Nhóm lũy linh và nhóm con giao hoán tử bậc cao

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THÀNH TÍN

NHĨM LŨY LINH VÀ NHĨM CON GIAO
HỐN TỬ BẬC CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THÀNH TÍN

NHĨM LŨY LINH VÀ NHĨM CON GIAO
HỐN TỬ BẬC CAO

Chun ngành:Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn
TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - 2021

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5. Cấu trúc của luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 CẤU TRÚC NHĨM

4

1.1

Nhóm và p - nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Nhóm con giao hốn tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Quan hệ đồng chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 NHÓM LŨY LINH, NHĨM CON GIAO HỐN TỬ BẬC
CAO

18

2.1

Nhóm lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Nhóm con giao hốn tử bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Ứng dụng của các nhóm con giao hốn tử bậc cao trong
phân loại đồng chất các nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . 35


KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản
sao)

39


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết nhóm, nhóm lũy linh là một trong những lớp nhóm có
vai trị khá quan trọng trong nghiên cứu nhóm hữu hạn, đặc biệt là p –
nhóm hữu hạn. Các nhóm con giao hoán tử bậc cao và dãy tâm giảm của
một nhóm cũng góp phần trong việc đặc trưng cho nhóm lũy linh. Hơn
nữa, lớp lũy linh, nhóm con giao hốn tử bậc cao cịn có ứng dụng trong
bài tốn phân loại (đẳng cấu, đồng chất) các nhóm hữu hạn, cụ thể là lớp
lũy linh và các nhóm con giao hốn tử bậc cao là các bất biến đối với quan
hệ đồng chất trên tập các nhóm.
Là một sinh viên sau đại học ngành Đại số và Lý thuyết số, nhằm tìm
hiểu về nhóm lũy linh, nên tơi chọn đề tài luận văn của mình là : “ Nhóm
lũy linh và nhóm con giao hốn tử bậc cao”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu các vấn đề sau:
- Tìm hiểu dãy tâm tăng, dãy tâm giảm của một nhóm.
- Tìm hiểu về nhóm lũy linh, lớp lũy linh.
- Tìm hiểu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.


2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nhóm hữu hạn, p – nhóm hữu hạn.
- Dãy tâm giảm, dãy tâm tăng của một nhóm hữu hạn.
- Nhóm lũy linh, các đặc trưng của nhóm lũy linh.
- Ứng dụng của lớp lũy linh, nhóm con giao hốn tử bậc cao trong quan
hệ đồng chất trên tập các nhóm.

4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tổng hợp, phân tích các tài liệu có nội dung liên quan đến
đề tài luận văn, đặc biệt là tài liệu về nhóm lũy linh, về nhóm con
giao hốn tử bậc cao và những ứng dụng của chúng để thực hiện luận
văn.
- Dự xemina, trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng
dẫn và các chuyên gia.

5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia thành hai chương.
Chương 1 : CẤU TRÚC NHÓM
Để làm cơ sở cho chương sau là nội dung chính của luận văn, chương
này nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức cần thiết về cấu trúc nhóm.
Đặc biệt phần cuối chương trình bày quan hệ đồng chất trên tập các nhóm,


3

là một quan hệ tương đương khá hữu ích cho bài tốn phân loại đẳng cấu
các nhóm hữu hạn.
Chương 2 : NHĨM LŨY LINH , NHĨM CON GIAO HỐN TỬ BẬC
CAO
Chương này trình bày nhóm lũy linh, các nhóm con giao hoán tử bậc
cao, và một số đặc trưng của nhóm lũy linh. Phần cuối của chương trình
bày một ứng dụng của các nhóm con giao hốn tử bậc cao trong quan hệ
đồng chất trên tập các nhóm.


