Cộng hưởng cyclotron phonon giam giữ trong giếng lượng tử hình chữ nhật

✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍Õ❨ ❚❘■◆❍

❈❐◆● ❍×Ð◆● ❈❨❈▲❖❚❘❖◆ ✲ P❍❖◆❖◆ ●■❆▼ ●■Ú
❚❘❖◆● ●■➌◆● ▲×Ñ◆● ❚Û
❍➐◆❍ ❈❍Ú ◆❍❾❚

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❱❾❚ ▲Þ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❱⑨ ❱❾❚ ▲Þ ❚❖⑩◆
▼➣ sè

✿ ✽✹✹✵✶✵✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❱❾❚ ▲Þ
❚❍❊❖ ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
P●❙✳❚❙✳ ▲➊ ✣➐◆❍

❚❤ø❛ ❚❤✐➯♥ ❍✉➳✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽

✐




ổ ổ tr ự ừ r tổ
số t q ự tr tr tỹ ữủ
ỗ t sỷ ử ữ tứ ữủ ổ ố tr t
ý ởt ổ tr ự

t


ừ r






t tốt tổ tọ ỏ t ỡ s
s P t t ữợ ú
ù tổ tr sốt q tr tỹ
ổ t ỡ ổ tr t ỵ ỏ
t s ồ rữớ ồ ữ P ồ
ú ù tổ sốt ồ q
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ s s
ồ ồ õ ổ ở ú ù õ ỵ tổ
tr sốt q tr ồ t t

t


ừ r




ệ ệ

r ử





ớ





ớ ỡ



ử ử





ử ỗ t



é

ữỡ ìẹ
P



ờ q t ữủ tỷ



ữủ sõ ừ tr tr t ỳ
t tr trữớ ủ ữ õ õ tứ trữớ t



ổ ỳ tr ữủ tỷ



ổ s





ổ

ổ



ữỡ P ệ ỉ
ì P
ìẹ
Pữỡ ử tở tớ
ờ q ổ ứ














✷✳✶✳✷✳ ❙ü ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ❧÷ñ♥❣ tû ❞÷î✐ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥
♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✷✳ ❚÷ì♥❣ t→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❞å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✷✳✶✳ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ t÷ì♥❣ t→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✷✳✷✳ ❍➺ sè ❤➜♣ t❤ö

✷✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❈❐◆● ❍×Ð◆● ❈❨❈▲❖❚❘❖◆ ✲ P❍❖◆❖◆
❱⑨ ✣❐ ❘❐◆● ❱❸❈❍ P❍✃ ❚❘❖◆● ●■➌◆● ▲×Ñ◆●
❚Û ❍➐◆❍ ❈❍Ú ◆❍❾❚

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✸✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✕ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ Pr♦❢✐❧❡ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê

✳ ✳ ✳ ✳

✹✵
✹✶

✸✳✸✳ ❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû t❤➳ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✳✹✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê ✈➔♦ ♥❤✐➺t ✤ë

✹✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

✸✳✺✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê ✈➔♦ tø tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✸✳✻✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê ✈➔♦ ❜➲ rë♥❣ ❣✐➳♥❣

✳ ✳

✹✽

❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

P❍Ö ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

P✳✶

✷


ệ



ồ ở rở ờ
ữỡ Pr

ỗ t



ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t

tr ữủ tỷ t ỳ t tr

trữớ ủ ỳ ữớ
t ố ữớ ọ ựt t t

ỗ t

Lz



B

T





ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t t ở ữ tr



ố ợ ỳ t
tr ừ t ở T ữớ
t

T

ỗ t

T

ữớ ựt t

ữớ ọ ợ

Lz

B







ỹ ử tở ừ ở rở ờ ừ ở
ữ tr t ở tr trữớ
ủ ỳ ữớ trỏ
ố ữớ ổ ọ

ỗ t

ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t t ở ữ tr ố
ợ ỳ t tr ừ
tứ trữớ

B = 12

B B = 10

ữớ t

ữớ

ữớ ọ ợ

T = 300
ỗ t

B = 15

Lz = 12

ỹ ử tở ừ ở rở ờ tứ trữớ
trữớ ủ ố ữớ ổ
ọ ỳ ữớ trỏ


ỗ t



ỹ ử tở ừ số tử ữủ
t t ở ữ tr ố
ợ ỳ t tr ừ
rở


Lz Lz = 25

Lz = 20

ữớ t

ữớ

Lz = 15 ữớ ọ ợ B = 10

ỗ t

T = 300

ỹ ử tở ừ ở rở ờ ử tở
rở ờ trữớ ủ ố ữớ
ổ ọ ỳ ữớ
trỏ








é
ỵ ồ t
r ỳ õ ự ữ
ừ tữỡ t tr ố ợ t t q ồ ừ
tr ữủ t tr ợ t ú
ữủ tỷ õ t ừ tứ trữớ ữủ tỷ r trú
ữủ tỷ sỹ tữỡ t tr q ỹ õ ởt
trỏ ừ tr t t tr
ởt ự q trồ r tữỡ t tr
tr õ trữớ tứ trữớ ự
ở ữ tr Pssst tr rs
P tr õ tr ỳ ự ớ
tử t ỗ tớ ợ sỹ tử t r

