Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

,,,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————— * ———————

NGUYỄN VĂN THÀNH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
NGẪU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————— * ———————

NGUYỄN VĂN THÀNH

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9460101.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2019


1

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là
hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất cứ một cơng
trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Thành


2

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, cẩn
thận của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết
ơn sâu sắc PGS.TS. Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen
với nghiên cứu khoa học từ những ngày sau khi tốt nghiệp thạc sĩ. Ngoài những
chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lịng tin tưởng của Thầy dành cho

tác giả ln là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu và học tập.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là GS.TS. Nguyễn Hữu Dư và các
thầy cơ giáo trong Bộ mơn Phương trình vi phân và Hệ động lực của Khoa
Toán - Cơ - Tin học đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên
cứu thuận lợi cho tác giả. Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo, đặc
biệt là PGS.TS. Trần Đình Kế, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, và PGS.TSKH. Đồn Thái Sơn, Viện Tốn học, đã
ln động viên, chỉ bảo, hướng dẫn những kiến thức cơ sở bổ ích cho hướng
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, các thầy cô và các
anh chị đồng nghiệp công tác tại Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoại
ngữ, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, đặc biệt là người vợ
yêu quý và hai bên nội ngoại, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên
tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . .

7

2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . .

10

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . .

15

4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.1.2. Không gian Sobolev có trọng . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.1.3. Không gian các hàm của biến thời gian . . . . . . . . .

23

1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG
KHƠNG GIAN HILBERT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. Một số khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24


4
1.2.2. Khơng gian hàm của các q trình ngẫu nhiên . . . . .

26

1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert . . . . .

27

1.2.4. Công thức Ito trong không gian Hilbert . . . . . . . . .

30

1.3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU
NHIÊN VÀ TẬP HÚT NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . .

31

1.4. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .

33

1.4.2. Một số bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 2. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN NGẪU NHIÊN 37
2.1. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN . . . . . . . . .

37

2.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.2. Sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong không gian Lp (O) 41
2.1.3. Sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên trong không gian D01 (O, σ) 56
2.2. ỔN ĐỊNH HĨA NGHIỆM DỪNG BẰNG NHIỄU NGẪU NHIÊN
NHÂN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.2.1. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của phương
trình tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.2. Ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên nhân
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Chương 3. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . .

74

3.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . .

77

3.2. TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . .

97


5
3.2.1. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ
phương trình Navier-Stokes-Voigt tất định . . . . . . . .

97

3.2.2. Ổn định mũ bình phương trung bình . . . . . . . . . . .

99

3.2.3. Ổn định mũ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3. ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM 0 BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÓ GIÁ ĐỦ
LỚN BÊN TRONG MIỀN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.2. Sự ổn định của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên
trong miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Chương 4. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGTBRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.1. Ổn định mũ bình phương trung bình . . . . . . . . . . . 113
4.2.2. Ổn định mũ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . 117
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 122

DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H, V

các không gian hàm dùng để nghiên cứu
hệ Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer

V′

không gian đối ngẫu của không gian V

| · |p

chuẩn trong không gian Lp (O), p ≥ 1

(·, ·), | · |

tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), ∥ · ∥

tích vơ hướng và chuẩn trong khơng gian V

∥ · ∥∗

chuẩn trong không gian V ′

⟨·, ·⟩

đối ngẫu giữa V và V ′

Id

ánh xạ đồng nhất

A, B

các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-StokesVoigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

D(A)

miền xác định của tốn tử A

⇀

hội tụ yếu (theo nghĩa giải tích hàm)

Y

X

bao đóng của Y trong X

dist(A, B)

nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

L2 (K0 , H)

không gian tất cả các các tốn tử tuyến tính
Hilbert-Schmidt từ K0 vào H.


