ứng dụng kỹ thuật van der pauw và hiệu ứng hall cho màng mỏng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



TRƯƠNG TINH HÀ






ỨNG DỤNG KỸ THUẬT VAN DER PAUW
VÀ HIỆU ỨNG HALL CHO MÀNG MỎNG





LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



TRƯƠNG TINH HÀ







ỨNG DỤNG KỸ THUẬT VAN DER PAUW
VÀ HIỆU ỨNG HALL CHO MÀNG MỎNG


Chuyên ngành:QUANG HỌC
Mã số: 1.02.18

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS LÊ KHẮC BÌNH



THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006
Lời cảm ơn

Tác giả xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS.TS Lê Khắc Bình,
người đã dành nhiều thời gian hiếm hoi và hết sức quý báu của mình để hướng dẫn và
đưa ra nhiều gợi ý sâu sắc, độc đáo cho tác giả trong suốt thời gian thực hiện luận văn
này. Thầy đã để lại một ấn tượng hết sức sâu sắc về lòng nhẫn nại, bao dung và tinh
thần làm việc say mê, tận tụy trong lòng tác giả. Những ấn tượng này chắc chắn không
phai nhòa trên con đường học vấn và nghiên cứu mà tác giả đang quyết tâm theo đuổi.
Xin cảm ơn Thầy.
Bên cạnh đó, không thể không nhắc đến Th.S Đào Vĩnh Ái- người anh, người
đồng nghiệp- đã dìu dắt tác giả vào con đường khoa học thực nghiệm. Những chỉ dẫn,
gợi ý của anh luôn là những bài học bổ ích được rút ra từ thực tiễn làm việc. Anh còn
là người hướng dẫn và cung cấp cho tác giả nhiều vật liệu cần thiết để hoàn thành luận
văn này.
Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô của Khoa Vật Lý vì những bài
giảng nghiêm túc và chất lượng, những giây phút trao đổi thú vị và bổ ích, những lời
khuyên nhủ sáng suốt và chân tình trong suốt khoá học.
Để thực hiện luận văn này, tác giả còn nhận được sự giúp đỡ quý báu và kịp thời

của các bạn đồng nghiệp trẻ ở Khoa Vật Lý Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên
TP.HCM khi tiến hành đo đạc và thực nghiệm; những góp ý hữu ích và sắc bén của
bạn Lữ Thành Trung- cán bộ giảng dạy của Khoa Vật Lý Trường Đại học Sư Phạm
TP.HCM- cho các chương trình tính toán được thực hiện trong luận văn.
Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc nhất đối với
sự động viên, hỗ trợ lớn lao của những người thân yêu trong gia đình trong suốt những
tháng ngày theo đuổi chương trình cao học.
Xin chân thành cảm ơn mọi người.
TP.HCM, ngày 25 tháng 9 năm 2006
MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG……………………………………………………………1
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ…………………………………………2
MỞ ĐẦU………………………………………………………………………………6
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL………………………………7
1.1 Lịch sử phát hiện…………………………………………………………… 7
1.2 Giải thích hiện tượng…………………………………………………………8
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP VAN DER PAUW……………………………… 17
2.1 Cơ sở lý thuyết……………………………………………………………….17
2.1.1 Xác định điện trở suất………………………………………………… 17
2.1.2 Xác định nồng độ hạt tải và độ linh động……………………………… 27
2.2 Các vấn đề liên quan đến sai số và cách khắc phục…………………………31
2.2.1 Các nguồn gây ra sai số bên trong……………………………………….32
2.2.2 Sai số do dạng hình học của mẫu và cách bố trí điểm tiếp xúc………….34
CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÁC TÍNH CHẤT CỦA
MÀNG MỎNG……………………………………………………………………….40
3.1 Xác định độ dày màng mỏng bằng phương pháp giao thoa…………………40
3.2 Xác định điện trở suất bằng phương pháp 4 đầu dò…………………………43
3.3 Xác định nồng độ hạt tải bằng phương pháp phổ truyền qua……………… 45
CHƯƠNG 4: TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM…………………………………… 48