ố ự P ữủ ự ỵ tt
tỹ ố ợ trú ữủ tỷ ự
P ụ ữủ ự ố ợ trữớ ủ ố
ởt số ổ ữủ t ổ t ổ
ỳ t r ổ tử
ổ ổ ởt tr số õ tữỡ ự ợ s ừ ởt t
tỹ ởt ố ợ ừ ởt ổ
trú ợ t ởt ổ
ở ỹ ỡ ổ t tr trú s
ổ tr ồ




ữủ t tr t t ở ở ừ t
t t t tố ở t ở ũ ũ
ừ tr tr ữủ tỷ s q ồ
ỳ ữủ tỹ sỷ ử ổ tr
t ỹ tr ổ ũ ủ ợ t q tỹ r
õ ỳ ự ỵ tt tố ở t tr tr
ữủ tỷ ỳ ữủ ổ t ổ tr
õ trữớ tứ trữớ ữủ tỷ ổ ữủ sỹ
rở r ổ t tốt t sỹ tữỡ t tr tr

ró ỡ sỹ tữỡ t tr tr ữủ
tỷ q trồ ự P tr t
q ỳ t
Ptrs rs ự ữ ừ t
s ỳ ổ t ởt ổ
r ỗ ữ r t số ở ữ r

tr trú ữủ tỷ sss sỷ
ử tự ợ rt rs t r
q t ữ ở ữ tứ
r t số q ữủ tỷ ss
s tr ởt ỵ tt P tr ữủ tỷ
sỷ ử ữỡ Pữỡ ữủ
sỷ ử t ổ tr st P ố ợ ố
sỹ tử t t tỹ tr trú t ởt ữ
ừ ữỡ sỹ ỡ ừ õ s ợ t t ỹ tr




❧þ t❤✉②➳t ♣❤↔♥ ù♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❞ü ✤♦→♥ ❝â sü ①✉➜t ❤✐➺♥
❝→❝ ✤➾♥❤ tr♦♥❣ ♣❤ê q✉❛♥❣ tø ❞♦ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♠ù❝ ▲❛♥❞❛✉ ❞➝♥
✤➳♥ sü ♣❤→t ①↕ ❝→❝ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú ✈➔ ❝→❝ ♣❤♦♥♦♥ ❜➲ ♠➦t✱ ❜➯♥ ❝↕♥❤
❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳
Ð ♥÷î❝ t❛✱ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲
❝→❝ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ✈➔ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣
❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ❝â t❤➸ ❦➸ r❛ ♠ët sè ❝æ♥❣ tr➻♥❤ t✐➯✉ ❜✐➸✉
♥❤÷
✰ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔ ❍✉ý♥❤ ❱➽♥❤ P❤ó❝✱ ▲➯ ✣➻♥❤✱ ❚r➛♥ ❈æ♥❣ P❤♦♥❣
❬✶✹❪ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ✏❍✐➺✉ ù♥❣ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ tr♦♥❣ ❞➙② ❧÷ñ♥❣ tû
●❛❆s✴❆❧❆s✑✱ tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉
✤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝æ♥❣ s✉➜t ❤➜♣ t❤ö ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
♣r♦❢✐❧❡ ✤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê✳
✰ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔ ❍✉ý♥❤ ❱➽♥❤ P❤ó❝✱ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤↔♦✱ ▲➯ ✣➻♥❤✱
❚r➛♥ ❈æ♥❣ P❤♦♥❣ ❬✷✸❪ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✏❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ➙♠
❣✐❛♠ ❣✐ú ♥❤í q✉→ tr➻♥❤ ❤➜♣ t❤ö ♥❤✐➲✉ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ❤è t❤➳
❧÷ñ♥❣ tû ●❛❆s✑✳

✰ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔ ❍✉ý♥❤ ❱➽♥❤ P❤ó❝✱ ▲➯ ❚❤à ▼❛✐ ❍✉➺✱ ▲➯ ✣➻♥❤✱ ❚r➛♥
❈æ♥❣ P❤♦♥❣ ❬✷✷❪ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ✏✣ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê ❝õ❛ ✤➾♥❤ ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣
❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❞å❝ ♥❤í q✉→ tr➻♥❤ ❤➜♣ t❤ö ♥❤✐➲✉ ♣❤♦t♦♥ tr♦♥❣
❞➙② ❧÷ñ♥❣ tû ❤➻♥❤ trö✑✳
✰ ✏❑❤↔♦ s→t ❝ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ ❞➙②
❧÷ñ♥❣ tû ❤➻♥❤ trö✑ ❝õ❛ ❱ô ❱➠♥ ❍♦➔♥❤ ❬✹❪✳ ❚→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤è✐ ✈î✐
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❡❧❡❝tr♦♥ t÷ì♥❣ t→❝ ✈î✐ ♣❤♦♥♦♥ q✉❛♥❣ ❞å❝✳
✰ ✏❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❜→♥ ❞➝♥ s✐➯✉ ♠↕♥❣ ♣❤❛

