Dãy chính quy suy rộng và tính hữu hạn của tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







PHAN THỊ HIỀN






DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







PHAN THỊ HIỀN





DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG


Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG






THÁI NGUYÊN – 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2

n
1
, ,n
r
∈N
Ass(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r

r
)M)

n
1
, ,n
r
∈N
Ass(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M)
Ass(H
i
I
(M))
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
(R, m)
m. M R dim M = d
depth M  dim M depth M = dim M M
r M I
H
r
I

(M)
f
f f
f
f (I, M)
f M I r
H
r
I
(M)
Supp(M/IM) ⊆ {m}
(x
1
, . . . , x
r
) m M
x
i
/∈ p, p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M)
dim R/p > 1 i = 1, . . . , r. dim(M/IM) > 1
M I
gdepth(I; M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
depth(I, M)  f depth(I, M)  gdepth(I, M).

gdepth(I; M) r
H
r
I
(M) dim(M/IM) > 1.

n
1
, ,n
r
∈N
Ass(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M)
Ass(H
i
I
(M))
Ass(H
i
I
(M))
I R i  0
f

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
2
(x
1
, . . . , x
r
) M

n
1
, ,n
r
∈N
Ass(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M)
Ass(H
i
I
(M)) i  gdepth(I, M)
H
i
I

(M)
Ass(H
i
I
(M))
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
(R, m)
A R M R
dim M = d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
M, N R n  0
n Hom(−, N) M
M N Ext
n
R
(M, N).
Ext
n
R
(M, N) M
. . . → P
2
.u
2
→ P
1
u
1
→ P
0

ε
→ M → 0.
Hom(−, N)
0 → Hom(P
0
, N)
u
∗
1
→ Hom(P
1
, N)
u
∗
2
→ Hom(P
2
, N) → . . .
Ext
n
R
(M, N) = Ker u
∗
n+1
/ Im u
∗
n
n
M
Ext

0
R
(M, N)
∼
=
Hom(M, N).
M N Ext
n
R
(M, N) = 0 n  1.
0 → N

→ N → N

→ 0
Ext
n
R
(M, N

) → Ext
n+1
R
(M, N

), n  0
0 → Hom(M, N

) → Hom(M, N) → Hom(M, N


) → Ext
1
R
(M, N

)
→ Ext
1
R
(M, N) → Ext
1
R
(M, N

) → Ext
2
R
(M, N

) → . . .
0 → M

→ M → M

→ 0
Ext
n
R
(M


, N) → Ext
n+1
R
(M

, N), n  0
0 → Hom(M

, N) → Hom(M, N) → Hom(M

, N) → Ext
1
R
(M

, N)
→ Ext
1
R
(M, N) → Ext
1
R
(M

, N) → Ext
2
R
(M

, N) → . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
M, N Ext
n
R
(M, N)
n.
S R
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N)
S
−1
(Ext
n
R

(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N
p
).
I R M R
M I, H
i
I
(M),
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M))
R
i
(Γ
I

(M)) i I Γ
I
(−)
M.
I R. δ
0 → L
f
→ M
g
→ N → 0
R i ∈ N
0 → H
0
I
(L)
H
0
I
(f)
→ H
0
I
(M)
H
0
I
(g)
→ H
0
I

(N)
→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
→ H
1
I
(M)
H
1
I
(g)
→ H
1
I
(N) → . . .
→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
→ H

i
I
(M)
H
i
I
(g)
→ H
i
I
(N) → H
i+1
I
(L) → . . .
H
i
I
(M) = 0 i > d H
d
m
(M) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
R H
d
I
(M) R H
i
m
(M)
i ∈ N

0
.
M
R
M R (a
1
, . . . , a
n
)
R M M
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
(a
1
, . . . , a
i−1
)M :
M
a
i
= (a
1
, . . . , a
i−1
)M i = 1, . . . , n.
I R M = IM
M I I

