Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 4 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 - Mơn Tốn –
Đề 4 - Tiêu chuẩn (Bản word có lời giải)
Câu 1:

Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Tính module của z .

A. z = 2 .
Câu 2:

Câu 4:

D. z = 34 .

D. R = 3 7 .
D. Điểm Q (0; −2) .

Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là:
32π a 3
.
3

B. 6π a 3 .

C.

Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

Câu 6:

C. R = 10 .

B. R = 4 2 .

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số y = − x 4 + x 2 − 2
A. Điểm P (−1; −2) .
B. Điểm N (1; −2) .
C. Điểm M (−1;0) .

A.
Câu 5:

C. z = 34 .

2
2
2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu ( S ) : x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z + 4 = 0 có bán

kính R là
A. R = 53 .
Câu 3:

B. z = 8 .

1
ln ( 2 x + 3) + C .
2

B.

8π a 3
.
3

D. 16π a 2 .

1
là
2x + 3

1
ln 2 x + 3 + C .
2

C. ln 2 x + 3 + C .

D.

1
ln 2 x + 3 + C .
ln 2

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm
số y = f ′ ( x ) là đường cong ở
hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực
trị?
A. 6 .
C. 4 .

B. 5 .

D. 3 .
x

Câu 7:

1
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷ ≥ 2 là.
2

A. ( −∞; −1] .
Câu 8:

B. [ −1; +∞ ) .

C. ( −∞; −1) .

D. ( −1; +∞ ) .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và thể tích bằng a 3 .Tính chiều
cao h của hình chóp đã cho.
A. h = a.
B. h = 2a.
C. h = 3a.
D. h = 3a.


Câu 9:

Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 + 2 x − 3

(

)

A. D = ¡ .

B. D = ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) .

C. D = ¡ \ { −3;1} .

D. D = ( 0; +∞ ) .

(

2

.

)

2
Câu 10: Phương trình log 3 x − 10 x + 9 = 2 có nghiệm là:

 x = 10
A. 
.
x = 0
2

Câu 11: Cho

∫

f ( x ) dx = −3 ,

1

A. I = −2 .

 x = −2
B. 
.
x = 0
5

∫

f ( x ) dx = 5 và

2

 x = −2
C. 
.
x = 9

 x = 10
D. 
.
x = 9

5

5

1

1

∫ g ( x ) dx = 6 . Tính tích phân I = ∫ 2. f ( x ) − g ( x )  dx .

B. I = 10 .

C. I = 4 .

D. I = 8 .

Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .

B. w = −15 − 20i .

C. w = 15 + 20i .

D. w = 15 − 20i .

Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình 3 x − z + 1 = 0 . Véctơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P ) có tọa độ là
A. ( 3; 0; −1) .

B. ( 3; −1;1) .

C. ( 3; −1;0 ) .

D. ( −3;1;1) .

r
r
r
Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a ( 1; 2;3) ; b ( 2; 2; −1) ; c ( 4;0; −4 ) . Tọa
r r r
r
độ của vecto d = a − b + 2c là
r
r
r
r
A. d ( −7;0; −4 )
B. d ( −7;0; 4 )
C. d ( 7;0; −4 )
D. d ( 7;0; 4 )
Câu 15: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là:

A. 1 − 2i .

B. 2 + i .

C. 1 + 2i .

D. 2 − i .

3 − 2x
x−2
C. y = −2 .

D. y = 3 .

Câu 16: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −2 .

B. x = 2 .

2 3
Câu 17: Cho log a b = 2 và log a c = 3 . Tính P = log a ( b c ) .

A. P = 13

B. P = 31

C. P = 30

D. P = 108


Câu 18: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số
A. y = x 4 + 3x 2 + 1 .
C. y = −

x3

+ x2 + 1 .
3

B. y = x 3 − 3 x 2 + 1 .
D. y = 3x 2 + 2 x + 1 .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường

x y −4 z −3
=
=
. Hỏi trong các vectơ sau,
−1
2
3
đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ?
thẳng d :

ur
A. u1 = ( −1; 2;3) .
uu
r
C. u3 = ( 1; −2; −3) .

uu
r
B. u2 = ( 3; −6; −9 ) .
uu
r
D. u4 = ( −2; 4;3) .

Câu 20: Một tổ có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong
đó có 2 học sinh nam?
2
1
2
1
2
1
2
1
A. C4 + C6 .
B. C4 .C6 .
C. A4 . A6 .
D. A4 + A6 .
Câu 21: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' biết tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 2 AA ' = a . Thể
tích khối lăng trụ đã cho là:
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
2
12
4

2
Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x + 1) là:

A. y′ =

2x
.
2
x +1

B. y′ =

2x
( x + 1) ln 2 .
2

C. y′ =

2 x ln 2
.
x2 + 1

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞;1) .
C. ( −1;1) .

B. ( 1; 4 ) .

D. ( 2; +∞ ) .

D. y′ =

ln 2
.
x2 + 1


Câu 24: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vng cạnh a , tính diện tích tồn phần S của
hình trụ đó.
3 2
5 2
A. S = π a .
B. S = π a .
C. S = π a 2 .
D. S = 3π a 2 .
2
4
3

Câu 25: Cho biết

∫

f ( x ) dx = 3,

0

5

∫

f ( t ) dt = 10

0

5

5

. Tính

5

A. ∫ 2 f ( z ) dz = −7 .

∫ 2 f ( z ) dz
3

B. ∫ 2 f ( z ) dz = 14 .

3

3

.

