Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 31 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO MA TRẬN
MINH HỌA BGD NĂM 2022
ĐỀ SỐ 31

KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2022
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

(Đề có 04 trang)
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................

Câu 1:

Cho số phức z = 3 − 7i . Tính z .
A. z = 5 .

Câu 2:

B. z = 3 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 10 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 20 .

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 2 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị của hàm số y = 22 x −3 ?

(

)

−1
B. N 1; 2 .

Diện tích S của mặt cầu bán kính r = 2 ?
A. S = 4π .
B. S = 8π .

(

)

3
C. P 0; −2 .

D. Q ( 2; 2 ) .

C. S = 16π .

D. S = 4π 2 .

1

Trên khoảng ( 0; + ∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 4 là hàm số nào?
A.
C.

Câu 6:

2

2

1 

A. M  −1; ÷ .
32 


Câu 5:

D. z = −4 .

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 20 .
2

Câu 4:

C. z = 4 .

Phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; −2;3) , bán kính R = 2 5 là
2

Câu 3:

Tiêu chuẩn

∫

4 54
f ( x ) dx = x + C . B.
5

∫ f ( x ) dx = 4 x

−

3
4

1 − 34

∫ f ( x ) dx = 4 x + C .
5 54
.
D.
f
x
d
x
=
+C
∫ ( ) 4 x +C .

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

x

Câu 7:

Câu 8:

4

2
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷ < là
9
3
A. ( 2; +∞ ) .
B. ( 1; +∞ ) .
C. ( −∞;1) .

D. ( −∞; 2 ) .

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có BC = 2a và đường cao 2a . Thể tích khối chóp
S . ABCD bằng:
8 3
4a 3
A. a .
B. 8a 3 .
C.
.
D. 4a 3 .
3
3

Page 1


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 9:

Tập xác định của hàm số y = ( x − 2 )

3

là:

B. D = [ 2; +∞ ) .

A. D = ( −∞; 2 ) .

Câu 10: Nghiệm của phương trình log 5 ( x − 1) = 2 là:
A. x = 24 .
B. x = 11 .
Câu 11: Cho

f ( x)

và

g ( x)

liên

tục

trên

C. D = ¡ \ { 2} .

D. D = ( 2; +∞ ) .

C. x = 26 .

D. x = 9 .

[ 0;3]

3

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 11

và

0

3

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 1 . Khi đó:
0

A. 1 .

3

∫ ( f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx bằng
0

C. 12 .

B. 5 .

D. −3 .

Câu 12: Cho hai số phức z1 = 3 − 2i và z2 = −1 + 5i . Phần ảo của số phức z1 − z2 bằng
A. 4.
B. 3.
C. −7 .
D. 7.
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của ( α ) ?
uu
r
uu
r
A. n2 = ( 3; 2; 4 ) .
B. n3 = ( 2; − 4;1) .

ur
uu
r
C. n1 = ( 3; − 4;1) .
D. n4 = ( 3; 2; − 4 ) .
r
r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = (2; −3; −1) và v = ( −1;1; −1) . Tọa độ của vectơ
r r
u − v là
A. ( 1; −2; 0 ) .
B. ( 3; 4; 0 ) .
C. ( 3; −4; 0 ) .
D. ( −3; −4;0 ) .
Câu 15: Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Mô đun số phức z bằng

A. 5 .

B.

5.

C. 1 .

Câu 16: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 .

B. y = 2 .

Câu 17: Cho a > 0 , a ≠ 1 , biểu thức A = a
A. 8 .
B. 16 .

log

a

4

D. 25 .

x +1
là đường thẳng có phương trình
x2 − 2
C. y = 0 .

D. y = 2 .
có giá trị bằng
C. 4 .

D. 2 .

Câu 18: Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

Page 2


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. y = x 4 − 2 x 2 − 3 .

B. y = x 3 − 2 x − 3 .

C. y = 2 x 4 + 2 x 2 − 3 . D. y =

x −3
.
x +1

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình
x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?
3
2

−4
A. P ( 7; 2;1) .
B. Q ( −2; − 4;7 ) .
C. N ( 4; 0; − 1) .
D. M ( 1; − 2;3 ) .
Câu 20: Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vịng trịn
2 lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?
A. 182 .
B. 91 .
C. 196 .
D. 140 .
Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vng tại A và D , có
AB = 2CD, AD = CD = a 2, AA ' = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 12a 3 .

B. 6a 3 .

C. 2a 3 .

D. 4a 3 .

C. y′ = 5 x ln 5 .

D. y ′ = x.5x .

Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = 5x là:

5x
A. y′ =
.

x

5x
B. y′ =
.
ln 5

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; −2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( −2; 2 ) .

