) = D1
(D1, a3) = D2
..............
(Dn-2, an) = D
vậy ta có (a1, a2, ... , an) = D.
Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của
chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài tốn tìm UCLN của số ngun ta chỉ quan tâm tới việc tìm
UCLN của những số nguyên dương.
Bài tốn tìm UCLN thường gắn liền với bài tốn tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn
này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN.

b. Quan hệ đồng dư
Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57:
“Cho m  N*. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m
và b cho m có cùng số dư.
Kí hiệu : a  b (mod m).”
Nếu a và b đồng dư theo mơdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư
theo môdun m là quan hệ tương đương.
Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được
gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư: 0 ,1 , 2,....., m  1 .
Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang
60 như sau:
“Điều kiện cần và đủ để một số A= an an 1...a1a0 viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a0r0 +
g

a1r1 +... + anrn chia hết cho d, trong đó ri là các số nguyên sao cho g i  ri mod(d), i = 0, 1, ..., n.”
Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu
hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ
minh họa đều trong hệ thập phân.
Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật tốn Euclide cịn là cơng cụ để giải phương trình vơ định.
Định nghĩa số ngun tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi
là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố
hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của
các số tự nhiên.
 Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư.
Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.
Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3.
115

3

1

38
2

3
12 3
0

4
1

vậy 115  110213
Kỹ thuật  DCS :

3
1


+ Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ
số g.
x = g.x0 + a0,

0  a0  g

x0 = g.x1 + a1 ,

0  a1  g

....

xn = g.0 + an,

1  an  g

+ Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0
+ Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm.
Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta
thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a0, số dư lần tiếp theo là a1,.. số dư lần cuối
cùng là an.. Ta được x  an an 1...a1a0 ”
g

Trong cách trình bày chúng tơi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là
số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g. Trong cách giải mong đợi được
nêu ra bởi [a] khơng giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép
chia có dư thì kết quả của bài tốn là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu
nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật tốn này khơng được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện
phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2....dãy xi giảm dần, do đó tồn
tại n để xn = 0.
Công nghệ  DCS : Định nghĩa phép chia có dư.
Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)  a, n  Z , a  N * .
Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giải
Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r;
2, 3, 4, 5.
Nếu r = 0 thì n  6 thì A  6.
Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A  6
...
Vậy với mọi n  Z ta có n(n + 1)(n + 2)  6
Kỹ thuật  CH :
+ Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0  r  a

+ Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư.
Cơng nghệ CH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư.
Lý thuyết CH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư.

với r = 1,


Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng
minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ
thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này.
Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi
nhận thấy thường theo hai cách:
 Khơng âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1}
 Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0,  1,  2,..., 

m 1
m2 m
} nếu m lẻ và {0,  1,  2,..., 
, } nếu
2
2
2

m chẵn. Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất. Để giảm bớt độ lớn của các số trong các phép tính,
người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai.
Kiểu nhiệm vụ TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.
Kỹ thuật  UCLN.DN :
+ Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên.
+ Tìm ước chung của tập hợp số này.
+ Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN.

Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và cơng
sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN.
Cơng nghệ UCLN . DN :Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết.
Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84
Ta có 119 = 84.1 + 35
84 = 35.3 + 14
35 = 14.2 + 7
14 = 7.2
vậy (119, 84) = 7
Kỹ thuật  UCLN .TTE : Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN.
Cơng nghệ UCLN.TTE :
+ Các tính chất UCLN.
+ Định lý cơ bản về phép chia có dư.
Lý thuyết UCLN .TTE
+ Sắp thứ tự tốt của tập N.
+ Nguyên lý chuồng bồ câu.
Ví dụ trang 73: Tìm UCLN của 96, 240, 168, 360
Ta có 96 = 25.3
240 = 2 4.3.5


168 = 2 3.3.7
360 = 2 3.32.7
vậy (96, 240, 168, 360) = 23.3 = 24.
Kỹ thuật  UCLN . NT :
+ Phân tích các số nguyên a thành dạng phân tích tiêu chuẩn:
a1 = p1 . p2 ... pk 

k

a2 = p1 . p2  ... pk 

k

1

1

2

2

........
an = p1 . p2 ... pk  ,
1

2

k

UCLN(a1,a2, ... ,an) = p1min(  ,  , ) . p2 min(
1

1

1

2 ,  2 , 2

)

