chuyen de gioi han

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực,
nếu
u
n
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí
hiệu:
( )
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
= → → ∞
→+∞
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là a hay (u
n
) dần tới a khi n dần
tới vô cực (
n → +∞
), nếu
( )
lim 0.

n
n
u a
→+∞
− =
Kí hiệu:
( )
n
lim hay u khi n + .
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
 Chú ý:
( ) ( )
lim lim
n n
n
u u
→+∞
=
.
2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
nn

+
= = ∈¢
b)
( )
lim 0
n
q =
với
1q <
.
c) Lim(u
n
)=c (c là hằng số) => Lim(u
n
)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
) có :
*
n
v n
n n
u w≤ ≤ ∀ ∈¥
và
( ) ( )

( )
n
lim lim lim u
n n
v w a a= = ⇒ =
.
b) Định lý 2: Nếu lim(u
n
)=a , lim(v
n
)=b thì:
( ) ( ) ( )
lim lim lim
n n n n
u v u v a b± = ± = ±
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
n n

u
u a
b
v v b
= = ≠ ∀ ∈ ≠¥
( ) ( )
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u
= = ≥ ≥
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
1.q <
1
lim lim
1
n
u
S
q
=
−
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực
( )
n
u → +∞
khi n dần tới vơ cực
( )

n → +∞

nếu u
n
lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
lim(u
n
)=
+∞
hay u
n

→ +∞
khi
n → +∞
.
b) Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
khi
n → +∞
nếu lim
( )
n
u− = +∞
.Ký hiệu:
lim(u
n
)=

−∞
hay u
n
→ −∞

khi
n → +∞
.
c) Định lý:
0
1
k
n
Limn khi k
Limq khi q
= +∞ >
= +∞ >
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
1
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
-
lim ; lim lim 0
n
n n
n
u
u a v thi
v
= = ∞ =
-

lim
n
u a=
;
lim 0
n
v =
Khi đó ta có
lim 0
lim 0
n
n
n
n
u
khi a
v
u
khi a
v
= +∞ >
= −∞ <
B. BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số dựa vào các định lí và các giới hạn cơ bản
Giới hạn của dãy số (u
n
) với
( )
( )
n

P n
u
Q n
=
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q hệ số cao nhất của P là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0
thì
chia tử số và mẫu số cho lũy thừa bậc cao nhất để đi đến kết quả :
( )
0
0
lim
n
a
u
b
=
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q thì chia tử và mẫu cho cho lũy thừa bậc cao nhất để
đi đến kết quả :lim(u
n
)=0.
o Nếu bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất để đi đến kết quả
lim(u
n
)=
∞

.
Giới hạn của dãy số dạng:
( )
( )
n
f n
u
g n
=
, f và g là các biển thức chứa căn.
o Chia tử và mẫu cho n
k
với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
VÍ DỤ.
1.
2
2
2 2
2
2
2
2
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 8
7 8
7 8 7

7
n n
n n
n n n
n n
n n
n n
n
+ +
+ +
+ +
= =
+ −
+ −
+ −
2.
2
2
2
1
1 4
1 4
1 4 1 4 5
lim lim lim
3 2 2
3 2 3 3
3
n n
n n
n

n
n
n
n n
+ +
+ +
+ + +
= = = =
−
−
−
3.
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
2 3 2 3
2 3
lim 2 3 lim lim
2 3 2 3
n n n n n n
n n n
n n n
n n n n n n

+ + − + + +
+ + −
+ + − = =
+ + + + + +
2
2
2
3
2
2 3 2 3 2
lim lim lim 1
1 1
2 3
2 3
2 3
1 1
1 1
n n
n
n n n
n
n n
n n
+
+ +
= = = = =
+ 
+ + +
+ + +
+ + +

 ÷
 
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
2
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
2
2 3n n n+ + +
là biểu thức liên hợp của
2
2 3n n n+ + −
4.
( )
1
1 1 1 1 1 2
1 .
1
2 4 8 2 3
1
2
n−
     
+ − + + − + + − + = =
 ÷  ÷  ÷
 
     
− −
 ÷
 
Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn có công bội

1
2
q = −
và số hạng đầu u
1
=1.
5.
3
3
3 2 3
2
2
2 3
3
2 1 2 1
1
2 1
lim lim lim
1 1 3
2 3
2 3
n n
n n
n n n
n n
n n
n n n
n
− +
− +

− +
= = = +∞
− +
− +
− +
.
6.
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3
3 3 3 3
3
3 3
2
2
3
3 3
3
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
+ − + + + +

+ − =
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2 2
3 3
3 3 3 3
3 3
2
2
lim lim
2 2. 2 2.
n n
n n
n n n n n n n n
+ −
+ −
= =
+ + + + + + + +
( )
2
2
3
3 3
3
2
lim 0

2 2.n n n n
= =
+ + + +
Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số dự vào giới hạn kẹp
pp: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{ }
0
\J x
. Khi đó:
{ }
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
\ :
lim
lim lim
x x
x x x x
x J x g x f x h x
f x L
g x h x L
→
→ →


∀ ∈ ≤ ≤

⇒ =

= =


VÍ DỤ.
Bài 1: Chứng minh:
2
4
sin
lim 0
1
x
x x
x
→+∞
=
+
Giải:
Ta luôn có:
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
sin
| |
1 1 1 1
x x x x x
f x f x

x x x x
= ≤ ⇒ − ≤ ≤
+ + + +
2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4 4
4 4
1 1
sin
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
1 1
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞
= = = = ⇒ = = ⇒ =
+ + + + +
+ +
Bài 2:
Chứng minh:
( )
1 cos
lim 0
n
n
n

−
=
Giải:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
3
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Ta có:
( )
1 cos
1
n
n
n n
−
≤
và
1
lim 0
n
=
nên
( )
1 cos
lim 0
n
n
n
−
=
C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1 tìm các giới hạn sau:
1.
2 1
lim
1
n
n
+
+
2.
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
− + +
− +
3.
3
3
4
lim
5 8
n
n n
+
+ +
4.

( ) ( )
( )
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
5.
2
1
lim
2
n
n
+
+
6.
2
4
lim
3 2
n
n n
+
− +
7.
( )

( )
3
2 1
lim
6 1
n n
n
+
+
8.
3
2
lim
1
n
n
+
+
9.
( )
( )
( )
2
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +

+
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1
lim
2 3
n
n
+
+
2.
2 1
lim
2 2
n
n
+
+ +

ds2
3.
1
lim
1
n
n
+
+
ds1

4.
2
lim
1
n
n n
−
+ +
(ds
0)
5.
3
3
2
lim
2
n n
n
+ +
+
d
s1
6.
3
3
2
1 1
lim
3 2
n

n
+ −
+ −
7.
2 3
3
2
1
lim
1 3
n n n n
n n
+ + +
+ +
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1.
( )
lim 1n n+ −
ds0
2.
(
)
2 2
lim 5 1n n n n+ + − −
ds3
3.
(
)
2 2
lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ − − − +

4.
(
)
2
lim 4n n n− −
(ds-2)
5.
(
)
2
lim 3n n− +
(ds0 )
6.
( )
lim 1n n+ +
7.
(
)
2 3
3
lim n n n− +
ds1/3
8.
( )
3 3
lim 1n n− +
ds0
9.
3
3

2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
10.
(
)
3 2 2
3
lim 3 1 4n n n n− + − +
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1.
1 4
lim
1 4
n
n
−
+
2.
1
2
3 4
lim
3 4
n n

n n
+
+
−
+
3.
3 4 5
lim
3 4 5
n n n
n n n
− +
+ −
4.
1
1
2 6 4
lim
3 6
n n n
n n
+
+
+ −
+
5.
2
2
3 4 1
lim

2
n
n n
n
− + +
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
4
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
1.
sin
lim
1
n
n
π
+
2.
2
sin10 cos10
lim
2
n n
n n
+
+
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1 3 5 (2 1)

lim
3 4
n
n
+ + + + +
+
ds1/3
2.
2
1 2 3
lim
3
n
n
+ + + +
−
ds1/2
3.
2 2 2 2
1 2 3
lim
( 1)( 2)
n
n n n
+ + + +
+ +
ds1/3
4.
1 1 1
lim

1.2 2.3 ( 1)n n
 
+ + +
 
+
 
ds1
5.
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
+ + +
 
− +
 
Bài 7 Tính các tổng sau:
1.
1 1
1
2 4
S = + + +
2.
1 1 1
1
3 9 27
S = − + − +
3.
2 3
1 0,1 (0,1) (0,1) S = + + + +

4.
2 3
2 0,3 (0,3) (0,3) S = + + + +
___________________________________________________________________________
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
5
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x)
có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n

∈
K và x
n

≠
a ,
*
n∀ ∈¥
mà lim(x
n
)=a đều có lim[f(x
n
)]=L.Kí hiệu:
( )
lim

x a
f x L
→
= 
 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Dạng 1: Tính giới hạn bằng định nghĩa
Bài 1: : Cho hàm số
2
6
( )f x
x
=
. Chứng minh rằng:
lim ( ) 0
x
f x
→−∞
=
và
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
=
.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên (-
∞

; 0) và trên (0; +
∞
).
Giả sử (
n
x
) là một dãy số bất kỳ,
n
x
< 0 và
n
x → − ∞
Ta có
2
6
lim ( ) lim 0
n
n
f x
x
= =
Vậy
2
6
lim ( ) lim 0
x x
f x
x
→−∞ →−∞
= =

Tương tự,
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
=
.
Dạng 2: Tính giới hạn ở dạng vô định
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
6
GV: NGUYN C KIấN CHUYấN ấ GII HN
Loi 1: Dng
o
o
Khi tỡm gii hn dng
( )
( )
0
lim
x x
P x
Q x

, vi
( ) ( )
0 0
lim lim 0
x x x x
P x Q x

= =
:
Vi P(x), Q(x) l nhng a thc nguyờn theo x thỡ ta chia c t P(x) v mu Q(x)
cho
0
x x
Nu P(x), Q(x) cha du cn thc theo x thỡ ta nhõn c t P(x) v mu Q(x) cho
lng liờn hip.
Vớ d: ( Baứi 4.57-tr-143-BTGT11-NC).
Tỡm caực giụựi haùn sau
Baứi giaỷi :
Vỡ , thỡ x+2<0 ,nờn
Vớ d 2 ( Bai 4.59-tr144-BTGT11-NC)
Vn lang- Hng H- Thỏi Bỡnh 01649802923
7
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
giải :
Loại 2: Dạng
∞
∞
• Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử u(x) và mẫu v(x)hoặc chia cả tử
và mẫu cho
m
x
(m là bậc cao nhất)
• Sử dụng kết quả:
1

lim 0
x
x
α
→∞
=
Ví dụ1. (Bai 32-tr159-GT11-NC)
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
8
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Bài giải
Ví dụ 2. (Bai 44-tr167-GT11NC)
Tìm caùc giôùi haïn sau
Bài giải
Ví dụ 3: Tính giới hạn
2
2
3 (2 1)
1.
(5 1)( 2 )
x
x x
lim
x x x
→−∞
−
− +
2
1
2.

1
x
x x
lim
x x
→+∞
+
+ +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
9
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
2
3 2
3 lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− +
−
;
2
2
2 3 1
4.
4 1 1
x
x x x
lim

x x
→±∞
+ + + +
+ + −

( 1)( 1)
5.
( 2)( 1)
x
x x x x
lim
x x
→+∞
+ − +
+ −
Bài giải
.
( )
( ) ( )
2
2
2
2
1
3 2
3 2 1
3 (2 1) 6
1. lim lim
1 2
(5 1)( 2 ) 5 1 2 5

5 1
x x
x
x
x x
x
lim
x x x x x
x x
→−∞ →−∞
→−∞
 
−
 ÷
−
−
 
= = =
− + − +   
− +
 ÷ ÷
  
2
2
2
1 1
1
2. 0
1 1
1

1
x x
x x
x x
lim lim
x x
x x
→+∞ →+∞
+
+
= =
+ +
+ +
2
3 3
1 2 1 2
3 2 1
3 lim lim lim
1
1
3 1 3
3
3
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x

x
→−∞ →−∞ →−∞
− + − − +
− +
= = =
−  
−
−
 ÷
 
2
2
2
2
1 2 1
4 0
1 3
2 3 1
4.
2
0
1 1
4 1 1
4 1
3
x x
khi x
x x
x x x
x x x

lim lim
khi
x x
x x
x x
→±∞ →±∞
 
>
+ + + +

 ÷
+ + + +
 

= =

− <
 
+ + −
+ + −

 ÷
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
3 2

2
3
2 3
1
1
( 1)( 1)
5.
( 2)( 1)
2 2
2 1
1 1
1
1 : ; ,
1 2 2
1
x x x
x
x x
x x
x x x x
lim lim lim
x x
x x x
x x
t t
lim khi t x khix t
t t t
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
 

+ −
+ −
 
+ − +
 
= =
+ −  
− + −
+ −
 
 
+ −
= = = → +∞ → ∞
− + −

Loại 3:
∞ − ∞
pp
Hoặc
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
10
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Ta nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp nếu u(x) hoặc v(x) chứa ẩn dưới căn. Hoặc
quy đồng đê đưa về cùng 1 phân thức
Ví dụ 1: Tính giới hạn
3
1. lim (2 3 )
x
x x
→+∞

−
2
2 lim 3 4
x
x x
→±∞
− +
2
3. ( )
x
lim x x x
→−∞
+ −
2
4. lim ( 3 2 )
x
x x x
→+∞
− + −
5. lim ( 2 2)
x
x x
→+∞
+ − −
2 2
6. ( 4 3 3 2)
x
lim x x x x
→±∞
− + − − +

Giải:
3 3
2
3
1. lim (2 3 ) lim 2
x x
x x x
x
→+∞ →+∞
 
− = − = +∞
 ÷
 
2
2
3 4
2. lim 3 4 lim 1
x x
khix
x x x
khix
x x
→±∞ →±∞
+∞ → +∞

− + = − + =

−∞ → −∞

2

2
1 1
3. ( ) 1 1 1 .0 ?
1
?
1
1 1
x x x
x x
lim x x x lim x x lim x
x x
x
lim lim
x x x
x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
   
+ − = + − = − + − = +∞
 ÷  ÷
   
⇔ = =
+ +
− + +
2
2
3 2
4. lim ( 3 2 ) lim 1
x x
x x x x do x x x

x x
→+∞ →+∞
 
− + − = − + = +∞ → +∞ ⇒ =
 ÷
 
4 4
5. lim ( 2 2) lim lim 0
2 2
2 2
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ − − = = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

2 2
2 2
2 2
1
6. ( 4 3 3 2)
4 3 3 2

1
1
1
2
1
4 3 3 2
1 1
2
x x
x
x
lim x x x x lim
x x x x
x
khi x
x
lim
khi x
x
x x x x
→±∞ →±∞
→±∞
− +
− + − − + =
− + + − +
 

− −
→ −∞
 ÷


 
= =

 

− → +∞
− + + − +
 ÷


 
Ví dụ 2: Tính giới hạn
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
11
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Giải
Ví dụ 3. ( Bàii 40-tr166-GT11-NC)1 Tính giới hạn
Giải :
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
12
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN

Loại 4: Chứa căn không cùng bậc
pp:
Chú ý : Đôi khi phải thêm bớt đại lượng h(x) chẳng hạn
Ví dụ 1 : Tính giới hạn
Giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn
Giải

Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
13
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Ví dụ 3. Tìm giói hạn
Giải
Ví dụ 4 : Tính giới hạn
Giải
Ví dụ 5 : Tính giới hạn
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
14
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Giaỉ :
Ta thêm bớt h(x)=1+x ,với h(0)=1.
Loại 5: Chứa căn không cùng bậc và bậc lớn hơn 3
pp: Đổi biên số đặt u=
Ví dụ 1:
• Ñaët :

• Ñaët :
• Vaäy :
Ví dụ 2 : Tính giới hạn
Giải:
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
15
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Loại 6: Giới hạn 1 bên
Ví dụ 1: Tính giới hạn
a)
2
2

2
lim
3 1
x
x x
x
−
→
−
+
b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→
−
c)
1
1
lim
1
x
x
x
+
→

−
−

d)
1
1
lim
1
x
x
x
−
→
−
−
e)
2 3
0
lim
2
x
x x
x
+
→
+
f)
2 3
0
2

lim
4
x
x
x x
±
→
+
g)
2
2
3 3
lim
2
x
x x
x
−
→
− +
−
h)
2
2
3 3
lim
2
x
x x
x

+
→
− +
−

i)
4
3
lim
4
x
x
x
±
→
−
−
j)
2
2
2
3 3
lim
2
x
x x
x x
−
→−
− +

+ −
k)
2
2
2
3 3
lim
2
x
x x
x x
+
→−
− +
+ −
l)
3
2
1
3 2
lim
5 4
x
x x
x x
−
→
− +
− +
g)

0
1
lim
x
x
x
x
±
→
 
−
 ÷
 

h)
2
1
2
lim
1
x
x x
x
+
→
+ −
−
i)
2
1 cos2

lim
2
x
x
x
π
π
+
→
+
−
Ví dụ 2: cho hàm số
( )
3
2
1
2 3 1
x khi x
f x
x khi x

< −

=

− ≥ −


. Tìm
( )

1
lim
x
f x
→−
Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1
lim lim 2 3 2. 1 3 1
x x
f x x
+ +
→ − → −
= − = − − = −
(1)
( )
( )
( )
3
1 1
lim lim 1
x x
f x x

− −
→ − → −
= = −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
1
lim 1
x
f x
→−
= −
Ví dụ 3: Cho hàm số :
( )
( )
( )
2
3 x 1
x+a
x>1
x
x x
f x

− + ≤

=




. Tìm a để hàm số có giới hạn khi
x dần tới 1 và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có :
( )
( )
2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x
− −
→ →
= − + = 
 
.
( )
1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x
+ +
→ →
+
= = + 
 
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
16

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Vậy
( )
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a
→
= ⇔ + = ⇔ = 
 
Ví dụ 4: Cho hàm số
( )
1
khi 1
1
1
khi 1
1
x
x
f x
x
x

>


+
=


−

<

+

a.Tìm
( )
2
lim
x
f x
→
b. Tìm
( )
1
lim
x
f x
→
Giải:
a.
( )
2 2
1 1
lim lim
1 3
x x
f x
x

→ →
= =
+
b.
( )
1
lim
x
f x
→
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim ;lim lim lim lim
1 2 1 2
x x x x x x
f x f x f x f x
x x
+ + − − + −
→ → → → → →
−
= = = = − ⇒ ≠
+ +
suy ra
không tồn tại
( )
1
lim
x

f x
→
(Chú ý:
( )
0
lim
x x
f x
→
tồn tại khi và chỉ khi
( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x f x L
+ −
→ →
= =
thì
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
)
B. BÀI TẬP.
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
1.

2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
2.
( )
2
1
lim 3 1
x
x x
→
+ +
3.
2
3
9
lim
4
x
x
x
→

−
+
4.
2
2
2 9
lim
4
x
x
x
→+∞
−
+
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1.
2
lim
x
x
→
đs2
2.
( )
2
lim 3
x
x
→
+

đs5
3.
( )
2
2
lim 2 3 5
x
x x
→
− − +
đs-9
4.
( ) ( )
0
lim 3 2
x
x x
→
− +
đs-6
5.
1
5 2
lim
1
x
x
x
→
+

+
đs7/2
6.
2
2
3 1
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
đs3
7.
2
5 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− + −
+
đs2/3
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1.
( )

3
lim 2
x
x x
→+∞
+
đs
+∞
2.
( )
3
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
−∞
3.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+

đs5/2
4.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs5/2
5.
4 2
4
5 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs1/2
6.
4 2
4

5 1
lim
2 3
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs1/2
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
17
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
7.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
8.
2
3 1
lim
2 3

x
x
x
→−∞
+
+
đs0
9.
2
3
3 1
lim
2 5
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
10.
2
3
3 1
lim
2 5
x
x
x
→−∞

+
+
đs0
11.
2
2 2
lim
1
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs
+∞
12.
2
2 2
lim
1
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs
−∞
13.

2
lim 2
x
x x
→+∞
+
đs
+∞
14.
2
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
+∞
15.
2
4 1
lim
3 1
x
x
x
→±∞
+
−
đs
2

3
±
16.
4
2
3 5
lim
2 4 5
x
x x x
x x
→±∞
+ −
+ −
đs
1
2
17.
2
2
3 4
lim
4 1
x
x x
x x
→±∞
+ +
+ −
đs5 ,

-1
18.
2 2
9 1 4 2
lim
1
x
x x x
x
→±∞
+ − +
+

đs
1
±
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
1.
( )
2
3
5 2
lim
3
x
x
x
→
+
−

ds
+∞
2.
( )
2
3
2 3
lim
3
x
x
x
→
 
+
−
 
−
 
 
đs
−∞
3.
3
5 2
lim
3
x
x
x

−
→
+
−
đs
−∞
4.
3
5 2
lim
3
x
x
x
+
→
+
−
đs
+∞
5.
2
2
5 2
lim
2
x
x x
x
−

→
+ +
−
đs
−∞
6.
2
2
5 2
lim
2
x
x x
x
+
→
+ +
−
đs
+∞
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
( )
2
2 3 1 , 2
3 7 , 2
x x x
f x
x x


+ − ≥
=

+ <


Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
1
lim
x
f x
→
2.
( )
3
lim
x
f x
→
3.
( )
2
lim
x
f x
→
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :

( )
2
1 2 , 1
5 4 , 1
x x
f x
x x

− <
=

+ ≥


Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
0
lim
x
f x
→
2.
( )
3
lim
x
f x
→
3.

( )
1
lim
x
f x
→
Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng
0
0
)
1.
2
3
2 15
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
đs8
2.
2
2
1
2 3
lim
1

x
x x
x
→
+ −
−
đs2
3.
2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x x
→
− +
−
đs1/2
4.
2
2
2
3 2
lim
6
x
x x

x x
→
− +
+ −
đs1/5
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
18
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
5.
3 2
2
1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − +
− +
đs0
6.
4 4
lim
x a
x a
x a
→
−

−
đs4a
3
7.
( )
2
2
0
lim
h
x h x
h
→
+ −
đs2x
8.
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x
→−
− −
+ + +
đs-36/5
9.

5
3
1
1
lim
1
x
x
x
→−
+
+
đs5/3
10.
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−
đsm/n
11.
( )
6 5

2
1
4 5
lim
1
x
x x x
x
→
− +
−
đs10
Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng
0
0
)
1.
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs1/2
2.
2

3
1 2
lim
9
x
x
x
→
+ −
−
đs1/24
3.
2
1
2 3
lim
1
x
x
x
→
− +
−
đs-1/8
4.
2
2
4 1 3
lim
4

x
x
x
→
+ − −
−
đs1/6
5.
2
2
2 5 7
lim
2
x
x x
x x
→
+ − +
−
đs1/12
6.
3
2
4 2
lim
2
x
x
x
→−

+
+
đs1/3
Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng
0
0
)
1.
3
2
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs1/6
2.
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→

− +
+ −
đs9/8
3.
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
→
− −
đs1/9
4.
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x
→−
+
+ −
đs-2/3
5.

3
1
7 2
lim
1
x
x
x
→
+ −
−
đs1/2
6.
3
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
đs2/3
7.
3
0
1 1
lim

x
x x
x
→
+ − −
đs5/6
8.
0
1 4 3
lim
x
x x
x
→
+ + + −
9.
0
9 16 7
lim
x
x x
x
→
+ + + −
10.
( )
2
3
3
2

1
2 1
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
Bài 10:Tìm caùc giôùi haïn sau
1.
(
)
2
lim
x
x x x
→+∞
+ −
2.
(
)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
→+∞
− − − −
3.

(
)
2 2
lim 1 1
x
x x x x
→+∞
− + − + +
4.
(
)
3
3
lim 1
x
x x
→+∞
+ −
5.
lim
x→+∞
(
2
5x x x− +
) ( Ñs:-5/2)
6.
lim
x→−∞
(
2 2

1x x x− − +
)
(Ñs:1/2)
7.
(
)
2 3
3
lim . 1
x
x x x
→+∞
+ −
8.
(
)
3 2 3
3 3
lim 5 8
x
x x x x
→+∞
+ − +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
19
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
B. Bài tập
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923

20
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( )
( )
( )
0
0
x x

a x=x
g x
f x

≠

=



o Tìm
( )
0
lim
x x
g x
→
 
 

.Hàm số liên tục tại x
0

( )
0
lim
x x
g x a
→
⇔ = 
 
.
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x



=



o Tìm :
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
− −
+ +
→ →
→ →

=   
   


=   

   




. Hàm số liên tục tại x = x
0
( ) ( )
( )
0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x a
+ −
→ →
⇔ = = =   
   
.
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b
CÁC VÍ DỤ.
1. Cho hàm số:
( )
( )
( )
2
1
x 1

1
a x=1
x
f x
x

−
≠

=
−



a là hằng số. Xét tính liên tục
của hàm số tại x
0
= 1.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.
( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1 1
x x x

x x
x
x
x x
→ → →
− +
−
= = + =
− −
Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x
0
= 1.
Nếu a
≠
2 thì hàm số gián đoạn tại x
0
= 1.
2. Cho hàm số:
( )
( )
( )
2
1 x 0
x x 0
x
f x

+ >

=


≤


. Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
=
0.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0
( )
( )
( )
( )
0 0
2
0 0 0 0
lim lim 0
lim lim 1 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
− −
+ + − −
→ →
→ → → →
= = 
 

= + = ≠ =   
   
.
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
21
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Vậy hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
3. Cho hàm số:
( )
( )
( )
2
2 x 1
x +x-1 x 1
ax
f x
+ ≥

=

<


. Xét tính liên tục của hàm
số trên toàn trục số.
Giải
x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x

2
+x-1 hàm số liên tục.
Khi x = 1:
Ta có f(1) = a+2
( ) ( )
( )
( )
1 1
2
1 1
lim lim 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x ax a
f x x x
+ +
− −
→ →
→ →
= + = + 
 
= + − = 
 
.
Hàm số liên tục tại x
0
= 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x
0

= 1 nếu a
≠
-1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên
( ) ( )
;1 1;−∞ ∪ +∞
nếu a
≠
-1.
C. BÀI TẬP
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
1. f(x) =
2
9
3
3
6 3
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=


tại x
0
=3
2. f(x) =
2
25
5
5
9 5
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=5
3.
( )
2 3
2

2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
x x x
x
f x
x x
x

− + −
≠

=
− +


=


tạix
0
=2
4.
( )
3
3
2
khi 1
1

4
khi 1
3
x x
x
x
f x
x

+ +
≠ −


+
=


= −


tại
x
0
= -1
5.
( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2

x
x
f x
x
x

− −
≠

=

−

=

tại
x
0
=2
6.
( )
3
3 2 2
khi 2
2
3
khi 2
4
x
x

x
f x
x

+ −
≠


−
=


=


tại
( )
2
2 3
khi 1
1
4 khi 1
x x
x
f x
x
x

+ −
≠


=
−


=

x
0
=2
7.
( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
x
x
x
f x
x

−
≠


+ −
=



=


tại
x
0
=4
8.
( )
2
+4 2
2 1 2
x khi x
f x
x khi x

<
=

+ ≥

tại x
0
=2
9.
( )
4 2
1 1

3 2 1
x x khi x
f x
x khi x

+ − ≤ −
=

+ > −

tại
x
0
= -1
10.
( )
2
0
1 0
x khi x
f x
x khi x

<

=

− ≥



tại x
0
=0
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
22
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
11.
( )
5
khi 5
2 1 3
3
khi 5
2
x
x
x
f x
x
−

>


− −
=


≤



tại
x
0
=5
12.
( )
3 2
2 1
2
x x
f x
x
+ −
=
−
tại x
0
=2
13.f(x)=
4
1
5
x x
x
+ +
−
tại x
0
= 5

14. Chứng minh các hàm số
a) liên tục trên R
b)
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
x x
x
x
f x
x

+ +
≠ −


+
=


= −


liên tục trên R

c)
( )
2
2
7 4
khi 3
5 6
3
khi 3
4
x
x
x x
f x
x

+ −
≠


− +
=


=


liên tục trên
{ }
\ 2R

15. Tìm a để hàm số liên tục trên R
1)
( )
2
1
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥

2)
( )
( )
2 2
2
1-a 2
a x khi x
f x
x khi x

≤

=

>



3)
( )
2
4
2
2
a 2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
−


=

16. Cho hàm số f(x) =
3 2
2 5 0
4 1 0
x x khi x
x khi x


+ − ≥

− <

Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0).
17. Tìm a để hàm số liên tục tại x
0
a)
( )
3 2
khi 1
1
a+1 khi 1
x
x
f x
x
x

+ −
≠

=

−

=

tại

x
0
=1
b) f(x) =
2
2 2
2
4
2
x
khi x
x
a khi x

+ −
≠


−

=

tại
x
0
=2
c)
( )
1 1
khi 1

1
4 -
a khi 1
2
x x
x
x
f x
x
x

− − +
<


−
=


+ ≥

+

tại
x
0
=1
d)
( )
3

3 2 2
khi 2
2
1
khi 2
4
x
x
x
f x
ax x

+ −
>


−
=


+ ≤


tại x
0
=2
18. Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
a)
( )
2

2x x
f x
x
−
=
b)
( )
2
2
2x x
f x
x
−
=
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
23
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
Có thể gán cho
( )
0f
một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số
( )
f x
liên tục tại x=0
19. Cho hàm số f(x) =
2
2
3 2
ax khi x
khi x


≤

>

Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thị hàm số với a tìm được.
Chứng minh rằng phương trình x
3
+ 3x
2
+5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
20. Chứng minh rằng phương trình x
3
-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
21. Chứng minh rằng phương trình x
5
-3x
4
+5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
nằm trong khoảng (-2 ;5 )
23 . Cho a,b,c tuỳ ý .Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm
ab(x – a)(x – b ) + ac(x – a)(x – c ) + cb(x – c)(x – b ) = 0 (xét
f(a).f(b).f(c).f(0))
24 .Cho y = f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
; b
≥
f(x)
≥

a với mọi x trên đoạn đó .Chứng minh
rằng
phương trình f (x) = x có nghiệm (xét hàm số : h(x) = f(x) – x )
25 . Cho hàùm số y= f(x) liên tục trên
[ ]
0;1
.Chứng minh rằng nếu 1
≥
f(x)
≥
0 với mọi
x trên đoạn
đó thì tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn
[ ]
0;1
sao cho f(c) = c
n
(n là số nguyên
dương cho trước).
Giải : 1/ khi f(0) = 0; f(1) = 1 ta có đpcm
2/ khi 0 < f(x) < 1 xét hàm số h(x) =f(x) – x
n
trên
[ ]
0;1
thoả mãn đk Đl ta có
dpcm
26. Chứng minh rằng phương trình ax
3
+ bx

2
+ cx + d = 0 có ít nhất một nghiệm
27. Chứng minh rằng phương trình x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx
2
+ d = 0 khi d < 0 có ít nhất hai
nghiệm
Giải : ta có d < 0 ;
lim
f(x) = +∞ (khi x tiến ± ∞ ) xét (- ∞ , 0) (0 ; + ∞) ta có hai
nghiệm
28. Chứng minh rằng phương trình -2 x
3
+ mx
2
+ (m +2)x + m = 0 có ít nhất một
nghiệm < -1
( với mọi m > 0).
ta có f(0) = m > 0 ;
lim
f(x) = -∞ nên tồn tại a < -1 để f(a) < 0 nên có đpcm
29 Chứng minh rằng phương trình x
3
+ mx
2

+ (m +2)x – 2010 = 0 có ít nhất một
nghiệm dương
30 .Cho y = f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
,f(a) khác f(b) .Chứng minh rằng với 0 <
α
< 1 thì
tồn tại điểm
c thuộc (a;b) sao cho f(c) =
α
f(a) + ( 1 -
α
) f(b)
31 .Cho y = f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
p.q là hai số dương .Chứng minh rằng khi f(a) khác
f(b) thì
tồn tại điểm c thuộc (a; b) mà pf(a) + qf(x) = (p+ q) f(c)
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923
24
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN
BÀI TẬP TỔNG HỢP
25