4

CHƯƠNG 1

CẤU TRÚC NHÓM

Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại một cách sơ lược một
số kiến thức cần thiết về cấu trúc nhóm. Đặc biệt phần cuối chương trình
bày quan hệ đồng chất trên tập các nhóm, là một quan hệ tương đương
khá hữu ích cho bài tốn phân loại đẳng cấu các nhóm hữu hạn. Các chi
tiết liên quan có thể tìm hiểu trong các tài liệu về lý thuyết nhóm, chẳng
hạn trong [2],[3],[5], . . .

1.1

Nhóm và p - nhóm

Định nghĩa 1.1.1.
Ta gọi nhóm là một cặp (G, •), trong đó G là một tập hợp khác rỗng
và " • " là phép tốn hai ngôi trên G thỏa mãn ba điều kiện sau:
i) Phép tốn " • " có tính chất kết hợp, tức là

(a • b) • c = a • (b • c), ∀a, b, c ∈ G.
ii) Có một phần tử e ∈ G được gọi là phần tử trung lập, có tính chất

a • e = e • a = a, ∀a ∈ G.
iii) Với mỗi a ∈ G, có một phần tử a0 ∈ G được gọi là nghịch đảo của

a sao cho
a • a0 = a0 • a = e.
Nếu phép tốn hai ngơi của nhóm G có tính chất giao hốn thì ta nói

G là một nhóm giao hốn hay nhóm aben.


5

Nếu G là tập hợp hữu hạn, ta nói G là nhóm hữu hạn; nếu G là tập
hợp vơ hạn, ta nói G là nhóm vơ hạn.
Cấp của một nhóm G, ký hiệu |G|, là số phần tử của G nếu G là nhóm
hữu hạn, và bằng ∞ nếu G là nhóm vơ hạn.
Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số nguyên tố p được gọi là
một p - nhóm hữu hạn.

Từ đây về sau, nếu khơng nói gì khác ta quy ước phép tốn trong một
nhóm được nói đến được ký hiệu là phép tốn nhân.
Định nghĩa 1.1.2.
Một tập hợp con ổn định A (nghĩa là ∀a, b ∈ A, ab ∈ A) của một nhóm

G được gọi là nhóm con của G nếu A cùng với phép tốn cảm sinh là một
nhóm, ký hiệu A ≤ G.
Một nhóm H được gọi là một p- nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G
nếu H là một p - nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của

p chia hết |G|.
Định nghĩa 1.1.3.
Giả sử U là một tập con khác rỗng của nhóm G. Nhóm con bé nhất
(theo quan hệ bao hàm ) của G mà chứa U gọi là nhóm con sinh bởi U ,
ký hiệu hU i.
Nếu U = {a1 , a2 , . . . , an } thì nhóm con sinh ra bởi U , cịn được ký hiệu
là ha1 , a2 , . . . , an i .

Nếu G = hU i thì U gọi là một hệ sinh của G hay G được sinh bởi U .


6

Định nghĩa 1.1.4.
Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G được sinh bởi chỉ một phần tử

a ∈ G. Phần tử a được gọi là phần tử sinh của G.
Nhóm xyclic cấp n được ký hiệu là Cn .

hai = {an /n ∈ Z}
Rõ ràng, một nhóm xyclic là nhóm giao hốn.
Định nghĩa 1.1.5.
Giả sử G là một nhóm. Một nhóm con M của G được gọi là nhóm
con cực đại của G nếu M 6= G và với H là một nhóm con của G mà

M ≤ H ≤ G, thì G = H hoặc H = M .
Định nghĩa 1.1.6.
Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G. Nếu am 6= e, với mọi
số ngun m > 0, thì ta nói a có cấp vơ hạn. Nếu trái lại, thì số ngun
dương nhỏ nhất m sao cho am = e được gọi là cấp của a.
Ký hiệu cấp của phần tử a là ord (a).


Nếu ord (a) = m thì hai = a0 = 1, a1 , . . . , am−1 và ta còn viết

ha | am = ei.
ord (a) = 1 khi và chỉ khi a = e.
Định lý 1.1.1. (Định lý Lagrange)[2]

Cấp của một nhóm hữu hạn G là bội của cấp của mọi nhóm con của
nó.
Từ Định lý trên , ta có hệ quả sau.


