Phiếu học tập tuần toán 7

157
Website:tailieumontoan.com

Chuyên đề 1
BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ
Các bài toán trong chuyên đề này bao gồm các nội dung:
• Các phép tính về đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Rút gọn phân thức đại số. Các phép tính về phân thức. Giá trị của phân
thức.
• Các phép tính về căn bậc hai, căn bậc ba.
Trong các biến đổi đồng nhất biểu thức đại số, các hằng đẳng thức có một vai
trị quan trọng. Ngoài các hằng đẳng đáng nhớ trong Sách giáo khoa, cần biết
thêm các hằng đẳng thức sau:
1) Bình phương của một đa thức:

( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
2) Lập phương của một tổng ba số, tổng các lập phương của ba số:

( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
a 3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )
3) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm của một nhị thức:

( a + b ) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4
( a + b ) 5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a 2b3 + 5ab4 + b5
4) Với số nguyên dương n, ta có:

(

a n − bn = ( a − b ) a n −1 + a n − 2 b + a n −3b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1
5) Với só lẻ n, ta có:

(

a n + bn = ( a + b ) a n −1 − a n − 2 b + a n −3b 2 − ... − ab n − 2 + b n −1

)
)

Bài toán thực tế
TỈ LỆ KHI PHA TRỘN
Tú được giao một nhiệm vụ như sau: Pha một lượng dung dịch có nồng độ 5%
muối với một lượng dung dịch có nồng độ 30% muối để được hỗn hợp có nồng
độ 20% muối.
Tú cần pha hai dung dịch trên với tỉ lệ nào? Bạn hãy giúp Túc giải quyết bài
tốn.
Giải:
Gọi lượng dung dịch có nồng độ muối 5% và 30% theo thứ tự là x và y (gam) (x,
y > 0)
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

Ta có:

5
30

20
x+
y=
( x + y)
100
100
100

⇔ 5x + 30y = 20 ( x + y ) ⇔ ( 30 − 20 ) y = ( 20 − 5 ) x ⇔

x 10 2
= =
y 15 3
2
3

Tỉ lệ khối lượng các dung dịch có nồng độ a% và b% cần pha với nhau là
Trong thực hành, ta thường viết theo sơ đồ sau:
Tổng quát, tỉ lệ khối lượng các dung dịch có nồng độ a% và b% cần pha với
c−b
( c ≠ a, c ≠ b )
c−a
nhau để được hỗn hợp có nồng độ c% là
I. ĐA THỨC

x+y=a+b

Ví dụ 1. Cho

(1)

x 3 + y3 = a 3 + b3

Chứng minh rằng
Giải:

(2)

x 2 + y2 = a 2 + b2

( x + y ) 2 = ( a + b ) 2 ⇒ x 2 + y 2 + 2xy = a 2 + b2 + 2ab

Từ (1) suy ra
Ta có hằng đẳng thức

(3)

( x + y ) 3 = x 3 + y3 + 3xy ( x + y )
( a + b ) 3 = a 3 + b3 + 3ab ( a + b )
Kết hợp (1) với (2) suy ra 3xy = 3ab hay xy = ab
2

2

2

(4)

2

x +y =a +b
Từ (3) và (4) suy ra
Ví dụ 2. Phân tích thành nhân tử:
a)
b)

x 4 + 4x 2 + 16

( a + b + c ) 3 − ( a 3 + b3 + c3 )

Giải

(

x 4 + 4x 2 + 16 = x 4 + 8x 2 + 16 − 4x 2 = x 2 + 4
a)
b) Cách 1.

Áp dụng nhiều lần công thức

)

2

(

2

( x + y ) 3 = x 3 + y3 + 3xy ( x + y )

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

)(

− ( 2x ) = x 2 + 4 + 2x x 2 + 4 − 2x

)

ta có:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

( a + b + c ) 3 − ( a 3 + b3 + c3 ) = ( a + b ) + c 

3

− a 3 − b3 − c3

= ( a + b ) + c3 + 3c ( a + b ) ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c3
3

= a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) + c3 + 3c ( a + b ) ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c3

(

= 3 ( a + b ) ab + ac + bc + c 2

)

= 3 ( a + b )  a ( b + c ) + c ( b + c )  = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
Cách 2. Phương pháp xét giá trị riêng

(

A = ( a + b + c ) − a 3 + b 3 + c3
3

Đặt
Với

a+b=0

thì

a 3 + b3 = 0

A = c 3 − c3 = 0

, suy ra A chứa nhân tử a + b. Do
( a + b) ( b + c) ( c + a )
vai trị bình đẳng của a, b, c nên A chứa nhân tử
A = k ( a + b) ( b + c) ( c + a )
Do mọi hạng tử của A đều có bậc 3 nên
với k là hằng
số.
Ta có với mọi a, b, c:

nên

)

( a + b + c ) 3 − ( a 3 + b3 + c3 ) = k ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

(1)

23 − 2 = k.2.1.1 ⇒ k = 3

Thay a = b = 1 và c = 0 vào (1) được
A = 3( a + b) ( b + c) ( c + a )
Vậy
Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị
A = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a )
5

5

5

riêng:
Giải
Thay a bởi b thì A = 0 nên A chứa nhân tử a – b
a →b→c→a
Do A khơng đổi khi hốn vị vòng quanh
nên A chứa nhân tử
( a − b) ( b − c) ( c − a )
và có dạng

A = B( a − b) ( b − c) ( c − a )
(1)
Do mọi hạng tử của A đều có bậc 5 nên mọi hạng tử của B đều có bậc 2, do đó
B có dạng:

(

)

B = m a 2 + b 2 + c2 + n ( ab + bc + ca )
(2)

Từ (1) và (2) ta có với mọi a, b, c :

( a − b ) 5 + ( b − c ) 5 + ( c − a ) 5 = ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) m ( a 2 + b 2 + c 2 ) + n ( ab + bc + ca ) 

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

(3)

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Thay

a = 0; b = 1; c = 2

vào (3) được

−1 − 1 + 32 = ( −1) ( −1) .2. ( 2m − n )

(4)
Thay

a = −1; b = 0; c = 1

vào (3) được

hay

−1 − 1 + 32 = ( −1) ( −1) .2. ( 2m − n )

15 = 2m + n

hay

15 = 2m − n

(5)

Từ (4) và (5) suy ra
Thay

m = 5, n = −5

5m + 2n = 15 m = 5
⇔


2m − n = 15
n = −5

(

A = 5 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
vào (3) được

)

II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A=
Ví dụ 4. Rút gọn phân thức
Giải.