7

MỞ ĐẦU

1.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong nhiều q trình

của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn trong quá trình truyền nhiệt hoặc
khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mơ hình quần
thể trong sinh học khi mà sự tác động của ngoại lực là liên tục và ngẫu nhiên.
Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa
học và cơng nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của
nhiều nhà khoa học trên thế giới.
Một trong những vấn đề định tính quan trọng khi nghiên cứu những lớp
phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng là xét tính đặt đúng của
bài tốn và sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian
t → ∞. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình
đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mơ tả trạng thái của các mơ hình thực tế.
Do đó, khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đốn được xu thế
phát triển của hệ trong tương lai và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích
hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh
một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng vài thập
kỉ gần đây là lí thuyết về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình
đạo hàm riêng ngẫu nhiên.
Hai hướng nghiên cứu cơ bản về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên:
• Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực ngẫu nhiên


8
bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên. Bài tốn cơ bản của lí
thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫu
nhiên, chẳng hạn tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều của tập hút,
nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của tập hút vào tham số, ...
• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu
nhiên. Nói riêng là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm

dừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên.
Trong trường hợp nghiệm dừng này khơng ổn định, nghiên cứu bài tốn
ổn định hóa nghiệm dừng bằng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp
hoặc sử dụng điều khiển phản hồi có giá trên biên hoặc bên trong miền.
Dưới đây chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu của hai hướng nghiên
cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung của luận án.
Khái niệm tập hút ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái niệm tập hút
toàn cục của hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H. Crauel, A. Debussche,
F. Flandoli trong [29, 30]. Từ khi ra đời đến nay, hướng nghiên cứu về tập hút
ngẫu nhiên và tính chất của nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học trên thế giới. Sau hơn hai thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính
chất cơ bản của tập hút ngẫu nhiên đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng
các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Nói riêng, trong [29, 30] các tác
giả đã xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộng
tính dạng
du = ∆udt + f (u)dt +

m
∑

hj (x)dWj ,

j=1

ở đó số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và đã chứng
minh sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi phương
trình. Tiếp tục phát triển vấn đề này, trong những năm gần đây, nhiều nhà
toán học đã quan tâm nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫu
∑m
nhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính j=1 hj (x)dWj hoặc

9
nhiễu nhân tính

∑m

j=1 bj c(x)udWj ,

trong miền bị chặn (xem [11, 23, 54, 55])

và miền không bị chặn (xem [16, 71, 75]).
Một hướng khác để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình ngẫu nhiên là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm và trong
trường hợp nghiệm khơng ổn định ta có thể ổn định hóa bằng điều khiển phù
hợp. Ổn định hóa phương trình tiến hóa bởi nhiễu ngẫu nhiên được bắt đầu
từ những năm 60 của thế kỉ trước với các kết quả đầu tiên cho hệ hữu hạn
chiều và hiện nay là cho các hệ vơ hạn chiều. Có khá nhiều cơng trình nghiên
cứu ổn định hóa về 0 của lớp phương trình vi phân hữu hạn chiều (xem, chẳng
hạn, [10, 38, 61]) và vô hạn chiều (xem [25], bài báo tổng quan [24] và cuốn
chuyên khảo [53]). Nói riêng, bài tốn ổn định và ổn định hóa đã được nghiên
cứu cho một số lớp phương trình parabolic và một số lớp phương trình trong
cơ học chất lỏng. Tiêu biểu, năm 2000, T. Caraballo, J. Langa và J. Robinson
(xem [23]) đã xét tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình khuếch tán
với nhiễu nhân tính một chiều σu(t)dW (t) và hàm phi tuyến dạng đa thức
bậc ba. Năm 2002, T. Caraballo, J.A. Langa và T. Taniguchi đã nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình Navier-Stokes ngẫu nhiên hai
chiều (xem [26]). Năm 2006, T. Caraballo, A. M. Márquez-Durán và J. Real
nghiên cứu sự ổn định mũ trung bình bình phương và ổn định hầu chắc chắn
của lớp phương trình LANS-α ngẫu nhiên ba chiều (xem [27]). Xem thêm một

số kết quả gần đây theo hướng nghiên cứu thời sự này trong [58, 63, 64, 65].
Tuy nhiên, theo như hiểu biết của chúng tơi, vẫn cịn ít cơng trình nghiên cứu
ổn định hóa các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không gian vô
hạn chiều với trường hợp nghiệm dừng khác 0.
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng
ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, đặc biệt là các phương trình kiểu NavierStokes, cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới
(xem, chẳng hạn, [13, 19, 20, 28]). Tuy nhiên, đối với nhiều lớp phương trình


