QUAN HỆ VUÔNG GÓC- ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG BÀI

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 1

BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa và các phép toán
 Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong không gian được xây dựng hồn tồn
tương tự như trong mặt phẳng.
 Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
 
  
AB BC AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
 
  
AB AD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:
  
   
' '
AB AD AA AC

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
 
 

0
IA IB
;
 
  
2
OA OB OI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
     
      

0; 3
GA GB GC OA OB OC OG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

       
        


0; 4
GA GB GC GD OA OB OC OD OG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
   
 

  
( 0) ! :
a vaø b cuøng phöông a k R b ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có:


 

 
  
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ

 
, ,
a b c
, trong đó



a vaø b
không cùng
phương. Khi đó:

 
, ,
a b c
đồng phẳng  ! m, n  R:
 

 
c ma nb

 Cho ba vectơ

 
, ,
a b c
không đồng phẳng,

x
tuỳ ý.
Khi đó: ! m, n, p  R:
  


 

x ma nb pc

3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian:



     
 

   
0 0
, ( , ) (0 180 )
AB u AC v u v BAC BAC

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 2

 Khi xác định góc của 2 vecto ko cùng gốc ta phải cố gắng đưa về cùng gốc để xác
định góc bằng cách dựng vecto bằng vecto ban đầu
 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho



 
, 0
u v . Khi đó: 
     
. . .cos( , )
u v u v u v

+ Với
 
 

 
0 0
u hoaëc v
. Qui ước:

 
. 0
u v

+
  
   

. 0
u v u v


B. BÀI TẬP
DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto
Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung
điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:
a.
2
AD BC AC BD MN

   
    

b.
0
GA GB GC GD
   
    

c.
4
PA PB PC PD PG

   
    
với P là một điểm bất kì.

Giải:
a. Ta có:
MN MA AD DN
  
   
và
MN MB BC CN
  

   

Suy ra:
2 ( ) ( )
MN MA MB AD BC DN CN
     
      

Vì
0
MA MB DN CN
   

    
nên
2
MN AD BC
 
  

Ta suy ra: 2
AD BC AC BD MN
   
    

b. Vì
2 , 2 , 0
GA GB GM GC GD GN GM GN
     
        
nên
0
GA GB GC
  
   

c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) 0
PA PG PB PG PC PG PD PG
       
        

Do đó:
4
PA PB PC PD PG
   
    

Bài 2: (VD 2, SGKCB-87) Cho tứ diện ABCD, gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, và G là trọng tâm của tam giác BC. Chứng minh
a)
1
( )
2
MN AB DC
 
  

b)
3
AB AC AD AG

  
   


Hình 6.3
D
C
B
G
N
M
A

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 3

Bài 3: (B7, SGKCB-92) Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của cạnh AC, BD của tứ diện
ABCD, gọi I là trung điểm của MN P là điểm bất kì trong không gian. chứng minh rằng
 
1
) 0 )
4
a AB IB IC ID b PI PA PB PC PD
       
Bài 4: ( B3,SGCB-74) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh

2 2 2 2
) . . )
a MA MC MB MD b MA MC MB MD
   
HD: Gọi 0 là tâm của hình chữ nhật 0A=0B=0C=0D
Bài 5: ( VD2, T.T.V.ANH-146)Cho hình chóp SABCD đáy là hbh tâm O, chưng minh
) 4 ) IS+IA+IB+IC+ID=O
a SA SB SC SD SO b   
Bài 6: (BÀI 3.1 SBT CB-118) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, gọi O và O’
theo thứ tự là tâm của hình vuông.
a) Hãy biểu diễn các vecto
, '

AO AO
theo các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của
hình lập phương
b) Chứng minh ' ' ' '
AD D C D A AB
  
DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng
phẳng
Pp:
 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Nếu có m, n  R:
 

 
c ma nb
thì

 
, ,
a b c
đồng phẳng
 Để phân tích một vectơ


x
theo ba vectơ

 
, ,
a b c
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao
cho:
  

 


x ma nb pc

BÀI TẬP
Bài 1: (VD4, SGKCB-89) Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và
CD trên các cạnh AD, BC lấy cá điểm P và Q sao cho
2 2
; .
3 3
AP AD BQ BC
  Chứng minh
M,N, P,Q cùng thuộc mp.