Xét

a 2 − bc
b2 − ac
c 2 − ab
+
+
( a + b) ( a + c) ( b + a ) ( b + c) ( c + a ) ( c + b)

a 2 − bc
a 2 + ac − ac − bc a ( a + c ) − c ( a + b )
a
c
=

=
=
−
a+b a+c
( a + b) ( a + c) ( a + b) ( a + c)
( a + b) ( a + c)

Tương tự,

A=
Do đó

b 2 − ac
b
c
c2 − ab
c
b
=
−
,
=
−
( b + a ) ( b + c) b + a b + c ( c + a ) ( c + b) c + a c + b
a
c
b
c
c
b

a+b b+c
−
+
−
+
−
=
−
= 1−1 = 0
a+b a +c b+a b+c c+a c+b a +b b+c

Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số hữu tỉ
bình phương của một số hữu tỉ.
Giải

(

)

1 1 1
, ,
x y x−y

là

x 2 + y2 ( x − y ) + x 2y2
1
1
1
x 2 + y2

1
A= 2 + 2 +
=
+
=
2
x
y
x 2y 2 ( x − y )
( x − y ) 2 x 2 y2 ( x − y ) 2
2

Cách 1.
Ta sẽ chứng minh tử là bình phương của một số hữu tỉ.
2
2
B = ( x − y ) ( x − y ) + 2xy  + x 2 y 2


Đặt tử bằng B ta có:
4
2
2
= ( x − y ) + 2xy ( x − y ) + x 2 y 2 = ( x − y ) + xy 



Vậy

 ( x − y ) 2 + xy 


A=
 xy ( x − y ) 

2

2

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Cách 2. Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 0 thì
2

1
1
1 1 1 1
+ 2 + 2 = + + ÷
2
a
b
c
a b c

2

Thật vậy, ta có
=

1
a

2

+

1
b

2

+

1
c

2

1
1
1
2 2 2
1 1 1
 + + ÷ = 2+ 2+ 2+ + +
ab ac bc
a

b
c
a b c
+

2( c + b + a )
1
1
1
= 2+ 2+ 2
abc
a
b
c

A=

1
1
1
1
1
1
+ 2+
= 2+
+
2
2
2
x

y
( x − y ) x ( −y ) ( y − x ) 2

Trở lại bài toán, ta viết A dưới dạng
a = x, b = −y,c = y − x
Áp dụng bổ đề trên với
thì a + b + c = 0 nên
2

2

1 1
1  1 1
1 
A= +
+
÷ = − −
÷
 x −y y − x   x y x − y 

Ví dụ 6. Cho các số a, b, c khác 0 và khác nhau đôi một thỏa mãn
1
1
1
a+ =b+ =c+ =k
b
c
a
k = −1
. Chứng minh rằng k = 1 hoặc

Giải.
1
1 bk − 1
a+ =k
a=k− =
b
b
b
Từ
suy ra
1
1
b+ =k
c=
c
k−b
Từ
suy ra
1
1
b
c+ = k
+
=k
a
k − b bk − 1
Kết hợp với
được
⇒ bk − 1 + bk − b 2 = k ( k − b ) ( bk − 1)

⇒ bk − 1 + bk − b 2 = bk3 − k 2 − b2 k 2 + bk

(

⇒ −1 + bk − b 2 = k 2 bk − 1 − b2

(

)(

)

)

⇒ k 2 − 1 bk − 1 − b 2 = 0

Nếu

bk − 1 − b 2 = 0

Kết hợp với

thì
1
k =b+
c

k=

b2 + 1

1
=b+
b
b

suy ra b = c, trái với giả thiết

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

b≠c
TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

k2 −1 = 0

Vậy
Lưu ý

k = ±1

, tức là

a = 2, b = −1, c =
k = 1 khi, chẳng hạn,

k = −1

1
2

a = −2, b = 1, c = −
khi, chẳng hạn,

1
2
n+4
n2 + 7

n ≤ 1000
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số nguyên dương
sao phân số
là phân số
tối giản?
Giải
n+4
23
n2 + 7
n 2 − 16 + 23
⇔
⇔
⇔
2
n+4
n+4
n+4
n +7
tối giản

tối giản
tối giản
tối giản.
23
1
≤
n
≤
1000
(
)
n+4
Trước hết ta tìm xem có bao nhiêu giá trị của n
để phân số
không tối giản.
23
989 − 23
+ 1 = 43
⇔
n
+
4
∈
23;
46;
69;
...;
989
{
}

n+4
23
khơng tối giản
, tập hợp gồm
(số)
n+4

n2 + 7

Vậy có 1000 – 43 = 957 (số) làm cho
là phân số tối giản.
 4 1  4 1   4 1   4 1 
1 + ÷ 3 + ÷ 5 + ÷... 15 + ÷
4 
4 
4 
4
A= 
.
 4 1  4 1  4 1   4 1 
 2 + ÷ 4 + ÷ 6 + ÷... 16 + ÷
4 
4 
4 
4

Ví dụ 8. Tính giá trị của biểu thức:
Giải
Nhân biểu thức trong mỗi dấu ngoặc với 4 ta được

4.14 + 1) ( 4.34 + 1) ( 4.54 + 1) ... ( 4.154 + 1)
(
A=
.
4
4
4
4
4.2
+
1
4.4
+
1
4.6
+
1
...
4.16
+
1
(
)(
)(
) (
)

Ta

có

(

)

4n 4 + 1 = 2n 2 + 1

Nên
III.

