Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 2 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 - Mơn Tốn –
Đề 2 - Tiêu chuẩn (Bản word có lời giải)
Câu 1:

Cho số phức z = 2 + i . Tính z .
B. z = 5

A. z = 5
Câu 2:

C. z = 2

D. z = 3

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) :

Câu 3:

A. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 3 .

B. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 2 .

C. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 4 .

D. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 4 .

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y =
A. Điểm P(1; −1) .

Câu 4:

Câu 5:

D. Điểm Q (1;1) .

Quay một miếng bìa hình trịn có diện tích 16π a 2 quanh một trong những đường kính, ta được
khối trịn xoay có thể tích là
64 3
128 3
256 3
32 3
πa
πa
πa
πa
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
3
Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 9 là:

A.
Câu 6:

B. Điểm N (1; −2) .

x−3
x +1
C. Điểm M (1; 0) .

1 4
x − 9x + C .
2

B. 4 x 4 − 9 x + C .

C.

1 4
x +C .
4

D. 4 x 3 − 9 x + C .

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 4 ) , ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực đại của hàm
3

số đã cho là
A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

x2 + 4 x

Câu 7:

Câu 8:

1
Bất phương trình  ÷
2
A. 4 .

1
có tập nghiệm là S = ( a; b ) , khi đó b − a là?
32
B. 2 .
C. 6 .
D. 8 .
>

Cho khối chóp ( H ) có thể tích là 2a 3 , đáy là hình vng cạnh a 2 . Độ dài chiều cao khối
chóp ( H ) bằng.
B. a .

A. 3a .
Câu 9:

C. 4a .

D. 2a .

C. ( 1; + ∞ ) .

D. ¡ .

1

Tập xác định của hàm số y = ( x − 1) 5 là:
B. [ 1; + ∞ ) .

A. ( 0; + ∞ ) .

2
Câu 10: Tính tổng các nghiệm của phương trình log ( x − 3x + 1) = −9 bằng

A. −3 .
5

Câu 11: Cho hai tích phân

∫

f ( x ) dx = 8 và

−2

A. I = −11 .

C. 10 −9 .

B. 9 .
−2

∫ g ( x ) dx = 3 . Tính I =
5

B. I = 13 .

C. I = 27 .

D. 3 .
5

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx .

−2

D. I = 3 .


Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số
phức w = 5 z là
A. w = 15 + 20i .
C. w = 15 + 20i .

B. w = −15 − 20i .
D. w = 15 − 20i .

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2 x + y − z + 1 = 0 . Vectơ nào
sau đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α ?

uu
r
uu
r
uu
r
ur
A. n4 ( 4; 2; −2 )
B. n2 ( −2; −1;1)
C. n3 ( 2;1;1)
D. n1 ( 2;1; −1)
r
r
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 2; −1;3) , b = ( 1;3; −2 ) . Tìm tọa độ
r
r r
của vectơ c = a − 2b .
r
r
r
r
A. c = ( 0;− 7;7 ) .
B. c = ( 0;7;7 ) .
C. c = ( 0;− 7;− 7 ) .
D. c = ( 4;− 7;7 ) .
Câu 15: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của z bằng

A. 4 .

B. −4 .

C. −3 .

D. 3 .

Câu 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

B. y = 4 .

C. y =

1− 4x
.
2x −1

1
.
2

D. y = −2 .

Câu 17: Với a là số thực dương tùy ý, log 5 ( 5a ) bằng
A. 5 + log 5 a .

B. 5 − log 5 a .

C. 1 + log 5 a .

D. 1 − log 5 a .

Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = 2 x 3 + 6 x 2 − 2

B. y = x 3 + 3x 2 − 2

C. y = − x 3 − 3x 2 − 2

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
qua điểm nào trong các điểm sau:
A. C ( −3; 4;5 ) .
B. D ( 3; − 4; − 5 ) .

C. B ( −1; 2; − 3) .

D. y = x3 − 3 x 2 − 2

x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Hỏi d đi
3
−4
−5
D. A ( 1; − 2;3 ) .


Câu 20: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 ?
5

5
A. A6 .
B. P6 .
C. C6 .
D. P5 .
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , AB = a và
AA′ = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng
A.

3a 3 3
.
2

B. 3a 3 3 .

C.

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
6

2 x −3
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = e
.

2 x −3
A. f ′ ( x ) = 2.e .

2 x −3
B. f ′ ( x ) = −2.e
.

x −3
C. f ′ ( x ) = 2.e .

2 x −3
D. f ′ ( x ) = e .

Câu 23: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?

A. ( −2; 2 ) .

B. ( − ∞; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; + ∞ ) .

Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 ( cm ) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 ( cm ) . Diện tích
xung quanh của hình trụ là
2
A. 35π ( cm )

2

B. 70π ( cm )

Câu 25: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

C. 120π ( cm

[ 0;10] thỏa mãn

10

∫
0

2

10

0

6

2

)

2
D. 60π ( cm )

6

f ( x ) dx = 7 , ∫ f ( x ) dx = 3 . Giá trị
2

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx là

A. 10.

B. −4.

C. 4.

D. 7.

Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và công sai d = 1 . Khi đó u3 bằng
A. 3 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

2x
C.
+ x2 + C .
ln 2

x2
D. 2 + + C .
2

x
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 + x là

2x x2
A.
+ +C.
ln 2 2

B. 2 + x + C .
x

2

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau

x


Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x = 1 .
B. x = −1 .

