(Hình học 9  Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Sự xác định đường tròn tính chất đối xứng của đường tròn

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§1 Sự xác định đường trịn
Tính chất đối xứng của đường tròn
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

chơng II

đờng tròn
Chơng này, bao gồm các bài học:
1. Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn
2. Đờng kính và dây của đờng tròn
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
4. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
6. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
7. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
4


Đ1 s ự xác định đờng tròn

t ính

chất đối xứng của đờng tròn

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. nhắc lại về đờng tròn

ở lớp 6, ta đà biết:
Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là
hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.

O

M

R

Đờng tròn nh vậy đợc kí hiệu (O; R), trong trờng hợp
không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O).
Cho đờng tròn (O; R) và điểm M, ta cã:
 NÕu OM < R ⇔ M n»m trong đờng tròn.
Nếu OM = R M nằm trên đờng tròn.
Nếu OM > R M nằm ngoài đờng tròn.

M
O R

M

M
Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 98 sgk): Trong hình 53, điểm H nằm bên ngoài đờng
tròn (O), điểm K nằm bên trong đờng tròn (O). HÃy so sánh số đo
Ã
Ã
của hai góc OKH và OHK.



Giải Sử dụng hình 53/tr 98 Sgk
Từ giải thiết:
H nằm ngoài đờng thẳng (O), suy ra OH > R.
K nằm trong đờng thẳng (O), suy ra OK < R.
Khi ®ã, trong ∆OHK víi:

·
·
OK < OH ⇔ OHK < OKH.

2. cách xác định đờng tròn

Theo định nghĩa một đờng tròn sẽ hoàn toàn đợc xác định
khi biết tâm và bán kính của đờng tròn đó, hoặc khi biết đoạn
thẳng là đờng kính của đờng tròn đó

Thí dụ 2: HÃy xác định tâm O của đờng tròn, biết nó đi
qua điểm A và có bán kính bằng R.



Giải
Khi đó:
AO = R O(A; R) Đờng tròn tâm A, bán kÝnh R.
ThÝ dơ 3: (H§ 2/tr 98 − sgk): Cho hai điểm A và B.

O
O

R

A

O

5

a. HÃy vẽ một đờng tròn đi qua hai điểm đó.
b. Có bao nhiêu đờng tròn nh vậy ? Tâm của chúng nằm trên đờng
thẳng nào ?



Giải

B

a. Ta có một trong các đờng tròn đi qua A và B Hình bên.
b. Có vô số đờng tròn đi qua hai điểm A và B.
Thật vậy, dờng tròn đi qua hai điểm A và B thì:
OA = OB O thuộc trung trực của đoạn thẳng AB.

O O
A

Thí dụ 4: (HĐ 3/tr 98 − sgk): Cho ba ®iĨm A, B, C không thẳng hàng. HÃy vẽ đờng tròn đi qua ba ®iĨm ®ã.



Gi¶i
Ta cã nhËn xÐt:
OA = OB ⇔ O thc đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
OA = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC.
OB = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Vậy, tâm O là giao điểm của ba đờng trung trực của ABC.

A
B

O
B

A

A
O

C

O

C
B

C

Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông thì tâm của của đờng tròn ngoại tiếp
ABC là trung điểm của cạnh huyền.
Ta có các kết quả:
Một điểm O cho tríc vµ mét sè thùc R > 0 cho trớc xác định một đờng tròn
(O: R).
Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định một đờng tròn đờng kính AB (tâm O
là trung điểm của AB), kí hiệu (O;


AB

).
2

Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đờng tròn đi qua ba
điểm đó, kí hiệu (ABC). Đờng tròn này đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp ABC và
ABC gọi là tam giác nội tiếp đờng tròn đó.

Thí dụ 5: (Bài 3/tr 100 Sgk): Chứng minh các định lí sau:
a. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của
cạnh huyền.
b. Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại
tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.


6

Giải


a. Ta biết rằng "Trong tam giác vuông, trung tuyến øng víi c¹nh hun b»ng
mét nưa c¹nh hun" (KiÕn thøc Hình học Toán 7 Tập 2), do đó với ABC
vuông tại A và D là trung điểm BC thì:
1
DA = DB = DC = BC
B
2
D là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
D
b. Giả sử đờng tròn đờng kính BC (D là trung điểm BC) ngoại
2

tiếp ABC, suy ra:
1
1
A
C
DA = DB = DC ⇒ DA = BC ⇔ ∆ABC vuông tại A.
2



Chú ý: Nh vậy, một bài toán đợc đặt ra một cách tự nhiên là " Chứng
minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn", để minh hoạ
một trong các phơng pháp thực hiện dạng toán này chúng ra đi
xét thí dụ sau:

Thí dụ 6: Cho ABC cân tại A, đờng cao AH = 1cm, BC = 4cm. Đờng vuông
góc với AC tại C cắt đờng thẳng AH ở D.
a. Chứng minh rằng các điểm B, C thuộc đờng tròn đờng kính AD.
b. Tính độ dài AD.



