(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ THẾ SẮC

TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - 2022


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ THẾ SẮC

TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN

Ngành : Tốn học
Mã số :

9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy

Hà Nội - 2022


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Tính hầu tuần hồn,
hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên tồn
trục thời gian là cơng trình nghiên cứu của tơi, hồn thành dưới sự hướng dẫn
của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn
trung thực và chưa từng được tác giả khác cơng bố trong bất kỳ một cơng trình
nghiên cứu nào. Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúng
quy định.
Hà Nội, ngày 08 tháng 01 năm 2022
Người hướng dẫn

Nghiên cứu sinh

PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy

Lê Thế Sắc

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội dưới
sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Thầy không chỉ là một nhà

khoa học mà cịn là một người vơ cùng mẫu mực trong công việc cũng như trong
cuộc sống. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới thầy.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Trường Xuân, người đã
hướng dẫn, đồng hành và tận tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu
và hồn thành luận án.
Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội, tơi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ của các thầy cơ
trong bộ mơn Tốn Cơ bản, các thầy cơ trong Viện Tốn Ứng dụng và Tin học.
Đặc biệt, tơi đã nhận được những đóng góp, chia sẻ, động viên của các thành
viên trong nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân
và ứng dụng” tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội do PGS.TSKH. Nguyễn
Thiệu Huy điều hành. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các
thành viên trong nhóm seminar.
Nhân dịp này, tơi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, các
Phịng, Ban liên quan, Khoa Cơng nghệ thơng tin và Bộ mơn Tốn học thuộc
trường Đại học Thủy lợi đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên
cứu.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và tồn thể bạn bè đã
ln khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôi
vững tâm học tập và nghiên cứu.
Nghiên cứu sinh

ii


MỤC LỤC

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

1

MỞ ĐẦU

3

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài . . . . . . . .

3

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . .

8

3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

5. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

13

Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2

Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Không gian hàm, không gian nội suy và một số lớp hàm . . . .

16

1.2.1

Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.3

Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt . . . . . . .

21

1.2.4

Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.5

Hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình . . . . . . . . . .

23

1.2.6

Hàm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng .

27

Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN KHƠNG GIAN
NỘI SUY
2.1

2.2

30

Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính

. . . . . . . . .

31

2.1.1

Nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình . . . . . . . .

31

2.1.2

Nghiệm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37

Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . .

40

2.2.1

Sự tồn tại của một số lớp nghiệm . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.2

Tính ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

iii


2.3

Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.1

Phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi . . . . . .

47

2.3.2

Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 48

2.3.3

Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng . . .

50

2.3.4

Phương trình Navier-Stokes trong khơng gian Besov . . .

52

Chương 3. MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIERSTOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ CĨ TRỌNG MUCKENHOUPT
3.1

56

Các đánh giá Lp −Lq giữa các khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Phương trình tuyến tính trên khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

58
60

Phương trình nửa tuyến tính trên khơng gian Lorentz có trọng
Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Chương 4. MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN
4.1
4.2

Dạng ma trận của hệ phương trình Boussinesq và các đánh giá
Lp − Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . .

72

4.2.1

Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hồn và hầu tự đồng hình 72

4.2.2

Nghiệm tựa hầu tuần hồn và tựa hầu tự đồng hình có
trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

69

79

Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính 81
4.3.1

Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.3.2

Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

90

1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . .

90

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

92

TÀI LIỆU THAM KHẢO

93

iv


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: Tập hợp các số tự nhiên.

R

: Tập hợp các số thực.

R+

: Tập hợp các số thực không âm.

X

: Không gian Banach.

L(X)

: Không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X.

AP (R, X)

: Khơng gian các hàm hầu tuần hồn từ R → X.

AA(R, X)

: Không gian các hàm hầu tự đồng hình từ R → X.

S p AA(R, X)

: Khơng gian hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X.

Rn+

:= {x = (x , xn ) ∈ Rn : xn > 0}.

Lp (Ω)

:=

1/p

u:Ω→X: u

p

u(x) p dx

=

< ∞, 1 ≤ p < ∞ .

Ω

L∞ (Ω)

:= {u : Ω → X : u

∞

= ess sup |u(x)| < ∞}.
x∈R
1/p

Lploc (Ω)

:=

p

u:Ω→X:

< ∞}

u(x) dx
Ω

với Ω ⊂ Ω là tập compact và 1 ≤ p < ∞.
W k,p (Ω)

:= {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k và 1 ≤ p < ∞}


 p1
với chuẩn

u

k,p

Dα u pp  .

