bài toán cauchy cấp hai trong thang các không gian banach

1
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

F  G




Nguyễn Thanh Hà



BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG
THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY


Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005

2
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, TS. Nguyễn
Anh Tuấn, PGS.TS. Dương Minh Đức, TS. Nguyễn Thành Long, quý thầy
đã trực tiếp trang bò cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình
nghiên cứu. Đồng thời, thông qua giảng dạy, quý thầy đã giúp tôi quen dần
với công việc nghiên cứu.
Tôi vô cùng cám ơn BGH, quý thầy cô trong khoa Toán, trong phòng
KHCN Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;
UBND cùng với Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bến Tre, quý thầy cô trường
THPT Bình Đại A, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên
cứu.
Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ,
hổ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2005.

Nguyễn Thanh Hà.

3
CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán từ các lónh vực khác nhau của khoa học, dẫn đến việc
khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân trong
không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy). Có nhiều lớp

phương trình vi phân được khảo sát, mỗi lớp phương trình lại có phương
pháp nghiên cứu riêng.
Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có nhiều ứng
dụng khi nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dò.
Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling và một số tác giả
khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy cấp
một trong thang các không gian Banach và tìm ra nhiều ứng dụng khác cho
Phương trình Vi phân, Vật lý và Cơ khí. Sau đó, Barkova và Zabreik đã tìm
ra một kết quả tương tự cho bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện
Lipschitz.
Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy
cấp hai trong thang các không gian Banach dạng
01
(, )
(0) , (0)
′′
=
′
==
uftu
uuu u

và cùng với các kết quả đó là một vài ứng dụng đơn giản.
Trong suốt luận văn, hàm
(, )
f
tu được xét các dạng khác nhau ứng với
các điều kiện khác nhau, và ta giả thiết
(
)

[
]
(
)
,. , , 0,
λ
λ
λ
∈
⊂+∞Eab
là

4
thang các không gian Banach cho trước thoã mãn: nếu
'
λ
λ
<
thì
'
λ
λ
⊂EE
và
'
λ
λ
≤uu
, với mọi
λ

∈
uE
.
Trong chương hai, chúng tôi trình bày bài toán Cauchy cấp hai với
(, )
f
tu được thay thế bởi ,,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
du
ftu
dt
thoảđiều kiện Lipschitz. Đây là một
kết quả tương tự với bài toán Cauchy cấp một.
Khi
(, )
f
tu lần lượt được thay bởi hàm () ()+
A
tu ft rồi
hàm
(
)
(),
A
Bu t u , các giả thiết cũng được thay đổi theo nhằm đủ cho việc
nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán đó. Kết quả này
được trình bày ở chương ba.
Ở chương bốn, điều kiện nhiễu compact được xét đến thay cho điều

kiện Lipschitz. Kết quả thu được cho bài toán cấp hai tương tự với kết quả
của K. Deimling về bài toán Cauchy cấp một.
Kết thúc luận văn là một vài ứng dụng cho phương trình Kirchhoff.









5
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ

Trong chương này, ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm
của phương trình cấp hai, tương tự với đònh lý Nishida-Nirenberg.
Trước hết, giả sử ta có thang
(
)
[
]
,. , 0,1
λ
λ
λ
∈E
và ánh xạ
f

tác dụng
liên tục từ
[]
0,
λ
λ
××TEE vào
'
λ
E
với mỗi cặp '
λ
λ
<
và thoả điều kiện
11 2 2 1 2 1 2
'
(, , ) (, , ) ( , ') ( , ')
λ
λλ
λ
λλλ
−≤−+−
f
tu v f tu v a u u b v v
; (2.1)
trong đó các hàm
(, '),(, ')ab
λ
λλλ

không âm, không phụ thuộc
,,
ii
tu v
.
Ta xét bài toán
()
,,
′′ ′
=uftuu (2.2)
01
(0) , (0)
′
==uuu u
. (2.3)
với điều kiện (2.3) thuộc
1
E
.
2.1. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm
(, '), (, ')ab
λ
λλλ
là tổng quát.
Ta cần một số xây dựng bổ trợ. Ta xét các ánh xạ từ không gian
[]
(
)
0, ,CT
vào chính nó như sau:

[]
()
0
( , ') ( ) ( , ')( ) ( , ') ( ) '
t
cwta tb wd
λ
λλλτλλττλλ
=−+ <
∫
(2.4)
()
01 1 0 1
1
( , , , ) ( ) ( , ) ( );
−
=
=>>>
∏
n
nii n
i
cwtcwt
λ
λλ λλ λλ λ
(2.5)