7

Hệ quả 1.1.2.
i) Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì ∀a ∈ G, ord(a) chia hết cấp của
nhóm G.
ii) Mọi nhóm có cấp là một số nguyên tố đều là nhóm xyclic, và được
sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm.
Mệnh đề 1.1.3. [3]
Mọi nhóm có cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm giao hốn.
Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G
i) Với a ∈ G, các tập hợp aS = { as: s ∈ S}, Sa = { sa : s ∈ S} lần
lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi phần tử a.
ii) Lực lượng của tập G/S gồm các lớp kề trái của S trong G được gọi
là chỉ số của nhóm con S trong nhóm G, và được ký hiệu là [G : S].
Định nghĩa 1.1.8.
Một nhóm con S của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G,
ký hiệu S E G , nếu

∀x ∈ G, ∀s ∈ S, x−1 sx ∈ S.
Định lý 1.1.4. [3]
Giả sử S ≤ G. Hai mệnh đề sau là tương đương
i) S E G.
ii) ∀x ∈ G, xS = Sx.
Theo Định lý trên, khi S E G thì xS = Sx, với x ∈ G, nên ta chỉ gọi

là lớp kề thay cho lớp kề trái, kề phải.


8

Giả sử A, B là hai tập con của một nhóm G.
Ký hiệu : AB = {ab/a ∈ A, b ∈ B} ⊂ G
Mệnh đề 1.1.5. [5]
Giả sử A, B là hai nhóm con của nhóm G, khi đó:
i) Nếu B E G, thì AB ≤ G.
ii)Nếu A E G và B E G, thì AB E G.
Mệnh đề 1.1.6. [5]
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Nếu [G : S] = 2 thì S E G.
Giả sử G là một nhóm và S ≤ G, ký hiệu

NG (S) = {g ∈ G/gS = Sg}
Z(G) = {g ∈ G/gx = xg, ∀x ∈ G}
Dễ kiểm tra được NG (S) là một nhóm con của G và Z(G) là nhóm con
chuẩn tắc của G.
Định nghĩa 1.1.9.
i) Nhóm con NG (S) gọi là nhóm con chuẩn hóa của S trong G.
ii) Nhóm con Z(G) gọi là nhóm con tâm của G.

Ví dụ 1.1.10.
i) Xét nhóm dihedral



Dn = a, b | an = 1 = b2 , (ab)2 = 1 ,

n≥3

Dn = {1, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b}
Dn là nhóm khơng giao hốn cấp 2n, n ≥ 3 ( Xem [2])


9

Từ (ab)2 = 1, bằng quy nạp ta có ar b = ba−r , 0 ≤ r ≤ n − 1.

∀x ∈ Dn , x = ar bs , 0 ≤ r ≤ n − 1,s = 0, 1
Nếu s = 1, x = ar b, 0 ≤ r ≤ n − 1

[ar b, a] = ba−r a−1 ar ba = ba−1 ba = b2 a2 = a2 6= 1
⇒ ar b ∈
/ Z(Dn ), 0 ≤ r ≤ n − 1
Nếu s = 0, x = ar , 0 ≤ r ≤ n − 1

[x, b] = [ar , b] = a−r bar b = a−r a−r bb = a−2r .
x ∈ Z(Dn ) ⇒ [x, b] = 1, hay a−2r = 1.


r= 0
r= 0

⇒
⇒
.
r 6= 0, 2r..n
r=

6 0, n = 2r
Như vậy :
Nếu n = 2k : chẵn , thì Z(Dn ) = {1, ak }
Nếu n : lẻ, thì Z(Dn ) = {1}.
ii) Xét nhóm quaternion



Q8 = a, b | a4 = 1, a2 = b2 , aba = b

Q8 = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b} là nhóm khơng giao hoán cấp 8
∀x ∈ Q8 , x = ar bs , 0 ≤ r ≤ 3, s = 0, 1
a2 x = a2 ar bs = ar b2 bs = ar bs a2 = xa2


⇒ a2 ∈ Z(Q8 ), a2 ≤ Z(Q8 )


⇒ |Z(Q8 )| ≥ 2, vì | a2 | = 2
⇒ |Z(Q8 )| = 2, vì Q8 khơng giao hốn


Vậy Z(Q8 ) = a2 .