HD:
3 3
4 4
MN MP MQ
 
Bài 2: (VD5. SGKCB-91) Cho hình hộp ABCD.EFGH có ; ;
AB a AD b AE c
  

Gọi I là trung điểm của BG. Hãy biểu thị
, ,
AI qua vecto a b c

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 4

Bài 3: (B9, SGK-92) Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên SA
lấy điểm M sao cho
2
MS MA
 
. trên BC lấy điểm N sao cho
1
2

NB NC
  . Chứng minh
ba vecto
, ,
AB MN SC
đồng phẳng
HD:
1 2
2 3
MN SC AB
 
Bài 4: ( VD1, SBTCB-117) Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy điểm M sao cho

3
AM MD

và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
3
NB NC
  , Chứng minh ba vecto
, ,
AB DC MN
đồng phẳng
HD:
1 3

4 4
MN AB DC
 
Bài 5:( B2,GCB-77) Cho bốn A,B,C,D. Trên đoạn AD lấy điểm M sao cho
 
 
2
MA MD
và
trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
 
 

2
NB NC
. Chứng minh rằng ba vectơ
  
, ,
AB MN DC
đồng
phẳng.
HD: Chứng minh  
  
1 2
3 3

MN AB DC
.

Bài 6( B3.3 SBTCB-118) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
( 0)
AM BN
k k
AC BD
  
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,

PQ PM PN
  
đồng phẳng.
Giải:
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:
1 1
( ) [( ) ( )
2 2
1
[( ) ( )]
2
PQ PC PD AC AP BD BP

AC BD AP BP
     
   
      
   

Vì
0
AP BP
 
  
nên

1
( ) 0
2
PQ AC BD
  
   

Theo giả thiết ta có
1
AC AM
k


 
và
1
BD BN
k

 

Do đó
1
( )
2

PQ AM BN
k
 
  

Vì:
AM AP PM
 
  
và
BN BP PN
 

  
nên
1
( )
2
PQ AP PM BP PN
k
   
    

Vậy:
1 1

2 2
PQ PM PN
k k
 
  

Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ
, ,
PQ PM PN
  
đồng phẳng
Bài 7: (B10, SGKCB-92) Cho hình hộp ABCD.EFGH, Gọi K là giao điểm của AH và DE, I

là giao điểm của BH và DF. chứng minh ba vecto
, ,
AC KI FG

Q
P
Hình 6.4
D
C
B
G
N

M
A
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 5

HD: cùng song song với (ABC)

Bài 8. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh
AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
  
, ,

MN FH PQ
đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
  
, ,
IL JK AH
đồng phẳng.
HD: a)
  
, ,
MN FH PQ
có giá cùng song song với (ABCD).

b)
  
, ,
IL JK AH
có giá cùng song song với (BDG).
DẠNG 3. Tìm góc của hai đường thẳng và cm hai đường thẳng vuông góc
PP:
Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).

BÀI TẬP
Bài 1: (VD1, SGKCB -93) Cho tứ diên OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vương
góc và OA=OB=OC=1. Gọ M là trung điểm của AB tính góc giữa hai vecto
OM va BC

Bài 2: (B2, SGKCB-97)Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và
DB vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng
a)
. . . 0
AB CD AC DB AD BC
  

     

b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau.
Giải:
a):
. . . 0
ABCD AC DB AD BC
  
     

Ta có:
. .( ) . . (1)

. .( ) . . (2)
. .( ) . . (3
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC DB AC AB AD AC AB AC AD
AD BC AD AC AB AD AC AD AB
   
   
   
        
        
        
)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra
. . . 0
ABCD AC DB AD BC
  
     

b) theo câu a, nếu ABCD nghĩa là
. 0
AB CD

 

và AC  DB nghĩa là
. 0
AC DB

 
thì từ hệ thức
(4) ta suy ra
. 0
AD BC

 
nghĩa là AD  BC.