6
(trong (2.5) ,
∏

hiểu là hợp của các ánh xạ)
12
( , ') ( ) inf ( , , , ) ( ); ( ' )
λ
λλλλλλ
=<
nn
cwtc wt
(2.6)
trong (2.6) inf được lấy trên tập tất cả các bộ
1n
+
số
01
( , , , )
λ
λλ
n
thoả
điều kiện
01
'=>>>=
n
λ
λλ λλ
.
Cuối cùng ta đònh nghóa với mỗi cặp
'
λλ
<

tập hợp
[] []
{
}
(, ') 0, :lim (, ')1() 1, 0,
→∞
′′
=∈ <∀∈
n
n
n
TTTcttT
λλ λλ

trong đó
(
)
11≡t
.
Đònh lý.
Nếu số
(, ')
λ
λ
′
∈TT
và hàm
01 0
0
() ( , ,0)

t
ht u f u d
τ
τ
=+
∫

bò chặn trong
λ
E
thì bài toán (4.2)-(4.3) có nghiệm
[
]
'
:0,
λ
′
→uTE
Chứng minh.
Ta xét ánh xạ
[
]
(
)
[
]
(
)
''
:0,, 0,,

λ
λλ λ
′′
=→=FCCTE CCTE
đònh bởi
10
00
()() , (),()
t
F
vt u f u v d v d
τ
τ
ξξ τ τ
⎡⎤
=+ +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫

Ta nhận thấy rằng, nếu
v
là điểm bất động của
F
thì hàm
0
0
() ( )
t
ut u v d

τ
τ
=+
∫


là nghiệm của (4.2) – (4.3).
Thật vậy, nếu
v
là điểm bất động của
F
thì
()
(
)
10
00
() () , ( ) , ( )
t
vt Fv t u f u v d v d
τ
τ
ξξ τ τ
==+ +
∫∫

Từ
0
0
() ( )

t
ut u v d
τ
τ
=+
∫

, ta có:
0
'( ) ( ), (0)
=
=

ut vt u u
.

7
Nên
()
1
0
'( ) , ( ), ( )
t
ut u f u v d
τ
τττ
=+
∫


Do đó, ta có
(
)
(
)
"( ) , ( ), ( ) , ( ), ( )
′
==
 
ut ftutvt ftutut và
01
(0) , '(0)
=
=

uuu u

Khẳng đònh trên được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1212
'
() () ( , ') () () ; ,

λ
λ
λ
λλ
−≤ − ∈
F
vt Fvt c vt vt vv C
(2.7)
Từ đònh nghóa ánh xạ
F
và điều kiện (2.1) ta có
(
)
(
)
12
'
01 1 02 2
00 0
'
12 12
00
() ()
, (),() , (),()
( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( )
t
t
Fv t Fv t
f
uvdv fuvdv d

avvdbvvd
λ
ττ
λ
τ
λλ
τ
ξξ τ τ ξξ τ τ
λλ ξ ξ ξ λλ τ τ τ
−≤
≤+ −+
⎡⎤
≤−+−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
∫∫


Theo công thức tích phân từng phần thì
12
00
12 12
00
0
12
0
(, ') () () .
(, ') () () (, ) () ()
(, ')( ) () ()

t
t
t
t
avvdd
avvdavvd
atvvd
τ
λ
τ
λλ
λ
λλ ξ ξ ξ τ
τ
λλ ξ ξ ξ τ λλ τ τ τ
λλ ττ ττ
−
⎡⎤
′
=−−−
⎢⎥
⎣⎦
=−−
∫∫
∫∫
∫

Suy ra,
12
'

12 12
00
() ()
(, ')( ) () () (, ') () ()
tt
Fv t Fv t
atvvdbvvd
λ
λλ
λ
λττ ττ λλτ ττ
−≤
≤−−+ −
∫∫

Như vậy, ta có (2.7).
Với mỗi bộ số
012
'
λ
λλλ λλ
=>>>>=
n
, ta áp dụng (2.7) và có

8
(
)
()
1

11
12 1 1 2
'
1210112
() () ( , ) () ()
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
λλ
λ
λλ
λλ λλ λλ
−
−−
−
−−−
−≤ − ≤
≤−
n
nn n n
nn
nn n n
Fvt Fv t c F vt F v t
cc cvtvt

Suy ra, với mọi
12
,
λ
∈
vv C
:

12 1 210112
'
() () ( , )( , ) ( , ) () ()
λ
λ
λλ λλ λλ
−−−
−≤ −
nn
nn n n
F
vt Fvt c c c vt vt

Mà với mọi
1,2, ,in=
, ta có
[]
(
)
[]
112 1 1 12
0
12 1 1
0
(,)( )() (,)( )(,)( )()
(,)( )(,).1
t
ii ii ii
t
ii ii

C
cvvtatb vvd
vv a t b d
λ
λλ
λ
λλλτλλττ
λλ τ λλ τ
−−−
−−
−= −+ −
≤− −+
∫
∫

tức là ta có

112 12 1
( , ) ( )( ) ( , )1( ), 1,2, , .
λ
λ
λ
λλλ
−−
−≤− ∀=
ii ii
C
cvvtvvctin
Nên
(

)
12 1 210112
'
() () ( , ) ( , ) ( , )1().
λ
λ
λλ λλ λλ
−−−
−≤ −
nn
nn n n
C
F
vt Fvt c c c t v v

Do đó, ta có
'
12 12
( , ')1( ').
λ
λ
λλ
−≤ −
nn
n
C
C
F
vFv c Tvv
(2.8)

Nếu ta xây dựng dãy lặp
01
() 0, () (),( 0,1, )
+
=
==
nn
vt v t Fvt n
thì do
(2.8) sẽ có đánh giá
'
'
110 10
(, ')1().
λ
λ
λ
λλ
+
−=− ≤ −
nn
nn n
CC
C
vv FvFv c tvv
(2.9)
Do
10 1 0 0
0
() () ( , ,0) ()

t
vt vt u f u d ht
ττ
−=+ =
∫
là hàm thuộc
λ
C
nên từ (2.9)
và đònh nghóa tập
(, ')
λ
λ
T
, dãy
{
}
n
v
sẽ hội tụ trong
'
λ
C
tới hàm
v
nào đó
là điểm bất động của
F
.