Giải
a. Xét hai tam giác ADC và ADB, ta có:
AD chung
Â1 = Â2, vì ABC cân nên AH là phân giác
AC = AB, , vì ABC cân tại A.
do đó:

ADC = ADB ⇒ ABD = ACD = 900
⇔ B, C thuéc ®êng tròn đờng kính AD.
b. Trong ABD vuông tại D, ta cã:
AH.AD = AB2 = AH2 + BH2 ⇔ AD =

A
B

BC 2
4 = 5cm.
AH

AH 2 +

21

H

C

D

Vậy, ta đợc AD = 5cm.
3. Tâm đối xứng

Thí dụ 7: (HĐ 4/tr 98 sgk): Cho đờng tròn (O), A là điểm bất kì thuộc ®êng
trßn. VÏ A' ®èi xøng víi A qua ®iĨm O (h.56/tr 99 − Sgk). Chøng
minh r»ng ®iĨm A' cịng thc đờng tròn (O).

Giải Sử dụng hình 56/tr 99 Sgk
Tõ gi¶i thiÕt, ta cã ngay: OA' = OA = R A' (O) theo định nghĩa.
Trong trờng hợp này AA' là một đờng kính của (O).
7


Ta có kết quả:
Đờng tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của
đờng tròn đó.
4. Trục đối xứng

Thí dụ 8: (HĐ 5/tr 98 sgk): Cho đờng tròn (O), AB là đờng kính bất kì và C là
một điểm thuộc đờng tròn. Vẽ C' ®èi xøng víi C qua AB (h.57/tr 99 −
Sgk). Chứng minh rằng điểm C' cũng thuộc đờng tròn (O).



Giải Sử dụng hình 57/tr 99 Sgk
Từ giải thiết, ta có ngay:
OCC cân tại O vì có trung tuyến cũng là đờng cao
OC' = OC = R C' (O) theo định nghĩa.
Trong trờng hợp này AB là đờng trung trực của CC'.
Ta có kết quả:
Đờng tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đờng kính nào cũng là trục đối
xứng của đờng tròn.

Thí dụ 9: (Bài 6/tr 100 Sgk): Trong các biển thông báo (Bài 6/tr 100 Sgk),
biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng ?
a. Biển cấm đi ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk).

b. Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk).



Giải Sư dơng h×nh 58, 59/tr 100 − Sgk
Ta thÊy ngay:
 Biển cấm đi ngợc chiều (h.58/tr 100_Sgk) có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
Biển cấm ôtô (h.59/tr 100_Sgk) có trục đối xứng là đờng thẳng đi qua
tâm của đờng tròn và vuông góc với ôtô.

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chøng minh

r»ng bèn ®iĨm A, B, C, D thuộc cùng một đờng tròn. Tính bán kính
của đờng tròn đó.
Bài tập 2: Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đờng tròn.
Bài tËp 3: Cho ∆ABC ®Ịu. Gäi M, N, P theo thứ tự là các trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một
đờng tròn.
Bài tập 4: Cho ABC và M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự
vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lợt lấy các điểm I, K
sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chøng
minh r»ng bèn ®iĨm B, I, K, C cïng n»m trên một đờng
tròn.
Bài tập 5: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho AMB = 900.
8


Bài tập 6: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = R. C là một điểm chạy trên đ-

