- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 8 tiêu chuẩn (bản word có lời giải) image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (661.34 KB, 27 trang )
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 Mơn Tốn - Đề 8 - Tiêu chuẩn (Bản word có lời giải)
Câu 1:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0;5 . Nếu
bằng
A. 4 .
Câu 2:
B. 4 .
4
Câu 4:
B. 0; .
Cho 2
A. 18 .
. Tính
Câu 8:
f x dx
0
C. 60 .
D. 16 .
C. 0; .
D. 0; \ 1 .
C. 65 .
D. 18 .
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
∞
+
1
0
0
3
0
∞
+∞
+
+∞
-2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ;1 3; .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x 1 .
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 2 khi x 3 .
D. Hàm số nghịch biến trên đoạn 0; 2 .
Số phức z 6 21i có số phức liên hợp z là
B. z 6 21i .
C. z 6 21i .
D. z 6 21i .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1 x
.5 C .
ln 5
A. 5 x dx x.5 x 1 C .
B. 5 x dx
C. 5 x dx 5 x C .
D. 5 x dx 5 x.ln 5 C .
Số phức z 6 9i có phần ảo là
A. 9 .
B. 9i .
C. 9 .
D. 6 .
Cho hàm số y 2 x3 2 x 2 7 x 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;0 lần lượt là
A. 10 .
Câu 9:
thì
2
B. 65 .
A. z 21 6i .
Câu 7:
3
I 13 f t dt
y
Câu 6:
0
f x dx 6, f x dx 10
5
4
f x dx 5
x
y'
Câu 5:
5
Tập xác định của hàm số y log 5 x là
A. .
Câu 3:
3
M và m . Giá trị của M m là
B. 1 .
C. 11 .
D. 9 .
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2 cm là
A. 8 3 cm3 .
B. 8 cm3 .
C.
32
cm3 .
3
D.
32
cm3 .
3
Câu 10: Cho cấp số cộng un có u1 2, u15 40 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A. S 300 .
B. S 285 .
C. S 315 .
D. S 630 .
Page 1
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2t
y 2 3t t . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây?
z 1 4t
A. Q 2; 3; 4 .
B. N 3; 1;5 .
C. P 5; 4;9 .
z 3 6i, z2 9 7i. Số phức z1 z2 có phần thực là
Câu 12: Cho 1
A. 27.
B. 12.
C. 1.
Câu 13: Cho hàm số y
A. 1 .
2x 1
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
x2
B. 2 .
C. 3 .
D. M 1; 2;1 .
D. 1.
D. 0 .
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 2;1;1 và
vng góc với trục tung là
A. x 2 .
B. 2 x y z 4 0. C. z 1.
D. y 1.
3
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y 2 x 2 x 1 2
5
3
2
A. y . 2 x x 1 2 .
2
3
B. y . 4 x 1 2 x 2 x 1. .
2
5
2
C. y . 2 x 2 x 1 2 .
5
1
2
D. y . 4 x 1 2 x 2 x 1 2 .
3
74 6
Câu 16: Cho a, b, c 0, a 1 và log a b 2022 . Tính log 6 a a . b .
A. 42
2022
.
6
B.
7
6 2022 .
4
C.
21
2022 .
2
D.
2
2022 .
21
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 1 4i 3 z. Tính z .
17
.
13
13
.
17
13
.
17
Câu 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua A 2;0;6 và nhận n 1; 2;3 là
A. z
17
.
13
B. z
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
x 2 t
A. y 2t
t .
z 6 3t
C. x 2 y 3 z 20 0.
C. z
D. z
B. 2 x 6 y 20 0.
D.
x2 y0 z 6
.
1
2
3
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho u 2; 4; 1 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. u 2i 4 j k .
B. u 2i 4 j k .
C. u 2 4 1.
D. u 22 42 12.
Page 2
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f x 17 có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?
A. 2.
B. 3.
C. 0.
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y cos 4 x
D. 1.
1
B. cos 4 x dx sin 4 x C.
4
1
D. cos 4 x dx sin 4 x C.
4
A. cos 4 x dx 4sin 4 x C.
C. cos 4 x dx sin 4 x C.
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 4 là:
A. ; 2
B. 0; 2
C. ; 2
D. 0; 2
C. x 6
D. x 8
Câu 23: Nghiệm của phương trình log 3 x 2 là
A. x 9
B. x 5
4 x2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x 2 8 x 15
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 0 .
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , SA ABCD , SA 2a .