M I
M I depth(I, M). M = IM
depth(I, M) = ∞.
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ m M a
i
/∈ p
p ∈ Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M.
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ m M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0 M
M m M depth M.
(a
1
, . . . , a

n
) M I (a
t
1
1
, . . . , a
t
n
n
) M
I t
1
, . . . , t
n
.
depth(I, M) M
depth(M)  dim(M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
I R
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0} = inf{i | H
i
I
(R/I, M) = 0}.
depth(I, M) = t.
Ass
R
(Ext

t
R
(R/I, M)) = Ass
R
(H
t
I
(M)).
p ∈ Supp(M/IM) \ {m},
Ext
n
R
p
(R
p
/IR
p
, M
p
)
∼
=
Hom
R
p
(R
p
/IR
p
, M

p
/(x
1
/1, . . . , x
n
/1)M
p
).
(x
1
, . . . , x
r
) m
M i = 1, . . . , r,
(x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
⊆

n>0
(x
1
, . . . , x
i−1
)M : m

n
.
x ∈ m f x /∈ p
p ∈ Ass(M) \ {m} (x
1
, . . . , x
r
) m f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
x
i
/∈ p p ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) \{m}
i = 1, . . . , r
p ∈ Supp M \{m} (x
1
, . . . , x
r
) ∈ p pR
p
R
p
(x
1
, . . . , x
r
)

x
i
/∈ q q ∈ Ass(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) \ {m} i = 1, . . . , r,
(x
1
/1, . . . , x
r
/1) /∈ qR
p
qR
p
∈ Ass(M
p
)
(x
1
/1, . . . , x
r
/1) M
p
(x
1
, . . . , x
r
) ∈ p f (x
n

1
1
, . . . , x
n
r
r
)
f n
1
, . . . , n
r
N (N) N

R
(N) < ∞ dim(N)  0
(x
1
, . . . , x
n
) f
dim((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
/(x
1

, . . . , x
i−1
)M)  0
i = 1, . . . , n
((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
/(x
1
, . . . , x
i−1
)M) < ∞
i = 1, . . . , n.
(x
1
, . . . , x
n
) R
(x
1
, . . . , x
n
) K
•
p /∈ {0, . . . , n} K

0
= R,
K
p
= 0. 1  p  n, K
p
= ⊕Re
i
1
i
p
R

n
p

{e
i
1
i
p
|1  i
1
< . . . i
p
 n}. d : K
p
−→ K
p−1
d(e

i
1
i
p
) =
p

r=1
(−1)
r−1
x
i
r
e
(i
1


i
r
i
p
)
p = 1 d(e
i
) = x
i
dd = 0. K
•
(x

1
, . . . , x
n
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
K
•
(x) R M K
•
(x, M) = K
•
(x) ⊗
R
M
H
p
(K
•
(x, M))
H
p
(x, M).
H
0
(x, M)
∼
=
M/xM H
n
(x, M)

∼
=
{ξ | x
1
ξ = . . . = x
n
ξ = 0}.
(x
1
, . . . , x
n
) R H
i
(x
1
, . . . , x
n
; M)
i K
•
(x
1
, . . . , x
n
; M) M
(x
1
, . . . , x
n
)

(x
1
, . . . , x
n
) f
(H
i
(x
1
, . . . , x
n
; M)) < ∞, i > 0.
n. n = 1
H
1
(x
1
; M) = (0 :
M
x
1
)
n > 1 n −1, i > 0
(H
i
(x
1
, . . . , x
n−1
; M)) < ∞

. . . → H
i
(x
1
, . . . , x
n−1
; M) → H
i
(x
1
, . . . , x
n
; M)
→ H
i−1
(x
1
, . . . , x
n−1
; M)
(−1)
i−1
x
n
→ H
i−1
(x
1
, . . . , x
n

; M) → . . .
→ H
1
(x
1
, . . . , x
n−1
; M) → H
1
(x
1
, . . . , x
n
; M) → 0 :
M/(x
1
, ,x
n−1
)M
x
n
(H
i
(x
1
, . . . , x
n
; M)) < ∞
i > 0
I R

M I
I ⊆ m (Hom
R
(R/I, M)) < ∞
x ∈ I f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
f
M I I ⊆

p∈Ass
R
(M)\{m}
p,
p ∈ Ass
R
(M) \ {m}
I ⊆ p 0 = a ∈ M p = Ann
R
a
dim(Ra)  dim R/p > 0. I ⊆ p aI = 0. y ∈ Ra,
y ∈ R ya ∈ M. aI = 0 yaI = y(aI) = 0.
Ra ⊆ 0 :
M
I
∼
=
Hom
R
(R/I, M). dim(Hom
R