ờng tròn ®ã. Trªn tia BC lÊy mét ®iĨm M sao cho C là trung điểm
của BM. Tìm quỹ tích của điểm M.
Bài tập 7: Đố: Một tấm bìa hình tròn không có dấu vết của tâm. HÃy tìm lại
tâm của đờng tròn đó.
Bài tập 8: Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định. Điểm A di chuyển
trên đờng tròn, D là trung điểm của BC. Gọi M là hình chiếu của B
trên đờng thẳng AD.
a. Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)
b. Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài lớn nhất.
Bài tập 9: a. HÃy dựng một đoạn thẳng AB = 6cm và ba đờng tròn phân biệt
nhận AB làm một dây cung.
b. Trong tất cả các đờng tròn nhận AB làm một dây cung thì đờng
tròn nào có đờng kính nhỏ nhất ? Giải thích tại sao ?
Bài tập 10: Dựng một đờng tròn (O) có bán kính R cho trớc và đi qua hai điểm
A và B cho tríc.
Bµi tËp 11: Cho gãc nhän xAy vµ hai điểm B, C thuộc tia Ax. Dựng đờng tròn
(O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.
Bài tập 12: Dựng một đờng tròn (O) ®i qua hai ®iĨm A vµ B cho tríc vµ có tâm
ở trên đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d).

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
5. nhắc lại về đờng tròn
Định nghĩa: Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là
hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
Đờng tròn nh vậy đợc kí hiệu (O; R), trong trờng hợp
không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O).
Cho đờng tròn (O; R) và điểm M, ta có:
Nếu OM < R M nằm trong đờng tròn.
Nếu OM = R M nằm trên đờng tròn.

Nếu OM > R M nằm ngoài đờng tròn.

O
R

M

M
O R

M
M

9


6. cách xác định đờng tròn
Theo định nghĩa một đờng tròn sẽ hoàn toàn đợc xác định
khi biết tâm và bán kính, vậy với câu hỏi " HÃy xác định tâm
O của đờng tròn, biết:
O
R
a. Đờng tròn đi qua điểm A và có bán kính bằng R.
O
A
Khi đó:
O
AO = R O(A; R) Đờng tròn tâm A, bán kính R.
b. Đờng tròn đi qua hai điểm A và B.
B

Khi ®ã:
OA = OB
O O
⇔ O thuéc ®êng trung trùc cña đoạn thẳng AB.
A
c. Đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Khi đó:
OA = OB O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
OA = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC.
OB = OC O thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Vậy, tâm O là giao điểm của ba đờng trung trực của ABC.

A
B

O
B

A

A
O

C

O

C
B

C

Trờng hợp đặc biệt: Nếu ABC vuông thì tâm của của đờng tròn ngoại tiếp
ABC là trung điểm của cạnh huyền.
Ta có các kết quả:
Một điểm O cho tríc vµ mét sè thùc R > 0 cho trớc xác định một đờng tròn
(O: R).
Một đoạn thẳng AB cho trớc xác định một đờng tròn đờng kính AB (tâm O
là trung điểm của AB), kí hiệu (O;


AB
).
2

Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đờng tròn đi qua ba
điểm đó, kí hiệu (ABC).

7. Tâm đối xứng Trục đối xứng
Ta có kết quả:
Tâm của đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó.
Bất kỳ đờng kính nào cũng là trục đối xứng của đờng tròn.

10


B. phơng pháp giải toán
Dạng toán 1: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn
Phơng pháp
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh các điểm này cùng cách
đều một điểm.
Lu ý rằng đờng tròn (O) đi qua hai điểm A, B thì tâm O thuộc
đờng trung trực của đoạn thẳng AB.


Cách 2: Sử dụng kết quả "Nếu ABC = 900 thì B thuộc đờng tròn đờng
kính AC".
Ví dụ 1: (Bài 1/tr 99 Sgk): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm,

BC = 5cm. Chøng minh r»ng bèn ®iĨm A, B, C, D thuộc cùng một
đờng tròn. Tính bán kính của đờng tròn đó.

Hớng dẫn:


Sử dụng hai tam giác vuông với cạnh huyền là AC (hoặc BD), từ đó
1
1
suy ra bán kính đờng tròn là AC (hoặc BD ) và độ dài của nó đ2
2
ợc tính nhờ định lí Pytago.

Giải Học sinh tự vẽ hình
Nhận xét rằng:
ABC vuông tại B nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC.
ADC vuông tại D nên B thuộc đờng tròn đờng kính AC.
Vậy, bốn điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn đờng kính AC và:
1
1

1
1
13
R = AC =
AB2 + BC 2 =
122 + 52 =
144 + 25 = .
2
2
2
2
2

VÝ dơ 2: (Chó ý/tr 98 − sgk): Chøng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng

không thể có một đờng tròn.

Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng, tức giả sử "Tồn tại đờng

tròn đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C rồi suy ra sự mâu thuẫn bởi hai
đờng thẳng song song thì không thể cắt nhau.