9
2.2. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm
(, '), (, ')ab
λ
λλλ
trong trường hợp đặc biệt .
Sử dụng đònh lý tổng quát trên ta sẽ chỉ ra cách đánh giá các tập
(
)
,'
λ
λ
T trong một trường hợp riêng quan trọng.
Với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫
, ta có:
(
)
2
000
() ( ) ( )
tt
J

wt Jw d w d d
τ
τ
τξξτ
==
∫∫∫

p dụng công thức tích phân từng phần, ta có
(
)
00 0 0 0
() () . () ( ). ()
tttt
wdd twd wd t wd
τ
ξ
ξτ ττ τ ττ τ ττ
=− =−
∫∫ ∫ ∫ ∫

Do đó,
2
0
() ( ) ( )
t
Jwt t w d
τ
ττ
=−
∫

Kết hợp (2.4), ta được
2
( , ') ( , ') ( , ')
λ
λλλ λλ
=+caJbJ
, với
0
() ( )
t
Jw t w d
τ
τ
=
∫

Gọi
{
}
1,2, ,⊆
D
n , ta thực hiện phép nhân phân phối vế với vế n đẳng
thức
2
01 01 01
2
12 12 12
2
111

(,)() (,) (,)
(, )() (, ) (, )

(,)()(,) (,)
nn nn nn
cwtaJbJ
cwtaJbJ
cwtaJbJ
λλ λλ λλ
λλ λλ λλ
λλ λλ λλ
−−−
=+
=+
=+

ta được đẳng thức mới có vế phải là một tổng mà mỗi số hạng có dạng
2
11
(,). (,)
λλ λλ
−
−−
∈∉
∏∏
lnl
jj jj
jD jD
aJbJ, trong đó l là số phần tử của D, với 2l
+(n-l)=k và k=n,n+1,…,2n.

Ta thấy số phần tử của D là l=k-n

10
Gọi
k
M
là tập các tập con
{
}
1,2, ,⊂
D
n
thì do đònh nghóa ( 2.5), ta cóù
2
01 01
( , , , ) ( , , , )
λλ λ λλ λ
=
=
∑
n
k
nk n
kn
cdJ

trong đó
01 1 1
( , , , ) ( , ) ( , )
λ

λλ λλ λλ
−−
∈
∈∉
=
∑
∏
∏
k
kn jjjj
DM
jD jD
dab
Vì
1( )
!
=
k
k
t
Jt
k
, nên ta có
()
()
()
2
01 01
, , , 1 , , , .
!

λλ λ λλ λ
=
=
∑
k
n
nkn
kn
t
ctd
k
(2.10)
Giả sử các hàm
(, '), (, ')
λ
λλλ
ab thõa mãn điều kiện sau
Điều kiện

λ
()
.
Tồn tại các hàm
( , '), ( , '), ( 1,2 )
λ
λλλ
=
nn
ab n
sao cho với mỗi cặp

'
λλ
< tồn tại bộ số
01
'
λ
λλ λλ
=
>>>=
n
sao cho
11
(,) (,'),(,) (,')(1, ,)
λ
λλλλλλλ
−−
===
jj n jj n
aabbjn.
Do
k
d
là một tổng gồm các số hạng (trong trường hợp này) bằng nhau;
tổng số các số hạng đó bằng tổng số các tập con D của
{}
1,2, ,=
A
n , tức
là bằng
−kn

n
C .
Nên với điều kiện
()
λ
như vậy, ta có
()
2
01
, , , (, ') (, '),
kn kn nk
knnnn
dCab
λ
λ λ λλ λλ
−− −
=
(2.11)
Ta xét trường hợp
21
( , ') .( ') , ( , ') .( ')aa bb
λ
λλλ λλλλ
−
−
=− =−
(
0, 0>>ab

là các hằng số),

là một sự mở rộng tự nhiên của điều kiện dạng Lipshitz cho phương trình
cấp một. Khi đó điều kiện
λ
()
được thỏa với

