Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về mạch điện xoay chiều

MỤC LỤC


2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Mục tiêu
Trong chương trình vật lý phổ thông, kiến thức về điện xoay chiều
luôn là một phần kiến thức quan trọng, điều đó thể hiện ở việc phần kiến
thức trong giáo trình, sách giáo khoa Vật lí khá nhiều và kiến thức về mạch
điện xoay chiều có mặt trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, cao
đẳng, đại học,…Trong phần điện học, các bài toán về mạch điện xoay chiều
rất phong phú và đa dạng, mức độ khó dễ khác nhau và có thể giải bằng
nhiều phương pháp khác nhau: Phương pháp lượng giác, phương pháp giản
đồ vector, phương pháp số phức,…
Với việc chuyển đổi dần chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc
nghiệm trong các kì thi, bài kiểm tra, yêu cầu học sinh, sinh viên không
những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong thời gian
ngắn. Chính vì vậy, việc sử dụng phương pháp nào để có kết quả chính xác
cao trong thời gian ngắn là điều rất quan trọng. Trong số các phương pháp
giải bài toán về điện xoay chiều, các bạn học sinh, sinh viên thường sử
dụng phương pháp giản đồ vector, nhưng em nhận thấy phương pháp số
phức là phương pháp đơn giản, cho kết quả cao trong thời gian ngắn. Do
hạn chế về kiến thức tốn học nên phương pháp này cịn chưa được sử
dụng nhiều. Tuy nhiên, theo em, chỉ cần nắm chắc kiến thức chung về số
phức, chúng ta hoàn tồn có thể làm chủ phương pháp này.
Với mục tiêu giúp đỡ các bạn học sinh, sinh viên giải bài tốn về
mạch điện xoay chiều đơn giản hơn, có độ nhanh chóng và chính xác cao,
em lựa chọn chủ đề “Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán
về mạch điện xoay chiều” làm đề tài tiểu luận của mình. Do kiến thức cịn
hạn chế, trong q trình thực hiện bài tiểu luận, có thể vẫn cịn những thiếu

sót, kính mong sự giúp đỡ và góp ý của các thầy cô giáo. Em xin chân
thành cảm ơn!


3

2. Cơ sở nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Bài tập Vật lý đều có ở các cấp độ học từ trung học, cao đẳng, đại
học, cao học,…Trong quá trình dạy học Vật lý, giải bài tập là công việc
được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau dưới đây:
- Giải bài tập để mở rộng, đào sâu kiến thức, đây là giai đoạn khởi
đầu để dẫn dắt đến phần kiến thức mới.
- Giải bài tập Vật lý sẽ nâng cao kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết
vào thực tiễn của người học.
- Giải bài tập Vật lý góp phần phát huy năng lực tư duy sáng tạo của
người học.
- Giải bài tập Vật lý là một hình thức làm việc địi hỏi sự tự học, tự
tìm tịi của người học.
- Giải bài tập Vật lý là phương tiện để kiểm tra khả năng và mức độ
nắm bắt kiến thức của người học một cách chính xác và hiệu quả nhất.
* Các bước chung để giải một bài tập Vật lý:
Bài tập Vật lý rất đa dạng, ở các mức độ kiến thức khác nhau. Vì
vậy, bài tập Vật lý có nhiều phương pháp giải khác nhau, tuy nhiên, chúng
ta có thể vạch ra các bước chung sau đây để giải một bài tập Vật lý:
- Bước 1: Tìm hiểu đề bài:
+ Đọc, tóm tắt, ghi lại các dữ kiện đề bài và xác định yếu tố cần tìm.
Có thể minh họa đề bài bằng sơ đồ, hình vẽ để dễ hình dung.
- Bước 2: Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ kiện đề bài và yếu
tố cần xác định:

+ Đối chiếu các dữ kiện đề bài, yếu tố cần tìm và xem xét bản chất
Vật lý của những tình huống đã cho để xác định các kiến thức, các định
luật, các cơng thức có liên quan.
+ Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ kiện đề bài và yếu tố cần
tìm.