:= 
|α|≤k

W k,∞ (Ω)

:= {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k}
với chuẩn

u

k,∞

:= max Dα u

C(R, X)

:= u : R → X liên tục

BC(R, X)

:=

|α|≤k

∞.

.

u : R → X liên tục và u

∞

= sup u(t) < ∞ .
t∈R

BC(R+ , X)

:=

u : R+ → X liên tục và u

∞

= sup u(t) < ∞ .
t∈R+

1


U
U∞

P AA0 (R, ρ)

:= {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương}.


r


ρ(x)dx = ∞ .
:= ρ ∈ U : lim
r→∞


−r

r

1
:= φ ∈ BC(R, X) : lim
φ(s)
r→∞ m(r, ρ)

−r



.
X ρ(s)ds = 0


W P AP (R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AP (R, X)
và φ ∈ P AA0 (R, X) .
W P AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AA(R, X)
và φ ∈ P AA0 (R, X) .
W S p AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ S p AA(R, X)
và φ ∈ P AA0 (R, X) .
K(t, x)

:= inf { x0

(X0 , X1 )θ,q

:= x ∈ X0 + X1 : x

với x

X0

+ t x1

(X0 ,X1 )θ,q

X1 ,

x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } .

< ∞, với 0 < θ < 1 và 1 ≤ q < ∞
 1q
∞

dt
:=  [t−θ K(t, x)]q  .
t
(X0 ,X1 )θ,q

0

(X0 , X1 )θ,∞

:= x ∈ X0 + X1 : x
với x

(X0 ,X1 )θ,∞

(X0 ,X1 )θ,∞

< ∞, với 0 < θ < 1

:= sup t−θ K(t, x).
t∈(0,∞)

(X0 , X1 )θ

:=

x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 .
t→0

t→∞

C ∞ (Ω)

: Không gian các hàm khả vi cấp vô hạn trên Ω.

C0∞ (Ω)

: Không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω.

∞
C0,σ
(Ω)

:= {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = 0 trong Ω}.

Lp,q (Ω)

:= u ∈ L1loc (Ω) : u
∞
với u

p,q

< ∞, với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q < ∞
1/q
q ds
 .
sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p
s

=

p,q

0

Lpw (Ω)

:= u ∈ L1loc (Ω) : u
với u

p,∞

p,∞

< ∞, với 1 < p < ∞

= sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p .
s>0

2


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hồn và sự khái qt của chúng đối
với phương trình tiến hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến
tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian. Đối với trường hợp
nghiệm tuần hoàn, một số phương pháp thường được sử dụng như nguyên lý
Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động của Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov

[4] được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể. Các phương pháp
phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là tính bị chặn
của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúng
compact [3, 4, 5, 6].
Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền khơng
bị chặn hay các phương trình có nghiệm khơng bị chặn thì các phép nhúng
compact này khơng cịn đúng nữa và do đó sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạt
được. Điều này là do các điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặn
của nghiệm khơng dễ dàng tìm được.
Một phương pháp để giải quyết những khó khăn này là sử dụng nguyên lý
dạng Massera, nghĩa là nếu một phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì
nó có nghiệm tuần hồn. Thực tế, việc kết hợp giữa nguyên lý dạng Massera
và không gian nội suy đã được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần
hồn của các phương trình cơ học chất lỏng (các dịng thủy khí) và các phương
trình truyền nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7, 8]. Trong
các cơng trình này, các hàm tử nội suy được sử dụng kết hợp với phương pháp
Ergodic [8]. Đối với trường hợp các dịng thủy khí, sự tồn tại của nghiệm tuần
hồn của phương trình Navier-Stokes và các phương trình dạng Navier-Stokes
trở thành hướng nghiên cứu quan trọng. Trong miền bị chặn, Serrin đã sử dụng
tính ổn định của nghiệm bị chặn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hồn của
phương trình Navier-Stokes [9]. Sau đó, sự tồn tại, duy nhất, tính ổn định và
dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn trên tồn khơng gian Rn , trên miền không
bị chặn trong Rn và trên toàn trục thời gian R được mở rộng nghiên cứu trong
3


các cơng trình [10, 11, 12, 13]. Bên cạnh đó cũng có một số phương pháp khác
được sử dụng rất hữu hiệu. Phương pháp đầu tiên phải kể đến là kỹ thuật “miền
xâm lấn” được sử dụng bởi Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] và Yudovich
[17] để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn trên miền khơng bị chặn. Ngồi

