Dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN CƠNG HÙNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA HỌ CÁC TỐN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN CÔNG HÙNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TỐN TỬ TIẾN HĨA
BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chun ngành:

TỐN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2012


Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời nói dầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương trình vi phân trong khơng gian Banach và
họ các tốn tử tiến hóa

6

1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong khơng gian Banach và họ
các tốn tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Phương trình vi phân tuyến tính trong khơng gian Banach với toán
tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và
khơng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình vi phân
tuyến tính khơng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính và bài tốn ứng
dụng

31

2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và nhiễu của nó
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1


2.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong khơng gian Banach . . . . . . 31
2.1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Bài tốn Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa . . . . 47
2.1.4 Nhiễu của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm cho mơ hình dân số phụ tuổi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Mơ hình dân số cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Mơ hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Mơ hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát . . . . . . . . . . 60
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2


Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý
thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong
những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của
LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov (1857-1918).
Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong
những lĩnh vực mà được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và
thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng

được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật
công nghệ, Sinh thái học,....
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong
khơng gian Banach chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau. Ở đây, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tơi sẽ
trình bày hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất của
họ tốn tử tiến hóa và phương pháp nửa nhóm bị nhiễu. Trong phần
cuối chúng tơi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào
việc nghiên cứu mơ hình quần thể phụ thuộc tuổi.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia thành hai chương:
Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong
khơng gian Banach và họ các tốn tử tiến hóa.
Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý
thuyết nửa nhóm vào các mơ hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người
3


hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đặng Đình Châu, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt q trình nghiên
cứu hồn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm
ơn các thầy cơ trong khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa
Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã trang bị cho tác giả các
kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết toán học. Cảm ơn các thầy cơ phịng
sau đại học và các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã luôn cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận
văn.

Do thời gian và trình độ cịn có sự hạn chế nên luận văn khơng tránh
khỏi những sai sót rất mong nhận sự đóng góp của các thầy cơ và bạn
bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012
Tác giả: Nguyễn Công Hùng

4


Bảng kí hiệu
N
R
R+
C
C[a,b]
1
C[a,b]
Rn
B
L(B)
C([a, b]; B)
Lp (R)
Lp ([a, b])
W 1,1 [a, b]

Tập hợp số tự nhiên.
Tập hợp số thực.
Tập hợp các số thực dương.
Tập hợp số phức.

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Tập các hàm khả vi, liên tục trên đoạn [a, b].
Không gian n chiều.
Không gian Banach.
Không gian các tốn tử tuyến tính giới nội từ B vào B.
Không gian các hàm liên tục trên [a, b] lấy giá trị trong B.
Khơng gian các hàm khả tích bậc p trên R.
Khơng gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b].
Khơng gian Sobolev (Khơng gian các hàm có đạo hàm

yếu bậc 1 và có chuẩn trong L1 ([a, b]) là hữu hạn).

5


Chương 1
Phương trình vi phân trong khơng
gian Banach và họ các tốn tử tiến
hóa
Giả sử B là khơng gian Banach. Trong khơng gian B ta xét phương
trình vi phân:
dx(t)
= f (t, x(t)),
(1.1)
dt
trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D −→ D, D là một miền đơn
liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau, nếu khơng nói gì thêm
ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.0.1.

Hàm x : I −→ B (I ⊂ R+ ) khả vi liên tục theo

t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi ta thay vào (1.1) sẽ thu được
một đồng nhất thức trên I. Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)); ∀t ∈ I,
dt
(trong đó

dx(t)
là đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet).
dt

Bài tốn Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phư���. Lưu ý sự khác biệt trong hai trường hợp N0 <
và

K
2

K
2

< N0 < K.