2

(

)(

)

2
2
2
− ( 2n ) = 2n 2 + 1 − 2n 2n 2 + 1 + 2n = ( n − 1) + n 2  n 2 + ( n + 1) 




02 + 12 ) ( 12 + 22 ) ( 23 + 32 ) ( 32 + 42 )
142 + 152 ) ( 152 + 162 )
(
(

02 + 12
1
A=
.
......
= 2
=
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
545
16
+
17
1
+
2
2
+

3
3
+
4
4
+
5
15
+
16
16
+
17
(
)(
)(
)(
) (
)(
)
CĂN THỨC

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
A = a2 + 1 + 2

Ví dụ 9. Rút gọn biểu thức với a > 0:
Giải
2
Đặt

(

a2 +1 − a

)(

)

(

a2 +1 − a

)(

)

a2 +1 −1 .

a 2 + 1 − 1 = B2
thì

(

)

(

)

2

B2 = 2  a 2 + 1 − ( a + 1) a 2 + 1 + a  = a 2 + 1 + 2a − 2 ( a + 1) a 2 + 1 + a 2 + 1 = a + 1 − a 2 + 1 .



Do a > 0 nên

B = a + 1 − a 2 + 1.

(

)

A = a 2 + 1 + a + 1 − a 2 + 1 = a + 1.
Vậy

Ví dụ 10. Tìm các số hữu tỉ a và b sao cho
trình
Giải
Thay

1+ 3

là nghiệm của phương

x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0.

(1+ 3)

1+ 3

3

(

+ a 1+ 3

)

2

vào phương trình, ta được:
( 2a + b + 6 ) 3 + ( 4a + b + 11) = 0.
( 1)
Rút gọn ta được
 2a + b + 6 = 0
a = −2,5
⇔

 b = −1.
4a + b + 11 = 0
Vì (1) phải đúng với mọi a và b nên

(

)

(

)

( 1)

a a 2 − 3b 2 = 9
Ví dụ 11. Cho

(

+ b 1 + 3 + 1 = 0.

)

( 2)

b b 2 − 3a 2 = 13.
a 2 + b2 .

Tìm giá trị của biểu thức
Giải

(

)

(

)

a 2 a 4 − 6a 2 b 2 + 9b 4 = 81.
Từ (1) suy ra

b 2 b 4 − 6a 2 b 2 + 9b 4 = 169.
Từ (2) suy ra
Cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được

(

a 6 + 3a 4 b 2 + 3a 2 b 4 + b6 = 250 ⇒ a 2 + b 2

)

3

= 250 ⇒ a 2 + b 2 = 3 250 = 5 3 2.

Ví dụ 12. a) Lập một phương trình bậc ba với hệ số nguyên, có nghiệm là
3

1+ 2 + 3 1− 2.

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC

157
Website:tailieumontoan.com
b) Đặt

( m3 + 3m − 1)

100

m = 31+ 2 + 31− 2.

Tính giá trị của biểu thức

.

Giải
Gọi
3

Đặt

m = 31+ 2 + 31− 2.

1+ 2 = a
ab =

3

3

và

1+ 2 = b

thì

( 1 + 2 ) ( 1 − 2 ) = −1.

Từ hằng đẳng thức

( 1)

a 3 + b3 = 2

( 2)

( a + b ) 3 = a 3 + b3 + 3ab ( a + b )

ta có

m3 = 2 − 3m

nên

m3 + 3m − 2 = 0.
Phương trình lập được là
b) Từ câu a suy ra
Do đó

( m3 + 3m − 1)

x 3 + 3x − 2 = 0.

m3 + 3m − 2 = 0

100

m3 + 3m − 1 = 1.

nên

= 1.

BÀI TẬP
Đa thức
1. Chứng minh hằng đẳng thức
2. Cho a + b +c = 0 và

(a

2

− c2

a 2 + b 2 + c 2 = 14.

)(b

2

2

Tính
n = 99....9
123

3. Tính tổng các chữ số của n , biết n =
4. Phân tích thành nhân tử:

)

2

a 4 + b 4 + c4 .

50 chu so

2

(

)

− d 2 = ( ab − cd ) − ( ad − bc ) .

(

)

(

)

a) x 8 + x + 1;

b) a 3 b 2 − c 2 + b3 c 2 − a 2 + c3 a 2 − b 2 ;

c) ( x + y ) − x 5 − y5 ;

d) ( a + b ) − a 7 − b7 .

5

7

6. Phân tích thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng:

( a + b + c ) 5 − a 5 − b 5 − c5 .
7. Cho (ad + bc)(ac + bd) = cd và a + b = 1. Chứng minh rằng a = 0, hoặc b =
0 hoặc c = d
x 2 − yz = a; y 2 − xz = b; z 2 − xy = c.

8. Cho
ax + by + cz = ( a + b + c ) ( x + y + z ) .

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

. Chứng minh rằng

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

157
Website:tailieumontoan.com
9. Tìm bốn số khơng âm sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng ba số cịn
lại.
Phân thức đại số
10. Chứng minh đẳng thức:
b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
.
( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) a − b b − c c − a
11. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu
thức:
1
1
1
A= 2
+
+
.

a + b2 − c2 b 2 + c2 − a 2 c2 + a 2 − b2
12. Cho ax + by = c; bx + xz = a; cz + ax = b và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị
biểu thức:
1
1
1
+
+
.
x +1 y +1 z +1

b2 c2 a 2
+
+
=
+
+ .
a
b c2
b2 c2 a 2
a

b

c

13. Cho abc = 1 và
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng bình phương của một
trong hai số cịn lại.
14. Tính giá trị của biểu thức:

1 
1
1
1


 

A = 1 −
÷ 1 −
÷1 −
÷...  1 −
÷;
 1 + 2  1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + 4   1 + 2 + ... + 100 
a)
99   1 2
98   1 2
99   2 3
98 
2 3
B =  + + ... +
÷ + + ... + ÷−  + + ... +
÷ + + ... + ÷;
100   2 3
99   2 3
100   3 4
99 
3 4
b)
4 

4 
4  
4 

C =  1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷...  1 − 2 ÷;
 3   5   7   99 
c)

D=

33 + 12
22 − 12

d)
Căn thức

+

53 + 23
33 − 23

+

73 + 33
43 − 33

+ ... +

413 + 203
213 − 203

.