5

5

C. ∫ 2 f ( z ) dz = 13 .

D. ∫ 2 f ( z ) dz = 7 .

3

3

Câu 26: Cho cấp số nhân ( un ) với u4 = 1 ; q = 3 . Tìm u1 ?
A. u1 =
Câu 27: Biết
A.

∫

C.

∫

1
.
9

∫ f ( 2 x ) dx = sin

B. u1 = 9 .
2

x + ln x + C

C. u1 = 27 .

. Tìm nguyên hàm

x
+ ln x + C .
2
x
f ( x ) dx = 2sin 2 + 2 ln x + C .
2
f ( x ) dx = sin 2

D. u1 =

1
.
27

∫ f ( x ) dx ?

B.

∫ f ( x ) dx = 2sin

D.

∫ f ( x ) dx = 2sin

2

2

2 x + 2 ln x + C .
x + 2 ln x + C .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là

A. y = 2 .

B. y = −1 .

C. y = −3 .

D. y = 1 .

Câu 29: Trên đoạn [ −2;1] , hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. x = 0 .

B. x = −3 .

Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
A. y = − x 4 + 2 x 2 − 2 .
C. y = − x3 + x 2 − 2 x − 1 .

C. x = 2 .
B. y = x 4 − 3 x 2 + 5 .
D. y = − x 3 − 3x 2 + 4 .

D. x = −1 .

Câu 31: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log 3 a − 2log 9 b = 2 , mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a = 9b 2 .
B. a = 9b .
C. a = 6b .
D. a = 9b 2 .
Câu 32: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ , biết đáy ABCD là hình vng. Tính góc giữa A′C
và BD .

A. 90° .

B. 30° .

C. 60° .

D. 45° .

e

ln x
dx = a + b 2 với a, b là các số hữu tỷ. Tính S = a + b .
1 + ln x
1
1
3
2
A. S = 1 .
B. S = .

C. S = .
D. S = .
2
4
3

Câu 33: Biết

∫x

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :

x−2 y−6 z+2
=
=
và
2
−2
1

x − 4 y +1 z + 2
=
=
. Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 và ( P ) song song với đường
1
3
−2
thẳng d 2 là
d2 :

A. ( P ) : x + 5 y + 8 z − 16 = 0 .

B. ( P ) : x + 5 y + 8 z + 16 = 0 .

C. ( P ) : x + 4 y + 6 z − 12 = 0 .

D. ( P ) : 2 x + y − 6 = 0 .

Câu 35: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz + ( 1 − i ) z = −2i bằng
A. 6

B. −2

C. 2

D. −6

Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA′ = 2a . Gọi M là
trung điểm của CC ′ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A′BC ) bằng

A.

a 5
.
5

B.

2 5a
.

5

C.

2 57a
.
19

D.

57a
.
19


Câu 37: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có
tổng các chữ số là số chẳn bằng
41
4
1
16
A.
.
B. .
C. .
D.
.
81
9
2

81
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − 1 = 0 . Đường thẳng
đi qua A đồng thời song song với ( P ) và mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là
x = 3+ t

A.  y = 2t .
 z = 1− t


x = 2+ t

B.  y = −t .
 z = −1


Câu 39: Cho bất phương trình

 x = 1+ 2t

C.  y = −1 .
 z = −t


( log x + 1) ( 4 − log x ) > 0 .

phương trình trên.
A. 10000 .

B. 10001 .

 x = 3+ t

D.  y = 1+ 2t .
 z = −t


Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất

C. 9998 .

D. 9999 .

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình

f ( f ( x ) − 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 .

B. 5 .

Câu 41: Cho hàm số
hàm của

f ( x)

f ( x)

C. 7 .

D. 4 .

 π  27
F ( x)
f ′ ( x ) = 12 sin 2 x.cos 2 3x, ∀x ∈ ¡
f
=
có  2 ÷
và
. Biết
là ngun
 8

thỏa mãn

F ( 0) = 0
B. −

A. 0 .

, khi đó

87
.
64

F(π )

bằng
21
C. − .

8

D.

87
.
64

Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ABCD ,
góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ABCD bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB , SC . Tính thể tích khối chóp S . ADNM .

A. V =

a3 6
.
16

B. V =

a3 6
.
24

C. V =

3a 3 6
.
16

D. V =

a3 6
.
8

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 + 4az + b 2 + 2 = 0, ( a, b là các tham số thực). Có
bao nhiêu cặp số thực

( a; b ) sao

cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z1 + 2iz2 = 3 + 3i ?
A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.


Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −1;3) và hai đường thẳng:
d1 :

x − 4 y + 2 z −1
x − 2 y + 1 z −1
=
=

, d2 :
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
1
4
−2
1
−1
1

vng góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 .
x −1
=
2
x −1
=
C.
6

A.

y +1 z − 3
=
.
−1
−1
y +1 z − 3
=
.

−4
−1

x −1 y + 1 z − 3
=
=
.
6
1
5
x −1 y + 1 z − 3
=
=
D.
.
2
1
3

B.