10
ngẫu nhiên quan trọng trong cơ học chất lỏng, tính đặt đúng vẫn là vấn đề mở
cần được nghiên cứu.
Bên cạnh những kết quả đã đạt được ở trên, vẫn cịn ít kết quả liên quan
đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic suy biến và một
số lớp phương trình ngẫu nhiên khác trong cơ học chất lỏng như hệ NavierStokes-Voigt, hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer, . . . . Chính vì vậy, chúng
tơi chọn hướng nghiên cứu "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương
trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên" để làm đề tài cho luận án tiến sĩ của mình.
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Một trong những lớp phương trình parabolic được nghiên cứu nhiều trong
những năm gần đây là lớp phương trình parabolic suy biến kiểu CaldiroliMusina có dạng
du + [−div(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,
u|∂O = 0, t > 0,

(1)

u|t=0 = u0 .
Trong trường hợp tất định, phương trình này có thể xem là mơ hình đơn
giản của q trình khuếch tán nơtron (điều khiển phản hồi của phản ứng hạt
nhân) (xem [33]). Trong trường hợp này, u và σ tương ứng chỉ thông lượng
nơtron và hệ số khuếch tán nơtron. Các điều kiện về lớp trọng σ được đưa ra

bởi Caldiroli-Musina trong bài báo [21]; nói riêng, hệ số khuếch tán σ là hàm
khơng âm, đo được và có thể bằng khơng tại hữu hạn điểm. Một ví dụ điển
hình là σ(x) = |x|α , α ∈ (0, 2), trong trường hợp miền bị chặn. Trong cơng
trình [21], Caldiroli và Musina đã giới thiệu không gian năng lượng tự nhiên
D01 (O, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ của C0∞ (O) đối với chuẩn
(∫
∥u∥D01 (O,σ) :=

)1/2
σ(x)|∇u| dx
2

O


11
và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng. Dựa trên những kết quả này,
trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm
cận nghiệm của lớp phương trình này.
• Năm 2005 và 2006, các tác giả N.I. Karachalios và N.B. Zographopoulos
đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận thông qua sự tồn tại
của tập hút toàn cục của nghiệm bài tốn Cauchy-Dirichlet đối với lớp
phương trình trên trong trường hợp đặc biệt f (u) = −λu+|u|2γ u, g(x) =
2−α
0 với 0 ≤ γ ≤
(xem [40], [41]).
N −2+α
• Năm 2008, các tác giả C.T. Anh và P.Q. Hưng (xem [4]) đã chứng minh
sự tồn tại tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlet trong trường
hợp dữ kiện ban đầu u0 ∈ D01 (O, σ), g ∈ L2 (O) cho trước và f thỏa mãn

điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưởng kiểu Sobolev. Kết quả
này mở rộng đáng kể các kết quả trước đó của N.I. Karachalios và N.B
Zographopoulos.
• Trong các năm từ 2010 đến 2013, các tác giả C.T. Anh, N.D. Bình, T.
Q. Bảo và L.T. Thúy đã chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của tập
hút, đánh giá số chiều fractal của tập hút của lớp phương trình parabolic
suy biến trên khi số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa
thức, trong cả hai trường hợp ngoại lực không phụ thuộc và phụ thuộc
thời gian (xem [1, 2, 3]). Xem thêm các kết quả liên quan gần đây trong
[18, 48, 49, 50].
Trong trường hợp ngẫu nhiên, đối với phương trình parabolic suy biến ngẫu
nhiên có dạng
du + [− div(σ(x)∇u) + λu]dt = [f (x, u) + g(x)]dt +

m
∑

hj (x)dWj (t),

j=1

năm 2011, các tác giả M. Yang và P.E. Kloeden đã chứng minh được sự tồn
tại tập hút ngẫu nhiên trong L2 (O) với O là một miền bị chặn (xem [72]). Một