4.1 Mô tả hệ đo và quá trình tạo mẫu đo……………………………………… 48
4.1.1 Mô tả hệ đo………………………………………………………………48
4.1.2 Quá trình tạo mẫu đo…………………………………………………… 52
4.2 Cách thức tiến hành đo đạc………………………………………………… 54
4.2.1 Cách thức xác định điện trở suất…………………………………………59
4.2.2 Xác định độ linh động và nồng độ hạt tải thông qua hiệu ứng Hall…… 63
CHƯƠNG 5: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN… …………………………………… 67
5.1 Tính đồng nhất của mẫu…………………………………………………… 67
5.2 So sánh giá trị điện trở mặt và điện trở suất thu được từ phương pháp 4 đầu dò
và phương pháp Van der Pauw………………………………………… 70
5.3 Kết luận về loại bán dẫn của mẫu đo…………………………………… ….76
5.4 So sánh giá trị nồng độ hạt tải và độ linh động thu được từ phương pháp phổ
truyền qua và hiệu ứng Hall…………………………… ………………………77
5.5 Sự thay đổi của nồng độ hạt tải và độ linh động theo cường độ từ trường … 80
KẾT LUẬN………………………………………………………… ………………82
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… ….84
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Bảng tiến trình đo đạc……………………………………………… 86
Phụ lục 2: Các chương trình tính toán………………………………………… 87

1

DANH MỤC CÁC BẢNG

STT Ký hiệu của bảng Trang
1
Bảng 2.1: Các sai số và cách khắc phục 34
2
Bảng 4.1: Các dòng điện cần đo 60
3

Bảng 4.2: Bảng các giá trị hiệu điện thế cần đo 60
4
Bảng 4.3: Các giá trị hiệu điện thế được đo với chiều dương và
chiều âm của từ trường
64
5
Bảng 5.1: Kết quả đo tìm R
S
của mẫu f8 68
6
Bảng 5.2: Kết quả đo tìm R
S
của mẫu f67 68
7
Bảng 5.3: Kết quả đo tìm R
S
của mẫu f7 69
8
Bảng 5.4: Giá trị thực nghiệm của R
S
thu được từ phương pháp 4
đầu dò và từ phương pháp Van der Pauw
71
9
Bảng 5.5: Kết quả đo tìm R
S
của mẫu f8 73
10
Bảng 5.6: Kết quả đo tìm R
S

của mẫu f67 74
11
Bảng 5.7: Giá trị thực nghiệm của điện trở suất ρ thu được từ
phương pháp 4 đầu dò và từ phương pháp Van der Pauw
75
12
Bảng 5.8: Các giá trị hiệu điện thế Hall của mẫu f16 khi B được áp
theo chiều dương và chiều âm của trục Oz. Giá trị ∑V
i
thu được <0
cho thấy mẫu thuộc loại bán dẫn loại n
76
13
Bảng 5.9: Các giá trị hiệu điện thế Hall của mẫu f13 khi B được áp
theo chiều dương và chiều âm của trục Oz. Giá trị ∑V
i
thu được <0

77
14
Bảng 5.10: Giá trị nồng độ hạt tải đo được từ phổ truyền qua (1) và
từ hiệu ứng Hall (2)
78
15
Bảng 5.11: Giá trị độ linh động μ thu được từ phổ truyền qua (1)
và từ hiệu ứng Hall (2)
79

2

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

STT Ký hiệu của các hình vẽ và đồ thị Trang
1
Hình 1.1: Bản kim loại vàng khi có dòng một chiều đi qua và được
đặt dưới từ trường
B
r
vuông góc với bề mặt thì ta sẽ thu nhận được
một hiệu điện thế ở hai mặt bên của bản
7
2
Hình 1.2: Một mẫu bán dẫn được đặt trong từ trường
B
r
hướng theo
theo trục z và có dòng điện I chạy qua theo trục y. Chiều rộng của
mẫu là a, chiều dày là d
9
3
Hình 1.3: Giải thích hiệu ứng Hall 10
4
Hình 2.1: Phương pháp do Van der Pauw đề nghị có thể dùng cho
các mẫu có hình dạng bất kỳ
17
5
Hình 2.2: Đồ thị biểu diễn hàm f theo tỷ lệ
,
,
MNOP

NOPM
R
R

18
6
Hình 2.3: Dòng điện 2i đi vào mẫu tại điểm M, chúng ta tính V
P
-V
O
19
7
Hình 2.4: Ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MP, đồng thời giảm cường
độ dòng điện đi vào M còn i thì kết quả tính toán bên trên vẫn không
thay đổi
20
8
Hình 2.5: Dòng điện i ra khỏi điểm N, ta tính V
P
-V
O
21
9
Hình 2.6: Ta tính V
P
-V
O
trong trường hợp dòng điện i đi vào M và ra
khỏi N
21

10
Hình 2.7: Mẫu có hình dạng giống mẫu ở hình 2.5, trùng với nữa
mặt phẳng phía trên của mặt phẳng z
25
11
Hình 2.8: Một mẫu có dạng bất kỳ, nằm trên mặt phẳng phức t 26
12
Hình 2.9: Kết quả tổng hợp cường độ điện trường
E
ur
và cường độ
điện trường Hall khả kiến
H
E
ur
hướng theo hướng của vectơ mật độ
dòng
J
ur

