Nghiên cứu sự phân rã mức cây của hạt Higgs

NGHIÊN CỨU SỰ PHÂN RÃ MỨC CÂY
CỦA HẠT HIGGS

NGUYỄN ĐĂNG HOÀNG PHÚC
LÊ NGUYỄN HÀN CHÂU - PHẠM MỸ THUẬN
Khoa Vật Lý
Tóm tắt: Hạt Higgs là hạt khơng xuất hiện ở điều kiện môi trường tự nhiên, mà chúng
chỉ được tạo ra hay phát hiện trong các vụ va chạm giữa các hạt với nhau ở vận tốc cực
lớn. Nếu năng lượng từ sự va chạm này đủ lớn, nó có thể chuyển sang những hạt vật chất
nhỏ hơn. Do đó, để có thể dị tìm hạt Higgs, người ta cần mô phỏng lại những điều kiện
như thế. Các điều kiện này chỉ có thể có ở những máy gia tốc có năng lượng rất cao như
LHC. Hơn nữa, Hạt Higgs có những đặt tính quan trọng khiến phản ứng của nó rất phức
tap. Vì vậy trong bài này, chúng tơi sử dụng các phép tính Feynman, quy tắc vàng Fermi,
phương pháp Casimir để tính tốn tốc độ phân rã của hạt Higgs. Đây là cách để phát hiện
hạt Higgs thông qua các tín hiệu của hạt ra. Từ đó, tạo điều kiện để các nhà vậy lý thực
nghiệm tìm được hạt Higgs tại máy gia tốc.
Từ khóa: phân rã, mức cây, Higgs

1

GIỚI THIỆU

Hạt Higgs là một hạt cơ bản trong mơ hình chuẩn của ngành vật lý hạt và là một
trong những loại hạt boson. Việc nghiên cứu tìm ra hạt Higgs đã giải thích cho nguyên
nhân gây ra khối lượng qn tính và bất đối xứng trong các nhóm Gauge. Do hạt Higgs
tồn tại trong thời gian vô cùng ngắn ngủi, nên nó khơng thể phát hiện trực tiếp, mà phải
thơng qua các sản phẩm phân rã của nó: boson và fermion. Vì vậy, trong thí nghiệm này,
ba q trình khác nhau sẽ được nghiên cứu. Điều này đã cung cấp cho các nhà vật lý một
cơ hội độc đáo để nghiên cứu đặc trưng của hạt Higgs. Do đó, việc nghiên cứu sự phân rã
mức cây của hạt Higss được đặt ra trong đề tài này là một vấn đề phức tạp nhưng rất cần
thiết. Kết quả nghiên cứu thơng qua các hạt nó sẽ phân rã ra có thể chứng minh cho sự

xuất hiện của hạt Higgs trong sự va chạm.
2

MƠ HÌNH CHUẨN CỦA VẬT LÝ HẠT

Mơ hình chuẩn (SM) các lớp của các hạt cơ bản (fermion, boson gauge, và các boson
Higgs), do đó có thể được phân biệt bởi một vài đặc trưng khác chẳng hạn như điện tích
màu.
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2016-2017
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, tháng 12/2016: tr. 429-437


430

2.1

NGUYỄN ĐĂNG HOÀNG PHÚC và cs.

Fermion

SM bao gồm 12 hạt cơ bản với spin 21 gọi là fermion. Theo định lý spin thống kê, các
fermion tuân theo nguyên tắc loại trừ Pauli. Mỗi fermion có một phản hạt tương ứng. Các
fermion của SM được phân loại theo cách chúng tương tác (hoặc tương đương, bởi những
gì điện tích mà chúng mang theo). Có sáu quark (lên, xuống, quyến rũ, lạ, top, bottom), và
sáu lepton (electron, neutrino electron, muon, neutrino muon, tau, neutrino tau). Những
cặp từ mỗi phân loại được nhóm lại với nhau để tạo thành một thế hệ, với các hạt tương
ứng mơ tả tính chất vật lý tương tự. Thuộc tính xác định của các quark là chúng mang
điện tích màu, và do đó, chúng tương tác thơng qua các tương tác mạnh. Một hiện tượng
được gọi là giam màu, nó miêu tả hiện tượng quark bị ràng buộc rất chặt chẽ với nhau, tạo
thành hạt phức hợp màu trung tính (hadron) chứa hoặc một quark và một quark (meson)

hoặc ba quark (baryon). Proton và neutron thông thường là hai baryon có khối lượng nhỏ
nhất. Quark cũng mang điện tích và isospin yếu. Do đó chúng tương tác với các fermion
khác cả tương tác điện từ và tương tác yếu. Sáu fermion cịn lại khơng mang điện tích màu
và được gọi là lepton. Ba neutrino không mang điện tích, vì thế chuyển động của chúng
chỉ bị ảnh hưởng trực tiếp bởi các lực hạt nhân yếu, mà làm cho việc phát hiện chúng gặp
nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nhờ mang một điện tích điện, các electron, muon và tau đều
có tương tác điện từ trường.

2.2

Boson Gauge

Trong SM, boson gauge được định nghĩa là các vật mang lực mà nó làm trung gian trong
các tương tác cơ bản như tương tác mạnh, tương tác yếu, và tương tác điện từ. Tương tác
trong vật lý là những cách mà các hạt ảnh hưởng đến các hạt khác. Ở một cấp độ vĩ mô,
điện từ cho phép các hạt tương tác với nhau qua điện và từ trường, và hấp dẫn cho phép
các hạt có khối lượng để thu hút nhau phù hợp với lý thuyết của Einstein thuyết tương
đối rộng. SM giải thích những lực như vậy là kết quả của các hạt vật chất trao đổi với các
hạt khác, thường được gọi là hạt lực làm trung gian. Khi một hạt lực trung gian được trao
đổi, ở mức độ vĩ mơ thì hiệu quả là tương đương với một lực mà nó ảnh hưởng đến cả hai
hạt, và do đó các hạt được cho là có lực trung gian . Tính tốn sơ đồ Feynman, trong đó
một sự miêu tả đồ thị của sự xấp xỉ lý thuyết nhiễu loạn, gọi "hạt lực trung gian", và khi
được áp dụng để phân tích thí nghiệm tán xạ năng lượng cao nằm trong thỏa thuận hợp
lý với dữ liệu. Tuy nhiên, lý thuyết nhiễu loạn (và cùng với nó là khái niệm về một "hạt
lực trung gian") không thành công trong các tình huống khác. Chúng bao gồm năng lượng
thấp sắc động lực học lượng tử, các trạng thái giam giữ, và soliton. Các boson gauge của
SM tất cả đều có spin. Các giá trị của spin là 1, thì nó là boson. Kết quả là, chúng không
tuân theo các nguyên tắc loại trừ Pauli (nguyên tắc đó giam giữ fermion). Vì vậy boson
(ví dụ như photon) khơng có một giới hạn lý thuyết về mật độ không gian của chúng (số
lượng mỗi thể tích). Các loại khác nhau của các boson gauge được mô tả dưới đây: -Photon

trung chuyển lực điện từ giữa các hạt tích điện. Các photon khơng có khối lượng và được
mơ tả tốt bởi những lý thuyết của điện động lực học lượng tử. -Boson gauge W + , W − , và


SỰ PHÂN RÃ MỨC CÂY CỦA HẠT HIGGS

431

Z làm trung gian cho các tương tác yếu giữa các hạt của những flavor khác nhau (tất cả
các hạt quark và lepton). Chúng có khối lượng lớn, với Z là nặng hơn W ± . Các tương tác
yếu liên quan đến việc W ± tác động trên các hạt tay trái và phản hạt tay phải. Hơn nữa,
W ± mang một điện tích của 1 và -1 và kết nối với sự tương tác điện từ. Boson Z trung
hòa về điện tương tác với cả các hạt và phản hạt đều tay trái. Ba boson gauge cùng với
các photon được nhóm lại với nhau, như làm trung gian chung là điện yếu tương tác. -Cịn
tám gluon thì làm trung gian cho các tương tác mạnh giữa các hạt điện tích màu (các hạt
quark). Gluon khơng có khối lượng. Sự đa eightfold của gluon được dán nhãn bởi một sự
kết hợp của điện tích màu và phản màu. Bởi vì các gluon có một điện tích màu hiệu quả,
chúng cũng có thể tương tác với nhau. Gluon và các tương tác của chúng được mô tả bởi
lý thuyết của sắc động lực học lượng tử.

2.3

Boson Higgs

Các hạt Higgs là một hạt cơ bản vơ hướng có khối lượng lớn được giả thuyết bởi Robert
Brout, Fran¸cois Englert, Peter Higgs, Gerald Guralnik, CR Hagen, và Tom Kibble vào năm
1964 và là một nền tảng quan trọng trong SM. [1] [2] [3] [4] Nó khơng có spin bên trong,
và vì lý do đó được phân loại như là một boson (như các hạt boson gauge, trong đó có
ngun spin). Hạt Higgs boson đóng một vai trị duy nhất trong SM, bằng cách giải thích
tại sao các hạt cơ bản khác, trừ các photon và gluon, rất lớn. Đặc biệt, các boson Higgs

giải thích tại sao các photon khơng có khối lượng, trong khi các hạt boson W và Z là rất
nặng. Khối lượng hạt cơ bản, và sự khác biệt giữa điện từ (qua trung gian bởi các photon)
và các lực yếu (qua trung gian của các boson W và Z), rất quan trọng đối với các mặt cấu
trúc của vật chất vi mô (và do đó là vĩ mơ). Trong lý thuyết điện yếu, các boson Higgs tạo
ra khối lượng của các lepton (electron, muon và tau) và quark. Khi Higgs boson có khối
lượng lớn, nó phải tương tác với chính nó. Bởi vì các boson Higgs là một hạt rất lớn và
cũng phân rã gần như ngay lập tức khi được tạo ra, chỉ có một máy gia tốc hạt năng lượng
rất cao có thể quan sát và ghi lại nó. Thí nghiệm để xác nhận và xác định bản chất của
hạt Higgs boson sử dụng tại Large Hadron Collider (LHC). Tổ chức Nghiên cứu Nguyên
tử Châu Âu (CERN) đã bắt đầu vào đầu năm 2010, và đã được thực hiện tại Fermilab’s
Tevatron cho đến khi đóng cửa vào cuối năm 2011. Tính nhất qn tốn học của SM địi
hỏi khả năng cơ học bất kỳ tạo ra khối lượng của các hạt cơ bản trở thành nhìn thấy ở
năng lượng trên 1,4 TeV; [5] Do đó, LHC (thiết kế cho va chạm hai dòng proton 7-8 TeV)
được xây dựng để trả lời câu hỏi liệu boson Higgs thực sự tồn tại. [6] Ngày 04 tháng 7 năm
2012, hai thí nghiệm chính tại LHC (ATLAS và CMS) đều báo cáo độc lập về việc họ đã
tìm thấy một hạt mới với khối lượng khoảng 125GeV /c2 (khoảng 133 khối lượng proton,
vào thứ tự của 10 - 25 kg), mà là "phù hợp với boson Higgs." Mặc dù nó có một số đặc
tính tương tự như dự đoán Higgs "đơn giản nhất" , [7] họ thừa nhận rằng công việc tiếp
theo sẽ là cần thiết để kết luận rằng nó thực sự là hạt Higgs boson, mà các phiên bản của
Higgs SM được hỗ trợ tốt nhất nếu được xác nhận. [8] [9] [10] [11] [12] Ngày 14 tháng 3
năm 2013 Higgs Boson đã được dự kiến khẳng định để tồn tại. [13]


432

NGUYỄN ĐĂNG HỒNG PHÚC và cs.

3

3.1

PHÉP TÍNH FEYNMAN

Quy tắc vàng của Fermi

Để tính tốc độ phân rã của các hạt cơ bản, ta cần khảo sát hai đại lượng đó là: biên độ M
(hay yếu tố ma trận) và không gian pha (hay mật độ trạng thái cuối) của quá trình phân
rã [12]. Biên độ là đại lượng động lực học của hệ vật lý, đại lượng này được tính thông qua
qui tắc Feynman. Không gian pha là đại lượng động học của q trình tương tác giữa các
hạt, nó phụ thuộc vào khối lượng, năng lượng, xung lượng của các hạt tham gia. Trong
phần này ta chỉ xét quy tắc vàng cho trường hợp phân rã hạt. Giả sử hạt 1 phân rã thành
các hạt con 2,3,4,...,n

1 → 2 + 3 + 4 + ... + n.

(3.1)

Tốc độ phân rã được cho bởi công thức sau:
S
dΓ =|M|
2m1
2



d3 p~2
(2π)3 2E2



d3 p~3
(2π)3 2E3




...

d3 p~n
(2π)3 2En


r

(3.2)

4

× (2π) δ(p1 − p2 − p3 . . . − pn ),
trong đó, pi = (Ei , p~i ) là xung lượng bốn chiều của hạt thứ i. Biểu thức trong dấu ngoặc
vuông là không gian pha. Hàm Delta được đưa vào để đảm bảo định luật bảo tồn năng
lượng, nó chỉ khác khơng khi p1 = p2 + p3 + · · · + pn Hạt phân rã được giả sử ở trạng thái
nghỉ và S là các hệ số thống kê, và bằng 1/j! cho mỗi nhóm hạt j đồng nhất ở trạng thái
cuối.

3.2

Phương pháp Casimir

Theo quy tắc vàng của Fermi, muốn xác định thời gian sống và biên độ tán xạ, ta cần tìm

giá trị của M và M2 khi đã biết spin của và vector phân cực của các hạt tham gia tương
tác. Tuy nhiên, trong hầu hết các thí nghiệm người ta không xác định rõ spin của mỗi hạt
trong chùm tới, vì thế Casimir đã đưa ra phương pháp để tính các đại lượng này bằng cách
lấy trung bình các hạt trước và sau q trình tương tác có spin định hướng bất kỳ. Như
thế, h|M|i =tổng toàn bộ spin của các hạt trước và sau quá trình tương tác. Cụ thể, xét
biên độ của quá trình tán xạ electron-muon
|M|2 =

const
[¯
u(3)γ µ u(1)] [¯
u(4)γµ u(2)] [¯
u(3)γ ν u(1)]∗ [¯
u(4)γµ u(2)]∗ .
(p1 − p3 )4

(3.3)

Như vậy, để tính biên độ, ta cần tính các biểu thức có dạng chung như sau
G ≡ [¯
u(a)Γ1 u(b)] [¯
u(a)Γ2 u(b)]∗ ,

(3.4)


433

SỰ PHÂN RÃ MỨC CÂY CỦA HẠT HIGGS

trong đó, (a) và (b) biểu diễn spin và xung lượng tương ứng của các hạt, Γ1 , Γ2 là các ma
trận vuông cấp 4. Số hạng liên hợp phức trong (1.56) được viết lại
¯ 2 u(a).
[¯
u(a)Γ2 u(b)]∗ = u(b)+ γ0 γ0 Γ+
¯(b)Γ
2 γ0 u(a) = u

(3.5)

Đặt theo đó biểu thức (3.4) trở thành
G = [¯
u(a)Γ1 u(b)] [¯
u(b)Γ2 u(a)] .

(3.6)

Lấy tổng trên toàn bộ hướng của spin hạt (b), sử dụng phương trình (P.5) ta có


 X

X
¯ 2 u(a),
G = u
¯(a)Γ1
usb (pb )¯
u(sb) (pb ) Γ



(3.7)

sb =1,2

spinb

¯ 2 (a) = u
= u
¯(a)Γ1 (/pb + mb )Γ
¯(a)Qu(a),

(3.8)

với Q là ma trận vuông cấp bốn . Tiếp theo, lấy tổng trên toàn bộ hướng của spin hạt (a),
ta có
X X
X
G =
u
¯(sa ) (pa )Qu(sa ) (pa ).
(3.9)
spin a spin b

sa =1,2

Từ tính chất của phép nhân ma trận, tổng trên được có thể được viết


 X


X
u
¯(sa ) (pa )i Qij u(sa ) (pa )j = Qij
u
¯(sa ) (pa )Qu(sa ) (pa )
,


sa =1,2

sa =1,2

ji

(3.10)

= Qij (6 pa + ma )ij = T r [Q(6 pa + ma )] ,
trong đó, i, j = 1, .., 4 và Tr là phép lấy vết của ma trận
X
T r(A) =
Aij .

(3.11)

i

Như vậy, ta có
X



¯ 2 (6 pa + ma ) .
[¯
u(a)Γ1 u(b)] [¯
u(a)Γ2 u(b)] = T r Γ1 (6 pb + mb )Γ

(3.12)

spin

Phương pháp Casimir quy việc tính trung bình bình phương biên độ về việc tìm vết của
ma trận [12].
4

4.1

SỰ PHÂN RÃ CỦA HẠT HIGGS

Higgs phân rã tạo thành cặp fermion – phản fermion

Biên độ chuyển dời của giản đồ được cho bởi:
mf
mf
MH→f f¯ =
u
¯r vr ⇒ M†H→f f¯ =
v¯r ur ,
v 2 3
v 3 2

(4.1)


434

NGUYỄN ĐĂNG HỒNG PHÚC và cs.

Hình 1: Higgs phân rã thành cặp fermions.

do đó, bình phương biên độ chuyển dời trở thành:


X




2

MH→f
f¯
=

r2 ,r3

=
=

m2f

v2

T r{(6 p2 + mf )(6 p3 − mf )},

m2f

{Tr(6 p2 6 p3 ) + T r(6 p3 mf ) − T r(6 p2 mf ) − T r(m2f )},
v2
4m2f
(p2 p3 − m2f ).
v2

(4.2)

Trong hệ quy chiếu khối tâm, vector xung lượng 4 chiều tướng đối tính như sau:
p),
pµ1 = (MH , ~0), pµ2 = (Ef , p~), pµ3 = (Ef , −~

(4.3)

mặt khác, theo định luật bảo toàn xung lượng:
p| .
MH = 2Ef with Ef2 = p2 + m2f , p = |~

(4.4)

Dễ dàng nhận thấy rằng:
4m2f
4m2f
1 2

1
p2 p3 − m2f = MH
(1 − 2 ), p = MH (1 − 2 )1/2 .
2
2
MH
MH

(4.5)

Và chúng ta cũng có thể tìm được bình phương biên độ của q trình biến đổi này:

2
X


2m2f 2
4m2f 1/2



M(H→f f¯)
= NC 2 MH (1 − 2 ) .
v
MH
r
i

NC là số màu, nó bằng 1 cho leptons và 3 cho quarks.

(4.6)


SỰ PHÂN RÃ MỨC CÂY CỦA HẠT HIGGS

4.2

435

Higgs phân rã tạo thành các boson(W + , W − )

Hình 2: Higgs phân rã tạo thành A=W.

Biên độ chuyển dời của giản đồ được cho bởi:
MH→W W =

2
2
2MW
2MW
∗
∈µr2 ∈µ,r3 ⇒ M†H→W W =
∈v∗
r2 ∈v,r3 ,
v
v

(4.7)

dó đó, bình phương biên độ chuyển dời trở thành:

X

|MH→W W |2 =

ri

4
4MW
p3µ p3v
pµ2 pv2
µv
(−g
+
)(−g µv +
2
2 ).
2
v
MW
MW

(4.8)

Khảo sát các vector có tính on-shell cuối:
X

|MH→W W |2 =

ri

4.3

4
4
4
2
4MW
4MW
MH
(p2 p3 )2
1 MH
(2
+
(3
+
)
=
−
4
4
2 ).
v2
v2
4 MW
MW
MW

(4.9)

Higgs phân rã tạo thành các boson(Z, Z ∗ )

Hình 3: Higgs phân rã tạo thành A=Z.

Biên độ chuyển dời của giản đồ được cho bởi:
MH→ZZ =

2MZ2 µ
2MZ2 v∗ ∗
∈r2 ∈µ,r3 ⇒ M†H→ZZ =
∈r2 ∈v,r3 ,
v
v

(4.10)


436

NGUYỄN ĐĂNG HỒNG PHÚC và cs.

do đó, bình phương biên độ chuyển dời trở thành:
X

|MH→ZZ |2 =

ri

4MZ4
p3µ p3v
pµ2 pv2

µv
(−g
+
)(−g µv +
).
2
2
v
MZ
MZ2

(4.11)

Khảo sát các vector có tính on-shell cuối:
X

|MH→ZZ |2 =

ri

5

4
2
4MZ4
4MZ4
MH
(p2 p3 )2
1 MH
(2

+
(3
+
)
=
−
).
v2
v2
4 MZ4
MZ4
MZ2

(4.12)

KẾT LUẬN

Trong bài báo này, chúng tôi đã tìm hiểu được mơ hình chuẩn và các phép tính
Feynman: quy tắc vàng Fermi và phép tính Casimir. Từ đó, sau q trình tính tốn, chúng
tơi thu được bình phương biên độ trung bình qua ba quá trình phân rã như sau:

5.1

Higgs phân rã tạo thành cặp fermion – phản fermion

2
X


4m2f 1/2

2m2f 2


(1
−
M
.
M
=
N

(H→f f¯)