... pk

min(  k ,  k ,  k )

, với  i 0, i  0,  i  0, i  1...k

Công nghệ  UCLN.NT :
+ Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết.
+ Quy tắc nhân lũy thừa.
Lý thuyết UCLN . NT : định lý
“Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự
của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.”
Trong ba kỹ thuật tìm UCLN, ta thấy rằng kỹ thuật  UCLN. NT là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ
vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm UCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ
thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác.
Bài tốn tìm bội chung nhỏ nhất là bài tốn ln đi với bài tốn tìm UCLN, tuy nhiên trong
luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN.
Kiểu nhiệm vụ TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z.
Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSD của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới
dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư.
Ví dụ trang 60
Tìm số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24
Giải
52  1(mod 24)  530  1(mod 24)
50  2(mod 24), do đó 530 + 50  3(mod 24) và (530 + 50)30  330(mod 24)
[...]
Vì (5 30 + 50)30  9 (mod 24) nên số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 là 9.
Kỹ thuật  SD : Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm
số dư của phép chia.

Cộng nghệ  SD : Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư.
Số dư có vai trị quan trọng trong một số bài tốn của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ
này giáo trình thường huy động các đinh lý sau.
1. Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì:
ap – 1  1 (mod p)
2. Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì a ( m)  1 (mod m)
*
 a k ( m )  1 (mod m)  a r  k ( m)  a r (mod m) (r N )

nói theo cách khác, nếu n, r  N và n  r (mod  (m) ) thì an  ar (mod m)
Kiểu nhiệm vụ TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vơ định ax + by = c.
Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14
Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm
Theo thuật tốn Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5:
53.( - 3) + 32.5 = 1
53.( - 42) + 32. 70 = 14
Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:
 x  42  32t

 y  70  53t

tZ

Kỹ thuật  NNPT :
+ Sử dụng thuật tốn Euclide tìm UCLN(a, b) = D.
+ Tìm số u, v thỏa đẳng thức: au + bv = D.
+ Một nghiệm của phương trình là: x0 =

cu
cv
; y0 =
D
D

b

 x  x0  D t

họ nghiệm của phương trình là: 
y  y  a t
0


D

tZ

Công nghệ  NNPT :
+ Định lý về phép chia có dư
+ Các tính chất về UCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v
sao cho D = au + bv”
+ Phương trình đồng dư
Ngồi ra phương trình vơ định cịn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý
Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó a ( m)  1 (mod m)”. Giáo
trình [a] cịn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương
trình này.

Kết luận
Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp
số nguyên. Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia
có dư để làm cơ sở. Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau
nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết. Đặc trưng của số dư là một số
nguyên không âm bé hơn số chia.
Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân. Nghĩa
của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tơi nhận thấy nó khơng được trình bày tường minh
trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản
với trường hợp a là số nguyên âm.
Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này. Nên khái niệm phép chia
có dư xuất hiện trong vai trị cơng cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như UCLN, quan hệ đồng
dư, giải phương trình vơ định ...Một trong những ứng dụng nổi bậc của phép chia có dư là thuật tốn
Euclide, và chính thuật tốn này cho ta cơng cụ giải quyết nhiều bài tốn của số học. Phép chia có
dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau:
TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.
TCH: Chứng minh rằng: P(n)  a, n  Z , a  N * .
TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.
TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z.
TNNPT: Tìm nghiệm ngun của phương trình vơ định ax + by = c.
Ta có thể xem TCH là một trường hợp riêng của TSD.
Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong
tập hợp số nguyên.
2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Tốn rời rạc
2.1 Phép chia có dư với vai trị là đối tượng
Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên. Phép chia được định
nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a]. Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết
thì [b] cũng đưa vào ngơn ngữ “bội” và “ước”. Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định
nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố.
Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở

trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và
r duy nhất, với 0  r < d, sao cho a = dq + r”. Qua định lý này chúng tơi nhận thấy có sự khác biệt
với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương. Trong biểu thức 0  r < d không cịn
giá trị tuyệt đối. Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất


tính tổng qt của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia
a. Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật tốn chia như sau:
“Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q
được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156]
Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156:
1. Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11.
101 = 11.9 + 2. vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2.
2. Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3.
- 11 = 3(-4) + 1
do đó, thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3 là -4 và số dư là 1. Chú ý rằng số dư khơng
thể âm, do đó số dư trong ví dụ trên không thể là (-2), mặc dù: 11 = 3( - 3) – 2 vì r = - 2 khơng
thỏa mãn 0 < r < 3.
Thơng qua hai ví trên [b] đã nêu hai trường hợp phép chia có dư, với cách giải thích ví dụ thứ hai ta
có thể thấy đây cũng ngầm ẩn xem phép chia có dư là phép trừ liên tiếp. Phép chia có dư cũng thực
hiện trong tập hợp số nguyên và đặc trưng của số dư vẫn là một số nguyên không âm và bé hơn số
chia.
2.2 Phép chia có dư với vai trị là cơng cụ.
Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số
học đồng dư, số nguyên và thuật toán. Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì
những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các vị trí của bộ nhớ cho
các hồ sơ, hệ thơng mật mã dựa trên số học đồng dư. Trong bài “Ước số chung lớn nhất” các kỹ
thuật tìm UCLN khơng có gì thay đổi so với [a]. Với bài số học đồng dư thì [b] có đưa vào định
nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số ngun dương. Khi đó kí hiệu a mod m
là số dư khi chia a cho m”. Đây có thể coi là một cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư.

Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó. Thuật tốn Euclide
được giới thiệu trong bài “Số nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho
a = bq + r, trong đó a, b, q và r là các số nguyên khi đó :

ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”.

Ta có chứng minh:
Giả sử d là ước số chung của a và b. Từ đó suy ra a – bq = r chia hết cho d. Do đó mọi ước
chung của a và b cũng là ước chung của b và r.
Tương tự, giả sử b là ước số chung của b và r. khi đó bq + r = a cũng chia hết cho d. Do đó
mọi ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b.
Do đó

ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).


Từ chứng minh trên chúng tôi nhận thấy pccd được ghi dưới dạng “a – bq = r” nêu nghĩa của
pccd là phép trừ liên tiếp cho tới khi còn một số nhỏ hơn số chia. Chứng minh bổ đề trên dựa vào
tính chất chia hết của một tổng và tính chất của ước số chung. Thuật tốn Euclide được nêu ra và [b]
cũng chỉ rõ điều kiện dừng của thuật toán khi r = 0. Trong [b] nêu một chương trình sử dụng máy
tính điển tử tìm UCLN bằng thuật toán Euclide ở trang 172 như sau:
Procedure ƯCLN(a,b: positive integers)
x := a
y := b
while y  0
begin
r := x mod y
x := y
y := r
end {ƯCLN(a,b) là x}

Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ
ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dương n. Một chương
trình máy tính điển tử giải bài tốn này là:
Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers)
q := n
k := 0
while q  0
begin
ak := q mod b
q

q :=  
b 
k := k+1
end {khai triễn cơ số b của n là (ak-1.....a1a0)b} [trang 175]
Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng MTĐT.
Tổ chức tốn học gắn liền với phép chia có dư
TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.
TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số ngun.
TSD : Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành Z.
Trong kiểu nhiệm vụ TSD các số ngun được đưa ra khá đơn giản khơng có dạng lũy thừa
như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TSD chỉ sử dụng công thức r = a – bq. Các kiểu nhiệm vụ TDCS,


TUCLN các kỹ thuật như trong [a], ngồi ra cịn có kỹ thuật sử dụng ngơn ngữ lập trình của MTĐT
để giải quyết bài tốn.
Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z. Mối liên
hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a].
3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương
Đối với giáo trình [c], chúng tơi khơng phân tích phép chia có dư trong vành Z. Vì điểm khác

biệt lớn so với hai giáo Số học và Tốn rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong
một vành Euclide bất kì.
Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở tốn học cho phép chúng tơi giới thiệu phép chia có dư
trong vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong
chương trình và SGK phổ thơng.
3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide
Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu
trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b].
“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền
nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)
 : A*  N

từ A* đến tập hợp số tự nhiên N thoả mãn các tính chất:
i.
ii.

