Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

..
..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HỐ

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trên bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Trịnh Viết Dược

i


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

2

MỞ ĐẦU

3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . .

7

1.2
1.3

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . . . . . .
Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
13

1.3.1

Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định

. . . . . . . .

19

2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NỬA TUYẾN TÍNH
2.1

22
Đa tạp tâm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2

Đa tạp không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG

40

3.1

Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . . .

41

3.2

Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . .

49

3.3

Đa tạp khơng ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . .

54

KẾT LUẬN

72

DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
73

TÀI LIỆU THAM KHẢO

74

1


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thực
không âm.
Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu

Lp (I) =



{u : I → R : u

p


{u : I → R : u

∞

= ( I |u(x)|p dx)1/p < +∞

nếu 1 ≤ p < ∞}.

= ess supx∈I |u(x)| < +∞ nếu p = ∞}.

L1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó
ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong I. Ở đây, I = R+ hoặc R.
Ký hiệu
t+1

M(R+ ) =

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với chuẩn f

M

:= supt≥0

|f (τ )|dτ < ∞
t

t+1
|f (τ )|dτ .
t

X là không gian Banach.
E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .
ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.
Cb (R+ , X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X , xác định trên
R+ với chuẩn u ∞ = supt∈R+ u(t) .
Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= supt∈[−r,0] u(t) .

2


MỞ ĐẦU

Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là tốn tử tuyến tính có thể không giới nội trong không

gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của
nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân
bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn
định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân ln thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm
cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó cịn cho phép thu gọn
việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về
những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này
đối với các nghiệm của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ
các toán tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hố có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và
toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên
về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron
[50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp
tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = Rn và A(t) là
các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường
hợp A(t) là các tốn tử giới nội trong khơng gian Banach bất kỳ X . Tiếp theo, Henry
[21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là
các tốn tử đạo hàm riêng khơng giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải
tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của
các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương
trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem
[1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó). Có hai phương pháp
3


chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và
phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương

pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52]
để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp này liên quan đến việc
lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong
khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó
liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron
tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc tốn tử) Lyapunov-Perron có mối liên
hệ với phương trình tiến hố, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.
Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dịng hoặc
nửa dịng sinh ra bởi phương trình tiến hố nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp
này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với
các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dịng chỉ xác định trên một tập con nào đó của khơng gian pha. Chúng ta có thể
xem các cơng trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn
đề này.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài tốn tồn tại đa tạp tích
phân của phương trình tiến hố nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với
hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ C với q là hằng số đủ
nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các
quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số
Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem
[41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mơ tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp
nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến
khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của
phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận
được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết
quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là
[2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tơi đã nghiên cứu sự tồn tại
của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình

vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này.
Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình và tài liệu tham khảo, luận án
bao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tơi trình bày khái niệm và
một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]).
4


Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hố và đa tạp ổn định của
phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp khơng ổn định
của phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi t cố
định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0
sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y với ϕ là hàm
không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này,
Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi
mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tơi đã chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường
thẳng, chúng tơi xét phương trình trên tồn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn

tại của đa tạp khơng ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.
Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục cơng trình
khoa học của tác giả.

• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp
khơng ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi t cố
định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng
ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được
trang bị chuẩn sup. Khi họ tốn tử (A(t))t∈I sinh ra họ tiến hố có nhị phân
mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có
đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ

C

với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, đối với
các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f
biểu diễn nguồn vật chất của các q trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ
thuộc vào thời gian và có thể khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]).
Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có
thể mơ tả được các q trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Vì vậy, khi nghiên
5

cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm
riêng, chúng tơi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là

