Tốc độ gia tăng phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử

TỐC ĐỘ GIA TĂNG PHONON BỊ GIAM GIỮ TRONG
GIẾNG LƯỢNG TỬ
TRẦN THANH THẢO
TRẦN THỊ PHƯƠNG YÊN - PHẠM PHƯỚC PHA
Khoa Vật lý
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tơi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng
tử cho phonon để thành lập biểu thức tính tốc độ gia tăng số phonon do tương tác electronphonon bị giam giữ trong giếng lượng tử. Biểu thức giải tích thu được là chung cho bán dẫn
giếng lượng tử với thế giam giữ bất kì khi tính đến sự giam giữ của phonon.
1

GIỚI THIỆU

Sự thay đổi số phonon trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường laser cao tần
đang được quan tâm nghiên cứu. Các hiệu ứng này xảy ra do tương tác của hệ electron và
phonon. Vì tương tác electron-phonon trong dây lượng tử bán dẫn xảy ra khác biệt so với
trong bán dẫn khối và trong các bán dẫn thấp chiều khác nên hiệu ứng này mang các đặc
tính mới. Vấn đề này đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối và bán dẫn hai chiều (giếng
lượng tử, siêu mạng) và bán dẫn một chiều (dây lượng tử), nhưng đa số chỉ xét trường hợp
phonon khối (không bị giam giữ). Các cơng trình nghiên cứu vấn đề này cho trường hợp
phonon bị giam giữ cịn rất ít. Trong những năm gần đây có một số nhóm đã nghiên cứu
tốc độ gia tăng phonon trong bán dẫn khối [1], trong giếng lượng tử [3, 4], trong siêu mạng
[2, 5] và trong dây lượng tử [6, 7, 8]. Tuy nhiên các nghiên cứu trên chỉ xét trong trường
hợp phonon khối (phonon không bị giam giữ). Gần đây, luận văn Thạc sĩ của Huỳnh Thị
Thanh Tuyền tại ĐHSP Huế năm 2012 nghiên cứu tốc độ tạo phonon trong dây lượng tử
hình trụ có xét đến tính giam giữ phonon [9]. Trong bài báo này, chúng tôi đề cập đến việc
sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon để thành lập biểu thức tính tốc độ gia
tăng phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử.
2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON BỊ GIAM GIỮ TRONG GIẾNG
LƯỢNG TỬ

Ta xét bán dẫn giếng lượng tử trong đó electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y)
và bị giam giữ theo phương z với th giam gi U (z). Gii phng trỡnh Schăodinger cho
electron ta được năng lượng và hàm sóng có dạng
εn (~k⊥ ) =

2
~2~k⊥
+ Enz .
2me

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 67-75

(1)


68

TRẦN THANH THẢO và cs.
s
ψ(x, y, z) =

1 i~k⊥~r⊥
e
ψnz (z),
Lx Ly

(2)

ở đây Lx , Ly , Lz là chiều dài của giếng lượng tử theo phương x, y và z; kx , ky là thành
phần của vectơ sóng ~k theo các hướng x và y; ~k⊥ , ~r⊥ tương ứng là vectơ sóng và vectơ vị
trí của electron trong mặt phẳng (x, y), ~k⊥ = kx~i + ky~j, ~r⊥ = x~i + y~j, nz là số lượng tử do
sự lượng tử hố năng lượng theo phương z.
Với mơ hình giếng như trên, phonon bị giam giữ theo trục z, lúc đó vectơ sóng của phonon
bị lượng tử hố và có dạng
s
q=

2
q⊥


+

mπ
Lz

2
,

(3)

2 = q 2 + q 2 . Tần số của phonon bị giam giữ được xác định bởi biểu thức [10]
trong đó q⊥
x
y
2 1/2
2
+ qm

)] ,
ωm,q⊥ = [ω02 − γ 2 (q⊥

(4)

trong đó ω0 là tần số của phonon khối, γ là tham số vận tốc.
Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử khi xét đến sự giam giữ của
phonon có dạng:
h→
X
−
− i +
e→
→ +
A (t) a n,−
~ωq−→
b+ −
εn k ⊥ −
→
⊥ m, q ⊥
k⊥
~c
−
→
−
→
m,
q
⊥
n, k ⊥