Nếu b\ a và a  0 thì  (b )   (a);
Với hai phần tử a và b tuỳ ý của A, b  0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và  (r) <  (b)
nếu r  0; gọi là một vành Ơclit”

Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ:
 : Z*  N

n  |n|
là một vành euclide.
2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với :
 : K[X] *  N

f(x)   (f) = degf.
Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có UCLN, phép chia euclide

cho phép tìm ra UCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề:
“Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ
a = bq + r
Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”
Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật tốn euclide có cơ sở là bổ đề này.


3.2. Vành Dn
Vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, là một vành Euclide. Như
vậy ta có tính chất sau :
Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) sao cho
a = bq + r.
Vành Z chính là một trường hợp của vành Dn, vành D0.
Từ đó, chúng tơi mơ hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn như sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai
số thập phân a, b với b  0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b.
Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TSD, TCH trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con
của TDn.
Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  Dn sao cho a = bq
(phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là D0. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z
nhưng là phép chia hết trong Dn nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z
với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D1 thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4.
4. Kết luận của chương I
Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên
quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong
chương I.
 Pccd với vai trò là một đối tượng:
Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo
trình đều nêu định lý về pccd. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số
nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số
nguyên và b  0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0 

r < |b|) và [b] khơng có giá trị tuyệt đối (0  r < b). Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện
hơn và khơng mất tính tổng quát cho việc phát biểu pccd trong tập hợp số ngun. Cả hai giáo trình
đều khơng nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng nghĩa của pccd là phép trừ
liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b]. Yếu tố
đặc trưng của pccd là số dư khơng được nhấn mạnh.
Giáo trình [c] khái qt về pccd trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong
vành Z. Giáo trình [a] và [b] đã trình bày pccd trong Z. Hình thức biểu diễn của pccd trong các giáo
trình đại học là: a = bq + r với 0  r  b , trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì
) và b  0. Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức.
Đặt trưng của số dư trong pccd đã được nêu rõ: r = 0 thì đây là phép chia hết, khi 0< r < b
thì là phép chia có dư. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.


Trong vành số ngun phép chia hết khơng khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì
phép chia được thực hiện với mọi số nguyên.
 Pccd với vai trị cơng cụ:
Pccd xuất hiện trong vai trị cơng cụ liên quan đến những khái niệm sau đây.
-

Ước chung lớn nhất

-

Quan hệ đồng dư

Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng pccd. Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất
và lâu đời nhất của pccd. Thuật tốn này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một số kiểu nhiệm vụ
của những bài toán liên quan đến pccd.
Vành Dn là vành euclide, vành Z là D0 dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa
kiểu nhiệm vụ TDn.

Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng pccd trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có
thể chia thành hai nhóm như sau.
- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trị đối tượng nghiên cứu:
TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z
TCH: Chứng minh rằng: P(n)  a, n  Z , a  N * .
Như chúng tơi đã mơ hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của TDn (Tìm
thương và số dư của phép chia có dư trong vành Dn).
- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trị cơng cụ nghiên cứu :
TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.
TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.
TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vơ định ax + by = c.
Những kết quả đã đạt được ở chương I sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tơi sẽ thực
hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn.


Chương II
PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN
GIẢNG DẠY
Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế với phép chia có dư. Cụ thể hơn
chúng tôi nhắm tới việc trả lời các câu hỏi sau:


Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh khái niệm này?

