Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 1 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO NĂM 2022
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 01 – MÃ ĐỀ: 101
Câu 1:

Môđun của số phức 1 + 2i bằng
A. 5 .

Câu 2:

B.

Câu 4:

5.

C. r = 4 .

B. r = 26 .

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y = x3 + 3 x 2 − 2
A. Điểm P (−1; −1) .
B. Điểm N (−1; −2) . C. Điểm M (−1;0) .

D. 3 .

D. r = 2 .
D. Điểm Q(−1;1) .

Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngồi bằng 36π là

B. 36π

A. 9π
Câu 5:

C.

2
2
2
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 2 y − 4 z − 2 = 0 .
Tính bán kính r của mặt cầu.

A. r = 2 2 .
Câu 3:

3.

C.

π
9

D.

π
3

x
Tính I = ∫ 3 dx .

3x
B. I = 3x ln 3 + C .
C. I = 3x + C .
D. I = 3x + ln 3 + C .
+C .
ln 3
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau:
A. I =

Câu 6:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
Câu 7:

A. 4 .
B. 1 .
Nghiệm của bất phương trình 32 x +1 > 33− x là:
2
2
A. x > −
B. x <
3
3

D. 3 .

C. 2 .
C. x >

2
3

D. x >

3
2

Câu 8:

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a 2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3 .
B. 2a 3 .
C. 3a3 .
D. a 3 .

Câu 9:

Tập xác định của hàm số y = ( 2 − x )
A. D = ¡ \ { 2} .

3

là:

B. D = ( 2; +∞ ) .

C. D = ( −∞; 2 ) .

D. D = ( −∞; 2] .

Câu 10: Tập nghiệm S của phương trình log3 ( x − 1) = 2.
A. S = { 10} .

B. S = ∅ .

9

Câu 11: Giả sử

∫ f ( x ) dx = 37
0

A. I = 26 .

và

C. S = { 7} .

0

9

9

0

D. S = { 6}

∫ g ( x ) dx = 16 . Khi đó, I = ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x)  dx bằng:

B. I = 58 .

Câu 12: Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức w = −3 z là

C. I = 143 .

D. I = 122 .


A. w = −6 − 9i .

B. w = 6 + 9i .

C. w = 6 − 9i .

D. w = −6 + 9i .

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 1 = 0 . Mặt phẳng ( P )
có một vectơ pháp tuyến là
r
r
A. n = ( −2; − 1;1) .
B. n = ( 2;1; − 1) .

r
C. n = ( 1;2;0 ) .

r
D. n = ( 2;1;0 ) .

r
r
r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho a = ( 2;3;2 ) và b = ( 1;1; − 1) . Vectơ a − b có tọa độ là

A. ( 3;4;1) .

B. ( −1; − 2;3) .

C. ( 3;5;1) .

D. ( 1; 2;3) .

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( −3;1) là điểm biểu diễn số phức z . Phần ảo của z bằng
A. 1 .

B. −3 .

C. −1 .

D. 3 .

2x +1
là:
x −1
C. x = 1 ; y = −2 .

D. x = 1 ; y = 2 .

Câu 16: Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 2 ; y = 1 .

B. x = −1 ; y = −2 .

Câu 17: Với a,b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1 , log a3 b bằng
A. 3 + log a b

B. 3log a b

C.

1
+ log a b
3

D.

1
log a b
3

Câu 18: Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = − x 4 + 4 x 2 + 1 .

B. y = x 4 + 2 x 2 + 1 .

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

A. Q ( 4; −2;1) .

B. N ( 4; 2;1) .

C. y = x 4 − 4 x 2 + 1 .

D. y = x 4 − 2 x 2 − 1 .

x − 2 y −1 z + 3
. Điểm nào dưới đây thuộc d?
=
=
4
−2
1
C. P ( 2;1; −3) .

Câu 20: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 66 .
B. 5! .
C. 6! .

D. M ( 2;1;3) .
D. 6 .

Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là 3a 2 , độ dài cạnh bên bằng 2a . Thể tích khối lăng
trụ này bằng
A. 2a 3
B. a 3
C. 3a 3

D. 6a 3
1
Câu 22: Tính đạo hàm f ′ ( x ) của hàm số f ( x ) = log 2 ( 3 x − 1) với x > .
3
3
1
3
A. f ′ ( x ) =
. B. f ′ ( x ) =
.C. f ′ ( x ) =
( 3x − 1) ln 2
( 3x − 1) ln 2
( 3x − 1) .

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

D. f ′ ( x ) =

3ln 2
( 3x − 1) .


Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 1) .

Câu 24: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm . Tính diện tích xung quang của hình
trụ.
70
35
2
2
2
π ( cm 2 ) .
A. S = 35π ( cm ) .
B. S = 70π ( cm ) .
C. S =
D. S = π ( cm ) .
3
3
2

Câu 25: Cho

∫ f ( x ) dx = 2

−1

A. I =

11
.
2

và

2

2

−1

−1

∫ g ( x ) dx = −1 . Tính I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx
B. I =

7
.
2

C. I =

17
.
2

D. I =

5
.
2

Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) với u3 = 2 và u4 = 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. −4 .

B. 4 .

C. −2 .

D. 2 .

2
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + sin x là

A. x 3 + cos x + C .

B. 6 x + cos x + C .

C. x3 − cos x + C .

D. 6 x − cos x + C .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn có [ −2; 2] và có đồ thị là đường cong
trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x ) là

A. x = 1 .

B. M ( 1; −2 ) .

C. M ( −2; −4 ) .

9
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x

B. x = 3 .
C. x = 2 .

D. x = −2 .

Câu 29: Trên đoạn [ 1;5] , hàm số y = x +
A. x = 5 .

Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của chúng

D. x = 1 .


A. y = x 4 + 2 x 2 − 1 .

B. y =

x−2
.
x +1

C. y = x 3 + 3 x 2 − 21 .

D. y = x 3 + x + 1 .

Câu 31: Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. x = 5a + 3b
B. x = a 5 + b3
C. x = a 5b3

D. x = 3a + 5b
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD, CD . Góc giữa hai đường thẳng MN và B′D′ là
A. 90o .
5

Câu 33: Cho

∫
0

B. 45o .

C. 60o .

D. 30o .

5

f ( x ) dx = −2 . Tích phân ∫  4 f ( x ) − 3 x 2  dx bằng

A. −140 .

0

B. −130 .

C. −120 .

D. −133 .

Câu 34: Cho hai mặt phẳng ( α ) : 3 x − 2 y + 2 z + 7 = 0, ( β ) : 5 x − 4 y + 3 z + 1 = 0 . Phương trình mặt phẳng
đi qua gốc tọa độ O đồng thời vng góc với cả ( α ) và ( β ) là:
A. 2 x − y − 2 z = 0.
C. 2 x + y − 2 z = 0.

B. 2 x − y + 2 z = 0.
D. 2 x + y − 2 z + 1 = 0.

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần ảo của số phức z bằng

2
A. − .
5

B.

2
.
5

11
.
5

C.

D. −

11

.
5

o
·
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD = 60 , cạnh SO
vng góc với ( ABCD ) và SO = a . Khoảng cách từ O đến ( SBC ) là

A.

a 57
.
19

B.

a 57
.
18

a 45
.
7

C.

D.

a 52
.

16

Câu 37: Một hộp chứa 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30 . Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó.
Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 .
2
1
3
4
A. .
B. .
C.
.
D.
.
5
3
10
15
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;0), B(1;1; 2) và C (2;3;1) . Đường thẳng đi qua A
và song song với BC có phương trình là
x −1 y − 2 z
x −1 y − 2 z
x +1 y + 2 z
x +1 y + 2 z
=
= . B.
=
= . C.
=
= . D.

=
= .
A.
1
2
−1
3
4
3
3
4
3
1
2
−1

(

)

x
x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình 4 − 65.2 + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0 có tất cả bao nhiêu số

nguyên?
A. 2

B. 3

C. 4

D. Vô số

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ¡ và có đồ thị f ′ ( x ) là đường cong trong hình
vẽ bên.


Đặt g ( x ) = f ( f ′ ( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0. Số phần tử của tập
S là

A. 8 .

B. 10 .

C. 9 .

D. 6 .

2
Câu 41: Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0 và f ′ ( x ) = cos x.cos 2 x, ∀x ∈ ¡ . Biết F ( x ) là nguyên hàm

121
, khi đó F ( π ) bằng
225
208
121
B.
.
C.
.

225
225

của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = −
A.

242
.
225

D.

149
.
225

Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 2a , cạnh bên SA
vng góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng

( SBD )

và ( ABCD ) bằng 600 .

A. V =

a 3 15
15

B. V =

a 3 15
6

C. V =

4a3 15
15

D. V =

a 3 15
3

Câu 43: Cho phương trình x 2 − 4 x + c = 0 có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của hai
d
nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều, tính P = c + 2d .
A. P = 18 .
B. P = −10 .
C. P = −14 .
D. P = 22 .
Câu 44: Trong

d2 :

không

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

d1 :

x−3 y−3 z+2
=
=
;
−1
−2
1

x − 5 y +1 z − 2
=
=
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z − 5 = 0 . Đường thẳng vng góc với
−3
2
1

( P ) , cắt d1
x −1
=
3
x−3
=

C.
1
A.

gian

và d 2 có phương trình là

y +1 z
=
2
1
y−3 z+2
=
2
3

x − 2 y − 3 z −1
=
=
1
2
3
x −1 y +1 z
=
=
D.
1
2
3

B.


Câu 45: Cho hàm số f ( x ) bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sau

bao

g ( x) =

1 3
1
f ( x ) + m. f 2 ( x ) + 3 f ( x ) − 1 nghịch biến trên khoảng ( 0;1) ?
3
2

A. 16 .

nhiêu

giá

trị

nguyên

m ∈ [ −10;10]

Có

B. 15 .

của

để

hàm

số

D. 13 .

C. 14 .

Câu 46: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 2 z2 = 2 , 2 z1 − 3 z2 − 7i = 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z1 − 2i + z2 + i bằng
A.

2 3
.
3

B. 2 3 .

C. 4 3 .

D.

4 3
.

3

Câu 47: Cho hai hàm số f ( x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + 3 x và g ( x) = mx 3 + nx 2 − x; với a, b, c, m, n ∈ ¡ . Biết
hàm số y = f ( x ) − g ( x ) có ba điểm cực trị là −1, 2 và 3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) bằng
A.

32
.
3

B.

71
.
9

C.

71
.
6

D.

64
.
9

2

2
Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3x + y = 4 x + y
A. Vô số.
B. 5 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :( x − 2 ) + ( y − 3 ) + ( z − 1) = 1. Có bao nhiêu điểm M
2

2

2

thuộc ( S ) sao cho tiếp diện của mặt cầu ( S ) tại điểm M cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các
·
điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) mà a,b là các số nguyên dương và AMB
= 90°?
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
D. 2.
4
3
2
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = x − 12 x + 30 x + ( 3 − m ) x , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 7 điểm cực trị?
A. 25.

B. 27.

C. 26.

---------- HẾT ----------

D. 28.


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Môđun của số phức 1 + 2i bằng
A. 5 .
B. 3 .

C.

5.

D. 3 .

Lời giải
Ta có 1 + 2i = 12 + 22 = 5 .
Câu 2:

2
2
2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 2 y − 4 z − 2 = 0 .

Tính bán kính r của mặt cầu.
A. r = 2 2 .
B. r = 26 .
C. r = 4 .
D. r = 2 .
Lời giải

Chọn A
2
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; − 1; 2 ) và bán kính r = 12 + ( −1) + 22 − ( −2 ) = 2 2 .

Câu 3:
Câu 4:

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y = x3 + 3 x 2 − 2
A. Điểm P (−1; −1) .
B. Điểm N (−1; −2) . C. Điểm M (−1;0) .

D. Điểm Q(−1;1) .

Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngồi bằng 36π là
B. 36π

A. 9π

C.

π
9

D.

π
3

Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
• SC = 4π R = 36π ⇒ R 2 = 9 ⇒ R = 3 .

4
4
⇒ VC = π R 3 = π .33 = 36π .
3
3
Câu 5:

x
Tính I = ∫ 3 dx .

3x
A. I =
+C .
ln 3

B. I = 3x ln 3 + C .

C. I = 3x + C .

D. I = 3x + ln 3 + C .

Lời giải
Chọn A
Ta có ∫ a x dx =
Câu 6:

ax
3x
+ C nên I =
+C .
ln a
ln 3

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau:


Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn C
Do hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ , f ′ ( −1) = 0 ,

f ′ ( 1) không xác định nhưng do hàm số liên tục trên ¡ nên tồn tại f ( 1)
và f ′ ( x ) đổi dấu từ "+ " sang "− " khi đi qua các điểm x = −1 , x = 1 nên hàm số đã cho đạt
cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2.
Câu 7:

Nghiệm của bất phương trình 32 x +1 > 33− x là:
2
2
2
A. x > −
B. x <
C. x >
3
3
3
Lời giải

D. x >

3
2

Chọn C
32 x +1 > 33− x ⇔ 2 x + 1 > 3 − x ⇔ 3 x > 2 ⇔ x >

Câu 8:

2
.

3

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a 2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3 .
B. 2a 3 .
C. 3a 3 .
D. a 3 .
Lời giải
Chọn B
1
1 2
3
Ta có V = S đ .h = 3a .2a = 2a .
3
3

Câu 9:

Tập xác định của hàm số y = ( 2 − x )
A. D = ¡ \ { 2} .

3

là:

B. D = ( 2; +∞ ) .

C. D = ( −∞; 2 ) .

D. D = ( −∞; 2] .

Lời giải
Chọn C
Ta có:

3 ∉ ¢ nên hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − x > 0 ⇔ x < 2 .

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ( −∞; 2 ) .
Câu 10: Tập nghiệm S của phương trình log 3 ( x − 1) = 2.
A. S = { 10} .

B. S = ∅ .

Chọn A
log 3 ( x − 1) = 2 ⇔ x − 1 = 9 ⇔ x = 10 .

C. S = { 7} .
Lời giải

D. S = { 6}


9

∫ f ( x ) dx = 37

Câu 11: Giả sử
A. I = 26 .
0

0

∫ g ( x ) dx = 16

và
B. I = 58 .
9

9

I = ∫  2 f ( x ) + 3 g ( x)  dx

0
. Khi đó,
C. I = 143 .
Lời giải

bằng:
D. I = 122 .

Chọn A
9

9

9

9

0

0

0

0

0

9

Ta có: I =  2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = 2 f ( x ) dx + 3g ( x ) dx = 2 f ( x ) dx − 3 g ( x ) dx = 26 .

∫
∫
∫
∫
∫
Câu 12: Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức w = −3 z là
A. w = −6 − 9i .
B. w = 6 + 9i .
C. w = 6 − 9i .
Lời giải

D. w = −6 + 9i .

Số phức w = −3z = −3 ( 2 − 3i ) = −6 + 9i
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 1 = 0 . Mặt phẳng ( P )
có một vectơ pháp tuyến là
r

r
r
r
A. n = ( −2; − 1;1) .
B. n = ( 2;1; − 1) .
C. n = ( 1; 2;0 ) .
D. n = ( 2;1;0 ) .
Lời giải
Chọn D

r
Mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n = ( 2;1;0 ) .
r
r
r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho a = ( 2;3;2 ) và b = ( 1;1; − 1) . Vectơ a − b có tọa độ là

A. ( 3;4;1) .

B. ( −1; − 2;3) .

C. ( 3;5;1) .

D. ( 1;2;3) .

Lời giải
r r
Ta có: a − b = ( 2 − 1;3 − 1; 2 + 1) = ( 1; 2;3 ) .

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( −3;1) là điểm biểu diễn số phức z . Phần ảo của z bằng

A. 1 .
B. −3 .
C. −1 .
D. 3 .
Lời giải
Điểm M ( −3;1) là điểm biểu diễn số phức z , suy ra z = −3 + i .
Vậy phần ảo của z bằng 1 .
2x +1
là:
x −1
B. x = −1 ; y = −2 .
C. x = 1 ; y = −2 .
Lời giải

Câu 16: Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 2 ; y = 1 .

D. x = 1 ; y = 2 .

Chọn D
ax + b
d
a
có tiệm cận đứng là x = − và tiệm cận ngang là y = .
cx + d
c
c
2x +1
Do đó đồ thị hàm số y =
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = 1 ; y = 2 .

x −1

Đồ thị hàm phân thức y =


Câu 17: Với a,b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1 , log a3 b bằng
1
A. 3 + log a b
B. 3log a b
C. + log a b
3

D.

1
log a b
3

Lời giải
Chọn D
1
Ta có: log a3 b = log a b.
3

Câu 18: Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = − x 4 + 4 x 2 + 1 .

B. y = x 4 + 2 x 2 + 1 .

C. y = x 4 − 4 x 2 + 1 .

D. y = x 4 − 2 x 2 − 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Nhánh sau cùng bên phải của đồ thị hàm số đi lên nên ta có a > 0 ⇒ loại
A.
⇒
Đồ thị hàm số có ba cực trị nên ta có a.b < 0
loại
B.
Đồ thị hàm số giao với Oy tại điểm có tung độ dương nên ta loại
D.
x − 2 y −1 z + 3
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
. Điểm nào dưới đây thuộc d?
=
=
4
−2
1
A. Q ( 4; −2;1) .
B. N ( 4; 2;1) .
C. P ( 2;1; −3) .
D. M ( 2;1;3) .
Lời giải
Chọn C

Thay tọa độ điểm P ( 2;1; −3) vào d :

x − 2 y −1 z + 3
=
=
ta được
4
−2
1

2 − 2 1 − 1 −3 + 3
=
=
⇔ 0 = 0 = 0 đúng. Vậy điểm P ∈ ( d ) .
4
−2
1
Câu 20: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 66 .
B. 5! .
C. 6! .
Lời giải.

D. 6 .

Chọn C
Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc là một hốn vị của tập có 6 phần tử. Vậy có
tất cả 6! cách sắp xếp.
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là 3a 2 , độ dài cạnh bên bằng 2a . Thể tích khối lăng
trụ này bằng

A. 2a 3
B. a 3
C. 3a 3
D. 6a 3
Lời giải


Chọn D
Thể tích khối lăng trụ là V = B.h = 3a 2 .2a = 6a 3 .
1
Câu 22: Tính đạo hàm f ′ ( x ) của hàm số f ( x ) = log 2 ( 3x − 1) với x > .
3
3
1
f ′( x) =
A. f ′ ( x ) =
( 3x − 1) ln 2 . B.
( 3x − 1) ln 2 .

C. f ′ ( x ) =

3
( 3x − 1) .

D. f ′ ( x ) =

3ln 2
( 3x − 1) .
Lời giải

Chọn A
Ta có: f ( x ) = log 2 ( 3 x − 1) ⇒ f ′ ( x ) =

3
( 3x − 1) ln 2 .

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 24: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm . Tính diện tích xung quang của hình
trụ.
70
35
2
2
2
π ( cm 2 ) .
A. S = 35π ( cm ) .
B. S = 70π ( cm ) .

C. S =
D. S = π ( cm ) .
3
3
Lời giải
Chọn B
2
Theo công thức tính diện tích xung quanh ta có S xq = 2π rh = 70π ( cm ) .
2

Câu 25: Cho

∫

f ( x ) dx = 2

−1

A. I =

11
.
2

2

và

∫ g ( x ) dx = −1

−1

B. I =

7
.
2

2

. Tính

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx
−1

C. I =
Lời giải

17
.
2

D. I =

5
.
2


Chọn C

2

2

2

2

x2
Ta có: I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx = ∫ xdx + 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx =
2
−1
−1
−1
−1

2

+4+3 =
−1

17
.
2

Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) với u3 = 2 và u4 = 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. −4 .
B. 4 .
C. −2 .
D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Ta có u4 = u3 + d ⇒ d = u4 − u3 = 6 − 2 = 4 .

2
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + sin x là

A. x 3 + cos x + C .

Ta có

∫ ( 3x

2

B. 6 x + cos x + C .

C. x 3 − cos x + C .
Lời giải

D. 6 x − cos x + C .

+ sin x ) dx = x 3 − cos x + C .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn có [ −2; 2] và có đồ thị là đường cong
trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x ) là

A. x = 1 .

B. M ( 1; −2 ) .

C. M ( −2; −4 ) .

D. x = −2 .

Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x ) là M ( 1; −2 ) .
9
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x
B. x = 3 .
C. x = 2 .

Câu 29: Trên đoạn [ 1;5] , hàm số y = x +
A. x = 5 .

Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 1;5] .
9 ′
9
Ta có: y ′ =  x + ÷ = 1 − 2 .
x
x

⇒ y′ = 0 ⇔ 1 −

 x = 3 ∈ [ 1;5]
9
= 0 ⇔ x2 − 9 = 0 ⇔ 

.
2
x
 x = −3 ∉ [ 1;5]

D. x = 1 .



 f ( 1) = 10

y = f ( 3) = 6 .
Có  f ( 3) = 6 ⇒ min
[ 1;5]

34
 f ( 5) =
5

Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của chúng
x−2
A. y = x 4 + 2 x 2 − 1 .
B. y =
.
C. y = x 3 + 3x 2 − 21 .
x +1
Lời giải

D. y = x 3 + x + 1 .

Chọn D
Xét đáp án A : Tập xác định D = ¡ . y = x 4 + 2 x 2 − 1 ⇒ y ' = 4 x 3 + 4 x > 0, ∀x ∈ ¡ (vô lý). Nên
loại. A.

x−2
3
> 0, ∀x ∈ ¡ \ { −1} . Vậy
Xét đáp án B : Tập xác định D = ¡ \ { −1} . y = x + 1 ⇒ y ' =
2
( x + 1)
hàm số đồng biến trên ( −∞ ; − 1) , ( −1; + ∞ ) . Nên loại.

B.

Xét đáp án C: Tập xác định D = ¡ . y = x 3 + 3x 2 − 21 ⇒ y ' = 3x 2 + 6 x > 0, ∀x ∈ ¡ (vô lý). Nên
loại. C.
Xét đáp án D: Tập xác định D = ¡ . y = x3 + x + 1 ⇒ y ' = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ¡ (luôn đúng).
Câu 31: Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. x = 5a + 3b
B. x = a 5 + b3
C. x = a 5b3
D. x = 3a + 5b
Lời giải
Chọn C
5
3
5 3
5 3
Có log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b = log 2 a + log 2 b = log 2 a b ⇔ x = a b .

Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD, CD . Góc giữa hai đường thẳng MN và B′D′ là
A. 90o .
B. 45o .
C. 60o .
D. 30o .
Lời giải
Chọn A


Ta có MN / / A′C ′ mà A′C ′ ⊥ B′D′ ⇒ MN ⊥ B′D′ .
5

∫

f ( x ) dx = −2

Câu 33: Cho
A. −140 .
0

5

∫  4 f ( x ) − 3x

. Tích phân
B. −130 .

2

 dx

bằng
C. −120 .
Lời giải

0

5

5

5

0

0

0

D. −133 .

2
2
3
∫  4 f ( x ) − 3x  dx = 4∫ f ( x ) dx − ∫ 3x dx = −8 − x 0 = −8 − 125 = −133 .
5

Câu 34: Cho hai mặt phẳng ( α ) : 3 x − 2 y + 2 z + 7 = 0, ( β ) : 5 x − 4 y + 3 z + 1 = 0 . Phương trình mặt phẳng

đi qua gốc tọa độ O đồng thời vng góc với cả ( α ) và ( β ) là:
A. 2 x − y − 2 z = 0.
C. 2 x + y − 2 z = 0.

B. 2 x − y + 2 z = 0.
D. 2 x + y − 2 z +1 = 0.
Lời giải

Chọn C

uur
uur
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là nα = ( 3; −2; 2 ) , nβ = ( 5; −4;3) .
uu
r uu
r
⇒ nα ; nβ  = ( 2;1; −2 )

r

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O ,VTPT n = ( 2;1; −2 ) : 2 x + y − 2 z = 0.
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần ảo của số phức z bằng
2
2
11
11
A. − .
B. .
C.
.

D. − .
5
5
5
5
Lời giải
Vì z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i nên z =
Suy ra z =

−2 11
+ i.
5 5

Vậy phần ảo của z là

11
.
5

4 − 3i ( 4 − 3i ) ( 1 − 2i ) −2 − 11i −2 11
=
=
− i.
=
5
5 5
1 + 2i
12 + 22

o
·
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD = 60 , cạnh SO
vng góc với ( ABCD ) và SO = a . Khoảng cách từ O đến ( SBC ) là

A.

a 57
.
19

B.

a 57
.
18

C.

a 45
.
7

D.

a 52
.
16

Lời giải

Chọn A

Vẽ OM ⊥ BC tại M thì ( SMO ) ⊥ BC ⇒ ( SMO ) ⊥ ( SBC ) , vẽ OH ⊥ SM tại H

⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH
Ta có

AC = a 3 , OC =

OB.OC a 3
a 3 OB = a
,
, OM .BC = OB.OC ⇒ OM =
.
=
2
BC
2
4

a 3
a 3
a.
4
4
a 57 .
=
=
OH =
2

2 =
2
2
3a
3a
SO + MO
19
a2 +
a2 +
16
16
Câu 37: Một hộp chứa 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30 . Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó.
Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 .
2
1
3
4
A. .
B. .
C.
.
D.
.
5
3
10
15

SO.MO

a.

Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = 30 .
Gọi A là biến cố: “Thẻ lấy được là số lẻ và không chia hết cho 3 ”.
⇒ A = { 1;5; 7;11;13;17;19; 23; 25; 29} ⇒ n ( A ) = 10 .

Xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 là P ( A ) =

n ( A ) 10 1
=
= .
n ( Ω ) 30 3

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;0), B(1;1; 2) và C (2;3;1) . Đường thẳng đi qua A
và song song với BC có phương trình là
x −1 y − 2 z
x −1 y − 2 z
x +1 y + 2 z
x +1 y + 2 z
=
= . B.
=
= . C.
=
= . D.
=
= .
A.
1

2
−1
3
4
3
3
4
3
1
2
−1
Lời giải


Chọn A
Gọi d là phương trình đường thẳng qua A ( 1; 2;0 ) và song song với BC .
uuur
x −1 y − 2 z
=
= .
Ta có BC = ( 1; 2; −1) ⇒ d :
1
2
−1

(

)

x

x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình 4 − 65.2 + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0 có tất cả bao nhiêu số
nguyên?
A. 2
B. 3
C. 4
D. Vơ số
Lời giải

Chọn C

(

)

x
x
Ta có 4 − 65.2 + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0

 1 ≤ 2 x ≤ 64  0 ≤ x ≤ 6
 4 x − 65.2 x + 64 ≤ 0



 x ≥ 6
 x ≥ 6
 2 − log3 ( x + 3) ≤ 0
x = 6

⇔

⇔    2 x ≥ 64    x ≥ 6
⇔
.
x
x

−3 < x ≤ 0



4 − 65.2 + 64 ≥ 0
 x
 x ≤ 0

   2 ≤ 1
2
−
log
x
+
3
≥
0

(
)

3

  −3 < x ≤ 6  −3 < x ≤ 6

x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { −2; − 1;0;6} .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị ngun.
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ¡ và có đồ thị f ′ ( x ) là đường cong trong hình
vẽ bên.

Đặt g ( x ) = f ( f ′ ( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0. Số phần tử của tập
S là

A. 8 .

B. 10 .

C. 9 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn C
Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ¡ nên hàm số f ( x ) và f ′ ( x ) xác định trên ¡ .
Do đó, tập xác định của hàm số g ( x ) là D = ¡ .


−1

x = 3

x = 1
 f ′′ ( x ) = 0


⇔  x = x0 ∈ ( 1 ; 2 )
Ta có: g ′ ( x ) = f ′′ ( x ) . f ′ ( f ′ ( x ) − 1) , g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
 f ′ ( x ) − 1 = −1
 f ′ ( f ′ ( x ) − 1) = 0

 f ′ ( x) −1 = 1

 f ′ ( x) −1 = 2
Từ đồ thị ta cũng có:

x = 1

 f ′ ( x ) − 1 = −1 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 .
 x = 2
 x = x1 ∈ ( −∞ ; -1)
.
 f ′( x ) −1 = 1 ⇔ f ′ ( x ) = 2 ⇔ 
 x = x2 ∈ ( 2 ; +∞ )
 x = x3 ∈ ( −∞ ; x1 )
.
 f ′( x) −1 = 2 ⇔ f ′( x) = 3 ⇔ 
 x = x4 ∈ ( x2 ; +∞ )
Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 9 nghiệm.
Câu 41: Cho hàm số

f ( x)

có

f ( 0) = 0

f ′ ( x ) = cos x.cos 2 2 x, ∀x ∈ ¡

và
121
f ( x)
F (π )
của
thỏa mãn F ( 0 ) = − 225 , khi đó
bằng
242
208
121
A.
.
B.
.
C.
.
225
225
225
Lời giải

. Biết

F ( x)

D.

là nguyên hàm

149
.
225

Chọn C
2
Ta có f ′ ( x ) = cos x.cos 2 x, ∀x ∈ ¡ nên f ( x ) là một nguyên hàm của f ′ ( x ) .

Có
=

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ cos x.cos

2

2 xdx = ∫ cos x.

1 + cos 4 x
cos x
cos x.cos 4 x
dx = ∫
dx + ∫
dx
2
2
2

1

1
1
1
1
cos xdx + ∫ ( cos 5 x + cos 3 x ) dx = sin x + sin 5 x + sin 3x + C .
∫
2
4
2
20
12

Suy ra f ( x ) =

1
1
1
sin x + sin 5 x + sin 3x + C , ∀x ∈ ¡ . Mà f ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0 .
2
20
12

Do đó f ( x ) =

1
1
1
sin x + sin 5 x + sin 3 x, ∀x ∈ ¡ . Khi đó:
2
20

12


π

π

1
1
1

F ( π ) − F ( 0 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  sin x + sin 5 x + sin 3 x ÷dx
2
20
12

0
0
π

1
1
242
 1

=  − cos x −
cos 5 x − cos 3 x ÷ =
100
36
 2

 0 225
242
121 242 121
⇒ F ( π ) = F ( 0) +
=−
+
=
225
225 225 225

.

Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a và AD = 2a , cạnh bên SA
vng góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng
( SBD ) và ( ABCD ) bằng 600 .
A. V =

a 3 15
15

B. V =

a 3 15
6

C. V =
Lời giải

Chọn C

Kẻ AE ⊥ BD
·
= 60
( (·SBD ) , ( ABCD ) ) = SEA

0

Xét ∆ABD vuông tại A
AE =

AD. AB
AD 2 + AB 2

=

2a 2 2a 5
=
5
a 5

Xét ∆SAE vuông tại A
SA = AE.tan 600 =

2a 5
2a 15
. 3=
5
5

Khi đó thể tích S . ABCD

1
1 2a 15
4a 3 15
V = SA.S ABCD = .
.2a 2 =
3
3
5
15

4a3 15
15

D. V =

a 3 15
3


Câu 43: Cho phương trình x 2 − 4 x + c = 0 có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai điểm biểu diễn của hai
d
nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều, tính P = c + 2d .
A. P = 18 .
B. P = −10 .
C. P = −14 .
D. P = 22 .
Lời giải
Chọn D
2
Ta có: x − 4 x +

c
c
= 0 có hai nghiệm phức ⇔ ∆′ = 4 − < 0 .
d
d

∆ ′ i ; x2 = 2 − ∆ ′ i .

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức x1 = 2 +

Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của x1 ; x2 trên mặt phẳng Oxy ta có:

(

) (

A 2; ∆′ ; B 2; −

)

∆′ .

Ta có: AB = 2 ∆ ′ ; OA = OB = 4 + ∆ ′ .
Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB = OA = OB ⇔ 2 ∆ ′ = 4 + ∆ ′ ⇔ 4 ∆ ′ = 4 + ∆ ′
4
4
c
4
c 16

. Vì ∆′ < 0 nên ∆′ = − hay 4 − = − ⇔ = .
3
3
d
3
d 3
c
=
16
d
=
3
Từ đó ta có
;
.
⇔ ∆′ =

Vậy: P = c + 2d = 22 .
Câu 44: Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

d1 :

x−3 y−3 z+2
=
=
;
−1
−2
1

x − 5 y +1 z − 2
=
=
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z − 5 = 0 . Đường thẳng vng góc với
−3
2
1
( P ) , cắt d1 và d2 có phương trình là
d2 :

x −1
=
3
x−3
=
C.

1
A.

y +1 z
x − 2 y − 3 z −1
=
=
=
B.
2
1
1
2
3
y−3 z+2
x −1 y +1 z
=
=
=
D.
2
3
1
2
3
Lời giải

Chọn D

 x = 3 − t1

 x = 5 − 3t2


Phương trình d1 :  y = 3 − 2t1 và d 2 :  y = − 1 + 2t2 .
 z = −2 + t
z = 2 + t
1
2



Gọi đường thẳng cần tìm là ∆ .
Giả sử đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d1 và d 2 lần lượt tại A , B .
Gọi A ( 3 − t1 ;3 − 2t1 ; −2 + t1 ) , B ( 5 − 3t2 ; −1 + 2t2 ; 2 + t2 ) .
uuu
r
AB = ( 2 − 3t2 + t1 ; −4 + 2t2 + 2t1 ; 4 + t2 − t1 ) .
r
Vectơ pháp tuyến của ( P ) là n = ( 1; 2;3) .

uuu
r
2 − 3t2 + t1 −4 + 2t2 + 2t1 4 + t2 − t1
r
=
=
Do AB và n cùng phương nên
.
1
2

3


 2 − 3t2 + t1 −4 + 2t2 + 2t1
=

t1 = 2
1
2
⇔
⇔
. Do đó A ( 1; − 1;0 ) , B ( 2; −1;3) .
−
4
+
2
t
+
2
t
4
+
t
−
t
t
=
1
2
1

2
1
2

=

2
3
r
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A ( 1; − 1;0 ) và có vectơ chỉ phương n = ( 1; 2;3) là

x −1 y +1 z
=
= .
1
2
3
Câu 45: Cho hàm số f ( x ) bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sau

bao

g ( x) =

1 3
1
f ( x ) + m. f 2 ( x ) + 3 f ( x ) − 1 nghịch biến trên khoảng ( 0;1) ?
3
2

A. 16 .

nhiêu

giá

trị

B. 15 .

nguyên

của

m ∈ [ −10;10]

Có

C. 14 .
Lời giải

để

hàm

số

D. 13 .

Chọn C
Hàm số g ( x ) nghịch biến khi

g ′ ( x ) = f 2 ( x ) . f ′ ( x ) + mf ( x ) f ′ ( x ) + 3 f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1)

⇔ f ′ ( x )  f 2 ( x ) + mf ( x ) + 3 ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1)
⇔ f 2 ( x ) + mf ( x ) + 3 ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;1)

⇔ f 2 ( x ) + mf ( x ) + 3 ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1]
Đặt t = f ( x ) ∈ [ 1;3] , ∀x ∈ [ 0;1] . Cần tìm điều kiện để
3
t 2 + mt + 3 ≥ 0, ∀t ∈ [ 1;3] ⇔ m ≥ g ( t ) = −t − , ∀t ∈ [ 1;3] ⇔ m ≥ max g ( t ) = g
[ 1;3]
t

Vậy m ∈ { −3,...,10} ⇒ có 14 giá trị nguyên thỏa mãn.

( 3 ) = −2

3


Câu 46: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + 2 z2 = 2 , 2 z1 − 3 z2 − 7i = 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z1 − 2i + z2 + i bằng
A.

2 3
.
3

B. 2 3 .

C. 4 3 .

D.

4 3
.
3

Lời giải
Chọn D
 Để ý z1 + 2 z2 = ( z1 − 2i ) + 2 ( z2 + i ) ; 2 z1 − 3 z2 − 7i = 2 ( z1 − 2i ) − 3 ( z2 + i ) .
uuu
r uuur 2
 OA
+ 2OB = 4
 z1 + 2 z2 = 2

⇔  uuu
 Gọi A ( z1 − 2i ) , B ( z2 + i ) ⇒ 
r uuu
r 2
 2 z1 − 3z2 − 7i = 4
 2OA − 3OB = 16

uuu
r2
uuu
r2
uuu
r uuu

r
OA + 4OB + 4OA.OB = 4 ( 1)

⇔  uuu
.
r2
uuu
r2
uuu
ruuu
r
4OA + 9OB − 12OAOB = 16 ( 2 )
2
2
2
2
 Lấy 3 × ( 1) + ( 2 ) ⇒ 7OA + 21OB = 12 + 16 = 28 ⇔ OA + 3OB = 4 .

(
(

)

)

  1 2 
4 3
.
1 + 
÷( OA 2 + 3OB 2 ) =

÷
  3 ÷
3


4
3
2
Câu 47: Cho hai hàm số f ( x) = ax + bx + cx + 3 x và g ( x) = mx 3 + nx 2 − x; với a, b, c, m, n ∈ ¡ . Biết
1
 Vì vậy P = OA + OB = 1.OA +
. 3OB ≤
3

hàm số y = f ( x ) − g ( x ) có ba điểm cực trị là −1, 2 và 3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đường y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) bằng
A.

32
.
3

B.

71
.
9

C.

71
.
6

D.

64
.
9

Lời giải
3
2
2
Ta có : f ′ ( x ) = 4ax + 3bx + 2cx + 3 và g ′ ( x ) = 3mx + 2nx − 1 .

h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) có ba điểm cực trị là −1, 2 và 3 khi
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là −1, 2 và 3
⇔ f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = t ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 3)

( t = 4a ) ( *)

Thay x = 0 vào hai vế của ( *) ta được:
f ′ ( 0 ) − g ′ ( 0 ) = 6t ⇔ 3 − ( −1) = 6t ⇔ t =

2
.
3

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) là

3

S=

2
71
∫ 3 ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 3) dx = 9 .

−1

2
2
Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3x + y = 4 x + y


C. 2 .

B. 5 .

A. Vô số.

D. 1 .

Lời giải

3x

2

+ y2

= 4 x+ y ⇔ x 2 + y 2 = log 3 4 x + y ⇔ x 2 + y 2 = ( x + y) log 3 4

⇔ y 2 − y log 3 4 + x 2 − x log 3 4 = 0, ( *)
Ta xem phương trình ( *) là phương trình ẩn y , tham số x .
2
Phương trình ( *) có nghiệm thực y ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ ( − log3 4 ) − 4( x 2 − x log 3 4) ≥ 0

⇔

(1 − 2) log3 4
(1 + 2) log3 4 *′
,( ) .
≤ x≤
2
2

Do đó có hai số nguyên x = 0 và x = 1 thỏa yêu cầu bài tốn.
Câu 49: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 1. Có bao nhiêu điểm M
2

2

2

thuộc ( S ) sao cho tiếp diện của mặt cầu ( S ) tại điểm M cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các
·
điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) mà a,b là các số nguyên dương và AMB
= 90°?
A. 4 .

B. 1.

C. 3 .

D. 2.

Lời giải
Gọi K là tâm mặt cầu và I là trung điểm AB
1
Ta có tam giác AMB vuông tại M và I là trung điểm AB suy ra MI = AB = OI (O là
2
gốc tọa độ )
OI 2 = MI 2 Û OI 2 = K I 2 - MK 2 Û K I 2 - OI 2 = MK 2
2

2

2

(

)

Û ( xI - 2) + ( yI - 3) + ( z - 1) - xI2 + yI2 + zI2 = 1 Û 6xI + 4yI + 2zI = 13
Û 6xI + 4yI = 13 (dozI = 0) Û 3xA + 2yB = 13 Û 3a + 2b = 13

Mà a,b nguyên dương suy ra chỉ có hai cặp thỏa ( 1;5) ;( 3;2) . Ứng với mỗi cặp điểm A , B thì
có duy nhất một điểm M thỏa u cầu bài toán.
4

3
2
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = x − 12 x + 30 x + ( 3 − m ) x , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 7 điểm cực trị?
A. 25.

C. 26.

B. 27.

D. 28.

Lời giải
3
2
Ta có f ′ ( x ) = 4 x − 36 x + 60 x + 3 − m.

Hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = f ( x ) có đúng 3 điểm
cực trị dương phân biệt, hay phương trình f ′ ( x ) = 0 có ba nghiệm dương phân biệt.
3
2
3
2
Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x − 36 x + 60 x + 3 − m = 0 ⇔ 4 x − 36 x + 60 x + 3 = m ( 1) .


u cầu bài tốn là phương trình ( 1) có ba nghiệm dương phân biệt.
3
2

Xét hàm số h ( x ) = 4 x − 36 x + 60 x + 3

x = 1
.
h′ ( x ) = 12 x 2 − 72 x + 60 suy ra h′ ( x ) = 0 ⇔ 
x = 5
Bảng biến thiên của hàm số y = h ( x )

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ( 1) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
3 < m < 31 , vậy có 27 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
---------- HẾT ----------