(R/I, M)) > 0,
f n I
I ⊆ m n > 0
(Ext
i
R
(R/I, M)) < ∞, i < n;
I f n.
(x
1
, . . . , x
n
) ∈ I f p ∈ Spec(R) \ {m}
Ext
n
R
(R/I, M)
p
∼
=
Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
n
)M)
p
.
(Ext

i
R
(R/I, M)) < ∞, i < n.
n n = 1 I
f n > 1 n − 1.
x
1
∈ I f
0 → 0 :
M
x
1
→ M
x
1
→ x
1
M → 0
0 → x
1
M → M → M/x
1
M → 0
0 → Hom
R
(R/I, 0 :
M
x
1
) → Hom

R
(R/I, M)
x
1
→ Hom
R
(R/I, x
1
M)
→ Ext
1
R
(R/I, 0 :
M
x
1
) → . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
0 → Hom
R
(R/I, x
1
M) → Hom
R
(R/I, M) → Hom
R
(R/I, M/x
1
M)
→ Ext

1
R
(R/I, x
1
M) → . . . .
(0 :
M
x
1
) < ∞ i  0 (Ext
i
R
(R/I, 0 :
M
x
1
)) < ∞.
(Ext
i
R
(R/I, x
1
M)) < ∞,
i < n. (Ext
i
R
(R/I, M/x
1
M)) < ∞,
i < n −1. (x

2
, . . . , x
n
) ∈ I
M/x
1
M (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) f
(x
1
, . . . , x
n
) ∈ I f n.
p ∈ Supp(M/IM) \ {m}, (x
1
/1, . . . , x
n
/1)
M
p
Ext
i
R
(R/I, M)
p

= 0, i < n
Ext
n
R
(R/I, M)
p
∼
=
Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
n
)M)
p
.
p /∈ Supp(M/IM) i  0,
Ext
n
R
(R/I, M)
p
= 0 Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
n
)M)

p
= 0.
(Ext
i
R
(R/I, M)) < ∞ i < n
p ∈ Spec(R) \ {m}
Ext
n
R
(R/I, M)
p
∼
=
Hom
R
(R/I, M/(x
1
, . . . , x
n
)M)
p
.
(x
1
, . . . , x
n
) f M I
dim(Hom
R

(R/I, M/(x
1
, . . . , x
n
)M)) > 0.
dim(Ext
n
R
(R/I, M)) > 0. f I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
I R. f
M I f depth(I, M)
f M I f M
I ∞
f depth(I, M) = 0 ∃ p ∈ Ass
R
(M) \{m}
I ⊆ p x ∈ I f
f depth(I, M) = f depth(I, M/xM) + 1.
f depth(I, M) = min{n | dim(Ext
n
R
(R/I, M)) > 0}
dim(Ext
n
R
(R/I, M))  0 n  0
∞.
I, J R.
√

I =
√
J
f depth(I, M) = f depth(J, M).
(x
1
, . . . , x
n
) f M I
√
I =
√
J α > 0 x
α
1
, . . . , x
α
n
∈ J.
(x
α
1
, . . . , x
α
n
) f M J
f depth(I, M)  f depth(J, M).
f depth(J, M)  f depth(I, M).
f depth(I, M) = f depth(J, M).
dim(M/IM) > 0. x ∈ I f x /∈ p

p ∈ Ass
R
M dim(R/p) = dim(M).
dim(M/xM) = dim(M) −1. f I
M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
dim(M/IM) > 0
depth(I, M)  f depth(I, M)  ht
M
I
M
I
Supp(M) I.
M f
depth(I, M)  f depth(I, M).
f depth(I, M) 
M
I.
Supp(M/IM)  {m}. x
1
, . . . , x
n
∈ I f
n 
M
(p) p ∈ Supp(M/IM) \ {m}.
x
1
, . . . , x
n

∈ p x
1
/1, . . . , x
n
/1 ∈ R
p
M
p
n  dim(M
p
) = ht
M
(p).
f depth(I, M) = ∞ I
M.
I M
dim(M/IM) = 0.
dim(M/IM) = 0, n f
n I. (Ext
i
R
(R/I, M)) < ∞ i  0
V (I) I.
f depth(I, M) = min{f depth(p, M)| p ∈ V (I)}.
dim(M/IM) = 0 f depth(I, M) = ∞.
dim(M/IM) = 0 V (I) = {m} f depth(m, M) = ∞
dim(M/IM) > 0.
r = min{f depth(p, M)| p ∈ V (I)} p ∈ V (I)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
dim(M/pM) > 0 f depth(p, M) < ∞ r < ∞.

r f depth(I, M) = r r = 0
p ⊇ I f depth(p, M) = 0
I ⊆ p f depth(I, M) = 0. r > 0
p ∈ Ass
R
(M) \ {m} f depth(p, M) = 0 r > 0 I  p.
I 

p
p∈Ass
R
(M)\{m}
. x
1
∈ I f
M
1
= M/x
1
M.
min{f depth(p; M
1
)| p ∈ V (I)} = min{f depth(p; M) −1| p ∈ V (I)}
= r −1.
f depth(I, M
1
) = r −1,
f depth(I, M) = f depth(I, M
1
) + 1 = r.