Bài 3:(B5, SKGCB-98)Ch hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và có



ASB BSC CSA
 
.Chứng minh
, ,
SA BC SB AC SC AB
  

Bài 4: ( B8,SGKCB-98) Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và



60
BAC BAD
 
. chứng
minh
)
a AB CD


b) Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì

;
MN AB MN CD
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 6

Bài 5: (B2 GIAICB- 80) Cho tứ diện ABCD cạnh a, Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCD. Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với CD
Bài 6: (B3 GIAICB- 80) Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’ đs: 120
b) Chứng minh BD vuông góc với AC’

Bài 7: (B4 GIAICB- 80) Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
CD
Bài 8: (B3.10, SBTCB- 127) Cho hình chóp S.ABCD có SA =SB=SC=AB=AC=A và
BC=a
2
. Tính góc giữa AB và SC
đs: 60
Bài 8: (VD3, SBTCB-123) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều.
a) Chứng minh AB và CD vuông góc
b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của cạnh AC,BC, BD,DA. Chứng minh MNPQ là hcn
Bài 9: (VD3, SBTCB -125) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên
các cạnh DC và BB’ lấy M,N sao cho DM=BN=x với 0


x
a

. Chứng minh hai đường
thẳng AC’ và MN vuông góc
BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
d  (P)  d  a, a  (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  

 

 

, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

3. Tính chất
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó.



 




( )
( )
a b
P b
P a



 

 


( ), ( )
a b
a b
a P b P




 




( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P



 


 

( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
P Q
P Q
P a Q a





 



( )
( )
a P
b a
b P




 

 

( )
)
,( )
a P
a P
a b P b

4. Định lí ba đường vuông góc

Cho  
( ), ( )
a P b P
, a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Nếu d  (P) thì



,( )
d P
= 90

0
.
 Nếu 
( )
d P
thì



,( )
d P
=




, '
d d
với d là hình chiếu của d trên (P).
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 7

Chú ý: 0
0





,( )
d P
 90
0
.
B. BÀI TẬP
Bài tập: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp.
. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng
d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)

d a
d b
d (P)
a,b (P)
a b I






 




 


♦Phương pháp 2:
Sử dụng tính chất:d //

,mà


(P) thì d

(P)


♦Phương pháp 3:

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến
x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x thì vuông góc
với mặt phẳng (Q).


♦Phương pháp 4:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 8

Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

(P) (R)
(Q) (R) a (R)
(P) (Q) a




  


 




♦Phương pháp 5:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng a vuông góc với
mặt phẳng này thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.

(P)//(Q)
a (Q)
a (P)

 




♦Phương pháp 6:
Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường thẳng a vuông
góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).




a // b

b (P)
a (P)

 






BÀI 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Biết tam giác ABC và tam giác BAD
vuông tại A. chứng minh

( )
AB SAD


GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 9

BÀI 2: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm 0 và SA=SC và SB=SD.
Chứng minh SO
( )
ABCD


BÀI 3: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thoi. giải sử SA=SC. Chứng minh
( )
AC SBD


BÀI 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và
( ).
SA ABCD

AE,AF là
đường cao của tam giác SAB và SAD, chứng minh SC

( )
AEF


BÀI 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật. gọi I,J là trung điểm của AB và CD ,
SA=SB, Chứng minh CD
( IJ)
S


BÀI 6: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC) . Gọi H,K lần lượt là trự tâm của
tam giác ABC, SBC. chứng minh

a) AH, SK, BC đồng quy b) SC vuông góc với (BHK) c) HK
( )
SBC


BÀI 7. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam
giác vuông tại B.
a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC

SB.
b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH


SC.
BÀI 8. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD.
a. Chứng minh BC