11
2222
11
1
'
( , ') ( , ) .( ) .( ) ( ') ,
(, ') ( ')
njjjj
n
aa a a an
n
bbn
λ
λ
λλ λ λ λ λ λ λ
λλ λ λ
−
−−
−−
−
−
==−= =−
=−

và với cách chọn
j
λ
là các điểm chia
[
]
',
λ
λ
làm
n
phần bằng nhau.
Trong trường hợp này từ ( 2.10) – (2.11), ta có
2
01 01
2
2
( , ')1( ) inf ( , , , )1( ) ( , , , )
!
()
(, ') (, ')
!
k
n
nnkn
kn
k
n
kn kn nk
n

kn
t
ctc td
k
T
Ca b
k
λλ λ λ λ λ λ λ
λλ λλ
=
−− −
=
=≤
′
≤
∑
∑


2
2
()
(') ;
!
k
n
kn kn nk k k
n
kn
T

Cab n
k
λλ
−− − −
=
′
=−
∑
[
]
0, 'tT
∀
∈

Ta có
!
( 1)( 2) ; ( , 1, ,2 )
!
≤+ + ⇒ ≤ = +
k
k
n
nk
nn n k knn n
nn
hay
!!
≤
kn
nn

kn

Suy ra
2
2
'
(, ')1()
!'
k
n
n
kn kn nk
nn
kn
nT
ct Cab
n
λλ
λ
λ
−− −
=
⎡
⎤
≤
⎢
⎥
−
⎣
⎦

∑


[]
2( ) 2
2
2
'
,0,'
!''
kn nk
n
n
kn kn nk
n
kn
nT T
Ca b t T
n
λλ λλ
−−
−− −
=
′
⎡⎤ ⎡⎤
≤∀∈
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
∑

Như vậy

22 1
(, ')1() '( ') '( ')
!
n
n
n
n
CtaT bT
n
λλ λ λ λ λ
−−
⎡⎤
≤−+−
⎣⎦
(2.12)
Ta biết
lim
!
→∞
=
n
n
n
n
e
n
nên từ (2.12), ta có

12
2
lim ( , ')1( )
''
n
n
n
TT
ctea b
λλ
λ
λλλ
→∞
⎡
⎤
′
′
⎛⎞
≤+
⎢
⎥
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦

Đặt
lim ( , ')1( )
λλ
→∞
=
n
n
n
B
ct. Với T
′
thoả
2
'4
0'
2
λλ
⎛⎞
−
<< −+ +
⎜⎟
⎝⎠
a
Tbb
ae
,
ta có
(
)
(

)
2
22
''
4/ 4/
22
''
λλ λλ
λλ λλ
⎡⎤
−−
⎛⎞⎛⎞
−+ + −+ +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
≤+
⎜⎟⎜⎟
−−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
bb ae bb ae
aa
Bea b


(

)
(
)
2
2
2
2
4/
4/
42
4
.1
4
bb ae
b
ea b b ae
aa
a
e
e
a
⎡⎤
−+ +
⎢⎥
=+−++
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
==

Theo đònh nghóa của tập
(
)
,'
λ
λ
T , ta có:
(
)
','TT
λ
λ
∈
.
Do đó, ta có

2
4
0,( ') 2 ( , ')
a
bb aT
e
λ
λλλ
⎛⎞
⎡⎤
−−++ ⊂
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟

⎣⎦
⎝⎠

.
Vậy ta đã chứng minh được hệ quả sau
Hệ quả.
Giả sử ánh xạ
[
]
'
:0,
f
TEE E
λ
λλ
×
×→liên tục với mỗi cặp '
λ
λ
< và
thõa mãn điều kiện
()( )
11 2 2 1 2 1 2
2
'
,, , ,
(') '
ab
f
tu v f tu v u u v v

λ
λ
λ
λλ λλ
−≤−+−
−−


13
và hàm
0
()ht
bò chặn trong
λ
E
thì bài toán (2.2) với điều kiện (2.3) có
nghiệm
[
]
'
:0,
′
→uT E
λ
nếu T
′
thoã điều kiện

2
4

0(') 2.
a
Tbba
e
λλ
⎛⎞
′
<<−−++
⎜⎟
⎝⎠

14
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN COMPACT

Khó khăn chủ yếu trong việc nghiên cứu các bài toán Cauchy là ở chỗ
các toán tử được xét đi từ một không gian
λ
E
nào đó không vào chính nó,
mà vào không gian rộng hơn
()
β
β
λ
<
E trong họ các không gian Banach.
Để khắc phục khó khăn này, ta áp dụng phương pháp lặp thông thường và
lập luận của Ovsjannikov, Nirenberg, Nishida và Barkova, Zabreiko.
Trước hết, ta nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán
Cauchy tuyến tính sau đây:
() ()
′′
=+
uAtuft
(3.1)
01
(0) , (0) .
′

==uuu u
(3.2)
Đònh lý 3.1.
Giả sử các giảû thiết sau đây được thoã mãn:
1)
Với mỗi cặp
(, ),
λ
βλβ
≤
<≤ab
,
[
]
(
)
:0, ,
β
λ
=→
A
ITLEE
là toán
tử liên tục và tồn tại một số
0
M
> , không phụ thuộc vào
,,t
λ
β

, sao cho:
2
()
()
λ
β
βλ
≤
−
M
Atu u
, với mọi
β
∈
uE
.
2)

01
,;(,)∈∈
bb
uu E f CIE
.
Khi đó, với mỗi
(,)
λ
∈
ab , tồn tại một số
min ,
λ

λ
−
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭
b
TT
M
e
sao cho
bài toán (1) có duy nhất nghiệm
[
)
:0,
λ
λ
→uT E
, thoã mãn