12
số vấn đề về tính trơn của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại nghiệm dừng, tính
ổn định và ổn định hóa của nghiệm dừng đối với lớp phương trình (1) vẫn còn
là vấn đề mở và sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong luận án này.
Tiếp theo, một lớp phương trình trong cơ học chất lỏng được nhiều nhà

tốn học nghiên cứu trong những năm gần đây là hệ phương trình NavierStokes-Voigt có dạng
d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt
= f (x, t)dt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,
u(x, t) = 0,

x ∈ O, t > 0,

(2)

x ∈ ∂O, t > 0,

u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ O,

trong đó O là một miền bị chặn với biên ∂O trơn.
Trong trường hợp tất định, hệ phương trình này được giới thiệu bởi Oskolkov
trong [62] để mô tả chuyển động của chất lỏng loại Kelvin-Voigt không nén
được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng cho tính đàn hồi α). Chú ý rằng
khi α = 0, hệ Navier-Stokes-Voigt trở thành hệ Navier-Stokes cổ điển và khi
ν = 0 ta được mơ hình Bardina dạng đơn giản hóa, mơ tả chuyển động của các
chất lỏng không nhớt. Hệ (2) đã được E.S. Titi và các cộng sự sử dụng như
là một chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes ba chiều, khi α nhỏ, giúp mô phỏng số
trực tiếp nghiệm của hệ Navier-Stokes trong cả trường hợp điều kiện biên tuần
hoàn và điều kiện biên Dirichlet (xem [22]). Thực tế, hệ Navier-Stokes-Voigt
thuộc lớp α-mơ hình trong cơ học chất lỏng (xem [39] cho các trường hợp khác
của mơ hình này).
Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
của hệ Navier-Stokes-Voigt ba chiều tất định thu hút được sự chú ý của nhiều

nhà toán học (xem [8, 36, 42, 44, 62, 74]). Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
được chứng minh đầu tiên bởi A.P. Oskolkov trong [62]. Sau đó, khi ngoại lực


13
g không phụ thuộc vào biến thời gian, V.K. Kalantarov đã chứng minh sự tồn
tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ này (xem [42]). Trong các
cơng trình [43, 44], V.K. Kalantarov và cộng sự đã phát triển kết quả trên,
đánh giá được số chiều fractal của tập hút tồn cục, chứng minh được tính
determining modes và tính chính quy Gevrey của tập hút tồn cục (xem thêm
[31]). Trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian, năm 2013 các tác giả
C.T. Anh và P.T. Trang đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và sự
tồn tại tập hút lùi hữu hạn chiều khi miền xét phương trình có thể khơng bị
chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (xem [8]), kết quả này mở rộng
kết quả trước đó trong [36] khi miền xét phương trình là bị chặn.
Trong trường hợp ngẫu nhiên, năm 2012, H. Gao và C. Sun đã chứng minh
sự tồn tại và đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút ngẫu nhiên đối với lớp
phương trình này với nhiễu ngẫu nhiên dW (t) (xem [37]). Năm 2013, T.Q. Bảo
đã chứng minh tính trơn và tính liên tục của tập hút ngẫu nhiên với nhiễu
ngẫu nhiên dạng εh(x)dW (t) (xem [17]).
Tuy nhiên, số hạng ngẫu nhiên trong các bài báo này cịn khá đơn giản, nó
chỉ là nhiễu cộng tính hữu hạn chiều. Do đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của mơ hình này là đơn giản bởi vì nó được suy ra từ kết quả của phương trình
tất định tương ứng sau một phép biến đổi phù hợp. Tuy nhiên, khi nhiễu ngẫu
nhiên là q trình Wiener vơ hạn chiều thì vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và
duy nhất nghiệm khó khăn hơn nhiều. Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu (2),
trước hết là sự xuất hiện của số hạng −α2 ∆ut , làm mất đi tính chất parabolic
(giống như hệ Navier-Stokes ban đầu) của hệ phương trình và áp dụng cơng
thức Ito cũng khó khăn hơn. Cụ thể, nghiệm của hệ không trơn hơn điều kiện
ban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệ quả là hệ động

lực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu. Tiếp theo, do xét lớp phương
trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên nên các bổ đề compact Aubin-Lions khơng sử
dụng được và do đó các phương pháp thường dùng cho hệ phương trình tất