(SAB), CD

(SAD), BD

(SAC)
b. Chứng minh SC


(AHK) và HK

(SAC).
BÀI 9. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN

(SAC).
BÀI 10: (VD1, SBTCB-130) Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA 
(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng

nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp bằng trục đường tròn
pp:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 10

b1: Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa
giác ABC như sau SA=SB=SC
b2: Tìm điểm 0 ở đáy cách đều các đỉnh của đa giác
đáy ABC : OA=OB=OC
b3: Nối SO là trục của đường tròn. Vậy SO vuông góc

với mp chứa đường tròn (ABC)

BÀI 11: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi có

60
BAC

VÀ SA=SB=SC.
Chứng minh SG vuông góc với (ABCD) với G là trọng tâm.
HD: Xét (ABC) nằm trong (ABCD). có SA=SB=SC và GA=GB=GC do đó SG

(ABC)

BÀI 12: Cho hình chóp SABCD có SA=SC=SD và

90
ADC

,Gọi I là trung điểm AC.
Chứng minh SI vuông góc (ABCD)
BÀI 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa của lục giác đều có


90
SBD SCD

 
, Gọi O và
I là trung điểm của AD và SD. Chứng minh
( ); ( )
OI BCD SA ABCD
 

HD: Dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam 2 tam giác vuông cm được IB=IC=ID
- Theo tc của lục giác đều thì 0B=0C=0D từ đó suy ra
( )
OI BCD


-
1
/ / ( )
2
SA OI ABCD

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh đường thẳng
này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

d (P)
d a
a (P)


 




♦Phương pháp 2:
Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),
mà đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông góc với đường thẳng a.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 11

BÀI 1: Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD . Chứng minh
AB CD


BÀI 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và
( )

SA ABCD

. Chứng minh
BD SC


BÀI 3: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với (BCD) có

90
BCD

gọi BH là đường cao

của tam giác BHD vuông
BÀI 4: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC
BÀI 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO  (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD).
BÀI 6: Cho hình chóp SABCD có Savuông góc với (ABCD) là hình chữ nhật chứng minh
bốn mặt bên (SBA); (SCD);(SBC);(SAD) đều là tam giác vuông
BÀI 7: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC  (OAH).

b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c)   
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
BÀI 8:Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
SC = a
2
. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH  (ABCD).
b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD

Bài 9: (ĐH Khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD,
A’D’. Chứng minh:
'
MP C N

.

Giải:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 12

Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’,
( ' ')
MP MED A


(1)
Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau




0

' ' ' ' ' 90 ' '
CNC C ED CC N C NC C N ED
      
(2)
Do ME // BC
( ' ') '
ME CDD C ME C N
   
(3)
Từ (2) và (3)
' ( ' ') '
C N MED A C N MP

   

Bài 10: (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.
Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM

BP.
Giải :
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH

AD

Vì (SAD)

(ABCD), suy ra SH

(ABCD) suy ra SH

BP
(1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta
có





0
90
CBP DCH CBP HCB BP CH
      (2)
Từ (1) và (2) suy ra:


BP SHC

(3)

Do HC // AN, MN // SC




/ /
SHC MAN
 (4)
Từ (3) và (4) suy ra:


BP MAN AM BP

   (đpcm)

Bài 11: (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D
qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AE, BC. Chứng minh
MN BD


Giải
Ta có SEAD là hình bình hành
/ /

SE DA

và SE = DA

SEBC cũng là hình bình hành
/ /
SC EB


Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác
EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC.
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)

Ta có
DB AC

và


SH (ABCD)
BD SH do 


BD SAC
  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:


DB MNP BD MN
  
(đpcm)

DẠNG 2: góc giữa đường và mặt
H
M
N
P
A
C
B

D
S
N
P
N
M
E
H
D
C
B
A

S
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 13

Pp:
Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
 Tìm giao điểm M của a với (P).
 Chon điểm S  a và dựng SH  (P). Khi đó



( ,( ))

SOH a P







BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SA =
a

2
.
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác
vuông
b) Tính góc giữa SC và mp (SAB)
Giải
a)tự cm
b)
 BC  (SAB) 





SC SAB BSC
,( ) 

 SAB vuông tại A 
SB SA AB a
2 2 2 2
3
  
 SB =
a
3

 SBC vuông tại B 

BC
BSC
SB
1
tan
3
  

BSC

0
60

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=
a
2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là
đường cao của SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao
cho IS = a.
a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).