10

Định lý 1.1.7. [5]
Nếu G là một p - nhóm, |G| > 1, thì |Z(G)| > 1.
Định lý 1.1.8. [9]

Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và S là một
p - nhóm con Sylow của H . Khi đó G = NG (S)H .
Mệnh đề 1.1.9. [3]
Giả sử G là một nhóm và S E G, khi đó
i) Quy tắc cho tương ứng cặp (aS, bS) với lớp ghép abS là một ánh xạ
từ G/S × G/S đến G/S .
ii) Tập G/S cùng với phép tốn : aS.bS = abS là một nhóm.
Định nghĩa 1.1.11.
Nhóm G/S được gọi là nhóm thương của G theo nhóm con chuẩn tắc

S.
Định nghĩa 1.1.12.
Giả sử G và H là hai nhóm. Một ánh xạ f : G → H được gọi là một
đồng cấu nhóm nếu f (ab) = f (a)f (b), ∀a, b ∈ G .
Nếu G = H thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của nhóm G.
Một đồng cấu nhóm f với f là một đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song
ánh) được gọi là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) . Một tự
đồng cấu mà song ánh gọi là một tự đẳng cấu.
Nếu có một đẳng cấu từ nhóm G đến nhóm H thì ta nói hai nhóm G
và H đẳng cấu với nhau, ký hiệu G ∼
= H.

Giả sử A, B là hai nhóm và A × B = {(a, b)/a ∈ A, b ∈ B}


11

Trên tập A × B ta định nghĩa một phép tốn hai ngơi như sau

(a, b)(c, d) = (ac, bd); ∀a, c ∈ A, ∀b, d ∈ B

Dễ kiểm tra được tập A × B cùng với phép tốn ở trên lập thành một
nhóm.
Định nghĩa 1.1.13.
Nhóm A × B được xác định như trên được gọi là tích trực tiếp của hai
nhóm A và B .
Nhóm tích trực tiếp A × B còn được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm

A và B , và ký hiệu A ⊕ B . Các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp
chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vơ hạn nhóm ( Xem

[2]).

1.2

Nhóm con giao hốn tử

Định nghĩa 1.2.1.
Cho G là một nhóm và a, b ∈ G. Phần tử ký hiệu [a, b] = a−1 b−1 ab
được gọi là giao hoán tử của phần tử a với phần tử b.

Định nghĩa 1.2.2.
Giả sử H và K là hai nhóm con của một nhóm G. Ta gọi nhóm con
giao hốn tử của H và K là nhóm con sinh bởi tất cả các giao hốn tử

[h, k], với h ∈ H, k ∈ K ,và được ký hiệu [H, K].
[H, K] = h[h, k] | h ∈ H, k ∈ Ki
Nếu H = K = G, thì nhóm con [G, G] được gọi là nhóm con giao hốn
tử của nhóm G.

12

Mệnh đề 1.2.1. [5]
Cho G là một nhóm, ta có
i) Nhóm con giao hốn tử [G, G] là một nhóm con chuẩn tắc của G.
ii) Nhóm thương G/[G, G] là nhóm giao hốn.
iii) Nếu A E G, khi đó G/A là nhóm giao hốn khi và chỉ khi [G, G] ⊂ A.