X X
−
→
+
+
→
−
→
+
Mn,n0 (q⊥ ) a 0 −
b
,
+
b
→ −
−
→
m,
q
→ an,−
m,− q
⊥
k

H(t) =

X

n , k ⊥, q

→ −
n,n0 ,m −
k ⊥ ,→
q⊥

⊥

⊥

(5)

⊥

trong đó εn là phổ năng lượng của electron; n là số lượng tử tương ứng với trục z, ~k⊥ là
vecto sóng của chuyển động tự do của electron theo phương x, y; a+ ~ và an,~k là toán
tử sinh và hủy của electron,

b+ ~
m,k⊥

n,k⊥

⊥

và bm,~k là toán tử sinh và hủy của photon, ωq~⊥ là tần
⊥

số của phonon ứng với vectơ sóng ~q⊥ , Mn,n0 (~q⊥ ) là hệ số tương tác electron-phonon trong

giếng lượng tử.
D
E
+
→
−
→
Đặt Nm,−
(t)
=
b
b
là số phonon trung bình tại thời điểm t, phương trình
→
q⊥
m, q ⊥
m,−
q
⊥

t

động lượng tử cho phonon có dạng

i~

→
∂Nm,−
q ⊥ (t)

∂t

iE
Dh
iE
+
−
→
−
→
b+
b
,
H(t)
=
b
b
,
H
(t)
−
→
−
→
e
m, q ⊥ m, q ⊥
m, q ⊥ m, q ⊥
t
Dh
iE t Dh

iE
+
+
−
→
−
→
+ bm,−
b
,
H
(t)
+
b
b
,
H
(t)
.
→
−
→
ph
e−ph
m, q ⊥
q m,q⊥
m, q
=

Dh

⊥

t

⊥

t

(6)


TỐC ĐỘ GIA TĂNG PHONON BỊ GIAM GIỮ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

69

Thay Hamiltonian H trong (5) vào (6) và thực hiện các biến đổi đại số ta được
Z t
∂Nm,~q⊥ (t)
1 X
dt1
Mn,n0 (~q⊥ )
=− 2
∂t
~
−∞
n,n0 ,~k⊥
(

X

0
×
Mn1, n (−~q⊥ ) a+0 ~
a+0 ~0
n ,k⊥ +~
q⊥ n1 ,k

1

0

n1, n1 ,k~0 ⊥

X

+

Mn0 ,n0 (q~0 ⊥ )
1

0
n1 ,m0 ,q~0 ⊥

−

n1

an,~k an1 ,k~0

(b 0 0

a+0 ~
a
n1 ,k⊥ +~
q⊥ +q~0 ⊥ n,~k⊥ m ,q~ ⊥

⊥

+

t1

⊥

b+ 0 ~0 )bm,~q⊥
m ,−q ⊥

D
Mn1 ,n (q~0 ⊥ ) a+0 ~

X
,m0 ,q~0



q⊥
⊥ −~



a

b q⊥ (bm0 ,q~0
n ,k⊥ +~
q⊥ n1 ,~k⊥ −q~0 ⊥ m,~
⊥

+ b+ 0

m ,−q~0 ⊥

)


t1

)

E
t1

⊥

 h

Z
i
i
ie~q⊥ t ~
~
~
× exp

A (t2 ) dt 2
εn0 (k⊥ + ~q⊥ ) − εn (k⊥ ) − ~ωq~⊥ (t − t1 ) −
~
me c t1
Z t
1 X
− 2
Mn,n0 (~q⊥ )
dt 1
~
−∞
0 ~
n, n ,k⊥




 X
+
+
×
Mn1, n0 (−~q⊥ ) a ~ a 0 ~0
a 0
a
q⊥ n1 ,k~0 ⊥ t1
n,k⊥ n1 ,k ⊥ −~
q⊥ n ,~k⊥ −~
1

n n0 ,k~0

1, 1
⊥


X
+
+
0
~
+
Mn0 ,n0 (q ⊥ ) a 0 ~ ~0 an0 ,~k −~q (bm0 ,q~0 + b 0 ~0 )bm,~q⊥ t1
0
n1 ,m0 ,q~0 ⊥

−

n1 ,k⊥ +q

1

⊥

⊥

D

X

Mn1 ,n (q~0 ⊥ ) a+ ~ an1 ,~k
n,k⊥

n1 ,m0 ,q~0 ⊥

q⊥ −q~0 ⊥
⊥ −~

⊥

m ,−q

⊥

bm,~q⊥ (bm0 ,q~0 + b+ 0
⊥

⊥

m ,−q~0 ⊥

)


E 
t1





i

ih
× exp − εn (~k⊥ ) − εn0 (~k⊥ − ~q⊥ ) − ~ωq~⊥ (t − t1 )
~

Z t
ie~q⊥
~
−
A(t2 )dt 2 = A + B.
me c t1
trong đó,
A=−

+∞

X
1 X


Λ
Λ

2
0 (~
M
q
)
Jl ( )Js ( ) exp[i(l − s)Ωt]

⊥
n,n
2
~
~Ω
~Ω
0
n, n ,~k⊥

Z

s,l=−∞

t

nh
0
0
0
0
fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) + fn (~k⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t )
−∞
i
0
0
−fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t ))
 h


i
i
0
0
× exp
εn0 (~k⊥ + ~q⊥ ) − εn (~k⊥ ) − ~ωq~⊥ − l ~Ω (t − t ) dt .
~

×

(7)


70

TRẦN THANH THẢO và cs.

B=−

   
+∞

X
Λ
1 X


Λ

2

0
M
(~
q
)
Js
exp[i(l − s)Ωt]
J

n,n ⊥

l
~2
~Ω
~Ω
0
s,l=−∞

n, n ,~k⊥

Z

t

nh
0
0
0
0
×

fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) + fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t )
−∞
i
0
0
−fn (~k⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t ))


i
ih ~
0
0
~
× exp − εn (k⊥ ) − εn0 (k⊥ − ~q⊥ ) − ~ωq~⊥ − l~Ω (t − t ) dt .
~

(8)

Từ đó, ta được dạng tường minh của phương trình động lượng tử như sau:

   
+∞

X
∂Nm,~q⊥ (t)
1 X


Λ
Λ

2
=− 2
Js
exp[i(l − s)Ωt]
Jl

Mn,n0 (~q⊥ )

∂t
~
~Ω
~Ω
0
s,l=−∞

n, n ,~k⊥

Z

t

nh
0
0
0
0
×
fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) + fn (~k⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t )
−∞

i
0
0
−fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t ))
 h

i
i
0
~
~
× exp
εn0 (k⊥ + ~q⊥ ) − εn (k⊥ ) − ~ωq~⊥ − l ~Ω (t − t )
~
h
0
0
0
0
+ fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) + fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t )
i
0
0
−fn (~k⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t ))


i
ih ~
0
~

× exp − εn (k⊥ ) − εn0 (k⊥ − ~q⊥ ) − ~ωq~⊥ − l ~Ω (t − t ) .
~

(9)

Để phương trình trên có dạng đối xứng hơn ta có thể viết lại như sau

0

0

0

0

• fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) − fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t ))
h
i
0
0
0
0
0
+ fn (~k⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t ) = Nm,~q⊥ (t )fn (~k⊥ )(t ) 1 − fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t )
h
i
h
i
0
0

0
− Nm,~q⊥ (t ) + 1 fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t ) 1 − fn (~k⊥ )(t ) ,
0
0
0
0
•fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )fn (~k⊥ )(t ) + fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t )Nm,~q⊥ (t )

h
i
0
0
0
0
0
− fn (~k⊥ )(t )(1 + Nm,~q⊥ (t )) = Nm,~q⊥ (t )fn0 (~k⊥ − ~q⊥ )(t ) 1 − fn (~k⊥ )(t )
h
i
h
i
0
0
0
− Nm,~q⊥ (t ) + 1 fn (~k⊥ )(t ) 1 − fn0 (~k⊥ + ~q⊥ )(t ) .

(10)


TỐC ĐỘ GIA TĂNG PHONON BỊ GIAM GIỮ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

71

Từ đó, ta được
   
+∞

X
∂Nm,~q⊥ (t)
Λ
1 X