Đặc biệt, phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào?
Đâu là những ràng buộc thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn ấy?
 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh
trong quá trình dạy – học phép chia có dư ?
Để trả lời những câu hỏi trên chúng tơi phân tích chương trình và SGK, cụ thể là SGK lớp 3, 4, 5 và
SGK lớp 6, 7 hiện hành vì phép chia có dư được giảng dạy ở những lớp này. Những kết quả trong

chương I là cơ sở tham chiếu đầu tiên để chúng tơi phân tích trong chương này
1. Thể chế tiểu học :
1.1.Phần bài học
Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình tốn bậc tiểu học. Như vậy chúng tơi sẽ bắt đầu
với chương trình và SGK tiểu học với sơ đồ sau:
Phép chia
(lớp 2)

Phép chia hết và
phép chia có dư
(lớp 3, lớp 4)

Phép chia có dư
( lớp 5)

Trong chương trình này phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5.
Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại. Phép chia có dư học sinh được giới thiệu bắt
đầu từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu trong ở lớp 4. Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở
lớp 2. Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với
phép chia ở lớp 2.
Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là:
“ Giúp học sinh:
Bước đầu nhận biết phép chia trong mối quan hệ với phép nhân.
Biết viết, đọc và tính kết quả của phép chia.”
Và u cầu về trình độ chuẩn của tốn lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và biết
chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số trịn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép
chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng
nhân.

Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:
“6 ơ chia làm hai phần bằng nhau mỗi
phần có 3 ơ.
 Ta có phép chia để tìm số ơ trong mỗi
phần:
3  2=6

6 : 2 = 3.
Đọc là sáu chia hai bằng ba.
Dấu : gọi là dấu chia.
Viết là 6 : 2 = 3

 Ta có phép chia để tìm số phần, mỗi phần có 3 ô:
6 : 3 = 2.
Đọc là sáu chia ba bằng hai.
Viết là 6 : 3 = 2
 Nhận xét:
6 :2=3

3  2 =6
6 : 3 = 2”
Như phần trình bày trên, nghĩa của phép chia được nêu trong bài học này là “phép chia là sự
phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng” luận văn của thạc sĩ Phạm Ngọc
Bảo - 2002. Phép chia là tìm số đối tượng trong mỗi nhóm hay tìm số nhóm chứa các đối tượng.
Phần nhận xét của SGK, phép chia cịn mang nghĩa là phép tốn ngược của phép nhân: muốn tìm
kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia
đã thể hiện tường minh qua ví dụ giới thiệu trong bài. Như vậy ở lớp 2 phép chia giới thiệu với
nghĩa phân chia thành các phần bằng nhau và nghĩa nổi bật vẫn là phép chia là phép toán ngược của
phép toán nhân. Tương tự như trong [a] phép chia được đưa vào chương trình đầu tiên sau đó mới
phân chia phép chia có dư với phép chia hết.

 Phân tích chương trình và SGK lớp 3
Tiếp theo ở lớp 3, phép chia hết và phép chia có dư đưa vào giảng dạy với mục tiêu được
SGV3 trang 7 nêu:
“Thực hiện phép chia trong phạm vi 100.000, biết thực hiện phép chia số có đến năm chữ số
cho số có một chữ số (phép chia hết và phép chia có dư).”


Trong phần phân tích thể chế, ngồi việc phân tích nghĩa của phép chia hết và phép chia có
dư, chúng tơi quan tâm đến các hình thức xuất hiện của phép chia có dư.
Thuật tốn bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài: “Chia số có 2
chữ số cho số có một chữ số” như sau:
“96 : 3 = ?
Đặt tính rồi tính như sau
96

3

9
06

32

 9 chia 3 được 3, viết 3.
3 nhân 3 bằng 9; 9 trừ 9 bằng 0

6
0

 Hạ 6; 6 chia 3 được 2, viết 2
2 nhân 3 bằng 6; 6 trừ 6 bằng 0.