Ví dụ 1.2.3.



i) Xét nhóm Dn = a, b | an = 1 = b2 , (ab)2 = 1 ,

n>2

Dn = {1, a, a2 , . . . , b, ab, a2 b, . . . , an−1 b} : nhóm khơng aben cấp 2n.


Khi đó : [Dn , Dn ] = a2
Thật vậy, (ab)2 = 1 ⇒ ar b = ba−r , 0 ≤ r ≤ n − 1


[b, a] = b−1 a−1 ba = bbaa = a2 ; ⇒ a2 ≤ [Dn , Dn ]




Hơn nữa, ∀x ∈ Dn , ∀y ∈ a2 , ta có x−1 yx ∈ a2


⇒ a2 E Dn .


• Nếu n = 2k, a2 = {1, a2 , a4 , . . . , a2(k−1) }




⇒ | a2 | = k, |Dn / a2 | = 4


• Nếu n = 2k + 1, a2 = {1, a2 , a4 , . . . , a2k }




⇒ | a2 | = 2k + 1, |Dn / a2 | = 2


Trong cả hai trường hợp thì Dn / a2 là nhóm aben


⇒ [Dn , Dn ] ⊂ a2 .


Vậy [Dn , Dn ] = a2 .
ii) Xét nhóm


Q8 = x, y | x4 = 1, x2 = y 2 , xyx = y


13

Q8 = {1, x, x2 , x3 , y, xy, x2 y, x3 y} : nhóm khơng aben cấp 8.
[y, x] = y −1 x−1 yx = y −1 yxx = x2


⇒ x2 ∈ [Q8 , Q8 ], suy ra x2 ≤ [Q8 , Q8 ]




⇒ [Q8 , Q8 ] = x2 , vì Q8 khơng giao hốn và x2 E Q8 .

1.3

Nhóm giải được

Định nghĩa 1.3.1.
Nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy nhóm con

{1} = G0 ⊂ G1 ⊂ · · · ⊂ Gn = G
sao cho Gi E Gi+1 và Gi+1 /Gi là nhóm abel, i = 0, 1, . . . , n − 1.
Ví dụ 1.3.2.
i) Các nhóm dihedral Dn , n ≥ 3, đều là nhóm giải được


Thật vậy: Dn = a, b | an = 1 = b2 , (ab)2 = 1

⇒ | hai | = n và [Dn : hai] = 2
Theo Mệnh đề 1.1.6, hai E Dn

⇒ Dn có dãy nhóm con sau
{1} E hai E Dn
với Dn / hai là nhóm xyclic cấp 2.
Vậy Dn , n ≥ 3, là nhóm giải được.
ii) Nhóm đối xứng S3 là giải được vì có dãy nhóm con

{1} E A3 E S3 ,
trong đó nhóm thay phiên A3 là nhóm xyclic cấp 3, và nhóm thương S3 /A3
là nhóm xyclic cấp 2.


14

iii) Nhóm đối xứng trên n phần tử Sn , n ≥ 5, là nhóm khơng giải được
(Xem [4]).

1.4

Quan hệ đồng chất

Định nghĩa 1.4.1. [9]
Cho G là một nhóm, kí hiệu G0 = [G, G], G = G/Z(G), và cho ánh xạ

fG : G × G −→ G0

(x, y) 7−→ [x, y]
Hai nhóm G và H được gọi là đồng chất nếu tồn tại hai đẳng cấu

ϕ : G → H và ψ : G0 → H 0 sao cho biểu đồ sau giao hốn

hay fH ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ fG .
Nếu nhóm G quan hệ đồng chất với nhóm H , ta kí hiệu G ∼ H .
Mệnh đề 1.4.1. [9]
Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương đương.
Chứng minh:
(i) Cho G là một nhóm. Xét hai đẳng cấu đồng nhất

1G : G → G và 1G0 : G0 → G0
Ta có fG ◦ (1G × 1G ) = 1G0 ◦ fG , thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa
1.4.1, do đó nhóm G quan hệ đồng chất với chính nó. Suy ra quan hệ đồng
chất trên tập các nhóm có tính phản xạ.