15
()( )
() ()
2( )
λ
λ
λ
−

−≤
−−
Kt b
ut ut
btMe
, (3.3)
()
1
2
42()()
'( ) ( )
λ
λ
λ
λ
⎛⎞
−
⎜⎟
−≤ + +
⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
Mc Ktb
ut u Tgt
Me b t Me
btMe
(3.4)
với

[
)
0,
λ
∈tT
, trong đó

[
]
{
}
[]
{}
01
2
() ; sup () : 0, ;
()
() sup ( ) : 0, ; () ()
2
b
ut u tu c ut t T
b
gt f s s t Kt c gt
b
M
e
λ
=+ = ∈
−
=∈=+

(3.5)
Chứng minh.
Cố đònh (,)
λ
∈ ab . Ta thay bài toán (3.1)-(3.2) bởi phương trình tích
phân tương đương sau
()
00
() () ()() () : ()
ts
u t u t ds A r u r f r dr Fu t=+ + =
∫∫
. (3.6)
Xét các phép xấp xỉ liên tiếp
01
() (), () ()
−
=
=
nn
ut ut ut Fu t.
Vì
,(,)∈
b
uf CIE
, nên ta có (, )
β
∈
n
uCIE với mọi n và mọi

[
)
,
β
λ
∈ b .
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp rằng
2
1
2
() () ()
()
β
β
−
⎛⎞
−≤
⎜⎟
−
⎝⎠
n
nn
Met
ut u t Kt
b
(3.7)
Với n=1 thì do giả từ thiết 1) và từ
() ()
β
β

<
⇒≤
b
bfr fr), ta có
(
)
10 0
00
() () () () () () ()
ts
ut ut Fut ut ds Arur fr dr
β β
ββ
−= −≤ +
∫∫


2
0
() ()
()
ts
bb
o
M
ds u r f r dr
b
β
⎛⎞
≤+

⎜⎟
−
⎝⎠
∫∫


16
Kết hợp đònh nghóa số
c
, hàm
(), ()gt Kt
và bằng tính toán cụ thể ta có
đánh giá

2
0
222
22
22
2
1
22 2
22
() ()
()
2()()
()
() 2 () 2
2()()
2()

()( )
()
2() ()
ts
bb
o
M
ds u r f r dr
b
M
ctMcegtbt
gt
bb
Mce g t b t
b
g t b t Me Met
cKt
Me b b
β
β
ββ
λ
β
λ
ββ
⎛⎞
+
⎜⎟
−
⎝⎠

⎛⎞
⎛⎞
+−
≤+≤
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
+−
≤
⎜⎟
−
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
−
=+ =
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
∫∫

Vậy (3.7) đúng với n =1.
Nếu (3.7) đúng với n thì với chú ý rằng hàm K tăng theo t, ta có

11
00
1
2

00
() () () () () ()
() ()
ts
nn n n
ts
nn
u t u t ds A r u r A r u r dr
M
ds u r u r dr
ββ
βε
ε
+−
−
+
−≤ −
≤−
∫∫
∫∫



2
22
00
2
22
00
()

()
()
()
()
n
ts
nn
ts
n
MMer
ds K r dr
b
MMer
ds K s dr
b
εβε
εβε
⎛⎞
≤
⎜⎟
−−
⎝⎠
≤
−−
∫∫
∫∫


21
22

0
21
22
0
()
()
(2 1)( )
()
()
(2 1)( )
nn
t
n
nn
t
n
MMes
Ks ds
nb
MMes
Kt ds
nb
εβε
εβε
+
+
=
+−−
≤
+−−

∫
∫


(
)
1
2
22
()
( ) (2 1)(2 2)
εβε
+
≤
−− + +
n
n
Kt Met
bnne

tức là ta có

17
(
)
1
2
1
22
()

() ()
( ) (2 1)(2 2)
β
εβε
+
+
−≤
−− + +
n
nn
n
Kt Met
utut
bnne
(3.8)
Chọn
21
β
ε
−
=
+
b
n
, ta được

22 2
22
22
2( ) ( ) 2

()
21 21 (21)(2 2)21
nn
n
n
bnb b n
b
nn nnn
ββ β
εβε
+
−− −
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞
−− = ≥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
++ +++
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠

Do
2
1
1
2
⎛⎞
+<
⎜⎟
⎝⎠
n
e
n

nên
22
22
()
()
(2 1)(2 2)
n
n
b
b
nne
β
εβε
+
−
−− ≥
++
(3.9)
Kết hợp (3.8) và (3.9) ta được (3.7) đúng cho trường hợp n+1.
Xét một số
[
)
0,
λ
λ
∈→tTE
và chọn
β
λ
>

thoả
22
()
β
<−Met b
. Bất
đẳng thức (3.7) chứng tỏ rằng dãy
{
}
n
u hội tụ trong
[
]
(
)
0, ,CtE
β
về một
hàm
u .
Lấy giới hạn theo chuẩn của
λ
E
khi
n →∞
trong đẳng thức
1
() ()
nn
ut Fu t