29
3

13
Hình 2.10: Để đo đạc sự biến thiên của hiệu điện thế giữa hai điểm P
và N do từ trường áp vuông góc với bề mặt mẫu gây ra, điện trường
ngang E
t
được tính tích phân theo đường s từ P đến N’ sau đó từ N’
dọc theo biên đến N

30
14
Hình 2.11: Vị trí và kích thước của các điểm tiếp xúc 35
15
Hình 2.12: Cách bố trí các điểm tiếp xúc trên các cánh tay của mẫu
đo
35
16
Hình 2.13: Kích thước của mẫu hình vuông và điểm tiếp xúc hình
tam giác
36
17
Hình 2.14: Các cách bố trí và kích thước của điểm tiếp xúc trên một
mẫu hình tròn
37
18
Hình 2.15: Mẫu đo dạng lá (cloverleaf) 38
19
Hình 2.16: Mẫu đo dạng chữ thập 39
20
Hình 3.1: Sơ đồ truyền qua của màng mỏng phủ trên đế trong suốt 41
21
Hình 3.2: Phổ truyền qua của màng mỏng phủ trên đế thủy tinh có
độ dày 1μm
42
22
Hình 3.3: Sơ đồ minh họa phương pháp đo điện trở mặt bằng 4 đầu
dò
44
23

Hình 3.4: Vị trí đo điện trở trên mẫu, cách biên một đoạn r 45
24
Hình 3.5: Phổ truyền qua và phản xạ của ZnO:Al. Giá trị λ
P
được
xác định tại giao điểm của hai đường cong phản xạ (R) và truyền qua
(T)
47
25
Hình 4.1: Bộ phận tạo từ trường gồm 2 cuộn dây và lõi thép chữ U 49
26
Hình 4.2: Biến thế có điện thế thấp được dùng để cấp dòng cho hai
cuộn dây
49
27
Hình 4.3: Mạch điện cấp dòng qua mẫu gồm một biến trở và một 50
4

điện trở mắc nối tiếp
28
Hình 4.4: Sơ đồ mạch điện cấp dòng cho mẫu đo 50
29
Hình 4.5: Microvolt kế (ở trên) và tesla kế (ở dưới) 51
30
Hình 4.6: Tesla kế và đầu dò từ trường 51
31
Hình 4.7: Mẫu màng mỏng được định vị trên bảng nhựa và nối dây ở
4 góc bằng keo Ag
52
32

Hình 4.8: Board mạch đỡ mẫu đo sau khi được nối dây hoàn tất 52
33
Hình 4.9: Cách nối dây giữa các bộ phận 53
34
Hình 4.10: Cách thức bố trí dụng cụ để đo hiệu ứng Hall trong mẫu
màng mỏng
54
35
Hình 4.11: Các mẫu đo có dạng thanh thường được sử dụng trong
kiểu đo theo phương pháp truyền thống
55
36
Hình 4.12: Các hình dạng mẫu đo thường được sử dụng trong kỹ
thuật đo Van der Pauw
55
37
Hình 4.13: Mẫu đo dạng thanh được mắc thêm một mạch cầu bên
ngoài để điều chỉnh V
H
=0 khi B=0
57
38
Hình 4.14: Các hình dạng mẫu thường được sử dụng trong kỹ thuật
Van der Pauw
58
39
Hình 4.15: Hình dạng mẫu đo và các điện cực được bố trí theo thứ
tự ngược chiều kim đồng hồ
60
40

Hình 4.16: Hai điện trở đặc trưng dọc và ngang và của mẫu 61
41
Hình 4.17: Đo hiệu điện thế Hall tại hai điểm tiếp xúc 2 và 4 khi từ
trường B hướng theo chiều dương của trục Oz
64
42
Hình 5.1: Đồ thị so sánh giá trị R
S
đo được từ phương pháp 4 đầu dò
và phương pháp Van der Pauw
71
5

43
Hình 5.2: Đồ thị biểu diễn hàm f theo tỷ lệ
,
,
MNOP
NOPM
R
R

73
44
Hình 5.3: Đồ thị so sánh các giá trị điện trở suất thu được từ phương
pháp 4 đầu dò và phương pháp Van der Pauw
75
45
Hình 5.4: Đồ thị so sánh các giá trị nồng độ hạt tải n thu được từ
phương pháp phổ truyền qua và phương pháp Hall

78
46
Hình 5.5: Đồ thị so sánh giá trị độ linh động μ thu được từ phương
pháp phổ truyền qua và phương pháp Hall
79
47
Hình 5.6: Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của nồng độ n và độ linh
động μ theo cường độ từ trường B của mẫu f8
80
48
Hình 5.7: Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của nồng độ n và độ linh
động μ theo cường độ từ trường B của mẫu f68
81

