Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
A. CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa
VD1. Cho
( )
( )
3
2
3
F x x
f x x

=


=


VD2. Cho
( )
( )
cos
sin
F x x
f x x
=



= −



Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có
( ) ( )
'F x f x=
. Ta gọi
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Vì với
C
là một hằng số bất kỳ, ta có
( )
( )
( ) ( )
'
'F x C F x f x+ = =
nên nếu
( )
F x
là
nguyên hàm của
( )
f x
thì
( )
F x C+
cũng là một nguyên hàm của

( )
f x
. Ta gọi
( ) ( )
,F x C C const+ −
là Họ nguyên hàm của
( )
f x
.
Ký hiệu:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
VD:
4 5
1
; cos sin
5
x dx x C xdx x C= + = +
∫ ∫
2. Tính chất
•
( )
( )
( )
'
f x dx f x=
∫
•

( ) ( )
kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
,
k
là hằng số
•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx+ = +
 
 
∫ ∫ ∫
•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
− = −
 
 
∫ ∫ ∫
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
đều có nguyên hàm trên đoạn
[ ]
;a b

4. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1

dx x C= +
∫
du u C= +
∫
2
1
1
1
x dx x C
+
= +
+
∫
α α
α
1
1
1
u du u C
+
= +
+
∫
α α
α
3
( )
ln 0
dx
x C x

x
= + ≠
∫
( )
ln 0
du
u C u
u
= + ≠
∫
4
x x
e dx e C
= +
∫
u u
e du e C
= +
∫
5
( )
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

( )
0 1
ln
u
u
a
a du C a
a
= + < ≠
∫
6
cos sinxdx x C= +
∫
cos sinudu u C= +
∫
7
sin cosxdx x C
= − +
∫
sin cosudu u C
= − +
∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
1
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
8
2
tan
cos
dx

x C
x
= +
∫
2
tan
cos
du
u C
u
= +
∫
9
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
2
cot
sin
du
u C
u
= − +
∫
Chú ý: Nguyên hàm của hàm hợp khi áp dụng phải nhân thêm

,
1
u
VI PHÂN
Nhớ lại:
( ) ( )
( )
( )
'y f x dy d f x f x dx= ⇒ = =
Vậy có:
•
( )
.d ax b a dx+ =
•
2
1 1
d dx
x x
 
= −
 ÷
 
•
( )
2
dx
d x
x
=
•

( )
sin cosd x xdx=
•
( )
cos sind x xdx= −
•
( )
2
1
tan
cos
d x dx
x
=
•
( )
2
1
cot
sin
d x dx
x
= −
•
( )
x x
d e e dx
=
•
( )

ln
dx
d x
x
=
5. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG
1.
2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫
.
Đặc biệt
2 2
1 1
ln
1 2 1
dx x
C
x x
−
= +
− +

∫
2.
2 2
2 2
ln
dx
x a x C
x a
= + + +
+
∫
3.
2 2
2 2
ln
dx
x a x C
x a
= − + +
−
∫
4.
ln tan
sin 2
dx x
C
x
= +
∫
5.

ln tan
cos 2 4
dx x
C
x
π
 
= + +
 ÷
 
∫
6.
2 2
2 2
1
ln
2
xdx
x a C
x a
= + +
+
∫
7.
2 2
2 2
1
ln
2
xdx

x a C
x a
= − +
−
∫
8.
2 2
2 2
xdx
x a C
x a
= + +
+
∫
9.
2 2
2 2
xdx
x a C
x a
= − +
−
∫
10.
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C+ = + + + + +
∫

11.
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C− = − − + − +
∫
BÀI TẬP:
Dạng 1: Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
pp:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
2
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
3
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
4
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Bài tập tương tự
Dạng 2: Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm
Ví dụ 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm có sẵn
•
8 9
1
9
I x dx x C= = +
∫
•
5 5 1 4

5
1 1
5 1 4
dx
I = x dx x C x C
x
− − + −
= = + = − +
− +
∫ ∫
•
( ) ( )
2
2 4 3 2 5 4 3
1 4
2 4 4
5 3
I x x dx x x x dx x x x C= + = + + = + + +
∫ ∫
•
1 1
ln
2 2 2
dx dx
I x C
x x
= = = +
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
5

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
( )
2 2 2
1
2
2
x x x
I e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )
4 4 4
1 1
4
4 4
x x x C
I e dx e d x e
+
= = =
∫ ∫
•
( )
1 1
cos2 cos2 2 sin 2
2 2
I xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( )

1 1
sin 2 sin 2 2 cos2
2 2
I xdx xd x x C= = = − +
∫ ∫
•
( )
2 2 2
2
1 1
.
2 2
x x x
I x e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )
cos
sin
tan ln cos
cos cos
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
( )
sin

cos
cot ln sin
sin sin
d x
x
I x dx x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫
•
( )
cos2
sin 2 1 1
tan 2 ln cos2
cos2 2 cos2 2
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
( )
sin 2
cos2 1 1
cot 2 ln sin 2
sin 2 2 sin2 2
d x
x
I xdx dx x C

x x
= = = = +
∫ ∫ ∫
•
( )
2 2 3
1
sin .cos sin sin sin
3
I x xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( )
2 2 3
1
cos .sin cos cos cos
3
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
•
( )
4 4 5
1
sin .cos cos cos cos
5
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
•
( )
4 4 5