Câu 45: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a, AC = 4 a, AD = 5a. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm các tam
giác DAB, DBC , DCA. Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt
giá trị lớn nhất.
120a 3
10a 3
80a 3
20a 3
A. V =
.

B. V=
.
C. V=
.
D. V=
.
27
4
7
27
Câu 46: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số g ( x ) = f ( xf ( x ) ) +
A. 15 .

3
có bao nhiêu điểm cực trị?
4

B. 14 .

D. 13 .

C. 12 .

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x + 2)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 9 và hai điểm
2

2

A ( 1;3; 2 ) , B ( 9; −3; 4 ) . Gọi ( P ) , ( Q ) là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa AB và tiếp xúc
với ( S ) tại M và N . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN bằng
A.

129
.
2

B.

51 .

C.

4874
.
7

D.

26 .

Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [ 2; 2022] để tồn tại hai cặp số thực ( x; y ) thoả mãn x 2 + y 3 = m
và log 2 x log 3 y = 1 ?

A.
.
2019

B.

2004

.

C.

2006

.

D.

2005

.


Câu 49: Cho f ( x ) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương
f ( ax 2 − 1) =

A. 101 .

( a; b )

thỏa mãn a + b ≤ 16 để phương trình

1
có đúng 7 nghiệm thực phân biệt
bx

B. 96 .

C. 89 .

D. 99 .

3
2
2
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − 1 ; g ( x ) = mx + nx + 1 có đồ thị như hình vẽ bên

Biết rằng f ′′ ( 2 ) = 0 và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hồnh độ
x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 7 . Diện tích của hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ thuộc
khoảng nào dưới đây?
 2
A.  0; ÷.
 5

2 1
B.  ; ÷.
5 2

 1 3
C.  ; ÷.
 2 5

---------- HẾT ----------

3 
D.  ;1÷.
5 


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Tính module của z .

A. z = 2 .

B. z = 8 .

C. z = 34 .

D. z = 34 .

Lời giải
Tọa độ điểm M ( −3;5 ) ⇒ z = −3 + 5i ⇒ z =
Câu 2:

( −3)

2

+ 52 = 34 .

2
2
2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu ( S ) : x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z + 4 = 0 có bán
kính R là
A. R = 53 .
B. R = 4 2 .
C. R = 10 .
D. R = 3 7 .
Lời giải

Chọn C

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z + 4 = 0 ⇔ ( x − 2)

2

+ ( y + 1) + ( z − 3) = 10 .
2

2

Vậy bán kính mặt cầu ( S ) là R = 10 .
Câu 3:
Câu 4:

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số y = − x 4 + x 2 − 2
A. Điểm P (−1; −2) .
B. Điểm N (1; −2) .
C. Điểm M (−1;0) .

D. Điểm Q (0; −2) .

Khối cầu bán kính R = 2a có thể tích là:
A.

32π a 3
.
3

B. 6π a 3 .

C.

8π a 3
.
3

D. 16π a 2 .

Lời giải
Chọn A
4
4
32π a 3
3

3
Ta có thể tích khối cầu là S = π .R = π .8a =
.
3
3
3

Câu 5:

Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A.

1
ln ( 2 x + 3) + C .
2

B.

1
là
2x + 3

1
ln 2 x + 3 + C .
C. ln 2 x + 3 + C .
2
Lời giải

D.

1
ln 2 x + 3 + C .
ln 2


Chọn B
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
Câu 6:

1

1

∫ f ( x ) dx = ∫ 2 x + 3 dx = 2 ln 2 x + 3 + C .

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong ở
hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6 .

B. 5 .

C. 4 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f ′ ( x ) chỉ
đổi dấu 3 lần.

Vậy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.
x

Câu 7:

1
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷ ≥ 2 là.
2
A. ( −∞; −1] .
B. [ −1; +∞ ) .
C. ( −∞; −1) .

D. ( −1; +∞ ) .

Lời giải
Chọn A
x

1
Ta có :  ÷ ≥ 2 ⇔ 2− x ≥ 2 ⇔ x ≤ −1 .
2

Câu 8:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và thể tích bằng a 3 .Tính chiều
cao h của hình chóp đã cho.
A. h = a.
B. h = 2a.
C. h = 3a.
D. h = 3a.

Lời giải
Chọn C
1
3V 3a 3
Ta có: V = S .h ⇒ h =
= 2 = 3a. .
3
S
a


Câu 9:

(

Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 + 2 x − 3

)

2

.

A. D = ¡ .

B. D = ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) .

C. D = ¡ \ { −3;1} .

D. D = ( 0; +∞ ) .

Lời giải

Chọn B
x > 1
2
Điều kiện: x + 2 x − 3 > 0 ⇔ 
.
 x < −3
Vậy D = ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) .