Câu 24: Đồ thị hàm số y
Tính thể tích khối chóp S . ABCD
4a 3
4 a 3
A. V
.
B. V
.
3
3
Câu 26: Tính
8
5
D. V 4 a 3 .
C. V 4a 3 .
log 2 243
29
A. 27 .
B. 9 .
C. 3 3 .
D. 8 .
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB
và CC '.
a 3
.
2
Câu 28: Trong không
B. a 3 .
A.
gian
với
hệ
C.
tọa
độ
Oxyz ,
3.
D.
mặt
cầu
x 2 y 1 z 3 9. Xác định tọa độ tâm I .
A. I 2;1;3 .
B. I 2; 1;3 .
C. I 2;1; 3 .
2
2
S
3
.
2
có phương
trình
2
D. I 2; 1; 3 .
Câu 29: Đồ thị hàm số y x3 6 x 2 11x 6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường trịn đáy là 4, đường cao bằng 6 là
A. 8 .
B. 32 .
C. 24 .
D. 96 .
Page 3
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
A. y
x 1
.
2 x 1
B. y
x 1
.
2x 1
C. y
x 1
.
2x 1
D. y
x
.
2 x 1
Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a , SB ABC ,
SB a 2 . Gọi góc giữa SC và SAB là . Tính tan .
A. tan
1
.
3
B. tan
1
.
2
C. tan
3
.
2
D. tan 3 .
Câu 33: Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
y
O
1
-1
x
1
A. a 0, b 0, c 0, d 0
B. a 0, b 0, c 0, d 0.
C. a 0, b 0, c 0, d 0.
D. a 0, b 0, c 0, d 0.
2
2 x
c x 2x
Câu 34: Biết F x ax b e
là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x e x . Giá trị
x
x
2
của biểu thức P a 2bc bằng:
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 5.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 4; 5 . Viết phương trình mặt phẳng
qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm.
x y z
A. 1 .
2 4 5
C. x y z 1 0 .
x2 y4 z 5
.
2
4
5
D. 2 x 4 y 5 z 45 0 .
B.
Page 4
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z 3 5i 10 và w 2 z 1 3i 9 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I 33; 14 .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I 33;14 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I 33;14 .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R 10 .
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10 . Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A. 3309438 .
B. 5852925 .
C. 2543268 .
D. 5448102 .
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z 5 7i 197 . Giá trị lớn nhất của z 4 7i z 6 21i
thuộc tập hợp nào sau đây?
B. 30; 40 .
A. 20; 197 .
C. 197; 2 394
D. 2 394; 40 .
Câu 39: Cho P : x 3 y z 9 0, A 2; 4;5 , B 3;1;1 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
P,
đi qua điểm A và d B; d là nhỏ nhất.
x 2 5t
x 2 5t
A. y 4 7t t . B. y 4 7t t . C.
z 5 16t
z 5 16t
x 2 5t
x 2 5t
y 4 7t t . D. y 4 7t t .
z 5 16t
z 5 16t
Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a, BC a, SB a 10,
90, SAB
90 . Tính V
SCB
S . ABC ?
A. V
Câu 41: Có
log
3
a3 5
.
3
x
bao
3
B. V a 3 5.
nhiêu
số
nguyên
C. V
a3 5
.
6
dương
m
D. V
để
2a 3 5
.
3
phương
trình
6 x 2 9 x 1 x x 3 3m 2m 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng 2; 2
2
A. 4.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Câu 42: Cho A 1; 2;3 , B 2;3; 4 . Mặt cầu S có bán kính R và S tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng Oxy, Oyz , Oxz . Khối cầu S chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu S ). Tính tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được?
A. 7.
Câu 43: Có
B. 3
bao
nhiêu
x 2 m.
số
nguyên
C. 1
m 1; 2023
để
D. 5
bất
phương
trình
sau
có
nghiệm
x 1 m 4.
A. 2020.
B. 2021.
C. 2022.
D. Đáp án khác.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 được thiết
diện là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu.
A. V
10 3
.
3
B. V
5 3
.
3
C. V
3
.
3
D. V
5 3
.
3
Page 5
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y f x 2 x3 12 x 2 9 x m 8 9 x (với m là tham số)
trên đoạn 0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ?
A. 6 .
C. 7 .
B. 12 .
D. 8 .
Câu 46: Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d a 0 có đồ thị như hình vẽ.