Do đó trạng thái của phương trình ổn định và được mơ tả như trong
hình (2.1).
Bây giờ chúng ta xét phương trình dân số xác định bởi hàm như sau:
dN
= f (N ).
dt

(2.14)

Trong đó f (N ) là một hàm phi tuyến phụ thuộc vào N . Giả sử N ∗ là vị
trí cân bằng của phương trình (2.14) (tức là f (N ∗ ) = 0). Nếu ta đặt
n(t) ≈ N (t) − N ∗ ,

|n(t)|

1

và phương trình (2.14) trở thành
dN
= f (N ∗ + n) ≈ f (N ∗ ) + nf (N ∗ ) + . . .
dt
thứ tự đầu tiên của n(t) là
dn
≈ nf (N ∗ )
dt

=⇒

∗

n(t) ≈ ef (N )t .

(2.15)

Khi đó
• Nếu f (N ∗ ) < 0 thì phương trình (2.15) ổn định với nhiễu loạn nhỏ.

• Nếu f (N ∗ ) > 0 thì phương trình (2.15) không ổn định.
54


Hình 2.2: Mơ hình động lực dân số:

dN
dt

= f (ω) với một vài trạng thái ổn định,

Grad(f (N )) ở trạng thái ổn định (f (N ) = 0) xác định ổn định tuyến tính. Với Unstable là khơng ổn định và Stable là ổn định.

Trạng thái ổn định được mơ tả như trong hình (2.2).
Một trong những thiếu sót của mơ hình dân số cổ điển của phương
trình vi phân thông thường là không phản ánh được cấu trúc của quần
thể dân số phân bố theo các lứa tuổi khác nhau. Trong thời đại ngày nay
đây là một bài tốn đang thu hút nhiều người quan tâm. Vì vậy chúng
ta xét sự mở rộng đầu tiên liên quan đến sự phụ thuộc vào độ tuổi sinh
ra và tốc độ chết đi. Để khắc phục hạn chế trên năm 1945 nhà nghiên
cứu Leslie đã xây dựng ma trận Leslie với mục đích có thể hợp nhất
các lớp tuổi khác nhau như nguyên sinh, trưởng thành hay sự di chuyển
về số lường từ quần thể này đến quần thể khác vào trong cùng một
mơ hình. Tiếp theo đó các nhà nghiên cứu Chalesworth (1980), Metz và
Diekmann (1986) và Kot (2001) đã mở rộng phổ biến của ứng dụng các
mơ hình cấu trúc tuổi.
2.2.2

Mơ hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển

Xét phương trình bảo tồn dân số
dn(t, a) =

∂n
∂n
dt +
da = −µ(a)n(t, a)dt.
∂t
∂a

(2.16)

Trong đó n(t, a) là dân số ở thời điểm t theo độ tuổi từ a đến a + da.
Các hàm b(a) và µ(a) lần lượt là tỷ lệ sinh và tỷ lệ chết đi của quần thể
(xem hình 2.3). µ(a)n(t, a)dt là số dân ở độ tuổi a chết đi khi thời gian
55


Hình 2.3: Chất lượng sinh (a) và chết (b) là tỷ lệ cho con người như các chức năng
trong những năm tuổi.

tăng lên rất nhỏ dt. n(t, 0) là tốc độ sinh (có thể khơng có cá thể nào
sinh ra ở độ tuổi a > 0).
Chia cả hai vế phương trình (2.16) cho dt ta được phương trình đạo
hàm riêng cấp 1 (chú ý do thời gian t tăng lên thì tuổi a cũng tăng theo
nên

da
dt

= 1).
∂n ∂n
+
= −µ(a)n với t > 0 và a > 0.
∂t
∂a

(2.17)

với các điều kiện ban đầu của n(t, a) ở thời điểm t và độ tuổi a là
n(0, a) = f (a)

(2.18)

cho biết số dân ở thời điểm t = 0 có phân bố tuổi cho trước là f (a).
và một điều kiện biên khác nữa là do tốc độ sinh n(t, 0) (có thể khơng
có sinh vật nào sinh ra ở độ tuổi a > 0).
∞

n(t, 0) =

b(a)n(t, a)da.