6

MỞ ĐẦU


Việc xác định các tính chất điện, từ, quang của vật liệu là hết sức cần thiết trong
lĩnh vực nghiên cứu và chế tạo các màng mỏng. Bên cạnh các phương pháp nghiên cứu
đã biết, công trình này mong muốn góp thêm một phương pháp khác dùng để xác định
điện trở mặt, điện trở suất, nồng độ hạt tải, độ linh động, v.v… thông qua phương pháp
Van der Pauw và hiệu ứng Hall. Hiệu ứng Hall và phương pháp Van der Pauw hiện
được sử dụng rất rộng rãi trên thế giới trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ nghiên cứu
đến ứng dụng thương mại. Việc tìm hiểu và nghiên cứu những vấn đề này sẽ mang lại
nhiều điều thuận lợi, bổ ích cho quá trình nghiên cứu thực nghiệm của chúng ta.

Các màng mỏng ZnO:Al là đối tượng nghiên cứu chính của công trình này. Các
thuộc tính của màng như điện trở mặt, điện trở suất, độ dày, nồng độ hạt tải, độ linh

động, loại bán dẫn,v.v… sẽ lần lượt được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau
và so sánh với các giá trị thu được từ phương pháp Van der Pauw.
7

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL

1.1 Lịch sử phát hiện:
Năm 1879, một sinh viên trẻ nguời Mỹ - Edwin H. Hall- đã khám phá ra hiện
tượng như sau: khi cho dòng điện một chiều, cường độ I, chạy qua một bản mỏng làm
bằng vàng và được đặt trong từ trường
B
r
vuông góc với bề mặt của bản thì người ta
nhận được một hiệu điện thế giữa hai mặt bên của bản. Hiện tượng này sau đó được gọi
là hiệu ứng Hall.

Hình 1.1: Bản kim loại vàng khi có dòng một chiều đi qua và được đặt dưới từ trường
B
r
vuông góc với bề mặt thì ta sẽ thu nhận được một hiệu điện thế ở hai mặt bên của
bản.

8

Hiệu điện thế nhận được tỷ lệ với tích số của cường độ dòng điện I và độ lớn của
cảm ứng từ
B
r
, tỷ lệ nghịch với chiều dày d của bản.

d
IB
kV
H
=
Hệ số tỉ lệ k được gọi là hằng số Hall. Hằng số k này tùy thuộc loại vật dẫn.
Hiệu ứng Hall sau này đã trở thành một công cụ hết sức quan trọng trong lĩnh vực
nghiên cứu các chất bán dẫn trong Vật lý và công nghiệp nhằm xác định điện tích,
nồng độ, độ linh động của hạt tải,v.v…Ngoài ra, hai giải Nobel Vật lý năm 1985 và
1998 đã được trao cho các nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng Hall lượng tử.

1.2 Giải thích hiện tượng
Hiệu ứng Hall là một trong những hiệu ứng galvanic-từ do sự chuyển động của
hạt tải trong điện trường và từ trường gây nên. Ta biết rằng một điện tích khi chuyển
động trong từ trường sẽ bị tác dụng bởi lực Lorentz:

[
]
BxvqF
r
r
r
= (1.1)
Nếu điện tích chuyển động trong chân không, chúng ta có thể giải phương trình
(1.1) để tìm quỹ đạo của điện tích.
Một điện tích chuyển động trong chân không với vận tốc
v
r
vuông góc với từ
trường

B
r
bên ngoài thì sẽ chuyển động theo quỹ đạo tròn với bán kính r:

qB
mv
r
r
v
mqvB
r
v
mF
=⇔
=⇔
=
2
2

(1.2)
và tần số cyclotron
m
qB
mv
vqB
r
v
C
===ω
9

Đối với hạt dẫn trong tinh thể thì ngoài chuyển động do trường ngoài, hạt dẫn còn
tham gia chuyển động nhiệt và va chạm thường xuyên với các tâm tán xạ trong tinh
thể. Hai loại chuyển động trên được đặc trưng bởi hai đại lượng thời gian:
- Đối với chuyển động nhiệt: đó là thời gian chuyển động tự do trung bình τ.
- Đối với chuyển động dưới tác dụng của từ trường ngoài thì đó là chu kỳ một vòng
quay của điện tích trong từ trường
C
C
T
ω
π
2
= trong đó
C
ω
- tần số cyclotron.
Trong tinh thể, vì hạt dẫn tham gia đồng thời hai chuyển động như đã nói bên trên
nên có thể có những trường hợp sau:
- Nếu
qB
m
T
C
C
*22
π
ω
π
== < τ : tức là trong khoảng thời gian tự do chuyển động, hạt