15

(ii) Cho 2 nhóm G và H . Giả sử G ∼ H . Khi đó, tồn tại hai đẳng cấu

ϕ : G → H và ψ : G0 → H 0 sao cho
fH ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ fG .
Suy ra tồn tại hai đẳng cấu ngược ϕ−1 : H → G và

ψ −1 : H 0 → G0 . Sử dụng định nghĩa đẳng cấu và quan hệ đồng chất ta có


fG ◦ ϕ−1 × ϕ−1 = ψ −1 ◦ fH
Suy ra H ∼ G. Do đó, quan hệ đồng chất trên tập các nhóm có tính

đối xứng.
(iii) Cho ba nhóm G, H và K . Giả sử G ∼ H và H ∼ K . Khi đó, tồn
tại hai đẳng cấu ϕ : G → H và ψ : G0 → H 0 sao cho fH ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ fG ,
và hai đẳng cấu γ : H → K và η : H 0 → K 0 sao cho fK ◦ (γ × γ) = η ◦ fH .
Ta có fK ◦ (γ × γ) ◦ (ϕ × ϕ) = η ◦ fH ◦ (ϕ × ϕ) = η ◦ ψ ◦ fG .
Suy ra G ∼ H . Do đó, quan hệ đồng chất trên tập các nhóm có tính
bắc cầu.
Từ i), ii) và iii) ta có quan hệ đồng chất trên tập các nhóm là một quan
hệ tương đương.
Mỗi lớp tương đương theo quan hệ đồng chất được gọi là một lớp đồng
chất ( hay một họ đồng chất).
Hệ quả 1.4.2.
Mọi nhóm giao hốn đều thuộc cùng một lớp đồng chất.
Ví dụ 1.4.2.
i) Hai nhóm D4 và Q8 đồng chất nhau.
Thật vậy :



D4 = a, b | a4 = b2 = 1, (ab)2 = 1


16





Z (D4 ) = a2 , [D4 , D4 ] = a2 ,
D

E
2
2
D4 = D4 /Z (D4 ) = a, b | a = b = [a, b] = e ∼
= C2 × C2 .



Nhóm Q8 = x, y | x4 = e, x2 = y 2 , y −1 xy = x−1 có




Z (Q8 ) = x2 , [Q8 , Q8 ] = x2 ,
D
E
2
2
Q8 = Q8 /Z (Q8 ) = x, y | x = y = [x, y] = e ∼
= C2 × C2 .
Suy ra D4 ∼
= [Q8 , Q8 ].
= Q8 và [D4 , D4 ] ∼
Mặt khác, ta có biểu đồ sau giao hoán

Thật vậy, xét hai đẳng cấu:

ϕ : D4 −→ Q8
a 7−→ x
b 7−→ y

ψ : [D4 , D4 ] −→ [Q8 , Q8 ]
[a, b] 7−→ [x, y]
và hai đồng cấu

fD4 : D4 × D4 −→ [D4 , D4 ]
(a, b) 7−→ [a, b]
fQ8 : Q8 × Q8 −→ [Q8 , Q8 ]
(x, y) 7−→ [x, y]
Với a, b ∈ D4 , ta có

(fQ8 ◦ (ϕ × ϕ)) (a, b) = fQ8 ((ϕ × ϕ))(a, b) = fQ8 (x, y) = [x, y]


17

(ψ ◦ fD4 ) (a, b) = ψ fD4 ([a, b]) = ψ([a, b]) = [x, y]
Suy ra : fQ8 ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ fD4 .
Do đó, hai nhóm D4 và Q8 đồng chất với nhau.

ii) Hai nhóm D8 và Q16 đồng chất nhau.