Giải
a)  AC  BI, AC  SI  AC  SB.
 SB  AM, SB  AC  SB  (AMC)
b) SI  (ABC) 




SB ABC SBI
,( ) 
AC = 2a  BI = a = SI  SBI vuông cân 


SBI
0
45


c) SB  (AMC) 




SC AMC SCM
,( ) 

Tính được SB = SC =
a
2
= BC  SBC đều  M là trung điểm của SB 

SCM
0
30


Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Giả sử SA =
a
3
và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
S
A
B
C
D

O
S
A
B
C
I
M
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 14

Giải

Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA =
SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với
SA.

a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD).
b) CMR: MN  AD.
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
d) CMR: 3 vec tơ
BD SC MN
, ,
  
đồng phẳng.
Giải
a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD).
 SO  AC, SO  BD  SO  (ABCD).
 BD  AC, BD  SO  BD  (SAC)  BD 

SA (1)
 OP  SA, OP  (PBD) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra SA  (PBD).
b) CMR: MN  AD.
 Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà
OB và OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC
trên (ABCD)

NB = NC
 NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC
(gt)
 MN  BC  MN  AD (vì AD // BC)

c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
 SO  (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD)
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là

SAO
.


a
AO
SAO
SA a

2
2
2
cos
2 4
  
d) CMR: 3 vec tơ
BD SC MN
, ,
  
đồng phẳng.
 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các

đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD,
FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng phẳng.
 MN  (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) 
BD SC MN
, ,
  
đồng phẳng.

BC

AB (


ABC vuông tại B)
 BC  SA (SA  (ABC))
 BC  (SAB)
 AB là hình chiếu của SB trên (ABC)









SB ABC SB AB SBA
,( ) , 


 
SA a
SBA SBA
AB a
0
3
tan 3 60
    

 Kết luận:



SB ABC
0
,( ) 60

E
F
P
N

M
O
D
C
A
B
S
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 15

BÀI 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA =
a

6
. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)
HD: a) 60
0
b) arctan
1
7
c) arcsin
1
14
d) arcsin

21
7
.
BÀI 6: Cho hình chóp S.ABC có
( )
SA ABC

, SA=a , Tam giác ABC đều cạnh a
a) Tính góc SB và (ABC)
b) Tính SC và (SAB)
HD:


) 45
a ABS  b)
arctan
CSI

DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
Pp:
Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đường đi qua
điểm M. Mặt phẳng cần xác định bởi hai đường thẳng nói trên chính là . Sau đó ta cần tìm
giao tuyến với các mặt của hình không gian.
Chú ý.Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a và b cùng vuông góc với d thì ta
chọn mặt phẳng song song với a (hay chứa a) và song song với b (hay chứa b) rồi thực

hiện liên tiếp các bước còn lại
BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B
với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi M
là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc
với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.


HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x).

2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng
(P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của
thiết diện này.
HD: S =
2
15
20
a
.
3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA  (ABC) và SA

= a
3
. M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng
qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn
nhất.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 16

HD: b) S =
3

x(a – x); S lớn nhất khi x =
2
a
.
4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA = a. Tìm
thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp
sau:
a) (P) qua S và vuông góc với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
HD: a)
2

3
4
a
. b)
2
2 21
49
a
. c)
2
5 3
32

a
.
5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a
2
. Vẽ
đường cao AH của tam giác SAB.
a) CMR:

2
3
SH
SB

.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là
hình gì? Tính diện tích thiết diện. HD: b) S =
2
5 6
18
a

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A.LÝ THUYẾT:
1.Góc giữa hai mặt phẳng:
a) Định nghĩa:

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng
đó bằng 0
o
.
b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:
Cho (P)

(Q) = c, lấy I bất kì thuộc c
Trong (P) qua I kẻ a

c.Trong (Q) qua I kẻ b


c.
Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b).
c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos

.
Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa
giác đó trên (Q),

= góc ((P), (Q)).
2.Hai mặt phẳng vuông góc:
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90

o
.
+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)