(R, m) m
R

R,
m
t
, t = 0, 1, 2, . . . .

R

R
r ∈ M
r.

M m M
f depth(I, M) = f depth(

I,

M).
R/I

R/I R

R Hom(−, M) Hom

R
(−,

M)

Ext
i
R
(R/I, M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
Ext
i

R
(

R/

I,

M) p Ann
R
(Ext
i
R
(R/I, M))

p Ann

R
(Ext
i

R
(


R/

I,

M))
i  0,
dim(Ext
i
R
(R/I, M)) = dim(

Ext
i
R
(R/I, M)) = dim(Ext
i

R
(

R/

I,

M)).
y
1
, . . . , y
n

∈ I I = (y
1
, . . . , y
n
).
f depth(I, M) = n sup{i|dim(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M)) > 0}
i dim(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M)) > 0
∞
dim(M/IM) = 0 f depth(I, M) = ∞
i dim(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M))  0,
dim(M/IM) > 0. r = f depth(I, M).
r. r = 0 p ∈ Ass

R
(M) \ {m}
I ⊆ p 0 = a ∈ M p = Ann
R
(a). Ia = 0
a ∈ 0 :
M
I = H
n
(y
1
, . . . , y
n
; M). p ∈ Ass
R
(H
n
(y
1
, . . . , y
n
; M)).
p = m, dim(H
n
(y
1
, . . . , y
n
; M)) > 0,
r > 0. x ∈ I f

M
1
= M/xM. f depth(I, M
1
) = r − 1
sup{i|dim(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M
1
)) > 0} = n − r + 1. (∗)
Supp(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M
1
)) ⊆ Supp(M/IM)
H
i
(y
1
, , y
n
; M

1
)
p
= 0, i > n − r + 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
p ∈ Supp(M/IM) \ {m} H
n−r+1
(y
1
, , y
n
; M
1
)
p
= 0
p ∈ Supp(M/IM) \ {m}
p ∈ Supp(M/IM) \{m}, x ∈ p f
x/1 M
p
0 → M
p
x/1
→ M
p
→ (M
1
)
p
→ 0

. . . → H
i
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
)
x/1
→ H
i
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
)
→ H
i
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; (M
1
)
p
) → H

i−1
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
)
x/1
→ . . . .
H
i
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
) x/1,
0 → H
i
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
) → H
i
(y

1
/1, . . . , y
n
/1; (M
1
)
p
)
→ H
i−1
(y
1
/1, . . . , y
n
/1; M
p
) → 0
0 → H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M)
p
→ H
i
(y
1
, . . . , y

n
; M
1
)
p
→ H
i−1
(y
1
, . . . , y
n
; M)
p
→ 0.
H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M)
p
= 0, ∀i > n − r p ∈ Supp(M/IM) \{m}
H
n−r
(y
1
, . . . , y
n
; M)

p
= 0 p ∈ Supp(M/IM) \ {m}
sup{i|dim(H
i
(y
1
, . . . , y
n
; M)) > 0} = n − r.
M I
f
M I
I R,
f depth(I, M) = min{r|H
r
I
(M) }.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
dim(M/IM) = 0.
dim(M/IM) = dim(R/ Ann(M/IM))

Ann
R
(M/IM) =

I + Ann
R
(M).