1
cos .sin sin sin sin
5
I x xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( ) ( )
( )
2 2
1 3sin cos 1 3sin sinI x xdx x d x= − = −
∫ ∫
( )
2 3
sin 3sin sin sind x xdx x x C
= − = − +
∫ ∫
•
( )
3 2 2
cos cos .cos 1 sin .cosI xdx x xdx x xdx= = = −
∫ ∫ ∫
( )
( )
2 3
1
1 sin sin sin sin
3
x d x x x C= − = − +
∫
•

( )
( )
3 2 2 3
1
sin sin .sin 1 cos cos cos cos
3
I xdx x xdx x d x x x C= = = − − = − +
∫ ∫ ∫
•
2
1 cos2 1 1 1 1
sin cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
1 cos2 1 1 1 1
cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
+
= = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2

1 cos4 1 1 1
sin 2 cos4 sin4
2 2 2 2 8
x x
I xdx dx dx xdx x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
6
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
2
1 cos4 1 1 1
cos 2 cos4 sin 4
2 2 2 2 8
x x
I xdx dx dx xdx x C
+
= = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2 2
2
2 2 2
sin 1 cos
tan tan
cos cos cos
x x dx
I xdx dx dx dx x x C

x x x
−
= = = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
•
2 2
2
2 2 2
cos 1 sin
cot cot
sin sin sin
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
x x x
−
= = = = − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
•
( )
( )
( )
( )
1
2 2
2
2 1
1 1
. 2 1
4 4 1 2 2

2 1 2 1
d x
dx dx
I x C
x x
x x
−
−
= = = = − − +
− +
− −
∫ ∫ ∫
•
( )
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I dx x x C
x x x x
−
+
= = = − +
− −
∫ ∫
•
( )
1

ln 1
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx
I e C
e e
+
= = = + +
+ +
∫ ∫
•
( )
ln
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e
I dx e e C
e e e e
−
−
−
− −
+

−
= = = + +
+ +
∫ ∫
•
( )
( )
2 2
2
ln 2
2 2
4 4
2
x
x x x
x
x x
x x
x
d e
e dx e dx e dx
I e C
e e
e e
e
+
= = = = = + +
+ +
+ +
+

∫ ∫ ∫ ∫
•
( )
( )
cos2 cos cos3
cos cos2 cos3
sin sin 2 sin3 sin 2 sin sin3
x x x
x x x
I dx dx
x x x x x x
+ +
+ +
= =
+ + + +
∫ ∫
cos2 2cos2 cos
sin 2 2sin 2 cos
x x x
dx
x x x
+
=
+
∫
( )
( )
cos2 1 2cos
sin 2 1 2cos
x x

dx
x x
+
=
+
∫
( )
sin 2
cos2 1 1
ln sin 2
sin 2 2 sin2 2
d x
x
dx x C
x x
= = = +
∫ ∫
Ví dụ 3.
Ví dụ 4 . Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý:
( )
( )
2
2
tan 1 tan
cos
dx
d x x dx
x
= = +

Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
7
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
( ) ( )
3 3 2
1
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x x dx
 
= = + − = + −
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
sin
tan tan 1 tan tan tan
cos
x
x x dx xdx xd x dx
x
= + − = −
∫ ∫ ∫ ∫
2
1
tan ln cos
2
x x C= + +
•
( ) ( )

4 4 2 2 2 2 2
2
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x dx xdx= = + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 3
1
tan tan tan tan tan
3
xd x x x C x x x C= − − + = − + +
∫
•
( )
5 5 3 3
3
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
= = + − − +
∫ ∫
( ) ( )
3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 4 2
1 1
tan tan tan tan tan tan tan ln cos
4 2
xd x xd x xdx x x x C= − + = − − +
∫ ∫ ∫
•

( )
6 6 4 4 2 2
4
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
= = + − − +
∫ ∫
( ) ( )
4 2 2 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4 2 2
tan tan tan tan tanxd x xd x xdx
= − +
∫ ∫ ∫
5 3
1 1
tan tan tan
5 3
x x x x C= − + − +
•
( )
7 7 5 5 3 3
5
tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x x x dx= = + − − + + −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
5 2 3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tanx dx x dx x dx xdx
= + − + + + −

∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
5 3
tan tan tan tan tan tan tanxd x xd x xd x xdx= − + −
∫ ∫ ∫ ∫
6 4 2
1 1 1
tan tan tan ln cos
6 4 2
x x x x C= − + + +
Bài tập tương tự
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x

x +
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3

.3 f(x) =
2
1
x
x −
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −
ĐS. F(x) =
C
x
x

x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
8
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
6. f(x) =

3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
32

7. f(x) =
x
x
2
)1( −
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x −
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
3
5
9. f(x) =
2

sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx ++ 2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin

2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx +
C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2

x
e
x−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+13
3
1

Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
pp
- Đặt giá trị thích hợp bằng U(x)=t
- Lấy vi phân 2 vế
-Tính nguyên hàm với ẩn t
-Trả lại ẩn cũ
1.
( )
ax b dx+
∫
Đặt
t ax b= +

