BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 2 CHỦ đề ôn tập các DẠNG bài đã học và sưu tầm các ví dụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
CHỦ ĐỀ : ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ
SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ
Giảng viên hướng dẫn :Huỳnh Thị Hồng Diễm
Nhóm lớp: L21,nhóm:07

Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng 5 năm 2021
1


Mục lục
Sinh viên thực hiên:…………………………………………..
Hoàn thành các chủ đề:……………………………………….
I: Bài làm từng thành viên……………………………………
II:Nội dung ……………………………………………………
Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện
Chủ đề 2: Vi phân
Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến
Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của tích phân kép
Chủ đề 5: Tích phân bội ba
Chủ đề 6: Tích phân đường
Chủ đề 7 : Tích phân mặt
Chủ đề 8 : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa)

Danh sách các thành viên trong nhóm 7 (L21) :
+ Lê Hoàng Đức

-MSSV: 2012991

+ Nguyễn Hữu Hạnh

-MSSV: 2013095

+ Hồ Thanh Hải

-MSSV: 2013066

+ Nguyễn Tấn Hào

-MSSV: 2013053

+ Phan Anh Hào

-MSSV: 2013055
2


+ Trần Công Hiển
+ Đặng Trung Hiếu

-MSSV: 2013188
-MSSV: 2013137

+ Đỗ Hữu Trung Hiếu

-MSSV: 2013138

I/ Bài làm từng thành viên

STT:01 Tên: Đặng Trung Hiếu
MSSV:2013137
Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện
Ví dụ 1: Cho f(x,y) = +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5). Tìm đạo hàm
f tại M theo hướng với là vecto đơn vị của .
Giải:
= +2+4y
= +4x
=( (M), (M))= == .=
(M)= (M).l₁ + (M).l₂=
=4
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong tại
điểm P (.
Giải:
Đặt F(x,y,z) =
Ta có: F’x = 2x ; F’y = 2y ; F’z = 2z
3


Tại P ( ta có F’x = 1 ; F’y = 1 ; F’z =
Phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong tại P là : ( x - +
(y–+ (zHay x + y +z – 2 =0.
Chủ đề 2: Vi phân
Ví dụ 1: Tính vi phân hàm số f(x,y)= tan( ?
Giải:
(x,y)= =
(x,y)= =
(x,y)dx+ (x,y)dy = +
Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) =. Tính df(1;-1)?
Giải:

=

=8

=

= -5

(x,y)dx+ (x,y)dy= 8dx-5dy

Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến:
4


Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hang với giá P₁= 60
và P ₂=75. Hàm chi phí C= Q ₁²+ Q ₁².Q ₂²+ Q ₂². Tìm các mức sản
lượng Q₁, Q₂ doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại ?
Giải:
Hàm doanh thu : R= P₁Q₁+ P₂Q₂= 60Q₁+75Q ₂
Hàm chi phí: C= Q ₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂²
Hàm lợi nhuận: =R – C =60Q ₁+75Q ₂ - (Q ₁²+ Q ₁².Q ₂²+ Q ₂²)
= -2 ;

= -1 ;= -2

Xét tại điểm M( 15; 30) có
Vì và = -2 < 0 nên M( 15;30) là điểm cực đại
khi đơn vị sản xuất 15 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 30 đơn vị
hàng hóa thứ hai.

Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép
Ví dụ 1: Tính với D={ ?
Giải:
Chiếu lên trục Oy: D:
= =.
Ví dụ 2: Tính diện tích miền D được giới hạn bởi
5


Giải

Ta có: S= , đặt
S= = =

Chủ đề 5: Tích phân bội ba
Ví dụ 1: Tính I = với D là miền giới hạn bởi z +; z = 4. Hình
chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là hình trịn
Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ trụ
V được giới hạn bởi
I= =
Ví dụ 2: Tính I= với V là miền giới hạn bởi .
Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cầu :, miền V được giới hạn bởi
I=
=
6


Chủ đề 6: Tích phân đường

Ví dụ 1: Tính ; C là đường cong ;
Giải:
◦ = 2a
Ví dụ 2: Tính ?
Giải:

Đặt:
Từ cơng thức Green :
Đặt
Vậy

Chủ đề 7: Tích phân mặt
7


Ví dụ 1: Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z =
1-x²-y² nằm trong mặt trụ x²+y²=1.
Giải:
S=
Có: ,
Đặt

với

S= = .
Ví dụ 2: Tính trong đó S là nửa mặt cầu , hướng chiếu của S là
phía ngồi mặt cầu.?
Giải:

Ta có mặt ; hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D: .Hơn

nữa tạo với Oz góc nhọn nên:
Đặt

8


Chủ đề 8: Chuỗi
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số?
Giải:
Ta có:
Mà hội tự
Ví dụ 2:Khảo sát sự hội tụ phân kì của chuỗi
Giải:
◦= =
= . =

>1 nên chuỗi phân kì.

STT:02 Tên:Nguyễn Tấn Hào
MSSV: 2013053
Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện
Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của tại điểm theo hướng pháp véctơ của
đường tròn .
Giải:
=> =>
Véctơ đơn vị
=>
9

=>

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình của
pháp tuyến với mặt cong tại A(2,1,1).
Giải:
=>
Phương trình mặt phẳng tiếp diện:
Phương trình pháp tuyến:
Chủ đề 2:Vi phân
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm
Giải:
,
Ví dụ 2: Tìm dz/dt của với x = cost, y = sint ?
Giải:
Ta có: , , ,

10


Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến
Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị
sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công
nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản
phẩm đầu ra mỗi tuần là
Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị),
Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân
lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành
nghề và 65 công nhân chưa lành nghề. Tốc độ này nói lên điều
gì?
Giải:

Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là (40,
65).
(40, 65) = 1750 (đơn vị/người).
Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản
phẩm tăng thêm 1750 đơn vị.
Ví dụ 2:Một cơng ty sản xuất quạt máy có mơ hình sản lượng
Cobb-Douglas trong đó L là tổng chi phí nhân cơng (triệu đồng),
C là vốn đầu tư hạ tầng, thiết bị (triệu đồng) thì số lượng quạt
máy được sản xuất là
P (L, C) = 105 L0.0457 C0.9543 (quạt máy)
Tính tốc độ thay đổi sản lượng quạt máy của cơng ty theo chi phí
nhân cơng tại thời điểm cơng ty đang chi 200 triệu đồng cho lao
11


động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư. Tốc độ này nói lên điều
gì?
Giải:
Tốc độ thay đổi sản lượngquạt máy theo chi phí nhân cơng là
(200, 800).
(200, 800) 18 (quạt máy/triệu đồng).
Tại thời điểm này, khi chi thêm 1 triệu đồng cho nhân công, số
sản phẩm được sản xuất tăng thêm 18 quạt máy.
Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép
Ví dụ 1: Cho Ω là miền giới hạn bởi
Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính).

Giải:
Mặt trên là mặt paraboloid:
Mặt dưới là mặt phẳng:

Hình chiếu của Ω lên Oxy là miền D:
Biến đổi trong tọa độ cực ta có:
12


Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt paraboloid bên trong mặt trụ
Giải:
Có: ;
Hình chiếu giao tuyến xuống Oxy: D:
Chuyển sang tọa độ trụ:

Chủ đề 5:Tích phân bội ba
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
Giải:
Thể tích
Đặt


,
E1 :

Ví dụ 2: Tính tích phân
13


, trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
Giải:
Đặt:

,

Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu xuống Oxy: D:
V1:
Chủ đề 6:Tích phân đường
Ví dụ 1: Tính
, với C là nữa đường trịn ;
Giải:
Viết phương trình tham số cung C:

Ví dụ 2: Tính

14


, trong đó C là cung từ O(0,0) đến A(1,1) theo chiều kim đồng
hồ.
Giải:
Ta có: =>

Chủ đề 7:Tích phân mặt
Ví dụ 1: Tính tích phân
, trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1,
Giải:
Trên mặt S ta có: , trong đó
Do đó:

Ví dụ 2: Tính
, trong đó S là nửa.

mặt cầu , hướng của S là phái ngoài mặt cầu.
Giải:
15


Vì hợp với chiều dương của Oz một góc tù nên

Chủ đề 8:Chuỗi
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
Giải:
Xét
Vậy chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Giải:
Đặt X = 2x – 3, (1) trở thành:
Xét


Bán kính hội tụ

Xét X = 5:
16


Xét X = -5:



Miền hội tụ của (2) là
Miền hội tụ của (1) là

Vậy miền hội tụ là (-1; 4).
STT:03 Tên: Hồ Thanh Hải
MSSV: 2013066

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện
Ví dụ 1:Nhiệt độ T tại 1 điểm trong quả cầu kim loại tỉ lệ nghịch
với khoảng cách từ tâm cầu đến điểm đó, lấy tâm cầu là gốc tọa
độ. Cho biết nhiệt độ tại điểm M(1,2,2) là 1200C. Tìm tốc độ
biến thiên của T tại M theo hướng đến điểm N(2,1,3) ?
Giải:
Ta có :T(x,y,z)=
Tại M(1,2,2) có nhiệt độ 1200C thì: TM(1,2,2)=1200C
Suy ra =120 => c=360
Vậy T=
+=(1,-1,1); =(1,2,2)
Tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng N là:
T’MN(M)==
17


Ví dụ 2: Nếu f(x,y)=x.,tìm tốc độ biến thiên của f tại điểm
P(2,0) theo hướng từ P đến Q(,2) có tốc độ biến thiên cực đại
theo hướng nào ?
Giải:
Ta có : vectow Gradient;
=(f’x,f’y)=(ey,x.ey)
=(1,2),=(,2) =>=(,)
Tốc độ biến thiên của f theo hướng P đến Q là
(P)=(1,2).()=1.+2.=1

Chủ đề 2: Vi phân
Ví dụ 1: Xét hệ z=f(x,y)=x4+y4-2x3y3 .Tìm vi phân sau ; ?
Giải:
+=4x3-6xy3
+=4y3-6x3y
Ví dụ 2: Cho hàm ln(x2+xy+y2) .Tính x. +y. ?
Giải:
+= ; +=
Vậy x. +y.==2
18


Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến
Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q
đơn vị sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao
gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành
nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là
Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị),
Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công
nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40
công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề.
Tốc độ này nói lên điều gì?
Giải:
Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề
là (40, 65).
(40, 65) = 1750 (đơn vị/người).
Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản
phẩm tăng thêm 1750 đơn vị.
Ví dụ 2: Bán kính dáy và chiều cao của hình nón trịn đứng
được đo tương ứng là 10cm và 25cm, với sai số khả dĩ là 0,1cm.

Sử dụng vi phân để tính sai số tối đa khi tính thể tích của hình nón.
Giải:
19


-Ta có: Thể tích hình nón V=..r2.h
+Khi vi phân ta được:
dV=V’r.dr+ V’h.dh=.dr +.r2.dh
dV(10,25)=.(0,1)+.(0,1)
=20
Kết luận:Sai số thể tích tối đa khoảng 20 cm3.

Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép
Ví dụ 1: Tính diện tích phần mặt nằm ngồi đường tròn r=1 và
nằm trong đường tròn r= ?
Giải:

Trước tiên ,ta tìm giao điểm:
cos= => ;
Vậy :
S=
20


=
Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z= ;z= ?
Giải:
-Khi mặt phẳng giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của
nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z của 2 phương trình 2
mặt:

+ =2-<=> x2+y2 =1
+ Hình chiếu của giao tuyến là đường trịn thì hình chiếu vật
thể là hình trịn x2+y21
+ Với bất đẳng thức hình trịn ,ta thay ngược lên phương trình
ta được :

Vậy ta có tích phân sau:
I=.dx.dy
=-r).dr.d
=.(
21


Chủ đề 5: Tích phân bội ba
Ví dụ 1:Tính tích phân I= thuộc E trong đó E là vật thể giới hạn
bởi x2+y2=1,z=2-x2-y2,z=0 ?
Giải:
+ Hình chiếu của E xuống Oxy: D:x2+y21
+ Mặt phía trên z=2-x2-y2
+ Mặt phía dưới z=0

Vậy ta có tích phân sau:
I=
=.dx.dy
=.dr.d
=
22


Ví dụ 2: Tính tích phân bội ba I= với E là vật thể giới hạn y=1x;z=1-x2 và các mặt phẳng tọa độ ?

Giải:
+ Hình chiếu của E xuống Oxy là tam giác OAB
+ Mặt trên z=1-x2
+ Mặt dưới z=0

Vậy ta có tích phân sau:
I=
=.dx.dy
=.dx.dy
=
Chủ đề 6:Tích phân đường
Ví dụ 1: Tính I= với AB là nữa đường trịn tâm I(1;0) bán kính 1
nối A(2,0) và B(0,0)?
23


Giải:

Ta có phương trình đường trịn tâm I(1;0) bán kính 1 là: (x1)2+y2=1
+ Tham số hóa phương trình :
-Tại A ta có : =>

=>t=0

Tương tự với B: => t=
Vậy I=
=
=Ví dụ 2: Tính tích phân I=
Trong đó L là đoạn thẳng nối 2 điểm O(0,0) và A(1,1) ?
Giải:

24


Ta có: phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0,0) và A(1,1) là
y=x .Tại xO=0; xA=1
Khi đó dy=dx.Ta có:
I=
=).dx
=
Ví dụ 3:Tính I= với C là nửa đường trịn x2+y2=1 ?
Giải:

Tham số hóa pt nữa đường trịn:;0
Vì x2+y2=1
25