(

)

2
Câu 10: Phương trình log 3 x − 10 x + 9 = 2 có nghiệm là:

 x = 10
A. 
.
x = 0

 x = −2
B. 
.
x = 0

 x = −2
C. 
.

x = 9
Lời giải

 x = 10
D. 
.
x = 9

Chọn D
 x = 10 .
log3 ( x 2 − 10 x + 9 ) = 2 ⇔ x 2 − 10 x + 9 = 9 ⇔ x 2 − 10 x = 0 ⇔ 
x = 9
2

∫

Câu 11: Cho

f ( x ) dx = −3 ,

1

5

∫

f ( x ) dx = 5 và

2

5

5

∫ g ( x ) dx = 6 . Tính tích phân I = ∫ 2. f ( x ) − g ( x )  dx .
1

1

B. I = 10 .

C. I = 4 .
Lời giải

2

5

5

1

2

A. I = −2 .

D. I = 8 .

Chọn A
Ta có

∫ f ( x ) dx = −3 và ∫ f ( x ) dx = 5 nên ∫ f ( x ) dx = 2 .
1

5

5

5

1

1

1

I = ∫  2. f ( x ) − g ( x )  dx = 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −2 .
Câu 12: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .

B. w = −15 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
Lời giải

D. w = 15 − 20i .

Số phức w = 5 z = 5 ( 3 + 4i ) = 15 + 20i
Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình 3 x − z + 1 = 0 . Véctơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P ) có tọa độ là

A. ( 3; 0; −1) .

B. ( 3; −1;1) .

C. ( 3; −1;0 ) .

D. ( −3;1;1) .

Lời giải
Chọn A
r
Mặt phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến là n = ( 3;0; −1) .
r
r
r
Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a ( 1; 2;3) ; b ( 2; 2; −1) ; c ( 4;0; −4 ) . Tọa
r r r
r
độ của vecto d = a − b + 2c là
r
r
r
r
A. d ( −7;0; −4 )
B. d ( −7;0; 4 )
C. d ( 7;0; −4 )
D. d ( 7;0; 4 )
Lời giải

Chọn B
r r r
r
Ta có: d = a − b + 2c = ( 1 − 2 + 2.4; 2 − 2 + 2.0;3 + 1 + 2.(−4) ) = ( 7;0; −4 ) .
Câu 15: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Số phức z là:

A. 1 − 2i .

B. 2 + i .

C. 1 + 2i .

D. 2 − i .

Lời giải
Điểm M ( 2;1) trong hệ tọa độ vng góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức

z = 2 + i suy ra z = 2 − i .
3 − 2x
x−2
C. y = −2 .

Câu 16: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −2 .

B. x = 2 .

D. y = 3 .

Lời giải

Chọn B
3 − 2x
3 − 2x
3 − 2x
= −∞ và lim−
= +∞ nên đồ thị hàm số y =
nhận đường thẳng x = 2
x →2 x − 2
x →2 x − 2
x−2
là tiệm cận đứng.

Vì lim+

2 3
Câu 17: Cho log a b = 2 và log a c = 3 . Tính P = log a ( b c ) .
A. P = 13
B. P = 31
C. P = 30
Lời giải

Chọn A
2 3
Ta có: log a ( b c ) = 2 log a b + 3log a c = 2.2 + 3.3 = 13 .
Câu 18: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số

D. P = 108


A. y = x 4 + 3x 2 + 1 .

B. y = x 3 − 3 x 2 + 1 .

C. y = −

x3
+ x2 + 1 .
3

D. y = 3x 2 + 2 x + 1 .

Lời giải
Chọn B
y = ±∞ nên loại hai đáp án A,.
Do xlim
→±∞

D.

x3
+ x 2 + 1 suy ra y′ = − x 2 + 2 x .
3
x = 0
 7
Ta có y′ = 0 ⇔ 
. Đồ thị của hàm số có hai cực trị là ( 0;1) và  2; ÷ .
 3
x = 2
Xét đáp án C, y = −

Không thỏa mãn vì đồ thị hàm số (trên hình vẽ) có hai điểm cực trị là ( 0; 2 ) và ( 2; −3) .
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

x y −4 z −3
=
=
. Hỏi trong các
−1
2
3

vectơ
sau, đâu không phải làuu
vectơ chỉ phương của udu
?
ur
r
r
uu
r
A. u1 = ( −1; 2;3) .
B. u2 = ( 3; −6; −9 ) .
C. u3 = ( 1; −2; −3) .
D. u4 = ( −2; 4;3) .
Lời giải
ur
Ta có một vectơ chỉ phương của d là u1 = ( −1; 2;3 ) .
uu
r
ur uu

r
ur
uu
r uu
r
u2 = −3u1 , u3 = −u1 ⇒ các vectơ u2 , u3 cũng là vectơ chỉ phương của d .
uu
r
uu
r
uu
r
Không tồn tại số k để u4 = k .u1 nên u4 = ( −2; 4;3) không phải là vectơ chỉ phương của d .
Câu 20: Một tổ có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong
đó có 2 học sinh nam?
2
1
2
1
2
1
2
1
A. C4 + C6 .
B. C4 .C6 .
C. A4 . A6 .
D. A4 + A6 .
Lời giải.
Chọn B
 Chọn 2 học sinh nam có C42 cách.

 Chọn 1 học sinh nữ có C61 cách.
2
1
Theo quy tắc nhân, ta có C4 .C6 cách chọn thỏa yêu cầu.


Câu 21: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' biết tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 2 AA ' = a . Thể
tích khối lăng trụ đã cho là:
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
2
12
4
Lời giải
Chọn C

.
V = S ∆ABC . AA ' =

1
1
a a3

(đvtt).
AB. AC. AA ' = a.a. =
2
2
2 4

2
Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x + 1) là:

2x
.
x +1

A. y′ =

B. y′ =

2

2x
( x + 1) ln 2 .
2

C. y′ =

2 x ln 2
.
x2 + 1

D. y′ =

ln 2
.
x2 + 1

Lời giải
Chọn B

y′ =

(x

(x

2

2

+ 1) ′

+ 1) ln 2

=

2x
( x + 1) ln 2 .
2

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞;1) .

B. ( 1; 4 ) .

C. ( −1;1) .

Lời giải
Chọn C

D. ( 2; +∞ ) .


 −1 < x < 1
Dựa vào đồ thi ta có f ′ ( x ) > 0 ⇔ 
x > 4
Câu 24: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vng cạnh a , tính diện tích tồn phần S của
hình trụ đó.
3 2
5 2
A. S = π a .
B. S = π a .
C. S = π a 2 .
D. S = 3π a 2 .
2
4
Lời giải
Chọn A
Ta có R =

Câu 25: Cho biết

h a
3
= ⇒ Stp = 2π R 2 + 2π Rh = 2π R ( R + h ) = π a 2 .
2 2
2

3

5

0

0

∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( t ) dt = 10

5

5

. Tính

5

A. ∫ 2 f ( z ) dz = −7 .

∫ 2 f ( z ) dz
3

B. ∫ 2 f ( z ) dz = 14 .

3

3

.

5

5

C. ∫ 2 f ( z ) dz = 13 .

D. ∫ 2 f ( z ) dz = 7 .

3

3

Lời giải
Chọn B
3
5

Ta có: ∫ 2 f ( z ) dz = 2∫ f ( z ) dz = 2  ∫ f ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz  = 2 ( 10 − 3 ) = 14 .
3
3
0

0

Câu 26: Cho cấp số nhân ( un ) với u4 = 1 ; q = 3 . Tìm u1 ?
5

A. u1 =

5

1
.
9

B. u1 = 9 .

C. u1 = 27 .

D. u1 =

1
.
27

Lời giải
Chọn D
3
Ta có: u4 = u1.q ⇒ u1 =

Câu 27: Biết

∫ f ( 2 x ) dx = sin

2

u4 1
1
= 3=
.
3
q
3
27

x + ln x + C

. Tìm nguyên hàm

x
+ ln x + C .
2
x
f ( x ) dx = 2sin 2 + 2 ln x + C .
2

A.

∫ f ( x ) dx = sin

C.

∫

2

∫ f ( x ) dx ?

B.

∫ f ( x ) dx = 2sin

D.

∫ f ( x ) dx = 2sin

2

2

2 x + 2 ln x + C .
x + 2 ln x + C .

Lời giải
Chọn C
Ta có:
⇔

∫ f ( 2 x ) dx = sin

2

x + ln x + C ⇔

1
1 − cos 2 x
f ( 2x ) d ( 2x ) =
+ ln ( 2 x ) − ln 2 + C
∫
2
2

∫ f ( 2 x ) d ( 2 x ) = 1 − cos 2 x + 2 ln ( 2 x ) − 2 ln 2 + 2C


⇔ ∫ f ( x ) dx = 1 − cos x + 2 ln x − 2 ln 2 + 2C ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2sin 2

x
+ 2 ln x + C ′ .
2

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là

B. y = −1 .

A. y = 2 .

C. y = −3 .
Lời giải

D. y = 1 .

Chọn C
Câu 29: Trên đoạn [ −2;1] , hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. x = 0 .
B. x = −3 .
C. x = 2 .
D. x = −1 .
Lời giải
Hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 liên tục trên đoạn [ −2;1] .
 x = −1 ∈ [ −2;1]
Ta có : y ′ = 3 x − 4 x − 7 , y′ = 0 ⇔ 
.
7
x = ∉ [ −2;1]

3
2

y ( −2 ) = −1, y ( 1) = −7, y ( −1) = 5 .
y = y ( −1) = 5 .
Vậy xmax
∈[ −2;1]

Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
A. y = − x 4 + 2 x 2 − 2 .
C. y = − x3 + x 2 − 2 x − 1 .

B. y = x 4 − 3 x 2 + 5 .
D. y = − x 3 − 3x 2 + 4 .
Lời giải

Chọn C
Ta loại ngay được hai hàm số ở các phương án A và B
Với hàm số ở
D. Ta có y ′ = −3 x 2 − 6 x , y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = −2 nên không thể đơn điệu
trên ¡ . Vậy đáp án là C


Câu 31: Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log 3 a − 2log 9 b = 2 , mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a = 9b 2 .
B. a = 9b .
C. a = 6b .
D. a = 9b 2 .
Lời giải
Chọn B
a
Ta có: log 3 a − 2log 9 b = 2 ⇔ log 3 a − log 3 b = 2 ⇔ log 3  ÷ = 2 ⇔ a = 9b .
b

Câu 32: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ , biết đáy ABCD là hình vng. Tính góc giữa A′C
và BD .