15. Cho m ≥ 0. Tính x và y theo m, biết rằng:

16. Cho dãy số
a100.

a1 , a 2 ,...,a n

x + y − m = x + y − m.

a1 = 2 − 1, a n +1 =
thỏa mãn

an −1
an +1

với n = 1, 2, 3…Tính

17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Rút gọn biểu thức

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
A=a

( b2 + 1) ( c2 + 1) + b ( c2 + 1) ( a 2 + 1) + c ( a 2 + 1) ( b2 + 1) .

18. Cho
nghiệm.

a2 + 1

b2 + 1

m= 2+33

c2 + 1

. Lập phưng trình bậc 6 với hệ số nguyên, nhận m làm một

Chuyên đề 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
Chuyên đề này đi sâu vào hai loại phương trình gần gũi với chúng ta là
phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai, bao gồm:
Phưng trình bậc nhất một ẩn, trong đó có các phương trình đưa được về
phương trình bậc nhất một ẩn như phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phương
trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình bậc hai một ẩn, điều kiện để phương trình có nghiệm, hệ
thức Vi-ét.
Quan hệ giữa đường thẳng và parabol thể hiện quan hệ giữa hàm số bậc
nhất và hàm số bậc hai.
Bài tốn cổ
BƠNG SEN TRÊN HỒ

Bài toán của Bát –xca-ra (Bhaskara), nhà toán học Ấn Độ (1114 – khoảng 1178)
Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước
Bơng sen trịn nửa thước nhơ lên.
Bổng đâu gió thổi sang bên
Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ
Cành cành cũ được vừa hai thước
(Cứ sát theo mặt nước mà đo).
Nhờ ai thạo tính giúp cho
Hồ sâu mấy thước, lí do thế nào?
Giải (h.1)

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Gọi độ sâu của hồ là BC = x (thước), phần cây sen nhỏ lên mặt hồ là AB =
0, 5 thước.
Khi bơng sen dạt xuống đến vị trí D, ta có CD = AC = x + 0,5 (thước).
Ta giác CBD vuông tại B nên BC2 + BD2 = CD2.
Do đó x2 + 22 = (x + 0,5)2.
Giải phương trình trên, ta được x = 3,75.
Hồ nước sâu 3,75 thước.
I.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Cần chú ý đến các dạng phương trình đưa được về phương trình bậc
nhất một ẩn.
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Ở dạng này, giá trị tìm được của ẩn phải thỏa mãn điều kiện cho mẫu
thức khác 0 (điều kiện của phương trình).
Ví dụ 13. Giải phương trình (a, b là tham số):

(

)

a x2 +1
ax − 1
b
+
=
.
x −1 x +1
x2 −1
Giải
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là

( 1)
x ≠ ±1.

( 1) ⇔ ( ax − 1) ( x + 1) + b ( x − 1) = a ( x 2 + 1)

Với điều kiện đó thì
⇔ ( a + b − 1) x = a + b + 1.

x=

( 2)

a + b +1
a + b −1

Nếu a + b ≠ 1 thì
. Giá trị này là nghiệm nếu
a +b =1
0x = 2
Nếu
thì trở thành
, vơ nghiệm.

 a + b +1
 a + b − 1 ≠ 1
⇔ a + b ≠ 0.

 a + b + 1 ≠ −1
 a + b − 1

Kết luận:

Với

a +b ≠1

và

a+b ≠ 0

x=

, phương trình có nghiệm

a + b +1
a + b −1

Cịn lại vơ nghiệm.
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ở dạng này, ta thường khử dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa

A
A =
− A

A≥0
A<0
x + 1 + 3 x = −5

Ví dụ 14: Một học sinh giải phương trình
Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

(1) như sau:
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

3


x=−
 x + 1 = −3 x − 5  4 x = −6

(1) ⇔ x + 1 = −3 x − 5 ⇔ 
⇔
⇔
2

 x + 1 = 3x + 5
 −2 x = 4
 x = −2
Cách giải trên có đúng khơng?
Giải:
x=−

Giá trị

3
2

khơng thỏa mãn (1) nên loại.

Cách giải đúng như sau:
Cách 1. Với điều kiện

−3 x − 5 ≥ 0

(2) thì

 x + 1 = −3x − 5

x + 1 = −3 x − 5 ⇔ 
 x + 1 = 3x + 5
x=−

Giải như trên, loại

Cách 2. Xét
Xét

x < −1

Kết luận:

Lưu ý:

x ≥ −1

thì

3
2

vì trái với (2), chọn

(1) ⇔ x + 1 + 3 x = −5 ⇔ x = −

thì

(1) ⇔ − x − 1 + 3 x = −5 ⇔ x = −2

x = −2
3
2

vì thỏa mãn (2).

, khơng thỏa mãn

, thỏa mãn

x < −1

x ≥ −1

.

.

x = −2

 f ( x) = ± g ( x)
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 g ( x) ≥ 0
2x − a = x +1

Ví dụ 15. Tìm giá trị của tham số a để phương trình
duy nhất.