dẫn đã kịp thực hiện một số vòng quay. Lúc này, ta nói từ trường là mạnh.
- Nếu
C
T > τ : thì quỹ đạo của điện tích trong từ trường sẽ là từng khúc của quỹ đạo
tròn ghép lại, trong trường hợp này ta nói từ trường yếu.
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ giới hạn các nghiên cứu về hiệu
ứng Hall xuất hiện trong các từ trường yếu.
Để tính toán cụ thể ta sẽ nghiên cứu hiệu ứng Hall trong một mẫu bán dẫn có bề
dày d, bề rộng a, có dòng điện một chiều I chạy qua dọc theo trục x, đồng thời được
đặt dưới một từ trường
B
r
vuông góc hướng theo trục z như hình 1.2.
Hình 1.2: Một mẫu
bán dẫn được đặt
trong từ trường
B
r

hướng theo theo trục
z và có dòng điện I
chạy qua theo trục y.
Chiều rộng của mẫu
là a, chiều dày là d.
10

Do trong mẫu bán dẫn đang xét có hai loại hạt tải, electron và lỗ trống, nên khi
chuyển động dưới tác dụng của điện trường ngoài chúng sẽ có vận tốc ngược chiều
nhau. Theo hình (1.2), ta thấy hai loại hạt tải dưới tác dụng của lực Lorentz đều cùng
lệch về một cạnh của bản. Lúc này sẽ xuất hiện một quá trình như sau: khi các hạt tải bị

lệch do tác dụng của lực Lorentz về một cạnh của bản, chúng sẽ dần tích tụ tại một
cạnh của bản và tạo ra một điện trường giữa hai cạnh của bản, điện trường này có
phương theo trục y và sẽ sinh ra một lực điện tác động lên hạt tải. Một trạng thái cân
bằng sẽ nhanh chóng được hình thành, lúc này các hạt tải sẽ chịu tác động của hai lực:
lực Lorentz và lực điện trường mới xuất hiện. Hai lực này tác dụng ngược chiều nhau,
khi hai lực có độ lớn bằng nhau thì hạt tải sẽ không bị lệch nữa, tức là chỉ có dòng điện
hướng theo trục x như ban đầu. Hình (1.3) bên dưới minh họa cho trường hợp của các
electron. Đối với các lỗ trống, quá trình tương tự cũng xuất hiện. Lưu ý rằng, do cả hai
loại hạt electron và lỗ trống cùng lệch về một cạnh của bản nên chúng sẽ sinh ra hai
điện trường ngược chiều nhau, cũng có nghĩa là hai hiệu điện thế ngược nhau. Hiệu
điện thế mà chúng ta đo được chính là tổng của hai hiệu điện thế này.

Hình 1.3: Giải thích hiệu ứng Hall.
a) Khi vừa cho từ trường tác dụng,
các electron bị dồn sang cạnh phải.
Đường chấm chấm là quỹ đạo mới
của electron. b) Một điện trường
hướng từ phải sang trái dần được
hình thành và tác dụng lực điện lên
electron. Khi sự cân bằng giữa lực
Lorentz và lực điện được hình
thành, electron sẽ tiếp tục chuyển
động thẳng. Điện thế tại C sẽ cao hơn điện thế tại A.
11

Ta sẽ tính toán cho từng loại hạt tải rồi tổng hợp để được kết quả cuối cùng.
Xét mật độ dòng electron:

ee
jnev

=−
r
r
(1.3)
với n: mật độ electron
e: điện tích nguyên tố, có giá trị 1,6.10
-19
C.

e
v
r
: vận tốc trung bình của các electron.
Nếu có từ trường ngoài tác dụng,
0
r
r
≠
B
, và trạng thái cân bằng đã được thiết lập thì
vận tốc trung bình của các electron là:

(
)
eeeHe
vEvB
µµ
=−−∧
rr
rr

(1.4)
với
e
µ
: độ linh động của electron

eH
µ
: độ linh động của electron khi có từ trường

E
r
: điện trường tác động lên electron.
Thay (1.4) vào (1.3) và khai triển, ta sẽ thu được:

(
)
(
)
()

eeeHe
eeHe
jneEvB
neEnevB
µµ
µµ
=−−−∧
=+∧
rr

r
r
rr
r
(1.5)
Đối với lỗ trống, ta cũng sẽ có tính toán tương tự. Xét mật độ dòng của các lỗ trống:

hh
jpev
=
r
r
(1.6)
với p: mật độ lỗ trống

h
v
r
: vận tốc trung bình của lỗ trống
mà
(
)
hhhHh
vEvB
µµ=+∧
rr
rr
nên (1.6) được khai triển thành:

(

)
(
)
()

hhhHh
hhHh
jpeEvB
peEpevB
µµ
µµ
=+∧
=+∧
rr
r
r
rr
r
(1.7)
Với tán xạ đàn hồi trong mọi cơ chế tán xạ, ta có:
12


eHhH
np
eh
rr
µµ
µµ
===

(1.8)
Nghĩa là:
nh
rrr
==
. Độ lớn của r phụ thuộc vào cơ chế tán xạ.
Xét trường hợp r=1, các công thức (1.5) và (1.7) được viết lại như sau:

(
)
eee
jneEvB
µ

=+∧

rr
r
r
(1.9)

(
)
hhh
jpeEvB
µ

=+∧

rr

r
r
(1.10)

Do từ trường ngoài hướng theo trục z, nên 0,
=
=
=
yxz
BBBB , các biểu thức (1.4) và
(1.9) được khai triển:

(
)
()


exexeHeyexey
eyeyeHexeyex
vEvBEvB
vEvBEvB
µµµ
µµµ
=−−=−−
=−+=−+
(1.11)
và
(
)
.

exexey
jneEvB
µ=+ (1.12)

(
)
.
eyeyex
jneEvB
µ=− (1.13)

Thay thế
ey
v ,
ex
v trong (1.12) và (1.13) bằng các giá trị trong (1.11), khai triển và bỏ
qua các số hạng chứa
2
B
vì giả thiết là từ trường yếu, lúc này ta sẽ có:

(
)
(
)
()


exexeyexeyex
exey

jneEvBneEEvBB
neEEB
µµµ
µµ

=+=+−+

=−
(1.14)
và

(
)
(
)
()


eyeyexeyexey
eyex
jneEvBneEEvBB
neEEB
µµµ
µµ

=−=−−−

=+
(1.15)
Tương tự, đối với lỗ trống, từ (1.10) ta có:

(
)
BvEpej
hyxhhx
.
+
=
µ
(1.16)
13


(
)
.
hyhyhx
jpeEvB
µ=− (1.17)
mà
(
)
()
.
.
hxhxhy
hyhyhx
vEvB
vEvB
µ

µ
=+
=−
(1.18)
Thay (1.18) vào (1.16) và (1.17), ta thu được:

(
)
(
)
()


hxhxhyhxhyhx
hxhy
jpeEvBpeEEvBB
peEEB
µµµ
µµ

=+=+−

=+
(1.19)

(
)
(
)
()

.

hyhyhxhyhxhy
hyhx
jpeEvBpeEEvBB
peEEB
µµµ
µµ

=−=−+

=−
(1.20)
Lưu ý rằng trong tính toán bên trên, ta đã bỏ qua các số hạng chứa
2
B
vì giả thiết từ
trường yếu.
Trong bán dẫn, khi cả electron và lỗ trống cùng tham gia vào sự dẫn điện, thì mật độ
dòng toàn phần
he
jjj
r
r
r
+=
Ta có:

()()
()

()
eehh
22
eh
ne

xexhx
xyxy
xehy
jjj
EEBpeEEB
nepeEnepeEB
µµµµ
µµµµ
=+
=−++
=++−+
(1.21)
và

()()
()
()
eehh
22
eh
ne

yeyhy
yxyx

yehx
jjj
EEBpeEEB
nepeEnepeEB
µµµµ
µµµµ
=+
=++−
=++−
(1.22)
Như đã nói bên trên, khi sự cân bằng giữa lực Lorentz và lực điện trường được thiết lập
thì lúc này dòng điện sẽ không còn bị lệch nữa, các hạt tải điện chỉ di chuyển theo trục
x và 0
=
y
j. Từ (1.22), ta có:
14


22
he
yx
eh
pene
EEB
nepe
µµ
µµ
−
=

+
(1.23)
Thay (1.23) vào (1.21), ta có:

()
()
()
22
222
he
xehxhex
eh
xehx
x
x
eh
pene
jnepeEpeneEB
nepe
jnepeE
j
E
nepe
µµ
µµµµ
µµ
µµ
µµ

−

=++−

+

⇔=+
⇔=
+
(1.24)
Lưu ý rằng ta đã loại bỏ số hạng chứa
2
B
, thay thế kết quả E
x
trong (1.24) vào (1.23),
ta thu được:

()
()
22
2
22
2
.
.
he
yx
eh
y
he
eh

pene
EjB
nepe
U
pene
I
B
aad
nepe
µµ
µµ
µµ
µµ
−
=
+
−
⇔=
+
(1.25)
Cần lưu ý rằng, hiệu điện thế theo trục y, U
y
, chính là hiệu điện thế Hall, U
H
, mà ta có
thể đo được trực tiếp bằng thực nghiệm. Do đó, ta có:

()
22
2

.
.
.
he
H
eh
HH
pene
IB
U
d
nepe
IB
UR
d
µµ
µµ
−
=
+
⇔=
(1.26)
Ta có biểu thức của hằng số Hall:

()()
2222
22
hehe
H
eheh

penepn
R
nepeenp
µµµµ
µµµµ
−−
==
++
(1.27)
Trong trường hợp dẫn điện electron (kim loại, bán dẫn loại n,… ) thì p=0, từ (1.27), ta
tính được:

1
0
e
R
ne
=−<
(1.28)
15

Ở bán dẫn loại p thì n=0, do đó:
0
1
>=
pe
R
h
(1.29)
Trong trường hợp tổng quát, dấu của hằng số Hall phụ thuộc vào dấu của tử số trong

(1.27). Khi
22
eh
np µµ < thì hằng số Hall có giá trị âm, nếu
22
eh
np µµ > thì hằng số Hall
có giá trị dương.
Trong bán dẫn, mật độ electron n và mật độ lỗ trống p phụ thuộc vào nhiệt độ
theo hàm mũ, vì vậy hằng số Hall cũng phụ thuộc vào hàm mũ. Do đó với một vật liệu
bán dẫn cụ thể có thể xảy ra trường hợp là ở một khoảng nhiệt độ nào đó thì
22
eh
np µµ < nên 0
<
H
R , còn ở khoảng nhiệt độ khác thì
22
eh
np µµ > nên 0
>
H
R .
Ở nhiệt độ đủ cao, thì sự dẫn điện tạp chất là không đáng kể so với sự dẫn điện riêng.
Khi đó
p
n
≈
, và từ (1.27), ta tính được:

()
22
2
he
H
eh
R
ne
µµ
µµ
−
=
+
(1.30)
Ta thấy ở nhiệt độ cao, dấu của hằng số Hall phụ thuộc vào sự chênh lệch về độ linh
động của lỗ trống và electron.
Cuối cùng cần lưu ý là, trong các tính toán bên trên, ta đã xem các hạt tải điện mỗi
loại đều có cùng vận tốc chuyển động định hướng là vận tốc trung bình
e
v
r
và
h
v
r
, tức là
ta không để ý đến sự phân bố thống kê của vận tốc. Tùy theo cơ chế tán xạ mà các hạt
mang điện có những hàm phân bố vận tốc khác nhau. Nếu tính đến các yếu tố đó thì
các công thức xác định hằng số Hall (1.28) và (1.29) sẽ có dạng:

en
rR
H
1
= (1.31)
- Đối với tán xạ phonon, ta có 178,1
8
3
≈=
π
r
- Đối với tán xạ trên ion tạp chất 933,1
512
315
≈=
π
r
16

- Còn khi tán xạ lên các tạp chất không bị ion hóa thì
1
=
r
.
Các kết quả tìm được trên đây hoàn toàn có thể tính toán được trên cơ sở giải phương
trình động Boltzmann [7].
17

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP VAN DER PAUW

Năm 1958, thông qua việc công bố hai công trình nghiên cứu của mình [17,18],
Van der Pauw đã đưa ra một kỹ thuật mới để xác định điện trở suất, nồng độ hạt tải và
hằng số Hall của mẫu. Phương pháp này có nhiều ưu điểm và được sử dụng rộng rãi
trong ngành công nghiệp bán dẫn ngày nay vì cho phép đo điện trở suất và hằng số
Hall của mẫu mà không cần quan tâm đến hình dạng của mẫu.
2.1 Cơ sở lý thuyết:
2.1.1 Xác định điện trở suất:
Chúng ta xét một mẫu phẳng có dạng bất kỳ, không có lỗ hổng trên bề mặt, trên
mẫu ta đặt 4 điểm tiếp xúc M, N, O và P tại vị trí bất kỳ trên biên của mẫu (hình 2.1).
Cho một dòng điện vào M và ra khỏi N, ta ký hiệu dòng điện này là i
MN
. Đo hiệu điện
thế V
P
-V
O
và định nghĩa:

,
PO
MNOP
MN
VV
R
i
−
=
Tương tự, ta định nghĩa:
,
MP

NOPM
NO
VV
R
i
−
=

Hình 2.1: Phương pháp do Van der
Pauw đề nghị có thể dùng cho các
mẫu có hình dạng bất kỳ. Trong
hình là một mẫu phẳng có hình
dạng bất kỳ, 4 điểm tiếp xúc M, N,
O, P được đặt trên đường biên của
mẫu.
18


Phương pháp Van der Pauw đưa ra dựa trên định lý thể hiện mối quan hệ giữa
R
MN,OP
và R
NO,PM
.