ra, bằng cách sử dụng tính chất nội suy của không gian Lp yếu, Yamazaki [18]
đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định nghiệm tuần hồn trên các miền ngoại vi.
Cuối cùng, chúng ta cũng phải kể đến một số kết quả về nghiệm tuần hồn
của phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi trong một số cơng trình như
[19, 20, 21, 22].
Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, một số phương pháp được phát
triển bởi Bochner, Stepanov, Besicovitch và Weyl thông qua định nghĩa cơ bản
được đưa ra bởi H. Bohr [23] vào năm 1925. Lớp hàm hầu tuần hồn đóng vai
trị quan trọng trong việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học như: Phương trình
vi phân, hệ động lực và giải tích điều hịa. Các kiến thức căn bản về hàm hầu
tuần hồn được trình bày khá đầy đủ trong [24, 25, 26].
Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn trên toàn trục thời gian được mở rộng
nghiên cứu cho phương trình của các dịng thủy khí trong miền không bị chặn bởi
Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [27, 28] và Farwig & Tanuichi [29]. Cụ thể trong
[28], các tác giả đã phát triển các phương pháp trong [8] để chứng minh nguyên
lý dạng Massera và chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm hầu tuần
hồn cho phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi, phương trình NavierStokes trong khơng gian Besov và phương trình Navier-Stokes-Oseen trong miền
khơng bị chặn. Trong [27], các tác giả đã xét một lớp phương trình tiến hóa
parabolic tổng quát và đưa ra hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết trên các khơng
gian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau đó sử dụng các đánh giá
Lp − Lq , các bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng quát để chứng minh
sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tuần hoàn và áp dụng các kết quả này cho
các luồng thủy khí. Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ nhỏ cho
lớp phương trình tiến hóa parabolic này được chỉ ra trong [30]. Bên cạnh đó,
Farwig & Tanuichi đã chứng minh được tính duy nhất tồn cục của nghiệm hầu
tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes trong [29].
Khái niệm về hàm hầu tuần hồn có trọng được giới thiệu đầu tiên bởi Zhang
[31] vào năm 1994. Sau đó, Diagana [32] đã đưa ra khái niệm hàm tựa hầu tuần
hoàn có trọng vào năm 2008. Trong những năm gần đây, loại hàm này nhận được
4

nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Điều này được thể hiện rõ thơng qua
rất nhiều cơng trình nghiên cứu chun sâu về nghiệm hầu tuần hồn có trọng
cho các phương trình vi phân và phương trình sai phân (xem [33, 34, 35, 36, 37]).
Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình lần đầu được giới thiệu bởi Bochner như
một sự tổng quát hóa của hàm hầu tuần hồn trong các cơng trình nghiên cứu
hình học vi phân có liên quan tới các nhóm rời rạc (xem [38, 39]). Trong suốt
những năm gần đây, việc nghiên cứu về khái niệm này cũng như sự mở rộng của
nó với các loại nghiệm khác nhau của phương trình vi phân và phương trình sai
phân nhận được mối quan tâm lớn của các nhà toán học (xem [40, 41, 42, 43]).
Sau đó, các nhóm nghiên cứu của N’Guérékata (xem [44]) và của Xiao (xem
[45]) đã tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình bằng hàm hầu tự đồng
hình có trọng và cũng đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tự đồng
hình với một lớp các phương trình tiến hóa. Gần đây, Blot & các cộng sự giới
thiệu khái niệm hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng để khái quát hóa khái niệm
hàm tựa hầu tuần hồn có trọng. Các tác giả cũng đã chứng minh một cách đầy
đủ các tính chất quan trọng của hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng (xem [46]).
Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov (xem [47]) được đưa
ra bởi Casarino như là một sự khái qt hóa hàm hầu tự đồng hình theo ý tưởng
của Stepanov. Tiếp nối sự phát triển đó là sự ra đời của hàm tựa hầu tự đồng
hình theo nghĩa Stepanov có trọng được giới thiệu bởi Xia & Fan (xem [48]). Sau
đó, nhiều cơng trình về sự tồn tại, duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình theo nghĩa
Stepanov và nghiệm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng của các
lớp phương trình vi phân cụ thể được công bố (xem [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55]).
Trong tất cả các cơng trình này, các tác giả đã giải quyết được trường hợp nửa
nhóm liên kết ổn định mũ. Cụ thể, các tác giả đã sử dụng tính ổn định mũ của
nửa nhóm để chứng minh nguyên lý dạng Massera cho việc chỉ ra sự tồn tại, duy
nhất nghiệm của phương trình tuyến tính và sử dụng ngun lý điểm bất động
để chỉ ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ cho trường hợp phương trình phi tuyến.