96 : 3 = .....”
Bài này đưa thuật tốn chia bằng cách gọi tên “đặt tính” là dùng sơ đồ chia và thực hiện liên
tiếp các phép chia để tìm kết quả. Thuật tốn chia thực hiện phép chia liên tiếp cho đến khi r = 0 thì
phép chia dừng lại. SGK đưa thuật tốn chia này vào để chuẩn bị giới thiệu về phép chia hết và
phép chia có dư. Ta có thể gọi thuật tốn chia được miêu tả bằng sơ đồ:
a

b
q

r

Trong đó thành phần của phép chia và các bước thực hiện phép chia đã thể hiện rõ ràng. Khi thuật
toán chia xuất hiện phép chia đã vượt khỏi phạm vi bảng chia.
Phép chia có dư chính thức được đưa vào trong bài “Chia hết và phép chia có dư”. Khái niệm
này được trình bày trong SGK3 trang 29 như sau:
 8 chia 2 được 4.
8
8

 4 nhân 2 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0.

2
4

Ta nói: 8 : 2 là phép chia hết.

0

Ta viết: 8 : 2 = 4.
Đọc là tám chia hai bằng bốn.

 9 chia 2 được 4, viết 4.
9
8
1

2
4

 4 nhân 2 bằng 8; 9 trừ 8 bằng 1.
Ta nói: 9 : 2 là phép chia có dư, 1 là số dư
Ta viết: 9 : 2 = 4 (dư 1)
Đọc là: chín chia hai bằng bốn dư 1.
Chú ý: Số dư bé hơn số chia”


Phép chia có dư giới thiệu ở tiểu học chia làm hai trường hợp riêng biệt (tức là phân biệt
trường hợp r = 0 và r  0 và bé hơn số chia). Phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r  0 và
số dư bé hơn số chia. Phép chia hết và phép chia có dư thực hiện bằng sơ đồ chia và ghi kết quả
dưới dạng a : b = q hoặc a : b = q (dư r). Thuật toán chia là công cụ giới thiệu phép chia hết và phép
chia có dư. Cách viết chính thức của phép chia có dư là a : b = q (dư r). Phép chia hết được thể hiện
bởi một đẳng thức, trong biểu thức phép chia có dư “ = ” ở đây không mang nghĩa là một đẳng thức.
Phép chia hết và phép chia có dư được đưa vào lớp 3 với hình thức mơ tả các bước thực hành
tìm thương và số dư. Các thành phần của phép chia đều thuộc số tự nhiên. Số dư là đặc trưng cho
phép phân biệt phép chia hết r = 0 và phép chia có dư r  0 và r bé hơn số chia.
 Phân tích chương trình và SGK lớp 4
Phép chia hết và phép chia có dư tiếp tục được hồn thiện trong chương trình lớp 4. Học sinh
sử dụng sơ đồ chia thực hiện phép chia số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số (chia hết và phép chia có

dư). Phép chia được thực hiện liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0 hoặc số dư bé hơn số chia. Phép
chia hết và phép chia có dư được giới thiệu trong tập hợp số tự nhiên vì vậy các thành phần a, b, c, r
đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Đặc trưng của phép chia hết và phép chia có dư được nhấn mạnh ở
bậc tiểu học là phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r  0 và r bé hơn số chia. Phép chia hết
và phép chia có dư tách làm hai trường hợp khác nhau, điều này không giống như trong [a], [b] xem
phép chia hết là trường hợp riêng của phép chia có dư. Khi đưa phép chia có dư vào chương trình
thì phép chia mở rộng trên tập hợp số tự nhiên.
Một trong những ứng dụng của phép chia có dư giới thiệu ở lớp 4 là dấu hiệu chia hết cho 2,
5 và 9, 3.
Tiếp theo, phép chia có dư trong mối liên hệ với khái niệm phân số

a
. Trong bài: “Phân số và
b

phép chia số tự nhiên”SGK4 trang 108 có nhận xét:
“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử
số là số bị chia và mẫu số là số chia. chẳng hạn 8:4 =
Phân số

8
3
5
; 3: 4 = ; 5:5 = ”.
4
4
5

a
xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia. Trong đó phép chia hết thì phân số

b

rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số
của thương số a chia cho b. Tuy nhiên phân số
cho b. Khai triển phân số

a
được sử dụng trong trường hợp a không chia hết
b

a
không được nhắc đến ở lớp 4.
b

 Phân tích chương trình và SGK lớp 5

a
. Đây là hình thức diễn đạt khác
b