Câu 24: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và
CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB = 4a , AC = 5a . Tính thể tích khối trụ.
A. V = 16π a 3 .
B. V = 12π a 3 .
C. V = 4π a 3 .
D. V = 8π a 3 .
Câu 25: Cho

5

2

2

5

∫ f ( x ) dx = 10 . Khi đó ∫  2 − 4 f ( x )  dx bằng

A. 36.

B. 40.

C. 34.

D. 32.

Page 3


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 26: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = −3 và công bội q =
A.

27
.
16

B.

32
.
81

C. −

27
.
16

2
. Số hạng thứ sáu của ( un ) là
3
32
D. − .
81

x
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = x + 2e . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
C.

∫

f ( x ) dx =

x2
+ e x + C.
2

B.

∫

∫

f ( x ) dx =

x2
− 2e x + C.
2

D.

∫ f ( x ) dx = 1 + 2e

f ( x ) dx =

x2
+ 2e x + C.
2
x

+ C.

Câu 28: Biết rằng đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 có dạng như hình vẽ:

3
2
Hỏi đồ thị hàm số y = x + 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 29: Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x +
A.

52
.
3

B. 20 .

C. 6 .

4
trên đoạn [ 1; 3] bằng.
x
65
D.
.
3

Câu 30: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ¡
A. y = −2 x 4 − x 2 .

B. y = − x 3 + 3 x .

C. y =

3x + 2
.
x +1

D. y = − x 3 − 3x .

Câu 31: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a 4b3 = 25 . Tính giá trị của 4 log 5 a + 3log 5 b
A. −3 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 2 .

a 3
, tam giác ABC đều
2
cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng

Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA =

Page 4


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. 900 .

B. 300 .

Câu 33: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ¡

C. 450 .

D. 60 0 .

1

và

∫ f ( x ) dx = −2
0

1

và

∫ g ( x ) dx = 3,

khi đó

0

1

∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx bằng:
0

A. −5 .

B. 5 .

C. −11 .

D. 11 .

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( −2;1;3) và đường thẳng d : x = y + 3 = z − 2 . Mặt
2
5
−3
phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình là:
A. 2 x + 5 y − 3z + 8 = 0 . B. 2 x + 5 y − 3z − 7 = 0 .
C. 2 x + 5 y − 3 z − 18 = 0 .D. 2 x + 5 y − 3z − 8 = 0 .
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i . Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z .
A. 1 .
B. −2 .
C. −1 .
D. 2 .
Câu 36: Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng
A.

a
.
2

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2

Câu 37: Tổ trực nhật gồm 8 thành viên trong đó có 5 nữ và 3 nam. Phân cơng ngẫu nhiên hai người
chuẩn bị dụng cụ trực nhật phòng học. Xác suất để chọn được một nam và một nữ bằng
2
15
3
5
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
7
28
28
28
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0; − 1;3) , B ( 1;0;1) , C ( −1;1; 2 ) . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với

đường thẳng BC ?
 x = −2t

A. x − 2 y + z = 0 .
B.  y = −1 + t .
z = 3 + t

C.

x
y +1 z − 3
=
=
.
−2
1
1

D.

x −1 y z −1
= =
.
−2
1
1

Page 5

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 39: Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( log 22 x + log 2 4 x − 8 ) 64 − 2 x ≤ 0 .
A. 22 .

C. 12 .

B. 10 .

D. 20 .

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ' ( f ( x ) ) = 0 là
A. 3 .

D. 6 .

C. 5 .

B. 4 .

f ′ ( x ) = e x + 6, ∀x ∈ ¡
f ( 0) = 2
F ( x)
có đạo hàm là
và
. Biết
là
f ( x)
F ( 1) = e

F ( 0)
nguyên hàm của
thỏa mãn
, khi đó
bằng
A. 7 .
B. 2 .
C. −3 .
D. −4 .

Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng 60° .
Biết rằng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua S và vng góc với cạnh bên là tam
giác tù. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.

4a 3 3
.
9

Câu 43: Gọi

z1 ,

B.
z2

( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0, b
A. P =

c
.
2a

là
2

4a 3 3
.
3

các

nghiệm

C.
phức

8a 3 3
3
của

a3 3
.
9

D.

phương

trình

az 2 + bz + c = 0 ,

− 4ac < 0 ) . Đặt P = z1 + z2 + z1 − z2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

B. P =

c
.
a

2

C. P =

2c
.
a

D. P =

4c
.
a

Câu 44: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho z = 4 . Xét các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn

2

2

z1 − z2 = 2 , giá trị lớn nhất của P = z1 + 4 − 3i − z2 + 4 − 3i bằng

A. 16

B. 8 .

C. 20 .

4
3
2
Câu 45: Cho hàm số f ( x ) = − x + ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡

D. 4 .

)

có ba điểm cực trị là −1 , 1 và 2 .

Gọi y = g ( x ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng
A.

36
.
5

B.

2948
.
405

C.

2932
.
405

D.

16
.
15

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Đường
thẳng đi qua A , cắt trục Oz và song song với ( P ) có phương trình là:
x + 3 y − 2 z +1
x−6 y +4 z +7
=
=
=
=
A.
. B.
.

−3
2
8
−3
2
8
Page 6


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
C.

x +3 y − 2 z −8
x+6 y−4 z −7
=
=
=
=
. D.
.
3
−2
1
−3
2
8

Câu 47: Cho khối nón đỉnh S có chiều cao bằng 2 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy
sao cho AB = 4a . Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3a , thể tích
của khối nón đã cho bằng

A.

80 3π a 3
.
3

B. 24 3π a 3 .

C. 64 3π a 3 .

D.

128 3π a 3
.
21

Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a thì mọi số thực dương b đều thỏa
1
1



2  b log a + log a + 1 ÷ ≤ 3  b 2 + 2 ÷?
b
b 



A. 100.
B. 900.

C. 99.
D. 899.

Page 7


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị

nguyên của tham số m ∈ [ −2021; 2012 ] để hàm số y = f ( f ( x ) − 2m + 1) có đúng 4 điểm cực
trị. Số phần tử của tập S là

A. 4029 .

B. 4038 .

C. 4030 .

D. 4028 .

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4;0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , S ( 0; 0; c ) và đường

x −1 y −1 z −1
=
=
. Gọi A′, B′ lần lượt là hình chiếu vng góc của O lên SA, SB .
1
1
2

Khi góc giữa d và mặt phẳng ( OA′B′ ) lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?
thẳng d :

 17 15 
A. c ∈  − ; − ÷ .
2
 2

B. c ∈ ( − 9; − 8 ) .

C. c ∈ ( 0;3) .

D. c ∈ ( −8; −6 ) .

---------- HẾT ----------

Page 8


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

1.C
11.B
21.B
31.D
41.C

2.A
12.C
22.C

32.C
42.A

3.C
13.D
23.C
33.C
43.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.C
7.A
15.A
16.C
17.B
25.C
26.D
27.B
35.B
36.D
37.B
45.B
46.B
47.A

4.C
14.C
24.B
34.A

44.C

8.A
18.A
28.D
38.C
48.A

9.D
19.A
29.B
39.A
49.A

10.C
20.A
30.D
40.D
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho số phức z = 3 − 7i . Tính z .
A. z = 5 .

B. z = 3 .

C. z = 4 .

D. z = −4 .

Lời giải
Chọn C
Ta có z = 32 +
Câu 2:

( 7)

2

=4.

Phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; −2;3) , bán kính R = 2 5 là
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 20 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 10 .

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 20 .

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 2 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
Mặt cầu tâm I ( 1; −2;3) ,bán kính R = 2 5 có phương trình:

( x − 1)
Câu 3:

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 20 .
2

2

Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị của hàm số y = 22 x −3 ?

1 

A. M  −1; ÷ .
32 


(

)

(

−1
B. N 1; 2 .

)

3
C. P 0; −2 .

D. Q ( 2; 2 ) .

Lời giải
Chọn C

1  1

= 22.( −1) −3 = 2−5 ( đúng ) nên loại.

Xét đáp án A: Thế điểm M  −1; ÷ :
32  32

−1
Xét đáp án B: Thế điểm N 1; 2 : 2−1 = 2 2.1−3 (đúng) nên loại.

( )
Xét đáp án C: Thế điểm P ( 0; −2 ) : −2
3

3

= 22.0 −3 = 2−3 (vô lí ) nên nhận.

Xét đáp án D: Thế điểm Q ( 2; 2 ) : 2 = 22.2−3 = 21 (đúng) nên loại.
Câu 4:

Diện tích S của mặt cầu bán kính r = 2 ?
A. S = 4π .
B. S = 8π .

C. S = 16π .
Lời giải

D. S = 4π 2 .

Chọn C
Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính r

Page 9

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
S = 4π r 2

Câu 5:

r =2

⇒ S = 4π .2

2

= 16π
1

Trên khoảng ( 0; + ∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 4 là hàm số nào?
A.
C.

∫

f ( x ) dx =

4 54
x + C . B.
5

∫ f ( x ) dx = 4 x

−

3
4

+ C . D.