2.
1
.
n n
x x dx
+
∫
Đặt
1n
t x
+
=
3.
( )
.
2
dx

f x
x
∫
Đặt
t x=
4.
( )
sin cosf x xdx
∫
Đặt
sint x=
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
9
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
5.
( )
cos sinf x xdx
∫
Đặt
cost x=
6.
( )
2
tan
cos
dx
f x
x
∫
Đặt

tant x=
7.
( )
2
cot
sin
dx
f x
x
∫
Đặt
cott x=
8.
( )
.
x x
f e e dx
∫
Đặt
x
t e=
9.
( )
ln
dx
f x
x
∫
Đặt
lnt x=

10.
1 1
.f x x dx
x x
   
± ±
 ÷ ÷
   
∫
Đặt
1
t x
x
= ±

11.
( )
2
0
dx
I a
x a
= ≠
+
∫
Đặt
2
t x x a= + +
Ngoài ra có một số cách đặt ở nguyên hàm chứa căn
Một số cách đặt thường gặp :

(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
.cos
0
sin
x a t
t
x a t
π
=

≤ ≤

=

(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22

tan.
ππ
<<−= ttax
(
)
dxaxxS
∫
−
22
,
đặt
cos
,
2
sin
a
x
t
t k t k
a
x
t
π
π π

=

≠ + ≠



=


(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
đặt
( )






>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax

ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t
m

Bài tập
Bài 1. Tính tích phân bất định sau :
( )
8

2 2
2 3I x x dx= −
∫
Giải
Đặt :
( ) ( )
8
2 2 2 8 8 9
2
6
2 1
2 3 2 3 2
2
3 3
3
dt xdx
t
t x x x t t t
t
x
= −

−

 
= − ⇒ ⇔ − = = −
−

 ÷
=

 


.
Vậy :
( )
( )
( ) ( )
8 9 10
2 2 8 9 9 10 2 2
1 2 1 2 1
2 3 2 2 3 2 3
3 27 30 27 30
I x x dx t dt t dt t t C x x C= − = − = − + = − − − +
∫ ∫ ∫
Bài 2 : Tính tích phân bất định :
3
1
x dx
x−
∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
10
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Giải
Đặt : t=
( )
( )
( )
3

2
2
2
2 4 6
1 2
1
1 2 1 2 3
2
1
t tdt
x t
x dx
x t t t dt
t
dx tdt
x
− −

= −
− ⇒ ⇔ = = − − + −

= −
−

.
Vậy :
( )
3
2 4 6 3 5 7
4 6 2

2 4 6 2 2
3 5 7
1
x dx
t t t dt t t t t C
x
= − + − + = − + − + +
−
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 3
4 6 2
2 1 1 1 1 1 1 1
3 5 7
x x x x x x x C= − − + − − − − − + − − +
Bài 3: Tính tích phân bất định :
( )
2
5 2
3
1 2x x dx−
∫
Giải
Đặt : t=
( ) ( )
3
2 3 2 2 2
3
1 3
1 2 1 2 2

2 2
t
x t x x xdx t dt
−
− ⇒ = − ↔ = → = −
Do đó :
( ) ( )
3
2
5 2 2 2 7 4
3
1 3 3
1 2 .
2 4 8
t
x x dx t t dt t t dt
−
 
− = − = −
 ÷
 
Vậy :
( ) ( ) ( )
2
5 2 7 4 8 5 6 3 2
3
3 3 1 1 3
1 2 5 8
8 8 8 5 320
x x dx t t dt t t t t t C

 
− = − = − = − +
 ÷
 
∫ ∫
=
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3
3
5 1 2 8 1 2 1 2
320
x x x C
 
− − − − +
 
 
Bài 4: Tính tích phân bất định :
3
sin osxI x c dx=
∫
.
Giải
Đặt : t=
2
osx osx 2tdt=-sinxdxc t c↔ = ⇒
.
Do đó :
( ) ( ) ( )

3 2 4 6 2
sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt= − − = −
.
Vậy :
( )
3 6 2 7 3 3
2 2 2 1
sin osx 2 os osx osx osx+C
7 3 7 2
I x c dx t t dt t t C c x c c c= = − = − + = −
∫ ∫
Bài 5: Tính tích phân bất định :
3
2
osx.sin
1 sin
c x
I dx
x
=
+
∫
Giải
Đặt :
2
2
sin 1
1 sin
2sin cos
x t

t x
x xdx dt

= −
= + ⇒

=

Suy ra :
( )
3 2
2 2
1
osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1
1
1 sin 2 1 sin 2 2
t dt
c x x x c
dx dt
x x t t
−
 
= = = −
 ÷
+ +
 
.
Vậy :
( )
( )

3
2 2
2
osx.sin 1 1 1 1
1 ln 1 sin ln 1 sin
1 sin 2 2 2
c x
I dx dt t t C x x C
x t
 
 
= = − = − + = + − + +
 ÷
 
+
 
∫ ∫
Bài 6: Tính tích phân bất định :
2
8
os
sin
c x
I dx
x
=
∫
Giải
Vì :
( ) ( ) ( )

2
2 2 2 2 2 2
2
8 8 8
os os sin 1 sin 1 sin sin
os
sin sin sin
c x c x x x x x
c x
x x x
+ − + −
= = =
Đặt : t =
2
2 2
2
1
sin
cot
1
1 cot 1
sin
dt dx
x
x
x t
x

= −



⇒


= + = +


Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
11
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Suy ra :
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2
8 6 2
os 1 1
cot cot 1 cot . 1
sin sin sin
c x
dx x dx x x dx t t dt
x x x
   
= = + = − +
 ÷
 
   
Vậy :
( )
2

2 4 6 3 5 7
8
os 1 2 1
2
sin 3 5 7
c x
I dx t t t dt t t t C
x
 
= = − + + = − + + +
 ÷
 
∫ ∫
. Thay : t= cotx vào .
Bài 7 : Tính tích phân bất định :
( )
2
0
dx
I a
x a
= ≠
+
∫
Giải
Đặt :
( )
2
2
2 2 2 2

1
x x a dx
x tdx dt dx
t x x a dt dx
t
x a x a x a x a
+ +
= + + ↔ = + = = ⇒ =
+ + + +
Vậy :
2
2
ln ln
dx dt
I t C x x a C
t
x a
= = = + = + + +
+
∫ ∫
Bài 8:
Gải
Bài 9:
Giải
Đs:
Bài 10:
Tính tích phân
2004 2003
1.I x x dx= +
∫

Giải:
Đặt
2004 2003 2003
1
1 2004
2004
t x dt x dx x dx dt= + ⇒ = ⇒ =
.
Đs
( )
3
3 2004
1 1
1
3006 3006
t C x C= + = + +
Bài 11:
Tính tích phân
1 1
.
x x
e x e x
I e dx e e dx
+ + +
= =
∫ ∫
Gải:
Đặt
x x
e t e dx dt= ⇒ =

. Thay vào ta được:
( )
1 1 1 1
1
x
t t t e
L e dt e d t e C e C
+ + + +
= = + = + = +
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
12
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Bài 12:
Tính tích phân
2
2 ln xx
I e dx
+
=
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2 ln 2
. .
x x x
M e e dx e xdx= =
∫ ∫
Đặt

2
2 4
4
dt
x t xdx dt xdx= ⇒ = ⇒ =
Ta được
2
2
1 1
4 4 4
t t x
dt
M e e C e C= = + = +
∫
Bài 13:
Tính tích phân
10
1
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt
10 9
10
1 1 10x t x t dx t dt+ = ⇒ + = ⇒ =
.

Đs
( ) ( )
19 9
10 10
10 10
1 1
19 9
x x C= + + − + +
Bài 14:
Tính tích phân
( )
10
2
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt
1 x t dx dt− = ⇒ = −
. Từ đó ta được:
Đs:
( ) ( ) ( )
11 12 13
11 12 13
1 1 1 1 1 1
1 1 1
11 6 13 11 6 13
t t t C x x x C= − + − + = − − + − − − +
Bài 15:
Gải
Đs

Bài 16. Tính tích phân bất định
a/
( )
3
2
1
dx
x−
∫
b/
2
2 3
dx
x x+ +
∫
Giải
a/ Đặt : x=sint ; t
; ostdt
2 2
dx c
π π
 
∈ − ⇒ =
 ÷
 
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
13
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Suy ra :
( ) ( )

( )
3 2
3 3
2 2
ostdt ostdt
tan
cos os
1 1-sin
dx c c dt
d t
t c t
x t
= = = =
−
.
Khi đó :
( )
( )
3 2 2
2
sin
tan tan
1 sin 1
1
dx t x
d t t C C
t x
x
= = + = = +
− −

−
∫ ∫
b/ Vì :
( )
( )
2
2
2
2 3 1 2x x x+ + = + +
, nên
Đặt :
2
1
1 2 tan ; ; 2. ;tan
2 2 os
2
dt x
x t t dx t
c t
π π
+
 
+ = ∈ − ⇒ = =
 ÷
 
Suy ra :
( )
( )
( )
2

2 2
2 2
2
1 ostdt
.
1-sin
2 ost 2
2 3
2 tan 1 . os
1 2
dx dx dt dt c
t
c
x x
t c t
x
= = = =
+ +
+
+ +
1 ostdt ostdt
.
sint-1 sint+1
2 2
c c
 
= − −
 ÷
 
.

Khi đó :
2
1 ostdt ostdt 1 sin 1
ln
sint-1 sint+1 sin 1
2 2 2 2
2 3
dx c c t
C
t
x x
−
 
= − − = − +
 ÷
+
 
+ +
∫ ∫
(*)
Từ :
( )
2
2
2 2
2 2
1
1 sin 2
tan tan sin 1
1 sin 2 2 3

2
x
x t
t t t
t x x
+
+
= ⇔ = = ⇒ = −
− + +
. Ta tìm được sint , thay vào
(*) ta tính được I .
Bài 17: Tính tích phân bất định :
2
2
1
x dx
I
x
=
−
∫
.
Giải
Đặt
2
1 2cos2
; 0;
sin 2 4 sin 2
tdt
x t dx

t t
π
 
= ∈ ⇒ = −
 ÷
 
.
Do đó :
( )
2 2
2
2 3 3 3
2
2
2
2 sin os
1 2cos 2 2
sin 2 sin 2 8sin cos
1
1
sin 2 . 1
sin 2
t c t dt
x dx tdt dt
t t t t
x
t
t
+
 

= − = − = −
 ÷
 
−
−
=
2 2 2
1 1 1 2 1
cot . tan . .
4 sin os tan os
t t dt
t c t t c t
 
− + +
 ÷
 
Vậy :
2 2
1 2 1 1 1
cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan
4 tan 4 2 2
I I t d t t d t d t t t t C
t
   