✼


t ừ ộ ở ữ tr tr
s t ừ P r ổ
tr t sỷ ử ữỡ t tỷ
st ổ st tử ớ q tr tử ởt t
ữ õ t sỷ ử ỵ tt
st tữủ ở ữ tr ỳ t ổ
s tr ữủ tỷ
ỳ tr tổ ồ t

ở ữ tr

ỳ tr ữủ tỷ ỳ t

ử t ừ t
st tữủ ở ữ tr ở rở
ờ tr ữủ tỷ ợ t ỳ t s ổ t ổ
ỳ

Pữỡ ự
ỷ ử ữỡ ỵ tt ử tở tớ
ỷ ử ữỡ tr tt t số ỗ t
ỷ ử ữỡ Pr ở rở ờ

ử ự
t tự t ừ số tử sõ tứ
tữỡ t tr ỳ tr ữủ tỷ t
ỳ t s ổ õ trữớ trữớ tứ
trữớ t




st số ỗ t sỹ ử tở số tử
ữủ t ở ữ tr
ử ữỡ Pr ở rở ờ ừ
ở ữ st sỹ ử tở ừ ở rở ờ
t ở tữợ ừ ữớ ở tứ trữớ

ợ t
t tữỡ t tr ọ q tữỡ t ũ
tr tr
ổ t t tứ trữớ ừ sõ tứ

ố ử
ử ử ử ử t t ữủ

P tr ỵ ồ t ử t ừ t
sỷ ự ừ t ữỡ ự ử

ự ợ t ố ử
P ở ỗ ữỡ
ữỡ ờ q ữủ tỷ ổ
ỳ
ữỡ số tử sõ tứ tữỡ t tr
ỳ tr ữủ tỷ ỳ t




❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❈ë♥❣ ❤÷ð♥❣ ❝②❝❧♦tr♦♥ ✲ ♣❤♦♥♦♥ ✈➔ ✤ë rë♥❣ ✈↕❝❤ ♣❤ê
tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t
P❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳

✶✵


◆❐■ ❉❯◆●
❈❤÷ì♥❣ ✶
❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱➋ ●■➌◆● ▲×Ñ◆● ❚Û ❱⑨ ❈⑩❈
▼➷ ❍➐◆❍ P❍❖◆❖◆ ●■❆▼ ●■Ú
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❜→♥ ❞➝♥ t❤➜♣ ❝❤✐➲✉✱ ❣✐➳♥❣
❧÷ñ♥❣ tû✱ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✈➔ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ t❤➳
❝❤ú ♥❤➟t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝❤÷❛ ❝â ✈➔ ❝â tø tr÷í♥❣ t➽♥❤✳ ◆❣♦➔✐
r❛✱ ❝á♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤♦♥♦♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣
❧÷ñ♥❣ tû✳

✶✳✶✳

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❜→♥ ❞➝♥ t❤➜♣ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❣✐➳♥❣

❧÷ñ♥❣ tû

❱✐➺❝ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❤➺ ❜→♥ ❞➝♥ t❤➜♣ ❝❤✐➲✉ ❞ü❛ tr➯♥ sè ❝❤✐➲✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♠➔ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tü ❞♦✳ ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ ❜→♥ ❞➝♥ t❤➜♣
❝❤✐➲✉ s❛✉ ❬✷❪✿
✲ ❍➺ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ✈➔ s✐➯✉ ♠↕♥❣✿ ❝→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ❜à ❣✐❛♠ ❣✐ú t❤❡♦ ♠ët
❝❤✐➲✉ ✈➔ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tü ❞♦ t❤❡♦ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ❝á♥ ❧↕✐✳
✲ ❍➺ ❞➙② ❧÷ñ♥❣ tû✿ ❝→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ❜à ❣✐❛♠ ❣✐ú t❤❡♦ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❝❤✉②➸♥
✤ë♥❣ tü ❞♦ t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ ❝á♥ ❧↕✐✳
✲ ❍➺ ❝❤➜♠ ❧÷ñ♥❣ tû✿ tr♦♥❣ ❤➺ ♥➔② ❝→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ ❜à ❣✐❛♠ ❣✐ú t❤❡♦ ❝↔
❜❛ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tü ❞♦ t❤❡♦ ❜➜t ❦ý ❝❤✐➲✉ ♥➔♦✳
●✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû ❧➔ ❝➜✉ tró❝ tr♦♥❣ ✤â ♠ët ❧î♣ ♠ä♥❣ ❝❤➜t ❜→♥ ❞➝♥
♥➔② ✤÷ñ❝ ✤➦t ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ❦❤→❝✳ ❙ü ❦❤→❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝→❝ ❝ü❝ t✐➸✉