−
=
ta thấy rằng hàm thu được
[
)
:0,
λ
λ
→uT E
thoã mãn (3.6) và
do đó nó chính là nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2).
Tiếp theo, ta kiểm tra đánh giá (3.3), (3.4). Để đơn giản cho việc ký
hiệu, ta đặt
=dMe
. Từ (3.7) ta có
2
1
() () ()
λ
λ
=
⎛⎞
−≤
⎜⎟
−
⎝⎠
∑
i
n
n

i
td
ut ut Kt
b

Và bằng cách cho
→∞n , với 0
λ
−
≤<
b
t
d
thì
22 2
222
()( )
() ()
() ( )( )
λ
λ
λλλ
−
−≤ ≤
− − −− −+
dt Kt b
ut ut
bdtbtdbtd

18
Ta biết, nếu 0 <<ab thì
1
2
<
+
a
ab
, nên
2
()() ()()
()()2()
λ
λ
λλ λ
−−
≤
−− −+ −−
Kt b Kt b
btdbtdbtd

Do đó, (3.3) được thoã mãn.
Từ ký hiệu (3.5) và (3.6), ta có
()
()
1
2
()
00
() ()() () () ()

()
tt
s
M
ut u Asus fs ds Tgt us ds
s
λ λ
λ
λλ
′
−= + ≤ +
−
∫∫

(3.10)
trong đó
()
2
λ
λ
+−
=
bsd
s
.
p dụng (3.3), ta được
(
)
()
(

)
()
(
)
()
()
() () () ()
()
2() 2
λ
λ
λλ
λλλ
−
−+ −
≤+ =+ ≤+
− − −− −−
s
Ks b s Ks b sd Ks b
us c c c
b s sd b sd b sd
,
với
0
λ
−
≤<
b
s
d

.
Do đó, từ (3.10) suy ra
()
(
)
()
()
()
()
1
2
0
23
00
()
4
() ()
() 4 ()
t
tt
Ks b
M
ut u Tgt c ds
bsd
bsd
ds ds
Tg t M c K t b
bsd bsd
λ
λ

λ
λ
λ
λλ
⎡⎤
−
′
−≤ + +
⎢⎥
−−
−−
⎣⎦
⎡
⎤
≤+ + −
⎢
⎥
−− −−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫∫


()
2
4()()
()

0
2
λ
λ
λ
⎡
⎤
−
=+ +
⎢
⎥
−−
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
t
Mc Ktb
Tg t
db sd
bsd


Bằng tính toán cụ thể, và để ý rằng K là hàm tăng theo t, ta được

19

()
1

2
42()()
() ()
λ
λ
λ
λ
⎡
⎤
−
′
−≤ + +
⎢
⎥
−−
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
Mc Ktb
ut u Tgt
db td
btd
với
[
)
0,
λ
∈tT.

Do đó, (3.4) được chứng minh.
Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất nghiệm. Giả sử
[]
:0, '
λ
→vT E
là nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2). Cố đònh
'
λλ
<
, ta có thể lặp lại lập luận
của chứng minh sự tồn tại với
,,
n
bu
λ
lần lượt được thay bởi
', ,
n
uv
λ
λ
−
để
được
uv−
là nghiệm của bài toán
(
)
() , () 0

(0) (0) 0.
′′
==
′
==
wAtwft
ww

thoã đánh giá (3.3) ( để ý rằng bài toán này được xét với
0'tT≤<
và
() 0=wt ). Vì vậy, () ()
=
ut vt với
'
0min',
λ
λ
−
⎧
⎫
≤<
⎨
⎬
⎩⎭
tT
d
, và do đó, bằng
phương pháp lặp thông thường ta suy ra
() ()

=
ut vt với 0'≤<tT. Đònh lý
được chứng minh.
Đònh lý 3.2.
Giả sử các giả thiết sau được thoã mãn
1)
Với mỗi cặp (, )
λ
β
toán tử :
λ
βλ
×
→
A
EE E là dạng tuyến tính và tồn
tại một số M> 0 không phụ thuộc
(, )
λ
β
sao cho
2
λ
β
λλβ
βλ
≤∀∈∀∈
−
M
A( u,v ) u . v , u E , v E .

()

2)
Toán tử B là hoàn toàn liên tục từ
[
]
(
)
1
0, ,
a
CTE
vào
[]
(
)
0, ,
b
CTE

được trang bò bằng các chuẩn thông thường .
Hơn nữa ,

[
]
[
]
(
)
{

}
1
sup ( ) . 0, ; 0, ,
a
b
Bu t t T u C T E L
∈
∈=<∞


20
3)
01
,.∈
b
uu E

Khi đó, với bất kì
( ,)
λ
∈
ab
, tồn tại một số
min ,
4
λ
λ
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬

⎪⎪
⎩⎭
−
=
b
TT
M
Le
sao
cho bài toán Cauchy
(
)
(),
′′
=uAButu
(3.11)
01
(0) ; (0)
′
==uuu u
(3.12)
có một nghiệm
[
]
:0,
λ
λ
→uT E.
Chứng minh.
Đặt

[]
0,=IT, trước hết chúng ta chú ý rằng , phép nhúng
11
:(, ) (,)
λ
→
a
IC IE C IE liên tục , do

{
}
1
(, )
() sup () ()
′
=+
∈
a
CIE a a
Ix xt xt
tI

()
{
}
()
11
,,
() sup () ()
λ

λλ
′
⇒≤+=
∈
a
CIE CIE
Ix xt xt x
tI

Kết hợp giả thiết 2) ta có toán tử B cũng hoàn toàn liên tục từ
1
(, )
λ
CIE vào
(, )
b
CIE
,với bất kỳ
[
]
,
λ
∈
ab.
Cố đònh với
(),
λ
∈ ab
, mỗi
1

(, )
λ
∈uCIE, ta xét bài toán cauchy tuyến
tính sau
(
)
(), ,
′′
=vAButv
(3.13)
01
(0) ; (0)
′
==
vuv u (3.14)
Với
λ
γβ
≤≤ ≤b
và
β
∈
vE, do giả thiết 1) , ta có
()()
()
2
(), ( ), () ( ) .
b
M
A

Bu t v A Bu s v Bu t Bu s v
β
γ
βγ
−≤ −
−



21
()
() () ()
222
() . () .
(), .
b
MBut v MBut v
ML
A
Bu t v v
γβ β
β
γ
βγ βγ βγ
≤≤≤
−−−

Do đó, toán tử
(
)

(),.tABut→
từ I vào
(
)
,
βγ
L
EE
thoả giả thiết 1) của
đònh lý 3.1. Vì vậy , với mỗi
[
)
,
β
λ
∈
b , tồn tại
{
}
min ,( )
β
β
′
=−TTbMLe

để bài toán (3.13)-(3.14) có duy nhất nghiệm
)
::0,
ββ
′

⎡
=→
⎣
vFu T E

()
() () ,
2( )
β
β
β
−
−≤
−−
cb
Fu t u t
bdt
(3.15)
1
2
42()
() )
()
β
β
ββ
⎛⎞
−
′
−≤ +

⎜⎟
−− −−
⎝⎠
ML c c b
Fu t u
db dtb dt
(3.16)
với
0,tT
β
⎡⎞
′
∈
⎟
⎢
⎣⎠
, trong đó
{
}
01
() ; sup () : ,=+ = ∈ =
b
ut u tu c ut t I d MLe
.
Để nghiên cứu tính liên tục và compact của toán tử F , ta sẽ đánh giá
12
ω
=−
F
uFu

Rõ ràng ,
ω
thoả
(
)
(
)
1122
(), () (); (),
′′
=−−w A Bu t w A Bu t Bu t Fu t
(3.17)
(0) (0) 0
′
==ww
(3.18)
Xét bài toán Cauchy (3.17)-(3.18) trong thang
(
)
[]
,. , ,
β
β
β
λλ ε
∈+E

với
0

ε
>
sẽ chọn sau.
Bằng cách áp dụng bài toán (3.17)-(3.18) cho đánh giá (3.3), (3.4) với
ký hiệu (3.5) trong đònh lý 3.1, ta được
[]
[]
3
2
0
3
22
0
4
4
4
λλε
λε
λ
λε
ε
ε
ε
ε
+
∈
+
+
∈
≤

−
⎛⎞
′′
≤+
⎜⎟
−
⎝⎠
s,t
s,t
w( t ) sup f ( s ) .
d( dt)
ML
w(t) T .sup f(s)
d( dt)
(3.19)

22
với
0
ε
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
≤<tminT,
d
, trong đó
(
)
122
() () (), ()

f
tAButButFut
=
− . Theo giả
thiết 1) của đònh lý, ta có
12 2
2
() () () ()
λ
ελελεδ
δ
++++
≤−
M
f t Bu t Bu t Fu t (3.20)
và do (3.15) thì
2
()
()
2( )
λεδ
λ
εδ
λεδ
++
−
−−
≤+
−−−−
cb

Fu t c
bdt
,
với
{
}
0min,( )/
λ
εδ
≤< − −−tTb d
.
Bằng cách chọn
()/3,()/6
ε
λδ λ
=
−=−bb
, ta được
2
()
()
2( 2 )
λεδ
λ
λ
++
−
≤+
−−
cb

Fu t c
bdt
, với
min ,
2
λ
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩⎭
−
<
b
tT
d


2≤ c
, với
min ,
4
λ
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩⎭
−
<

b
tT
d
(3.21)
Cuối cùng, với
0min,
4
λ
λ
−
⎧
⎫
≤< =
⎨
⎬
⎩⎭
b
tT T
d
, từ (3.19)-(3.21) ta có

[]
()
[]
12 1 2
2
0,
2
12 1 2
3

0,
8
() () sup ( ) ( ) ,
48 ( 32 )
() sup () ( )
()
λ
λ
λ
∈
∈
−≤ −
+
′
−≤ −
−
b
st
b
st
Mc
Fu t Fu t Bu s Bu s
d
Mc d ML
F
uFu t BusBus
db
(3.22)
Và từ (3.15), (3.16) ta có:
1