4

+ Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ cần thiết, tối thiểu sao cho thấy
được mối liên hệ giữa cái cần tìm với dữ kiện xuất phát. Từ đó rút ra yếu tố
cần tìm.
- Bước 3: Suy ra yếu tố cần tìm:
+ Từ mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải để rút ra cái
cần tìm, kết luận cần thiết.
- Bước 4: Kiểm tra, đánh giá:
+ Sau khi có kết quả bài tập, thực hiện kiểm tra, đánh giá bằng các
phương pháp như: Kiểm tra lại việc tính tốn có chính xác chưa, kiểm tra
thứ ngun xem có phù hợp khơng, kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem
có phù hợp khơng, giải bài tốn theo cách khác xem có trùng kết quả
khơng,…
Trên đây là các bước chung nhất trong quá trình giải một bài tập Vật
lý. Tuy nhiên, trong mỗi bài toán cụ thể, không nhất thiết phải tuân theo tất
cả các bước mà có thể kết hợp các bước sao cho phù hợp nhất và đưa ra kết
quả một cách nhanh chóng, chính xác nhất.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Phương pháp lượng giác và phương pháp đồ thị được ứng dụng rộng
rãi khi nghiên cứu mạch điện hình sin. Hai phương pháp trên giúp biểu diễn
rõ ràng trị số hiệu dụng, góc pha, góc lệch pha, rất thuận tiện khi minh họa,
so sánh và giải các mạch điện đơn giản. Tuy nhiên cách biểu diễn vector

gặp nhiều khó khăn khi giải mạch điện phức tạp. Khi giải mạch điện hình
sin, cịn một phương pháp rất hữu hiệu đó là giải bằng cách biểu diễn qua
số phức. Do đó, em sẽ áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài
toán về mạch điện xoay chiều dưới đây.


5

3. Mục đích của đề tài
Trình bày một số bài tập cụ thể để thấy được hiệu quả của phương
pháp số phức trong giải bài toán về mạch điện xoay chiều và cùng cố thêm
kiến thức về phương pháp giải này.
Cung cấp thêm tài liệu về cách giải bài toán dịng điện xoay chiều
trong chương trình Vật lý đại cương cho sinh viên tham khảo. Bên cạnh đó,
có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên THPT trong quá trình giảng
dạy.
Giúp tăng thêm vốn kiến thức cho bản thân.
4. Nhiệm vụ đề tài
Nghiên cứu kiến thức về mạch điện xoay chiều trong chương trình
vật lý đại cương (Điện kỹ thuật), kiến thức về số phức làm nền tảng vận
dụng vào giải một số bài tốn dịng điện xoay chiều.
Đề tài dùng phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện
xoay chiều. Phương pháp này giúp cho người học có thêm hướng giải khi
gặp các bài tốn điện xoay chiều phức tạp.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Phân loại bài tập, vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán cụ thể
của mạch điện xoay chiều
6. Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi bài tiểu luận, em lựa chọn phần kiến thức mạch điện

xoay chiều không phân nhánh: Cho các thông số của mạch điện R, L, C, e,
cường độ dòng điện hoặc hiệu điện thế trong mạch chính và sơ đồ mạch
điện để từ đó tính cường độ dịng điện hiệu dụng, viết biểu thức cường độ
dòng điện, hiệu điện thế hiệu dụng, biểu thức điện thế và công suất.


6

7. Cấu trúc đề tài
Đề tài tiểu luận gồm 3 phần: Phần 1 mở đầu, phần 2 gồm 2 chương,
phần 3 kết luận.


7

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Cơ sở lý thuyết về số phức
1.1.1. Định nghĩa số phức
Một số phức là một biểu diễn dạng a+bi, trong đó a và b là những số
thực và số i thỏa mãn = -1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a+bi.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần
ảo của số phức z = a+bi.
Tập hợp các số phức được kí hiệu ℂ
Ví dụ: Các số sau là những số phức: 9 + (-2)i; 3 + 5i; + i.
1.1.2. Số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của
chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi = c + di  a = c và b = d
Ví dụ: Tìm các số thực a,b, biết:

(3a + b) + (b + 1)i = (a +2b) + (a – 2)i
Lời giải
Từ định nghĩa về hai số phức bằng nhau, ta có:
 
Vậy a = -3 và b = -6
Lưu ý:
- Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là: a=a+0i
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có: ℝ ⸦ ℂ.
- Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản và bi.
Tức là bi = 0+bi.
1.1.3. Biểu diễn hình học số phức
Điểm M (a;b) trong một hệ trục tọa độ vng góc của mặt phẳng
được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a+bi.