∫

f ( x ) dx =

1 − 34
x +C .
4

∫

f ( x ) dx =

5 54
x +C .
4
Lời giải

Chọn A

∫
Câu 6:

1

f ( x ) dx = ∫ x 4 dx =

1

1
1
+1
4

+1

x4 +C =

4 54
x +C
.
5

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn C
Do hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ , f ′ ( −1) = 0 ,

f ′ ( 1) không xác định nhưng do hàm số liên tục trên ¡ nên tồn tại f ( 1)
và f ′ ( x ) đổi dấu từ "+ " sang "− " khi đi qua các điểm x = −1 , x = 1 nên hàm số đã cho đạt
cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2.
x

Câu 7:

4
2
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷ < là
9
3
A. ( 2; +∞ ) .
B. ( 1; +∞ ) .
C. ( −∞;1) .

D. ( −∞; 2 ) .

Lời giải
Chọn A
x

x

2

4
2
2 2
Ta có:  ÷ < ⇔  ÷ <  ÷ ⇔ x > 2 .
3 9
3 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( 2; +∞ ) .
Câu 8:

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có BC = 2a và đường cao 2a . Thể tích khối chóp
S . ABCD bằng:

Page 10


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

8 3
A. a .
3

3

B. 8a .

4a 3
C.
.

3

D. 4a 3 .

C. D = ¡ \ { 2} .

D. D = ( 2; +∞ ) .

Lời giải
Chọn A

S ABCD = 4a 2 ( dvdt ) .
1
1
8
VS . ABCD = SO.S ABCD = .2a.4a 2 = a 3 ( dvtt )
3
3
3

Câu 9:

Tập xác định của hàm số y = ( x − 2 )

3

là:

B. D = [ 2; +∞ ) .

A. D = ( −∞; 2 ) .

Lời giải
Chọn D
Do

3 không nguyên nên hàm số xác định khi: x − 2 > 0 ⇔ x > 2 .

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ( 2; +∞ ) .
Câu 10: Nghiệm của phương trình log 5 ( x − 1) = 2 là:
A. x = 24 .
B. x = 11 .
C. x = 26 .
Lời giải

D. x = 9 .

Chọn C
2
Ta có log 5 ( x − 1) = 2 ⇔ x − 1 = 5 ⇔ x − 1 = 25 ⇔ x = 26.

f ( x)

Câu 11: Cho

và

g ( x)

liên

tục

trên

[ 0;3]

3

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 11

và

0

3

3

0

0

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 1 . Khi đó: ∫ ( f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx bằng
B. 5 .

A. 1 .

C. 12 .
Lời giải

D. −3 .

Chọn B
3

3

3

0

0

0

Ta có: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 11 ⇔ ∫ f ( x)dx + 3∫ f ( x )dx = 11 .

Page 11


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
3

3

3

0

0

∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 1 ⇔ 2∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx = 1 .
0

3

0

0

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx = 3 .

Suy ra:
3

Ta có:

3

∫(
0

3

3

3

0

0

0

f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx = ∫ f ( x )dx − 2∫ g ( x)dx + ∫ 2 xdx = 2 − 2.3 + 9 = 5 .

Câu 12: Cho hai số phức z1 = 3 − 2i và z2 = −1 + 5i . Phần ảo của số phức z1 − z2 bằng
A. 4.
B. 3.
C. −7 .
D. 7.
Lời giải
Chọn C
Ta có z1 − z2 = 3 − 2i − ( −1 + 5i ) = 4 − 7i có phần ảo bằng −7 .
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của ( α ) ?
uu
r
uu
r
A. n2 = ( 3; 2; 4 ) .
B. n3 = ( 2; − 4;1) .

ur
C. n1 = ( 3; − 4;1) .

uu
r
D. n4 = ( 3; 2; − 4 ) .

Lời giải
Chọn D
r
Mặt phẳng ( α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( 3; 2; − 4 )
r
r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = (2; −3; −1) và v = ( −1;1; −1) . Tọa độ của vectơ
r r
u − v là
A. ( 1; −2; 0 ) .
B. ( 3; 4; 0 ) .
C. ( 3; −4; 0 ) .
D. ( −3; −4;0 ) .
Lời giải
Chọn C

r r
Ta có: u − v = ( 2 − ( −1) ; −3 − 1; −1 − ( −1) ) = ( 3; −4;0 ) .
Câu 15: Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức z. Mô đun số phức z bằng

A. 5 .

B.

5.

C. 1 .
Lời giải

D. 25 .

Chọn A
2
Ta có M ( 3; - 4) nên z = 3 - 4i . Do đó z = 32 +( - 4) = 5 .

Page 12


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 16: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 .

B. y = 2 .

Chọn C

x +1
là đường thẳng có phương trình
x2 − 2
C. y = 0 .
D. y = 2 .
Lời giải

x +1
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞ x 2 − 2

Có lim y = lim
x →±∞

Câu 17: Cho a > 0 , a ≠ 1 , biểu thức A = a
A. 8 .
B. 16 .

log

a

4

có giá trị bằng
C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn B
A=a

log

a

4

=a

log

a1/2

4

= a 2loga 4 = a loga 16 = 16 .