2
Số nghiệm thuộc khoảng ; 4 của phương trình f cos x 5 f cos x 6 0 là:
2
A. 13.
B. 9.
C. 7.
D. 12.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2 x 1 log 4 x 2 2m m có nghiệm
x 1;6 .
A. 30.
B. 29.
D. 28.
x x 1
và y x x 1 m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
x2 1
và C2 . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10 để C1 và C2
Câu 48: Cho hai hàm số y
C1
C. Đáp án khác.
2
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 , thỏa mãn
2
1
1
f x 2 f x f x 2 xf x x 1 . f x 0 x 0;1 , f f 1 .
2
2
1
Biết f x dx
2
0
a
a
là phân số tối giản). Giá trị của a b
(a, b là các số nguyên dương và
b
b
bằng:
A. 181 .
Câu 50: Trong không gian
B. 25 .
C. 10 .
Oxyz , cho hai điểm
D. 26 .
A 1; 5; 2 , B 3;3; 2
và đường thẳng
x 3 y 3 z 4
; hai điểm C , D thay đổi trên d : CD 6 3 . Biết rằng khi
1
1
1
C a; b; c (b 2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
d:
abc .
A. a b c 2 .
B. a b c 1 .
C. a b c 4 .
D. a b c 7 .
---------- HẾT ----------
Page 6
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0;5 . Nếu
3
0
bằng
A. 4 .
B. 4 .
5
f x dx 6, f x dx 10 thì
3
C. 60 .
5
f x dx
0
D. 16 .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Câu 2:
5
3
5
0
0
3
f x dx f x dx f x dx 4.
Tập xác định của hàm số y log 5 x là
B. 0; .
A. .
C. 0; .
D. 0; \ 1 .
Lời giải
Chọn C
4
Câu 3:
Cho
2
4
f x dx 5 . Tính I 13 f t dt
2
A. 18 .
B. 65 .
C. 65 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn B
4
Ta có I 13 f t dt 13.5 65.
2
Câu 4:
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
x
y'
y
∞
+
1
0
0
∞
3
0
+∞
+
+∞
-2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ;1 3; .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x 1 .
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 2 khi x 3 .
D. Hàm số nghịch biến trên đoạn 0; 2 .
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 , 3; và nghịch biến trên khoảng 1;3
+) Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Page 7
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
+) Hàm số có giá trị cực tiểu là 2 khi x 3 . Hàm số có giá trị cực đại là 0 khi x 1 .
Câu 5:
Số phức z 6 21i có số phức liên hợp z là
A. z 21 6i .
B. z 6 21i .
C. z 6 21i .
D. z 6 21i .
Lời giải
Chọn D
Số phức liên hợp của z 6 21i là z 6 21i
Câu 6:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1 x
A. 5 x dx x.5 x 1 C . B. 5 x dx
.5 C .
ln 5
C. 5 x dx 5 x C .
D. 5 x dx 5 x.ln 5 C .
Lời giải
Chọn B
Câu 7:
Số phức z 6 9i có phần ảo là
A. 9 .
B. 9i .
C. 9 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn C
Câu 8:
Cho hàm số y 2 x3 2 x 2 7 x 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;0 lần lượt là
A. 10 .
M và m . Giá trị của M m là
C. 11 .
B. 1 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
Ta có y 6 x 2 4 x 7 y 0 6 x 2 4 x 7 0 (vơ nghiệm).
Khi đó y 1 10 , y 0 1 do vậy M 1 và m 10 .
Vậy M m 9 .
Câu 9:
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2 cm là
A. 8 3 cm3 .
B. 8 cm3 .
C.
32
cm3 .
3
D.
32
cm3 .
3
Lời giải
Chọn D
4
32
cm3 .
Thể tích của khối cầu là: V . .23
3
3
Câu 10: Cho cấp số cộng un có u1 2, u15 40 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A. S 300 .
B. S 285 .
C. S 315 .
D. S 630 .
Lời giải
Chọn C
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S15
15. 2 40
315.
2
Page 8
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số
x 1 2t
y 2 3t t . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây?
z 1 4t
A. Q 2; 3; 4 .
B. N 3; 1;5 .
C. P 5; 4;9 .
D. M 1; 2;1 .
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ Q 2; 3; 4 vào phương trình đường thẳng khơng thỏa.
z 3 6i, z2 9 7i. Số phức z1 z2 có phần thực là
Câu 12: Cho 1
A. 27.
B. 12.
C. 1.
D. 1.
Lời giải
Chọn B
Ta có: z1 z2 3 6i 9 7i 12 i
Vậy phần thực của z1 z2 là 12 .