= = − − + + = − − + + +
 ÷  ÷
   
∫
2 2
1 1

1 ln 1
2 2
x x x x C= − − − − +
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Ta có :
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
x x x dx dx
x I x dx J K
x x x x x
− +
= = − + ⇒ = = − + = +
− − − − −
∫ ∫ ∫
Với : J
( )
2
2 2 2
2
1 1 1
1
x
x dx x x dx x x I a
x
= − = − − = − −

−
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
14
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Tích phân :
2 2 2
2
ln 1 1 ln 1
1
dx
K x x I x x I x x
x
= = + − ⇒ = − − + + −
−
∫
2 2 2 2
1 1
2 1 ln 1 1 ln 1
2 2
I x x x x I x x x x C⇔ = − + + − ⇒ = − + + − +
Bài 18. Tính tích phân bất định :
( )
3
2
1
dx
I
x
=

+
∫
Giải
Đặt :
2
tan ; ;
2 2 os
dt
x t t dx
c t
π π
 
= ∈ − → =
 ÷
 
Suy ra :
( ) ( )
2
3 3
2 2
1
. ostdt
os
1 1 tan
dx dt
c
c t
x t
= =
+ +

.
Khi đó :
( )
3 2
2
ostdt sin
1
1
dx x
I c t C C
x
x
= = = + = +
+
+
∫ ∫

Chú ý : Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :
2 2
2
2
1
ost= ;sin
1+x 1
; ost>0 cos ost;sint=tant.cost=
2 2
1
x
c t
x

x
t c t c
x
π π

=

+


 

∈ − ⇒ ↔ =
 ÷

 
+

Bài 19. Tính tích phân
( )
∫
++
=
3
2
74xx
dx
I
Giải
( ) ( )

∫∫
+=
+
=
++
2
3
2
3
2
374
xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu

udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
1

3
1
sin
3
1
22
Bài 20.Tính nguyên hàma)
∫
++
=
1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
Giải
a)
∫∫∫
+
=
+

−
=
+






+
=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x

xdx
xx
xdx
(
)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+






+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1

ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
15
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ
b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=

( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x

+
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số
1)
6 7
(sin 5 )
x
x e dx
+
+
ò
= 1)
6 7
1 1
cos 5
5 6
x
x e c
+

- + +

( )
8
2) 7 3x dx-
ò
=2)
( )
9
7 3
27
x-
-
+c
2
3) 3 7 3x x dx-
ò
=3)
2 3
1
(7 3 )
3
x c- - +

4) 1x xdx-
ò
=
3 5
2 2
(1 ) (1 )

3 5
x x c- - + - +
3
4
5)
1
x
dx
x +
ò
=
4
1
ln( 1)
4
x c+ +

2 3
6) cos sinx xdx
ò
=
5 3
cos cos
5 3
x x
c- +
( )
3
2 ln 3
7)

x
dx
x
+
ò
=
4
1
(2 ln 3)
8
x c+ +

3
8)
1 3
x
dx
x-
ò
=
2 5
3 3
1 1
(1 3 ) (1 3 )
6 15
x x c- - + - +
2
2 1
9)
1

x
dx
x x
+
+ +
ò
=
2
ln 1x x c+ + +
10)
1 ln x
dx
x
+
ò
=
( )
3
2
1 ln
3
x c+ +
2
sin 2
11)
1 sin
x
dx
x+
ò

=
2
2 1 sin x c+ +

3 2
12) 1x x dx+
ò
=
( ) ( )
5 3
2 2
1 1
5 3
x x
c
+ +
- +
Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số
1.
∫
− dxx )15(
2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫

− 25
4.
∫
−12x
dx
5.
∫
+ xdxx
72
)12(
6.
∫
+ dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫

+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫

xdxx cossin
4
14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.

∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
21.
∫
− 3
x
x
e
dxe
22.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
− dxx .1
2
24.
∫
−

2
4 x
dx
25.
∫
− dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx
27.
∫
−
2
2
1 x
dxx
28.
∫
++ 1
2
xx
dx
29.
∫
xdxx
23

sincos
30.
dxxx .1
∫
−
31.
∫
+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫
+
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
16
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Dạng 4: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
pp:
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả
sử cần tính
( ) ( )
1 2
.I f x f x dx=
∫
, ta làm như sau:
Đặt
( )

( )
1
2


u f x
du
v
dv f x dx
=
=


⇒
 
=
=



Từ đó
I uv vdu
= −
∫
Dấu hiệu:
( )
x
P x e dx
∫
( )lnP x xdx

∫
( )cosP x xdx
∫
cos
x
e xdx
∫
u P(x) lnx P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx cosxdx cosxdx
Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân
sin2I x xdx=
∫
Giải:
Đặt
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=


=


⇒
 
=
= −



1 1 1 1
cos2 cos2 cos2 sin 2
2 2 2 4
I x x xdx x x x C⇒ = − + = − + +
∫
Bài 2: Tính tích phân
2 2x
I x e dx
=
∫
Giải:
Đặt
2
2
2
2
1
2
x
x

du xdx
u x
v e
dv e dx
=


=
 
⇒
 
=
=




2 2 2 2 2
1
1 1
2 2
x x x
I x e xe dx x e I⇒ = − = −
∫
Tính
2
1
x
I xe dx=
∫

Đặt
2 2 2 2
1
2
2
1 1 1 1
1
2 2 2 4
2
x x x x
x
x
du dx
u x
I xe e dx xe e C
v e
dv e dx
=