(1) có nghiệm

Giải

a
 x ≥ 2
(I )


2 x − a = x + 1
(1) ⇔ 
  x ≤ a
( II )
2

 a − 2 x = x + 1


Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
x = a +1
a

(I ) ⇔ 
a , a + 1 ≥ ⇔ a ≥ −2
2
 x ≥ 2

a −1

 x = 3 a − 1 a
( II ) ⇔ 
,
≤ ⇔ a ≥ −2
3
2
x ≤ a

2

Để (1) có nghiệm duy nhất thì

a −1

a + 1 =
3 ⇔ a = −2

 a ≥ −2

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Cần chú ý đến các kiến thức sau:
1) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là
2) Hệ thức Vi –ét: Nếu phương trình
b
c
x1 + x2 = −
x1 x2 =
a

a
thì
và
.
3) Cho phương trình

- Nếu

- Nếu

a +b +c = 0

a −b +c = 0

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

có

a≠0

thì phương trình có hai nghiệm

Tìm giá trị của m để các nghiệm

có các nghiệm

x2 =

x1 = 1

và

x1 = −1

x 2 − 2(m + 1) x + (m 2 + 2m) = 0
x1 , x2

.

x1

x2

và

.

thì phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 16. Cho phương trình

∆≥0

c
a

.

x2 = −

và

c
a

.

.
x13 − x23 = 8

của phương trình thỏa mãn

.

Giải
Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m vì

∆ ' = ( m + 1) 2 − ( m 2 + 2 m) = 1 > 0

Theo hệ thức Vi-ét,

.

x1 + x2 = 2m + 2, x1 x2 = m 2 + 2m

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

.

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Ta có

( x1 − x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = (2m + 2) 2 − 4( m 2 + 2m) = 4

Ta lại có

nên

x1 − x2 = 2

.

x12 + x1 x2 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − x1 x2 = (2m + 2) 2 − (m 2 + 2m) = 3m 2 + 6m + 4 > 0

x13 − x23 = 2(3m 2 + 6m + 4)
Do đó
Giải phương trình
m = −2

Đáp số:

2(3m2 + 6m + 4) = 8

được

m 2 + 2m = 0 ⇔ m(m + 2) = 0 ⇔ m = 0

hoặc

m ∈ { 0; −2}

Ví dụ 17. Cho phương trình
của phương trình thỏa mãn

x 2 + mx + 1 = 0

x +x =2
4
1

4
2

. Tìm giá trị của m để các nghiệm

x1 , x2

.

Giải
Điều kiện để phương trình
Theo hệ thức Vi – ét:

x 2 + mx + 1 = 0

x1 + x2 = −m

và

có nghiệm là

x1 x2 = 1

∆ ≥ 0 ⇔ m2 − 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 4

.

x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = (−m) 2 − 2

Ta có
nên
4
4
2
2 2
2 2
2
2
x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = (m − 2) − 2 = m 4 − 4m 2 + 2

Giải phương trình
Loại

m2 = 0

Đáp số:

x14 + x24 = 2 ⇔ m4 − 4m2 + 2 = 2 ⇔ m 2 ( m2 − 4) = 0

vì trái với (1), ta được

m 2 = 4 ⇔ m = ±2

m = ±2

Ví dụ 18. Cho các phương trình
x 2 + mx − 5 = 0

Và

5 x 2 − mx − 1 = 0

(1)
(2)

a) Chứng minh rằng các phương trình trên có nghiệm.

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

x1
x2
b) Gọi
là nghiệm dương của (1),
là nghiệm dương của (2). Chứng minh
x1 + x2 ≥ 2
rằng
.
Giải
a) Các phương trình (1) và (2) đều có

b) Do

x1

ac < 0

nên đều có hai nghiệm trái dấu.

x12 + mx1 − 5 = 0 ⇒ 1 + m.

là nghiệm của (1) nên

1 5
− =0
x1 x12

2

1

1
1
⇒ 5  ÷ − m −1 = 0 ⇒
x1
x1
 x1 
⇒ x2 =

Do

là nghiệm dương của (2)

1
⇒ x1 x2 = 1.
x1

x1 , x2

dương nên

x1 + x2 ≥ 2 x1 x2 = 2

Ví dụ 19. Cho các phương trình
x2 + x + a = 0

Và

(1)

x2 + 4x + b = 0

(2)

Tìm giá trị của a và b sao cho các nghiệm
x3 , x4
nghiệm
của phương trình (2) thỏa mãn:

x1 , x2

của phương trình (1) và các

x4 x3 x2
=
=
x3 x2 x1

Giải
Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là

1

1 − 4a ≥ 0
a ≤
∆ABC 
4

4 − b ≥ 0
b ≤ 4

Đặt

x4 x3 x2
= =
=k
x3 x2 x1

thì

x2 = kx1 , x3 = kx2 = k 2 x1 , x4 = kx3 = k 3 x1

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

.
TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Theo hệ thức Vi – ét:

x1 + x2 = −1 ⇒ x1 + kx1 = −1 ⇒ x1 (1 + k ) = −1

(3)

x3 + x4 = −4 ⇒ k 2 x1 + k 3 x1 = −4 ⇒ k 2 x1 (1 + k ) = −4

Từ (3) và (4) suy ra

- Xét

k =2

Suy ra

k2 = 4

nên

, thay vào (3) được

2
32
a = x1 x2 = , b = x3 x4 =
9
9

Đáp số:

2
32
a = ,b =
9
9

hoặc

k = ±2

(4)

.

1
2
4
8
x1 = − , x2 = − , x3 = − , x4 = − .
3
3
3
3
a≤

, thỏa mãn

a = −2, b = −32

1
4

và

b≤4

.

.

III. QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho parabol

y = ax 2 (a ≠ 0)

và đường thẳng

y = mx + n

. Hoành độ giao điểm của
ax 2 = mx + n
parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình
hay
2
ax − mx − n = 0
. (1)
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt parabol.
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc với parabol.
Nếu phương trình (1) vơ nghiệm thì đường thẳng khơng giao với parabol.
Ví dụ 20. Cho parabol

y = x2

. Gọi A và B là hai điểm thuộc parabol có hồnh
a+b
độ theo thứ tự là a và b . Gọi C là điểm thuộc parabol có hồnh độ bằng
. Chứng minh rằng OC song song với AB.
Giải. (h.2)
Kẻ AE, BF, CK vng góc với Ox, kẻ AH vng góc với BF.
Ta có

A( a; a 2 ), B (b; b 2 ), C (a + b, (a + b) 2 )

.

m=
Đường thẳng AB có hệ số góc là

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

BH b 2 − a 2
=
=b+a
AH
b−a

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com

n=
Đường thẳng OC có hệ số góc là
Do

m=n

nên

AB / / OC

CK (a + b)2
=
= a +b
OK
a+b

.

y=−

x2
4

y = x+4
Ví dụ 21. Cho parabol
và đường thẳng d có phương trình
.
Tìm tọa độ các điểm A và B sao cho A thuộc parabol, B thuộc đường thẳng d
và độ dài AB nhỏ nhất.

Giải. (h.3)
Gọi

d'

là đường thẳng có phương trình

y = x+k

thì

d '/ / d

.

d'
Điều kiện để
tiếp xúc parabol là phương trình
2
x + 4 x + 4k = 0
(1) có nghiệm kép.

−

x2
= x+k
4

, tức là

∆ ' = 0 ⇔ 4 − 4k = 0 ⇔ k = 1.
d'

Đường thẳng
y = x +1
.
Tiếp điểm của

d'

song song với d và tiếp xúc với parabol có phương trình

và parabol là

A(−2; −1)

Ta lập phương trình đường thẳng
Gọi phương trình của
Do

d1 ⊥ d

nên

m.1 = −1

d1

là

y = mx + n

, do đó

y = −x + n

Do đường thẳng

Đường thẳng

d1

m = −1

đi qua

có phương trình

Giải phương tình

d1

x + 4 = −x − 3

Tọa độ giao điểm B của d và

.
.
nên

−1 = −(−2) + n ⇒ n = −3.

y = −x − 3

là

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

đi qua A và vng góc với d.

A(−2; −1)

được

d1

.

x = −3,5

; khi đó

y = x + 4 = −3,5 + 4 = 0,5

(−3,5; 0,5)

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
A( −2; −1)

Điểm
thuộc parabol, điểm
AB nhỏ nhất.

B( −3,5;0,5)

thuộc đường thẳng d và độ dài

BÀI TẬP
Phương trình bậc nhất một ẩn
19. Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

x −b−c x −c −a x −a −b
+
+
= 3;
a
b
c
x −a x −b x −c
1 1 1
+
+
= 2  + + ÷;
bc
ac
ab
a b c
x −a x −b

+
=2
x −b x −a

20. Giải các phương trình sau:
x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 4;
a)
x − 3 + x − 1 + x + 1 + x + 3 + x + 5 = 12
b)
21. Tìm giá trị của a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x − a − 2x − 4 = 1
Phương trình bậc hai một ẩn
22.

Cho phương trình:

x 2 − 2 ( m + 1) x + ( m − 1) ( m + 3 ) = 0

.

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm
b) Tìm giá trị của
23.

−2 < x1 < x 2 < 3

m

để
x 2 + ax + b = 0

Cho các phương trình:
Tìm giá trị của
trình

( 2)

a

và

b

.

( 1)

để phương trình

có các nghiệm

x1 − 1

và

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

x2 −1

( 1)

x1 , x 2

phân biệt.

x 2 + a 2 x − ab = 0
và
có các nghiệm

x1

và

( 2)
x2

, phương

.

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
24.

25.

x2
và

, phương trình
( x1 − x 2 ) ( x1 − x 3 ) = ab
x1
x3
x 2 + bx + 1 = 0
có các nghiệm
và . Chứng minh rằng
.
2
( m − 1) x + ( m + 1) x + 2 = 0
m ≠1
Cho phương trình
với
.
x1 , x 2
m
Tìm giá trị của
để hai nghiệm
của phương trình thỏa mãn

x 2 + ax − 1 = 0

Cho phương trình

có các nghiệm

x1

x12 − x 22 = 3
.

26.

Cho phương trình
Tìm giá trị của
nhỏ nhất.

27.

m

Cho phương trình

x 2 + ( m + 1) x + 2 = 0
để hai nghiệm

.
x1 , x 2

của phương trình thỏa mãn

x 2 − ( 2m + 1) x − ( m 2 + 2 ) = 0

x12 + x 22

.
A=

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
của phương trình).

x1 + x 2
x1 x 2

(

x1 , x 2

là các nghiệm

a, b, c

28.

Cho bốn phương trình với
khác nhau đôi một:
2
2
x + ax + 1 = 0
(1)
x + bx + c = 0
( 2)

( 3)

x 2 + cx + b = 0

( 4)

x2 + x + a = 0

( 1)

( 2)

Biết các phương trình
và
có nghiệm chung là
( 3)
( 4)
n
và
có nghiệm chung là .
a) Tính

m

và

b) Tính tổng

m

, các phương trình

n

.
a +b+c

.

Quan hệ giữa parabol và đường thẳng
29.

y = mx + 3
có phương trình
.
A, B
d
a) Chứng minh rằng đường thẳng
ln cắt parabol tại hai điểm
phân biệt.
m
AB
b) Tìm giá trị của
để độ dài
nhỏ nhất.
Cho parabol

y = x2

và đường thẳng

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

d

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157

Website:tailieumontoan.com

y=
30.

Cho parabol

x2
2

và đường thẳng

a) Chứng minh rằng đường thẳng

d
d

có phương trình

y = mx + 2

.

ln cắt parabol tại hai điểm

A, B

phân biệt.
m

b) Tìm giá trị của

y=
31.

Cho parabol

để tam giác

OAB

có diện tích bằng

2 5

.

2

x
2

và đường thẳng

a) Chứng minh rằng đường thẳng

d
d

có phương trình

y = x+4

.

ln cắt parabol tại hai điểm

A, B

phân biệt.
ABC
AB
thuộc cung
của parabol sao cho tam giác
có diện tích lớn nhất.
y = x2
y = x+n
d
Cho parabol
và đường thẳng có phương trình
.
A, B
d
n
a) Tìm giá trị của
để đường thẳng
ln cắt parabol tại hai điểm
phân biệt.
I
AB

n
b) Gọi là trung điểm của
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
thỏa
a
I
mãn điều kiện của câu
thì điểm chuyển động trên một đường thẳng
cố định.
y = x2
N
M
Cho parabol
. Gọi
và
là các điểm thuộc parabol có hồnh độ
C
−1
1
A
theo thứ tự là
và . Gọi
và
là các điểm thuộc parabol có hoành độ
1
−
CD
3
−2
AB

theo thứ tự là
và
. Vẽ các dây
và
của parabol đi qua điểm
I ( 0;1)
Q
AC
MN
BD
P
. Gọi giao điểm của
và
với
theo thứ tự là
và .
B
D
a) Tìm tọa độ các điểm
và .
Q
P
b) Tìm tọa độ các điểm
và .
IP = IQ
c) Chứng minh rằng
.
b) Tìm tọa độ điểm

32.

33.

C

Chuyên đề 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
Nội dung về hệ phương trình trong chuyên đề này bao gồm:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ phương trình bậc cao hai ẩn.
Hệ phương trình ba ẩn, bốn ẩn.
Các phương pháp thường dung để giải các hệ phương trình trên là:
-

Phương pháp
Phương pháp
Phương pháp
Phương pháp
Đại số và Số học
-

thế.

cộng.
đặt ẩn phụ.
dùng bất đẳng thức.

CÁCH GIẢI ĐẠI SỐ GIÚP TÌM RA CÁCH GIẢI SỐ HỌC
Bài toán
Anh Việt đi từ A và đã đến B gặp bạn đúng giờ hẹn. Anh nói với bạn rằng:
- Nếu tơi đi với vận tốc ít hơn vận tốc đã đi

6 km / h

thì sẽ đến B sau giờ
10 km / h
2
hẹn giờ, còn nếu tôi đi với vận tốc nhiều hơn vận tốc đã đi
thì sẽ đến
B
2
trước giờ hẹn giờ.
Bạn hãy tính thời gian anh Việt đã đi quãng đường AB.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
v ( km / h )

Gọi vận tốc anh Việt đã đi quãng đường AB là
t
quãng đường AB là (giờ).
Trong trường hợp thứ nhất, vận tốc là
Ta có phương trình:

( v − 6 ) ( t + 2 ) = vt

, thời gian là

t+2

(giờ).

.

Trong trường hợp thứ hai, vận tốc là
Ta có phương trình:

v − 6 ( km / h )

, thời gian đã đi

( v + 10 ) ( t − 2 ) = vt

v + 10 ( km / h )

, thời gian là

t −2

(giờ).

.

Giải hệ phương trình:

Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
( v − 6 ) ( t + 2 ) = vt
 vt + 2v − 6t − 12 = vt
⇔

 vt − 2v + 10t − 20 = vt
( v + 10 ) ( t − 2 ) = vt

2v − 6t = 12
4t = 32
 v = 30
⇔
⇔
⇔
−2v + 10t = 20
 v − 3t = 6
t = 8

.

Thời gian anh Việt đi quãng đường AB là 8 giờ.
Tìm cách giải số học cho bài tốn.
Để tìm ra cách giải bài toán trên bằng phương pháp số học, ta thực hiện
các biến đổi đại số khác với cách giải trên đôi chút.

Cách giải đại số

Cách giải số học

Gọi vận tốc anh Việt đã đi đoạn AB là Giả sử có xe 1 và xe 2 cùng đi từ A
với thời gian anh Việt đã đi đoạn
v ( km / h )
, thời gian anh Việt đã đi đoạn AB.
t
AB là (giờ).
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường
v1
t1
hợp thứ nhất là
và .
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường
v2
t2
hợp thứ hai là
và .
Ta có:

vt = v1t1 = v 2 t 2 , v − v1 = 6, v 2 − v = 10

t1 − t = 2, t − t 2 = 2

.

.

v1t1 = vt ⇒ v1 ( t + 2 ) = vt ⇒ v1t + 2v1 = vt

Xe 1 đi chậm hơn anh Việt
.
Xe 1 đi nhanh
10 ( km / h )
.

.

hơn

6 ( km / h )

anh

Việt

(1)
v 2 t 2 = vt ⇒ v 2 ( t − 2 ) = vt ⇒ v 2 t − 2v 2 = vt

.

(2)

Khi anh Việt đi đoạn AB thì:
xe 1 đi đoạn AC (chưa đến B), xe 2
đi đoạn AD (đi quá B).
Xe 1 đi tiếp đoạn CB gần 2 giờ, xe
2 đi đoạn BD trong 2 giờ.

Ta có:

v 2 − v1 = ( v 2 − v ) + ( v − v1 ) = 10 + 6 = 16

Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

Do vận tốc xe 2 lớn hơn vận tốc xe
1 là:
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
2 ( v 2 − v1 ) = 2.16 = 32

nên
(3)

10 + 6 = 16 ( km / h )
nên đoạn BD dài hơn đoạn CB là:
16.2 = 32 ( km )
.

Từ (1) suy ra:
(4)
Từ (2) suy ra:
(5)

2v1 = ( v − v1 ) t = 6t

Giả sử cũng với thời gian anh Việt
đi đoạn AB, có xe 3 đi đoạn CB, xe
4 đi đoạn BD thì:

.

2v 2 = ( v 2 − v ) t = 10t

.

vận tốc xe 3 bằng
vận tốc xe 4 bằng

Từ (4) và (5) suy ra:

2v 2 − 2v1 = 10 − 6t ⇒ 2v 2 − 2v1 = 4t
(6)
Từ (3) và (6) suy ra:

4t = 32 ⇒ t =

32
=8
4

.