Câu 13: Cho hàm số y
A. 1 .
2x 1
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
x2
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
1
1
2
2
2
x
1
2x 1
x 2 nên đường
x 2 ; lim y lim
Ta có lim y lim
lim
lim
x
x x 2
x
x
x x 2
x
2
2
1
1
x
x
thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
lim y lim
x 2
x 2
2x 1
; lim y đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
x 2
x2
số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 2;1;1 và
vng góc với trục tung là
A. x 2 .
B. 2 x y z 4 0. C. z 1.
D. y 1.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng đi qua điểm A 2;1;1 và vuông góc với trục tung nhận vectơ j 0;1;0 là
vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng có phương trình: y 1 0 y 1.
3
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y 2 x 2 x 1 2
5
3
3
2
A. y . 2 x x 1 2 . B. y . 4 x 1 2 x 2 x 1. .
2
2
Page 9
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
5
1
2
2
C. y . 2 x 2 x 1 2 . D. y . 4 x 1 2 x 2 x 1 2 .
5
3
Lời giải
Chọn B
3
1
1
3
3
Ta có: y 2 x 2 x 1 2 y . 2 x 2 x 1 2 . 2 x 2 x 1 . 4 x 1 2 x 2 x 1 2 .
2
2
7
Câu 16: Cho a, b, c 0, a 1 và log a b 2022 . Tính log 6 a a 4 . 6 b .
2022
.
6
A. 42
B.
7
6 2022 .
4
C.
21
2022 .
2
D.
2
2022 .
21
Lời giải
Chọn C
7
7
7
21
Ta có: log 6 a a 4 . 6 b log 6 a a 4 log 6 a 6 b 6. 2022 2022.
4
2
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 1 4i 3 z. Tính z .
A. z
17
.
13
B. z
17
.
13
C. z
13
.
17
D. z
13
.
17
Lời giải
Chọn B
Ta có z 1 3i 1 4i 3 z z 2 3i 1 4i z
2
1 4i
14 5
i
2 3i
13 13
2
14 5
17
14 5
z i
.
13 13
13
13 13
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P đi qua A 2;0;6 và nhận n 1; 2;3 là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
x 2 t
A. y 2t
t . B. 2 x 6 y 20 0.
z 6 3t
C. x 2 y 3 z 20 0. D.
x2 y0 z 6
.
1
2
3
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng P đi qua A 2;0;6 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 là
1. x 2 2 y 0 3 z 6 0 x 2 y 3 z 20 0.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho u 2; 4; 1 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. u 2i 4 j k .
B. u 2i 4 j k .
C. u 2 4 1.
D. u 22 42 12.
Page 10
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn A
Ta có u 2; 4; 1 u 2i 4 j k .
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f x 17 có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Lời giải
Chọn D
Ta có 2 f x 17 f x
17
8,5
2
Từ đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm phân biệt
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y cos 4 x
A. cos 4 x dx 4sin 4 x C.
C. cos 4 x dx sin 4 x C.
1
B. cos 4 x dx sin 4 x C.
4
1
D. cos 4 x dx sin 4 x C.
4
Lời giải
Chọn B
1
Ta có cos 4 x dx sin 4 x C.
4
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 4 là:
A. ; 2
B. 0; 2
C. ; 2
D. 0; 2
Lời giải
Chọn A
Ta có 2 x 4 x 2 Tập nghiệm của bất phương trình là ; 2 .
Câu 23: Nghiệm của phương trình log 3 x 2 là
A. x 9
B. x 5
C. x 6
Lời giải
D. x 8
Chọn A
log 3 x 2 x 32 x 9 .
4 x2
Câu 24: Đồ thị hàm số y 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x 8 x 15
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 0 .
Lời giải
Page 11
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Chọn D
Bản word bạn đang sử dụng phát hành từ website Tailieuchuan.vn
2 x 2
Điều kiện x 5
x 3
Vì x 3 và x 5 không thỏa mãn điều kiện 4 x 2 0 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm
cận đứng.
Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số y
4 x2
không có đường tiệm cận.
x 2 8 x 15
Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , SA ABCD , SA 2a .
Tính thể tích khối chóp S . ABCD
4a 3
4 a 3
A. V
.
B. V
.