=


⇒ ⇒ = − = − +
 
=
=



∫

Từ đó:
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 1
1 1 1
2 2 4 4
x
x x x
x x e
I x e xe e C C
− +
= − + + = +
Bài 3: Tính tích phân
2 2
1
1 cos4 1 1 1
cos 2 . cos4
2 2 2 4
x
I x xdx x dx xdx x xdx x I
+
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
17
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Tính
1
1

cos4
2
I x xdx=
∫
. Đặt
1
1
2
2
1
cos4
sin 4
4
du dx
u x
dv xdx
v x

=


=
 
⇒
 
 
=
=




1
1 1 1 1
sin 4 sin 4 sin 4 cos4
8 8 8 32
I x x xdx x x x C⇒ = − = + +
∫
Từ đó:
2
1 1 1
sin 4 cos4
4 8 32
I x x x x C= + + +
Bài 4: Tính tích phân
( )
2
2 1
x
I x x e dx= + +
∫
Giải:
Đặt:
( )
( )
( )
2
2
4 1
2 1
2 1 4 1

x x
x
x
du x dx
u x x
I x x e x e dx
dv e dx
v e
 = +

= + +
 
⇒ ⇒ = + + − +
 
=
=




∫
Tính
( )
1
4 1
x
I x e dx= +
∫
. Đặt
4 1 4

x x
u x du dx
dv e dx v e
= + =
 
⇒
 
= =
 
( ) ( ) ( )
1
4 1 4 4 1 4 4 3
x x x x x
I x e e dx x e e C x e C⇒ = + − = + − + = − +
∫
( )
( )
( )
2 2
2 1 4 3 2 3 4
x x x
I x x e x e C x x e C
⇒ = + + − − + = − + +
Bài 5: Tính tích phân
2
cos3
x
I e xdx=
∫
Giải:

Đặt
2
2
2
1
cos3
sin3
3
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
=



2 2 2
1
1 2 1 2
sin3 sin3 sin3

3 3 3 3
x x x
I e x e xdx e x I⇒ = − = −
∫
Đặt
2
2
2
1
sin3
cos3
3
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
= −




2 2 2
1
1 2 1 2
cos3 cos3 cos3
3 3 3 3
x x x
I e x e x e x M⇒ = − + = − +
∫
Từ đó:
2 2 2 2
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
sin3 sin3 sin3 cos3
3 3 3 3 3 3 3 3
x x x x
I e x M e x I e x e x I
 
= − = − = − − +
 ÷
 
2 2 2 2
1
1 2 4 13 1 2
sin3 cos3 sin3 cos3
3 9 9 9 3 9
x x x x
e x e x I I e x e x C= + − ⇒ = + +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
18
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ

( )
2
3sin3 2cos3
13
x
x x e
I C
+
⇒ = +
Bài 6: Tính tích phân
(
)
2
2
ln 1
1
x x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
Giải:
Đặt
(
)
2
2
2

2
ln 1
1
1
1
dx
u x x
du
x
x
dv dx
v x
x


= + +
=



+
⇒
 
=
 
= +


+


.
Ta được
(
)
2 2
1ln 1I x x x x C= + + + − +
Bài 7: Tính tích phân
(
)
2 2
ln 1I x x dx= + +
∫
Giải:
Đặt:
(
)
(
)
2
2 2
2
2ln 1 .
ln 1
1
dx
du x x
u x x
x
dv dx
v x



= + +
= + +
 
⇒
+
 
 
=

=


(
)
(
)
2 2 2
2
.ln 1 2 ln 1 .
1
xdx
I x x x x x
x
⇒ = + + − + +
+
∫

(
)
(
)
2 2 2 2
ln 1 2 1.ln 1 2x x x x x x x C= + + − + + + + +
Bài 8:Tính tích phân
2
ln x
I dx
x
 
=
 ÷
 
∫
.
Giải:
Ta có
2
2
ln x
I dx
x
=
∫
.
Đặt
2
2

2ln .
ln
1
dx
du x
u x
x
dx
dv
v
x
x


=
=

 
⇒
 
=
 
= −



.
Ta được
1 1
lnI x C

x x
= − − +
Bài 9: Tính tích phân
1 2
2 2
1 1
ln ln ln ln
dx dx
I dx I I
x x x x
 
= − = − = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
.
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
19
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Tính
1
I
. Đặt
2
1
ln ln
dx
u du
x x x
dv dx v x

 
= = −
 
⇒
 
 
= =
 
.
Từ đó
1 2
ln
x
I I
x
= +
. Từ đó
ln
x
I C
x
= +
•
2 2
sin
x
I e xdx=
∫
(Đs:
( )

2
1 1
1 sin 2 os2x
4 2
x
e x c C
 
= − + +
 ÷
 
)
PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 10: Tính tích phân
sinI xdx=
∫
Giải
Đặt
( )
2
2 sin . 2 2 sinx t x t dx tdt I t tdt t tdt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
∫ ∫
Đặt
2 2
2 cos 2 cos 2 cos 2sin
sin cos
u t du dt
I t t tdt t t t C
dv tdt v t
= =

 
⇒ ⇒ = − + = − + +
 
= = −
 
∫
Vậy
2sin 2 cosI x x x C= − +
Bài 11: Tính tích phân
( )
sin lnI x dx=
∫
.
Giải
Đặt
ln
t
dx
dt dx xdt
t x
x
x e

= ⇒ =

= ⇒


=


Từ đó
( ) ( )
sin ln cos ln
sin
2
t
x x x
I e tdt C
−
 
 
= = +
∫
Bài 12: Tính tích phân
3
8 x
I x e dx=
∫
.
Giải
Đặt
2
3
6 2
3x dx dt
x t
x t

=


= ⇒

=


.
Từ đó
( )
3
2 6 3
1 1
2 2
3 3
t x
I t e dt x x e C= = − + +
∫
Bài 13 Tính tích phân
x
I e dx=
∫
.
Giải
Đặt
2
2 2 2 2
t x x
x t x t dx tdt I te dt xe e C= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − +
∫
Bài tập tương tư
Bài 1:

2
lnI x xdx
=
∫
ĐS:
3 3
1 1
ln
3 9
I x x x C= − +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
20
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ơn thi ĐHCĐ
Bài 2:
3
lnI x xdx
=
∫
ĐS:
4 4
1 1
ln
4 16
I x x x C= − +
Bài 3:
( ) ( )
2 2 3 2
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1
3 9 6 3 3

I x x dx x x x x x x C= + = + − + − + + +
∫
•
2 2
sin
x
I e xdx=
∫
(Đs:
( )
2
1 1
1 sin 2 os2x
4 2
x
e x c C
 
= − + +
 ÷
 
)
Bài 4:
Bài 5
Bài 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
1) .
x
x e dx
ò
= e
x

(x–1) + c
2) . cos(2 3)x x dx-
ò
=
1 1
sin(2 3) cos(2 3)
2 4
x x x c- + - +
3) ln xdx
ò
= x(lnx–1)+c
4) x s inxdx
ò
=– xcosx + sinx + c
5) xlnxdx
ò
=
2 2
1 1
ln
2 4
x x x c- +

6) sin
x
e xdx
ò
=
1
(sin cos )

2
x
e x x c- +
3
7) lnx xdx
ò
=
4 4
ln
4 16
x x
x c- +
8)
(2x 1)
x
e x+
ò
=
(2 1)
x
x e c- +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
21
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
DẠNG 4: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG NGUYÊN HÀM PHỤ
PP:
Giả sử cần tính
( )
I f x dx=
∫

. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ
( )
J g x dx=
∫
sao cho việc
tính
I J+
và
I J−
đơn giản hơn.
Bài 1: Tính nguyên hàm
sin
sin cos
x
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có thể xét
cos
sin cos
x
J dx
x x
=
+
∫
Khi đó:

sin cos
sin cos
x x
I J dx dx x C
x x
+
+ = = = +
+
∫ ∫
( )
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I J dx x x C
x x x x
+
−
− = = − = − + +
+ +
∫ ∫
Từ đó suy ra:
( )
1
2 ln sin cos ln sin cos
2
I x x x C I x x x C= − + + ⇒ = − + +
Bài 2: Tính nguyên hàm

4
4 4
cos
sin cos
x
I dx
x x
=
+
∫
Giải
Ta có thể xét
4
4 4
sin
sin cos
x
J dx
x x
=
+
∫
Khi đó:
4 4
4 4
sin cos
sin cos
x x
I J dx dx x C
x x

+
+ = = = +
+
∫ ∫
4 4
4 4 2
2
cos sin cos2 2cos2
1
sin cos sin 2 2
1 sin 2
2
x x x x
I J dx dx dx
x x x
x
−
− = = = −
+ −
−
∫ ∫ ∫

( )
( )
2
2
sin 2
1 sin2 2
ln
2 2 sin 2 2

sin 2 2
d x
x
C
x
x
−
= − = − +
+
−
∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
22
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Từ đó suy ra:
1 sin2 2 1 1 sin 2 2
2 ln ln
2
2 2 sin 2 2 4 2 sin2 2
x x
I x C I x C
x x
− −
= − + ⇒ = − +
+ +
Bài 3: Tính nguyên hàm
x
x x
e
I dx

e e
−
=
+
∫
Giải
Ta có thể xét
x
x x
e
J dx
e e
−
−
=
+
∫
Khi đó:
x x
x x
e e
I J dx dx x C
e e
−
−
+
+ = = = +
+
∫ ∫
( )

ln
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e
I J dx e e C
e e e e
−
−
−
− −
+
−
− = = = + +
+ +
∫ ∫
Từ đó suy ra:
1 1
2 ln ln
2 2
x x x x
I x e e C I x e e C
− −
= + + + ⇒ = + + +
Bài 4: Tính nguyên hàm
( )
3
4sin

sin cos
x
I dx
x x
=
+
∫
Giải
Ta có thể xét
( )
3
4cos
sin cos
x
J dx
x x
=
+
∫
Khi đó:
( ) ( )
3 2 2
sin cos
4 4 4
sin cos sin cos
2 sin
4
x x dx dx
I J dx
x x x x

x
+
+ = = =
+ +
 π 
 
+
 ÷
 
 
 
∫ ∫ ∫

2
4
2 2cot
4
sin
4
d x
x C
x
π
 
+
 ÷
π
 
 
= = − + +

 ÷
π
 
 
+
 ÷
 
∫
( )
( )
( )
( )
2
3 3
sin cos
sin cos
4 4 2 sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I J dx x x C
x x x x
−
+
−
− = = − = + +
+ +
∫ ∫
Từ đó suy ra:
( )

( )
2
2
1
2 2cot 2 sin cos cot
4 4
sin cos
I x x x C I x C
x x
−
π π
   
= − + + + + ⇒ = − + +
 ÷  ÷
   
+
Bài tập tương tự
Bài 1:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
23
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Đs:
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HỮU TỶ
Loại 1: Nguyên hàm dạng
1
( )( )
I dx
x a x b
=
− −

∫
pp: Ta đưa về dạng tổng
Bài 1: Tìm nguyên hàm sau
1
2
1
1
A dx
x
=
−
∫
Giải
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 1
1
x x
x x x x
x
 
+ − −
 
= = −
 
 ÷

− + − +
 
−
 
Như vậy
( )
1
2
1 1 1 1 1 1 1
x ln 1 ln 1 ln
2 1 1 2 2 1
1
x
A dx d x x C C
x x x
x
−
 
= = − = − − + + = +
 ÷
− + +
 
−
∫ ∫
Bài 2: Tìm nguyên hàm sau
2
2
1
2
A dx

x
=
−
∫
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 1 1
2 2
2
2 2 2 2
x x
A dx dx dx
x
x x x x
+ − −
= = =
−
− + − +
∫ ∫ ∫
1 1 1 1 2
ln
2 2 2 2 2 2 2
x
dx C
x x x

−
 
= − = +
 ÷
− + +
 
∫
Ta có thể tổng quát
( )
2 2
1 1
ln 0
2
x a
dx C a
x a
x a
−
= + >
+
−
∫
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau
3
2
9 14
dx
A
x x
=

− +
∫

Gải
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 7
1 1 1 1 1 7
ln
7 2 5 7 2 5 7 2 5 2
x x
dx x
A dx dx C
x x x x x x x
− − −
−
 
= = = − = +
 ÷
− − − − − − −
 
∫ ∫ ∫
Bài 4: Tìm nguyên hàm sau
( ) ( )
4
3 2 2 3
dx
A

x x
=
− −
∫

Giải
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
3 2 2 3
1 1 2 3
3 2 2 3 2 3
2 3
3 2 5 2 3 3 25
x x
dx
A dx dx
x x x x x x
− − −
 
= = = −
 ÷
− − − − − −
 
∫ ∫ ∫
1 2 3
ln
5 3 2
x

C
x
−
= +
−
Bài 5 Tìm nguyên hàm sau
5
2
2 5 2
dx
A
x x
=
− +
∫

Giải:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
24
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
( )
( )
( )
5
1
2
1 2 1 1 1
2
.
1

1 1
2 3 3 2
2 2 2
2
2 2
x x
dx
A dx dx
x
x
x x x x
 
 
 
− − −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
= = = −
 ÷
−
   
 ÷
 ÷
−
− − − −
 ÷  ÷
 ÷

 
   
 
∫ ∫ ∫
1 2
ln
1
3
2
x
C
x
−
= +
−
Loại 2: Nguyên hàm có dạng
2 2
1
I dx
u a
=
+
∫
pp:
( )
( )
( )
( )
2
2

2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1
tan 1 tan
1 1 1
os
. . 1 tan
.
1 tan
tan 1 tan
u t du dt t dt
c t
I du t dt
u k k
t
u k k t k k t

= → = = +

⇒ = = +

+
+

+ = + = +

∫ ∫
Bài 1: . Hãy tính các tích phân sau :

a.
2
1
1
dx
x x+ +
∫
b.
2
1
2 3
dx
x x+ +
∫
GIẢI
a.
2
2
2
1 1
1
1 3
4 2
dx dx
x x
x
=
+ +
 
 

− +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
. Đặt :
( )
2
1 3 3
tan 1 tan
4 2 2
x t dx t dt
 
− = → = +
 ÷
 
.
( )
( )
2
2
2
1 1 3 3
. 1 tan
3 3
1 4 4
1 tan
4 4
dx t dt dt t C

x x
t
⇒ = + = = +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
.
Với :
1 3 2 3
tan arctan
4 2 4x-1
x t t
 
 
− = ⇒ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b.
( )
( )
2
2
2
1 1
.
2 3
1 2

dx dx
x x
x
=
+ +
+ +
∫ ∫
Đặt :
( )
2
1 2 tan 2 1 tanx t dx t dt+ = ⇒ = +
.
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1
. 1 tan
2 3 2 2
2 tan 1
dx t dt dt t C
x x
t
⇒ = + = = +
+ +
+
∫ ∫ ∫
Với :
1 1

1 2 tan tan arctan
2 2
x x
x t t t
+ +
 
+ = ⇒ = ⇔ =
 ÷
 
Loại 3: Nguyên hàm có dạng
2
Ax+B
ax
I dx
bx c
=
+ +
∫
PP:
- Trường hợp mẫu số có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, ta biến đổi tử thành đạo hàm của mẫu
và cộng thêm một tích phân đơn giản
- Trường hợp mẫu có 2 nghiêm phân biệt
1 2
x x<
Ta biến đổi :
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2
Ax+B Ax+B 1

*
ax a x-x
M N
bx c x x a x x x x
 
= = +
 ÷
+ + − − −
 

Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
25