Đề cương ôn tập HK2 môn Toán 10 năm 2021-2022

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ 2 MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2021-2022
1. Phần Đại số
1.1. Bất phương trình và hệ bất phương trình
Các phép biến đổi bất phương trình:
a) Phép cợng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b) Phép nhân:
* Nếu f(x) > 0,  x  D thì P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x)
* Nếu f(x) < 0,  x  D thì P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c) Phép bình phương: Nếu P(x)  0 và Q(x)  0,  x  D thì P(x) < Q(x)  P 2 ( x)  Q 2 ( x)
1.2. Dấu của nhị thức bậc nhất
❖Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

* Chú ý: Với a > 0 ta có:

f ( x)  a  −a  f ( x)  a

 f ( x)  −a
f ( x)  a  
 f ( x)  a

1.3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by  c (1) ( a 2 + b 2  0 )
Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (  ): ax + by = c
Bước 2: Lấy M o ( xo ; yo )  () (thường lấy M o  O )
Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.
Bước 4: Kết luận
 Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ (  ) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by  c
 Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (  ) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by  c
b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax

+ by  c và ax + by  c được xác định tương tự.
c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:
 Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
 Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không
bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.
1.4. Dấu của tam thức bậc hai
a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Định lí: f(x) = ax2 + bx + c, a  0
Nếu có một số  sao cho a. f ( )  0 thì:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
Số  nằm giữa 2 nghiệm x1    x2
Hệ quả 1:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a  0,  = b2 – 4ac
* Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ sớ a (a..f(x)>0),  x  R
* Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0),  x 

−b
2a

* Nếu  > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2.
(Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2)
Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a  0,  = b2– 4ac > 0
x
f(x)

–

x1

(Cùng dấu với hệ số a)

0

(Trái dấu với hệ số a)

x2

+

0

(Cùng dấu với hệ số a)

Hệ quả 2:
+ x1    x2  a. f ( )  0


a. f ( )  0


+   x1  x2    0
S
 
2

a. f ( )  0

+ x1  x2      0
S
 
2


a. f ( )  0
+    x1 , x2   

  0
Hệ quả 3:
a. f ( )  0
+ x1      x2  
a. f (  )  0
a. f ( )  0
+   x1    x2  
a. f (  )  0
a. f ( )  0
+ x1    x2    
a. f (  )  0

  x1    x2
 f ( ) . f (  )  0

+ 
 x1    x2  

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a. f ( )  0

a. f (  )  0


x

x



+
  0
1
2


  S  

2
b. Dấu của nghiệm số
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a  0
a) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm   = b2– 4ac  0
b) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0
  0
c) ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu  
a.c  0


  0

c

2
ax + bx + c = 0 có các nghiệm dương   P = x1 x2 =  0
a

b

 S = x1 + x2 = − a  0

  0

c

2
d) ax +bx +c = 0 có các nghiệm âm   P = x1 x2 =  0

a

b

 S = x1 + x2 = − a  0
Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dâu với hệ số a khi   0
a  0
i) ax2 +bx +c >0,  x  
  0

a  0
ii) ax2 +bx +c <0,  x  
  0

a  0
iii) ax2 +bx +c  0,  x  
  0

a  0
iv) ax2 +bx +c  0,  x  
  0

1.5. Bất phương trình bậc hai
a. Định nghĩa:
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x)  0, f(x) < 0, f(x)  0), trong đó f(x) là một tam
thức bậc hai. ( f(x) = ax2 + bx + c, a  0 )
b. Cách giải:
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt
1.6. Thống kê
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Kiến thức cần nhớ
i) Bảng phân bố tần suất
ii) Biểu đồ
iii) Số trung bình cợng, só trung vị, mớt
iv) Phương sai đợ lệch chuẩn
2. Phần Hình học
2.1. Các vấn đề về hệ thức lượng trong tam giác
a. Các hệ thức lượng trong tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = ma , BM = mb , CM = mc
Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Hệ quả:
cosA =

b2 + c2 − a2

2bc

cosB =

a2 + c2 − b2
2ac

a2 + b2 − c2
cosC =
2ab
Định lý sin:

