Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, định lượng độ rối và viễn tải lượng tử của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ

| HNKH 2019

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI
VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE THÊM HAI
VÀ BỚT MỘT PHOTON
LÊ THỊ MỸ HẰNG, TRƯƠNG THỊ PHƯƠNG THẢO
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tơi khảo sát các tính chất phi cổ điển, khảo sát
tính chất đan rối và định lượng độ rối của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt
một photon. Bằng việc sử dụng điều kiện nén tổng và nén hiệu hai mode, chúng tôi
thu được kết quả trạng thái này là một trạng thái có nén tổng và nén hiệu hai mode.
Tiếp theo chúng tơi khảo sát tính chất đan rối và định lượng độ rối của trạng thái nén
hai mode thêm hai và bớt một photon bằng tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao và
tiêu chuẩn Entropy tuyến tính. Kết quả cho thấy trạng thái nén hai mode thêm hai và
bớt một photon là một trạng thái đan rối mạnh. Bằng việc sử dụng trạng thái này để
viễn tải lượng tử chúng tơi thấy rằng q trình viễn tải lượng tử là thành công khi
chọn các tham số phù hợp và xác định được độ trung thực trung bình của quá trình
viễn tải.
Từ khóa: Nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, tính chất đan rối, tiêu chuẩn
Entropy tuyến tính, khảo sát quá trình viễn tải lượng tử, độ trung thực trung bình cuẩ
quá trình viễn tải lượng tử.

1. GIỚI THIỆU
Các trạng thái phi cổ điển luôn được các nhà khoa học khơng ngừng nghiên cứu và phát
triển, điển hình như trạng thái nén. Việc thêm và bớt photon và một trạng thái vật lý là một
phương pháp quan trọng để tạo ra một trạng thái phi cổ điển mới. Nghiên cứu các tính chất của
trạng thái phi cổ điển nàu mở ra những ứng dụng mới trong kỹ thuật, công nghệ thông tin lượng
tử. Trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon được định nghĩa như sau:



ab





 N a†2  ei b 

ab

 N  a†2  ei b   cosh r 

1



  e  tanh r 
i

n 0

n

n, n

ab

,

trong đó a† là tốn tử sinh đối với mode a , b là toán tử hủy đối với mode b , N là hệ số chuẩn
hóa có dạng như sau:



2
2n
N   cosh r    tanh r  n2  4n  2 
n 0







1 2

(1)

Việc nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, định lương độ rối và viễn tải lượng tử của trạng
thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon vẫn chưa được đề cập đến. Vì vây, trong bìa báo
này chúng tơi tiến hành nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, định lương độ rối và viễn tải lượng
tử của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon.
2. TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON
2.1. Nén tổng hai mode
Vào năm 1989, nén tổng hai mode được Hillery đưa ra. Một trạng thái được gọi là nén
tổng nếu:

190


KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC SINH VIÊN

| 12/2019

 V 

2

 V 

1
na  nb  1 ,
4







(2)



1 i † †  i
e a b  e ab , na  a † a và nb  b†b . Để thuận

2
tiện cho việc khảo sát ta đặt tham số nén tổng:

trong đó



2

2

 V 2  V

, V 

S  V 2  V

2



1
na  nb  1 .
4

(3)

Trong trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon, tham số S có dạng:

1


2
2n
S   cosh r    tanh r  n2  4n  2 
4
n 0




2  cos  cosh r 

2



  tanh r 
n 0

2  cosh r 

2



  tanh r   n
2n

4

n 0



2n2

1



 n  1 n  2   n 2  8n  12 




 5n3  10n  8  



1

2
2n
  cosh r    tanh r   n 2  4n  2  
4
n 0


1

2




2
2 n 1
  2  cos   cosh r    tanh r   n  1  n 2  6n  6   .
n 0



Hình 1. Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của tham số nén tổng của trạng thái nén hai mode thêm hai và
bớt một photon vào r

Từ kết quả trên, ta nhận thấy rằng nghĩa là điều kiện nén tổng được thỏa mãn. Ta kết luận
rằng trạng thái hai mode thêm hai và bớt một photon có tính chất nén tổng.
2.2. Nén hiệu hai mode
Vào năm 1989, nén hiệu hai mode được Hillery đưa ra. Một trạng thái được gọi là nén
hiệu nếu:

 W 


2



1
na  nb ,

4

191

(4)


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ

trong đó

 W 


2

 W2  W

2

| HNKH 2019

1 i 
 e ab  ei a b  , na  a †a và nb  b†b . Để
2

, W 

thuận tiện cho việc khảo sát ta đặt
2

D  W2  W



1
na  nb .
4

(5)

Trong trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon, tham số D có dạng như sau:

1

2
2n
D   cosh r    tanh r  n2  4n  2 
4
n 0






1





2
2n
  cosh r    tanh r   n 4  8n3  19n 2  17 n  4  
n 0



1

2
2n
  cosh r    tanh r   n 2  4n  2  
4
n 0


1




2
2n
    cosh r    tanh r   2n 2  5n  4   .
n 0



Hình 2. Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của tham số nén hiệu của trạng thái nén hai mode thêm hai và

bớt một photon vào r

Dựa vào đồ thị sự phụ thuộc của tham số nén hiệu của trạng thái nén hai mode thêm hai
và bớt một photon vào r, chúng tôi kết luận trạng thái này khơng có tính nén hiệu hai mode.
3. ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON
3.1. Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon
Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy được đưa ra vào năm 2006 bởi Hillery và Zubairy.
Hai ông đã đưa ra một lớp bất đẳng thức thể hiện sự hiện diện của tính đan rối trong các hệ hai
mode nếu tuân theo bất đẳng thức sau:
a mb n

2



a 
†

m

am

b 
†

n

bn .

Xét trường hợp m = n = 1, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy được viết lại như sau:
ab

2

 a † a b †b .

192

(6)


KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC SINH VIÊN

| 12/2019

Để thuận lợi cho việc khảo sát chúng tôi đặt tham số rối R dưới dạng:
2

R  a† a b†b  ab .

Trong trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon, tham số R có dạng:



2
2n
R   cosh r    tanh r  n2  4n  2 
n 0








1




2
2n
  cosh r    tanh r   2n 2  3n  2  
n 0





2
2n
  cosh r    tanh r   n   n 2  4n  1 
n 0



1

2

2n
  cosh r    tanh r   n 2  4n  2  
4
n 0


1




2
2 n 1
 ei  cosh r    tanh r   n  1  n 2  6n  6  
n 0





2
2 n 1
 ei  cosh r    tanh r   n  1  n 2  6n  6   .
n 0



Tiếp theo, chúng tôi khảo sát mức độ rối của nhóm này:

Hình 3. Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của tham số đan rối R theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy

của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon vào r

Đồ thị cho thấy rằng R  0 và biên độ càng tang thì R càng âm, nghĩa là tính đan rối càng
mạnh. Như vậy, trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon là một trạng thái rối theo
tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy. Do đó, trạng thái này có thể được chọn làm nguồn rối trong
quá trình viễn tải lượng tử.
3.2. Định lượng độ rối bằng tiêu chuẩn Entropy tuyến tính của trạng thái nén hai mode
thêm hai và bớt một photon
Phép đo mức độ đan rối của một trạng thái lượng tử hỗn tạp được mô tả bởi một tốn tử
mật độ ra thơng qua entropy tuyến tính E L . Entropy tuyến tính của một ma trận mật độ được
xác định bởi:

 

EL  1  Tr a2 ,
193

(7)


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ

| HNKH 2019

 

trong đó Tr a2 là phép lấy vết của ma trận mật độ rút gọn  a bình phương. Một trạng thái đan
rối càng mạnh nếu M càng gần đơn vị. Trạng thái đan rối đạt cực đại khi EL  1 , trạng thái
không đan rối khi EL  0 . Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp được
biểu diễn qua trạng thái Fock có dạng:









 N a†2  ei b 

ab

ab





 N cosh 1  r    tanh r  a†2  ei b n, n
n

n 0

ab

,

trong đó N là hệ số chuẩn hóa cho bởi cơng thức (3):



ab


n
 N cosh 1  r     tanh r 
 n 0

 n  2  n  1

n  2, n



n

 tanh r  ei n n, n  1 ab 

ab
n 1


,
Hay:



ab

 N cosh 1  r  tanh r n  n  2  n  1 n  2, n
 
1
n 1 i
n   N cosh  r  tanh r
e n  1 n  1, n ab




  xn n  2, n

ab

 yn n  1, n

ab

ab






.

n

với xn  N cosh 1  r  tanh r 

n

 n  2 n  1

và yn  N cosh 1  r  tanh r n1ei n  1 . Từ đó,

ta tính được  ab như sau:

ab    xn n  2, n

ab

 yn n  1, n

ab



ba

m, m 1 ym* ba m, m 2 xm



m,n

 xn xm n  2, n ab m, m 2  yn ym* n  1, n ab m, m 1
 
*

m, m 1  yn xm n  1, n ab m, m 2
m , n   xn ym n  2, n
ab



.



Tính vết theo mode b ta được:

 a  Trb  ab 



  xn2 n  2
n

a

n  2  yn*

2

n  1 a n  1  xn yn* n  2

a



n  1  yn xn n  1 a n  2 .

Lấy vết theo mode a để có E L :

 

EL  1  Tra a2 .

Thực hiện biến đổi ta thu được entropy tuyến tính của trạng thái nén thêm hai và bớt một
photon có dạng như sau:




EL  1   xn4  yn  2 xn2 yn 1  2 xn2 yn
n 0

4

194

2

2

.


KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC SINH VIÊN

| 12/2019

Hình 4. Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của tham số E L của trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một
photon vào r

Như vậy, trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon đạt đến cấp độ đan rối cực
đại khi ta chọn các thông số phù hợp và thỏa mãn điều kiện đan rối để thực hiện nhiệm vụ quá
trình viễn tải lượng tử.
4. VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON
4.1. Khảo sát quá trình viễn tải lượng tử với trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một
photon
Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp được biểu diễn theo trạng
thái Fock có dạng:



ab





 N a†2  ei b 



ab





 N cosh 1  r    tanh r  a†2  ei b n, n
n

n 0

ab

 .

Trạng thái Bell được biểu diễn qua trạng thái Fock như sau:
B  X , P

ac



2

 Dˆ    n




n 0

n a.

c

Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái này sụp đổ. Do Bob và Alice cùng chia sẻ trạng
thái rối nên Boh có trạng thái sau:



B



2N



e

  *   * 

    
2


2

e

2

 cosh r 

1





  e tanh r
n 0

i

n 



   

k 0

k

k!





k a †2  ei b n, n

ab

a

Trạng thái Bob cuối cùng như sau:



out



2N







e

  *   * 


2



 e tanh r
n 0

i

e

   2 



2 



n 



 cosh r 

   

k 0

k

k!

1





Dˆ b   a k a†2  ei b n, n

ab

.

Trạng thái sau khi chuẩn hóa sẽ là:



out  f

1


out





out

.

out

Đến thời điểm này, q trình viễn tải đã hoàn thành và để đánh giá mức độ thành cơng
của q trình viễn tải chúng ta phải dựa vào độ trung thực trung bình Fav .
195


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ

| HNKH 2019

4.2. Độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử
Độ trung thực trung bình được dùng để xác định sự thành cơng của q trình viễn tải. Với
Fav  0.5 là giới hạn của viễn tải cổ điển. Q trình viễn tải là thành cơng nếu 0.5  Fav  1 . Một
quá trình viễn tải được đánh giá là hoàn hảo nếu đạt được Fav  1 . Độ trung thực trung bình trong
quá trình viễn tải được xác định như sau:
Fav     out

2

d 2 .

(13)

Để xác định Fav ta tính:

  out 

2N






e

  *   * 

    
2


2

    
1
 cosh r  e
*

e

 e tanh r
n 0

2

i

n 



   

k

k!

k 0

* *

 

a





k a †2  ei b n, n

ab

.

b

Ta tính:

H b   





k a†2  ei b n, n

a

ab

.

Ta được:

  out 

2N



e

  

 cosh r 

2



n 0



    
*  *


n!

n2



  ei tanh r

1



n







1  ei tanh r

n


2


.



Đặt      , thay vào công thức trên, ta được:

  out

2



4N 2



 cosh r 

2

e

2 

2



 tanh r 





m n

  n m 2 * n m 2
n !m !

n , m 0



 1    tanh r 

.

2 2

Ta thu được độ trung thực trung bình như sau:

Fav  4 N

2



 cosh r    1
2

n , m 0

m n





 tanh r 

n , m 0

m n

 n  m  2 ! 
 n  m  3

n !m! 2

1   tanh r   .
2 2

Hình 5. Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của tham số độ trung thực trung bình của trạng thái nén hai
mode thêm hai và bớt một photon vào r
196


KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC SINH VIÊN

| 12/2019

Từ đồ thị ta thấy rằng, quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái nén hai mode thêm hai
và bớt một photon ln được thực hiên. Độ trung thực trung bình không phụ thuộc vào trạng
thái được viễn tải  .
5. KẾT LUẬN
Trong bài báo này, chúng tôi đã khảo sát tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode, dử dụng
tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn Entropy tuyến tính để khảo sát tính đan rối của trạng
thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon. Sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để thực
hiện viễn tải lượng tử.kết quả cho thấy: trạng thái nén hai mode thêm hai và bớt một photon là
một trạng thái đan tiêu chuẩn Entropy tuyến tính. Khi xác định các tham số trạng thái phù hợp
thì trạng thái này là một trạng thái đan rối hồn tồn và có thể sử dụng chúng như là một nguồn
tài nguyên đan rối để viễn tải lượng tử.
Chúng tơi đã thực hiện q trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái nén hai mode
thêm hai và bớt một photon và đánh giá sự thành cơng của q trình viễn tải thơng qua độ trung
thực trung bình của quá trình viễn tải. Kết quả cho thấy, quá trình viễn tải lượng tử nằm trong
khoảng 0.5  Fav  1 .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Phys. Rev. A 74, 032333.
Nguyễn Thanh Pháp, Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon.
Agarwal. G. S. and Tara. K. (1991), Physical Review A, 43, pp.492-497.
Enk van S.J. (1999), Phys. Rev. A 60, 5095.
Biswas A., and Lidar D. A. (2006), Phys. Rev. A 74(6), 062303.

197