f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q
t+1
đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ có
thể nhận giá trị lớn tuỳ ý. Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến
tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về khơng gian pha do đa tạp tích phân được
xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định
trên X . Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp
dụng được. Để khắc phục những khó khăn này, chúng tơi sử dụng phương pháp
Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thơng qua họ tiến hố
sinh bởi các tốn tử A(t). Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo
[1, 2] thuộc Danh mục cơng trình khoa học của tác giả.
Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu, hai người thầy vơ cùng mẫu mực, đã
tận tình giúp đỡ tơi trên con đường khoa học. Hai thầy đã dìu dắt tơi trên con đường
tốn học, đưa tơi bước vào một lĩnh vực tốn học đầy thú vị, ln tạo ra những thử
thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi và sáng tạo, đó là những gì tơi may mắn được tiếp
nhận từ hai người thầy đáng kính của mình. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến
hai thầy.
Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận án, tơi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cơ trong Bộ mơn Giải tích và trong Khoa
Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. Tôi xin trân
trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa
Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và

nghiên cứu.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và tồn thể bạn bè đã ln khuyến
khích, động viên để tơi vững bước trên con đường tốn học mình đã chọn.
Hà Nội, năm 2014
Nghiên cứu sinh

Trịnh Viết Dược

6


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm và một số tính chất của khơng gian
hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]). Sử dụng
một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của khơng gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục cơng trình khoa học
của tác giả). Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hố và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Khơng gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên

R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại số Borel và
λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu

(1) (E, ·

E)

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E , ψ là hàm thực đo được Borel sao

cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

(2) Hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]

∞, inf t≥0 χ[t,t+1]

E

E

E.

<

> 0.

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao cho
J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E .

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc khơng
gian hàm Banach E hay khơng.

7


Bổ đề 1.1.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel
trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu
trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E .
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu trên J
nên tồn tại M > 0 sao cho

λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0
Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } và B = J \ A. Do E là không gian hàm Banach nên

|ϕ| ∈ E và χB ∈ E . Bởi vậy, |ϕ|+χB ∈ E . Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+M χB (λ-h.k.n),
suy ra ψ ∈ E .
Định nghĩa 1.1.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó
thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E

với mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E .
(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó


 ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
Tτ+ ϕ(t) =
0
nếu 0 ≤ t < τ ,
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.1.4. Khơng gian Lp (R+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
t+1

M(R+ ) :=

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

|f (τ )|dτ < ∞
t

t+1

với chuẩn f M := supt≥0 t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ngồi ra, một số các khơng gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian
Lorentz Lp, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận
được.
8


Chú ý 1.1.5. Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E → M(R+ ).
Dưới đây là một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.6. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các khẳng
định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E . Với mọi σ > 0 ta xác định Λσ ϕ
và Λσ ϕ như sau

t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =
0

∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E . Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả mãn
nếu ϕ ∈ E (xem chú ý 1.1.5)) thì Λσ ϕ, Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
1 − e−σ

và Λσ ϕ

∞

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞,

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.1.3.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E .
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
Chứng minh. Với a ∈ R đặt a+ = max{0, a}, ta có
t

Λ1 T1+ ϕ(t)

ϕ(s)ds,

=
(t−1)+


0
+
T1 Λ1 ϕ(t) =
 t

nếu 0 ≤ t < 1

(t−1)+

ϕ(s)ds

nếu t ≥ 1.

Do T1+ Λ1 ϕ ∈ E nên theo Bổ đề 1.1.2 suy ra Λ1 T1+ ϕ ∈ E . Mặt khác, ta có
∞

∞

(t−j)+
−σ(t−s)

Λσ ϕ(t) =

e
j=0
∞

(t−(j+1))+

(t−j)+

e−jσ

ϕ(s)ds ≤

ϕ(s)ds
(t−(j+1))+

j=0

e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ ∈ E với mọi j và
∞

∞
−jσ

e
j=0

Tj+ Λ1 T1+ ϕ E

N1 e−jσ Λ1 T1+ ϕ

≤
j=0

9

E

=

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

E.

(1.1)

Vì E là khơng gian hàm Banach chấp nhận được nên Λσ ϕ ∈ E và ta có

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
1 − e−σ

Λσ ϕ

E

∞

t+j+1

E.

(1.2)

Tương tự, ta có
∞
−σ(s−t)

Λσ ϕ(t) =

e
j=0

∞

t+j

t+j+1

e−jσ

ϕ(s)ds ≤

ϕ(s)ds
t+j

j=0

e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) ∈ E với mọi j và
∞

∞

e

−jσ

Tj− Λ1 ϕ E

N2 e−jσ Λ1 ϕ

≤

j=0

E

=

j=0

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

E.