8

1.1.4. Mô-đun của số phức
Giả sử số phức z = a+bi được biểu diễn bởi điểm M (a;b) trên mặt
phẳng tọa độ. Khi đó:
Độ dài của véc-tơ được gọi là mơ-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Từ định nghĩa, suy ra |z| = || hay |a + bi| = ||. Khi đó:
|a + bi| =
1.1.5. Số phức liên hợp
Cho số phức z = a+bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí
hiệu = a – bi. Tức là:
= a – bi
Tính chất 1. = z.
Tính chất 2. || = |z|.
1.2. Cơ sở lý thuyết về mạch điện xoay chiều

1.2.1. Cách tạo ra dịng điện xoay chiều
Khung dây kim loại kín quay đều với vận tốc góc quanh trục đối
xứng của nó, trong từ trường đều có véc-tơ cảm ứng từ B vng góc với
trục quay thì trong mạch có dịng điện biến thiên điều hịa với tần số góc
gọi là dịng điện xoay chiều.
Khi khung dây quay một chu kỳ (một vòng) dòng điện trong khung
dây đổi chiều 2 lần.
1.2.2. Hiệu điện thế xoay chiều, cường độ dòng điện xoay chiều
Nếu i = sin t thì u = sin (t + ).
Nếu u = sin t thì i = sin (t + ).
Với

Z=

tan =


9

Các giá trị hiệu dụng của dòng điện xoay chiều:
I=

U=

E=

1.2.3. Các loại đoạn mạch xoay chiều
- Đoạn mạch chỉ có điện trở thuần: cùng pha với i: I =
- Đoạn mạch chỉ có tụ điện C: trễ pha hơn i góc
I = với = là dung kháng của tụ điện.

- Đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm L: sớm pha hơn i góc
I = với = L là cảm kháng của cuộn dây.
- Đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp (không phân nhánh):
Độ lệch pha giữa u và i xác định theo biểu thức: tan =
Cường độ hiệu dụng xác định theo định luật Ôm: I = .
Với Z = là tổng trở của đoạn mạch.
- Cộng hưởng trong đoạn mạch RLC
Khi = hay = thì dịng điện trong mạch đạt giá trị cực đại = . Suy ra
công suất trên mạch đạt giá trị cực đại = , u cùng pha với i.
Khi > thì u nhanh pha hơn i (đoạn mạch có tính cảm kháng).
Khi < thì u trễ pha hơn i (đoạn mạch có tính dung kháng).
* R tiêu thụ năng lượng dưới dạng tỏa nhiệt, và không tiêu thụ năng
lượng của nguồn điện xoay chiều.
1.2.4. Cách nhận biết cuộn dây có điện trở thuần r
Xét toàn mạch, nếu: Z ; U hoặc P I2R hoặc cos thì cuộn dây có
điện trở thuần r 0.
Xét cuộn dây, nếu: hoặc

hoặc 0 hoặc

thì cuộn dây có điện trở

thuần r 0.
1.2.5. Cơng suất của dịng điện xoay chiều
Cơng suất của dịng điện xoay chiều: P = UIcos = I2R =
Hệ số công suất: cos = . Ý nghĩa của hệ số công suất cos :


10

- Trường hợp cos = 1 tức là = 0: mạch chỉ có R, hoặc mạch RLC có
cộng hưởng điện (=) thì P = = UI =
- Trường hợp cos = 0 tức là = : Mạch chỉ có L, hoặc chỉ có C, hoặc
có cả L và C mà khơng có R thì P = = 0
Lưu ý:
- Để nâng cao hệ số công suất của mạch bằng cách mắc thêm vào
mạch cuộn cảm hoặc tụ điện thích hợp sao cho cảm kháng và dung kháng
của mạch xấp xỉ bằng nhau để cos 1.
- Đối với các động cơ điện, tủ lạnh,…nâng cao hệ số công suất cos
để giảm cường độ dòng điện.
1.3. Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức
Điện xoay chiều
Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp:
u = cos(t + ) (V)

Số phức
Xét một số phức bất kỳ: x = a+bi
Số phức này được ghi dưới dạng lượng giác
là: x = . Được biểu diễn như sau:

Ta có giản đồ véc-tơ như sau:
- Trục hoành biểu diễn R
- Phần dương của trục tung biểu diễn L
- Phần âm của trục tung biểu diễn C
- Véc-tơ U có độ lớn và tạo với trục hoành

- Trục hoành biểu diễn phần số thực (số a)
- Trục tung biểu diễn phần số ảo (số b)
- Véc-tơ X có độ lớn và tạo với trục hồnh
một góc là

một góc là

Như vậy, ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì
nằm trên trục hoành), L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục
tung). Nhưng chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn
là bi. C nằm ở phần âm nên được biểu diễn là -bi. u và i được xem như là
một số phức x và được viết dưới dạng lượng giác x = = .
1.4. Ứng dụng số phức vào giải bài tốn dịng điện xoay chiều
Một dao động mơ tả bằng hàm điều hịa có thể biểu diễn bằng dạng
số phức như sau: u = cos( ωt + φ) = a + bi


11

Dạng thức
Cảm kháng
Dung kháng
Tổng trở
Cường độ dòng điện
Điện áp
Định luật Ôm

Mạch khác

Dạng phức trong máy tính

Z=
i = cos (t +)
u =sin (t +)

I=
I = nhưng i

FX 570ES, 570MS
i.
-i.
=R+i(
i==
u==
i = → u = i.
i=

U=I.Z nhưng iZ

=i.

U=I.Z= .Z nhưng u.Z

=i.

= I= . nhưng .

u=
.

Cách cài đặt máy tính 570ES dạng số phức để viết u,i:
Bước 1: Shift 9 3 = = (Để cài đặt ban đầu)
Bước 2: Mode 2 → xuất hiện chữ CMPLX (cài đặt tính tốn số phức)
Bước 3: Nhập dữ liệu vào máy tính rồi:
+ Bấm shift 2 3 = sẽ ra kết quả dạng mũ phức I0∠φi (hoặc U0∠φu)

khi viết phương trình i (hoặc u).
+ Để tìm R, L, C thì ta chỉ bấm "=" sau khi nhập dữ liệu xong.
CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
2.1. Bài tập 1: Đặt điện thế không đổi 60V vào hai đầu đoạn mạch gồm
điện trở mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm (H) thì trong mạch
xuất hiện dòng điện một chiều với cường độ 0,5 (A). Tìm biểu thức cường
độ dịng điện qua mạch khi đặt vào hai đầu đoạn mạch này một điện áp u =
300cos60t (V)?
Giải:
R = = = 120(Ω)
= 60 (rad/s), R=120(Ω), ZL= L= 120(Ω), tổng trở phức là Z = 120 + 120i


12

=> i = = = ∠- (A)
Vậy biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là: i = cos(60t - ) (A)
2.2. Bài tập 2: Đặt điện áp u = 100cos(50πt -) (V) vào hai đầu đoạn mạch
mắc nối tiếp gồm điện trở R = 50(Ω), tụ điện có C = 2/15π (mF) và cuộn cảm
thuần có L = 4/π (H). Xác định biểu thức cường độ dòng điện trong đoạn
mạch?
Giải:
Ta có: R = 50(Ω), = = 150(Ω), = = 200(Ω).
=> i = = 2 (A)
Vậy biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là: i = 2cos(50t - ) (A)
2.3. Bài tập 3: Một đoạn mạch MN gồm hai đoạn mạch nhỏ MP và PN
mắc nối tiếp với nhau. Đoạn mạch MP có điện trở R = 30Ω mắc nối tiếp
với tụ điện có điện dung C = 2/3π mF. Đoạn mạch PN là cuộn dây không
thuần cảm. Khi đặt vào hai đầu M, N một điện áp xoay chiều thì điện áp

tức thời giữa hai đầu đoạn mạch MP có biểu thức uMP = 160sin(50πt) V;
cịn điện áp tức thời giữa hai đầu cuộn dây có biểu thức uPN = 100cos(50πt)
V. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch MN?
Giải:
Theo đề: R = 30(Ω), ZC = = 30(Ω)
uMP = 150sin(50πt) = 150sin(50πt -) (V)
Ta có: i = = = - i = ∠- → = (A)
→ I = 2,5 (A)

(1)

= = = 50 – 10i → R+r = 50(Ω)