(2.19)

0

Theo đó khi a → ∞ thì b(a) → 0, nên ta có thể thay ∞ bởi am khi đó
b(a) = 0 với a > am . Một câu hỏi chính đặt ra là tỷ lệ sinh b(a) và tỷ lệ
chết µ(a) có ảnh hưởng như thế nào đến sự phát triển của quần thể sau

một thời gian dài.
Bây giờ ta xét đặc trưng của phương trình (2.17) như sau: (xem
Kevorkian 2000)
da
= 1,
dt

dn
= −µn.
dt
56

(2.20)


Hình 2.4: Đặc tính phương trình Von Foerster (2.17).

Giả sử a0 là độ tuổi ban đầu của cá thể ở thời điểm t = 0 và t0 là thời
điểm sinh của một các thể. Khi đó độ tuổi của cá thể ở thời điểm t bất
kì xác định như sau: (xem hình 2.4)

a=

t + a0

nếu

a>t

t − t0

nếu

a < t.

(2.21)

Phương trình thứ 2 của (2.20) sẽ có hai nghiệm khác nhau:
1. Nếu a > t, tích phân hai vế phương trình thứ hai của (2.20) sử dụng
da
dt

= 1 và kết hợp điều kiện (2.21) ta có
a

n(t, a) = n(0, a0 )exp −

µ(s)ds ,

a > t.

a0

trong đó n(0, a0 ) = n(0, a − t) = f (a − t) từ (2.18) ta suy ra
a

n(t, a) = f (a − t)exp −

µ(s)ds ,

a > t.

(2.22)

a−t

2. Nếu a < t, ta có
a

n(t, a) = n(t0 , 0)exp −

µ(s)ds .
0

Do n(t0 , 0) = n(t − a, 0) nên ta có:
a

n(t, a) = n(t − a, 0)exp −

µ(s)ds ,
0

57

a < t.

(2.23)


Trong phương trình cuối thì n(t − a, 0) được xác định nhờ vào việc giải

phương trình (2.19), sử dụng (2.22) và (2.23) ta có
t

a

b(a)n(t − a, 0)exp −

n(t, 0) =

µ(s)ds da

0
∞

0
a

b(a)f (t − a)exp −

+

(2.24)
µ(s)ds da.

t

a−t

Mặc dù việc giải phương trình này khơng dễ, nhưng ta vẫn có thể
thực hiện được nhờ vào phép lặp.

Bây giờ ta quan tâm đến dáng điệu của quần thể trong thời gian dài
và trên thực tế nó tăng hay giảm. Ta xét một nghiệm khác của phương
trình (2.17) như sau: (xem Kevorkian 2000)
n(t, a) = eγt r(a).

(2.25)

Khi đó sự phân bố tuổi bị thay đổi bởi một nhân tố hoặc phát triển
hoặc trì hoãn tùy theo thời gian γ > 0 hoặc γ < 0.
Thật vậy, ta thay (2.25) vào (2.18) ta được:
dr
= −[µ(a) + λ]r,
da
do đó

a

r(a) = r(0)exp −γa −

µ(s)ds .

(2.26)

0

Với r(a) này trong (2.25) và n(t, a) khi được thêm vào điều kiên biên
(2.19) cho ta đẳng thức:
∞

eγt r(0) =

a

b(a)eγt r(0)exp −γa −
0

µ(s)ds da.
0

Do đó, triệt tiêu eγt r(0 ta được:
∞

a

b(a)exp −γa −

1=
0

µ(s)ds da = φ(γ).

(2.27)

0

Phương trình này xác định một γ duy nhất, đó là γ0 , vì φ(γ) là hàm
đơn điệu giảm theo γ. Dấu của γ được xác định bởi đại lượng φ(0);(xem
58

Hình 2.5: Yếu tố tăng trưởng y0 được xác định bởi các giao điểm của φ(y) = 1 : y0 >
0 nếu φ(0) > 1 và y0 < 0 nếu φ(0) < 1.

hình 2.5). Thấy rằng, γ0 được xác định duy nhất bởi các tỷ lệ sinh ra
b(a) và tỷ lệ chết đi µ(a). Ngưỡng tới hạn S cho sự phát triển dân số là:
∞

a

b(a)exp −

S = φ(0) =
0

µ(s)ds da.

(2.28)

0

Với S > 1 cho thấy sự phát triển và S < 1 cho thấy sự trì hỗn. Trong
(2.28) ta coi exp −

a
0 µ(s)ds

là xác suất để một cá thể sống sót ở độ

tuổi a.
Nghiệm (2.25) và (2.26) khơng thể thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.18).

Câu hỏi đặt ra là liệu nghiệm đó có xấp xỉ tới nghiệm của (2.17)-(2.19)
sau một thời gian đủ lớn, trong các bài tốn thơng thường không. Nếu
t đủ lớn để n(t, a) trong (2.24) xấp xỉ tích phân trên biên vế phải thì
t

n(t, 0) ≈

a

b(a)n(t−a, 0)exp −
0

µ(s)ds da, khi t → ∞. (2.29)
a−t

Nếu tìm được nghiệm của phương trình này có dạng tương tự (2.25);
thay nó vào (2.29) thì thu được (2.27). Vì thế ta phỏng đốn được nghiệm
của phương trình (2.25) với r(a) từ (2.26) và γ từ (2.27) là nghiệm với t
đủ lớn của phương trình (2.19) với điều kiện ban đầu và điều kiện biên
(2.20) và (2.21). Tất nhiên nó khơng được xác định để mở rộng hằng
số r(0) nhưng vì ta chỉ quan tâm đến sự phát triển hay trì hỗn nên ta
khơng quan tâm đến r(0) vì nó khơng gây ảnh hưởng gì cả. Tham số
59


quan trọng là tham số ngưỡng S trong (2.28) từ việc kéo dài thời gian
ảnh hưởng đến tỷ lệ sinh và tiêu vong được đánh giá.
2.2.3

Mơ hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát

Chúng ta xét một quần thể sinh học được phân chia thành nhiều
nhóm nhỏ theo quy mơ (kích thước) phân bố của các cá thể (chẳng hạn
như theo lứa tuổi). Kí hiệu n(t, s) là số lượng dân số của một nhóm dân
số tại thời điểm t với quy mơ s. Khi đó, số lượng tồn bộ dân số của các
nhóm cá thể ở thời điểm t có kích thước từ s1 đến s2 được xác định như
sau:

s2

n(t, s)ds.
s1

Sau đây ta ln giả thiết rằng:
• Mỗi một nhóm dân số tăng trưởng tuyến tính theo thời gian.
• Mỗi một nhóm dân số chết với xác suất phụ thuộc vào quy mơ của
chúng.
• Mỗi một nhóm dân số có thể phân chia thành các nhóm con cháu
phụ thuộc 1 cách ngẫu nhiên vào quy mơ của nó.
Ngồi ra, chúng ta có thể giả sử thêm rằng:
• Tồn tại một nhóm dân số có quy mơ cực đại (thơng thường s = 1).
• Tồn tại một nhóm dân số có quy mơ cực tiểu s = α > 0 tương ứng
với mật độ cách phân chia nào đó.
Như vậy, kích thước s của mỗi cá thể trong quần thể phải thỏa mãn
s ≥ α2 . Từ những giả thiết này ta có phương trình tiến hóa sau: (xem
[MD86, phần A-I.4]).
∂
∂
n(t, s) = − n(t, s) − µ(s)n(t, s) − b(s)n(t, s)
(CE)

∂t
∂s
4b(2s)n(t, 2s) với α2 ≤ s ≤ 12
+
0 với 12 ≤ s ≤ 1
60


với điều kiện biên
α
n(t, ) = 0
2

với t ≥ 0

và điều kiện ban đầu
n(0, s) = n0 (s) với

α
≤ s ≤ 1.
2

Ngồi ra, chúng ta có thể giả sử rằng tỷ lệ chết µ là một hàm liên tục
dương xác định trên [ α2 , 1], trong khi đó tỷ lệ sinh là một hàm liên tục
thỏa mãn điều kiện:
b(s) > 0 với s ∈ (α, 1) và b(s) = 0 nếu s khác.
Chúng ta sẽ xác lập phương trình vi phân trừu tượng ứng với bài toán
(CE) bằng cách đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.1. Trong không gian Banach B := L1 [ α2 , 1] xác định
các tốn tử

A0 f = −f − (µ + b)f

Bf (s) :=

b(2s)n(t, 2s)
0

với

α
α
D(A0 ) = f ∈ W 1,1 [ , 1] : f ( ) = 0
2
2

với

1
2

với

α
2

≤s≤

1
2

≤s≤1

với mọi hàm f ∈ B

Và toán tử A = A0 + B với D(A) := D(A0 ).
Với các định nghĩa này phương trình đạo hàm riêng (CE) của chúng
ta trở về bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP )

u(t)
˙
= A0 u(t) + Bu(t)
u(0) = n0

,

với t ≥ 0,

với u là hàm véctơ u : R+ → L1 [ α2 , 1].
Sử dụng lý thuyết nhiễu của nửa nhóm và các định lý về bài tốn
Cauchy đặt chỉnh (Xem mục 2.1.3 và mục 2.1.4) chúng ta sẽ đi đến các
kết quả sau:
61


Định lý 2.2.1.

1. Toán tử (A0 , D(A0 )) là tốn tử sinh của một nửa

nhóm liên tục mạnh (T0 (t))t≥0 trên B được xác định bởi

T0 (t)f (s) :=

e−

t
s−t (µ(τ )+b(τ ))dτ

.f (s − t) với s − t >

α
2

0 với s − t < α2 .

(2.30)

2. Toán tử (A, D(A)) là tốn tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 trên B và bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) ở trên được
đặt chỉnh.
3. Nửa nhóm (T (t))t≥0 tương ứng với phương trình (CE) là ổn định
mũ đều nếu và chỉ nếu
ξ(0) < 0.
Trong đó ξ(.) là một hàm đặc trưng
1
2

ξ(λ) = −1 +

4b(2σ)e−

α
2

2σ
σ (µ(τ )+b(τ )+λ)dτ

dσ

với λ ∈ C.

Chứng minh. Xem [4].VI. Bổ đề 1.2 - Mệnh đề 1.3 - Định lí 1.19.

62


Kết luận
Trong luận văn này chúng tơi đã trình bày được những nội dung sau:
Phương trình vi phân trong khơng gian Banach, họ các tốn tử tiến
hóa và phương pháp xấp xỉ thứ nhất nghiên cứu tính ổn định của phương
trình vi phân tuyến tính với tốn tử bị chặn.
Phương trình tiến hóa đặt chỉnh. Ứng dụng của phương pháp nửa
nhóm có nhiễu để nghiên cứu mơ hình quần thể có phụ thuộc vào tuổi.

63


Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải
tích hàm , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] E.A.Barbasin (1967), Mở đầu về lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên

bản tiếng Nga), NXB khoa học và kỹ thuật.
[3] Ju.L,Daleckii and M.G.Krein (1974), Stability of solutions of differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society
Providence, Rhode Island.
[4] K.J. Engel-R.Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for linear
evolution Equations, Springer verlog NewYork.
[5] K.-J. Engel and R. Nagel (2005), A short course on operator Semigroups, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong
kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore.
[6] S. G. Krein (1971), Linear differential equations in Banach space,
American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904.
[7] J. D. Murray(2002).Mathematical Biology: I. An introdution third
Edition (3ed. spinger).
[8] G.F.Webb (1982), Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Pure and applied mathematics, a program of monographs,
text books, and Lecture Notes.

64