D8 = a, b | a8 = b2 = 1, (ab)2 = 1



Q16 = x, y | x8 = 1, x4 = y 2 , y −1 xy = x−1




Theo Ví dụ 1.1.10, ta có Z (D8 ) = a4 , [D8 , D8 ] = a6 , và ta cũng tính




được Z (Q16 ) = x4 , [Q16 , Q16 ] = x6
Tương tự như ví dụ i), ta cũng có hai đẳng cấu

ϕ : D8 −→ Q16 , với ϕ(a) = x và ϕ(b) = y
ψ : [D8 , D8 ] −→ [Q16 , Q16 ], với ψ([a, b]) = [x, y]
Hai đẳng cấu ϕ và ψ này thỏa mãn điều kiện để D8 và Q16 đồng chất
nhau.


18

CHƯƠNG 2

NHĨM LŨY LINH, NHĨM CON GIAO HỐN
TỬ BẬC CAO

Chương này trình bày nhóm lũy linh, các nhóm con giao hốn tử bậc
cao, và một số đặc trưng của nhóm lũy linh. Phần cuối của chương trình
bày một ứng dụng của các nhóm con giao hốn tử bậc cao trong quan hệ
đồng chất trên tập các nhóm. Nội dung của chương này được tham khảo
từ các tài liệu [5],[6],[9],. . .

2.1

Nhóm lũy linh

Định nghĩa 2.1.1. [5]
Với một nhóm G bất kỳ, ta định nghĩa các nhóm con chuẩn tắc Zi (G),

i = 0, 1, 2, ... như sau ( để cho gọn ta ký hiệu Zi = Zi (G)).
Z0 = {1} và với i > 0, Zi là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho
Zi /Zi−1 = Z (G/Zi−1 )
Dãy các nhóm con

{1} = Z0 ⊂ Z1 ⊂ Z2 ⊂ . . .
được gọi là dãy tâm tăng của nhóm G. Nhóm con Zi = Zi (G) được gọi là
tâm thứ i của nhóm G.
Ví dụ 2.1.2.



i) Xét nhóm Q8 = x, y | x4 = 1, x2 = y 2 , xyx = y


Z1 (Q8 ) = Z(Q8 ) = x2 = {1, x2 } ( Xem Ví dụ 1.1.10(ii))


19

⇒ |Q8 /Z1 | =

8
2

=4

⇒ Q8 /Z1 là nhóm giao hoán ( Xem Mệnh đề 1.1.3)
Z2 /Z1 = Z(Q8 /Z1 ) = Q8 /Z1
Z2 (Q8 ) = Q8
Vậy dãy tâm tăng của nhóm Q8 là

{1} = Z0 ⊂ Z1 = {1, x2 } ⊂ Z2 = Q8
ii) Xét nhóm



G = D4 = a, b | a4 = 1, b2 = 1, (ab)2 = 1

Z1 = Z(G) = {1, a2 } ( Xem 1.1.10 (i))
⇒ |G/Z1 | =

|G|
|Z1 |

=

8
2

= 4 ; ⇒ G/Z1 là nhóm aben

⇒ Z2 /Z1 = Z(G/Z1 ) = G/Z1 ; ⇒ Z2 = G
Vậy nhóm D4 có dãy tâm là

{1} = Z0 ≤ Z1 = {1, a2 } ≤ Z2 = D4
iii) Xét nhóm



G = D6 = a, b | a6 = b2 = 1, (ab)2 = 1

= {1, a, a2 , ..., a5 , b, ab, a2 b, ..., a5 b}
Z1 = Z(G) = {1, a3 }
G/Z = {1, a, a2 , b, ab, a2 b} là nhóm khơng giao hốn cấp 6
⇒ G/Z ∼
= D3 ; ⇒ Z(G/Z) = {¯1} = Z1 /Z1 ; ⇒ Z2 = Z1
G/Z2 = G/Z1 ⇒ Z3 /Z2 = Z(G/Z2 ) = Z(G/Z1 ) = {¯1}
⇒ Z3 = Z2 = Z1
Tương tự, ta có Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = ...