Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 34 tiêu chuẩn (bản word có lời giải

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO MA TRẬN
MINH HỌA BGD NĂM 2022
ĐỀ SỐ 34

KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2022
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

(Đề có 04 trang)
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................
Câu 1:

Cho 2 số phức z1 =  2 + 5i , z2  =  −4 + 4i . Tìm mơđun của số phức z1 − z2 ?
A. 15 .

Câu 2:

B.

3.

Câu 6:

37 .

D. 17 .

C. 3 .

D. 9.

2x −1
đi qua điểm nào sau đây?
x +1
 1
B. N 1; ÷.
C. P ( 0;1) .
 2

Đồ thị của hàm số f ( x ) =

Khối cầu có thể tích
A.

Câu 5:

C.

B. 1 .

A. M ( −1; −3) .
Câu 4:

36 .

Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 2 z − 3 = 0 có bán kính bằng
A.

Câu 3:

Tiêu chuẩn

D. Q ( 2; −1) .

32π
thì có bán kính khối cầu là
3

1
.
2

B.

1
.
4

C. 2 .

D. 4 .

2022
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
là hàm số nào?

A.

∫ f ( x ) dx = 2022 x

C.

∫ f ( x ) dx = − 2023 x

1

2021

+C .

2023

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = −2022 x

D.

∫ f ( x ) dx = 2023 x

1

2021

2023

+C .

+C .

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R có bảng xét dấu f ' ( x )

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. 3.
B. 1.

C. 2.

D. 4.

6− x2

Câu 7:

1
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷
≥ 8 là
2
A. S = [ −3;3] .
B. S = ( −∞ ;3] .
C. S = [ 3; + ∞ ) .

D. S = ( −∞ ; − 3] ∪ [ 3; + ∞ ) .

Câu 8:

Cho hình chóp S . ABC có ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau với SA = 2a ,
SB = 3a , SC = 4a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng:
A. 4a 3 .
B. 24a 3 .
C. 8a 3 .
D. 6a 3 .

Câu 9:

Tập xác định của hàm số y = x 2022 là
A. ¡ .
B. ¡ \ {0} .

2021

C. (0; +∞) .

D. (2; +∞) .
Page 1


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 10: Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 4 ) = 2 là:
A. x = 4 .
B. x = 8 .
1

∫

1

f ( x )dx = 3

Câu 11: Cho 0
A. 3 .

và

∫ g ( x)dx = −2
0

1 2
− i.
5 5

. Khi đó:

∫ ( f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx
0

C. 9 .

B. 8 .

B.

D. x = 12 .

1

Câu 12: Cho số phức z = 1 − 2i , khi đó số phức
A.

C. x = 10 .

bằng
D. 5 .

1
bằng
z

1 2
+ i.
5 5

C.

1
2
−
i.
5
5

D.

1
2
+

i.
5
5

Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x − z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
uu
r
uu
r
uu
r
ur
A. n4 = ( 1;0; −1) .
B. n3 = ( 1;0;1) .
C. n2 = ( 1; −1;1) .
D. n1 = ( 1;1; −1) .

r
r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = (1; −2; −1) và v = ( −1;1; −1) . Tọa độ của vectơ
r
r
3u − 2v là
A. ( 5; −8; −1) .
B. ( 5; −8;1) .
C. ( 5;8; −1) .
D. ( −5;8;1) .
Câu 15: Cho các số phức z = −1 + 2i , w = 2 − i. Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức z + w ?

A. N .

C. Q .

B. P .

Câu 16: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 .

B. x =

D. M .

x+2
là đường thẳng
x−3

2
.
3

C. x = 3 .

D. x = −3 .

C. 2 log a + log b .

D. log a + 2 log b .

2
Câu 17: Với a , b là hai số dương tùy ý, log ( ab ) bằng

A. 2 ( log a + log b ) .

1
B. log a + log b .
2

Câu 18: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm
số nào?

Page 2


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. y = x3 − 3 x 2 + 3 .

B. y = − x 3 + 3x 2 + 1 .

C. y = x 4 − 2 x 2 + 1 .

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .

Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1;1; 0 ) và B ( 0;1; 2 ) . Vectơ nào dưới
đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
r
r
r
r
A. a = ( −1;0; −2 ) .

B. b = ( −1; 0; 2 ) .
C. c = ( 1; 2; 2 ) .
D. d = ( −1;1; 2 ) .
Câu 20: Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:
n!
n!
n!
k
k
k
A. An =
.
B. An =
.
C. Cn =
( n−k)!
( n − k ) !k !
( n − k ) !k ! .

k
D. Cn =

n!
( n −k)!.

Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có BB′ = 3a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = 2a 3 .

B. V = 6a 3 .

C. V = a 3 .

D. V =

a3
.
6

D. y′ =

1
.
4x

Câu 22: Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = log 4 x là:
A. y ′ =

ln 4
.
x

B. y′ =

1
.
x ln 4

C. y′ =

1
.
x

Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .

Câu 24: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 15 cm và đường sinh l = 25 cm . Thể tích V của
khối nón là:
3
3
3
3
A. V = 4500π ( cm ) . B. V = 2000π ( cm ) . C. V = 1500π ( cm ) . D. V = 6000π ( cm ) .
Câu 25: Cho hàm số

f ( x ) liên tục trên

[ 0;8] thỏa mãn

8

∫

0

2

8

0

6

f ( x ) dx = 2 ,

2

∫ f ( x ) dx = 3 .

Tính

6

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
Page 3


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. P = 5 .

B. P = −5 .

C. P = 5 .

D. P = −1 .

Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u16 bằng
A. 27 .
B. 29 .
C. 35 .

D. 31 .

x
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = 2 + e Khẳng định nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx = x + e + C.
C. ∫ f ( x ) dx = 2 x − e + C.
A.

x

x

∫ f ( x ) dx = 2 x + e + C.
D. ∫ f ( x ) dx = e + C.
x

B.

x

Page 4

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong ở
hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6.

B. 3.

C. 4.

Câu 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

f ( x ) = 6.
A. min
[ 2;4]

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1

f ( x ) = 7.
B. min
[ 2;4]

Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡
2x +1
A. y = 2 x3 + 2 x + 1 .

B. y =
.
x +1

D. 5.

f ( x ) = −3.
C. min
[ 2;4]

D. min f ( x ) =

C. y = y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = x 3 − 2 x + 1 .

Câu 31: Biết log a b = 2,log a c = −3 . Khi đó giá trị của biểu thức log a
A. 20.

2
B. − .
3

C. −6.

[ 2;4]

19
.
3

b3
bằng
c4
D. 18.

Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng
A. 300 .
B. 900 .
C. 600 .
D. 00 .
Câu 33: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và
bằng:
A. 5 .

B. 7 .

1

3

3

0

1

0

∫ 2. f ( x ) d x = 6, ∫ f ( x ) d x = −1, . Khi đó ∫ f ( x ) dx

C. 2 .

D. 4 .

 x = −1+ t

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(1; −2;1) và đường thẳng d :  y = 2t
.
 z = −3− 2t
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng d là
A. 10 x − 3 y + 2 z − 1 = 0. B. −10 x + 4 y − z + 13 = 0.
C. 10 x − 4 y + z − 19 = 0.
D. −10 x + 3 y − 2 z + 23 = 0.
10
Câu 35: Xét số phức z thỏa mãn ( 1 + 2i ) z =
− 2 + i. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
z

Page 5


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A.

3
< z < 2.
2

B. z > 2 .

C. z <

1
.
2

D.

1
3
< z< .
2
2

Câu 36: Cho khối lập phương ABCD.EFGH cạnh a . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
( BDHF )
A. a .

B.

a 2
.
2

C. a 2 .

D.

a
.

2

Câu 37: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,2. Người đó bắn
hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt bằng
A. 0,32 .
B. 0,16 .
C. 0, 04 .
D. 0, 4 .
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;1) , B ( 1;1;0 ) , C ( 3; 4; − 1) . Đường thẳng đi qua
A và song song BC với có phương trình là
x +1 y z +1
x −1 y z −1
x −1 y z −1
x +1 y z +1
= =
= =
= =
= =
A.
.
B.
. C.
. D.
.
2
3
−1
4
5
−1

2
3
−1
4
5
−1
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình
nguyên ?
A. 2.

B. 3.

(3

2x

1 

− 9 )  3x − ÷ 3x+1 − 1 ≤ 0 chứa bao nhiêu số
27 

C. 4.

D. 5.

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ' ( f ( x ) − 2 ) = 0 là
A. 6 .
Câu 41: Cho hàm số

B. 2 .

y = f ( x)

là nguyên hàm của
A. −5π 2 − π + 3 .

có đạo hàm là

f ( x)

C. 4.

f ′ ( x ) = cos x − 10, ∀x ∈ ¡

F ( 0) = 1
F (π )
thỏa mãn
, khi đó
bằng
2
B. −5π − π + 2 .
C. −11 .

D. 0 .
π 
= −5π . Biết F ( x )
và f  2 ÷


D. −10π − 1 .

Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SC , SD , hai mặt
phẳng ( AMN ) và ( SCD ) vng góc với nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Page 6


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

4a 3 3
A.
.
3

B. 4a

3

3.

8a 3
C.
3

4a 3 2
D.
.
3

2
2
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z − ( a − 3) z + a + a = 0 có hai nghiệm phức z1 ,

z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?
A. 2 .
B. 1 .

Câu 44: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn

2 + ( z − 1) i = 1 . Xét các số phức z1 , z2 ∈ S

thỏa mãn z1 − z2 = 2 , giá trị lớn nhất của P = ( z1 − z2
A. 2 5

D. 4 .

C. 3 .

B. 4 5 .

)( z

1

+ z2

)

C. 20 .

bằng
D. 16 .

3
2
2
Câu 45: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 1 và g ( x ) = mx + nx + 2 . Biết rằng đồ thị hai hàm số

y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là −1 ; 1 ; 3 . Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) .
A. 2 .

B.

2
.
3

C.

64
.
3

(

D. 64 .

)

(

)

Câu 46: Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy là hai hình trịn I ; 7 và J ; 7 . Biết rằng tồn tại dây

(

)

cung EF của đường tròn I ; 7 sao cho tam giác JEF là tam giác đều và mặt phẳng ( JEF )
hợp với mặt đáy của hình trụ một góc bằng 60° . Thể tích V của khối trụ đã cho là
A. V = 21π .
B. V = 7 6π .
C. V = 14π .
D. V = 28π .
Câu 47: Trong không gian

Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 = 9

và đường thẳng

x y z −1
= =
. Có bao nhiêu điểm M thuộc tia Oy , với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ
2 2

1
được đến ( S ) hai tiếp tuyến cùng vng góc với d ?
d:

A. 12 .

B. 14 .

C. 11 .

D. 10 .

Câu 48: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị (C1) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị (C2) như hình vẽ
−x
bên. Số điểm cực đại của đồ thị hàm số g ( x ) = f ( e . f ( x ) ) trên khoảng ( −∞;3) là

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Câu 49: Có tất cả bao nhiêu số b nguyên dương sao cho tồn tại đúng hai số thực a thoả mãn đẳng thức

b.2a

2

− 6 a −1

A. 1024

+ b 2 .22 a

2

−12 a −1

− 3 = 7.log 2 ( a 2 − 6a + log 2 b )
B. 1023

C. 2047

D. 2048
Page 7


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 50: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điêò kiện z1 = 2, z2 = 3, z1 + z2 = 5 . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = 3z1 − z2 − 10 + 5i + 2 bằng
A. 10 3 − 2 5 .

B. 3 5 − 1 .
C. 2 + 2 5 .
---------- HẾT ----------

D. 8 − 2 5 .

Page 8


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

1.C
11.B
21.B
31.D
41.A

2.C
12.B
22.B
32.C
42.A

3.B
13.A
23.B
33.C
43.D

4.C
14.A
24.B
34.C
44.B

BẢNG ĐÁP ÁN

5.D
6.C
7.D
15.B
16.C
17.D
25.C
26.D
27.A
35.D
36.B
37.A
45.B
46.A
47.A

8.A
18.A
28.B
38.C
48.D

9.C
19.B
29.A
39.B
49.B

10.B
20.C

30.A
40.A
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾ
Câu 1:

Cho 2 số phức z1 =  2 + 5i , z2  =  −4 + 4i . Tìm mơđun của số phức z1 − z2 ?
A. 15 .
B. 36 .
C. 37 .
D. 17 .
Lời giải
Chọn C
Ta có z1 − z2 =  2 + 5i − ( −4 + 4i ) = 6 + i ⇒ z1 − z2 = 37 .

Câu 2:

Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 2 z − 3 = 0 có bán kính bằng
A.

3.

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 9.

Chọn C
Ta có: R = (−1) 2 + (−2)2 + 12 + 3 = 3 .
Câu 3:

2x −1
đi qua điểm nào sau đây?
x +1
 1
B. N 1; ÷.
C. P ( 0;1) .
 2
Lời giải

Đồ thị của hàm số f ( x ) =
A. M ( −1; −3) .

D. Q ( 2; −1) .

Chọn B
Thế điểm M ( −1; −3) : điều kiện của hàm số x ≠ −1 nên loại.

 1  1 2.1 − 1
Thế điểm N 1; ÷: =
(đúng) nên nhận.
 2  2 1+1

2.0 − 1
(vơ lí ) nên loại.
0 +1
2.2 − 1

Thế điểm Q ( 2; −1) : −1 =
(vơ lí) nên loại.
2 +1
Thế điểm P ( 0;1) : 1 =

Câu 4:

Khối cầu có thể tích
A.

1
.
2

32π
thì có bán kính khối cầu là
3
B.

1
.
4

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Cơng thức tính thể tích khối cầu bán kính r

Page 9


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
4 3
πr
3

V =

Câu 5:

3V
⇒r =
4π
3

V=

32π
3

⇒

r=2

2022
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
là hàm số nào?

A.

∫ f ( x ) dx = 2022 x

C.

∫ f ( x ) dx = − 2023 x

2021

1

+C .

2023

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = −2022 x

D.

∫ f ( x ) dx = 2023 x

1

2021

2023

+C .
+C .

Lời giải
Chọn D

∫ f ( x ) dx = ∫ x
Câu 6:

2022

dx =

1
1
x 2022+1 + C =
x 2023 + C .
2022 + 1
2023

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R có bảng xét dấu f ' ( x )

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. 3.
B. 1.

C. 2.

Lời giải

D. 4.

Chọn C
Ta có: f ' ( x ) = 0 , f ' ( x ) không xác định tại x = −2; x = 1; x = 2, x = 3 . Nhưng có 2 giá trị

x = −2; x = 2 mà qua đó f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực
đại.
6− x2

Câu 7:

1
Tập nghiệm của bất phương trình  ÷
≥ 8 là
2
A. S = [ −3;3] .
B. S = ( −∞ ;3] .
C. S = [ 3; + ∞ ) .

D. S = ( −∞ ; − 3] ∪ [ 3; + ∞ ) .
Lời giải

Chọn D
6 − x2

1
 ÷
2

Câu 8:

≥ 8 ⇔ 2x

2

−6

≥ 2 3 ⇔ x 2 − 6 ≥ 3 ⇔ x 2 ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 ∨ x ≥ 3 .

Cho hình chóp S . ABC có ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau với SA = 2a ,
SB = 3a , SC = 4a . Thể tích khối chóp S . ABC bằng:
A. 4a 3 .
B. 24a 3 .
C. 8a 3 .
D. 6a 3 .
Lời giải
Chọn A

Page 10


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Hình chóp S . ABC có SA là đường cao với đáy là ∆SBC .
S ∆SBC =

1
1
SB.SC = 3a.4a = 6a 2 ( dvdt ) .

2
2

1
1
VS . ABC = SA.S ∆SBC = .2a.6a 2 = 4a 3 ( dvtt )
3
3

Câu 9:

2021

Tập xác định của hàm số y = x 2022 là
A. ¡ .
B. ¡ \ {0} .

C. (0; +∞) .

D. (2; +∞) .

Lời giải
Chọn C
2021

Do y = x 2022 là hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên nên ta chọn đáp án
Câu 10: Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 4 ) = 2 là:
A. x = 4 .
B. x = 8 .
C. x = 10 .

Lời giải

C.

D. x = 12 .

Chọn B
2
Ta có log 2 ( x − 4 ) = 2 ⇔ x − 4 = 2 ⇔ x − 4 = 4 ⇔ x = 8 .
1

∫ f ( x)dx = 3

Câu 11: Cho
A. 3 .

0

1

và

∫ g ( x)dx = −2
0

1

. Khi đó:

∫ ( f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx

0

C. 9 .
Lời giải

B. 8 .

bằng
D. 5 .

Chọn B
1

Ta có:

∫(
0

1

1

1

0

0

0

f ( x) − 2 g ( x) + 2 x ) dx = ∫ f ( x)dx − 2∫ g ( x)dx + ∫ 2 xdx =3 − 2.( −2) + 1 = 8 .

Câu 12: Cho số phức z = 1 − 2i , khi đó số phức
A.

1 2
− i.
5 5

B.

1 2
+ i.
5 5

1
bằng
z
C.

1
2
−
i.
5
5

D.

1

2
+
i.
5
5

Lời giải
Chọn B

Page 11


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Ta có:

1
z
1 + 2i
1 2
= 2= 2
= + i.
2
z
5 5
z
1 +( - 2)

Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x − z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
uu
r

uu
r
uu
r
ur
A. n4 = ( 1;0; −1) .
B. n3 = ( 1;0;1) .
C. n2 = ( 1; −1;1) .
D. n1 = ( 1;1; −1) .
Lời giải
Chọn A

r
Phương trình mặt phẳng ( P ) : x − z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n = ( 1;0; −1) .
r
r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = (1; −2; −1) và v = ( −1;1; −1) . Tọa độ của vectơ
r
r
3u − 2v là
A. ( 5; −8; −1) .
B. ( 5; −8;1) .
C. ( 5;8; −1) .
D. ( −5;8;1) .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
r
r r
3u = ( 3; −6; −3 ) 


r
 ⇒ 3u − 2v = ( 3 − ( −2 ) ; ( −6 ) − 2; ( −3) − ( −2 ) ) = ( 5; −8; −1) .
2v = ( −2; 2; −2 ) 

Câu 15: Cho các số phức z = −1 + 2i , w = 2 − i. Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức z + w ?

A. N .

C. Q .
Lời giải

B. P .

D. M .

Chọn B
Ta có z + w = ( −1 + 2i ) + ( 2 − i ) = 1 + i . Vậy điểm biểu diễn số phức z + w là điểm P ( 1;1) .
Câu 16: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = 1 .

B. x =

2
.
3

x+2
là đường thẳng
x−3

C. x = 3 .

D. x = −3 .

Lời giải
Chọn C

Page 12


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Có lim y = lim+
x → 3+

x→3

x+2
x+2
= +∞;lim y = lim−
= −∞ ⇒ x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x →3 x − 3
x−3
x → 3−

đã cho.
2
Câu 17: Với a , b là hai số dương tùy ý, log ( ab ) bằng

A. 2 ( log a + log b ) .

1
B. log a + log b .
2

C. 2 log a + log b .

D. log a + 2 log b .

Lời giải
Chọn D
log ( ab 2 ) = log a + log b 2 = log a + 2 log b .
Câu 18: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm
số nào?

A. y = x3 − 3 x 2 + 3 .

B. y = − x 3 + 3x 2 + 1 . C. y = x 4 − 2 x 2 + 1 .
Lời giải

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .

Chọn A
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một hàm bậc ba
y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a > 0 .
Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1;1; 0 ) và B ( 0;1; 2 ) . Vectơ nào dưới
đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
r
r
r
r

A. a = ( −1;0; −2 ) .
B. b = ( −1; 0; 2 ) .
C. c = ( 1; 2; 2 ) .
D. d = ( −1;1; 2 ) .
Lời giải
Chọn B
uuu
r
r
Ta có AB = ( −1;0; 2 ) suy ra đường thẳng AB có VTCP là b = ( −1; 0; 2 ) .
Câu 20: Cơng thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:
n!
n!
n!
k
k
k
A. An =
.
B. An =
.
C. Cn =
( n−k)!
( n − k ) !k !
( n − k ) !k ! .

k
D. Cn =

n!

( n −k)!.

Lời giải
Chọn C
k
Ta có: Cn =

n!
( n − k ) !k ! .

Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có BB′ = 3a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Page 13


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. V = 2a .
3

B. V = 6a .

C. V = a .

3

3

a3
D. V =
.

6

Lời giải
Chọn B

Tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB = BC =

S ABC =

AC
= 2a . Suy ra:
2

1
1
AB.BC = (2a ) 2 = 2a 2 .
2
2

2
3
Khi đó: VABC . A′B′C ′ = S ABC .BB′ = 2a .3a = 6a

Câu 22: Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = log 4 x là:
A. y ′ =

ln 4
.
x

B. y′ =

1
.
x ln 4

C. y′ =

1
.
x

D. y′ =

1
.
4x

Lời giải
Chọn B
Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .

Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) và đồng biến trên khoảng

( −∞; −3) và ( 1; +∞ ) . Vậy kết luận hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .
Câu 24: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 15 cm và đường sinh l = 25 cm . Thể tích V của
khối nón là:
3
3
3
3
A. V = 4500π ( cm ) . B. V = 2000π ( cm ) . C. V = 1500π ( cm ) . D. V = 6000π ( cm ) .
Lời giải
Chọn B

Page 14


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Ta có bán kính đáy r = OM = l 2 − h 2 = 252 − 152 = 20 ( cm ) . Suy ra thể tích V của khối nón

1 2
1
2
3
là: V = π r h = π .20 .15 = 2000π cm .
3
3

(

)

[ 0;8]

f ( x ) liên tục trên

Câu 25: Cho hàm số
2

8

0

6

thỏa mãn

8

2

0

6

∫ f ( x ) dx = 2 , ∫ f ( x ) dx = 3 .

Tính

P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
A. P = 5 .

C. P = 5 .
Lời giải

B. P = −5 .

D. P = −1 .

Chọn C
8

Ta có:

2

6

8

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
0

0

2

6

2

8

8

6

8

2

0

6

0

2

0

6

⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 3 = 5 .
Câu 26: Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u16 bằng
A. 27 .
B. 29 .
C. 35 .

Lời giải

D. 31 .

Chọn D
u1 + d = 3
u = 1
⇒ 1
Từ giả thiết u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình: 
.
d = 2
u1 + 3d = 7

Vậy u15 = u1 + 15d = 31 .
x
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = 2 + e Khẳng định nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx = x + e + C.
C. ∫ f ( x ) dx = 2 x − e + C.

∫ f ( x ) dx = 2 x + e + C.
D. ∫ f ( x ) dx = e + C.

x

A.

x

B.

x

x

Lời giải
Chọn A
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2 + e ) dx = 2 x + e
x

x

+ C.

Page 15


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong ở
hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6.

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Chọn B
Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f ′ ( x ) chỉ
đổi dấu 3 lần.
Vậy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.
Câu 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

f ( x ) = 6.
A. min
[ 2;4]

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1

f ( x ) = 7.
B. min
[ 2;4]

f ( x ) = −3.
C. min
[ 2;4]

D. min f ( x ) =
[ 2;4]

19
.
3

Lời giải
Chọn A
Đạo hàm f ' ( x ) =

x2 − 2 x − 3

( x − 1)

2

 x = −1∉ [ 2; 4]
.
. Cho f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 3 ∈ [ 2; 4]


 f ( 2) = 7

f ( x ) = 6.
Ta có  f ( 3) = 6 ⇒ min
[ 2;4]

 f ( 4 ) = 19
3


Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡
2x +1
A. y = 2 x3 + 2 x + 1 .

B. y =
.
x +1

C. y = y = x 4 − 2 x 2 .

D. y = x 3 − 2 x + 1 .

Lời giải
Chọn A
Hàm số y = 2 x3 + 2 x + 1 có tập xác định D = ¡
Page 16


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
y ′ = 2 x 2 + 2 > 0, ∀x ∈ ¡
Suy ra, hàm số đồng biến trên ¡ .
Câu 31: Biết log a b = 2,log a c = −3 . Khi đó giá trị của biểu thức log a
A. 20.

2
B. − .
3

b3
bằng
c4

C. −6.

D. 18.

Lời giải
Chọn D
Ta có log a

b3
= log a b3 − log a c 4 = 3log a b − 4 log a c = 3.2 − 4. ( −3 ) = 18 .
c4

Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng
A. 300 .
B. 900 .
C. 600 .
D. 00 .
Lời giải
Chọn C

Ta có A ' D / / B ' C suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' là (·AC , B ' C )
Ta thấy AC , AB ', B ' C lần lượt là đường chéo của các hình vng ABCD , AA ' B ' B ,
BB ' C ' C nên tam giác ACB ' đều. Suy ra ·ACB ' = 600 .
Vậy (·AC , B ' C ) = ·ACB ' = 600 .
Câu 33: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và
bằng:
A. 5 .

B. 7 .

1

3

3

0

1

0

∫ 2. f ( x ) d x = 6, ∫ f ( x ) d x = −1, . Khi đó ∫ f ( x ) dx
C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C

Page 17


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
1

Ta có:

∫
0

3

3

1

0

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 2 .

 x = −1+ t

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(1; −2;1) và đường thẳng d :  y = 2t
.
 z = −3− 2t
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng d là
A. 10 x − 3 y + 2 z − 1 = 0. B. −10 x + 4 y − z + 13 = 0.
C. 10 x − 4 y + z − 19 = 0.
D. −10 x + 3 y − 2 z + 23 = 0.
Lời giải
Chọn C
uur
r
Ta có BA = (1;3;2) , d có vectơ chỉ phương u = (1;2; −2) .
r uur
uur r
n
r
r
Gọi n là vectơ pháp tuyến của (P) ⇒ r ⊥ BA
r . Chọn n =  BA,u = (−10;4; −1)

n ⊥ u
Phương trình của (P): −10( x − 2) + 4( y − 1) − ( z− 3) = 0 ⇔ 10x − 4y + z − 19 = 0. .
10
Câu 35: Xét số phức z thỏa mãn ( 1 + 2i ) z =
− 2 + i. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
z
3
1
1
3
A. < z < 2 .
B. z > 2 .
C. z < .
D. < z < .
2
2
2
2
Lời giải

Chọn D
−1
Ta có z =

1
z

2

z.

Vậy ( 1 + 2i ) z =

 10 
10
⇔
z
+
2
+
2
z
−
1
i
=

÷.z
(
)
(
)
−2+i
 z2 ÷
z



 10  2 10
2

2
2
⇒ ( z + 2 ) + ( 2 z − 1) =  4 ÷. z = 2 . Đặt z = a > 0.
 z ÷
z


a2 = 1
2
2
 10 
4
2
⇒ ( a + 2 ) + ( 2a − 1) =  2 ÷ ⇔ a + a − 2 = 0 ⇔  2
⇒ a = 1⇒ z = 1.
a 
 a = −2
Câu 36: Cho khối lập phương ABCD.EFGH cạnh a . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
( BDHF )
A. a .

B.

a 2
.
2

C. a 2 .

D.

a
.
2

Lời giải
Chọn B

Page 18


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

CI ⊥ BD
⇒ CI ⊥ ( BDHF )
Goi I là tâm của hình vng ABCD . Ta có: 
CI ⊥ BF

Vậy d ( C , ( BDHF ) ) = CI =

AC a 2
.
=
2
2

Câu 37: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,2. Người đó bắn
hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt bằng
A. 0,32 .
B. 0,16 .

C. 0, 04 .
D. 0, 4 .
Lời giải
Chọn A
Gọi biến cố Ai “bắn trúng mục tiêu tại lần thứ i, i = 1;2”. Khi đó biến cố Ai là: “bắn trượt mục
tiêu tại lần thứ i”. Biến cố A1 , A2 độc lập nên biến cố “có một viên trúng và một viên trượt” là

A1. A2 ∪ A1. A2

( )

( )

Ta có p ( A1 ) = p ( A2 ) = 0, 2 , p A1 = p A2 = 1 − 0, 2 = 0,8 .
Các biến cố A1. A2 ; A1. A2 xung khắc nên xác xuất cần tìm là:

(

)

(

)

( )

( )

p A1. A2 + p A1. A2 = p ( A1 ) . p A2 + p A1 . p ( A2 ) = 0, 2.0,8 + 0,8.0, 2 = 0,32 .
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;1) , B ( 1;1;0 ) , C ( 3; 4; − 1) . Đường thẳng đi qua

A và song song BC với có phương trình là
x +1 y z +1
x −1 y z −1
x −1 y z −1
x +1 y z +1
= =
= =
= =
= =
A.
.
B.
. C.
. D.
.
2
3
−1
4
5
−1
2
3
−1
4
5
−1
Lời giải
Chọn C
uuur

Ta có BC = ( 2;3; − 1) .

Page 19


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
uuur
Đường thẳng đi qua A ( 1;0;1) và song song BC nhận BC = ( 2;3; − 1) làm VTCP có phương
trình là:

x −1 y z −1
= =
.
2
3
−1

Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình
nguyên ?
A. 2.

(3

2x

B. 3.

1 

− 9 )  3x − ÷ 3x+1 − 1 ≤ 0 chứa bao nhiêu số

27 

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Chọn B
Điều kiện 3x +1 − 1 ≥ 0 ⇔ 3x +1 ≥ 1 ⇔ x ≥ −1 .
Ta có x = −1 là một nghiệm của bất phương trình.
2x
x
Với x > −1 , bất phương trình tương đương với (3 − 9)(3 −

1
) ≤ 0.
27

t ≤ −3
1
1
Đặt t = 3x > 0 , ta có (t − 9)(t − ) ≤ 0 ⇔ (t − 3)(t + 3)(t − ) ≤ 0 ⇔  1
. Kết
 ≤t ≤3
27
27
 27
2

hợp điều kiện t = 3x > 0 ta được nghiệm

1
1
≤t ≤3 ⇔
≤ 3x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 . Kết hợp
27
27

điều kiện x > −1 ta được −1 < x ≤ 1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm
ngun.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm ngun.
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ' ( f ( x ) − 2 ) = 0 là
A. 6 .

B. 2 .

C. 4.
Lời giải

D. 0 .

Page 20


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Chọn A
 f ( x ) − 2 = −1  f ( x ) = 1 ( 1)



Ta có: f ' ( f ( x ) − 2 ) = 0 ⇒  f ( x ) − 2 = 0 ⇔  f ( x ) = 2 ( 2 ) .
 f x − 2 =1
f x =3 3
( )
 ( )
 ( )

Từ giao điểm của các đồ thị ta thấy, các phương trình ( 1) , ( 2 ) , ( 3) đều có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình f ' ( f ( x ) − 2 ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

là nguyên hàm của
A. −5π 2 − π + 3 .

có đạo hàm là

f ( x)

f ′ ( x ) = cos x − 10, ∀x ∈ ¡

F ( 0) = 1
F (π )
thỏa mãn
, khi đó
bằng
2
B. −5π − π + 2 .

C. −11 .
Lời giải

π 
= −5π . Biết F ( x )
và f  2 ÷


D. −10π − 1 .

Chọn A
Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( cos x − 10 ) dx = sin x − 10 x + C1 .

π
π
π 
Theo đề f  ÷ = −5π ⇔ sin − 10. + C1 = −5π ⇔ C1 = −1 . Suy ra f ( x ) = sin x − 10 x − 1 .
2
2
2
2
Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x − 10 x − 1) dx = − cos x − 5x − x + C2 .
2
Theo đề F ( 0 ) = 1 ⇒ − cos 0 − 5.0 − 0 + C2 = 1 ⇒ C2 = 2 .

2
2
2
Vậy F ( x ) = − cos x − 5 x − x + 2 , suy ra F ( π ) = − cos π − 5π − π + 2 = −5π − π + 3 .

Câu 42: Cho khối chóp đều S . ABCD có AB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SC , SD , hai mặt
phẳng ( AMN ) và ( SCD ) vng góc với nhau. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.

4a 3 3
.
3

B. 4a 3 3 .

C.

8a 3
3

D.

4a 3 2
.
3
Page 21


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn A

Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN , ta có S , R, Q thẳng hàng.
Ta có ( AMN ) ∩ ( SCD ) = MN , PR ⊂ ( AMN ) , PR ⊥ MN nên PR ⊥ ( SCD ) ⇒ PR ⊥ SQ .
Tam giác PSQ có PR vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên ∆PSQ cân tại S .

Ta được SP = PQ = 2a ; SO = SP 2 − OP 2 = a 3 .

1
3

1
3

Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = .SO.S ABCD = .a 3. ( 2a ) =
2

4a 3 3
.
3

2
2
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z − ( a − 3) z + a + a = 0 có hai nghiệm phức z1 ,

z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?

A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn D
Trường hợp 1: Hai nghiệm là hai số phức z1 và z2 có phần ảo khác khơng
Để phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức có phần ảo khác khơng khi
∆ = ( a − 3) − 4 ( a 2 + a ) < 0 ⇔ −3a 2 − 10a + 9 < 0
2



−2 13 − 5   2 13 − 5
⇔ a ∈  −∞;
∪
;
+∞
÷

÷
÷ 
÷.
3
3

 


Page 22


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

( a − 3) − i −3a 2 − 10a + 9 ;

Giả sử z = −b − i ∆ =
1
2
2
z2 =

−b + i ∆
2

=

( a − 3) + i

−3a 2 − 10a + 9
2

Ta có z1 + z2 = z1 − z2 ⇔ a − 3 =

−3a 2 − 10a + 9

 a = −9
⇔ ( a − 3) = −3a − 10a + 9 ⇔  a = ±1 so với điều kiện ta nhận được a = −9 ; a = 1 .
 a = 0
2

2

Trường hợp 2: Hai nghiệm là hai số thực z1 và z2 .

a = 0

z1 + z2 = z1 − z2 ⇔ S 2 = S 2 − 4 P ⇔ P = 0 ⇔ 
. Thử lại thỏa mãn.
 a = −1
Vậy có bốn giá trị thỏa mãn.
Câu 44: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn

2 + ( z − 1) i = 1 . Xét các số phức z1 , z2 ∈ S

thỏa mãn z1 − z2 = 2 , giá trị lớn nhất của P = ( z1 − z2
A. 2 5

)( z

1

+ z2

)

bằng

C. 20 .
Lời giải

B. 4 5 .

D. 16 .

Chọn B
Ta có: z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) .

2 + ( z − 1) i = 1 ⇔

(

⇔ ( x − 1) + y − 2
2

2 + zi − i = 1 ⇔

)

2

2 + xi − y − i = 1 ⇔

(

)

2 − y + ( x − 1) i = 1

=1

(

2
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 ta có: M , N ∈ ( C ) : ( x − 1) + y − 2

Các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn z1 − z2 = 2 ⇔

(

Gọi I 1; 2

( xN − xM )

2

)

2

=1

+ ( y N − yM ) = 2 ⇔ MN = 2 .
2

)

uuuu
r 2 uuur
2
2
2
2
+
z
=
z

−
z
=
OM
−
ON
=
OM
− ON
)
1
2
1
2
uur uuur
uuur uuur
uur uuuu
r uuur
= OI 2 + IM 2 + 2OI .IM − OI 2 − IN 2 − 2 AO.ON = 2OI OM − ON
P = ( z1 − z2

(
(

)( z

uur uuur

uur uur

) ( ) = ( OI + IM ) − ( OI + IN )
)
2

2

2

uur uuuur
uur uuuur
= 2OI .NM = 2.OI .MN .cos OI , NM ≤ 2.OI .MN = 2. 5.2.1 = 4 5

(

)

Do M , N ∈ ( C ) ⇒ OM = ON = R = 1; OI = 5
Page 23


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
uuur uuuur
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ AO , NM cùng hướng.
3
2
2
Câu 45: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 1 và g ( x ) = mx + nx + 2 . Biết rằng đồ thị hai hàm số

y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là −1 ; 1 ; 3 . Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) .

A. 2 .

B.

2
.
3

C.

64
.
3

D. 64 .

Lời giải
Chọn B
3
2
Ta có f ( x ) − g ( x ) = ax + ( b − m ) x + ( c − n ) x − 1 là đa thức có bậc khơng vượt quá 3 .
Từ giả thiết ta suy ra f ( x ) − g ( x ) = a ( x + 1) ( x − 1) ( x − 3) .
1
Do đó, −1 = f ( 0 ) − g ( 0 ) = a ( 0 + 1) ( 0 − 1) ( 0 − 3 ) ⇔ a = − .
3
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) là
3

S=

∫

1

−

−1

=

1
3

1

∫

3

1
1
1
( x + 1) ( x − 1) ( x − 3) dx = ∫ x 3 − 3x 2 − x + 3 dx + ∫ x 3 − 3x 2 − x + 3 dx
3
3 −1
31

x 3 − 3x 2 − x + 3 dx +

−1

1
3

3

∫x

3

− 3x 2 − x + 3 dx

1

1

3



1  x4
x2
1  x4
x2
4 4 2
=  − x 3 − + 3 x ÷ +  − x 3 − + 3x ÷ = + = .
3 4
2
2
 −1 3  4

1 3 3 3
Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng

(

)

(

2
.
3

)

Câu 46: Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy là hai hình trịn I ; 7 và J ; 7 . Biết rằng tồn tại dây

(

)

cung EF của đường tròn I ; 7 sao cho tam giác JEF là tam giác đều và mặt phẳng ( JEF )
hợp với mặt đáy của hình trụ một góc bằng 60° . Thể tích V của khối trụ đã cho là
A. V = 21π .
B. V = 7 6π .
C. V = 14π .
D. V = 28π .
Lời giải
Chọn A

Ta có IJ ⊥ ( IEF ) .

Page 24


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

·
Gị M là trung điểm của EF thì OM ⊥ EF , JM ⊥ EF ⇒ JMI
= 60° .
Giả sử IM = x .
· I = x.tan 60° = x 3 .
Khi đó 0 < x < 7 và IJ = x.tan JM
Xét ∆IME , ta có: EM 2 = R 2 − x 2 = 7 − x 2 ⇒ EM = 7 − x 2 .

( 1) .

V ∆JEF đều nên JE = EF = 2 EM = 2 7 − x 2

( 2) .

2
2
2
2
2
2
Mặt khác, ∆IJE vuông tại I nên JE = IJ + IE = 3 x + R = 3 x + 7
2
2

2
Từ ( 1) , ( 2 ) ⇒ 4 ( 7 − x ) = 3 x + 7 ⇔ x = 3 ⇔ x = 3 .

⇒ h = IJ = x 3 = 3 .
Vậy thể tích khối trụ là V = π R 2 h = π .
Câu 47: Trong không gian

( 7)

2

.3 = 21π .

Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)2 + y 2 + z 2 = 9

và đường thẳng

x y z −1
= =
. Có bao nhiêu điểm M thuộc tia Oy , với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ
2 2
1
được đến ( S ) hai tiếp tuyến cùng vng góc với d ?
d:

A. 12 .

B. 14 .

C. 11 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn A
Mặt cầu ( S ) có I ( 1;0;0 ) , bán kính R = 3 .
Vì M ∈ Oy nên M ( 0; m;0 )
Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M và vng góc với đường thẳng d ⇒ phương trình mặt phẳng

( P)

là 2 x + 2 y + z − m = 0 .

Khi đó ( P ) chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ M và cùng vng góc với d
Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là
 2−m
 −7 < m < −2 2
d ( I , ( P ) ) < R
<3

 2 − m < 9
⇔ 3
⇔
⇔

 2 2 < m < 11
 m 2 + 1 > 3 m > 2 2; m < −2 2
 IM > R


Vì m nguyên dương nên m ∈ { −6; −5; −4; −3;3; 4;5;6;7;8;9;10 } .
Vậy có 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Câu 48: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị (C1) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị (C2) như hình vẽ
−x
bên. Số điểm cực đại của đồ thị hàm số g ( x ) = f ( e . f ( x ) ) trên khoảng ( −∞;3) là

Page 25