✶✶


✈ò♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❤❛✐ ❝❤➜t ❜→♥ ❞➝♥ ✤â t↕♦ ♥➯♥ ♠ët ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✳ ❈→❝ ❤↕t
t↔✐ ✤✐➺♥ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠é✐ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①✉②➯♥ q✉❛ ♠➦t ♣❤➙♥
❝→❝❤ ✤➸ ✤✐ ✤➳♥ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ❜➯♥ ❝↕♥❤✳ ❉♦ ✤â tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû✱ ❝→❝ ❤↕t t↔✐ ✤✐➺♥ ❜à ✤à♥❤ ①ù ♠↕♥❤✱ ❝❤ó♥❣ ❜à ❝→❝❤ ❧② ❧➝♥ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❝→❝
❤➔♥❣ r➔♦ t❤➳✳ ✣➦❝ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû ❧➔ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ t❤❡♦ ♠ët ❤÷î♥❣ ♥➔♦ ✤â ❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ r➜t
♠↕♥❤ ✈➔ tü ❞♦ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤÷î♥❣ ❝á♥ ❧↕✐✳

✶✳✷✳

◆➠♥❣ ❧÷ñ♥❣✱ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣
t❤➳ ❝❤ú ♥❤➟t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝❤÷❛ ❝â ✈➔ ❝â
tø tr÷í♥❣ t➽♥❤

❳➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ❝❤ú ♥❤➟t ✤è✐ ①ù♥❣ ❝â ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ✈æ ❤↕♥

V (z) =



0,

❦❤✐


∞,

❦❤✐

− Lz /2 ≤ z ≤ Lz /2
✭✶✳✶✮

x < −Lz /2, x > Lz /2.

❚❤❡♦ ❝ì ❤å❝ ❧÷ñ♥❣ tû✱ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ❜à
❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥
❧÷ñ♥❣ tû
♣❤➥♥❣

n

En

✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❜ð✐ ♠ët sè

♥➔♦ ✤â✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ♠➦t

(x, y)

❧➔ tü ❞♦✱ ♣❤ê ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ s➩ ❝â ❞↕♥❣ ♣❛r❛❜♦❧

t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣ ❬✷❪

2

E⊥ =

2m∗

kx2

+

ky2

=

2 2
k⊥
,
2m∗

tr♦♥❣ ✤â ♠✯ ❧➔ ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❤✐➺✉ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥❀

kx , ky

✭✶✳✷✮

2
k⊥
= kx2 + ky2 ,

✈î✐

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì sâ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ t❤❡♦ ❝→❝ ❤÷î♥❣

✶✷


x, y ✳

◆➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ♥➔② t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤➔♠ sâ♥❣

1
ei(k⊥ r⊥ ) .
Lx Ly

ψk⊥ (x, y) =
❈❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ t❤❡♦ trö❝

z

t❤→✐ ❧✐➯♥ ❦➳t ✈î✐ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❧➔

✭✶✳✸✮

❜à ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛ ♥➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝→❝ tr↕♥❣

En

✈➔ tr↕♥❣ t❤→✐ r✐➯♥❣

ψn (z)✳

❱➻ ✈➟② ♣❤ê

♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝â ❞↕♥❣

En k⊥ = En + E⊥ ,

✭✶✳✹✮

ù♥❣ ✈î✐ ❤➔♠ sâ♥❣

ψn,k⊥ (x, y, z) = ψk⊥ (x, y) ψn (z) =

1
ei(k⊥ r⊥ ) ψn (z) .
Lx Ly

✭✶✳✺✮

tr♦♥❣ ✤â t❛ ✤➣ ✤➦t

k⊥ = kx i + ky j,
◆➠♥❣ ❧÷ñ♥❣

En

✈➔ ❤➔♠ sâ♥❣

r⊥ = xi + y j.

ψn (z) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❤➳ ❣✐❛♠ ❣✐ú

V (z)✳
✭✶✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝❤÷❛ ❝â tø tr÷í♥❣
●✐➳♥❣ t❤➳ ❝❤ú ♥❤➟t ❝â ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ ✈æ ❤↕♥ t❤➻
❜➲ rë♥❣ ❝õ❛ ❣✐➳♥❣

V (z) = 0 tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐

Lz ✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝❤✉②➸♥

✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❧♦↕✐ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ♥➔②✱ ♣❤ê ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✈➔ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥
t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣

z

❝â ❞↕♥❣ ❬✷❪

π2 2 2
π2 2

2
En =
n = n E0 , ✈î✐ E0 =
,
2m∗ L2z
2m∗ L2z
2
nπz nπ
ψn (z) =
sin
+
, n = 1, 2, 3, ...
Lz
Lz
Lz

✭✶✳✻✮

✭✶✳✼✮

❱➻ ✈➟② ♣❤ê ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ❝â ❞↕♥❣

En k⊥

2 2
π2 2 2
k⊥
=
n
+

,
2m∗ L2z
2m∗

✶✸

✭✶✳✽✮


ù♥❣ ✈î✐ ❤➔♠ sâ♥❣

ψn,k⊥ (x, y, z) =

1
ei(k⊥ r⊥ )
Lx Ly

2
nπz nπ
sin
+
Lz
Lz
Lz

.