Tóm lại, từ lịch sử của quá trình nghiên cứu các loại nghiệm cho phương
trình parabolic tổng qt nói chung và phương trình các dịng thủy khí nói
riêng, chúng tơi nhận thấy có một số phương pháp chủ đạo như sau:
• Đối với một số lớp phương trình tiến hóa cụ thể có thể sử dụng nguyên
lý điểm bất động của Tikhonov hay hàm Lyapunov để chỉ ra sự tồn tại
nghiệm tuần hoàn.
5


• Đối với phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn có thể sử dụng
phương pháp Serrin, nghĩa là dùng tính ổn định để chỉ ra sự tồn tại nghiệm
tuần hoàn hoặc phương pháp sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tính
compact của ánh xạ Poincaré.
• Đối với nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác của
phương trình tiến hóa parabolic có thể sử dụng phương pháp chứng minh
nguyên lý dạng Massera để chỉ ra sự tồn tại các lớp nghiệm này cho phương
trình tuyến tính tương ứng, sau đó dùng nguyên lý điểm bất động để chỉ
ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ của phương trình phi tuyến. Trong miền bị
chặn, nửa nhóm ổn định mũ có thể chỉ ra tính bị chặn của các nghiệm
trong không gian Lp thông thường. Trong miền không bị chặn, nửa nhóm
ổn định cấp đa thức cần sử dụng các đánh giá Lp − Lq và các định lý nội
suy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm trong các không gian nội suy phù
hợp.
Từ bối cảnh lịch sử và tầm quan trọng trong việc nghiên cứu về các lớp
nghiệm đủ tốt đối với phương trình tiến hóa dạng parabolic trong miền không
bị chặn trên các không gian nội suy, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương
pháp sử dụng lý thuyết nội suy, không gian nội suy, nguyên lý dạng Massera để
nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại, duy nhất của một số lớp nghiệm đủ tốt
định nghĩa trên tồn trục thời gian và tính ổn định của chúng cho các phương
trình tiến hóa và hệ phương trình có liên quan. Trong luận án này, chúng tơi sẽ

nghiên cứu 3 dạng phương trình sau:
• Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tổng qt dạng:
u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R,

(1)

trong đó −A là tốn tử sinh của C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 và B là “tốn tử
liên kết” giữa các khơng gian phát sinh trong phương trình. Sau đó, chúng
tơi áp dụng (1) vào phương trình các dịng thủy khí với B = Pdiv. Tuy
nhiên, trong một số ứng dụng khác của (1) cho các phương trình truyền
nhiệt với hệ số thơ hoặc phương trình Ornstein-Uhlenbeck thì B = I là
tốn tử đồng nhất.

6


• Dạng 2. Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa khơng gian Rn+ :


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF trong R × Rn+ ,





∇·u = 0
trong R × Rn+ ,
u(t, x) = 0









lim u(t, x) = 0

|x|→∞

trên R × ∂Rn+ ,

(2)

với t ∈ R.

Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu được
u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R.

(3)

• Dạng 3. Xét hệ phương trình Boussinesq trong các miền Ω sau: Không
gian Rn , nửa không gian Rn+ , miền bị chặn trong Rn (n ≥ 3) hoặc là một
miền ngoại vi Ω trong Rn (n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C 2+µ (µ > 0).


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF trong R × Ω,





∇·u = 0
trong R × Ω,
(4)

θ
−
∆θ
+
(u
·
∇)θ
=
divf
trong
R
×
Ω,

t



u(t, x) = θ(t, x) = 0
trên R × ∂Ω,
x
là trường hấp dẫn; f và F là các ten-xơ bậc hai với
|x|3
divf là hàm nhiệt độ và divF là hàm ngoại lực.

trong đó g := G

Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu được

u (t) + Au(t) = P(θ(t)g(t)) + Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)),
θ (t) + Bθ(t) = div(−θ(t)u(t)) + divf (t).