3
3
C. V 4a 3 .
D. V 4 a 3 .
Lời giải
Chọn A
Diện tích hình vng ABCD là: S ABCD a 2
2
2a 2
1
1
4a 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD SA.S ABCD .2a 2 .2a
3
3
3
8
Tính
5
Câu 26:
log 2 243
29
A. 27 .
B. 9 .
C. 3 3 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
Page 12
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Ta có:
5
8
log 2 243
1
85
.log 2 35
8log2 3 2log2 3
3
33 27
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB
và CC '.
A.
a 3
.
2
B. a 3 .
C.
3.
D.
3
.
2
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm của AB CH AB (1).
Mặt khác CC CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra d AB; CC CH
Câu 28: Trong
không
gian
với
hệ
tọa
a 3
.
2
độ
Oxyz ,
mặt
cầu
x 2 y 1 z 3 9. Xác định tọa độ tâm I .
A. I 2;1;3 .
B. I 2; 1;3 .
C. I 2;1; 3 .
2
2
S
có
phương
trình
2
D. I 2; 1; 3 .
Lời giải
Chọn B
I 2; 1;3
2
2
2
Phương trình x 2 y 1 z 3 9
R3
Câu 29: Đồ thị hàm số y x3 6 x 2 11x 6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Chọn A
x 1
3
2
Phương trình hồnh độ giao điểm x 6 x 11x 6 0 x 2 .
x 3
Do phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường trịn đáy là 4, đường cao bằng 6 là
A. 8 .
B. 32 .
C. 24 .
D. 96 .
Lời giải
Chọn A
1
1
V hR 2 .6.22 8
3
3
Page 13
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
A. y
x 1
.
2 x 1
B. y
x 1
.
2x 1
C. y
x 1
.
2x 1
D. y
x
.
2 x 1
Lời giải
Chọn B
Đồ thị đi qua điểm 1;0 nên y
x 1
2x 1
Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , AB a , SB ABC ,
SB a 2 . Gọi góc giữa SC và SAB là . Tính tan .
A. tan
1
.
3
B. tan
1
.
2
C. tan
3
.
2
D. tan 3 .
Lời giải
Chọn A
S
C
B
A
AC AB
AC SAB
Ta có:
AC SB
ASC
Suy ra, hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB là SA SC ; SAB SC ; SA
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AC AB a
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác SAB ta có: SA SB 2 AB 2 a 3
ASC
Tam giác SAC vng tại A có: tan
AC
a
1
1
tan
SA a 3
3
3
Câu 33: Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Page 14
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. a 0, b 0, c 0, d 0
B. a 0, b 0, c 0, d 0.
C. a 0, b 0, c 0, d 0.
D. a 0, b 0, c 0, d 0.
Lời giải
Chọn C
Ta có y 3ax 2 2bx c; y 6ax 2b
Từ đồ thị suy ra
+) lim y a 0
x
+) Hàm số có hai cực trị trái dấu y có hai nghiệm trái dấu ac 0 , mà a 0 c 0 .
+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hồnh độ dương suy ra y có nghiệm dương
b
0b0.
3a
2
2 x
c x2
Câu 34: Biết F x ax b e x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x e x . Giá trị
x
x
của biểu thức P a 2 2bc bằng:
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 5.
Lời giải
Chọn C
2
Vì
2 x
c x2
F x ax b e x là nguyên hàm của f x 1 x e x nên ta có
x
x
F x f x
Mà
2
c x
F x a 2 e x a x b
x
2
2
c
2 x x 2c
1
1
x x
1 2 .e 3 2b c 2 2a c a x a b e
x x
x
x
x
2
Vì
2 x
c x2
F x ax b e x là nguyên hàm của f x 1 x e x nên ta có
x
x
c 0
2b c 0
a 1
F x f x 2a c 2 b 0 a 2 2bc 1 .
a 1
c 0
a b 1
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 4; 5 . Viết phương trình mặt phẳng
qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm.
Page 15
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
x y z
1.
2 4 5
C. x y z 1 0 .
A.
x2 y4 z 5
.
2
4
5
D. 2 x 4 y 5 z 45 0 .
B.
Lời giải
Chọn D
Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 và C 0;0; c nên mặt phẳng ABC :
x y z
1.
a b c
Ta có BC 0; b; c , CA a;0; c và AM 2 a; 4; 5 , BM 2; 4 b; 5 .
5
b c
AM .BC 0
4b 5c 0
4
Vì M là trực tâm ABC nên ta có hệ:
.
2a 5c 0
a 5 c
BM .CA 0
2
45
a
2 4 5
4 16 5
2
Ta lại có M ABC 1 1 c 9 nên
.
a b c
5c 5c c
b 45
4
Vậy ABC :
2x 4 y x
1 2 x 4 y 5 z 45 0 .
45 45 9
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z 3 5i 10 và w 2 z 1 3i 9 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I 33; 14 .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I 33;14 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm I 33;14 .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R 10 .
Lời giải
Chọn B
Ta có w 2 z 1 3i 9 14i w 9 14i 2 1 3i z z
Khi đó z 3 5i 10
w 9 14i
3 5i 10
2 6i
w 9 14i 3 5i 2 6i
2 6i
w 9 14i
.
2 6i
10
w 33 14i 20
Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn tâm I 33;14 , bán kính R 20 .
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10 . Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A. 3309438 .
B. 5852925 .
C. 2543268 .
D. 5448102 .
Page 16
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn D
Đặt A: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối”.
Suy ra A : “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối hoặc 2
khối”.
+) Trường hợp 1: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối”.
8
8
Có C10
C98 C11
219 cách chọn.
+) Trường hợp 2: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối”.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 11
1 7
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
7 1
Có C11
C9 C11
C9 C11
C9 C11
C9 C11
C9 C11
C9 C11
C9 125796 cách chọn.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 11 và 12
7
6
5
4
3
2
1
Có C91C10
C92C10
C93C10
C94C10
C95C10
C96C10
C97C10
75528 cách chọn.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 12
1 7
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
7 1
Có C11
C10 C11
C10 C11
C10 C11
C10 C11
C10 C11
C10 C11
C10 203280 cách chọn.
Suy ra n A 219 125796 75528 203280 404823 cách.
8
Vậy n A C30
404823 5448102 cách chọn.
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z 5 7i 197 . Giá trị lớn nhất của z 4 7i z 6 21i
thuộc tập hợp nào sau đây?
B. 30; 40 .
A. 20; 197 .
C. 197; 2 394
D. 2 394; 40 .
Lời giải
Chọn B
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z
Suy ra, M C : x 5 y 7 197 có tâm I 5; 7
2
2
Gọi A 4;7 , B 6; 21 . Ta thấy A, B C
Mặt khác, AB 2 197 2 R AB là đường kính của đường tròn C .
M C : MA2 MB 2 AB 2 788
Ta có: MA MB 2 MA2 MB 2 2.788 1576
2
MA MB 1576 2 394
Ta có: z 4 7i z 6 21i MA MB 2 394
Vậy giá trị lớn nhất của z 4 7i z 6 21i bằng 2 394 39,69.
Dấu " " xảy ra khi MA MB
Page 17
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 39: Cho P : x 3 y z 9 0, A 2; 4;5 , B 3;1;1 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
P,
đi qua điểm A và d B; d là nhỏ nhất.
x 2 5t
x 2 5t
A. y 4 7t t . B. y 4 7t t .
z 5 16t
z 5 16t
x 2 5t
x 2 5t
C. y 4 7t t . D. y 4 7t t .
z 5 16t
z 5 16t
Lời giải
Chọn C
Hạ BH P , HK d . Nên: d BHK d BK .
Do BHK vuông tại H nên: BK BH d B, d min BH .
Do H là hình chiếu vng góc của B trên P nên: H 3 t ;1 3t ;1 t
Do H P nên: 3 t 3 1 3t 1 t 9 0 t
4
37 23 7
H ; ;
11
11 11 11
15 21 48
Từ đó: AH ; ; , chọn ud 5; 7;16 cùng phương AH .
11 11 11
x 2 5t
Vậy phương trình đường thẳng: d : y 4 7t t .
z 5 16t
Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a, BC a, SB a 10,
90, SAB
90 . Tính V
SCB
S . ABC ?
a3 5
.
A. V
3
B. V a
3
5.
a3 5
.
C. V
6
2a 3 5
.
D. V
3
Lời giải
Chọn A
Page 18
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Dựng hình hộp chữ nhật và chọn đỉnh S , A, B, C , D như hình vẽ.
Ta có: AC BD AB 2 BC 2 a 5, SD SB 2 BD 2 a 5
1
a3 5
Vậy: VS . ABC .SD.S ABC
3
3
Câu 41: Có
log
3
x
bao
3
A. 4.
nhiêu
số
ngun
m
dương
để
phương
trình
6 x 2 9 x 1 x x 3 3m 2m 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng 2; 2
2
B. 3.
Chọn C
Ta có
log
3
C. 1.
Lời giải
x
3
D. 0.
6 x 2 9 x 1 x x 3 3m 2m 1
2
2 log 3 x 3 6 x 2 9 x 1 x 3 6 x 2 9 x 1 3m 2m
Đặt t log 3 x3 6 x 2 9 x 1 x3 6 x 2 9 x 1 3t . Khi đó ta có
2 log 3 x 3 6 x 2 9 x 1 x 3 6 x 2 9 x 1 3m 2m 3t 2t 3m 2m .
Xét hàm số f u 3u 2u là hàm đồng biến u nên suy ra
f t f m t m x3 6 x 2 9 x 1 3m .
Xét hàm số f x x3 6 x 2 9 x 1 trên khoảng 2; 2 có bbt:
0 3m 3
m 1
Để thỏa mãn ycbt thì m
.
m
log
5
3
5
3
Page 19
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa ycbt.
Câu 42: Cho A 1; 2;3 , B 2;3; 4 . Mặt cầu S có bán kính R và S tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng Oxy, Oyz , Oxz . Khối cầu S chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu S ). Tính tổng các giá trị ngun mà R có thể nhận được?
A. 7.
B. 3
C. 1
Lời giải
D. 5
Chọn A
Vì mặt cầu S có bán kính R và S tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng Oxy, Oyz , Oxz
nên tọa độ tâm I a, a, a và a R .
Để khối cầu S chứa đoạn thẳng AB thì ta cần có:
3 2 a 3 2
IA2 R 2
a 2 6a 7 0
9 23
a 3 2 .
2
9 23
9 23
2
2
2
IB R
2a 18a 29 0
a
2
2
Vì a nên a 3; 4 . Tức là R 3; 4 , suy ra tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận
được bằng 7 .
Câu 43: Có
bao
nhiêu
x 2 m.
số
nguyên
m 1; 2023
để
bất
phương
trình
sau
có
nghiệm
x 1 m 4.
A. 2020.
B. 2021.
C. 2022.
D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x 1 .
Ta có x 2 m . x 1 m 4. m 1 x 1 x 2 x 1 4 m
x 2
x 1 4
1 x 1
.
Đặt t x 1, t 0 . Bất phương trình trở thành
m
Xét hàm số f t
Ta có f t
t t 2 1 4
1 t
m
t3 t 4
*
t 1
t t 4
,t 0 .
t 1
3
2t 3 3t 2 5
t 1
2
, f t 0 t 1.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m 2 .
Do m và m 1; 2023 nên m 2;3;...;2023 có 2022 giá trị m thỏa mãn.
Page 20
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 được thiết
diện là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu.
A. V
10 3
.
3
B. V
5 3
.
3
C. V
3
.
3
D. V
5 3
.
3
Lời giải
Chọn D
Giả sử hình nón đỉnh S tâm O , thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân SAB .
60 .
Gọi K là trung điểm của AB , suy ra góc giữa SAB và mặt đáy là SKO
1
AB 2 và SA SB 2 2 .
2
3.
Tam giác SKO vng tại O : SO SK .tan SKO
Ta có AB 4 SK
Tam giác SAO vuông tại O : AO SA2 SO 2 5 .
1
5 3
Thể tích khối nón V . AO 2 .SO
.
3
3
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y f x 2 x3 12 x 2 9 x m 8 9 x (với m là tham số)
trên đoạn 0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ?
A. 6 .
B. 12 .
C. 7 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn D
Do giá trị lớn nhất của hàm số y f x 2 x 3 12 x 2 9 x m 8 9 x ( m là tham số) trên
đoạn 0;5 là 78 nên
2 x 3 12 x 2 9 x m 8 9 x 78 x 0;5 và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm
Page 21
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
2 x3 12 x 2 9 x m 8 78 9 x x 0;5
78 9 x 0 dung x 0;5
3
2
9 x 78 2 x 12 x 9 x m 8 78 9 x
2 x3 12 x 2 86 m 2 x3 12 x 2 18 x 70 x 0;5
m max 2 x3 12 x 2 86
x 0;5
m 22
2 x3 12 x 2 18 x 70 m 30
m xmin
0;5
m 22
Và dấu bằng phải xảy ra nên
. Vậy tổng tất cả giá trị m là 8
m 30
Câu 46: Cho hàm số y f x ax3 bx 2 cx d a 0 có đồ thị như hình vẽ.
2
Số nghiệm thuộc khoảng ; 4 của phương trình f cos x 5 f cos x 6 0 là:
2
A. 13.
B. 9.
C. 7.
D. 12.
Lời giải
Chọn A
x ; 4 cos x 1;1 f cos x 1;3 .
2
Phương trình đã cho tương đương:
f 2 cos x 5 f cos x 6 0
f cos x 2
f
f cos x 3
f
f
cos x 2 f
cos x 3 f
f
cos x 2 VN
.
cos x 2
cos x 3 VN
cos x 3
Page 22
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
cos x a 1 a 0 , 1
.
cos x b 0 b 1 , 2
TH1: f cos x 2
Phương trình số 1 có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
Phương trình số 2 có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
TH2: f cos x 3 cos x 0, 3 .
Phương trình số 3 có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại x
).
2
Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2 x 1 log 4 x 2 2m m có nghiệm
x 1;6 .
A. 30.
B. 29.
C. Đáp án khác.
Lời giải
D. 28.
Chọn C
Do m là số nguyên dương và x 1;6 . nên x 2 m 0 .
2 x 1 log 4 x 2 2m m 2 x 2 x 2 x 2 2m log 2 x 2 2m
2 x 2 x 2 2log2 x 2 2 m log 2 x 2 2m
Xét hàm số f t 2t t với t có f t 2t.ln 2 1 0, t .
Page 23
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Suy ra hàm số y f t đồng biến trên .Ta có
f t 2t t
x 2 log 2 x 2 2m x 2 2m 2 x 2 2m 2 x 2 x 2
f t 0
f x 2 f log 2 x 2 2m
Xét hàm số g x x 2 2 x 2 g x 1 2 x 2.ln 2 0 x 1;6 .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6 2m 248 3 m 124 .
Mà m 0 và m nên m 3; 4;...;124 .
Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số m thoả mãn phương trình có nghiệm x 1;6 .
x2 x 1
và y x x 1 m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
x2 1
và C2 . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10 để C1 và C2
Câu 48: Cho hai hàm số y
C1
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
Lời giải
D. 9 .
Chọn B
x2 x 1
x x 1 m . Điều kiện x 1 .
Xét phương trình
x2 1
1 1
1
PT trên
1 x x 1 m .
2 x 1 x 1
1 1
1
2
Xét hàm số f x
1 x x 1 với x 1 .
2 x 1 x 1
Ta
có
x 1 f ' x 1 1 1 x 1 x 1
1
1
1
f ' x
1
2 x 12 x 12
x 1
2 x 12 x 12
x 1
Do x 1 x 1 , suy ra f ' x 0, x 1.
BBT:
Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 2 .
Page 24
ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 , thỏa mãn
2
1
1
f x 2 f x f x 2 xf x x 1 . f x 0 x 0;1 , f f 1 .
2
2
1
Biết f x dx
2
0
a
a
là phân số tối giản). Giá trị của a b
(a, b là các số nguyên dương và
b
b
bằng:
A. 181 .
B. 25 .
C. 10 .
D. 26 .
Lời giải
Chọn B
Biến đổi phương trình:
f x 2 f x f x 2 xf x x 1 . f x 0
2
f x f x 2 xf x x 1 . f x 2 f x f x f x
2
2 x 2 f x x 1 . f x 2 f x f x f x
2
x 1 . f x 2 f x 1 f x
2
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
x 1
2
. f x f 2 x f x C1 I
1
1
9
1
Theo giả thuyết, f f 1 2 C1 C1
4
4
2
2
Phương trình I trở thành x 1 . f x f 2 x f x
2
1
4
Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:
f x
1
f 2 x f x
4
1
x 1
2
f x 0
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
f x dx
1
f x
2
2
1
x 1
2
1
dx
1
f x
1
2
1
C
x 1 2
1
1
1
Theo giả thuyết, f f 1 C2 0
1 x 1
2
2
f x
2
1
1
2
2
1
1
1
1
f x x f x dx x dx x
2
2
3
2
0
0
31
0
13
12
Vậy ta có được a 13; b 12. Kết luận a b 25
Câu 50: Trong không gian
Oxyz , cho hai điểm
A 1; 5; 2 , B 3;3; 2
và đường thẳng
x 3 y 3 z 4
; hai điểm C , D thay đổi trên d : CD 6 3 . Biết rằng khi
1
1
1
C a; b; c (b 2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
d:
abc .
Page 25