2176
() () , ( )()
39()
λ
′
−≤ −≤
−
c
Fu t u t c Fu t u
db
(3.23)
Bây giờ, ta kết thúc bằng việc chứng minh toán tử F có một điểm bất
động. Ta giả sử
[
]
(
)
1
0, ,
λ
λ
=XC TE
được trang bò bởi chuẩn

23
[
]
{
}
sup ( ) , 0,

λ
λ
=∈uuttT
. Từ (3.23) ta có
(
)
() ,⊂
F
XBurvới 0>r nào
đó, và từ (3.22) thì
[]
12 1 2
,
sup ( ) ( )
λ
∈
−≤ −
b
toT
F
uFu K ButBut
với hằng số
0>K
nào đó.
Như vậy, ta có
12 12
−≤ −
F
u Fu K Bu Bu
.

Xét
M
là tập bò chặn, ta sẽ chứng minh
()FM
là tập compact tương đối.
Cho trước 0
ε
> , do
B
là ánh xạ hoàn toàn liên tục, nên
()BM
là tập
compact tương đối và do đó hoàn toàn bò chặn.
Suy ra, tồn tại sao cho
1
() (),
n
ii
i
BM B Bu
K
ε
=
⎛⎞
⊂
⎜⎟
⎝⎠
∪
.
Khi đó, với mọi

()
y
FM
∈
, tồn tại
:()uMyFu
∈
=
, và do đó tồn tại
{}
1,2, ,in∈
sao cho () ( )
i
Bu Bu
K
ε
−
≤ .
Vì thế,
() () () ()
ii
Fu Fu KBu Bu
ε
−≤ −≤, tức là ta có
(
)
() (),
i
FM BFu
ε

⊂
.
Như vậy
()FM
hoàn toàn bò chặn nên là tập compact tương đối.
Do đó, theo đònh lý Schauder, F có một điểm bất đôïng trong X. Đònh lý
được chứng minh.





24
CHƯƠNG 4
PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI NHIỄU COMPACT

Để thấy được tính tương tự với bài toán Cauchy cấp một, ta cần nhắc
lại một kết quả sau.
4.1. Đònh lý.
Giả sử
1)
nh xạ
(
)
:,
λβ
→
A
ILEE
liên tục với mỗi cặp

β
λ
<
thuộc
[
]
,ab và
thoả:
()
,
()
λβ
λ
β
≤
−
LE E
M
At
;
2)
Với mọi
[
)
,
λ
∈ ab , ánh xạ
0
(,):
b

gurIB E
λ
×
→ liên tục đều và thoả:
i)

(, ) ,≤
b
gtu c

ii)

[
]
(, ) . ( )
b
gtB m B
λ
α
α
≤
với mọi
0
,(,)tIBBur
λ
∈
⊂
;
trong đó
λ

α
là độ đo phi compact Kuratowski trên
λ
E
, các hằng số c, M, m,
r không phụ thuộc ,,,tB
λ
β
.
Khi đó, với mỗi
)
,
λ
⎡
⎣
∈
ab
, bài toán

[]
=+ ∈=
=∈
0
() (, ), 0,
(0)
b
du
A
tx gtu t I T
dt

uuE

có nghiệm đòa phương với giá trò trong
λ
E với mỗi (,)
λ
∈
ab.
Việc chủ yếu của chương này là chúng tôi muốn thay đổi một ít giả
thiết, chẳng hạn điều kiện độ đo phi compact được thay bởi điều kiện

25
compact tương đối, để phù hợp với phương trình cấp hai. Với ý đònh thay
đổi đó, chúng tôi thu được một kết quả như sau.
4.2. Mệnh đề.
Giả sử
1)
nh xạ
(
)
:,
β
λ
→
A
ILEE
liên tục với mỗi cặp
λ
β
<

thuộc
[
]
,ab và
thoả:

2
() ,
()
λ
β
βλ
≤
−
M
Atu u
với mọi
β
∈
uE.
2)
Với mọi
[
]
,,:
λ
λ
∈×→
b
ab h I E E là ánh xạ liên tục và thoả:

i)

0
(, ) ,( )
b
htu c t I≤∈

ii)

{
}
(, ): (, ): ,( )=∈∈htA htu u A t I là compact tương đối trong
b
E
,
với mọi tập
λ
⊂
A
E
bò chặn.
3)
01
,.∈
b
uu E

Khi đó, với mỗi
)
,

λ
⎡
⎣
∈ ab
, bài toán
() (, )
′′
=+
uAtuhtu
(4.1)
01
(0) ; (0)
′
==
uuu u
(4.2)
có nghiệm
[
)
:0,
λ
λ
→uT E trong đó
min ,
λ
λ
−
⎧
⎫
=

⎨
⎬
⎩⎭
b
TT
M
e
.
Chứng minh.
Mỗi
λ
cho trước thuộc
)
,
⎡
⎣
ab
, cố đònh
(
)
,
λ
∈
uCIE, ta có ánh xạ
(
)
,()thtut
từ I vào
b
E

liên tục.
p dụng đònh lý 3.1 suy ra bài toán
()
() , ()
′′
=+
vAtvhtut (4.3)