(Q) hay (Q)

(P).
b)Tính chất :
* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)


(Q) )(:)( QaPa




.
* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này
và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)

(Q), (P)


(Q) = c, a )(),( QacaP





* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Tóm tắt : (P)

(Q), A )()(,),( PaQaAP






GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 17

* Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vuông góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng đó .
Tóm tắt: (P) )()()(),()(),( RaRQRPQ







* Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặt phẳng (Q)
vuông góc với mặt phẳng (P).
Tóm tắt: a )()(,)(!)( PQaQP






3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
a)Hình lăng trụ đứng:
* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b)Hình lăng trụ đều:
* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông
góc với mặt đáy .
c)Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.

d)Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
e)Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
a)Hình chóp đều:
* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các
cạnh bên bằng nhau.
* Nhận xét:
+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
+ Một hình chóp là hình chóp đều


đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của
hình chóp trùng với tâm của đáy.
+ Một hình chóp là hình chóp đều

đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo
voéi mặt đáy các góc bằng nhau.
b)Hình chóp cụt:
* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp
cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
* Nhận xét:
+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau.

+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.


B.BÀI TẬP
DẠNG 1: Xác định góc giữa 2 mp
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 18

R
P
Q

p
q
Pp: Phương pháp :
 Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :
 Cách 1 : Dùng định nghĩa :

   







, ,
P Q a b

trong đó :


 
a P
b Q









 Cách 2 : Dùng nhận xét :









   
   
   




 

, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
    

   


 

.

 Cách 3 : Dùng hệ quả :


 
   
   




,
P

M Q
H hch M P Q M N H
H N m P Q
 

  


  

.

B. B ÀI TẬP
Bài 1. : Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B .
AB = BC = a,

ADC SA a
0
45 , 2
  .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).

Giải
a) CM các mặt bên là các tam giác vuông.

 
SA AB
SA ABCD
SA AD


  





 SAB và SAD vuông tại A.
BC  AB, BC  SA  BC (SAB)  BC  SB
 SBC vuông tại B

SB SA AB a a a
SC SB BC a a a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 3
3 4

    
    

 hạ CE  AD  CDE vuông cân tại E nên
EC = ED = AB = a
CD a
2
 


AD AE ED BC ED a
SD SA AD a

2 2 2 2
2
6
     
   


SC CD a a a SD
2 2 2 2 2 2
4 2 6     nên tam giác SDC vuông tại C.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 19


SBC ABCD BC SB BC AB BC
( ) ( ) , ,
    



 
SA
SBC ABCD SBA SBA

AB
( ),( ) tan 2.
   


Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  (ABC), SA =
a
3
.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC  (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Gải

Bài 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a
3
, SD=
a
7
và SA

(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD
Giải



a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

 
SA AB
SA ABCD
SA AD



  



các tam giác SAB, SAD vuông tại A

BC AB
BC SB SBC
BC SA



   



vuông tại B

CD AD
CD SD SDC
CD SA



   



vuông tại D
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

SCD ABCD CD
( ) ( )
 

AD ABCD AD CD
( ),
 
,
SD SCD SD CD
( ),
 


 
 
AD a

SCD ABCD SDA SDA
SD
a
3 21
( ),( ) ; cos
7
7
   

Tam giác ABC đều,
,
M BC MB MC AM BC

   
(1)


. .
SAC SAB c gc SBC
     cân tại S
SM BC
 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAM)
(SBC)


(ABC) = BC,


,
SM BC cmt AM BC
 

SBC ABC SMA
(( ),( )) 
AM =
 


3
, 3 tan 2
2
a SA
SA a gt SMA
AM
   

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 20

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA 
(ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
HD: a)



( ),( )
SAC SBC

= 60
0
b) cos


3
(( ),( ))
10
SEF SBC .
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc
giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60
0

.
HD: SA = a.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường
kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a
3
.
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
HD: a) tan


(( ),( )) 7

SAD SBC
b) cos


10
(( ),( ))
5
SBC SCD
.
4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a
3
. Tính góc giữa các cặp mặt

phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
HD: a) 60
0
b) arctan
6
c) 30
0
.
5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3

a
; SA  (ABCD) và SO =
6
3
a
.
a) Chứng minh

ASC
vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

HD: c) 60
0
.
6. Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a
2
, đáy ABCD là hình thang vuông
tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
HD: a) 45
0
b) 60
0

c) arccos
6
3
.
DẠNG 2: chứng minh 2mp vuông góc
Pp:
♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này
chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 21


a (P)
(P) (Q)
a (Q)


 









♦Phương pháp 2:
Sử dung tính chất:

(P)//(Q)
(R) (Q)

(R) (P)

 




♦Phương pháp 3:
Sử dụng tính chất: (P)

d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P)

(Q)

BÀI TẬP
BÀI 1: Cho hình chóp SABCD có
( )
SA ABCD


và ABCD là hình bình vuông . Chứng
minh
( ) ( );( ) ( )
ABC SAC SBD SAC
 

BÀI 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật
( )
SA ABCD

.E,F là hình chiếu của A
trên SB và SC. Chứng minh

( ) ( );( ) ( )
AEF SCD AEF SAC
 

BÀI 3: Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC và tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi I,J là
trung điểm của AC, BC. chứng minh
( ) ( );( IJ) ( )
SAC ABC S SBC
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 22

Bài 4: Cho hình chóp S. ABC có SA

(ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE
và CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC.
MR: a) S, H, E thẳng hàng
b) (SBC)

(SAE), (SBC)

(CFH).
c) OH


(SBC).
Giải:
a) + SA

(ABC), AE

BC

SE

BC

(Theo định lí 3 đường vuông góc)
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên
S, H, E thẳng hàng
b) * Ta có : BC

AE, BC

SE
c)

BC


(SAE)
Mà BC

(SBC) nên (SBC)

(SAE).
* Vì SA

(ABC)

SA


CF và AB

CF SBCFSABCF




)(
Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC

CH


SB
Từ đó suy ra SB

(CFH), mà SB
)()()( CFHSBCSBC




d) Theo chứng minh trên ta có:
+ BC


(SAE), OH OHBCSAE



)(
+ SB

(CFH), OH
OHSBCFH




)(

Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)

OH

(SBC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA =
SB = SC = a. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Tam giác SBD vuông tại S
Giải

a. ABCD là hình thoi nên có AC  BD tại O. Mặt khác SA = SC nên có
AC  SO. Vậy AC  (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC  (SBD)
nên (ABCD)  (SBD).
b. Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt
khác BO = DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S.
Bài 6 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh rằNG (SAC)  (BHK) và (SBC)  (BHK)
b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm,
SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0

.
Giải:
a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BCAA’ và BCSA suy ra BC(SAA’). Do
đó BCSA’.
Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC.
Vì BH  AC và BH  SA suy ra BH  (SAC)

A'
K
H
C
B
A
S
Hình 6.10
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 23

Do đó
( )
BH SC
SC BHK
BK SC


 




Vậy: (SAC)  (BHK)
BC  (SAA’) do đó BC  HK;
SC  (BHK) do đó SC  HK.
Từ đó suy ra HK  (SBC) và (BHK)  (SBC)
b. Gọi S
SBC
là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có:
( )( )( )
SBC
S p p a p b p c
   

trong đó p = ½ (13+14+15) = 21
Do đó
2
21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )
SBC
S cm
    

Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp
dụng công thức S’ = S cos trong đó  = 30
0
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta

có:
S
ABC
= S’ = 84.cos30
0
= 42
3
(cm
2
)

Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều

và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a)CMR: (SAB)

(SAD), (SAB)

(SBC).
b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
c)Gọi H và I là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (SHC)

(SDI).
Giải
a) Gọi H là trung điểm của AB.

- Vì SAB là tam giác đều

SH

AB.
Do (SAB)

(ABCD),
(SAB)

(ABCD) = AB


SH

(ABCD)

SH

AD (1)
- Vì ABCD là hình vuông

AB

AD (2)

- Từ (1) và (2)

AD

(SAB).
Mà AD

(SAD). Vậy (SAD)

(SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC)


(SAB)
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)
và (SBC):
- Ta có AD

(SAD), BC

(SBC), AD // BC


)(SAD (SBC) = St // AD
- Vì (SAD)


(SAB), (SBC)

(SAB)

St

(SAB)

St

SA, St


SB
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
* Tính góc ASB:
Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60
o

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60
o
.
c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC


DI
Mặt khác do SH

(ABCD)

SH

DI.
Vậy DI

(sHC), mà DI ).()()( SHCSDISDI








A
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 24


Bài 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO



(ABCD), Đặt SO = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)

(SAB), (SMN)

SCD).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để 2 mặt phẳng đó vuông
góc.
Giải:

a)* Ta có SO

(ABCD)
ABSO



Từ giả thiết

MN

AB

)(SMNAB


, mà AB )(SAB


nên (SAB)

(SMN)
Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) bằng 90
o

* Lập luận tương tự ta có (SCD)

(SMN)

góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90
o

* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h
tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông
góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB)
và (SCD):

- AB CDABStSCDSABCDABSCDCDSAB ////)()(//),(),(






- Vì (SAB) SNStSMStSMNStSMNSCDSMN








,)()()(),(
Do SM



)(),( SCDSNSAB góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa 2 đường
thẳng SM và SN. Giả sử góc MSN =


.đặt

= góc (SM,SN)

cos

= cos


*Tính góc

:

- Ta có SM
2
= SN
2
= h
2
+ a
2
, MN = 2a.
- Xét tam giác SMN: MN
2
= SM

2
+ SN
2
– 2 SM.SN.cos



4a
2
= 2(h
2
+ a

2
) – 2(h
2
+ a
2
).cos


cos

=




22
22
a
h
ah
cos
22
22
ah
ah





(1)
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là

mà cos

thoả mãn (1)
*(SAB)


(SCD)


= 90
o


cos


0


h = a.
BÀI 9 (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a
, SA = a và
( )
SA ABCD

. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
( ) ( )
SAC SMB


.
Giải:
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy
ra
1
2
AI IC


2

2 2 2 2 2 2
1
3 ,
9 3
a
AC AD DC a AI AC    

2
2
2 2 2
1 1 2
9 9 2 6

a a
MI MB a
 
 
 
   
 
 
 
 
 

t
a 2
a
I
M
D
C
B
A
S
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 25

Từ đó suy ra
2
2 2
2 2 2
2
3 6 2
a a a
AI MI MA
 
    
 

 
 

Vậy AMI là tam giác vuông tại I
MB AC
 
(1)
Mặt khác
( )
SA ABCD SA MB
  
(2)

Từ (1),(2) suy ra
( ) ( ) ( )
MB SAC SMB SAC
   
đpcm
BÀI 10: (ĐH khối A năm 2003)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M
là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc
với nhau.

Giải :
Ta có A’B = A’D
'
A O BD
 
( O là tâm cua hình
vuông ABCD )
Lại có
MB MD MO BD
  

Từ đó


'
A OM
là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và
(MBD)
Vì vậy

0
( ' ) ( ) ' 90
A BD MBD A OM  

2 2 2

' '
A O OM A M
  
(1)
Ta có
2 2 2
' '
A O A B BO
 

2
2

2 2 2
2
2 2
a a
a b b
 
    
 
 
 

(2)

2 2
2 2 2
4 2
b a
OM MC CO
   
(3)
2
2 2 2 2
' ' ' ' 2
4
b

A M A C C M a
   
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
2 2
2 2
5
2 (do a , b >0)
4 4
b b
a a b a    

Vậy với
1
a
b

thì
( ' ) ( )
A BD MBD


BÀI 11: (ĐH Hải Phòng năm 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc

với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và
(SBC) vuông góc với nhau.
Giải:
Do AB = AC AI BC
 
(1)
Vì
AB = AC SB = SC SI BC
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm

   



BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
I
C
B
A
S
O

M
a
b
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A