Giải
Ta đi chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại đờng tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C. Ta cã:
A, B ∈ (O) ⇒ OA = OB ⇒ O thuéc trung trùc Ex cña AB
B, C ∈ (O) ⇒ OB = OC ⇒ O thuéc trung trùc Fy cña BC
suy ra {O} = Ex ∩ Fy.

(*)
11


Mặt khác, vì A, B, C thẳng hàng nên:
Ex // Fy, điều này mâu thuẫn với (*).
Vậy, qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đờng tròn.



Chú ý: Từ kết quả "Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ
một đờng tròn đi qua ba điểm đó ", chúng ta có thể khai thác thêm
nh sau:
1. Nếu các điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn (O) và A, B, C, E
thuộc đờng tròn (O') thì (O) (O'), hay nói cách khác " Năm
điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn ".
2. Më réng h¬n " NÕu ta cã A, B, C, D thuộc đờng tròn (O 1 )
và A, B, C, E thuộc đờng tròn (O 2 ) và A, B, C, F thuộc đờng tròn (O 3 ) " thì (O1) (O2) (O3) (O) và (O) là đờng
tròn ngoại tiếp DEF.

Ví dụ 3: (Bài 2/tr 100 Sgk): HÃy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải

để đợc khẳng định đúng.



Giải Sư dơng b¼ng tr 100 − Sgk
Ta cã:
(1) ⇒ (5);
(2) ⇒ (6);

(3) ⇒ (4).

VÝ dơ 4: Cho ∆ABC ®Ịu. Gäi M, N, P theo thứ tự là các trung điểm của các

cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một
đờng tròn.

Hớng dẫn: Sử dụng một trong hai cách đà đợc trình bày trong phần phơng pháp


giải toán.

Giải
Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: Vì ABC đều nên trung tuyến sẽ là đờng cao, do đó:

CM AB BMC = 900
M
M thuộc đờng tròn có ®êng kÝnh BC.
ˆ
 BP ⊥ AC ⇔ BPC = 900
B
⇒ P thuộc đờng tròn có đờng kính BC.
Vậy bốn điểm B, C, M, P thuộc đờng tròn có đờng kính BC.
Cách 2: Ta có:
BMD vuông tại M và có MN là trung tuyến, nên:
MN = NB = NC.
BPC vuông tại P và có PN là trung tuyến, nên:
PN = NB = NC.
Tõ (1), (2) suy ra:

NB = NC = NM = NP ⇔ B, C, M, P thuéc ®êng trßn (N; NB).
12

A
P
N

(1)
(2)

C


Cách 3: Với ABC đều có cạnh bằng a nên NB = NC =

a
.
2

(3)

1
a
AC = .
(4)
2
2
1
a
PN là đờng trung bình nên PN = AB = .

(5)
2
2
Từ (3), (4), (5) suy ra:
a
a
NB = NC = NM = NP = ⇔ B, C, M, P thuộc đờng tròn (N; ).
2
2



MN là đờng trung bình nên MN =

Ví dụ 5: Cho ABC và M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự

vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lợt lấy các điểm I, K
sao cho D là trung điểm của BI, E là trung ®iĨm cđa CK. Chøng minh
r»ng bèn ®iĨm B, I, K, C cùng nằm trên một đờng tròn.

Hớng dẫn: Tham kh¶o vÝ dơ 4.
 Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: (Sử dụng định nghĩa) Ta có:
1
M là trung điểm BC nên MB = MC =
BC. (1)
2
 MD lµ trung trùc cđa BI nên:
MI = MB.

(2)
ME là trung trực của CK nên MK = MC.
(3)
1
Tõ (1), (2), (3) suy ra MB = MC = MI = MK =
BC.
2

I

A

D
B

VËy bèn ®iĨm B, I, K, C cùng nằm trên đờng tròn tâm M, bán kính

K
E
C
M

1
BC.
2

Cách 2: Ta có:
MD là trung trực của BI nên:
MI = MB =

1
BC BCI vuông tại I
2

I thuộc đờng tròn đờng kính BC.
(4)
ME là trung trực của CK nên:
1
MK = MC =
BC BCK vuông tại K
2
K thuộc đờng tròn đờng kính BC.
(5)
Vậy, bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC.


13




Nhận xét: Trong lời giải trên, để chứng minh bốn ®iĨm B, I, K, C cïng
thc mét ®êng trßn, ta có thể sử dụng cả hai cách và:



ở cách 1, ta khẳng định điểm M (đà cho sẵn) cách đều bốn
điểm B, I, K, C dựa trên tính chất đờng trung trùc.