14
định khơng cịn thích hợp nữa. Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng kĩ thuật
đánh giá tiên nghiệm bằng các bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy, các
bất đẳng thức phi tuyến và quá trình dừng.
Một số vấn đề về hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên mà chúng tôi quan
tâm nghiên cứu trong luận án này là:
• Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng,
dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên (với giả thiết nghiệm dừng này
vẫn là nghiệm của hệ ngẫu nhiên).
Một lớp hệ liên quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt ở trên là hệ phương
trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong miền O ⊂ R3 với biên
trơn ∂O
d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt
= g(x)dt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,
u(x, t) = 0,

x ∈ O, t > 0,

(3)

x ∈ ∂O, t > 0,

u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ O,

ở đây u = (u1 , u2 , u3 ) là hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất cần
tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của
chất lỏng, u0 là vận tốc ban đầu, f (x, u) là hàm phi tuyến và nhiễu ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian H. Ngồi những khó khăn do sự xuất hiện của
tốn tử −α2 ∆ut như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện của
số hạng phi tuyến f (x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (3) trở nên phức tạp
hơn. Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến
(u · ∇)u và f (x, u) cần xử lí, địi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩ
thuật đánh giá. Chú ý rằng khi f ≡ 0 ta có hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên


15
tương ứng, và khi α = 0 ta có hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu (xem [45]).
Trong trường hợp tất định, bài báo [7] của C.T. Anh và P.T. Trang là cơng
trình nghiên cứu đầu tiên về hệ (3), ở đó đã chứng minh các kết quả về sự tồn
tại duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút lùi và tính ổn định mũ của
nghiệm dừng. Cho đến nay, theo sự hiểu biết của chúng tơi, chưa có kết quả
nào về bài tốn này trong trường hợp có nhiễu ngẫu nhiên. Trong luận án này,
chúng tôi sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên lên tính ổn định của
nghiệm dừng của hệ tất định.
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích luận án: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên và một số lớp phương trình
đạo hàm riêng ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ NavierStokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
• Đối tượng nghiên cứu: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương
trình parabolic suy biến ngẫu nhiên, của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu
nhiên và của hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên.

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận thơng qua sự tồn
tại và tính chất của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại và tính ổn định của
nghiệm dừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên và vấn đề ổn định
hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên hoặc điều khiển phản hồi phù
hợp.
◦ Nội dung 1: Phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên
du + [− div(σ(x)∇u) + λu]dt = [f (x, u) + g(x)]dt + h(x, t, u)dW (t),
(4)
trên miền bị chặn O ⊂ RN , N ≥ 2, với biên ∂O trơn, λ > 0.


16
∗ Trước tiên, chúng tôi xét nhiễu ngẫu nhiên là

∑m
j=1

hj (x)dWj (t)

với {Wj }m
j=1 , m ≥ 1, m ∈ N là các q trình Wiener độc lập hai
phía nhận giá trị trong tập số thực. Trong trường hợp này, sự
tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong L2 (O) cho hệ động lực
ngẫu nhiên sinh bởi (4) đã được nghiên cứu bởi P.E. Kloeden
và M. Yang trong [72]. Mục đích của chúng tơi ở đây là nghiên
cứu tính trơn của tập hút ngẫu nhiên thu được trong [72], cụ
thể là chứng minh sự tồn tại sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên
trong các không gian Lp (O) và D01 (O, σ).
∗ Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm dừng của phương trình tất định. Sau đó, với nhiễu ngẫu

nhiên dạng h(t, u)dW (t), ở đây là W (t) là quá trình Wiener một
chiều nhận giá trị thực, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của
nhiễu ngẫu nhiên này đối với sự ổn định của nghiệm dừng của
bài tốn (4). Chúng tơi sẽ chỉ ra rằng một nhiễu ngẫu nhiên
nhân tính với cường độ đủ lớn sẽ ổn định hóa được nghiệm
dừng đã cho.
◦ Nội dung 2: Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên ba
chiều




d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt







= f (x, t)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,



∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0,







u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0,






u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O.
Trong phần này, lấy ý tưởng từ một số nghiên cứu gần đây (xem
[26, 27, 28]), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm,
tính ổn định và ổn định hóa nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes-