C. x = 2 .

9
đạt giá trị lớn nhất tại điểm
x
B. x = 3 .
C. x = 2 .

D. x = −3 .

Câu 29: Trên đoạn [ 1;5] , hàm số y = x +
A. x = 5 .

D. x = 1 .

Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
1
A. y = .
B. y = y =- x 4 - 2 x 3 - 9 x .
x
C. y = 1- x 3 .

D. y = 1- x .

Câu 31: Cho loga x = 3,logb x = 4 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = logab x.
A. P = 12

B. P =

12
7

C. P =

7
12

Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA =

D. P =

1
12

a 3
, tam giác ABC đều
2

cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng

A. 900 .

B. 300 .

2

Câu 33: Cho ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 . Khi đó
1

A. 1 .

B. −3 .

C. 450 .

D. 600 .

2

∫ f ( x ) dx bằng:
1

C. 3 .

D. −1 .

Câu 34: Cho điểm M ( 1;2;5 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng ( P ) là


A. x + y + z − 8 = 0 .

B. x + 2 y + 5 z − 30 = 0 .C.

x y z
+ + = 0.
5 2 1

D.

x y z
+ + = 1.
5 2 1

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần thực của số phức z bằng

2

A. − .
5

B.

2
.
5

C.

11
.
5

D. −

11
.
5

Câu 36: Một hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA′ = 2a.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A′BC ) là:
A. 2a 5 .

B.

2a 5
.
5

C.

a 5
.
5

D.

3a 5
.
5

Câu 37: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong
đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 .
8
99
3
99
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
11
667
11

167
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −2; −3) ; B( −1;4;1) và đường thẳng

x+ 2 y− 2 z+ 3
=
=
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua
1
−1
2
trung điểm của đoạn AB và song song với d ?
x y− 1 z+ 1
x y− 1 z+ 1
=
=
A. =
B. =
1
1
2
1 −1
2
x− 1 y− 1 z+ 1
x y− 2 z+ 2
=
=
=
C.
D. =
1

−1
2
1
−1
2
d:

2x
x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình (3 − 9)(3 −

A. 2.

B. 3.

1
) 3x+1 − 1 ≤ 0 chứa bao nhiêu số nguyên ?
27
C. 4.

D. 5.

Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x) = f ( f ( x ) ) . Hỏi phương
trình g ¢( x ) = 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?

A. 14 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 12 .


Câu 41: Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) =

1
2
và f ′ ( x ) = sin 3x.cos 2 x, ∀x ∈ ¡ . Biết F ( x ) là nguyên hàm
21

π 
của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 0 , khi đó F  ÷ bằng
2
137
137
247
A.
.
B. −
.
C.
.
441
441
441

D.

167

.
882

Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) cách A
một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 300 . Thể tích của khối chóp S . ABC
bằng
A.

8a 3
.
9

B.

8a 3
.
3

C.

3a 3
.
12

D.

4a 3
.
9

2
2
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2 ( m + 1) z + m = 0 ( m là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 7?
B. 3 .

A. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

x +1 y −1 z − 2
=
=
. Đường
1
−2
2
thẳng đi qua A , vng góc với d và cắt trục Oy có phương trình là.

Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;1;3) và đường thẳng d :

 x = 2t

A.  y = −3 + 4t
 z = 3t


 x = 2 + 2t

B.  y = 1 + t
 z = 3 + 3t


 x = 2 + 2t

C.  y = 1 + 3t
 z = 3 + 2t


 x = 2t

D.  y = −3 + 3t
 z = 2t


Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , điểm M ( x; y ) biểu diễn nghiệm của bất phương trình

log3 ( 9 x + 18 ) + x = y + 3 y . Có bao nhiêu điểm M có tọa độ ngun thuộc hình trịn tâm O
bán kính R = 7 ?
A. 7 .

C. 3 .

B. 2 .

Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d :

( S ) : ( x − 2)

2

D. 49 .

x + 2 y +1 z
=
=
và mặt cầu
2
−3 1

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 6 . Hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) . Gọi
2

2

A, B là tiếp điểm và I là tâm của mặt cầu ( S ) . Giá trị cos ·AIB bằng
1
1
1
A. − .
B. .
C. − .
9
9
3
Câu 47: Cho các hàm số

( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) .

y = f ( x ) ; y = f ( f ( x ) ) ; y = f ( x 2 + 2 x − 1)

D.

1
.
3

có đồ thị lần lượt là

Đường thẳng x = 2 cắt ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) lần lượt tại A, B, C . Biết phương

trình tiếp tuyến của ( C1 ) tại A và của ( C2 ) tại B lần lượt là y = 2 x + 3 và y = 8 x + 5 . Phương
trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại C là
A. y = 8 x − 9 .

B. y = 12 x + 3 .

C. y = 24 x − 27 .

D. y = 4 x + 1 .


4
3
2
Câu 48: Cho hàm số bậc bốn f ( x ) = ax + bx + cx + dx + a có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong

như hình vẽ sau:

2
Hàm số y = f ( 2 x − 1) f ( x − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 7.

C. 4.

D. 1.

Câu 49: Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 . Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho
MC = 2MB ; N , P lần lượt là trung điểm của BD và AD . Gọi Q  là giao điểm của AC và

( MNP ) . Thể tích khối đa diện ABMNPQ
A.

7 2
.
216

B.

bằng

13 2
.
432

C.

2
.
36

D.

11 2
.
432

Câu 50: Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm O , phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật
ABCD ; hình vng MNPQ có cạnh MN = 2 (m) và hai đường parabol đối xứng nhau chung
đỉnh O như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là
250.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 3.439.000 đồng.

B. 3.628.000 đồng.

C. 3.580.000 đồng.

---------- HẾT ----------

D. 3.363.000 đồng.


MA TRẬN CHI TIẾT ĐỀ SỐ 2 PHÁT TRIỂN THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM

2021-2022

Câu

Chương

Tên Chương

Lớp

PM

Bài

Mức độ

Nội Dung

1

4

Số phức

12 GT

S ố phức

NB

Môđun

2

3

Phương pháp tọa độ
trong không gian

12

HH

Hệ tọa độ trong
khơng gian

NB

Tìm bán kính mặt cầu

3

1

Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số

12

Khảo sát sự biến
GT thiên và vẽ đồ thị
hàm số

NB

Điểm thuộc đồ thị

4

2

Mặt nón, mặt trụ, mặt
cầu

12

HH M ặt Cầu

NB

Cơng thức tính thể tích mặt
cầu

5

3

Ngun hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT Ngun hàm

NB

Tìm ngun hàm đơn giản

6

1

Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số

12

Khảo sát sự biến
GT thiên và vẽ đồ thị
hàm số

NB

Tìm điểm cực trị của hàm
số dựa vào BBT

7

2

Hàm số lũy thừa, hàm
số mũ, hàm số lơgarit

12

Bất phương trình
GT mũ, bất phương
trình lơgarit

NB

Bất phương trình mũ

8

1

Khối đa diện

12

HH

NB

Tính thể tích khối chóp

9

2

Hàm số lũy thừa, hàm
số mũ, hàm số lơgarit

12

GT Lũy thừa

NB

Tìm tập xác định hàm sốlũy
thừa

10

2

Hàm số lũy thừa, hàm
số mũ, hàm số lơgarit

12

Phương trình mũ,
GT phương trình
lơgarit

NB

Phương trình lơgarit cơ bản

11

3

Nguyên hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT Tích phân

NB

Tích chất tích phân

12

4

S ố phức

12

GT

NB

Nhân hai số phức

13

3

Phương pháp tọa độ
trong không gian

12

Phương trình mặt
HH phẳng

NB

Tìm véc-tơ pháp tuyến

14

3

12

HH

NB

Các phép tốn

Phương pháp tọa độ

trong khơng gian

Thể tích khối đa
diện

Phép cộng, trừ và
nhân số phức

Hệ tọa độ trong
không gian


15

4

S ố phức

12

GT Số phức

NB

Tìm phần thực của số phức,
điểm biểu diễn số phức

16

1

Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số

12

GT Tiệm cận

NB

Tìm đường tiệm cận

17

2

Hàm số lũy thừa, hàm
số mũ, hàm số lơgarit

12

GT Lơgarít

NB

Rút gọn biểu thức lơgarít

18

1

Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số

12

Khảo sát sự biến
GT thiên và vẽ đồ thị
hàm số

NB

Nhận dạng đồ thị hàm số

19

3

Phương pháp tọa độ
trong không gian

12

NB

Điểm thuộc đường thẳng

20

2

T ổ hợp - Xác suất

11

NB

Công thức hốn vị

21

1

Khối đa diện

12

NB

Thể tích khối lăng trụ

22

2

Hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số
lơgarit

12

NB

Tính đạo hàm

23

1

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

NB

Tìm khoảng đồn biến,
nghịch biến dựa vào BBT

24

2

25

Phương trình
HH đường thẳng
Hốn vị - Chỉnh
ĐS

hợp - Tổ hợp
Thể tích khối đa
HH
diện
GT

Hàm số mũ, hàm
số lơgarit

12

GT

Sự đồng biến,
nghịch biến của
hàm số

Mặt nón, mặt trụ, mặt
cầu

12

HH Khái niệm mặt
trịn xoay

NB

Cơng thức tính thể tích
xung quang hình trụ

3

Ngun hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT Tích phân

NB

Tính chất tích phân

26

3

Dãy số, cấp số cộng,
cấp số nhân

11

ĐS Cấp số cộng

NB

Tính giá trị của cấp số cộng

27

3

Ngun hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT Ngun hàm

NB

Tìm nguyên hàm

1

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

12

GT C ực trị hàm số

NB

1

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

12

Giá trị lớn nhất,
GT giá trị nhỏ nhất
của hàm số

TH

Tìm giá trị cực trị của hàm
số dựa vào ĐT
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số trên một
đoạn

1

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

12

Sự đồng biến,
GT nghịch biến của
hàm số

TH

2

Hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số
lơgarit

Tìm khoảng đồn biến,
nghịch biến dựa vào hàm
số cho bởi cơng thức khơng
có tham số

12

GT Lơgarít

TH

Rút gọn biểu thức lơgarít

28

29

30

31


32

3

Véc tơ trong khơng
gian, quan hệ vng
góc trong khơng gian

33

3

Ngun hàm, tích
phân, ứng dụng

34

3

Phương pháp tọa độ
trong khơng gian

35

4
3

36

37
38

Hai đường thẳng

vng góc

TH

Góc giữa hai đường thẳng

TH

Tính chất tích phân

12

Phương trình
HH
đường thẳng

TH

Viết phương trình đường
thẳng dựa theo điều kiện
cho trước

S ố phức

12

GT

Phép chia số
phức

TH

Tìm phần ảo của số phức

Véc tơ trong khơng
gian, quan hệ vng
góc trong khơng gian

11

HH Khoảng cách

TH

Tính khoảng cách đến mặt
phẳng

2

T ổ hợp - Xác suất

11

ĐS Xác Suất

TH

Tính xác suất

3

Phương pháp tọa độ
trong khơng gian

12

Phương trình
HH
đường thẳng

TH

Viết phương trình đường
thẳng dựa theo điều kiện
cho trước

Hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số
lôgarit
Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

11

HH

12

GT Tích phân

Bất phương trình tích
VDT lơgarít, mũ
Số nghiệm của phương
VDT trình hàm hợp
VDT

39

2

40

1

41

3

Ngun hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT Nguyên hàm

42

1

Khối đa diện

12

HH

43

4

S ố phức

12

Phương trình
GT bậc hai với hệ số
thực

44

3

Phương pháp tọa độ
trong không gian

12

HH

2

Hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số
lơgarit

12

Bất phương
GT trình mũ, bất
phương trình
lơgarit

45

46

3

47

1

Phương pháp tọa độ
trong không gian
Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

12

Bất phương
trình mũ, bất
GT phương trình
lơgaritsát sự biến
Khảo
GT thiên và vẽ đồ
thị hàm số

12

Thể tích khối đa
diện

Phương trình
đường thẳng

12

Phương trình
HH đường thẳng

12

GT

Tiếp tuyến của
đồ thị hàm số

Tìm ngun hàm và tính

giá trị

VDT Tính thể tích khối chóp

VDT Nghiệm của phương trình
thỏa mãn điều kiện cho
trước
Viết phương trình đường
VDT thẳng thỏa mãn điều kiện
cho trước
Tìm nghiệm, tìm số
VDC nguyên dựa vào điều kiện
bất phương trình

VDC Tiếp tuyến mặt cầu
VDC Viết PT tiếp tuyến của đồ
thị hàm số


48

1

Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số

12

GT Cực trị hàm số

1

Khối đa diện

12

HH

49
50
3

Nguyên hàm, tích
phân, ứng dụng

12

GT

Thể tích khối đa
diện
Ứng dụng tích
phân trong hình
học

VDC

Tìm số điểm cực trị của
hàm hợp hàm ẩn

VDC Tính thể tích khối chóp

VDC Tính diện tích hình phẳng

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho số phức z = 2 + i . Tính z .
A. z = 5

B. z = 5

C. z = 2

D. z = 3

Lời giải
Ta có z = 22 + 1 = 5 .
Câu 2:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) :
A. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 3 . B. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 2 .
C. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 4 . D. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 4 .
Lời giải
Chọn D

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 ⇒ a = 1 ; b = 2 ; c = −2 ; d = −7
⇒ R = a 2 + b 2 + c 2 − d = 4 ; I ( 1; 2; −2 ) .

Câu 3:

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y =
A. Điểm P(1; −1) .

Câu 4:

B. Điểm N (1; −2) .

x−3
x +1
C. Điểm M (1; 0) .

D. Điểm Q (1;1) .

Quay một miếng bìa hình trịn có diện tích 16π a 2 quanh một trong những đường kính, ta được
khối trịn xoay có thể tích là
64 3
128 3
256 3
32 3
πa
πa
πa
πa
A.
B.
C.
D.
3

3
3
3
Lời giải
Chọn C
Gọi R là bán kính đường trịn. Theo giả thiết, ta có S = π R 2 = 16π a 2 ⇒ R = 4a .


Khi quay miếng bìa hình trịn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một hình
4
4
256 3
3
×π ×R 3 = ×π ×( 4a ) =
πa .
3
3
3
3
Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 9 là:

cầu. Thể tích hình cầu này là V =
Câu 5:

A.

1 4
x − 9x + C .
2

B. 4 x 4 − 9 x + C .

C.

1 4
x +C .
4

D. 4 x 3 − 9 x + C .

Lời giải
Chọn A

∫ ( 2x
Câu 6:

3

− 9 ) dx = 2.

x4
x4
− 9x + C = − 9x + C .
4
2

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 4 ) , ∀x ∈ ¡ . Số điểm cực đại của hàm
3

số đã cho là

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D

x = 0

Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = −4
Bảng xét dấu f ′ ( x ) :

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng 1 điểm cực đại.
x2 + 4 x

Câu 7:

1
Bất phương trình  ÷
2
A. 4 .

1
có tập nghiệm là S = ( a; b ) , khi đó b − a là?
32

B. 2 .
C. 6 .
D. 8 .
>

Lời giải
Chọn C
x2 + 4 x

1
Bất phương trình tương đương  ÷
2

5

1
>  ÷ ⇔ x 2 + 4 x < 5 ⇔ −5 < x < 1 .
2

Vậy S = ( −5;1) ⇒ b − a = 6 .
Câu 8:

Cho khối chóp ( H ) có thể tích là 2a 3 , đáy là hình vng cạnh a 2 . Độ dài chiều cao khối
chóp ( H ) bằng.
A. 3a .

B. a .

C. 4a .
Lời giải

D. 2a .


Chọn A
1
1
6a 3
V = B.h = ( 2a ) 2 = 2a 3 ⇒ h = 2 = 3a .
3
3
2a
Câu 9:

1

Tập xác định của hàm số y = ( x − 1) 5 là:
B. [ 1; + ∞ ) .

A. ( 0; + ∞ ) .

C. ( 1; + ∞ ) .
Lời giải

D. ¡ .

Chọn C
Hàm số xác định khi: x − 1 > 0 ⇔ x > 1 . Vậy tập xác định: D = ( 1; + ∞ ) .

2

Câu 10: Tính tổng các nghiệm của phương trình log ( x − 3x + 1) = −9 bằng

A. −3 .

C. 10 −9 .
Lời giải

B. 9 .

D. 3 .

Chọn D
Phương trình tương đương với x 2 − 3x + 1 = 10−9 ⇔ x 2 − 3x + 1 − 10 −9 = 0 .
∆ = 5 + 4.10−9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 và x2 phân biệt.
Ta có x1 + x2 = 3 .
5

Câu 11: Cho hai tích phân

∫

f ( x ) dx = 8 và

−2

A. I = −11 .

−2

∫ g ( x ) dx = 3 . Tính I =

5

B. I = 13 .

5

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx .

−2

C. I = 27 .
Lời giải

D. I = 3 .

Chọn B
Ta có:
I=

5

5

−2

−2

−2

5

∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx = ∫ f ( x ) dx + 4 ∫ g ( x ) dx − x

5
−2

= 8 + 4.3 − ( 5 + 2 ) = 13 .

Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .

B. w = −15 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
Lời giải

D. w = 15 − 20i .

Số phức w = 5 z = 5 ( 3 − 4i ) = 15 − 20i
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2 x + y − z + 1 = 0 . Vectơ nào sau đây không là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α ?
uu
r
uu
r
uu
r
ur
A. n4 ( 4; 2; −2 )
B. n2 ( −2; −1;1)

C. n3 ( 2;1;1)
D. n1 ( 2;1; −1)


Lời giải
Chọn C
ur
uu
r
ur
Mặt phẳng (α ) : 2 x + y − z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1 ( 2;1; −1) , mà n2 ( −2; −1;1) = −n1 ,
uu
r
ur
uu
r
uu
r
n4 ( 4; 2; −2 ) = 2n1 nên n2 và n2 cũng là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α .
r
r
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 2; −1;3) , b = ( 1;3; −2 ) . Tìm tọa độ
r
r r
của vectơ c = a − 2b .
r
r
r
r
A. c = ( 0;− 7;7 ) .

B. c = ( 0;7;7 ) .
C. c = ( 0;− 7;− 7 ) .
D. c = ( 4;− 7;7 ) .
Lời giải
Chọn A
r
r
r
Ta có −2b = ( −2;− 6;4 ) mà a = ( 2;− 1;3) ⇒ c = ( 0;− 7;7 ) .
Câu 15: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Phần thực của z bằng

B. −4 .

A. 4 .

C. −3 .
Lời giải

D. 3 .

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 4i ⇒ Phần thực của z bằng
3.
Câu 16: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

B. y = 4 .

C. y =

1

.
2

1− 4x
.
2x −1

D. y = −2 .

Lời giải
Chọn D
−4 x + 1
= −2 . Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = −2 .
x →±∞ 2 x − 1

Ta có lim

Câu 17: Với a là số thực dương tùy ý, log 5 ( 5a ) bằng
A. 5 + log 5 a .

B. 5 − log 5 a .

C. 1 + log 5 a .
Lời giải

Chọn C
Ta có: log 5 ( 5a ) = log 5 5 + log 5 a = 1 + log 5 a .
Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

D. 1 − log 5 a .

A. y = 2 x 3 + 6 x 2 − 2

B. y = x 3 + 3x 2 − 2

C. y = − x 3 − 3x 2 − 2
Lời giải

D. y = x3 − 3 x 2 − 2

Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số a > 0 .
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A ( −2; 2 ) ; B ( 0; −2 ) .
Vậy chọn đáp án

B.

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
qua điểm nào trong các điểm sau:
A. C ( −3; 4;5 ) .
B. D ( 3; − 4; − 5 ) .

C. B ( −1; 2; − 3) .

x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Hỏi d đi

3
−4
−5
D. A ( 1; − 2;3 ) .

Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
đi qua điểm A ( 1; − 2;3 ) .
3
−4
−5

Câu 20: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 ?
5
5
A. A6 .
B. P6 .
C. C6 .
D. P5 .
Lời giải.
Chọn A
Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 là một chỉnh
5
hợp chập 5 của 6 phần tử. Vậy có A6 số cần tìm.

Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a và
AA′ = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng
A.

3a 3 3
.
2

B. 3a 3 3 .

C.
Lời giải

Chọn C

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
6


Thể tích khối lăng trụ là VABC . A′B′C′ = S ABC . AA′ =

1
a3 3

AB 2 . AA′ =
.
2
2

2 x −3
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = e
.
2 x −3
A. f ′ ( x ) = 2.e .

2 x −3
B. f ′ ( x ) = −2.e
.

x −3
C. f ′ ( x ) = 2.e .

2 x −3
D. f ′ ( x ) = e .

Lời giải
Chọn A
Ta có f ′ ( x ) = ( 2 x − 3) ′ .e 2 x −3 = 2.e 2 x −3 .
Câu 23: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?

A. ( −2; 2 ) .

B. ( − ∞; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; + ∞ ) .

Lời giải
Chọn C
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 ( cm ) và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 ( cm ) . Diện tích
xung quanh của hình trụ là
2
2
2
2
A. 35π ( cm )
B. 70π ( cm )
C. 120π ( cm )
D. 60π ( cm )
Lời giải


Chọn B

2
Diện tích xung quanh của hình trụ S xq = 2π rh = 2π5.7 = 70π ( cm ) .

Câu 25: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
2

10

0

6

[ 0;10]

thỏa mãn

10

6

0

2

∫ f ( x ) dx = 7 , ∫ f ( x ) dx = 3 .

Giá trị

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx là

B. −4.

A. 10.

C. 4.
Lời giải

D. 7.

Chọn C
10

2

6

10

6

0

0

2

6

2

Ta có 7 = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx nên P = 7 − ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4 .
Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và công sai d = 1 . Khi đó u3 bằng
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
Ta có u3 = u1 + 2d = 2 + 2.1 = 4 .

x
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 + x là

A.

2x x2
+ +C.
ln 2 2

B. 2 x + x 2 + C .

C.

2x
+ x2 + C .
ln 2

D. 2 x +

x2
+C.
2

Lời giải
Ta có

∫( 2

x

+ x ) dx =

2x 1 2
+ x +C.
ln 2 2

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. x = 1 .

B. x = −1 .

C. x = 2 .
Lời giải

Chọn B
Từ đồ thị ta có hàm số đạt cực đai tai điểm x = −1 .
9
Câu 29: Trên đoạn [ 1;5] , hàm số y = x + đạt giá trị lớn nhất tại điểm
x

D. x = −3 .

A. x = 5 .

B. x = 3 .

C. x = 2 .

D. x = 1 .

Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 1;5] .
9 ′
9
Ta có: y ′ =  x + ÷ = 1 − 2 .
x
x

⇒ y′ = 0 ⇔ 1 −

 x = 3 ∈ [ 1;5]
9
= 0 ⇔ x2 − 9 = 0 ⇔ 
.
2
x
 x = −3 ∉ [ 1;5]


 f ( 1) = 10

y = f ( 1) = 10 .

Có  f ( 3) = 6 ⇒ max
[ 1;5]

34
 f ( 5) =
5

Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
1
A. y = .
B. y = y =- x 4 - 2 x 3 - 9 x .
x
C. y = 1- x 3 .

D. y = 1- x .
Lời giải

Chọn C
Hàm số y = 1- x 3 có y ' =- 3 x 2 £ 0, " x Ỵ R nên nghịch biến trên R .
Câu 31: Cho loga x = 3,logb x = 4 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = logab x.
12
7
1
A. P = 12
B. P =
C. P =
D. P =
7
12
12

Lời giải
Chọn B
P = logab x =

1
1
1
12
=
=
=
logx ab logx a+ logx b 1 1 7
+
3 4

a 3
, tam giác ABC đều
2
cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng

Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA =


A. 900 .

B. 300 .

C. 450 .
Lời giải

D. 600 .

Chọn C

Gọi M là trung điểm BC .
∆ ABC đều cạnh

a

a 3
nên AM ⊥ BC và AM =
.
2

Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ Hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABC ) là AM .
Suy ra SM ⊥ BC (theo định lí ba đường vng góc).

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

Có  AM ⊂ ( ABC ) , AM ⊥ BC . Do đó góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là góc giữa SM

 SM ⊂ ( SBC ) , SM ⊥ BC
·
và AM , hay là góc SMA
(do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AM ⇒ ∆SAM vuông).


a 3
SA
·

·
=
= 2 = 1 ⇒ SMA
= 450 .
Xét tam giác SAM vng tại A có tan SMA
AM a 3
2
Vậy góc cần tìm là 450 .
2

Câu 33: Cho ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 . Khi đó
1

2

∫ f ( x ) dx bằng:
1

B. −3 .

A. 1 .

D. −1 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn A
2

2

2

2

2

x2
4
f
x
−
2
x
dx
=
1
⇔
4
f
x
dx
−
2
xdx
=
1
⇔
4

f
x
dx
−
2.
=1


∫1  ( ) 
∫1 ( )
∫1
∫1 ( )
2 1
2

2

1

1

⇔ 4∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 1

Câu 34: Cho điểm M ( 1;2;5 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng ( P ) là
x y z
x y z
A. x + y + z − 8 = 0 .
B. x + 2 y + 5 z − 30 = 0 .C. + + = 0 .
D. + + = 1 .

5 2 1
5 2 1
Lời giải

Cách 1 :
Ta có tính chất hình học sau : tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc thì
điểm M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là hình chiếu vng góc của điểm O
lên mặt phẳng ( ABC ) .

uuuu
r
Do đó mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( 1; 2;5 ) và có véc tơ pháp tuyến OM ( 1; 2;5 ) .

Phương trình mặt phẳng ( P ) là ( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + 5 ( z − 5 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 5 z − 30 = 0.
Cách 2:
Giả sử A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 ) ; C ( 0;0; c )
Khi đó phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng

x y z
+ + =1.
a b c

1 2 5
Theo giả thiết ta có M ∈ ( P ) nên + + = 1( 1) .
a buuuu
uuuu
r
uuur
rc
uuur

Ta có AM = ( 1 − a; 2;5 ) ; BC ( 0; − b; c ) ; BM = ( 1; 2 − b;5 ) ; AC ( −a; 0; c )
uuuu
r uuur
 AM .BC = 0
2b = 5c
⇔
r uuur
( 2)
Mặt khác M là trực tâm tam giác ABC nên  uuuu
a = 5c
 BM . AC = 0

Từ ( 1) và ( 2 ) ta có a = 30; b = 15; c = 6 .
x
y z
+ + = 1 ⇔ x + 2 y + 5 z − 30 = 0.
Phương trình mặt phẳng ( P ) là
30 15 6

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i . Phần thực của số phức z bằng
2
2
11
11
A. − .
B. .
C. .
D. − .
5
5

5
5


Lời giải
Vì z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i nên z =
Suy ra z =

4 − 3i ( 4 − 3i ) ( 1 − 2i ) −2 − 11i −2 11
=
=
− i.
=
5
5 5
1 + 2i
12 + 22

−2 11
+ i.
5 5

2
Vậy phần thực của z là − .
5
Câu 36: Một hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA′ = 2a.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A′BC ) là:
A. 2a 5 .

B.

2a 5
.
5

C.

a 5
.
5

D.

3a 5
.
5

Lời giải
Chọn B

Trong mặt phẳng ( A′AB ) kẻ AH AB ( 1) .
Ta cú
ABC vuông tại B ⇒ AB ⊥ BC

 ⇒ BC ⊥ ( A′AB ) ⇒ BC ⊥ AH ( 2 ) .
ABC. AB′C ′ là lăng trụ ứng AA BC
T ( 1) và ( 2 ) suy ra AH ⊥ ( A′AB ) ⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = AH .
Trong ∆A′AB vng tại A có đường cao AH ta có
1
1

1
AB. AA′
a.2a
2a 5
=
+
⇒ AH =
=
=
.
2
2
2
AH
AB
AA′
5
AB 2 + AA′2
a 2 + 4a 2

Câu 37: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong
đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 .
8
99
3
99
A.
.
B.

.
C. .
D.
.
11
667
11
167
Lời giải
10
Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C30 .
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.


5
Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ, có C15 cách.
1
Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có C3 cách.

4
Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn khơng chia hết cho 10 , có C12 .

Vậy P ( A ) =

C155 .C31.C124
99
=
.
10
C30

667

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −2; −3) ; B( −1;4;1) và đường thẳng

x+ 2 y− 2 z+ 3
=
=
. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua
1
−1
2
trung điểm của đoạn AB và song song với d ?
x y−1 z+ 1
x y−1 z+ 1
=
=
A. =
B. =
1
1
2
1 −1
2
x− 1 y− 1 z + 1
x y− 2 z+ 2
=
=
=
C.
D. =

1
−1
2
1
−1
2
Lời giải
d:

Chọn B
Trung điểm của AB là I ( 0;1; −1)

d:

r
x+ 2 y− 2 z+ 3
=
=
có VTCP là u( 1; −1;2) nên đường thẳng ∆ cần tìm cũng có VTCP
1
−1
2

r
u( 1; −1;2) .

x y− 1 x+ 1
=
.
Suy ra phương trình đường thẳng ∆ : =

1 −1
2
2x
x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình (3 − 9)(3 −

A. 2.

B. 3.

1
) 3x+1 − 1 ≤ 0 chứa bao nhiêu số nguyên ?
27
C. 4.