ë c¸ch 2, ta khÐo lÐo chøng minh B I C = BKC = 900 dựa
trên kết quả "Trong tam giác vuông trung tuyến bằng
thuộc cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền và ngợc lại ".
Tuy nhiên, cách 2 đợc đề xuất thông qua kết quả của cách
1.

Dạng toán 2: Quỹ tích điểm là một đờng tròn
Phơng pháp
Với yêu cầu " Tìm tập hợp các điểm M thoả mÃn tính chất K ", ta cần trình
bày lời giải gồm ba phần:
Phần thuận: Giả sử có điểm M thoả m·n ®iỊu kiƯn K, ta khÐo lÐo
suy ra r»ng M thuộc một đờng tròn (O), thí dụ:
Chứng minh OM = r không đổi.

Chứng minh AMB = 900, với O là trung điểm AB.
Phần đảo: Lấy M (O) và đi chứng minh rằng M có tính chất K.
KÕt ln.
VÝ dơ 1: (Bµi 7/tr 101 − Sgk): H·y nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải

để đợc khẳng định đúng.

Hớng dẫn: Sử dụng định nghĩa đờng tròn và hình tròn.
Giải Sử dơng b¼ng tr 100 − Sgk
Ta cã:
(1) ⇒ (4);

(2) ⇒ (6);

(3) (5).

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho AMB = 900.

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí trong thí dụ 5.
Giải
Gọi O là trung điểm AB, khi đó với điểm M thoả mÃn

AMB = 900, ta đợc:
1
ABM vuông tại M OM =
AB
2
1
M thuộc đờng tròn (O,
AB).
2
14

M

A

O

B




Chú ý:

1. Cách trình bày trên chỉ có tính minh hoạ, còn để có đợc lời giải đúng của
một bài toán quỹ cần thực hiện theo ba bớc.

2. Từ nay, chúng ta đợc quyền sử dụng kết quả "Nếu AMB = 900 thì M
thuộc đờng tròn đờng kính AB ".

Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = R. C là một điểm chạy trên đ-

ờng tròn đó. Trên tia BC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm
của BM. Tìm quỹ tích của điểm M.

Hớng dẫn: Tìm cách chứng minh AM = AB Không đổi. Từ đó, suy ra M thuộc đờng tròn tâm A bán kính AB.

M
Giải
C
Phần thuận: Giả sử có điểm M sao cho C là trung điểm của
A
BM.
O B
Vì C thuộc đờng tròn đờng kính AB

ACB = 900 AC BM
ABM cân vì có AC vừa là ®êng cao, võa lµ trung tuyÕn
⇒ AM = AB = R M(A, R).
Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đờng tròn (A, R), BM cắt (O) tại C. Ta phải
chứng minh C là trung điểm của BM.
Thật vậy:
AM = AB = R ABM cân tại A


 C∈(O) ⇒ ACB = 900 ⇔ AC⊥BM
suy ra AC là đờng cao ứng với cạnh đáy nên đồng thời là trung tuyến.
Vậy C là trung điểm của BM.



Kết luận: Quỹ tích của điểm M là đờng tròn (A, R).



Nhận xét: Trong lời giải trên, để tìm tập hợp điểm M chúng ta đà tuân
thủ đúng lợc đồ của bài toán quỹ tích, cụ thể:
Phần thuận: Ta giả sử có điểm M sao cho C là trung điểm
của BM, từ đó suy ra đợc M(A, R).
Phần đảo: Ta lấy điểm M(A, R) và đi chứng minh M
thoả mÃn ®iỊu kiƯn C lµ trung ®iĨm cđa BM.
 KÕt ln.
Sư dụng phơng pháp đợc trình bày trong ví dụ trên chúng ta
giải đợc các bài toán tơng tự:

Bài toán 1: Cho đờng tròn (O, R), điểm A cố định trên đờng
tròn, điểm B di chuyển trên đờng tròn. Tìm quỹ tÝch trung ®iĨm
M cđa AB .
15


Thật vậy:
Phần thuận: Giả sử có điểm M là trung ®iĨm cđa AB.
XÐt ∆OAB, ta cã:
OA = OB = R OAB cân tại O

OM vừa là đờng cao, vừa là trung tuyến

AMO = 900
M thuộc đờng tròn đờng kính OA.
Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đờng
tròn (OA), AM cắt (O) tại B. Ta phải chứng A
minh M là trung điểm của AB.
Thật vậy:

M ∈ (OA) ⇔ AMO = 900 ⇔ OM ⊥ AB.
Khi đó, trong OAB cân tại O ta có ngay:
OM là trung tuyÕn ⇔ MA = MB.
KÕt luËn: Quü tÝch cña điểm M là đờng tròn (OA).

B

M
O

Bài toán 2: Cho đờng tròn (O, R). Hai điểm A, B di chuyển trên
đờng tròn sao cho độ dài AB = 2l không đổi (l < R). Tìm quỹ
tích trung điểm M của đoạn AB.
Thật vậy:
Phần thuận: Giả sử có điểm M là trung điểm của AB.
Xét OMA vuông tại M, ta có:
OM2 = OA2 − MA2 = R2 − l2 ⇔ OM = R 2 l2
M thuộc đờng tròn (O, R 2 l2 ).
B
M
Phần đảo: Lấy một điểm M bất kỳ trên đờng

tròn (O, R 2 l2 ), đờng thẳng qua M vuông A
O
góc với OM cắt (O, R) tại A và B. Ta phải
chứng minh M là trung ®iĨm cđa AB vµ AB =
2l.
ThËt vËy, ta thÊy ngay M là trung điểm của AB, ngoài ra:
AB = 2AM = 2 OA 2 − OM 2 = 2 R 2 − (R 2 − l2 ) = 2l.
KÕt luËn: Quỹ tích của điểm M là đờng tròn (O,

R 2 − l2 ).

VÝ dơ 6: (Bµi 5/tr 100 − Sgk): Đố: Một tấm bìa hình tròn không có dấu vết

của tâm. HÃy tìm lại tâm của đờng tròn đó.

Hớng dẫn: Sử dụng phơng pháp tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy ba điểm A, B, C trên đờng tròn, từ đó:
Vẽ trung trực AB là d1.
Vẽ trung trực AC là d2.
Khi đó, giao điểm của d1 với d2 chính là tâm của đờng tròn.
16


Ã
Cách 2: Vẽ góc vuông BAC thuộc đờng tròn.
Khi đó, trung điểm của BC chính là tâm của đờng tròn.

Nhận xét: Cách 1 trong lời giải trên đà giải thích cho các em học sinh hiểu
hơn về nội dung của mơc "Cã thĨ em cha biÕt tr 102 − Sgk"

VÝ dụ 4: Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định. Điểm A di chuyển

trên đờng tròn, D là trung điểm của BC. Gọi M là hình chiếu của B
trên đờng thẳng AD.
a. Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)
b. Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài lớn nhÊt.

 Híng dÉn: Sư dơng tÝnh chÊt M nh×n mét đoạn thẳng dới một
góc vuông.

A

O
Giải
M
a. Ta có:
B
D

BM DM BMD = 900
M di chuyển trên đờng tròn có ®êng kÝnh BD, trõ ®iÓm B.
b. Ta cã, trong ®êng tròn có đờng kính BD thì
BM BD (đờng kính là dây lớn nhất).
Do đó, BM có độ dài lớn nhất bằng BD, đạt đợc khi
M D AD BC ABC cân tại A
A là giao điểm của đờng tròn tâm O với đờng trung trực của BC.

C

Nhận xét: Trong lời giải b), để chỉ ra đợc vị trí cần tìm của điểm A sao cho
BM lớn nhất chúng ta đà bắt đầu bằng bất đẳng thức:
BM BD, trong đó BD là độ dài không đổi
BMmax = BD, đặt đợc khi M D vị trí của A.
Nh vậy, lập luận đó dựa trên tính chất " Đờng kính là dây
cung lớn nhất của đờng tròn ", tuy nhiên, nếu muốn, chúng ta
có thĨ lËp ln theo c¸ch kh¸c nh sau:
BD2 = BM2 + DM2 ⇒ BMmax khi DMmin.
Tõ ®ã, suy ra BMmax = BD đặt đợc khi:
DMmin = 0 M D.
Mở rộng phơng pháp giải ví dụ trên chúng ta thực hiện đợc yêu
cầu "Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đờng chéo AC
= 2cm. Tìm quỹ tích của điểm D".
Thật vậy: Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Phần thuận: Giả sử có điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

17


Ta cã:

B
O1

1
OA = AC = 1cm ⇔ O ∈ (A, 1).
B1
2
Giả sử (A, 1) cắt đờng thẳng AB tại O1 và
A
O C
O2 (cố định). Gọi B1 và B2 theo thứ tự là
điểm đối xứng với B qua O 1 và O2. Ta có
O2
ngay:
D
0
O1ÔO2 = 90 , góc chắn nửa đờng tròn
DB1 // OO1, tính chất đờng trung bình
DB2 // OO2, tính chất đờng trung bình
suy ra:
B2

B1DB2 = 900 D thuộc đờng tròn đờng kính B1B2.
Phần đảo: Lấy một điểm D bất kỳ trên đờng tròn (B1B2), BD cắt (A,
1) tại O, lấy C đối xứng với A qua O. Ta phải chứng minh ABCD là
hình bình hành có AC = 2cm.
ThËt vËy, ta cã ngay:
AC = 2AO = 2cm.
MỈt khác, dựa trên hình vẽ cùng với nhận xét:

O1ÔO2 = 900 vµ B1DB2 = 900 ⇒ DB1 // OO1.
Trong ∆BB1D, ta có:
BO1 = B1O1

OO1 là đờng trung bình OB = OD.

DB1 // OO1
Khi đó, tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
đờng nên nó là hình bình hành.

Dạng toán 3: Dựng đờng tròn
Phơng pháp
Để dựng một đờng tròn ta cần biết tâm và bán kính và hÃy nhớ lại
"Tâm của đờng tròn đi qua hai điểm A và B cho trớc nằm trên đờng trung
trực của AB ".
Để trình bày lời giải một bài toán dựng hình, ta cần thực hiên bốn phần:
Phần tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O), từ đây suy ra vị trí tâm
và độ dài bán kính của nó.
Cách dựng: Dựa vào kết quả ở bớc phân tích chúng ta suy ra phép
dựng hình.
Chứng minh: Chứng minh đờng tròn đợc dựng ở bớc dựng hình thoả
mÃn điều kiện đầu bài.
Biện luận: Số đờng tròn thoả mÃn điều kiện đầu bài.

18


Ví dụ 1: a. HÃy dựng một đoạn thẳng AB = 6cm và ba đờng tròn phân biệt

nhận AB làm một dây cung.
b. Trong tất cả các đờng tròn nhận AB làm một dây
cung thì đờng tròn nào có đờng kính nhỏ nhất ?
Giải thích tại sao ?

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả "Đờng tròn nhận AB làm một dây cung thì tâm của nó


sẽ thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB".

Giải
a. Ta lần lợt thực hiện:
Dựng đoạn thẳng AB = 6cm.
Dựng trung trực d của AB. Trên d lấy bốn điểm
O1, O2, O3, I (I là trung điểm AB).
A
Dựng bốn đờng tròn (O1, O1A), (O2, O2A), (O3,
O3A) vµ (I, IA).
b. Gäi (O) lµ mét đờng tròn nhận AB làm một dây cung.
Vẽ đờng kính AC, ta cã:
AC ≥ AB víi AB lµ h»ng sè.
Do đó ACmin = AB, đạt đợc khi C B.
Vậy, đờng tròn có đờng kính nhỏ nhất là đờng tròn ®êng kÝnh AB.

d

I

B

VÝ dơ 2: Dùng mét ®êng trßn (O) có bán kính R cho trớc và đi qua hai điểm

A và B cho trớc.

Hớng dẫn: Sử dụng lần lợt các điều kiện:

OA = R O(A, R).
OB = R O(B, R).

Giải
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều
kiện đầu bài, ta có:
A∈ (O; R) ⇒ OA = R ⇒ O ∈ (A, R).
B
 B∈ (O; R) ⇒ OB = R ⇒ O (B, R).
R
Vậy, tâm O là giao của hai đờng tròn (A, R) và (B, R).
O'
O
Cách dựng: Ta lần lợt:
R
Dựng các đờng tròn (A, R) và (B, R) và gọi O là giao
A
điểm của hai đờng tròn đó.
Dựng đờng tròn (O; R).
Chứng minh: Theo cách dựng ta cã:
OA = OB = R ⇒ A, B ∈ (O; R).
Biện luận: Số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của hai đờng
tròn (A, R) và (B, R), ta có:
Nếu 2R > AB thì bài toán có hai nghiệm hình.
19

Nếu 2R = AB thì bài toán có một nghiệm hình.
Nếu 2R < AB thì bài toán không có nghiệm h×nh.
NÕu 2R > AB
NÕu 2R = AB

R

O

A

R

B

A

R

R

O

B

NÕu 2R < AB

A

R

R

B

O'
VÝ dơ 3: (Bµi 8/tr 101 − Sgk): Cho gãc nhän xAy và hai điểm B, C thuộc tia

Ax. Dựng đờng tròn (O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

Hớng dẫn: Việc xác định tâm sử dụng tơng giao của hai đờng thẳng.
Giải Học sinh tự vẽ hình

Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện đầu bµi, ta cã:
 B, C ∈ (O; R) ⇒ OB = OC = R ⇒ O thuéc trung trùc d của BC.
Theo giải thiết O Ay.
Vậy, tâm O là giao của d với Ay.
Cách dựng: Ta lần lợt:
Dựng trung trực d của BC.
Xác định giao điểm O của d với Ay.
Dựng đờng tròn (O; OB).
Chứng minh: Theo c¸ch dùng ta cã:
O ∈ Ay;
OB = OC = R ⇒ B, C ∈ (O; OB).
BiƯn ln: bµi toán có một nghiệm hình.
Ví dụ 4: Dựng một đờng tròn (O) đi qua hai điểm A và B cho trớc và có tâm

ở trên đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d).

Giải
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Ta có:
a
A, B(O) O nằm trên đờng trung trực a của AB.
Vậy, tâm O là giao của a và d.
Cách đựng: Ta lần lợt:
Dựng đờng trung trực a của AB.
d cắt a tại O.
Dựng đờng tròn (O , OA).

20

O
d
A

B


Chứng minh: Ta thấy ngay (O, OA) thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Biện luận: Vì với hai đờng thẳng d và a ta có ba trờng hợp về vị trí tơng đối nên:
Nếu a d d là trung trực của AB thì bài toán có vô số nghiƯm h×nh.
 NÕu a // d ⇔ AB ⊥ d (d không là ttrung trực của AB) thì bài toán vô nghiệm.
Nếu a cắt d thì bài toán có nghiệm hình duy nhất.
Nếu d là trung trực
Nếu AB d và không là Nếu AB không vuông

của AB
góc với d
trung trực của AB

a

a
d

O
A

a
O

B

A

B

d
A

B

d

bài tập lần 2
Bài 1: Cho ABC đều. Gọi M, N, P theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB,

BC, CA. Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một đờng tròn.
Bài 2: Cho ABC cân tại A, đờng cao AH = 3cm, BC = 4cm. Đờng vuông góc với
AC tại C cắt đờng thẳng AH ở D.
a. Chứng minh rằng các ®iĨm B, C thc ®êng trßn ®êng kÝnh AD.
b. TÝnh độ dài AD.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có C + D = 900 . Gäi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm
của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông gãc víi nhau. Gäi M,
N, P, Q theo thø tù là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm
M, N, P, Q cùng nằm trên một đờng tròn.
à à
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có A = C = 900 .
a. Chøng minh r»ng bèn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn.
b. Chứng minh rằng AC BD. Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để BD = AC .
Bài 6: Cho đờng tròn (O, R), điểm A cố định trên đờng tròn, điểm B di chuyển trên
đờng tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB.
Bài 7: Cho đờng tròn (O, R). Hai điểm A, B di chuyển trên đờng tròn sao cho độ dài
AB = 2l không đổi (l < R). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đờng chéo AC = 2cm. Tìm
quỹ tích của điểm D.
Bài 9: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính BC. Điểm A di động trên (O), gọi P, Q theo
thứ tự là trung điểm của AB và AC.
a. Chứng minh rằng PQ có độ dài không đổi khi A di động trên (O).
b. Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ.

21


Bài 10: Cho ABC có ba góc nhọn, đờng cao AD. Dựng điểm M thuộc đờng thẳng

AD sao cho BMC = 900.
Bài 11: Cho đờng thẳng d và một điểm A cách đờng thẳng d là
1cm. Dựng đờng
tròn (O) có bán kính 1,5cm đi qua A và có tâm nằm trên đờng thẳng d.
Bài 12: Dựng một đờng tròn (O) ®i qua hai ®iĨm A vµ B cho tríc vµ có tâm ở trên đờng thẳng d cho trớc (A, B không thuộc d).
Bài 13: Cho năm điểm A, B, C, D, E. BiÕt r»ng qua bèn ®iĨm A, B, C, D có thể vẽ đợc
một đờng tròn, qua bốn ®iĨm B, C, D, E cịng vÏ ®ỵc mét ®êng tròn. Hỏi qua cả năm điểm
A, B, C, D, E có thể vẽ đợc một đờng tròn không ?

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giá: 1050.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

22