Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
1. Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
- Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vng góc với bán kính của đường tròn.
- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường trịn đến đường thẳng d bằng bán
kính R của đường tròn.
- Cách 3: Chứng minh hệ thức MA2 = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp
tam giác ADE.

2. Ví dụ chứng minh tiếp tuyến của đường trịn
Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao
cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa:



Vì MA2 = MB.MC ⇒
Xét ΔMAC và ΔMBA có
: góc chung

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)
 (1)


Kẻ đường kính AD của (O)
Ta có

 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà

 (chứng minh trên)

Suy ra
Lại có

  (3)
=90o  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=  90o (4)
= 90o hay

Từ (3) và (4) suy ra

= 90o

⇒ OA ⊥ MA
Do A ∈ (O)
⇒ MA là tiếp tuyến của (O).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại
E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của
(O). 
Gợi ý đáp án

Ta có :

 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB
Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}
⇒ I là trực tâm tam giác ABC
Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H
Xét tam giác AFI vng tại F, có M là trung điểm của AI


⇒ FM = MA = MI
⇒ ΔFMA cân tại M
(hai góc ở đáy) (1)
Xét tam giác OFC, có OF = OC
⇒ FOC cân tại O
⇒ 

(hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vng tại H, có:
Từ (1), (2) và (3)
Mà

= 90O

⇒ MF ⊥ OF
Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

 = 90O

= 90o (hai góc phụ nhau)(3)