Câu 18: Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

A. y = x 4 − 2 x 2 − 3 .

B. y = x 3 − 2 x − 3 .

C. y = 2 x 4 + 2 x 2 − 3 . D. y =

x −3
.
x +1

Lời giải
Chọn A
Loại phương án D vì hàm số này khơng xác định tại x = −1 .
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên phương án B, C bị loại.
Dễ thấy phương án A thỏa mãn.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình
x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?
3
2

−4
A. P ( 7; 2;1) .
B. Q ( −2; − 4;7 ) .
C. N ( 4; 0; − 1) .
D. M ( 1; − 2;3 ) .
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ điểm P ( 7 ; 2;1) vào phương trình đường thẳng d ta có

7 −1 2 + 2 1 − 3
=
≠
nên
3
2
−4

điểm P ( 7; 2;1) ∉ d .
Câu 20: Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vịng trịn
2 lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?
A. 182 .
B. 91 .
C. 196 .
D. 140 .
Page 13


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn A

2
Số trận đấu là A14 = 182 .

Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vng tại A và D , có
AB = 2CD, AD = CD = a 2, AA ' = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 12a 3 .

B. 6a 3 .

C. 2a 3 .
Lời giải

D. 4a 3 .

Chọn B

Diện tích hình thang ABCD là:

S ABCD = (

AB + CD ) . AD ( 2CD + CD ) . AD 3CD. AD 3.a 2.a 2
=
=
=
= 3a 2 .
2
2
2
2

Thể tích khối lăng trụ đã cho: V = S ABCD . AA′ = 3a 2 .2a = 6a 3 .
Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = 5x là:
A. y ′ =

5x
.
x

B. y ′ =

5x
.
ln 5

C. y′ = 5 x ln 5 .

D. y′ = x.5x .

Lời giải
Chọn C
Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; −2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( −2; 2 ) .

Page 14


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) và ( 2; +∞ ) và đồng biến
trên khoảng ( −∞; −2 ) và ( 0; 2 ) . Vậy kết luận hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
Câu 24: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và
CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB = 4a , AC = 5a . Tính thể tích khối trụ.
A. V = 16π a 3 .
B. V = 12π a 3 .
C. V = 4π a 3 .
D. V = 8π a 3 .
Lời giải
Chọn B

Ta có
Bán kính đường trịn đáy là: r =

AB
= 2a .
2

Chiều cao khối trụ: h = AD = AC 2 − CD 2 =

( 5a )

2

− ( 4a ) = 3a .
2

Thể tích khối trụ: V = π .r 2 .h = π .(2a )2 .3a = 12π a 3 .
Câu 25: Cho

5

2

2

5

∫ f ( x ) dx = 10 . Khi đó ∫  2 − 4 f ( x )  dx bằng

A. 36.

B. 40.

C. 34.
Lời giải

D. 32.

Chọn C
2

2

2

5

5

5

∫ ( 2 − 4 f ( x ) ) dx = 2∫ dx − 4∫ f ( x ) dx = −6 + 40 = 34 .
Câu 26: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = −3 và công bội q =
A.

27
.
16

B.

32
.
81

C. −

27
.
16

2

. Số hạng thứ sáu của ( un ) là
3
32
D. − .
81

Lời giải

Page 15


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Chọn D
Ta có un = u1.q

n −1

5

32
2
⇒ u6 = −3.  ÷ = − .
81
3

x
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = x + 2e . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
C.

∫

f ( x ) dx =

x2
+ e x + C.
2

B.

∫

∫

f ( x ) dx =

x2
− 2e x + C.
2

D.

∫ f ( x ) dx = 1 + 2e

f ( x ) dx =

x2
+ 2e x + C.
2

x

+ C.

Lời giải
Chọn B
Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫ ( x + 2e x ) dx =

x2
+ 2e x + C.
2

Câu 28: Biết rằng đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 có dạng như hình vẽ:

3
2
Hỏi đồ thị hàm số y = x + 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 2.

C. 1.
Lời giải

D. 3.

Chọn D
3
2
3
2

khi x 3 + 3 x 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3 
khi x ≥ −3
 x + 3x
 x + 3x
3
2
y
=
x
+
3
x
=
=
có:
.
 3

2
3
2
3
2


− x − 3x khi x + 3 x < 0 ⇔ x < −3 
− x − 3 x khi x < −3

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 khi x < −3 .

Page 16


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 29: Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x +
A.