D. 5.

Lời giải
Chọn B
Điều kiện 3x +1 − 1 ≥ 0 ⇔ 3x +1 ≥ 1 ⇔ x ≥ −1 .
Ta có x = −1 là một nghiệm của bất phương trình.
2x
x
Với x > −1 , bất phương trình tương đương với (3 − 9)(3 −

1
) ≤ 0.
27

t ≤ −3

1
1
Đặt t = 3 > 0 , ta có (t − 9)(t − ) ≤ 0 ⇔ (t − 3)(t + 3)(t − ) ≤ 0 ⇔  1
. Kết
 ≤t ≤3
27
27
 27
x

2

hợp điều kiện t = 3x > 0 ta được nghiệm

1
1
≤t ≤3 ⇔
≤ 3x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 . Kết hợp
27
27


điều kiện x > −1 ta được −1 < x ≤ 1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm
ngun.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.
Câu 40: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Hỏi phương
trình g ¢( x ) = 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?

A. 14 .

B. 10 .

C. 8 .
Lời giải

D. 12 .

Chọn B

Ta có g ¢( x) = f ¢( f ( x ) ) . f ¢( x )

éf ¢( f ( x ) ) = 0
g ¢( x) = 0 Û ê
ê
¢
ê
ëf ( x ) = 0
éx = x1 , ( - 2 < x1 <- 1)
ê
êx = 0
¢
Có f ( x ) = 0 Û ê
; f ¢( f ( x ) ) = 0 Û
ê
x
=
x
,
1
<

x
<
2
(
)
ê
2
2
ê
ê
ëx = 2

éf ( x ) = x1
ê
êf ( x ) = 0
ê
ê
êf ( x ) = x2
ê
êf ( x ) = 2
ë

Dựa vào đồ thị ta thấy:

f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x =- 2, x = 0, x = 2 , trong đó có 2 nghiệm trùng với
nghiệm của f ¢( x ) = 0 .


f ( x) = x1 có 3 nghiệm phân biệt x3 Ỵ ( - 2; - 1) , x4 Ỵ ( - 1;1) , x5 ẻ ( 2; +Ơ ) .
f ( x ) = x2 có 1 nghiệm duy nht x6 ẻ ( - Ơ ; - 2) .

f ( x ) = 2 có 1 nghiệm duy nhất x7 ẻ ( - Ơ ; - 2) .
Cng t đồ thị có thể thấy các nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , - 2,0, 2 đơi một khác nhau.
Vậy g ¢( x) = 0 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.
1
2
và f ′ ( x ) = sin 3x.cos 2 x, ∀x ∈ ¡ . Biết F ( x ) là nguyên hàm
21
π 
của f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = 0 , khi đó F  ÷ bằng
2
137
137
247
167
A.
.
B. −
.
C.
.
D.
.
441
441
441
882
Lời giải

Câu 41: Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) =

Chọn A
2
Ta có f ′ ( x ) = sin 3x.cos 2 x, ∀x ∈ ¡ nên f ( x ) là một nguyên hàm của f ′ ( x ) .

Có
=

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ sin 3x.cos

2

2 xdx = ∫ sin 3x.

1 + cos 4 x
sin 3 x
sin 3 x.cos 4 x
dx = ∫
dx + ∫
dx
2
2
2

1
1
1
1
1
sin 3xdx + ∫ ( sin 7 x − sin x ) dx = − cos 3 x − cos 7 x + cos x + C .
∫

2
4
6
28
4

1
1
1
1
⇒ C = 0.
Suy ra f ( x ) = − cos 3 x − cos 7 x + cos x + C , ∀x ∈ ¡ . Mà f ( 0 ) =
6
28
4
21
1
1
1
Do đó f ( x ) = − cos 3 x − cos 7 x + cos x, ∀x ∈ ¡ . Khi đó:
6
28
4
π
2

π
2

1

1
π 
 1

F  ÷− F ( 0 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  − cos 3x − cos 7 x + cos x ÷dx
6
28
4
2

0
0
π

1
1
 1
 2 137
=  − sin 3 x −
sin 7 x + sin x ÷ =
196
4
 18
 0 441

.

137
137 137
π 

⇒ F  ÷= F ( 0) +
= 0+
=
441
441 441
2
Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) cách A
một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 300 . Thể tích của khối chóp S . ABC
bằng
8a 3
8a 3
4a 3
3a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
3
9
12


Lời giải

¶ = 300 .

Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp ( SBC ) và mp ( ABC ) là SIA

H là hình chiếu vng góc của A trên SI suy ra d ( A, ( SBC ) ) = AH = a .
Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI =

AH
= 2a .
sin 300

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra 2a = x

3
4a
⇒x=
.
2
3

2

Diện tích tam giác đều ABC là S ABC

 4 a  3 4a 2 3
=
=
.
÷.
3
 3 4

0
Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra SA = AI .tan 30 =

2a
.
3

1
1 4 a 2 3 2 a 8a 3
.
=
Vậy VS . ABC = .S ABC .SA = .
.
3
3
3
9
3
2
2
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2 ( m + 1) z + m = 0 ( m là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 7?
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
∆′ = (m + 1) 2 − m2 = 2m + 1 .