(2)

Từ (1) và (2), suy ra: P = = 2,52.50 = 312,5(W)
Vậy công suất tiêu thụ trên đoạn mạch MN là 312,5W
2.4. Bài tập 4: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:


13

Có R = 50(Ω), L = 4/ (H), C = 2/15 (mF).
Điện áp hai đầu mạch có dạng =150cos(50t). Xác định biểu thức điệp áp hai
đầu đoạn mạch MB?
Giải:
Ta có: R = 50, ZC = = 100(Ω), = = 50(Ω)
Tổng trở phức trên AB là: ZAB = 50 + (50-100).i = 50 – 50i
Tổng trở phức trên MB là: ZMB = (50-100).i = -50i
Cường độ dịng điện trong tồn mạch:

i = = = -3i (A)
Điện áp hai đầu đoạn mạch MB là:
= i. = (-3i).(-50i)=-150 =150 (V)
Vậy =150cos(50t+) (V)
2.5. Bài tập 5: Cho đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X
và tụ điện (hình vẽ). Khi đặt vào hai đầu A, B điện áp uAB = U0cos(ωt + φ)
(V) thì: LCω2 = 1, UAN = 25 (V) và UMB = 50 (V), đồng thời uAN sớm pha
π/3 so với uMB. Xác định giá trị của U0?

Giải:
LCω2 = 1→ → u = =
= = = 25 -0,714 → U0 = 25 (V)
Vậy giá trị U0 = 25 (V)
2.6. Lỗi thường gặp khi sử dụng máy tính cầm tay:
- Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy:
+ Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ
(ví dụ 45,60,…)
+ Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là
radian (ví dụ ,…)
- Cách cài đặt máy: Nhấn Shift Mode


14

Nhấn (3) cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.
Nhấn (4) cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.
– Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu
phân số. Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi
như sau:
khác 1:2 ;

2 + 3i khác 2 + (3i)

– Cách khắc phục: Sử dụng dấu ngoặc.
PHẦN 3: KẾT LUẬN
Trên đây là phương pháp giải bài toán mạch điện xoay chiều bằng
phương pháp số phức được tích lũy và rút kinh nghiệm trong q trình học bộ
mơn Vật lý của em tại trường. Bài tập Vật lý là một phần khơng thể thiếu
trong q trình giảng dạy bộ mơn Vật lý ở trường phổ thơng cũng như trường
đại học. Nó là phương tiện để nghiên cứu tài liệu mới, để ôn tập, để rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo, vận dụng kiến thức và bồi dưỡng phương pháp nghiên cứu
khoa học. Bài tập Vật lý là phương tiện để giúp sinh viên rèn luyện những đức
tính tốt đẹp như tính cảm nhận, tinh thần chịu khó và đặc biệt giúp chúng ta có
được thế giới quan khoa học theo chủ nghĩa duy vật biện chứng.
Trong bài tiểu luận này, em mới chỉ trình bày một phương pháp giải bài
tốn mạch điện xoay chiều và chỉ áp dụng cho một dạng mạch duy nhất là
mạch không phân nhánh, làm một số bài tập cơ bản. Do vậy, việc giúp các bạn
sinh viên giải những bài toán về mạch điện xoay chiều là chưa trọn vẹn. Tuy
nhiên, đây là phương pháp mang tính chủ quan của cá nhân em, còn rất nhiều
phương pháp giải khác giải bài toán mạch điện xoay chiều cho ra kết quả
nhanh chóng và chính xác hay mỗi bạn sinh viên sẽ tìm được một phương
pháp giải bài tập phù hợp với mình, cảm thấy dễ hiểu. Chính vì vậy, rất mong


15

được sự quan tâm giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm của quý thầy cô và các bạn
sinh viên. Xin chân thành cảm ơn!
PHẦN 4: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Vật lý 12 Nâng cao - Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXB Giáo

dục Việt Nam.
2. Sách bài tập Vật lý 12 Nâng cao - Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXB Giáo dục
Việt Nam.
3. Nguyễn Trọng Nhân (2019), Chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải nhanh
các dạng bài tập điện xoay chiều”. Truy cập từ:
/>4. ThS Trần Anh Trung (19/09/2018), “Phương pháp giải toán về mạch điện
xoay chiều không phân nhánh RLC”. Truy cập từ: />