sử dụng hàm bessel để giải bài toán truyền nhiệt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (816.11 KB, 89 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
oOo

TẠ VU BÍCH NGỌC
Lớp DH5L

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH VẬT LÝ

SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY
Long Xuyên, 5-2008

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến:
• Ban giám hiệu Trường Đại Học An Giang
• Ban chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Trường Đại Học An
Giang
• Hội Đồng Khoa Học và Đào Tạo Khoa Sư Phạm
Trường Đại Học An Giang
• Thầy Hồ Xuân Huy - Giáo Viên hướng dẫn
• Các thầy cô và các bạn trong bộ môn Vật Lý
Đã tạo điều kiện thuận l
ợi, nhiệt tình hướng dẫn, đôn đốc
và tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này.

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 1
1. Lý do chọn đề tài Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu Trang 1
3. Đối tượng nghiên cứu Trang 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu Trang 1
6. Giả thuyết khoa học Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận Trang 2
9. Dàn ý của khóa luận Trang 2

PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý Trang 3
1.2 Bài toán biên Trang 6
1.3 Các chuỗi và hệ trực giao Trang 9
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng Trang 19
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
VÀ HÀM BESSEL Trang 22
2.1 Khái niệm hàm Bessel Trang 22
2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel Trang 25
2.3 Tính trực giao của hàm Bessel Trang 31
2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel Trang 31
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT Trang 41
3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Trang 41
3.2 Các bài toán cho các toạ độ Trang 46
3.3 Các bài toán cho biên Trang 56
3.4 Một số bài toán dừng Trang 59
PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 68
PHỤ LỤC 1 Trang 69
PHỤ LỤC 2 Trang 70
PHỤ LỤC 3 Trang 74
PHỤ LỤC 4 Trang 78

1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Với một số dạng bài toán khi giải bằng phương pháp tách biến Fourier, phương
pháp biến đổi Laplace, thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp. Học phần
phương pháp toán-lý có những bài tập tương đối khó, liên quan đến phép lấy đạo hàm
riêng, phương trình vi phân.
Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách
biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, ph
ương pháp hàm Green, hàm Bessel Mỗi
phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng.
Đối với một số bài toán biên nhiều chiều nếu sử dụng phương pháp tách biến
Fourier hay phép biến đổi Laplace thì bài toán giải khó khăn hơn. Ta có thể sử dụng hàm
Bessel vào giải bài toán biên trong phương trình truyền nhiệt thì việc tìm nghiệm của bài
toán là đơn giản hơn nhiều.
Phương pháp sử dụng hàm Bessel để giải bài toán truyền nhiệt là một phươ
ng pháp khó,
tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng
các sách lý thuyết thường ít đề cập đến phương pháp này, không đưa ra các bài tập cụ thể,
làm sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng.Yêu cầu bổ sung phương pháp giải hiệu
quả bài toán truyền nhiệt cho học phần phương pháp toán lý là rất cần thiết.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “ Sử dụng phương pháp hàm Bessel
để giải bài toán truy
ền nhiệt”.
2.Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt.
• Nghiên cứu cơ sở toán học cho hàm Bessel.
• Sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán phương trình truyền nhiệt.
3.Đối tượng nghiên cứu
• Các bài toán truyền nhiệt .
• Cơ sở lý luận về bài tập vật lý.
• Cơ sở toán học về phương trình Bessel và hàm Bessel.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu

•
Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt.
• Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Bessel.
5.Phương pháp nghiên cứu
• Đọc sách và tham khảo tài liệu.
• Phương pháp toán học.
• Phương pháp phân tích.
• Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.

2

6.Giả thuyết khoa học
Dùng phương pháp hàm Bessel có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt.
7.Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán truyền nhiệt.
8.Đóng góp của khóa luận
• Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
• Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên.
9.Dàn ý của khóa luận
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận
1.1 Lý luận về bài t
ập vật lý.
1.2 Các loại bài toán biên.
1.3 Các chuỗi và hệ trực giao
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng.
Tiểu kết chương 1: Đây là cơ sở lý luận toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các

bài toán truyền nhiệt trong phương pháp toán lý.
Chương II: Xây dựng phương trình Bessel và hàm Bessel
2.1 Khái niệm hàm Bessel.
2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel.
2.3 Tính trực giao của hàm Bessel.
2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel.
Tiểu kết chương 2: Chương này hoàn thành việc xây dự
ng hàm Bessel và phương
trình Bessel để giải bài toán trong phương trình truyền nhiệt.
Chương III. Sử dụng hàm Bessel để giải cho một số bài toán truyền nhiệt
3.1 Các bài toán cho các toạ độ.
3.2 Các bài toán cho biên.
3.3 Một số bài toán dừng.
Tiểu kết chương 3: chương này là ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán
biên trong phương trình truyền nhiệt.
Phần III: Kết luận.
• Kết quả dự kiến đạt dược của việc nghiên cứu đề tài: Hi
ểu rõ hơn hàm Bessel, có
thể ứng dụng hàm Bessel tìm nghiệm cho bài toán biên nhiều chiều.
• Những đóng góp của việc nghiên cứu đề tài: làm tài liệu tham khảo về một phương
pháp giải hiệu quả bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý.
• Kiến nghị.

3

PHẦN HAI: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ:

1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải
quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa
trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.
1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý
Xét về mặt phát triển tính tự lực c
ủa người học và nhất là rèn luyện kỷ năng
vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học
tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình
dạy học.
- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá
trình dạy học vật lý người học được làm quen v
ới bản chất của các hiện tượng vật
lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí
nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu
và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra,
trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiể
u bài tập
mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải
tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.
- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa
vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho
người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các
khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng v
ật lý.
- Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. Việc
giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự
phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc
trưng cho chúng.
- Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức

của người học vào thực tiễ
n. Đối với việc giáo dục kỷ thuật tổng hợp bài tập vật lý
có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để
người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài
tập phải đảm bảo các yêu cầu sau:
• Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thu
ộc chương trình đang học.
• Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong
thực tiễn.
• Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế.
• Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với
các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn d
ữ

4

kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra
cứu hoặc từ thí nghiệm.
- Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý
nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh
chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong
qua trình giải, người học sẽ có đượ
c kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của
mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và
trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng
kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế
hằng ngày.
- Bài tập vật lý là một phương tiện để
giáo dục người học, nhờ bài tập vật

lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm
tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và
ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là
phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí và nhân cách
của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn
khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập.
- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến
thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người
h
ọc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý
1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý
+ Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời
đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá
trình giải một bài toán thực chất là tìm hi
ểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện
tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ
có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối
liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ
tường minh trực tiếp của cái phả
i tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời
giải đáp cho bài toán đặt ra.
Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là:
1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức
vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho.
2. Sự tiếp tục luậ
n giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết
luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho.
+ Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả
lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác

l
ập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều
kiện cụ thể nào của bài toán?
+ Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần
có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng.

5

1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý
Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta
thường sử dụng hai phương pháp sau:
− Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các
đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì
tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành
những công thức tương ứng, cứ làm nh
ư thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn
toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong.
Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành
những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải
các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lờ
i giải cho bài toán phức tạp trên.
− Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt
đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng
công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công
thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm.
Nhìn chung, việ
c giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân

tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để
hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn
của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật
lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện
đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta
mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách
khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt
động chính trong các bước, đó là:
Bước 1:
• Tìm hiểu đề bài.
• Đọc ghi ngắn gọn các dữ
liệu xuất phát và cái phải tìm.
• Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
• Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ
liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải
tìm.
• Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản ch
ất vật lý
của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công
thức có liên quan.
• Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái
phải tìm
• Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối
liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuấ
t phát, từ đó có thể rút ra được cái
cần tìm.
Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.

6

Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả
cần tìm.
Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả cần tìm cần kiểm
tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau:
• Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa.
• Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không.
• Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả
không.
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch một cách
cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai bước
đó thành một trong tiến trình luận giải.
1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý
Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất
lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phả
i thỏa mãn các
yêu cầu sau:
• Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được
phương pháp giải các bài tập điển hình.
• Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập
• Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của
người học.
•
Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã học, cung cấp
cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý
thuyết.
• Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức

đã học để giải những loại bài tập cơ
bản, hình thành phương pháp chung để giải các
loại bài tập đó.
• Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của
người học.
1.2BÀI TOÁN BIÊN
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng
)()()( )()()(
1
1
1
10
xFyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xayL
nn
n
n
n
n
=++++=
−
−

−
(1.20)
Trong đó: a
0
(x), a
1
(x),…,a
n
(x) là các hàm liên tục trong khoảng bxa
≤
≤ và
0)(
0
≠xa trong khoảng
bxa
≤
≤
.Cách chung để giải phương trình (1.20) là: trước hết
giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y
1
(x),
y
2
(x),…, y
n
(x)}, nghiệm tổng quát y
c
của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính
của tập nghiệm cơ bản:
y

c
= C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+…+C
n
y
n
(x), (1.21)
trong đó: C
1
, C
2, …,
C
n
là các hằng số tùy ý.

7

Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y
p
nào của phương trình vi phân không thuần nhất
L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc
phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của

phương trình (1.20) sẽ là
y = y
c
+ y
p
.
Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.20) đòi hỏi phải thỏa
mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp
cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2:
0)()()(
21
2
2
0
=++ xa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
,
bxa
≤
≤
(1.22)
bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng :
,)(,)(
/
βα

== ayay với
α
,
β
là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước
giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi
phân (1.22) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+=+
≠+=+
0,)()(
0,)()(
2
22
2
21
/
2221
2
12
2
11
/
1211
ccaycayc

ccaycayc
β
α
(1.23)
Trong đó:
α
,,,,
22211211
cccc và
β
là các hằng số
Điều kiện bổ sung (1.23) được gọi là
điều kiện biên .
Phương trình vi phân (1.22) với điều kiện biên (1.23) được gọi là
bài toán biên .
Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài tóan biên không chỉ có một
nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
β
α
)()()()(
)()()()(
/
2423

/
2221
/
1413
/
1211
aycaycbycbyc
bycbycaycayc

Trong đó: c
ij
, i= 1,2, j=1,2,3,4 và
α
,
β
là các hằng số; được gọi là điều kiện biên
hỗn hợp
.
Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tyến tính cấp 1:
)24.1().()()( xqyxp
dx
dy
yL =+=

Để giải phương trình (1.24), trước hết giải phương trình thuần nhất:
)25.1(0)()( =+= yxp
dx
dy
yL

8

Để thu được nghiệm tổng quát y
c
. Ta có thể tách biến phương trình (1.25) có dạng:
)26.1()( dxxp
y
dy
−=

Đặt:
∫
=
x
dpxP
0
)()(
ξξ
với
)27.1()(xp
dx
dP
=

Tích phân (1.26) thu được

CxPCxPCxPy
eCeCyeeee
CxP
==⇒==⇒
+−=
−−+−
1
)(
1
)()(ln
,
)(ln y

Vậy nghiệm tổng quát của (1.25) là
)(
1
xP
C
eCy
−
=

Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng
)(
)(
xP
p
exuy
−
=

, trong đó C
1
ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm
chưa biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là
)()(
))(()(
xPxP
p
e
dx
du
xpexu
dx
dy
−−
+−=

Thay y
p
và
dx
dy
p
vào phương trình (1.24) ta có
∫
==⇒=⇒=+
−
x
PxP
p

p
deqxuuxqe
dx
du
xqyxp
dx
dy
0
)()(
.)()()()()(
ξξ
ξ
Suy ra nghiệm riêng
∫
−
=
x
PxP
p
deqey
0
)()(
.)(
ξξ
ξ

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.24) có dạng
)28.1()(
0
)(

1
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=+=
∫
−
x
PxP
pC
deqCeyyy
ξξ
ξ

9

1.3 CÁC CHUỖI VÀ HỆ TRỰC GIAO
1.3.1. Các chuỗi.
1.3.1.1 Chuỗi Fourier.

a)Chuỗi lượng giác:
f(x)=
()
0
1
cos sin ,
2
nn
n
a
anxbnx
∞
=
++
∑
(3.1)
trong đó
0
, , ( 1,2, )
nn
aab n
=
là các hằng số, gọi là chuỗi lượng giác
b) Chuỗi Fourier:
Chuỗi lượng giác xác định trên [,]
π
π
−
với các hệ số:

0
11
() , ()cos
1
( )sin ( 1,2,3, )
n
n
a f x dx a f x nxdx
bfxnxdxn
ππ
ππ
π
π
ππ
π
−−
−
==
==
∫∫
∫
(3.2)
gọi là chuỗi Fourier của hàm số
()
f
x .
c) Hàm đơn điệu từng khúc:
Hàm số
f
được gọi là đơn điệu từng khúc trên

[,]ab
, nếu có thể chia
[,]ab
bởi
một số hữu hạn điểm
12
, , ,
n
x
xx
12
( )
n
ax x x b
<
<<<< thành các
khoảng
112
( , ),( , ), ,( , )
n
ax x x x b sao cho
f
đơn điệu trên khoảng đó.
d)Điều kiện đủ để một hàm số khai triển được thành chuỗi fourier :
Định lí (Dirichlet
):
Giả sử hàm số
f
tuần hoàn với chu kì 2
π

, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên
[,]
π
π
− . Khi đó:
i)
Chuỗi Fourier của
f
hội tụ tại mọi [,]
x
π
π
∈
−
ii) Nếu ()Sx là tổng của chuỗi Fourier của
f
thì :
•

()
()
(0) (0)
2
fx
Sx
fx fx
⎧
⎪
=
⎨

−
++
⎪
⎩
,khi
f
liên tục tại
(
)
,x
π
π
∈−
•

(0)(0)
() ()
2
ff
SS
π
π
ππ
−
++ −
−= =
,khi
f
gian đoạn tại
()

,x
π
π
∈−

10

LƯU Ý:
1
Nếu
f
là hàm chẵn trên [,]
π
π
−
thì:
0
00
22
() , ()cos
0 ( 1,2,3, )
n
n
a f x dx a f x nxdx
bn
ππ
ππ
==

==
∫∫

2
Nếu
f
là hàm lẻ trên [,]
π
π
−
thì:
0
0
2
0, 0, ( )sin ( 1,2,3, )
nn
aab fxnxdxn
π
π
=== =
∫

3
Nếu
f
là hàm tuần hoàn với chu kì 2
L
, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên
[,]
L

L− thì:
0
11
() , ()cos
1
( )sin ( 1,2,3, )
LL
n
LL
L
n
L
nx
afxdxafx dx
LLL
nx
bfx dxn
LL
π
π
−−
−
==
==
∫∫
∫

e)Khai triển một hàm số bất kì thành chuỗi Fourier:
Giả sử
f

là một số đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [,]ab . Muốn khai
triển
f
thành chuỗi Fourier, ta xây dựng một hàm số tuần hoàn g có chu kì
2
L
ba≥− sao cho () ()gx f x
=

[
]
(,)
x
ab
∈
. Khi đó, nếu g khai triển được
thành chuỗi Fourier thì đó cũng là chuỗi Fourier của
f
. Vì có nhiều cách xây
dựng
g
nên cũng có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn
f
.
Ví dụ:Cho hàm ()
f
xx
π
=

− trên đoạn
[,]
π
π
−
và tuần hoàn với chu kì 2
π
.
Hãy khai triển ()
f
x thành chuỗi Fourier .
Giải: Đồ thị của hàm đã cho là những đoạn thẳng song song. Ta có
f
thoả mãn
các điều kiện của định lý Dirichlet nên khai triển được thành chuỗi Fourier.

o
π

3
π
π
−
3
π
−

x

y
2
π

11

Ta tính các hệ số Fourier :

()
∫
=−=
π
π
π
π
0
0
2
1
dxxa

0
1
()cos
n
a x nxdx
π
π

π
=−
∫
00
1
cos cos 0,nxdx x nxdx
ππ
π
=
−=
∫∫

1
()sin
n
bxnxdx
π
π
π
π
−
=−
∫

12
sin sin ( 1) , ( 1,2, )
n
nxdx x nxdx n
n
ππ

ππ
π
−−
=− =−=
∫∫

f
) Tính hội tụ của chuỗi Fourier:
Ta thừa nhận định lý sau mà không chứng minh:

Định lý: Nếu hàm ()
f
x là hàm khả tích tuyệt đối có chu kì 2
π

trơn từng
khúc trên đoạn [,]ab , thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối với mọi
x
thoả mãn điều
kiện
a <
x
<b , trong đó tổng của nó bằng
()
f
x
tại các điểm liên tục và bằng giá trị
(
)
(

)
00
2
fx fx++ −
tại các điểm gián đoạn (đối với các giá trị
x
= a và
x
= b
có thể không có tính hội tụ)
1.3.1.2 Chuỗi luỹ thừa.
a) Định nghĩa
Chuỗi hàm có dạng
()
n
n
n
xxc
∑
∞
=
−
0
0
(1.3)
Trong đó
0,
xc
n
là các hằng số, được gọi là chuỗi luỹ thừa.

Khi
0
0
=x
và đặt
0
xxx
−
=
′
thì (1.3) có dạng
∑
∞
=0n
n
n
xc
(1.4)
b) Định lý
Nếu (1.4) hội tụ tại một điểm
0
0
≠
x
thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả
mãn
0
xx <
.
Nếu (1.4) phân kỳ tại một điểm

*
x
thì nó phân kỳ tại mọi x thoả mãn
*
xx >
.

12

c) Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa
Nếu chuỗi luỹ thừa
∑
∞
=0n
n
n
xc
có bán kính hội tụ là R > 0 và f(x) là
tổng của nó thì:
F liên tục trên (-R;R);
F khả tích trên mọi đoạn
[
]
()
RRba ;; −⊂
và
∫

∑
∫
∞
=
=
b
a
n
n
n
b
a
dxxcfxdx
0

F khả vi trên (-R;R) và
()
1
1
−
∞
=
∑
=
′
n
n
n
xncxf
có bán kính hội tụ bằng R.

d) Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa
Chuỗi Taylor của một hàm số
Giả sử f: (a,b)
→
R là hàm khả vi mọi cấp tại
(
)
bax ,
0
∈
.
Chuỗi luỹ thừa có dạng
(
)
(
)
()
n
n
n
xx
n
xf
0
0
0
!
−
∑
∞

=
gọi là chuỗi Taylor của f
tại
0
x .
Khi 0
0
=x được gọi là chuỗi Maclaurin của f.
e) Điều kiện khai triển
Giả sử
Hàm số f(x) khả vi mọi cấp trên
[
]
RxRx
+
−
00
,
; tồn tại M > 0 sao
cho
()
()
[
]
(
)
RxRxxMxf
n
+−∈≤
000

,

Khi đó chuỗi
(
)
(
)
()
n
n
n
xx
n
xf
0
0
0
!
−
∑
∞
=
hội tụ đều về về f(x) trên
[]
RxRx
+
−
00
,
.

f) Khai triển một vài hàm sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa
()
Rx
n
x
e
n
n
x
∈=
∑
∞
=0
!

13

()
()
()
Rx
n
x
x
n
n
n
∈

+
−=
+
∞
=
∑
!12
1sin
12
0

()
()
()
Rx
n
x
x
n
n
n
∈−=
∑
∞
=
!2
1cos
2
0

()
(
)
(
)
()()
1,1
!
1 1
11
1
−∈
+−−
+=+
∑
∞
=
xx
n
n
x
n
n
ααα
α

() () ()()
1,1
1
11ln

1
0
−∈
+
−=+
+
∞
=
∑
x
n
x
x
n
n
n
.
()
[]
()
1,1
12
1
12
0
−∈
+
−=
+
∞

=
∑
x
n
x
acrtgx
n
n
n

1.3.2 Các hệ trực giao:
1.3.2.1 Định nghĩa. Các hệ chuẩn:
Một hệ vô hạn các hàm thực
(
)
(
)
(
)
(
)
012
, , , , ,
n
xx x x
ϕ
ϕϕ ϕ
(3.3)
được gọi là
trực giao trên đoạn [,]ab , nếu

() ()
0
b
nm
a
xxdx
ϕϕ
=
∫
(3.4)
(
)
, 0,1,2, ; 0,1,2, mnn m≠= =

Ta sẽ luôn giả thiết rằng
() ( )
2
0 0,1,2,
b
n
a
xdx n
ϕ
≠=
∫
(3.5)
Điều kiện (3.4) biểu diễn tính trực giao từng đôi một của các hàm của hệ
(3.3). Từ điều kiện (3.5) suy ra rằng mọi hàm của hệ này không đồng nhất
bằng không.
1.3.2.2 Hệ lượng giác cơ bản trực giao:

a)
Hệ : 1,cos ,sin , ,cos ,sin ,
x
xnxnx trực giao trên đoạn
[
]
,
π
π
−
Ví dụ
:

sin cos
1.cos 0; 1.sin 0
nx nx
nxdx nxdx
nn
ππ
ππ
ππ
ππ
−−
−−
=
==−=
∫∫

14

() ()
1
sin .sin cos cos 0
2
nx mxdx n m x n m x dx
ππ
ππ
−−
=
−− + =⎡⎤
⎣⎦
∫∫

() ()
1
cos cos cos cos 0
2
nx mxdx n m x n m x dx
ππ
ππ
−−
=
++ − =⎡⎤
⎣⎦
∫∫

() ()
1
sin .cos sin sin 0
2
nx mxdx n m x n m x dx
ππ
ππ
−−
=
++ − =⎡⎤
⎣⎦
∫∫

b) Hệ :
1,cos ,cos2 , ,cos ,
x
xnx
trực giao trên đoạn
[]
0,
π

c) Hệ :
sin ,sin2 , ,sin ,
x
xnx
trực giao trên đoạn
[
]

0,
π

d) Hệ :
(
)
sin ,sin3 ,sin5 , ,sin 2 1 ,
x
xx nx
+
trực giao trên đoạn
[
]
0,
π

e) Hệ :
1,cos ,sin , ,cos ,sin ,
x
xnxnx
L
LLL
π
πππ
trực giao trên đoạn 2
L

(ví dụ: từ
[
]

,
L
L− , hay
[
]
0,2
L
)
f) Hệ :
2
1,cos ,cos , ,cos ,
x
xnx
L
LL
π
ππ
trực giao trên đoạn
[]
0,1

g) Hệ :
2
sin ,sin , ,sin ,
x
xnx
L
LL
π
ππ

trực giao trên đoạn
[]
0,1
i) Hệ:
(
)
21
35
sin ,sin ,sin , ,sin ,
22 2 2
nx
xxx
L
LL L
π
πππ
+
trực giao trên đoạn
[]
0,
L

1.3.3. Các hàm toán học thông dụng:
1.3.3.1. Hàm Gama-Euler (
Γ
):
Hàm
Γ
là hàm được định nghĩa bởi:
()

()
()
1
0
0
k
x
kexdxk
∞
−
−
Γ= >
∫
(4.6)
Tính chất của hàm
Γ
:
1)
(
)
(
)
1kkkΓ+=Γ
2)
(
)
1!kkΓ+=
Khi
k âm thì hàm
Γ

được tính theo cách khác nhưng tính chất 2) được bảo
toàn

15

1.3.3.2.Tích phân suy rộng
1.3.3.2.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận.
a.Định nghĩa
Giả sử f xác định trên
[
)
+
∞,a và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
[]
Aa, . Khi
đó giới hạn (nếu có) của tích phân
()
∫
A
a
dxxf
khi
+
∞→A gọi là tích phân suy
rộng của hàm số f trên khoảng
[
)
+∞,a
và kí hiệu là

()
∫
+∞
a
dxxf
.
Như vậy
() ()
∫∫
+∞→
+∞
=
A
a
A
a
dxxfdxxf lim:
.
Nếu giới hạn này hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng đó hội tụ và f khả tích
trên
[
)
+∞,a . Nếu giới hạn này vô hạn, hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng đó
phân kỳ.
Tương tự, tích phân suy rộng của hàm số f trên khoảng
(
]
a,∞−
được định
nghĩa là

() () ( )
aAdxxfdxxf
a
A
A
a
<
′
=
∫∫
′
+∞→
′
∞−
lim:

Và trên khoảng
()
+
∞∞− ,

Dễ thấy
() () ()
∫∫∫
+∞
∞−
+∞

∞−
+=
a
a
dxxfdxxfdxxf
với a là số thực bất kỳ.
Sự hội tụ của tích phân suy rộng với cận vô tận
Trường hợp
()
0≥xf

b.Định lý ( so sánh ).
Giả sử
(
)
(
)
xgxf
≤
≤
0
với
a
x
≥
. Khi đó, nếu
()
∫
+∞
a

dxxg
hội tụ thì
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ nếu
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ thì
()
∫
+∞
a
dxxg

phân kỳ.
c.Định lý ( So sánh dạng giới hạn )
() ()
∫∫
′
+∞→
+∞→
′
+∞
∞−

=
A
A
A
A
dxxfdxxf lim:

16

Nếu
() ()
0, ≥xgxf
và
()
()
()
+∞<<=
+∞→
kk
xg
xf
x
0lim

Thì các tích phân
()
∫
+∞
a

dxxf
và
()
∫
+∞
a
dxxg
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
d.Hệ quả ( dấu hiệu hội tụ Cauchy).
Giả sử x đủ lớn hàm số f(x) có dạng
()
()
()
0>=
α
ϕ
α
x
x
xf

Khi đó
•
Nếu
1>
α
và
(
)
+

∞
<
≤
cx
ϕ
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ.
•
Nếu
1≤
α
và
(
)
0>≥ cx
ϕ
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ.
Giả sử hàm số f(x) là một vô cùng bé bậc
0>

α
( so với
x
1
) khi
+∞→
x
. Khi đó:
• Nếu
1>
α
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ.
• Nếu
1≤
α
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ.
Trường hợp f(x) có dấu tuỳ ý
Tiêu chuẩn hội tụ. Để tích phân suy rộng

()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ, cần và đủ là với mọi
0>
ε
tồn tại 0
0
>A sao cho với mọi
0
AA > và mọi
0
AA >
′
ta luôn có
()
ε
<
∫
′
A
A
dxxf
.
Định lý. Nếu
()
∫
+∞

a
dxxf
hội tụ thì
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ.

17

Định nghĩa. Nếu
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ cùng với
()
∫
+∞
a
dxxf
thì ta bảo tích phân
()
∫
+∞
a

dxxf
hội tụ tuyết đối và f là khả tích tuyệt đối trên
[
)
+∞,a . Còn nếu
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ nhưng
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ thì ta nói
()
∫
+∞
a
dxxf
bán hội tụ.
Định lý. Nếu f(x) khả tích tuyệt đối trên
[
)
+
∞,a
, còn g(x) bị chặn, thì tích f(x)g(x)
khả tích tuyệt đối trên

[
)
+
∞,a , còn g(x) bị chặn, thì tích f(x)g(x) khả tích tuyệt đối
trên
[
)
+∞,a .
Định lý (Abel). Giả sử các hàm số f(x), g(x) cùng xác định trên
[
)
+∞,a
và
f(x) khả tích trên
[
)
+∞,a .
g(x) đơn điệu và bị chặn trên
[
)
+
∞,a . Khi đó tích phân
()()
∫
+∞
a
dxxgxf
hội tụ
Định lý (Dirichlet). Giả sử
f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn

[
]
(
)
0, >AAa
và tích phân
()
∫
A
a
dxxf
bị chặn với
mọi
[
)
+∞∈ ,aA

g(x) đơn điệu tiến về không khi
+
∞→
x
khi đó tích phân
()()
∫
+∞
a
dxxgxf
hội tụ.
Lưu ý : với các tích phân
()

∫
∞−
a
dxxf
và
()
∫
+∞
∞−
dxxf
ta cũng có các mệnh đề tương tự.
1.3.3.2.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn
a. Định nghĩa: Giả sử f(x) bị chặn và khả tích trên mọi
đoạn
[]
()
abba
−
<
<−
η
η
0, nhưng không bị chặn trên
[
]
bb ,
η
−
. Khi đó b được
gọi là điểm bất thường.

Giới hạn (nếu có) của
()
∫
−
η
b
a
dxxf
khi 0→
η
gọi là tích phân suy rộng của f
trên
[]
ba,
và kí hiệu
()
∫
b
a
dxxf
.
Vậy
() ()
∫∫
−
→
=
η
η
b

a
b
a
dxxfdxxf
.0
lim:

18

Nếu giới hạn này hữu hạn ta bảo tích phân suy rộng đó hội tụ và gọi f là
hàm khả tích trên
[]
ba, . Nếu giới hạn này vô hạn, hoặc không tồn tại, thì ta bảo tích
phân
()
∫
b
a
dxxf
phân kỳ.
Tương tự , nếu f(x) bị chặn và khả tích trên mọi đoạn
[]
ba ,
η
′
+
nhưng
không bị chặn trên

[]
η
′
+
aa, (điểm a là điểm bất thường) thì
() ()
∫∫
′
+
→
′
=
b
a
b
a
dxxfdxxf
η
η
.0
lim:

Nếu f(x) không bị chặn tại c (a<c<b) thì
() () ()
∫∫∫
+=
b
c
c
a

b
a
dxxfdxxfdxxf :

Trong đó tích phân suy rộng ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân
suy rộng ở vế phải hội tụ.
b. Điều kiện hội tụ
Đối với tích phân của hàm số không bị chặn ta có một số định lý sau đây (
phát biểu cho trường hợp b là điểm bất thường),
o Nếu F là nguyên hàm của f trên
[
)
ba, thì
() ( ) ()
[]
() ()
aFbFaFbFdxxf
b
a
−−=−−=
→
∫
η
η
0
lim

o Nếu
(
)

(
)
xgxf
≤
≤
0 và
()
∫
b
a
dxxg
hội tụ thì
()
∫
b
a
dxxf
hội tụ
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng:
1.4.1Toán tử
:
Toán tử
là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có
cùng bản chất:

trong đó toán tử
^
F
được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được
viết dưới dạng một phép nhân

ψ
với
^
F
và được gọi là “toán tử
^
F
tác dụng lên
hàm
ψ
cho hàm
ϕ
”
Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân

^
F
=
^
x
=
x

^
F
ψ
ϕ
=

19

() () ()
^
x
xxxx
ϕψψ
==
(4.2)
Ví dụ 2: Toán tử vi phân
^
^
,
dd
F
dx dx
==

() () ()
^
dd
x
xx
dx dx
ϕψψ
==
(4.3)
Ví dụ 3: Toán tử Laplace:

222
2
222
x
yz
∂∂∂
∇= + +
∂
∂∂

() ()
222
2
222
xx
x
yz
ψ
ψψ
ϕψ
∂
∂∂
=∇ = + +
∂
∂∂
(4.4)
Vì các hàm
ψ
và
ϕ

ở trong biểu thức (4.1) nói chung là những hàm phức
cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong
số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là
những toán tử tuyến tính.
Tóan tử
^
F
được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi sau:
()
^^^
11 22 1 1 2 2
FC C CF CF
ψ
ψψψ
+= +
(4.5)
trong đó
12
,
ψ
ψ
là hai hằng số tuỳ ý, còn
12
,CC là những hằng số phức tuỳ ý.
Từ định nghĩa (4.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử
^
F
biểu thị
nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử ta có:
^^

11 2 2
,FF
ψ
ϕψϕ
== , nên (4.5) trở thành:
()
^^ ^
1 1 2 2 11 22 11 2 2
CF CF C C F C C
ψ
ψϕϕ ψψϕ
+=+=+=

nghĩa là
ϕ
là tổ hợp tuyến tính của hai hàm
12
,
ϕ
ϕ
. Hay nói cách khác, kết quả tác
dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm
12
,
ψ
ψ
thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm
riêng biệt.
Rõ ràng rằng các toán tử
^

x
;
^
d
dx
và
2
∇
trong các thí dụ (1), (2), (3) là
những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số ( hay toán tử
)

20

không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý
toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý
nói đến các toán tử tuyến tính.
1.4.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử.
Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm
(
)
x
Ψ
thì ta được hàm số
() ()
xx
ψϕ
≠
. (Với

()
x
là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường hợp ta lại
được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là:
()
xAΨ
ˆ
= A
()
xΨ
Khi đó ta nói
(
)
xΨ
là hàm riêng của toán tử A và phương trình trên gọi là
phương trình trị riêng của toán tử
A
ˆ
. còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng
()
xΨ
của toán tử
A
ˆ
.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với một trị
riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp
này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị
riêng và được viết như sau:
n

A
ˆ
() ()
xuAxu
nnn
=

Trong đó
()
xu là hàm riêng ứng với trị riêng
n
A (n = 1;2;3;4;5…). Số trị
riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị
riêng của một toán tử đó.
Thí dụ: Cho toán tử
A
ˆ
=
()
x
i
∂
∂
− . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử
A
ˆ
,
biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng
(

)
L,0 .
Gọi
n
A và
(
)
xu
n
là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử
A
ˆ
thì
phương trình trị riêng của toán tử
A
ˆ
là:
()
nn
n
uA
x
u
i =
∂
∂
−
(ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà)
xiA
u

u
n
n
n
∂=
∂

.lnln CxiAu
nn
==⇒

xiA
n
n
Ceu =⇒
Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng
(
)
L,0
nên ta có
(
)()
Luu
nn
=
0
. Tức là:
1=⇒=
LiALiA

nn
eCeC

21

()
π
nLA
LA
n
n
2
1cos
=⇒
=⇒

Từ đó ta được
L
n
A
n
π
2
=
. ( n= 0;2;3;…).
Ta thấy A
n
có giá trị gián đoạn theo số nguyên n.

Còn hàm riêng tương ứng với A
n
là:
()
x
L
ìn
n
Cexu
π
=
.

TIỂU KẾT CHƯƠNG I
Nhìn chung cơ sở lý luận của đề tài, ta thấy chương I gồm bốn phần, đó là lý luận
về bài tập vật lý,các loại bài toán biên, các chuỗi và hệ trực giao, khái niệm toán tử, hàm
riêng, trị riêng.
Ngoài ra, cơ sở toán học của bài toán được trình bài khá cô đọng và ngắn gọn, tránh
đi sâu chi tiết vào việc chứng minh các công thức, định lý, mà chỉ nêu ra với mục đích là
sử dụng công thức, định luật đó trong bài toán, dựa vào đó
để giải các bài toán truyền nhiệt
trong phương trình toán lý. Hơn nữa chúng tôi còn đưa ra phần phụ lục ở cuối luận văn để
người đọc dễ tra cứu.

22

CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
VÀ HÀM HÀM BESSEL

2.1 KHÁI NIỆM HÀM BESSEL
Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặt biệt sự phân bố dừng của chúng và
được mô tả bằng phương trình Laplace .
Phương trình sóng đồng nhất ba chiều có dạng:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
a
t
u
(2.1)
Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u

x
u
a
t
u
(2.2)
Trong trường hợp khi hàm
u = u(x,y,z) không phụ thuộc vào t thì
0=
∂
∂
t
u
và
0
2
2
=
∂
∂
t
u
, ta có phương trình Laplace:
0
2
2
2
2
2
2