a
b
c
=
=
= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
sin A sin B sin C
b..Độ dài đường trung tuyến của tam giác:

ma 2 =

b 2 + c 2 a 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2
−
=
;
2
4
4

mb =

a 2 + c 2 b 2 2(a 2 + c 2 ) − b 2
−
=
2
4
4

mc =

b 2 + a 2 c 2 2(b 2 + a 2 ) − c 2
−
=
2
4
4

2

2

c. Các cơng thức tính diện tích tam giác:
S=

1
1
1
aha = bhb = chc

2
2
2

S=

1
1
1
ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB
2
2
2

S=

abc
4R

S=

p( p − a)( p − b)( p − c) với p =

W: www.hoc247.net

S = pr

F: www.facebook.com/hoc247.net

1

(a + b + c)
2

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2.2. Phương trình đường thẳng
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được Toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ
phương
* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến
a. Phương trình tham số của đường thẳng :

 x = x0 + tu1

với M ( x0 ; y0 )  và u = (u1 ; u 2 ) là vectơ chỉ phương (VTCP)

 y = y0 + tu2
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : a(x – x0 ) + b(y – y0 ) = 0 hay ax + by + c = 0



(với c = – a x0 – b y0 và a2 + b2  0) trong đó M ( x0 ; y0 )   và n = (a; b) là vectơ pháp tuyến (VTPT)
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) là:

x y
+ =1

a b

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng: y – y0 = k (x – x0 )
c. Khoảng cách từ mội điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 được tính theo cơng thức:
d(M; ) =

ax0 + bx0 + c
a2 + b2

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

1 = a1 x + b1 y + c1 = 0
1 cắt  2 
1    2 

và  2 = a2 x + b2 y + c2 = 0

a1 b1
 ; Tọa độ giao điểm của 1 và  2 là nghiệm của hệ
a2 b2
a1 b1 c1
=  ;
a2 b2 c2

1   2 

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

a1 x + b1 y + c1 =0

a2 x + b2 y + c2 =0

(với a2 , b2 , c 2 khác 0)

2.3. Đường tròn
a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
hay

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2

Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm
I(a; b) bán kính R
Đường trịn (C) tâm I (a; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng : x + y +  = 0
khi và chỉ khi: d(I; ) =

 .a +  .b + 
 +
2

2

=R

  cắt ( C )  d(I; ) < R
  không có điểm chung với ( C )  d(I; ) > R
  tiếp xúc với ( C )  d(I; ) = R
b. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 1: Điểm A tḥc đường trịn
Dạng 2: Điểm A khơng tḥc đường tròn
Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vng góc hay song song với 1 đường thẳng nào đó
2.4. Phương trình Elip
a. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và F1F2 = 2a (a > c > 0, a = const). Elip (E) là tập
hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) = {M / F1M + F2 M = 2a}
x2 y 2
b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: 2 + 2 = 1 (a2 = b2 + c2)
a
b

c. Các thành phần của elip (E) là:
Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)
Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0)
Độ dài trục lớn: A1A2 = 2b
Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
Tiêu cự F1F2 = 2c
d. Hình dạng của elip (E);
(E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ

Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thức 2a và 2b giới hạn bởi các
đường thẳng x =  a, y =  b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
3. Trắc nghiệm minh họa
Câu 1: Tìm tọa đợ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0
A. Tâm I(1;-2) , bán kính R = 4.

B. Tâm I(2;-4), bán kính R = 2.

C. Tâm I(1;-2), bán kính R = 2.

D. Tâm I(-1;2), bán kính R = 4.

Câu 2: Nếu tan
A.

7 thì sin

7
.
4

bằng
7
.
8

B.

C.

7
.
8

7
.
4

D.

Câu 3: Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A 0; 5 và B 3;0
A.

x y
− = 1.
5 3

x y
B. − + = 1 .
5 3

C.

x y
+ = 1.
5 3

 x = 4 + 2t
Câu 4: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng △1: 
 y = 1 − 3t

D.

x y
− =1
3 5

và △2 : 3 x

2 y 14

A. Cắt và vng góc nhau.

B. Song song nhau.

C. Trùng nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

Câu 5: Cho cos

A.

3− 4 3
.
10

W: www.hoc247.net

3

với
5

2

B.

.
0



0 . Tính giá trị của sin  −  
3


4+3 3
.
10

F: www.facebook.com/hoc247.net

C.

3+ 4 3
.
10

D.

4−3 3
.
10

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2
. Tính giá trị của biểu thức P = (1 − 3cos 2 )( 2 + 3cos 2 )
3

Câu 6: Biết sin  =
A.

49
.
27

B.

48
.
27

C.

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình

(

) (

)

(

A. −; −1  2; + .

D.

8
.
9

x +1
0
2−x

)

)

B. −1;2 .

C.  −1;2 .

D.  −1;2  .

C. ( −;2 ) .

D. ( 0; 2 ) .

x −1  1

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình
B. 1; 2 ) .

A. (1;2 ) .

14
.
9

Câu 9: Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?
−

x

-1

( )

( ) (

0

−

( )

x −1
.
x +2

+

f x

)(

)

B. f x =

A. f x = x + 1 x − 2 .

(

+

2

+

( ) (

)(

( )

)

D. f x =

C. f x = x − 1 x + 2 .

x +1
.
x −2

)

Câu 10: Cặp số 1; −1 là một nghiệm của bất phương trình nào dưới đây ?
A. −x − y  0 .

B. −x − 3y − 1  0 .

C. x + y − 2  0 .

Câu 11: x

1 là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. x  2 .

B. ( x −1)( x + 2)  0 .

C.

B. 1200 .

C. 112050 .

Câu 12: Góc

x+3  x.

D.

5
bằng
6

A. −1500 .
Câu 13: Bất phương trình

(

x
1− x
+
0.
1− x
x

D. x + 4y  1 .

) (

)

A. −;1  2; + .

2x

5
3

3
2

(

có tập nghiệm

)

B. 2; + .

Câu 14: Biểu thức thu gọn của A
A. 2sin a .

x

D. 1500 .

(

)

C. 1; + .

D.  − 1 ; +  .
 4



sin 2a sin 5a sin 3a
là kết quả nào dưới đây?
1 cos a 2sin 2 2a

B. sin a .

C. 2cos a .

D. cos a .

Câu 15: Véctơ nào sau đây không là véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 x − 4 y + 1 = 0
A. n = ( 2; −4 ) .

B. n = ( 2; 4 ) .

C. n = (1; −2 ) .

D. n = ( −1; 2 ) .

Câu 16: Nhị thức f ( x ) = 5x + 2 nhận giá trị âm với mọi x thuộc tập hợp nào?

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

A.  −;  .
5


2

B.  −; −  .
5


2

C.  ; +  .
5


 2

D.  − ; +  .
 5


Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình −2 x 2 + 4 x + 6  0
A. [ − 1;3] .

B. ( −1;3) .

C. (−; −1)  (3; +) .

Câu 18: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M
 x = −2 + 3t
.
B. 
 y = 1 + 4t

 x = 1 − 2t
.
A. 
 y = −4 + 3t

D. (−; −1]  [3; +) .

2;3 và có VTCP u

 x = −2 − 3t

.
C. 
 y = 3 + 4t

3; 4

 x = 3 − 2t
D. 
.
 y = −4 + t

 x = −2 − 3t
Câu 19: Véctơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : 
 y = 113 + 4t

A. u = ( 4;3) .

B. u = ( 4; −3) .

C. u = ( −3; −4 ) .

D. u = ( −3; 4 ) .

Câu 20: Khoảng cách từ điểm M (2;3) đến đường thẳng  : 4 x + 3 y + 1 = 0 bằng
A.

18
.
5

B.

27
.
5

C. 2 .

D.

28
.
5

Đáp án
1

C

5

B

9

D

13

C

17

A

2

B

6

C

10

D

14

A

18

C

3

D

7

A

11

A

15

B

19

D

4

C

8

B

12

D

16

B

20

A

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh đợng, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức
Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tớt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Q́c Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 9