Vì E là không gian hàm Banach chấp nhận được nên Λσ ϕ ∈ E và ta có

Λσ ϕ

E

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

E.

(1.3)

Với ϕ ∈ M(R+ ), áp dụng với E = L∞ (R+ ), từ (1.2) và (1.3) chúng ta thu được Λσ ϕ,

Λσ ϕ bị chặn và bất đẳng thức (1.1).
(b) Lấy χ[0,1] ∈ E , đặt
t

e−α(t−s) χ[0,1] (s)ds =

v(t) =
0




e−αt (eα −1)
α

nếu t ≥ 1



1−e−αt
α

nếu 0 ≤ t < 1.

Theo (a) ta có v(t) ∈ E . Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.2 suy ra e−αt ∈ E .
(c) Giả sử tồn tại b > 0 sao cho f (t) = e b t ∈ E . Vì E → M(R+ ) nên tồn tại

C > 0 sao cho

1 bt b
e (e − 1) ≤ C ebt
b
Điều này mâu thuẫn với limt→∞ e b t = ∞.

1.2

E

với mọi t ≥ 0.

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng

Thay R+ bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm khơng
gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực.
10


Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên R
được gọi là không gian hàm Banach trên (R, B, λ), trong đó B là đại số Borel và λ là
độ đo Lebesgue trên R, nếu
(1) (E, ·

E)

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E , ψ là hàm thực đo được Borel sao

cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

(2) Hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt∈R χ[t,t+1]
∞, inf t∈R χ[t,t+1] E > 0.

E

E.

<

(3) E → L1,loc (R), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R tồn tại βJ > 0 sao cho
J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E .

Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E trên đường thẳng thực được gọi là
chấp nhận được nếu nó thoả mãn

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E

với mọi [a, b] ⊂ R và mọi ϕ ∈ E .
(ii) E là bất biến với tốn tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R, trong đó

Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ),
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ).
Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi τ ∈ R.
Tương tự như trong R+ , ta có một số tính chất sau của khơng gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng.
Mệnh đề 1.2.3. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng.
Ta có các tính chất sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E . Với mọi σ > 0 ta xác định Λσ ϕ
và Λσ ϕ như sau

t

Λσ ϕ(t) =

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,
−∞

11


∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E . Hơn nữa, nếu supt∈R

t+1
ϕ(τ )dτ
t

< ∞ (điều này

được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λσ ϕ, Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞.

(b) Với mọi α > 0, e−α|t| ∈ E .
(c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈
/ E.
Tiếp theo là bất đẳng thức nón trong khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.2.4. Một tập đóng K trong khơng gian Banach W được gọi là nón nếu
(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,
(ii) x1 , x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,
(iii) ±x ∈ K thì x = 0.

Cho nón K trong khơng gian Banach W . Với x, y ∈ W ta xác định quan hệ x ≤ y
nếu y − x ∈ K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W .
Định lý 1.2.5 (Bất đẳng thức nón). Cho nón K trong không gian Banach W sao cho

K là bất biến với tốn tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1. Giả sử x, z ∈ W
thoả mãn x ≤ Ax + z . Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm của phương trình y = Ay + z
và thoả mãn x ≤ y .
Chứng minh. Đặt Sx = Ax + z , theo giả thiết ta có x ≤ Sx. Với mọi x ≤ y ta có

Sy − Sx = A(y − x) ∈ K do K bất biến với toán tử A, vì vậy Sx ≤ Sy . Bằng quy
nạp ta có
n−1
n

Ai z

n

S x=A x+
i=0

và x ≤ Sx ≤ S 2 x ≤ · · · ≤ S n x. Chọn q sao cho rA = limn→∞
Do đó, tồn tại N > 0 sao cho An
n → ∞. Xét phương trình

An < q < 1.
≤ q n với mọi n ≥ N . Suy ra, An x → 0 khi
n

y = Ay + z ⇔ (I − A)y = z.

Do rA < 1 nên tồn tại (I − A)−1 và y = (I − A)−1 z =

∞
i
i=0 A z .

n−1
n

n

Ai z − x ∈ K.

x≤S x⇔A x+
i=0

Vì K đóng nên khi cho n → ∞, ta có y − x ∈ K, bởi vậy x ≤ y .
12

Ta có


1.3

Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Một trong những quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính

dx

= A(t)x,
dt

t ∈ [0, ∞), x ∈ X,

(1.4)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trên khơng gian Banach X với mỗi t cố định là
tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân mũ. Trong trường
hợp A(t) là ma trận với mỗi t cố định và liên tục, Perron [51] đã tìm được sự liên hệ
giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình (1.4) và các tính chất của tốn tử vi
phân

d
dt

− A(t) xác định trên khơng gian Cb (R+ , Rn ). Kết quả này là sự khởi đầu cho

nhiều cơng trình về lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Trong sách chuyên
khảo của Massera và Schăaffer [36], Daleckii v Krein [18] ó ch ra tớnh nhị phân mũ
d
của nghiệm được đảm bảo bởi điều kiện tồn ánh của tốn tử vi phân dt
− A(t) trong
trường hợp A(t) bị chặn. Levitan và Zhikov [33] đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô
hạn chiều với lớp phương trình xác định trên tồn đường thẳng. Với phương trình xác
định trên nửa đường thẳng để đảm bảo tính nhị phân mũ ngồi điều kiện tồn ánh của
d
tốn tử vi phân dt
− A(t), chúng ta cần thêm điều kiện là tính đủ của khơng gian con
ổn định (xem [18, 39, 38]). Năm 2006, Nguyễn Thiệu Huy [27] đã đặc trưng tính nhị

phân mũ của nghiệm dựa vào khơng gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng
trong trường hợp A(t) không bị chặn. Trong phần này, ở mục 1.3.2 chúng ta sẽ điểm
qua các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27].

1.3.1

Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá

Xét bài tốn Cauchy



x(t)
˙
=

A(t)x(t),

t ≥ s ≥ 0,
(1.5)


x(s) = x,
trong đó A(t) với tập xác định D(A(t)) là toán tử tuyến tính trên khơng gian Banach

X . Khi đó, nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy (1.5) là hàm u := u(·, s, x) ∈
C 1 ([s, ∞), X) sao cho u(t) ∈ D(A(t)) và u thoả mãn bài toán Cauchy (1.5) với mọi
t ≥ s.
Định nghĩa 1.3.1. Bài toán Cauchy (1.5) được gọi là đặt chỉnh trên các không gian

Yt , t ≥ 0, nếu
(i) Yt ⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X .
13


(ii) Mỗi x ∈ Ys thì bài tốn Cauchy (1.5) có duy nhất nghiệm u(·, s, x).
(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s và Ysn
xn → x ∈ Ys thì u˜(t, sn , xn ) → u˜(t, s, x) đều theo t trên mọi đoạn compact
trong R+ , trong đó u
˜(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và u˜(t, s, x) := x với t < s.
Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán tử giải
nghiệm của bài toán Cauchy (1.5). Họ các toán tử này được gọi là họ tiến hoá.
Định nghĩa 1.3.2. Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0 trên khơng
gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) nếu
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,
(ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X ,
(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x với mọi t ≥ s
và x ∈ X .
Nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) qua họ tiến hoá được cho bởi công thức u(t) =

U (t, s)u(s). Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xác định nửa nhóm liên tục
mạnh T (t) sinh bởi tốn tử A, khi đó chúng ta có họ tiến hố U (t, s) = T (t − s).
Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnh hay sự tồn tại của họ tiến hố, chúng ta có
thể tham khảo trong Pazy [44], Nagel và Nickel [43].
Định nghĩa 1.3.3. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X được
gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn

P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng ta
biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t,
(c)

U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d)

U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.

Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân và các hằng số N, ν
được gọi là hằng số nhị phân.
Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t).

14


Bổ đề 1.3.4. [39, Bổ đề 4.2]. Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với các
toán tử chiếu nhị phân P (t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0 là bị chặn đều và
liên tục mạnh.
Chứng minh. Với s ∈ R+ , đặt Q(s) = I − P (s) và

h(s) = inf{ x0 + x1 : x0 = x1 = 1, x0 ∈ ImP (s), x1 ∈ KerP (s)}.
Lấy x ∈ X sao cho P (s)x = 0 và Q(s)x = 0, ta có

P (s)x
Q(s)x
1

≤
P (s)x +
+
P (s)x
Q(s)x
P (s)x
1
P (s)x − Q(s)x
≤
x+
Q(s)x ≤
P (s)x
Q(s)x

h(s) ≤

P (s)x
Q(s)x
Q(s)x
2 x
.
P (s)x

2
}. Tiếp theo,
= x . Do đó, P (s) ≤ max{1, h(s)
chúng ta sẽ chỉ ra tồn tại hằng số d > 0 sao cho h(s) ≥ d. Với mọi t ≥ s và
x0 ∈ ImP (s), x1 ∈ KerP (s) ta có

Nếu Q(s)x = 0 thì P (s)x

x0 + x1 ≥K −1 e−c(t−s) U (t, s)(x0 + x1 )
≥K −1 e−c(t−s) ( U (t, s)x1 − U (t, s)x0 )
≥K −1 e−c(t−s) (N −1 eν(t−s) − N e−ν(t−s) ) =: d(t − s).
Hàm số d(t − s) có giá trị lớn nhất dương và khơng phụ thuộc vào s. Vì vậy, tồn tại

d > 0 sao cho h(s) ≥ d. Vậy, H := supt≥0 P (t) < ∞.
Lấy t0 ≥ 0 với t > t0 , ta có

P (t)x − P (t0 )x

≤

P (t)x − P (t)U (t, t0 )x + P (t)U (t, t0 )x − P (t0 )x

≤ H x − U (t, t0 )x + U (t, t0 )P (t0 )x − P (t0 )x .
Do U (t, t0 ) liên tục mạnh nên P (t)x liên tục phải tại t0 . Với t < t0 ta có

Q(t)x − Q(t0 )x

≤

U (t, t0 )| U (t0 , t)Q(t)x − U (t, t0 )| Q(t0 )x

+

U (t, t0 )| Q(t0 )x − Q(t0 )x

≤ N Q(t0 )U (t0 , t)x − Q(t0 )x
+

U (t, t0 )| Q(t0 )x − Q(t0 )x .

Do U (t0 , t) và U (t, t0 )| liên tục mạnh nên Q(t)x liên tục trái tại t0 . Suy ra P (t)x liên
tục trái tại t0 . Vậy, P (t)x liên tục tại t0 với mỗi x ∈ X cố định.
15


Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ. Chúng ta định nghĩa hàm Green
như sau


 P (t)U (t, τ )
G(t, τ ) =
 −U (t, τ ) (I − P (τ ))
|

nếu t > τ ≥ 0,
nếu 0 ≤ t < τ.

Khi đó, chúng ta có đánh giá G(t, τ ) ≤ N (1 + H)e−ν|t−τ |

1.3.2

(1.6)

với t = τ .

Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Trong mục này, chúng ta nhắc lại các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27] mà không
chứng minh. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng
R+ và X là không gian Banach với chuẩn · . Chúng ta xây dựng không gian

E := E(R+ , X) = {f : R+ → X sao cho f là đo được và f (·) ∈ E}
với chuẩn f E = f (·) E . Khi đó, E là khơng gian Banach. Chúng ta gọi nó là
khơng gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach chấp nhận được E .
Chúng ta ký hiệu Cb (R+ , X) là không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị
trong khơng gian Banach X với chuẩn sup, ·

∞.

Khi đó, chúng ta định nghĩa

E∞ = E ∩ Cb (R+ , X) với chuẩn f

E∞

= max{ f

E,

f

∞ }.

Khi đó, E∞ là không gian Banach và E∞ → E .
Tiếp theo, chúng ta xét phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ)f (ξ)dξ

với t ≥ s ≥ 0,

(1.7)

s

trong đó (U (t, s))t≥s≥0 là một họ tiến hoá. Nếu họ tiến hoá này sinh ra từ bài toán
Cauchy (1.5) đặt chỉnh thì hàm u thoả mãn (1.7) với một hàm f cho trước được gọi
là nghiệm đủ tốt của bài tốn khơng thuần nhất (xem Pazy [44, Chương 5])



 du
dt

= A(t)u(t) + f (t),

t ≥ s ≥ 0,


u(s) = us .
Sau đây, chúng ta định nghĩa toán tử G liên hệ với phương trình tích phân (1.7) như
sau
Định nghĩa 1.3.5. Toán tử G : D(G) ⊂ E∞ → E được xác định bởi

D(G) := {u ∈ E∞ : tồn tại f ∈ E để u, f thoả mãn phương trình (1.7)},

Gu := f với u ∈ D(G) và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.7)}.
16


Sự tồn tại của toán tử G được xác định bởi mệnh đề sau (chứng minh ở [27, Mệnh
đề 2.8]).
Mệnh đề 1.3.6. Tốn tử G là xác định, tuyến tính và đóng.
Tương tự, chúng ta định nghĩa tốn tử G0 liên hệ với phương trình
t

u(t) =

U (t, ξ)f (ξ)dξ

(1.8)

0

như sau
Định nghĩa 1.3.7. Toán tử G0 : D(G0 ) ⊂ E∞ → E được xác định bởi

D(G0 ) := {u ∈ E∞ : tồn tại f ∈ E để u, f thoả mãn phương trình (1.8)},
G0 u := f với u ∈ D(G0 ) và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.8)}.
Tương tự như tốn tử G, chúng ta cũng chỉ ra được tốn tử G0 là xác định, tuyến
tính và đóng.
Chú ý 1.3.8. Chúng ta có các tính chất sau của toán tử G và G0 .
1. KerG = {u ∈ D(G) : u(t) = U (t, 0)u(0)}.
2. D(G0 ) = {v ∈ D(G) : v(0) = 0} và Gv = G0 v khi mà v ∈ D(G0 ). Do đó, G là
mở rộng của G0 .
Để đặc trưng tính nhị phân mũ của họ tiến hố chúng ta cần khái niệm không gian

E -ổn định.
Định nghĩa 1.3.9. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 trên khơng gian Banach X và

t0 ≥ 0. Đặt,





U (t, t0 )x
X0 (t0 ) = x ∈ X : z(t) =



0

nếu t ≥ t0
nếu 0 ≤ t < t0

∈E







Khi đó X0 (t0 ) được gọi là không gian E -ổn định.
Định lý sau được lấy từ [27, (Định lý 4.2)]. Định lý này cho ta điều kiện cần và đủ
để một họ tiến hoá là nhị phân mũ.

Định lý 1.3.10. Cho E = E(R+ , X) là không gian Banach tương ứng với không gian
hàm Banach chấp nhận được E . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
17


(i) Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 là nhị phân mũ.
(ii) Toán tử G : D(G) ⊂ E∞ → E là tồn ánh và khơng gian E -ổn định X0 (0) là
đóng và đủ (tức là X0 (0) là khơng gian con đóng và có phần bù trực tiếp trong

X là khơng gian con đóng).
Tiếp theo chúng ta sẽ đặc trưng tính nhị phân mũ của họ tiến hố trên nửa đường
thẳng bởi điều kiện khả nghịch của một toán tử là hạn chế của G lên một không gian
con nào đó của E∞ . Muốn như vậy, chúng ta cần phải biết KerP (0). Chúng ta định
nghĩa hạn chế của G như sau.
Định nghĩa 1.3.11. Cho Z là không gian con tuyến tính, đóng trong X . Chúng ta
định nghĩa

EZ = {f ∈ E∞ : f (0) ∈ Z}.
Khi đó, EZ là khơng gian con đóng của khơng gian (E∞ , ·

∞ ).