6 ( km / h )

,

10 ( km / h )

.

Vận tốc xe 4 (đi BD) lớn hơn vận
tốc xe 3 (đi BC) là:
. 10 − 6 = 4 ( km / h )

.

Vậy thời gian xe 3 đi CB (cũng là
thời gian xe 4 đi BD, cũng là thời
gian anh Việt đi AB) là:
32 = 4 = 8

(giờ).

Thời gian anh Việt đã đi đoạn AB là 8 giờ.

Để tìm ra cách giải số học, cần tạo ra các đại lượng tương ứng với các biểu
thức đại số và sử dụng phương pháp giải thiết tạm:
- Tạo ra xe 1 và xe 2 có vận tốc tương ứng với trường hợp 1 và trường
t
hợp 2, nhưng đi với thời gian bằng thời gian mà anh Việt đi đoạn AB.
- Có sự tương ứng
AB = vt, AC = v1t, AD = v2 t, CB = 2v1 , BD = 2v 2 , BD − CB = 2 ( v 2 − v1 )
t
- Tạo r axe 3 đi đoạn CB, xe 4 đi đoạn BD cũng với thời gian nói trên. Từ

t
đó, tính thời gian bằng cách lấy hiệu quãng đường BD và CB mà xe 4 và xe 3
32 km
10 − 6 = 4 km / h
đã đi (là
) chia cho hiệu vận tốc của hai xe đó (là
).
- Trong biến đổi đại số cần giảm bớt các biến đổi trung gian và giữ lại
những biểu thức liên quan đến các số liệu trong đề bài để tạo ra sự tương ứng
với các giải số học.
Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157
Website:tailieumontoan.com
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Ví dụ 22. Cho hệ phương trình
Tìm giá trị của

m

( 1)
( 2)

 x + my = 1

 2mx + m ( m − 1) y = 3

để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vơ nghiệm.

Giải:
a) Với

Với

m=0

m≠0

thì

( 2)

là

0x + 0y = 3

, vơ nghiệm.

, điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là

2m m ( m − 1)
≠
⇔ 2m ≠ m − 1 ⇔ m ≠ −1

1
m

Vậy giá trị của
b) Với

Với

m=0
m≠0

m

.

để hệ có nghiệm duy nhất là

m

để hệ vơ nghiệm là

Lưu ý: Có thể giải bằng cách rút

Với

m ( m + 1) y = 2m − 3

m≠0

m=0

m ≠ −1

.

, điều kiện để hệ vơ nghiệm là

Vậy giá trị của

Với

và

thì hệ phương trình vơ nghiệm.

2m m ( m − 1) 1
1
=
≠ ⇔ 2m = m − 1 ≠ ⇔ m = −1
1
m
3
3

được

m≠0

và

m ≠ −1

hoặc

x

.

m=0

từ

hoặc

( 1)

m = −1

.

rồi thay vào

( 2)

và rút gọn

.

thì hệ có nghiệm duy nhất.

m = −1

thì hệ vơ nghiệm.

Ví dụ 23. Cho hệ phương trình

2 x + y = m

mx − ( m + 1) y = 2m + 2

Tìm giá trị của để hệ phương trình có nghiệm
nhỏ nhất.
Giải:
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038

( x, y )

( 1)
( 2)

.

duy nhất thỏa mãn tích

xy

TÀI LIỆU TỐN HỌC


157

Website:tailieumontoan.com

( 1)

y = m − 2x

Rút từ
ta được
mx − ( m + 1) ( m − 2 x ) = 2m + 2

. Thay vào

( 2)

ta được

⇔ mx − 3m ( m + 1) + ( 2m + 2 ) x = 2m + 2
⇔ ( 3m + 2 ) x = 2m + 2 + 3m 2 + 3m
⇔ ( 3m + 2 ) x = 5m + 2 + 3m 2

⇔ ( 3m + 2 ) x = ( 3m + 2 ) ( m + 1)

m≠−
Nếu

2
3

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

x = m +1

y = m − 2

2

1 9
9

xy = ( m − 1) ( m + 2 ) = m − m − 2 =  m − ÷ − ≥ −
2 4
4

2

Khi đó

9
min ( xy ) = −
4

1
m=
2

.

2
m≠−
3

tại
(thỏa mãn
).
II. Hệ phương trình bậc cao hai ẩn.
Hệ phương trình bậc cao hai ẩn khơng được học chính thức trong chương
trình đại số 9, nhưng về kiến thức hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn) và
phương trình bậc hai một ẩn ta có thể giải phương trình bậc cao hai ẩn.
Các phương pháp thường dung để giải hệ phương trình bậc cao hai ẩn là
phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dung bất đẳng
thức.
1. Phương pháp thế
Trong phương pháp thế, từ một phương trình ta biểu thị một ẩn theo ẩn kia
(hoặc tìm giá trị của một ẩn) rồi thay thế vào phương trình cịn lại.
 xy − 3x − y = 1
( 1)
 3 3
2
2
( 2)
 x - y + x y - x y = 0
Ví dụ 24. Cho hệ phương trình
.
Giải:
x = y
( 2) ⇔ ( x2 + y2 ) ( x − y ) = 0 ⇔ 
x = y = 0
.
( 1)
x= y=0

Loại
vì khơng thỏa mãn
.
( 1)
x2 − 4 x −1 = 0 ⇔ x = 2 ± 5
Thay vào
ta được
.
Đáp số: Nghiệm của hệ là

( 2+

Ví dụ 25. Giải hệ phương trình
Giải:
Liên hệ file word tốn zalo: 039.373.2038

)(

5, 2 + 5 , 2 − 5, 2 − 5

 x + y = 1
 4
4
 x − y = 7 x − y

)

.

( 1)

( 2)

.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC