TRƯỜNG THPT VÕ NHAI
TỔ TOÁN
BÀI GIẢNG
KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Cơng thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:
A. Ckn = n !
n!
B. C =
k !(n − k )!
n!
k
C. Cn =
(n k )!
k
n
A kn
D. C =
k!
E. B và D đúng
k
n
KIỂM TRA BÀI CŨ
k
Câu 2: Tính chất của số Cn là:
A. Ckn = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) vµ Ckn-1-1 + Ckn−1 = Ckn (1 ≤ k
B. Ckn = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) vµ Ckn-1 + Ckn = Ckn (1 ≤ k
C. Ckn = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) vµ Ckn−1 + Ckn−1 = Ckn (1 ≤ k
KIỂM TRA BÀI CŨ
Liệu có
cơng thức để
Câu 3: Hãy nhắc lại các hằng đẳng khai
thứctriển
đángbiểu
nhớ:
thức (a +
(a + b)2 =a2 + 2ab+ b2b)n thành
tổng
2 các
(a + b)3 =a3 +3a2b + 3ab
+b3 đơn
thức?
4 ?
(a + b) =(a + b)(a + b)3
= (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
= (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b ) n = ?
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Hãy so sánh các các số Ckn (n=2,3,4) với các hệ số của
k
C
Hãy
tính
các
số
(với n
=2,3,4):
các đơn thức trongn khai
triển
của biểu thức (a +b)n ?
C02 = 1 ,C12 = 2 ,C22 = 1
n = 2:
(a + b)2 =1a2 + 2ab + 1b2
C30 = 1 ,C13 = 3 ,C32 = 3 ,C33 = 1
n = 3:
(a + b)3 =1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
n = 4:
C04 = 1 ,C14 = 4 ,C24 = 6 ,C34 = 4 ,C44 = 1
(a + b)4 =1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Có quy luật
Ta có thể viết lại khai triển (a +nào
b)nkhông!?
(n=2,3,4) như sau:
(a + b)2 =C20a 2 + C12ab + C22b 2
0 3
1 2
2
2
3 3
(a + b)3 =C3a + C3a b + C3ab + C3b
0 4
1 3
2 2 2
3
3
4 4
(a + b)4 =C4a + C4a b + C4a b + C4ab + C4b
0 5
1 4
3 2 3
4
4
5 5
(a + b)5 =C5a + C5a b + C52a 3b 2 + C5a b + C5ab + C5b
(a + b )n = ?
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
• Cơng thức nhị thức Niu –Tơn:
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Chú ý: Ở vế phải công thức (1):
– Số các hạng tử là n + 1;
– Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1)
– Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
Các ví dụ:
• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5
(Nhiệm vụ của tổ 2, tổ 4)
• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x - 2)4
(Nhiệm vụ của tổ 1, tổ 3)
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)5
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
0 5
1 4
2 3 2
3 2 3
4
4
5 5
(x + y)5 C
=5 x + C5 x y + C5 x y + C5 x y + C5 xy + C5 y
= x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (3x - 2)4
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
C ( 3 x ) + C14 (3x )3 (−2) + C24 (3 x) 2 ( −2) 2 +
(3x - 2) =
4
0
4
4
+C34 (3 x)(−2)3 + C44 (−2) 4
=81x 4 − 216 x3 + 216 x 2 − 96 x + 16
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
(a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Hệ quả:
Với a = b = 1, ta có:
(1 + 1) n = C0n 1n + C1n1n−11 + ... + Ckn 1n−k .1k + .. + Cnn−11.1n−1 + Cnn1n
⇔ 2n = C0n + C1n + ... + Cnk + .. + Cnn−1 + Cnn
2 = C + C + ... + C
0
n
n
1
n
n
n
Với a = 1 ; b = - 1, ta có:
(1 − 1) n = C0n1n + C1n 1n−1 (−1) + ... + Cnk 1n−k ( −1) k + .. + Cnn−11( −1) n−1 + Cnn (−1) n
0 = C0n +C1n (−1) + ... + Ckn ( −1) k + .. + Cnn−1 ( −1) n−1 + Cnn (−1) n
0 = C − C + ... + ( −1) C + ... + ( −1) C
0
n
1
n
k
k
n
n
n
n
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n ≥ 4, ta có:
C0n + Cn2 + Cn4 + ... = C1n + C3n + ... = 2n−1
Giải: Kí hiệu A =C0n + C2n + C4n + ...
B = C + C + ...
1
n
3
n
n
Theo hệ quả ta có: 2 = A + B
0 = A − B
Từ đó suy ra A = B = 2n−1
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
II. Tam giác PA-XCAN
Hãy chú ý tới hệ số của các đơn thức trong các khai
triển sau:
1
0
(
a
+
b
)
=
Quy luật !?
1a + 1b
(a + b )1 =
1a2 + 2ab + 1b2
( a + b )2 =
(a + b ) 3 =
1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b ) 4 =
1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1
(a + b)5 = 1
?
5
10
10
5
1
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
II. Tam giác PA-XCAN
n=0
1
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
1
n=5
1
n=6
n=7
1
1
7
5
+
+
35
1
3
6
10
15
21
2
3
4
6
+
1
1
4
10
20
+
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
III. Củng cố:
( a + b) n = C0n a n + C1n a n−1b + ... + Ckn a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
Hãy điển Đ, S vào ô trống trong bảng sau để cho biết câu
ở hàng tương ứng là đúng hay sai:
Câu
Đ-S
1. Số các số hạng vế phải ở công thức (1) là n +
1
Đ
2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng 2n
S
3. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và
cuối thì
đối0 nhau
n
1
n
S
4.
2 = Cn + Cn + ... + Cn
0
1
k k
n n
0
=
C
−
C
+
...
+
(
−
1)
C
+
...
+
(
−
1)
Cn
n
n
n
5.
Đ
Đ
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Bài tập 2(sgk): Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:
6
2
x+ 2 ÷
x
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức trên
k
6− k
là:
2
x
k 6−k
k k
k k 6−3 k
2 ÷ = C6 2 2 k = C6 2 x
x
x
Ta phải tìm k sao cho 6 – 3k = 3, nhận được k = 1
C6 x
Vậy hệ số cần tìm là: C16 21 = 12
BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + ... + Cnk a n−k b k + .. + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n . (1)
• Bài tập 3 (sgk): Biết hệ số của x2 trong khai triển của
(1 - 3x)n là 90. Hãy tìm n.
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển của (1 - 3x)n là:
Ckn 1n−k ( −3 x) k = Ckn (−3) k x k
Suy ra hạng tử chứa x2 trong khai triển là: Cn ( −3) x
2
Theo bài ra ta có: Cn ( −3) = 90
2
2
⇔ C2n = 10 ⇔ n = 5
2
2