đầy đủ các dạng bài toán tiệm cận

Giáo viên Trường THPT Kim Thành II
Các bài tập liên quan đến tiệm cận
Bài toán tổng quát
dcx
bax
y
+
+
=
(C)
1. Tìm tạo độ điểm M trêm (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất
Cách làm
-Gọi M(x
0
,y
0
=
dcx
bax
+
+
0
0
)
- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận ngang.
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận đứng
- Tổng d=d(M,tcn)+d(M,tcd) và áp dụng BĐT cô si
ba

+
≥
2
ab

dấu bằng xẩy ra khi a=b.
2. Chứng minh rằng giao điểm tiệm cận là tâm đối xứng của dồ thị
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng.
- Tìm tiệm cận ngang.
- Suy ra giao điểm I(x
I
,y
I
) hai tiệm cận
- Dùng phép tịnh tiến chuyển trục OXY thành trục IXY theo
phép tịnh tiến véctơ
OI
bằng cách



+=
+=
Yyy
Xxx
I
I
- Khi đó ta Y=F(X)
- Nếu F(-X)=-F(X) thì I là tâm đối xứng.

3. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M để tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng IM
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng.
- Tìm tiệm cận ngang.
- Suy ra giao điểm I.
- Goi M(x
0
,y
0
)
- Viết pt dt IM
1
0
0
0
0
k
xx
yy
xx
yy
m
m
=
−
−
=
−
−

- Tính f’(x
0
)=k2
1
Giáo viên Trường THPT Kim Thành II
- viết pt tiếp tuyến tại M
- y-y
0
=f’(x
0
)(x-x
0
).
- Để IM vuông góc với tt thì k1.k2=-1.
4. Tìm toạ độ điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến hai tiệm cận
bàng nhau
Cách làm
-Gọi M(x
0
,y
0
=
dcx
bax
+
+
0
0
)
- Tìm tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận

ngang.
- Tìm tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận
đứng
- d(M,tcn)=d(M,tcd)
5. Tìm khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến đường thẳng
∆
: ax+by+c=0
Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng.
- Tìm tiệm cận ngang.
- Suy ra giao điểm I.
- Tính d(I,
∆
).
6. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận, chứng minh rằng tích số các khoảng
cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị đến các đường tiệm cận của
nó là một hằng số.
Cách làm
-Gọi M(x
0
,y
0
=
dcx
bax
+
+
0
0
)

- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận ngang d(M,tcn).
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận đứng d(M,tcđ).
- d(M,tcn).d(M,tcđ)=const.
7. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), tiếp tuyến tại M của (C) cắt tiệm cận
tại A,B. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB
có diện tích không đổi.
2
Giáo viên Trường THPT Kim Thành II
Cách làm
- Viết phương trình tiếp tuyến
∆
tại M.
- Tìm giao điểm của
∆
với tiệm cận đứng.
- Tìm giao điểm của
∆
với tiệm cận ngang.
- Tính tạo độ trung bình của điểm A,B.
- Tính diện tích tam giác S
IAB
∆
=
2
1
IA.IB.
8. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có tiếp
tuyến nào tại M của (C) đi qua I.

Cách làm
- Tìm tiệm cận đứng.
- Tìm tiệm cận ngang.
- Suy ra giao điểm I.
- Viết pt tiếp tuyến tại M.
- Thay toạ độ điểm I vào pttt sau đó giải pt với ẩn là x
0
thấy vô
nghiệm thì ta kết luận được.
9. Tính khoảng cách từ một M(x
M
,y
M
) điểm đến tiệm cận đứng (x-x
0
=0) hoặc ngang (y-y
0
=0).
Cách làm
- Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận ngang d(M,tcn)=
0
yy
M
−
.
- Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm
cận đứng d(M,tcđ)=
0
xx

M
−
.
10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó cắt
tiệm cận đứng tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho tam giác
IAB cân, với I là giao điểm của hai tiệm cận đó.
Cách làm
Cách 1.
- Tính f’(x
0
).
- Do tam giác IAB cân tại I khi đó hệ số góc của tiếp tuyến f’(x
0
)=-1(1). Giải pt (1) ta tìm được x
0
.
- Suy ra điểm M(x
0
,y
0
) viết pt tiếp tuyến tai M.
Cách 2
- Ta xác định điểm A,B,I và sử dụng điều kiện IA=IB.
3