✭✶✳✾✮

✭✷✮ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝â tø tr÷í♥❣

z ✿ B = (0, 0, B)✱

❑❤✐ ❝â tø tr÷í♥❣ t➽♥❤ ❤÷î♥❣ t❤❡♦ trö❝
✤ë♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣

(x, y)

❝❤✉②➸♥

❝ô♥❣ ❜à ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛✳ P❤ê

♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ ❜à ❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛ t❤❡♦ ❦✐➸✉ ▲❛♥❞❛✉ ✭❧÷ñ♥❣ tû ❤â❛
t❤➔♥❤ ❝→❝ ♠ù❝ ▲❛♥❞❛✉ ❜✐➸✉ t❤à ❜➡♥❣ sè ❧÷ñ♥❣ tû

EN =

N+

1
2

N✮

ωc .

✭✶✳✶✵✮

❚r♦♥❣ tø tr÷í♥❣✱ t❤➳ ✈❡❝tì ❧✐➯♥ ❤➺ ✈î✐ ❝↔♠ ù♥❣ tø t❤❡♦ ❤➺ t❤ù❝

∇ × A = B,
❈❤å♥ ❝❤✉➞♥ ▲❛♥❞❛✉ ✭❧❛♥❞❛✉ ❣❛✉❣❡✮

✭✶✳✶✶✮

A = (0, Bx, 0)✳

❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝õ❛

❡❧❡❝tr♦♥ s➩ ❝â ❞↕♥❣

2

2
1
∂2
+
−
−i
∇
+q
A
+Vef f (z) ψ (r⊥ , z) = Eψ (r⊥ , z) ,
r
⊥
2mz ∂z 2 2m∗
✭✶✳✶✷✮
●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ♥➔②✱ t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♣❤ê
♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥

ψ (r⊥ , z) = ψN,n,ky (x, y, z) =
EN,n = EN +En =

N+

1
2

1
φN
Ly

x−

2
B ky

eiky y ψn (z) ,

✭✶✳✶✸✮

B

ωc +n2 E0 .

✭✶✳✶✹✮

tr♦♥❣ ❤➺ t❤ù❝ ✭✶✳✶✸✮ ❝→❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

ψn (z) =

2
nπz nπ
sin
+
Lz
Lz
2

,

✶✹

✭✶✳✶✺✮


√
φN (x) = 2 N ! π
N

tr♦♥❣ ✤â

N = 0, 1, 2, ...

−1/2
B

❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝❤➾ sè ♠ù❝ ▲❛♥❞❛✉❀

❤✐➺✉ ❝❤➾ sè ♠ù❝ ✈ò♥❣ ❝♦♥❀

ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❝ì ❜↔♥❀

2
B ky ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➙♠ tå❛ ✤ë❀

sè ❝②❝❧♦tr♦♥❀

= ( /eB)1/2

❧➔ ❜➲ rë♥❣ ❝õ❛ ❣✐➳♥❣ t❤➳✱

x✳

✈➔

❧➔ ❦➼

ωc = eB/m∗

❧➔ t➛♥

❧➔ ✤ë ❞➔✐ tø ✭♠❛❣♥❡t✐❝ ❧❡♥❣t❤✮✱ ❝❤➼♥❤ ❧➔

❜→♥ ❦➼♥❤ ❝②❝❧♦tr♦♥ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❝ì ❜↔♥❀

y

n = 1, 2, 3, ...

φN (x) ❧➔ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❞❛♦ ✤ë♥❣ tû ✤✐➲✉ ❤á❛ q✉❛♥❤

x0 =

Lz

✭✶✳✶✻✮

E0 = π 2 2 / (2m∗ Lz ) ❧➔ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥

✈à tr➼ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ð

B

(x−x0 )2
x−x0
exp −
HN
,
2
2 B
B

Ly , Lx

HN

❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ ❜➟❝

N❀

❧➔ ❝→❝ ✤ë ❞➔✐ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣

❉♦ ð ✤➙② t➜t ❝↔ ❝→❝ t÷ì♥❣ t→❝ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ s♣✐♥ ♥➯♥ t❛