A. 90° .

B. 30° .

C. 60° .
Lời giải

D. 45° .

Vì ABCD là hình vng nên BD ⊥ AC .
Mặt khác AA′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ AA′ .
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( AA′C ) ⇒ BD ⊥ A′C .
Ta có 
 BD ⊥ AA '
Do đó góc giữa A′C và BD bằng 90° .
e

ln x
dx = a + b 2 với a, b là các số hữu tỷ. Tính S = a + b .
1 + ln x
1
1
3
2
A. S = 1 .
B. S = .
C. S = .
D. S = .
2
4
3

Câu 33: Biết

∫x

Lời giải

2
Đặt 1 + ln x = t ⇒ ln x = t − 1 ⇒

dx
= 2tdt
x

 x = 1 → t = 1
Đổi cận 
 x = e → t = 2
e

ln x
Vậy ∫
dx =
1 x 1 + ln x

2

∫
1

(t

2

− 1) 2tdt
t

2

 t3 
4 2
= 2 ∫ ( t − 1) dt = 2  − t ÷ = −
2
3 3
 3 1
1
2

2


4
2
2
Suy ra a = ; b = − ⇒ S = a + b =
3
3
3
Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :

x−2 y−6 z+2
=
=
và
2
−2
1

x − 4 y +1 z + 2
=
=
. Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 và ( P ) song song với đường
1
3
−2
thẳng d 2 là
A. ( P ) : x + 5 y + 8 z − 16 = 0 .
B. ( P ) : x + 5 y + 8 z + 16 = 0 .
d2 :

C. ( P ) : x + 4 y + 6 z − 12 = 0 .

D. ( P ) : 2 x + y − 6 = 0 .
Lời giải
ur
Đường thẳng d1 đi qua A ( 2;6; −2 ) và có một véc tơ chỉ phương u1 = ( 2; −2;1) .
uu
r
Đường thẳng d 2 có một véc tơ chỉ phương u2 = ( 1;3; −2 ) .
r
Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) . Do mặt phẳng ( P ) chứa d1 và ( P ) song
r
ur uu
r
song với đường thẳng d 2 nên n = u1 , u2  = ( 1;5;8 ) .
r
Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 2;6; −2 ) và có một véc tơ pháp tuyến n = ( 1;5;8 ) là

x + 5 y + 8 z − 16 = 0 .

Câu 35: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz + ( 1 − i ) z = −2i bằng
A. 6
B. −2
C. 2
D. −6
Lời giải
Chọn A
Giả sử số phức z có dạng: z = x + yi , x , y ∈ ¡ .
Ta có: iz + ( 1 − i ) z = −2i ⇔ i ( x + yi ) + ( 1 − i ) ( x − yi ) = −2i ⇔ x − 2 y − yi = −2i .
x − 2 y = 0
x = 4
⇔
⇔
⇒x+ y =6.
 − y = −2
y = 2
Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 6 .
Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA′ = 2a . Gọi M là
trung điểm của CC ′ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A′BC ) bằng

A.

a 5
.
5

B.

2 5a
.
5

C.

2 57a
.
19

D.

57a
.
19


Lời giải
Chọn D
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A′H .

Ta có d ( M , ( A′BC ) ) =
Mà AH =

1
1
1
d ( C ′, ( A′BC ) ) = d ( A, ( A′BC ) ) = AK .
2
2

2

a 3
; AA′ = 2a nên AK =
2

Vậy d ( M ; ( A′BC ) ) =

AH . AA′
AH 2 + AA′2

=

2a 57
.
19

a 57
.
19

Câu 37: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có
tổng các chữ số là số chẳn bằng
41
4
1
16
A.
.
B. .

C. .
D.
.
81
9
2
81
Lời giải
Chọn A
Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn.
Ta có n ( Ω ) = 9.9.8 = 648 .
Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn nên sãy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẳn
3
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn là A5 .
2
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn trong đó số 0 đứng đầu là A4 .
3
2
Vậy nên số số thỏa biến cố A là: A5 − A4 = 48 số.

Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn.
2
1
Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn là C5 .C5 .3! .


Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số chẳn là số 0 đứng đầu là
2
5

C .2! .
2
1
2
Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C5 .C5 .3!− C5 .2! = 280 số.

Do vậy n ( A ) = 280 + 48 = 328 .
Ta có P ( A ) =

n ( A) 328 41
=
= .
n ( Ω ) 648 81

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − 1 = 0 . Đường thẳng
đi qua A đồng thời song song với ( P ) và mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là
 x = 3+ t

A.  y = 2t .
 z = 1− t


x = 2+ t

B.  y = −t .
 z = −1


 x = 1+ 2t


C.  y = −1 .
 z = −t


 x = 3+ t

D.  y = 1+ 2t .
 z = −t


Lời giải
Chọn B
r
r
Ta có: n( Oxy ) = ( 1;1;0 ) , n( Oxy ) = ( 0; 0;1) .
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với ( P ) và mặt phẳng ( Oxy ) . Khi đó:
r
r
x = 2 + t
r
r r
 u d ⊥ n( P )

⇒ u d =  n( P ) , n( Oxy )  = ( 1; −1;0 ) . Vậy d :  y = −t .
r
r
u d ⊥ n (Oxy)
 z = −1


Câu 39: Cho bất phương trình ( log x + 1) ( 4 − log x ) > 0 . Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất
phương trình trên.
A. 10000 .
B. 10001 .
C. 9998 .
D. 9999 .
Lời giải

( log x + 1) ( 4 − log x ) > 0 ( 1)
Điều kiện: x > 0 .
Khi ấy ( 1) ⇔ −1 < log x < 4 ⇔

1
< x < 10000 . Vì x ∈¢ nên x ∈ { 1; 2;3;...;9999}
10

Vậy có tất cả 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình

f ( f ( x ) − 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?


A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C

 x = x1 ∈ ( −2; − 1)

Ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = x2 ∈ ( −1; 0 )
 x = x3 ∈ ( 1; 2 )
 f ( x ) − 1 = x1 ∈ ( −2; − 1)
 f ( x ) = 1 + x1 ∈ ( −1;0 )


Khi đó: f ( f ( x ) − 1) = 0 ⇔  f ( x ) − 1 = x2 ∈ ( −1;0 ) ⇔  f ( x ) = 1 + x2 ∈ ( 0;1)
 f ( x ) = 1 + x3 ∈ ( 2;3 )
 f ( x ) − 1 = x3 ∈ ( 1; 2 )
+ Ta thấy hai phương trình f ( x ) = 1 + x1 ∈ ( −1;0 ) ; f ( x ) = 1 + x2 ∈ ( 0;1) đều có ba nghiệm phân
biệt.
Phương trình f ( x ) = 1 + x3 ∈ ( 2;3) có một nghiệm.
Vậy phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có 7 nghiệm.

 π  27
F ( x)
f ′ x = 12 sin 2 x.cos 2 3x, ∀x ∈ ¡
có f  ÷ =
và ( )
. Biết
là nguyên
2 8
f ( x)
F ( 0) = 0
F(π )

hàm của
thỏa mãn
, khi đó
bằng
87
21
87
A. 0 .
B. − .
C. − .
D.
.
64
8
64
Lời giải

Câu 41: Cho hàm số

f ( x)

Chọn C
2
Ta có f ′ ( x ) = 12sin 2 x.cos 3x, ∀x ∈ ¡ nên f ( x ) là một nguyên hàm của f ′ ( x ) .

Có

∫ f ′ ( x ) dx = ∫12sin 2 x.cos

2

3 xdx = ∫ 12.sin 2 x.

1 + cos 6 x
dx = ∫ 6.sin 2 xdx + ∫ 6sin 2 x.cos 6 xdx
2

3
3
= 6 ∫ sin 2 xdx + 3∫ ( sin 8 x − sin 4 x ) dx = −3cos 2 x − cos8 x + cos 4 x + C .
8
4
3
3
 π  27
⇒ C = 0.
Suy ra f ( x ) = −3cos 2 x − cos8 x + cos 4 x + C . Mà f  ÷ =
8
4
2 8

Do đó. Khi đó:


π

π

3
3



F ( π ) − F ( 0 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  −3cos 2 x − cos8 x + cos 4 x ÷dx
8
4

0
0
π

3
3
 3

=  − sin 2 x − sin 8 x + sin 4 x ÷ = 0
64
16
 2
0
21
21
⇒ F ( π ) = F ( 0) + 0 = − + 0 = −
8
8
Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy ABCD ,
góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ABCD bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB , SC . Tính thể tích khối chóp S . ADNM .
A. V =

a3 6

.
16

B. V =

a3 6
.
24

C. V =

3a 3 6
.
16

D. V =

a3 6
.
8

Lời giải
Chọn A

Gọi O = AC Ç BD .

·
AO ^ BD Þ SO ^ BD . Nên góc của ( SBD ) và ABCD là góc SOA
= 600 .
1

1
1 1
1
VS . ADN = .VS . ADC = .VS . ABCD và VS . AMN = . VS . ABC = VS . ABCD .
2
4
2 2
8
3
Þ VS . ADMN = VS . ADN +VS . AMN = VS . ABCD .
8
a 2
a 6
1
a3 6
·
.
SA = AO.tan SOA
=
tan 600 =
Þ VS . ABCD = S ABCD .SA =
2
2
3
6
3 a3 6 a3 6
.
Þ VS . ADMN = .
=
8 6

16

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 + 4az + b 2 + 2 = 0, ( a, b là các tham số thực). Có
bao nhiêu cặp số thực

( a; b ) sao

cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z1 + 2iz2 = 3 + 3i ?
A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.


Lời giải
Chọn D

 z1 + z2 = −4a
Theo định lý Vi-ét, ta có: 
.
2
 z1 z2 = b + 2
Theo u cầu bài tốn, phương trình đã cho có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn
z1 + 2iz2 = 3 + 3i ⇔ z1 + 2iz2 − 3 − 3i = 0 ⇔ ( z1 + 2iz2 − 3 − 3i ) ( z2 + 2iz1 − 3 − 3i ) = 0
⇔ −3 z1 z2 − ( 1 + 2i ) ( 3 + 3i ) ( z1 + z2 ) + 18i + 2i ( z12 + z22 ) = 0

2
⇔ −3 ( b 2 + 2 ) + ( 3 − 9i ) ( −4a ) + 18i + 2i ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2  = 0



⇔ −3 ( b 2 + 2 ) + ( 3 − 9i ) ( −4a ) + 18i + 2i 16a 2 − 2 ( b 2 + 2 )  = 0
2
−3 ( b 2 + 2 ) − 12a = 0
b 2 + 2 = −4a


b + 2 = −4a
⇔
⇔
⇔
2
2
2
2
36a + 18 + 32a + 16a = 0

32a + 52a + 18 = 0
36a + 18 + 32a − 4 ( b + 2 ) = 0

b 2 + 2 = −4a
1

1



a = − ;b = 0
a
=
−
;
b
=
0
1




2
2
⇔ a = − 2
⇔
⇔
.
9
5
9
10


2
a = − ; b =

9
 a = − 8 ; b = ± 2


a = −
8
2
 
8
Vậy có 3 cặp số thực ( a; b ) thỏa mãn bài toán.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −1;3) và hai đường thẳng:
d1 :

x − 4 y + 2 z −1
x − 2 y + 1 z −1
=
=
, d2 :
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
1
4
−2
1
−1
1

vng góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 .
x −1
=
2
x −1

=
C.
6

A.

y +1 z − 3
=
.
−1
−1
y +1 z − 3
=
.
−4
−1

x −1 y + 1 z − 3
=
=
.
6
1
5
x −1 y + 1 z − 3
=
=
D.
.
2

1
3
Lời giải

B.

r
Ta có: u d1 = ( 1; 4; −2 )
x = 2 + t
x − 2 y +1 z −1

d2 :
=
=
nên phương trình tham số của d 2 :  y = −1 − t ( t ∈ ¡
1
−1
1
z = 1+ t


)


Gọi đường thẳng d cắt đường thẳng d 2 tại M ( 2 + t; −1 − t;1 + t )
uuuu
r
Ta có: AM = ( 1 + t ; −t ; t − 2 )
r
Đường thẳng d đi qua A; M nên vectơ chỉ phương u d = ( 1 + t ; −t; t − 2 )

r
r
r r
Theo đề bài d vng góc d1 ⇒ u d ⊥ u d1 ⇔ u d .u d1 = 0 ⇔ 1. ( 1 + t ) + 4 ( −t ) − 2 ( t − 2 ) = 0 ⇔ t = 1
r
⇒ u d = ( 2; −1; −1)
r
Phương trình đường thẳng d đi qua A ( 1; −1;3) và có u d = ( 2; −1; −1) có dạng:
x −1 y +1 z − 3
=
=
.
2
−1
−1

Câu 45: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a, AC = 4 a, AD = 5a. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm các tam
giác DAB, DBC , DCA. Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt
giá trị lớn nhất.
120a 3
10a 3
80a 3
20a 3
A. V =
.
B. V=
.
C. V=
.
D. V=

.
27
4
7
27
Lời giải

Chọn D
3

V
DM DN DP  2 
8
8 1
2
.
.
=  ÷ ⇒ VD.MNP = VD.HIK = . VD. ABC = .VD . ABC
Ta có: D.MNP =
VD.HIK
DH DI DK  3 
27
27 4
27

1
1 1
1
Ta có: VD. ABC = .S ABC .SH = . . AB. AC.sinA.DE ≤ AB. AC.DE
3

3 2
6
( DE là đường cao của hình chóp D. ABC )
Dấu bằng xảy ra khi: DA = DE và

BAC=900

1 1
1
3
Suy ra: VD. ABC MAX = . . AB. AC.DA = .3a.4a.5a = 10a
3 2
6


Vậy VD.MNP =

2
20 3
.10a 3 =
a
27
27

.

Câu 46: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số g ( x ) = f ( xf ( x ) ) +
A. 15 .

3
có bao nhiêu điểm cực trị?
4

B. 14 .

C. 12 .
Lời giải

D. 13 .

Chọn D
Xét u ( x ) = f ( xf ( x ) ) +
Ta có: f ( x ) +

3
.
4

2
3 7
3 7
2
= x ( x − 3) ⇒ u ( x ) = f ( xf ( x ) ) + = xf ( x ) ( xf ( x ) − 3) có 4 lần đổi
4 16
4 16

dấu
Xét u ′ ( x ) = ( f ( x ) + xf ′ ( x ) ) f ′ ( xf ( x ) )

 f ( x ) + xf ′ ( x ) = 0 ⇒ 3n0 ( 1)

= 0 ⇔  xf ( x ) = 1 ⇒ 4n0 ( 2 )
có 9 lần đổi dấu.
 xf x = 3 ⇒ 2n 3
0 ( )
 ( )

Thật vậy:

( 1) ⇔

7 3 21 2 63
3
21
63 
 21
x − x + x − + x  x 2 − x + ÷ = 0 ⇒ 3n0 .
16
8
16
4
4
16 
 16

( 2 ) ⇔ x 

7 3 21 2 63

3
x − x + x − ÷ − 1 = 0 ⇒ 4n0
8
16
4
 16

3
 7 3 21 2 63
Và ( 3) ⇔ x  x − x + x − ÷− 3 = 0 ⇒ 2n0 .
8
16
4
 16

Do đó: u ( x ) có 9 điểm cực trị
Vậy hàm số g ( x ) = u ( x ) có 9 + 4 = 13 điểm cực trị.