(5)

Đối với các phương trình tiến hóa parabolic tổng qt dạng (1), trong cơng
trình [7] của Geissert, Hieber & Nguyễn Thiệu Huy, các tác giả đã đưa ra hệ
tiên đề cho nửa nhóm liên kết sau đó chỉ ra sự tồn tại của nghiệm bị chặn của
phương trình tuyến tính liên kết và nghiệm đủ nhỏ của (1) với điều kiện ban
đầu u(0) = u0 . Sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần
hồn trong các không gian nội suy đã được chứng minh trong các cơng trình gần
đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [27, 30]. Tuy nhiên, sự tồn tại của các
nghiệm tựa hầu tuần hồn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo
nghĩa Stepanov và tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa trên tồn trục thời
gian và tính ổn định của chúng cho đến nay vẫn là các vấn đề mở.
7


Đối với phương trình Navier-Stokes trong nửa khơng gian (2), trong các cơng
trình [56, 57] các tác giả đã chứng minh một số bất đẳng thức Lp − Lq trong
trường hợp 1 < p ≤ q < ∞ cho dòng chảy Stokes với các dữ kiện ban đầu
trong không gian Lp có trọng. Sau đó, Bae cũng thu được một số kết quả cho
trường hợp p = 1, q = ∞ (xem [58]). Sử dụng các đánh giá Lp − Lq này, các
tác giả đã chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt của phương trình
Navier-Stokes trong Rn+ . Sau đó, Kobayashi & Kubo (xem [59]) đã thu được một
số đánh giá Lp − Lq khác cho khơng gian Lp có trọng dạng ws (x) = x sp với

1
0 ≤ s < (n − 1)(1 − ). Gần đây, Kobayashi & Kubo tiếp tục chỉ ra được một
p
p
số bất đẳng thức L − Lq cho trọng dạng x s1 xn sn (xem [60]). Những kết quả
đó giúp Kobayashi & Kubo không chỉ chứng minh được sự tồn tại và duy nhất
nghiệm đủ tốt mà còn chỉ ra được dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình
Navier-Stokes khi t → ∞. Tuy nhiên, việc chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính
ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác trên tồn
trục thời gian cho phương trình (2) vẫn là bài tốn mở.
Đối với phương trình Boussinesq trong miền khơng bị chặn và trên nửa trục
thời gian R+ với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x) và θ(0, x) = θ0 (x), sự tồn
tại của nghiệm yếu và nghiệm đủ tốt của hệ (4) đã được nghiên cứu trong một
số cơng trình gần đây bởi Fife [61], Cannon [62], Hishida [63], Ferreira [64, 65],
dáng điệu tiệm cận nghiệm được nghiên cứu bởi Ferreira [66]. Sự tồn tại của
nghiệm tuần hoàn được nghiên cứu trong Roa [67] và Nakao [68]. Tuy nhiên,
việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm hầu tuần hồn,
hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng khác của phương trình (4) trên
tồn trục thời gian đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần nghiên cứu.
Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tơi đến việc
lựa chọn đề tài:
Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số
luồng thủy khí trên tồn trục thời gian.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính
ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng
hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng

8

hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng của
các phương trình và hệ phương trình tiến hóa (1), (2) và (4) trong các
khơng gian nội suy.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm của các phương
trình tiến hóa tổng qt (1), phương trình Navier-Stokes trên nửa khơng
gian (2) và hệ phương trình Boussinesq (4) trong miền khơng bị chặn và
trên tồn trục thời gian R trong các khơng gian nội suy như khơng gian
Lorentz, khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt, khơng gian Besov và
khơng gian tích Đề-Các của các khơng gian Lorentz.
• Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn,
hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần
hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình
theo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình:
- Phương trình tiến hóa parabolic tổng qt có dạng (1) với điều kiện
nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức trong các không gian nội suy
tổng quát. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy
khí dạng Navier-Stokes trong miền khơng bị chặn.
- Phương trình Navier-Stokes (2) trên nửa không gian và trong các
không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt.
- Phương trình Boussinesq (4) trên miền khơng bị chặn trong khơng
gian tích Đề-Các của các khơng gian Lorentz.

3. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phép chiếu Helmholtz và dạng ma trận của hệ phương trình để
chuyển các phương trình và hệ phương trình cụ thể về dạng tổng quát
phục vụ nghiên cứu.
• Sử dụng lý thuyết về hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, các loại hàm

có trọng, lý thuyết nửa nhóm giải tích, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq ,
đánh giá Lp − Lq có trọng, bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng

9