❝â t❤➸ ❜ä q✉❛ sè ❧÷ñ♥❣ tû s♣✐♥✳

✶✳✸✳

❈→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❣✐❛♠ ❣✐ú ♣❤♦♥♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû

✶✳✸✳✶✳

▼æ ❤➻♥❤ s❧❛❜ ♠♦❞❡

❙❧❛❜ ♠♦❞❡ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ✤✐➺♥
tr÷í♥❣ ♠➔ ❦❤æ♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ sü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥❣✉②➯♥ tû t↕✐ ❜➲ ♠➦t✳
❚r♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ♥➔② ✤✐➺♥ t❤➳ ❝â ♥ót ð ❜➲ ♠➦t ✈➔ ❜✐➯♥ ✤ë ❞❛♦ ✤ë♥❣ ✤÷ñ❝
❝❤♦ ❜ð✐ ❬✷✶❪

um+ = sin (mπz/Lz ) , m = 1, 3, 5, ...

✭✶✳✶✼✮

um− = cos (mπz/Lz ) , m = 2, 4, 6, ...

✭✶✳✶✽✮

✶✺

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♥➔② ❝❤♦ ♠♦❞❡ ❣✐❛♠ ❣✐ú ❝❤➾ ✤÷ñ❝ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥
♥➳✉ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝õ❛ sü ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❧➔ ❧î♥ ❤ì♥ ♥❤✐➲✉ s♦
✈î✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥

z❀

sâ♥❣ ♣❤♦♥♦♥ ❧➔

q⊥

✶✳✸✳✷✳

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔② ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈❡❝tì

π/L

tr♦♥❣ ✤â

q⊥ ≡ (qx , qy )

✳

▼æ ❤➻♥❤ ❣✉✐❞❡❞ ♠♦❞❡

❚r♦♥❣ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱

q⊥

π/Lz

✱ t❛ ❜ä q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛

❡❧❡❝tr♦♥ ♠➔ ❝❤➾ ①➨t ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥❣✉②➯♥ tû t↕✐ ❜➲
♠➦t✳ ❇✐➯♥ ✤ë ❞❛♦ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠♦❞❡ ❣✐❛♠ ❣✐ú ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✏❣✉✐❞❡❞ ♠♦❞❡✑
❜ð✐ ❘✐❞❧❡② ❬✷✹❪✱ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

um+ = cos (mπz/Lz ) , m = 1, 3, 5, ...

✭✶✳✶✾✮

um− = sin (mπz/Lz ) , m = 2, 4, 6, ...

✭✶✳✷✵✮

●➛♥ ✤➙② ♥❤ú♥❣ ♠♦❞❡ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❘✐❞❧❡② sû ❞ö♥❣ ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥ tè❝ ✤ë
❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♥ë✐ ✈ò♥❣ ✈➔ ❧✐➯♥ ✈ò♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❡❧❡❝tr♦♥ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷ñ♥❣ tû✳

✶✳✸✳✸✳

▼æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉

❚r♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉ ❬✶✾❪✱ ❞❛♦ ✤ë♥❣ q✉❛♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✐♦♥ ❝â
✤✐➺♥ t➼❝❤ tr→✐ ❞➜✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♠↕♥❣ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ ❞❛♦ ✤ë♥❣
✤✐➺♥ t➼❝❤✳ ▼æ ❤➻♥❤ ❍✉❛♥❣ ✲ ❩❤✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥❤÷ s❛✉
✰ ✣è✐ ✈î✐ ♠♦❞❡ ❧➫

um+ = sin (µm πz/Lz )+Cm z/Lz , m = 3, 5, 7, ...

✭✶✳✷✶✮

✰ ✣è✐ ✈î✐ ♠♦❞❡ ❝❤➤♥

um− = cos (µm πz/Lz )−(−1)m/2 , m = 2, 4, 6, ...

✶✻

✭✶✳✷✷✮


tr♦♥❣ ✤â

µm

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

tan (µm π/2) = µm π/2, m−1 < µm < m,
✈î✐

(µ1 )

❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t ♥➯♥ ❜ä q✉❛ ✈➔

Cm

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

Cm = −2 sin (µm π/2) .

✶✼

✭✶✳✷✸✮

✭✶✳✷✹✮


ữỡ
P ệ ỉ ì
P
ìẹ
ữỡ tr ữỡ ử tở
tớ tữỡ t ỳ tr q ỳ
tt tự t ừ số tử sõ tứ
tữỡ t tr ỳ tr ữủ tỷ
t ỳ t s ổ õ tứ trữớ



Pữỡ ử tở tớ



ờ q ổ ứ

t ữủ tỷ t ử ừ ử tở tớ

V = V (t)

t ừ õ t ữủ t t

(t) = H0 +V (t) ,
H



tr trữớ ủ ữủ ừ ổ t õ ổ õ
tr t ứ t ú sõ ừ
t sõ tr t ứ ừ ổ ỹ
ữỡ t số ữỡ tr
t t r ữ r
ồ

(0)

k (x, t) = e

i

Ek t

(0)

k (x)

sõ tr t ứ

t ừ ổ tọ ữỡ tr

❙❝❤r♦❞✐♥❣❡r ❝õ❛ ❤➺ ❝❤÷❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥

(0)

∂ψk (x, t)
(0)
i
= Hˆ0 ψk (x, t) .
∂t

✭✷✳✷✮

❚❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ð tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤✐ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ù♥❣
✈î✐ ♣❤ê ❣✐→♥ ✤♦↕♥✳ ●✐↔ sû ❝â ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♥❤ä
sâ♥❣

Ψ (x, t)

Vˆ (t)

t→❝ ❞ö♥❣ ❧➯♥ ❤➺✳ ❍➔♠

❝➛♥ t➻♠ ❝õ❛ ❤➺ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

i
❑❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠

∂Ψ (x, t)
= Hˆ0 +Vˆ (t) Ψ (x, t) ,

∂t
Ψ (x, t)

✭✷✳✸✮

t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ t❤❡♦ ❝→❝ ❤➔♠

Ψ (x, t) =

(0)

ψk (x, t)

(0)

k

ck (t) ψk (x, t) ,

rç✐ t❤❛② ✈➔♦ ✭✷✳✸✮✱ t❛ ✤÷ñ❝

(0)

∂ψ (x, t)
∂ck (t) (0)
ψk (x, t)+ck (t) k
∂t
∂t

i

k

(0)

ˆ 0 +Vˆ (t)
= H

ck (t) ψk (x, t) .

✭✷✳✹✮

k
◆❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✷✳✹✮ ❝❤♦

(0)

ψm (x, t)

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔②

s➩ trð t❤➔♥❤

i
k

i
dck (t)
δmk e (Em −Ek )t =
dt

Vmk (t) e

i

(Em −Ek )t

ck (t) ,

✭✷✳✺✮

k

❤❛②

i
k
tr♦♥❣ ✤â

dcm (t)
=
dt

ωmk = (Em −Ek ) /

Vmk (t) eiωmk t ck (t) ,

✭✷✳✻✮

k

✳

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✻✮ ❝â ✈➳ ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ ❤➺ sè ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥
t❛ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠✳

✶✾

ck (t)

♠➔


❚❛ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣
●✐↔ t❤✐➳t t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠
t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❤➺ sè

t≤0

❤➺ ð tr↕♥❣ t❤→✐

(0)

Ψ (x, 0) = ψn (x)✱

ck (t) tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ Ψ (x, 0) =

(0)

ck (t) = ψk (x, t) |Ψ (x, 0)

k ck

(0)

(t) ψk (x, t) ❧➔✿

✳ ❚ø ✤â t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝

(0)

ck (0) = ψk (x, 0) ψn(0) (x, 0) = δkn .
❇➢t ✤➛✉ t❤í✐ ✤✐➸♠
✤â ❤➔♠

Ψ (x, t)

t≥0

❧ó❝ ✤â

✭✷✳✼✮

❤➺ ❜➢t ✤➛✉ ❝❤à✉ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥✱ ❧ó❝

s➩ t❤❛② ✤ê✐ t❤❡♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❚❛ ✈✐➳t

ck (t)

❞÷î✐ ❞↕♥❣ tê♥❣

q✉→t t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜➟❝ ❦❤æ♥❣✱ ❜➟❝ ♥❤➜t✱ ❜➟❝ ❤❛✐✱✳✳✳

(1)

(0)

(2)

ck (t) = λ0 ck (t)+λ1 ck (t)+λ2 ck (t)+...,

✭✷✳✽✮

1

Wmk t = λ Vmk (t) .
❚❤❛② ✭✷✳✽✮ ✈➔♦ ✭✷✳✻✮✱ s❛✉ ✤â s♦ s→♥❤ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛

λ

❝❤➾ ①➨t ✤➳♥ ❜ê ❝❤➼♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ t❛ ✤÷ñ❝

d (0)
c (t) = 0,
dt m
d (1)
(0)
cm (t) =
i
Wmk (t) eiωmk t ck (t) ,
dt

i

✭✷✳✾❛✮
✭✷✳✾❜✮

k

i
❱➻

(0)

ck (t) = δnk ✱

d (2)
c (t) =
dt m

(1)

Wmk (t) eiωmk t ck (t) .

✭✷✳✾❝✮

k

♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✾❜✮ ✈➔ ✭✷✳✾❝✮ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷

s❛✉

i

d (1)
c (t) =
dt m

Wmk (t) eiωmk t δnk = Wmn (t) eiωmn t .

✭✷✳✶✵✮

k

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② t❛ ✤÷ñ❝

t

1
c(1)
m (t) =
i

Wmn (t) eiωmn t dt ,
0

✷✵

✭✷✳✶✶✮


t÷ì♥❣ tü

t

1
c(2)
m (t) =
i
❇✐➳t ❝→❝ ❤➺ sè

(0)

(1)

(1)

Wmn (t) eiωmk t ck dt .
k

✭✷✳✶✷✮

0

(2)

cm , cm , cm , ...

t❛ s➩ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✈➔♦

t❤í✐ ✤✐➸♠ t✳

✷✳✶✳✷✳

❙ü ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ❧÷ñ♥❣ tû ❞÷î✐ t→❝ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥
♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥

◆❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ ♥❤➙♥ ❣➙② r❛ sü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥
❝õ❛ ❤➺ tø ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❧÷ñ♥❣ tû ♥➔② s❛♥❣ tr↕♥❣ t❤→✐ ❧÷ñ♥❣ tû ❦❤→❝ ❬✸❪✳
❙ü ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜➡♥❣ ❜÷î❝ ♥❤↔② ♠➔ ❞✐➵♥ r❛
tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❳→❝ s✉➜t ❝❤✉②➸♥ ❞í✐ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ✤➦❝ t➼♥❤ ❝õ❛
♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ✈➔ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✳
❚❛ ❣å✐ ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ sü ❝❤✉②➸♥ tø tr↕♥❣ t❤→✐
t❤→✐ ✤➛✉

|i

✮ s❛♥❣ tr↕♥❣ t❤→✐

m

n

✭s❛✉ ✤➙② ❣å✐ ❧➔ tr↕♥❣

✭❣å✐ ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐

|f

✮ ❧➔

Pf i (t) = |cf (t)|2 = |cf i (t)|2 .

Pf i (t)

t❤➻

✭✷✳✶✸✮

❚❛ t➻♠ ①→❝ ①✉➜t ♥➔② tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜➟❝ ♥❤➜t

2

t
(1)

2

Pf i (t) = |cf (t)|2 = cf (t) =

1

Wf i (t) eiωf i t dt

2

,

✭✷✳✶✹✮

0
t❛ ①➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸ s❛✉✿

✭✶✮ ◆❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐
●✐↔ sû

W (t)

❦❤æ♥❣ ✤ê✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② ♣❤➛♥ tû ♠❛ tr➟♥

✷✶

Wf i = const✱

0 ≤ t ≤ τ✳

t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✷✳✶✹✮


✤÷ñ❝ t➼♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

2

t
iωf i t

e

2

1
=
eiωf i t −1
iωf i

dt

.

0
❚❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝õ❛ ①→❝ s✉➜t ❝❤✉②➸♥
❞í✐ ❜➙② ❣✐í ❝â ❞↕♥❣

Pf i (t) =
=

4

|Wf i |2
2

2πt

πt
δ
2

Ef −Ei

|Wf i |2 δ (Ef −Ei ) ,

✭✷✳✶✺✮

❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tè❝ ✤ë ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ❧➔ ①→❝ s✉➜t ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ tr♦♥❣ ♠ët
✤ì♥ ✈à t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤➻

Γf i =

Pf i
2π
=
|Wf i |2 δ (Ef −Ei ) .
t

✣➸ t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t ❝❤✉②➸♥ tø tr↕♥❣ t❤→✐

|i

✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐

❦❤→❝ t❤➻ t❛ ❧➜② tê♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ t❤❡♦ ❝→❝ ❣✐→ trà ❦❤↔ ❞➽ ❝õ❛

P =

Pf i t =
f

2πt

✭✷✳✶✻✮

|Wf i |2 δ (Ef −Ei ) .

f
✭✷✳✶✼✮

f

◆➳✉ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ ❝â ♣❤ê ❧✐➯♥ tö❝✱ t❛ ❣å✐

ρ (Ef ) ❧➔ ♠➟t ✤ë ♥➠♥❣

❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ sè tr↕♥❣ t❤→✐ tr➯♥ ♠ët ✤ì♥ ✈à ♥➠♥❣
❧÷ñ♥❣ ❧ó❝ ✤â tè❝ ✤ë ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ t♦➔♥ ♣❤➛♥ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø ✭✷✳✶✻✮ ❧➔

Wf i =

2π

|Wf i |2 δ (Ef −Ei ) dEf =

2π

|Wf i|2 ρ (Ef ) .

✭✷✳✶✽✮

❍➺ t❤ù❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉② t➢❝ ✈➔♥❣ ❋❡r♠✐ ✭❋❡r♠✐ ❣♦❧❞❡♥ r✉❧❡✮✳
◗✉② t➢❝ ♥➔② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ❜➟❝ ♥❤➜t✱ tè❝ ✤ë
❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ t♦→♥

tû ♥❤✐➵✉ ❧♦↕♥ ❣✐ú❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ✤➛✉ ✈➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♦
t♦➔♥ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣✳

✷✷