17
Voigt ba chiều với nhiễu ngẫu nhiên dạng h(t, u)dW (t). Những nội
dung nghiên cứu của chúng tôi trong phần này gồm:
∗ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;
∗ Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng bao gồm ổn định
theo nghĩa bình phương trung bình và ổn định hầu chắc chắn;
∗ Nghiên cứu sự ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển có giá
đủ lớn bên trong miền.
◦ Nội dung 3: Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer
ngẫu nhiên ba chiều




d(u − α2 ∆u)
+[−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt








= g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,



∇ · u = 0, x ∈ O, t > 0,






u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0,






u(x, 0) = u0 (x), x ∈ O.
Những nội dung trong phần này là sự phát triển các kết quả về tính
ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định trong cơng trình [7]. Cụ
thể, chúng tơi nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên lên
tính ổn định của nghiệm dừng.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các
phương pháp và công cụ của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên:
phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp hội tụ yếu trong Giải tích
hàm, sử dụng các tính chất của thời điểm dừng, các bổ đề xử lí số hạng
phi tuyến và các bất đẳng thức để xử lí nhiễu ngẫu nhiên.
• Để nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng các


18
phương pháp của lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, nói riêng là phương
pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận.
• Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm và vấn đề ổn định hóa nghiệm, chúng
tơi sử dụng các cơng cụ và phương pháp của Lí thuyết ổn định, Giải tích
ngẫu nhiên và các kĩ thuật của Lí thuyết điều khiển.
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên:
Chứng minh được sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong các không
gian Lp (O) và D01 (O, σ). Thiết lập được điều kiện đủ cho sự tồn tại và
tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình tất định, và điều kiện để
ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp trong trường
hợp nghiệm dừng này là không ổn định.
• Đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên: Chứng minh
được sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Thiết lập được điều kiện đủ cho
tính ổn định của nghiệm dừng tất định dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu
nhiên và điều kiện ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi
có giá bên trong miền.
• Đối với hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên:
Thiết lập được điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng của

phương trình tất định dưới tác động của nhiễu ngẫu nhiên.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình
đạo hàm riêng ngẫu nhiên phi tuyến, cụ thể ở đây là phương trình parabolic
suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu
nhiên và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên.


19
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trong 04 bài báo khoa học
trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế, 01 bài báo hoàn thiện đang gửi đăng
và đã được báo cáo tại:
• Seminar của Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội;
• Seminar tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Tốn, Hà Nội, 21/12/2017;
• Hội nghị tồn quốc lần thứ V, “Xác suất – Thống kê: nghiên cứu, ứng
dụng và giảng dạy”, Đà Nẵng, 23-25/5/2015;
• Hội nghị tốn học tồn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018.
• International mini-workshop in CIMPA- IMH-VAST research school on
"Recent developments in stochastic dynamics and stochastic analysis",
Viện Toán học, Hà Nội, 5-18/3/2018.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình được cơng bố và danh
mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các khái niệm và
các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong luận án.
• Chương 2. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic
nửa tuyến tính suy biến ngẫu nhiên. Trình bày các kết quả về tính trơn
của tập hút ngẫu nhiên; sự tồn tại, tính ổn định và ổn định hóa nghiệm
dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp.

• Chương 3. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu
nhiên. Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn
tại và tính ổn định của nghiệm dừng theo nghĩa bình phương trung bình


20
và hầu chắc chắn. Ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi
có giá đủ lớn bên trong miền.
• Chương 4. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer ngẫu nhiên. Trình bày các kết quả về tính ổn định mũ của
nghiệm dừng theo nghĩa bình phương trung bình và hầu chắc chắn.


21

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên
cứu các phương trình trong luận án. Chúng tơi cũng trình bày một số khái
niệm và kết quả của Giải tích ngẫu nhiên trong khơng gian Hilbert, các kết
quả tổng quát về lí thuyết tập hút ngẫu nhiên, và một số kết quả bổ trợ sẽ
được dùng trong các chương sau.
1.1.

CÁC KHƠNG GIAN HÀM

1.1.1. Khơng gian Sobolev
Cho O là một miền bị chặn trong RN với biên trơn ∂O. Sau đây chúng tôi
nhắc lại khái niệm không gian các hàm khả tích bậc p, khơng gian Sobolev

trên miền O:
• Lp (O), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên O với chuẩn, kí hiệu là ∥ · ∥Lp (O) hoặc | · |p , được
định nghĩa như sau:
∥u∥Lp (O) :=

(∫
O

)1/p
|u|p dx
.

Chú ý rằng Lp (O) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.
Đặc biệt, khi p = 2, L2 (O) là không gian Hilbert với tích vơ hướng
∫
(u, v) =
u · vdx.
O

• L∞ (O) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị


22
chặn hầu khắp nơi trên O với chuẩn
∥u∥L∞ (O) := ess sup |u(x)|.
x∈O

• Khơng gian Sobolev
W m,p (O) = {u ∈ Lp (O) : Dj u ∈ Lp (O) với mọi |j| ≤ m}

là không gian Banach với chuẩn

∥u∥W m,p = 

∑

1/p
p 
∥Dj u∥L
p

|j|≤m

Ta thường viết tắt W m,2 (O) = H m (O), đây là khơng gian Hilbert với
tích vô hướng
((u, v))H m =

∑

(Dj u, Dj v).

|j|≤m

H0m là bao đóng của khơng gian C0∞ (O) trong H m (O).
Ta cũng thường kí hiệu Lp (O) = (Lp (O))N , Hm (O) = (H m (O))N , và
m
N
Hm
để xét các hàm vectơ trong không gian N chiều.
0 (O) = (H0 (O))

1.1.2. Khơng gian Sobolev có trọng
Cho O là một miền bị chặn trong RN . Giả sử α ∈ (0, 2) và σ : O → R là hàm
đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn điều kiện sau (xem thêm [21]):
(Hα ) : σ ∈ L1loc (O) và lim inf |x − z|−α σ(x) > 0 với mọi z ∈ O.
x→z

Khi đó ta định nghĩa khơng gian D01 (O, σ) là bổ sung đủ của không gian
C0∞ (O) đối với chuẩn
(∫
∥u∥σ :=
O

) 12
σ(x)|∇u|2 dx .

(1.1)


23
Khi đó, D01 (O, σ) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
∫
((u, v))σ := σ(x)∇u∇vdx.
O

Kí hiệu D−1 (O, σ) là không gian đối ngẫu của D01 (O, σ). Kết thúc mục này,
chúng tôi nhắc lại các kết quả về phép nhúng của không gian D01 (O, σ) trong
Lp (O). Trước hết, ta định nghĩa

4


 ∈ (2, ∞)
(
)
2∗α = α 2N
2N


∈ 2,
N −2+α
N −2

nếu N = 2,
nếu N ≥ 3,

ở đây N là số chiều của không gian chứa tập O. Số mũ 2∗α là số mũ tới hạn
trong phép nhúng Sobolev liên quan đến không gian D01 (O, σ). Cụ thể, ta có
bổ đề sau và chứng minh của kết quả này có thể tìm thấy trong [21, Mệnh đề
3.3-3.5].
Bổ đề 1.1. Giả sử rằng O là miền bị chặn trong RN , N ≥ 2, và σ thỏa mãn
điều kiện (Hα ). Khi đó ta có
∗

(i) Phép nhúng D01 (O, σ) → L2α (O) là liên tục;
(ii) Phép nhúng D01 (O, σ) → Lp (O) là compact nếu p ∈ [1, 2∗α ).
1.1.3. Không gian các hàm của biến thời gian
Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ∥ · ∥X và không gian đối ngẫu
của nó được kí hiệu là X ′ . Giả sử [a, b] ⊂ R là một đoạn đóng. Trong mục này,
ta giới thiệu các khơng gian hàm sau:
• Khơng gian Lp (a, b; X), 1 ≤ p ≤ ∞, gồm tất cả các hàm đo được u :

[a, b] → X với chuẩn
i) ∥u∥Lp (a,b;X) :=

(∫

b
a

∥u(t)∥pX dt

)1/p

< +∞ với 1 ≤ p < ∞,

ii) ∥u∥L∞ (a,b;X) := esssupa≤t≤b ∥u(t)∥X < ∞.