I + Ann

R
(M) = m.
H
r
I
(M)
∼
=
H
r
m
(M)
r  0. min{r|H
r
I
(M) } = ∞.
f depth(I, M) = ∞.
dim(M/IM) > 0. n = f depth(I, M).
n = min{i|dim(Ext
i
R
(R/I, M) > 0}.
i < n p ∈ Supp(M/IM) \ {m}
dim(Ext
i
R
(R/I, M))  0 Ext
i
R
p

(R
p
/IR
p
, M
p
) = 0
depth(IR
p
, M
p
)  n dim(Ext
n
R
(R/I, M)) > 0
p ∈ Supp(M/IM) \{m} Ext
n
R
p
(R
p
/IR
p
, M
p
) = 0
depth(IR
p
, M
p

) = n.
n = min{depth(IR
p
, M
p
)| p ∈ Supp(M/IM) \ {m}}.
n = min{r|H
r
I
(M) }.
f
(x
1
, . . . , x
r
) m
M x
i
/∈ p,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
p ∈ Ass
R
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M dim R/p > 1 i = 1, . . . , r.
x ∈ m M x /∈ p,
p ∈ Ass
R

M dim R/p > 1.
f
f
R = k[[x, y, z]] M = k[[x, y, z]]/(x, y) ∩(y) ∩ (x, y
2
, z).
p
1
= (x, y), p
2
= (y), m = (x, y, z). Ass
R
M = {p
1
, p
2
, m}
dim R/p
1
= 1, dim R/p
2
= 2. z f z /∈ p
1
z /∈ p
2
, z M m ∈ Ass
R
M.
x x /∈ p
2

, x
f x ∈ p
1
.
(x
1
, . . . , x
r
) m
(x
1
, . . . , x
r
) M (x
1
/1, . . . , x
r
/1)
M
p
p ∈ Supp M x
1
, . . . , x
r
dim R/p > 1
x
i
/1, i = 1, . . . , r, x
i
R

p
.
r  d − 2, M
r M
(x
1
, . . . , x
r
) M (x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)
M n
1
, . . . , n
r
.
f pR
p
R
p
, x /∈ q q ∈ Supp M
dim R/q > 1 x/1 /∈ qR
p
, ∀ qR

p
∈ Ass M
p
x/1 M
p
n
r  d − 2 (x
1
, . . . , x
r
)
M T = {p ∈ Supp M| dim R/p  2, x
1
, . . . , x
r
∈ p}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
dim M/(x
1
, . . . , x
r
)M  d − r > 1, T = φ. ϕ
{1, . . . , r}. (x
1
/1, . . . , x
r
/1) M
p
p ∈ T (x
ϕ(1)

/1, . . . , x
ϕ(r)
/1)
M
p
p ∈ T (x
ϕ(1)
, . . . , x
ϕ(r)
)
n
1
, . . . , n
r
r  d−2 T = φ,
T
(x
1
/1, . . . , x
r
/1) M
p
p ∈ T.
(x
n
1
1
/1, . . . , x
n
r

r
/1) M
p
p ∈ T.
(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
) M. r  d − 1.
(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d−2
d−2

)
f r  d −1.
k[x
1
, x
2
] k
R = k[x
1
, x
2
]
(x
1
,x
2
)
M = R ⊕ R/(x
2
2
). 0 :
M
x
1
= 0 x
1
M x
1
f
0 :

M/x
1
M
x
2
= {a ∈ M/x
1
M| ax
2
= 0} ⊆ R/(x
1
, x
2
2
)
(R/(x
1
, x
2
2
)) = 2 < ∞ (0 :
M/x
1
M
x
2
) < ∞. x
2
M/x
1

M x
1
, x
2
f
x
2
∈ (x
2
) ∈ Ass
R
(M) \ {(x
1
, x
2
)} x
2
f x
2
, x
1
f
R = k[[x, y, z, t]] 4
k. M = R/(x) ∩ (x
2
, y). dim M = 3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
Ass M = {(xR, (x, y)R)}. z /∈ p p ∈ Ass M
dim R/p > 1 z M.
y /∈ (x) M z, y

M y M/zM, z, y
M. y ∈ (x, y)R ∈ Ass M
dim R/(x, y)R = 2 y, z M.
M
x ∈ m. x
M dim(0 :
M
x)  1.
x M
dim(0 :
M
x) > 1. p ∈ Ass(0 :
M
x) dim R/p > 1.
x ∈ p p ∈ Ass M x
M. dim(0 :
M
x)  1.
dim(0 :
M
x)  1 x
M. p ∈ Ass M dim R/p > 1 x ∈ p.
p ∈ Ass M 0 = a ∈ M p = Ann a
dim(0 :
M
x)  dim(0 :
M
p)  dim Ra = dim R/p > 1
dim(0 :
M

x)  1 x
M.
(x
1
, . . . , x
r
) M.
dim(H
i
(x
1
, . . . , x
r
; M))  1, i > 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25