,,
expexp1
MNOPNOPM
dd
RR

ππ
ρρ

−+−=


(2.1)
Với d: độ dày mẫu, ρ: điện trở suất của mẫu
Nếu ta biết độ dày d và các điện trở R
MN,OP
và R
NO,PM
thì thông qua phương
trình (2.1) ta có thể tính được ρ. Mặc dù vậy, tính toán giá trị ρ cũng là một việc không
dễ dàng.

Trong trường hợp tổng quát, ta không thể biểu diễn ρ một cách tường minh từ
phương trình (2.1). Tuy nhiên, nghiệm ρ có thể tìm được dưới dạng:

(
)
,,
,
,
ln22
MNOPNOPM
MNOP
NOPM
RR
R

d
f
R
π
ρ
+

=



(2.2)
Với f là một hàm số chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ
,
,
MNOP
NOPM
R
R
và thỏa mãn hệ thức

(
)
,,
,,
expln2/
.arccos
2
MNOPNOPM
MNOPNOPM

RR
f
fh
RR
−

=

+

(2.3)
có đồ thị được vẽ trong hình (2.2).


Hình 2.2: Đồ thị
biểu diễn hàm f
theo tỷ lệ
,
,
MNOP
NOPM
R
R


19


Khi R
MN,OP

và R
NO,PM
xấp xỉ bằng nhau, hàm f sẽ có dạng gần đúng như sau:

()()
24
23
,,,,
,,,,
ln2ln2
ln2
1
2412
MNOPNOPMMNOPNOPM
MNOPNOPMMNOPNOPM
RRRR
f
RRRR


−−

≈−−−



++




(2.4)

Do đó, để tính ρ, đầu tiên ta tính tỉ số
,
,
MNOP
NOPM
R
R
, sau đó từ đồ thị ở hình (2.2) tìm ra
giá trị của f rồi thế vào công thức (2.2) xác định ρ.

Ta sẽ lần lượt nghiên cứu cơ sở lý thuyết của phương trình (2.1) từ các công
trình nghiên cứu của Van der Pauw [17,18]. Quá trình chứng minh phương trình (2.1)
sẽ qua hai bước cụ thể
Bước 1: Chúng ta nghiên cứu một mẫu có hình dạng đặc biệt là một bản nữa mặt phẳng
rộng vô hạn, có bốn điểm tiếp xúc được đặt trên biên để chứng minh công thức (2.1),
sau đó từ phương trình (2.1) ta sẽ dẫn đến phương trình (2.2) tính ρ và đồng thời chứng
minh hàm f chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ
,
,
MNOP
NOPM
R
R

Bước 2: Sau đó, thông qua phép biến hình bảo giác, để chứng tỏ rằng công thức (2.1)
có thể áp dụng cho mẫu có hình dạng bất kỳ.

Ta tiến hành bước 1:

Xét một mẫu rộng vô hạn, có bề dày là d và điện trở suất là ρ. Cho dòng điện có cường
độ 2i đi vào mẫu tại một điểm M trên mẫu, dòng điện sẽ lan truyền trong mẫu và
hướng ra xa điểm M theo phương bán kính.

Hình 2.3: Dòng điện 2i đi vào mẫu tại điểm M, chúng ta tính V
P
-V
O
.
20


Tại một điểm cách M một khoảng r, mật độ dòng điện được tính như sau:

2
2
i
j
rd
π
= (2.5)
Cường độ điện trường E hướng theo phương bán kính và tuân theo dạng tổng quát của
định luật Ohm:
Ej
rd
ρ
ρ
π
== (2.6)
Hiệu điện thế giữa hai điểm O và P cùng nằm trên đường thẳng thẳng hàng với M là:

()()

ln
lnln
OO
PO
PP
O
O
P
P
VVEdsEdr
idri
r
drd
i
ababc
d
ρρ
ππ
ρ
π
−==
==
=+−++


∫∫
∫

urr

(
)
()
ln
abc
i
dab
ρ
π

++
=−

+

(2.7)
Do không có dòng điện đi theo hướng vuông góc với đường thẳng qua M, O và
P nên kết quả thu được (2.7) vẫn đúng nếu ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MOP và
đồng thời giảm cường độ dòng điện từ 2i xuống còn i (hình 2.4).



Hình 2.4: Ta bỏ đi một nữa mặt phẳng bờ MP, đồng thời giảm cường độ dòng điện đi
vào M còn i thì kết quả tính toán bên trên vẫn không thay đổi.