52
.
3

B. 20 .

C. 6 .

4
trên đoạn [ 1; 3] bằng.
x
65
D.
.
3

Lời giải
Chọn B

Tập xác định: D = ¡ \ { 0} .
 x = 2 ∈ [ 1; 3]
4 x2 − 4
2
′
y ' = 1− 2 =
;
y
=
0
⇔
x
−
4
=
0
⇔

x
x2
 x = −2 ∉ [ 1; 3]
Ta có: f ( 1) = 5; f ( 2 ) = 4; f ( 3) =

13
.
3

y = 5; min y = 4 ⇒ max y.min y = 20
Vậy max
[ 1;3]
[ 1;3]
[ 1;3]
[ 1;3]
Câu 30: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ¡
A. y = −2 x 4 − x 2 .

B. y = − x 3 + 3 x .

C. y =

3x + 2
.
x +1

D. y = − x 3 − 3x .

Lời giải
Chọn D
Hàm số y = − x 3 − 3x có tập xác định D = ¡
y ′ = −3 x 2 − 3 = − ( 3 x 2 + 3) < 0, ∀x ∈ ¡
Suy ra, hàm số nghịch biến trên ¡ .
Câu 31: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a 4b3 = 25 . Tính giá trị của 4 log 5 a + 3log 5 b
A. −3 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải

Chọn D
4
3
4 3
Ta có 4 log 5 a + 3log 5 b = log 5 a + log 5 b = log 5 ( a b ) = log 5 25 = 2 .

a 3
, tam giác ABC đều
2
cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng

Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA =

Page 17


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. 900 .

B. 300 .

C. 450 .
Lời giải

D. 60 0 .

Chọn C

Gọi M là trung điểm BC .

∆ ABC đều cạnh

a

a 3
nên AM ⊥ BC và AM =
.
2

Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ Hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABC ) là AM .
Suy ra SM ⊥ BC (theo định lí ba đường vng góc).

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

Có  AM ⊂ ( ABC ) , AM ⊥ BC . Do đó góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là góc giữa SM

 SM ⊂ ( SBC ) , SM ⊥ BC
·
và AM , hay là góc SMA
(do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AM ⇒ ∆SAM vuông).

a 3
SA
·
·
=
= 2 = 1 ⇒ SMA
= 450 .
Xét tam giác SAM vuông tại A có tan SMA
AM a 3

2
0
Vậy góc cần tìm là 45 .

Page 18


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 33: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ¡

1

và

∫

f ( x ) dx = −2 và

0

1

∫ g ( x ) dx = 3,

khi đó

0

1

∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx bằng:
0

A. −5 .

C. −11 .
Lời giải

B. 5 .

D. 11 .

Chọn C
1

1

1

0

0

0

Ta có: ∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx = −2 − 3 ( 3) = −11 .
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( −2;1;3) và đường thẳng d : x = y + 3 = z − 2 . Mặt
2
5
−3

phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình là:
A. 2 x + 5 y − 3z + 8 = 0 . B. 2 x + 5 y − 3z − 7 = 0 .
C. 2 x + 5 y − 3 z − 18 = 0 .D. 2 x + 5 y − 3z − 8 = 0 .
Lời giải
Chọn A
uur
Vì mặt phẳng vng góc với d nên nhận vectơ ud = ( 2;5; −3) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
2 ( x + 2 ) + 5 ( y − 1) − 3 ( z − 3) = 0
⇔ 2 x + 5 y − 3 z + 8 = 0.
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i . Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z .
A. 1 .
B. −2 .
C. −1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Gọi z = x + yi , ta có z = x − yi .
Theo giả thiết, ta có x + yi − ( 2 + 3i ) ( x − yi ) = 1 − 9i ⇔ − x − 3 y − ( 3x − 3 y ) i = 1 − 9i
− x − 3 y = 1
x = 2
⇔
⇔
. Vậy xy = − 2 .
3x − 3 y = 9
 y = −1
Câu 36: Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng
A.

a
.
2

B. a .

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn D

Page 19


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

 AM ⊥ BC
⇒ AM ⊥ ( BCC ' B ' )
Gọi M là trung điểm của BC, ta có: 
 AM ⊥ BB '

Vậy d ( A, ( BCC ' B ′ ) ) = AM =

a 3
.
2

Câu 37: Tổ trực nhật gồm 8 thành viên trong đó có 5 nữ và 3 nam. Phân công ngẫu nhiên hai người
chuẩn bị dụng cụ trực nhật phòng học. Xác suất để chọn được một nam và một nữ bằng
2
15
3
5
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
7
28
28
28
Lời giải
Chọn B

Khơng gian mẫu có n ( Ω ) = C8 phần tử
2

Số khả năng thuận lợi cho biến cố A: “chọn được một nam và một nữ” là: n ( A ) = C3 .C5 .
1

1

C31.C51 15
=
Xác suất cần tìm là: p ( A ) =
.
C82
28
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0; − 1;3) , B ( 1;0;1) , C ( −1;1; 2 ) . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với
đường thẳng BC ?
 x = −2t

A. x − 2 y + z = 0 .
B.  y = −1 + t .
z = 3 + t

x
y +1 z − 3
x −1 y z −1
=
=
= =
C.
. D.
.
−2

1
1
−2
1
1
Lời giải
Chọn C

Page 20


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
uuur
Đường thẳng ∆ đi qua A và song song BC nhận BC = ( −2;1;1) làm vectơ chỉ phương
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ :

x
y +1 z − 3
=
=
.
−2
1
1

Câu 39: Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( log 22 x + log 2 4 x − 8 ) 64 − 2 x ≤ 0 .
A. 22 .

B. 10 .

C. 12 .
Lời giải

D. 20 .

Chọn A
x

64 − 2 x ≥ 0 26 ≥ 2 2
⇔ 0 < x ≤ 12 ( *) .
Điều kiện: 

x
>
0

 x > 0

Khi

đó

(

log 22 x + log 2 4 x − 8

)

 64 − 2 x = 0 (1)
64 − 2 x ≤ 0 ⇔  2

.
 log 2 x + log 2 4 x − 8 ≤ 0 (2)

+(1) ⇔ 64 − 2 x = 0 ⇔ x = 12 ( tm ( *) ) .

1
≤ x≤4.
Kết
8
hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là x ∈ {1; 2;3; 4} .
+ (2) ⇔ log 22 x + log 2 4 x − 8 ≤ 0 ⇔ log 22 x + log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ log 2 x ≤ 2 ⇔

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 22 .
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ' ( f ( x ) ) = 0 là
A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn D
 f ( x ) = −1
Ta có: f ' ( f ( x ) ) = 0 ⇒ 
.
 f ( x ) = 1

Page 21


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình f ( x ) = −1 có 3 nghiệm phân biệt, phương trình

f ( x ) = 1 có 1 nghiệm duy nhất.
Do đó phương trình f ' ( f ( x ) ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt.

f ′ ( x ) = e x + 6, ∀x ∈ ¡
f ( 0) = 2
F ( x)
có đạo hàm là
và
. Biết
là
f ( x)
F ( 1) = e
F ( 0)
nguyên hàm của
thỏa mãn
, khi đó
bằng
A. 7 .
B. 2 .
C. −3 .
D. −4 .
Lời giải

Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

Chọn C
x
x
Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( e + 6 ) dx = e + 6 x + C1 .

0
x
Theo đề f ( 0 ) = 2 ⇔ e + 6.0 + C1 = 2 ⇔ C1 = 1 . Suy ra f ( x ) = e + 6 x + 1 .
x
x
2
Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( e + 6 x + 1) dx = e + 3x + x + C 2 .

1
2
Theo đề F ( 1) = e ⇒ e + 3.1 + 1 + C2 = e ⇒ C2 = −4 .

x
2
0
2
Vậy F ( x ) = e + 3x + x − 4 , suy ra F ( 0 ) = e + 3.0 + 0 − 4 = −3 .

Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng 60° .
Biết rằng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua S và vng góc với cạnh bên là tam

giác tù. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.

4a 3 3
.
9

B.

4a 3 3
.
3

C.

8a 3 3
3

D.

a3 3
.
9

Lời giải
Chọn A

Page 22

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Gọi M , O, N lần lượt là trung điểm của AB, AC , CD , ta có AB ⊥ SM , CD ⊥ SN .
Qua S dựng đường thẳng ∆//AB .

 AB ⊂ ( SAB )

Vì CD ⊂ ( SCD ) nên ( SAB ) ∩ ( SCD ) = ∆ //AB //CD .
 AB //CD

∆ ⊥ SM
·
⇒ ( ( SAB ) ; ( SCD ) ) = ( SM ; SN ) = 600 ⇒ MSN
= 120° .
Ta có 
∆
⊥
SN

·
=
Tam giác SON vng tại O có tan OSN

ON
a
⇔ OS =
.
OS
3

1
1 a 3
4a 3 3
2
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .SO.S ABCD = .
.
. ( 2a ) =
3
3 3
9
Câu 43: Gọi

z1 ,

z2

( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0, b
A. P =

c
.
2a

là
2

các

nghiệm

phức

của

phương

trình

az 2 + bz + c = 0 ,

− 4ac < 0 ) . Đặt P = z1 + z2 + z1 − z2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

B. P =

c
.
a

C. P =

2

2c
.
a

D. P =

4c

.
a

Lời giải
Chọn D
−b ± i 4ac − b 2
Ta có z1 , z2 là các ngiệm phức của phương trình az 2 + bz + c = 0 nên z1,2 =
2a

Page 23


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Do đó z1 + z2 = −

b
i 4ac − b 2
và z1 − z2 =
a
a
2

2

Suy ra P = z1 + z2 + z1 − z2

2

2
4c

 −b  4ac − b
.
= ÷ +
=
2
a
a
 a 

Câu 44: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho z = 4 . Xét các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn
2

2

z1 − z2 = 2 , giá trị lớn nhất của P = z1 + 4 − 3i − z2 + 4 − 3i bằng

A. 16

B. 8 .

C. 20 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C
Ta có: z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) .

z = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 16
2

2
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 ta có: M , N ∈ ( C ) : x + y = 16

Các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn z1 − z2 = 2 ⇔

( xN − xM )

2

+ ( y N − y M ) = 2 ⇔ MN = 2 .
2

Gọi A ( −4, 3)

uuuu
r 2 uuur
2
2
P = z1 + 4 − 3i − z2 + 4 − 3i = AM 2 − AN 2 = AM − AN

(

uuur uuuu
r

uuur uuur

) ( ) = ( AO + OM ) − ( AO + ON )
2

uuur uuuu
r
uuur uuur
uuur uuuu
r uuur
= OA2 + OM 2 + 2 AO.OM − OA2 − ON 2 − 2 AO.ON = 2 AO OM − ON

(

2

2

)

uuur uuuur
uuur uuuur
= 2 AO.NM = 2.OA.MN .cos AO, NM ≤ 2.OA.MN = 2.5.2.1 = 20

(

)

Do M , N ∈ ( C ) ⇒ OM = ON = R = 4; OA = 5
uuur uuuur
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ AO , NM cùng hướng.
4
3
2
Câu 45: Cho hàm số f ( x ) = − x + ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡

)

có ba điểm cực trị là −1 , 1 và 2 .

Gọi y = g ( x ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng
A.

36
.
5

B.

2948
.
405

C.

2932
.
405

D.

16
.
15

Lời giải
Chọn B

f ( x ) = −3 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ⇒ f ′ ( x ) = −12 x 3 + 3ax 2 + 2bx + c
Theo đề ta có:

f ′ ( −1) = 0 ⇔ 3a − 2b + c = −12.
Page 24


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

f ′ ( 1) = 0 ⇔ 3a + 2b + c = 12.
f ′ ( 2 ) = 0 ⇔ 12a + 4b + c = 96.
3a − 2b + c = −12
a = 8


Giải hệ phương trình 3a + 2b + c = 12 ⇔ b = 6 .
12a + 4b + c = 96. c = −24


3
2
4
3
2
Khi đó f ′ ( x ) = −12 x + 24 x + 12 x − 24 suy ra f ( x ) = −3x + 8 x + 6 x − 24 x + d .

Lúc này ba điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) có tọa độ lần lượt là ( −1;19 + d ) , ( 1; − 13 + d ) và

( 2; − 8 + d ) .
2
Xét hàm số bậc hai y = mx + nx + q ( m, n, q ∈ ¡

)

đi qua ba điểm ( −1;19 ) , ( 1; −13) và ( 2; −8 ) .

Khi đó ta có hệ phương trình:
 m − n + q = 19
m = 7


2
2
 m + n + q = −13 ⇔  n = −16 ⇒ y = 7 x − 16 x − 4 . Suy ra g ( x ) = 7 x − 16 x − 4 + d .
 4m + 2n + q = −8  q = −4


4
3
2
2
Ta có f ( x ) − g ( x ) = −3x + 8 x − x − 8 x + 4 = − ( 3x − 2 ) ( x − 1) ( x − 2 ) .

Vậy diện tích giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) là
S=

2
3

∫ ( −3x

−1

=

4

1

2

2
3

1

+ 8 x3 − x 2 − 8 x + 4 ) dx − ∫ ( −3x 4 + 8 x 3 − x 2 − 8x + 4 ) dx + ∫ ( −3x 4 + 8 x 3 − x 2 − 8 x + 4 ) dx

2948
.
405

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Đường
thẳng đi qua A , cắt trục Oz
x + 3 y − 2 z +1
=

=
A.
. B.
−3
2
8
x + 3 y − 2 z −8
=
=
C.
. D.
3
−2
1

và song song với ( P ) có phương trình là:
x−6 y +4 z +7
=
=
.
−3
2
8
x+6 y −4 z −7
=
=
.
−3
2
8

Lời giải

Chọn B
Gọi B ( 0; 0; b ) là giao điểm của đường thẳng cần viết phương trình và trục Oz .

Page 25