Ký hiệu GZ là phần

của G trong EZ , tức là D(GZ ) = D(G) ∩ EZ và GZ u = Gu với u ∈ D(GZ ).
Từ đó chúng ta có định lý sau (chứng minh ở [27, Định lý 4.4]).
Định lý 1.3.12. Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hố trên khơng gian Banach X và Z là
khơng gian con tuyến tính, đóng trong X . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
(i) Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 là nhị phân mũ với KerP (0) = Z .
(ii) GZ : D(GZ ) ⊂ EZ → E là khả nghịch.

Để áp dụng các kết quả thu được, chúng tơi đã xét bài tốn nhiễu với nhiễu có dạng
tích phân của tốn tử và tìm điều kiện để họ tiến hoá ứng với bài toán nhiễu vẫn là
họ tiến hoá nhị phân mũ (xem [4] trong Danh mục cơng trình khoa học của tác giả).
Dưới đây, chúng ta xét bài toán nhiễu dạng



 du

= (A(t) + B(t))u(t), t ≥ s ≥ 0,

dt

(1.9)


u(s) = us ∈ X,
ở đó bài tốn khơng nhiễu (tức là, B(t) = 0) là bài toán Cauchy đặt chỉnh, sinh ra họ
tiến hố nhị phân mũ. Khi đó, tồn tại duy nhất họ tiến hố (UB (t, s))t≥s≥0 thoả mãn
cơng thức biến thiên hằng số (xem [19])
t

UB (t, s)x = U (t, s)x +

U (t, ξ)B(ξ)UB (ξ, s)xdξ,
s

18

t ≥ s ≥ 0, x ∈ X

(1.10)


với điều kiện B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R+ vào không gian L(X), là
không gian các tốn tử tuyến tính và bị chặn trên X . Họ tiến hoá (UB (t, s))t≥s≥0
được sinh bởi bài toán nhiễu (1.9).
Với nhiễu dạng này, nếu họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 là nhị phân mũ và chuẩn B :=

supt≥0 B(t) là đủ nhỏ thì (UB (t, s))t≥s≥0 cũng là họ tiến hoá nhị phân mũ.
Định lý 1.3.13. [27, Định lý 5.1]. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ
và cho B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R+ vào không gian L(X), tức là,
B ∈ Cb (R+ , Ls (X)) trong đó Ls (X) là không gian L(X) được trang bị tôpô liên tục
mạnh. Khi đó, nếu B := supt≥0 B(t) là đủ nhỏ thì (UB (t, s))t≥s≥0 xác định bởi
(1.10) có nhị phân mũ.
Hệ quả 1.3.14. [27, Hệ quả 5.3]. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với
hằng số nhị phân N, ν > 0 và toán tử chiếu nhị phân P (t). Cho B ∈ Cb (R+ , Ls (X))
và H := supt≥0 P (t) . Khi đó, nếu

B <

ν
2N H(1 + N + N H)

thì họ tiến hố (UB (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ.

1.4

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp
ổn định

Trong phần này chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ [0, +∞), u ∈ X,

(1.11)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và
f : R+ × X → X là tốn tử phi tuyến. Chúng ta giả sử, họ các toán tử A(t), t ∈ R+
sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ. Sử dụng khơng gian hàm chấp
nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra điều kiện của hàm f
để phương trình (1.11) có đa tạp ổn định (xem [25]). Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp
ổn định, thay vì (1.11) chúng ta xét phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ
s

Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
19

với t ≥ s ≥ 0.

(1.12)

Định nghĩa 1.4.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường
thẳng và ϕ ∈ E là hàm khơng âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz
nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ ,

(ii)

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R+ và x1 , x2 ∈ X .

Định nghĩa 1.4.2. Tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho các
nghiệm của phương trình (1.12) nếu mỗi t ∈ R+ , X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho

inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf

t∈R+

inf { x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1} > 0

t∈R+ i=0, 1

và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz

gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn
(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)}, ký hiệu

St = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S}.
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0.
(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.12) trên [t0 , ∞) thoả
mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là, nếu u là nghiệm của phương trình (1.12) thoả mãn u(t0 ) =

x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 .
Chú ý rằng, nếu chúng ta đồng nhất X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t) thì St =
graph(gt ).
Dưới đây chúng tơi nhắc lại các kết quả trong [25].
Bổ đề 1.4.3. [25, Bổ đề 4.4]. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các
toán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
không âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz và u(t) là nghiệm của phương trình
(1.12) thoả mãn ess supt≥t0 u(t) < ∞ với t0 ≥ 0 cố định. Khi đó, với mọi t ≥ t0 ,

u(t) là nghiệm của phương trình
∞

G(t, τ )f (τ, u(τ ))dτ,

u(t) = U (t, t0 )ν0 +
t0

trong đó ν0 ∈ X0 (t) = P (t0 )X và G(t, τ ) là hàm Green xác định bởi (1.6).
20

(1.13)


Định lý 1.4.4. [25, Định lý 4.6]. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với

các tốn tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là
hàm khơng âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < 1 với k được xác
định bởi công thức

k :=

(1 + H)N (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
1 − e−ν

∞)

.

(1.14)

Khi đó, mỗi ν0 ∈ X0 (t0 ) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.12) trên [t0 , ∞)
thoả mãn P (t0 )u(t0 ) = ν0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞. Hơn nữa các nghiệm khác nhau
là hút cấp mũ, tức là nếu u1 (t), u2 (t) là hai nghiệm ứng với ν1 , ν2 ∈ X0 (t0 ) thì:

u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) ν1 − ν2

với mọi t ≥ t0 ,

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln(1 − k(1 − e−ν )) và Cµ =

N
−ν

1−e
1 − k 1−e
−(ν−µ)

.

Định lý 1.4.5. [25, Định lý 4.7]. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với
các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là
hàm không âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k <

1
N +1

với k được xác

định bởi (1.14). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương
trình (1.12). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1 (t), u2 (t) trên đa tạp S hút cấp mũ, tức
là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ khơng phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho

u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 )

21

với mọi t ≥ t0 .


Chương 2
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NỬA TUYẾN TÍNH

Trong mục 1.4 của Chương 1, chúng tơi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của đa tạp
ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Trong chương này, chúng tơi trình
bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp khơng ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3] trong Danh mục cơng trình khoa học của tác
giả). Chúng ta xét phương trình

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ [0, +∞), u ∈ X,

(2.1)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi t cố định và

f : R+ ×X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán
tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,
Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi mở
rộng họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa
tạp tâm ổn định. Sau đó thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng ta xét
phương trình trên toàn đường thẳng để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp khơng ổn định và
đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.

2.1

Đa tạp tâm ổn định

Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ

với t ≥ s ≥ 0.

(2.2)

s

Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X .
22


Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trên nửa
đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3 và các hằng số
dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả mãn:
(i) supt≥0 Pj (t) < ∞, j = 1, 2, 3.
(ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id với t ≥ 0 và Pj (t)Pi (t) = 0 với mọi j = i.
(iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3.
(iv) U (t, s)|ImPj (s) là đẳng cấu từ ImPj (s) lên ImPj (t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và j = 2,
3, ký hiệu ánh xạ ngược của U (t, s)|ImPj (s) là U (s, t)| .
(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X , các ước lượng sau đúng:

U (t, s)P1 (s)x

≤ N e−β(t−s) P1 (s)x ,

U (s, t)| P2 (t)x

≤ N e−β(t−s) P2 (t)x ,

U (t, s)P3 (s)x

≤ N e α(t−s) P3 (s)x .

Định nghĩa 2.1.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường
thẳng và ϕ ∈ E là hàm khơng âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz
nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ ,

(ii)

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R+ và x1 , x2 ∈ X .

Sau đây là định lý về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định.
Định lý 2.1.3. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các hằng số

N, α, β và các họ toán tử chiếu (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3, cho bởi Định nghĩa 2.1.1. Giả
sử rằng f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là hàm không âm và thoả
mãn

1
(1 + H)N0 (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ ∞ )
<

,
−ν
1−e
N0 + 1
trong đó q = sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 = max{N, 2qN } và ν = δ−α
2 > 0.
Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, St ) ⊂ R+ × X} cho các
k :=

nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh xạ Lipschitz

gt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t),
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt ) có các tính chất sau:
23