(SKKN 2022) một số kĩ thuật tìm lời giải các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số hợp trong đề thi tốt nghiệp THPT

MỤC LỤC
1. Mở đầu....................................................................................................................... 1
1.1. Lí do chọn đề tài......................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm...............................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.................................................................2
2.1.1 Định nghĩa....................................................................................................2
2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị..............................................................2
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị...............................................................2
2.1.4 Quy tắc tìm cực trị........................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề........................................................4
g( x) = f é
u xù
ê
ë ( )ú
û khi biết đồ thị
2.3.2. Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số hợp dạng
y = f ¢( x)
y = f ( x)
hoặc bảng biến thiên của hàm số
hoặc
...............................4

g( x) = f (x) + u ( x)
2.3.2. Dạng 2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số hợp dạng
y = f ¢( x)
khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
..................................8

ù
g( x) = f é
êu ( x) û
ú đạt
ë
2.3.3. Dạng 3 : Tìm giá trị của tham số để hàm số hợp dạng
cực trị thoả mãn điều kiện khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
y = f ¢( x)
...........................................................................................................12
2.3.4. Bài tập đề nghị...........................................................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường...........................................................................................16
3. Kết luận, kiến nghị...................................................................................................18
3.1. Kết luận.................................................................................................................18
3.2. Kiến nghị...............................................................................................................18
Tài liệu tham khảo.......................................................................................................19


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Đổi mới giáo dục đang được toàn xã hội quan tâm. Đổi mới phương pháp dạy
học trong đổi mới giáo dục phổ thông theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức; tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng
lực.
Trong những năm gần đây, đề thi mơn Tốn trong Kỳ thi THPT quốc gia, nay là Kỳ
thi tốt nghiệp THPT đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách
quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà
trường. Để đạt được kết quả cao trong kỳ thi này, học sinh không chỉ nắm vững kiến
thức cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn mà cần có khả năng tư duy logic cao để tiếp

cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất để tìm ra đáp
án. Đây thực sự là một thách thức lớn đối với mỗi giáo viên chúng ta khi giảng dạy
Trong đề thi THPTQG các năm trước cũng như đề thi TNTHPT các năm gần đây và
mới nhất là hai đề tham khảo của Bộ giáo dục năm 2022 thì câu hỏi về cực trị của hàm
số luôn xuất hiện và ở tất cả các mức độ kiến thức từ nhận biết, thơng hiểu, vận dụng
đặc biệt có cả các câu mức độ vận dụng cao.
Với hình thức thi trắc nghiêm thì các dạng tốn khơng bó hẹp ở một số dạng theo
lối mịn mà đã biến hố rất đa dạng trong đó có bài tốn liên quan đến cực trị của hàm
số hợp mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, các sách tham khảo cũng chưa nhiều cho
dạng toán này do đó cả giáo viên và học sinh rất khó khăn để tìm nguồn tài liệu trong
giảng dạy và học tập khi khai thác ở chủ đề này. Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh
khá giỏi ôn thi thật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi Tốt nghiệp THPT sắp tới, tôi
mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:
“Một số kĩ thuật tìm lời giải các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số
hợp trong đề thi tốt nghiệp THPT ”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu nhằm cung cấp phương pháp tư duy cho học sinh trong các
bài toán vận dụng cao liên quan đến cực trị của hàm số hợp giúp các em có khả năng
lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2022 đồng thời giúp đồng
nghiệp trong tổ chun mơn có thêm nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Kĩ thuật tìm lời giải các bài tốn vận dụng cao liên quan đến cực trị của hàm số hợp
xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
-Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.
-Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.

1

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú,
thống kê điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1 Định nghĩa
x Ỵ K
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0
. Ta nói:
-

x0

( a;b) chứa x0 sao
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

cho

( a;b) Ì

K

và

f ( x) > f ( x0 ) , " x Ỵ ( a;b) \ { x0}

. Khi đó

f ( x0 )

được gọi là

giá trị cực tiểu của hàm số f .
-

x0

( a;b) chứa x0 sao cho
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

( a;b) Ì
-

K

và

f ( x) < f ( x0 ) , " x Ỵ ( a;b) \ { x0}

. Khi đó

f ( x0 )

được gọi là giá trị

cực đại của hàm số f .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và
điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
của hàm số.

- Nếu

x0

là điểm cực trị của hàm số thì điểm
của đồ thị hàm số f .

( x ;f (x ))
0

0

được gọi là điểm cực trị

2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số

y = f ( x)

đạt cực trị tại điểm

x0

. Khi đó, nếu

y = f ( x)

có đạo hàm

f ¢( x0) = 0.
x
tại điểm 0 thì
Chú ý:
-

Đạo hàm

f ¢( x)

x
có thể bằng 0 tại điểm 0 nhưng hàm số f khơng đạt cực trị tại

x
điểm 0 .
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:

2


x
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm
x0

thì

-

f '( x0 ) = 0

.

Nếu trên khoảng

(x

0

- h; x0 )

một điểm cực đại của hàm số
- Nếu
thì

x0

f ¢( x) < 0

và

trên khoảng

( x ;x
0

0

+ h)

x0

thì

là

f ( x) .

(x

trên khoảng

f ¢( x) < 0

0

- h; x0 )

là một điểm cực tiểu của hàm số

và

f ¢( x) > 0

trên khoảng

( x ;x

0

0

+ h)

f ( x) .

2.1.4 Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

f ¢( x) .

x ( i = 1;2;...)
Bước 2: Tìm các điểm i
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
f ¢( x)
f ¢( x)
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
. Nếu
đổi dấu khi đi
x
x
qua i thì hàm số đạt cực trị tại i .
Định lí 3:

Giả sử
đó:

-

Nếu

y = f ( x)

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

f ¢( x0) = 0, f ¢¢( x0) < 0

(x

0

- h;x0 + h)

với h > 0. Khi

x.
thì hàm số f đạt cực đại tại 0

f ¢( x0) = 0, f ¢¢( x0) > 0
x.
- Nếu
thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
f ¢( x) .
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
f ¢( x) = 0.

x ( i = 1;2;...)
Bước 2: Tìm các nghiệm i
của phương trình
f ¢¢( x)
f ¢¢( xi ) .
Bước 3: Tính
và tính
-

Nếu

- Nếu

f ¢¢( xi ) < 0

f ¢¢( xi ) > 0

x.
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i

x.
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm i

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

3


Trong thực tế giảng dạy qua trao đổi với các thầy cô bộ môn trong tổ tôi nhận thấy
rằng: các bài toán vận dụng cao về cực trị của hàm số đặc biệt là cực trị của hàm số

hợp rất đa dạng và gây rất nhiều khó khăn cho học sinh cũng như giáo viên
Với học sinh thì đứng trước mỗi bài toán đều chưa biết phân dạng và hướng giải
quyết còn mơ hồ.
Với giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh cịn lúng túng vì nguồn tài liệu viết về
vấn đề này chưa nhiều và tài liệu chính thống là sách giáo khoa thì chưa đề cập.
Từ thực tế đó việc phân dạng bài tập và hướng dẫn học sinh cách tư duy bài toán
đồng thời đưa ra các cách giải từng dạng là cần thiết trong giảng dạy ôn luyện cho học
sinh khá giỏi phù hợp với yêu cầu thi tốt nghiệp THPT trong giai đoạn hiện nay.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy ôn tập cho các em về các bài toán về cực trị của hàm số hợp
tôi chia thành các dạng bài tập và hướng dẫn các em phương pháp chung để giải quyết
đồng thời đưa ra cách giải quyết cụ thể cho từng dạng bài tập.
ù
g( x) = f é
êu ( x) û
ú khi biết đồ thị hoặc
ë
2.3.2. Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số hợp dạng
y = f ¢( x)
y = f ( x)
bảng biến thiên của hàm số
hoặc
.
Phân tích hướng giải.
u xù
g( x) g¢( x) = u¢( x) .f ¢é
ê
ë ( )ú
û.
B1: Tính đạo hàm của hàm số

,
f ¢( x)
B2: Sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên của
, suy ra nghiệm của phương trình
g x  0

, lập bảng xét dấu của

g¢( x)

.

B3: Dựa vào bảng xét dấu của

g  x 

để suy ra số cực trị của hàm số

g  x   f u  x  

Chú ý:  Tính chất đổi dấu của biểu thức:
Gọi x = a là một nghiệm của phương trình:

f ( x) = 0
2

. Khi đó

( x - a ) ,( x - a )
là nghiệm bội bậc chẵn (

Nếu x = a
không đổi dấu khi đi qua a .
Nếu x = a
số

y = f ( x)

4

,...

) thì hàm số

( x - a ) ,( x - a )
là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ (

3

,...

đổi dấu khi đi qua a .

Ví dụ 1. ( Trích đề Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 1 năm 2022)

4

y = f ( x)

) thì hàm

Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên ¡ và

đồ thị hàm số

f  x

y  f  x2  2 x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

như hình vẽ bên. Hàm số

B. 2 .

A. 1 .

D. 3 .

C. 5 .
Phân tích Lời giải

1.Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực tiểu của hàm số
khi biết đồ thị hàm số
2. Hướng giải:

f  x

g  x   f u  x  

.

 f  x 2  2 x  khi x  0

y  f  x 2 x   
2
 f  x  2 x  khi x  0
B1: Xét
, tính y và giải phương trình y  0 .
2

Lưu ý: từ đồ thị hàm số   có  
và g '(x) khơng có đạo hàm tại x = 0.
f x

f  x  0 khi x  1

, tuy nhiên x  1 là nghiệm kép

B2: Từ đó lập bảng xét dấu y để suy ra số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y  f  x2  2 x 

.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải

Chọn B

 f  x2  2 x  , x  0
2  x  1 f   x 2  2 x  , x  0


y
 y' 
2
2
 f  x  2 x  , x  0
2  x  1 f   x  2 x  , x  0
Ta có:
x 1
 x  1

y  0    2
f  x  2x  0

 f   x2  2 x   0


Xét phương trình

, lại có:

 x  2 x  1  1
 x  2 x  1  1
f   x2  2 x   0   2


2
 x  1  0  2 
 x  2 x  1
 x 2  2 x  1  3
 x 2  2 x  1  3
2
f   x  2x   0   2

2
 x  1  0  4 
 x  2 x  1
.
1
,
2
,
3
,
4
       
2

2

Ta thấy nghiệm của các phương trình
bảng xét dấu y như sau:

5

đều là nghiệm kép nên ta có

Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu là x  1; x  1 .
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ hỏi về số cực trị của hàm số thì ta chỉ cần tìm số
nghiệm bội lẻ của phương trình  
và các điểm tại đó hàm số liên tục và không
tồn tại đạo hàm mà không cần lập bảng xét dấu.
Ví dụ 2. (Trích đề 20 Vted năm học 2018 - 2019)
g x  0

y  f  x
y  f ' x
Cho hàm số
có đồ thị hàm số
như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số
y  f  2sin x  1

2; 2 
trên khoảng 
là

A. 6 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 5 .

Phân tích Lời giải

1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số.
2. Hướng giải:
f ¢( x ) .
¢
B1: Tìm nghiệm của y = 0 dựa vào đồ thị của hàm số

B2:

So sánh nghiệm trên khoảng

( - 2p; 2p) .

¢
B3: Dựa vào sự thay đổi dấu của y để kết luận số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có:
cos x  0
 2sin x  1  3
 cos x  0
y '  2 cos xf '  2sin x  1  0  

 2sin x  1  1
f
'
2sin
x

1

0




2sin 1 1
.

ỡ 3p
p ỹ
ị x ẻ ïí ± ; ±p; ± ;0ïý.
x   2; 2
ùợù 2
2 ùỵ
ù Qua tt c cỏc im ny thỡ y '
Đối chiếu với
2; 2 
đều đổi dấu, do đó hàm số có tất cả 7 điểm cực trị trên khoảng 
.
Ví dụ 3. ( Trích đề Sở Nam Định năm 2021) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị
như hình bên

6


(

g(x) = f x3 + 3x2

Số điểm cực trị của hàm số
A. 5 .
B. 3

)

là

C. 7 .
Phân tích Lời giải

D. 11.

1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số cực trị của hàm hợp

(

f u ( x)

) khi biết đồ thị

f ( x)
hàm số
.
2. Hướng giải:
B1: Tính đạo hàm của hàm số:
B2:

Dựa vào đồ thị của hàm

(

g(x) = f x3 + 3x2

f ( x)

)

ta suy ra số nghiệm của phương trình f '(x) = 0

¢
từ đó suy ra số nghiệm của phương trình: g (x) = 0

B3:

Lập bảng biến thiên của hàm số

(

g(x) = f x3 + 3x2

)

và suy ra số cực trị.

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của y = f (x) như sau:

¢
g(x) = f x3 + 3x2 ị gÂ(x) = x3 + 3x2 f ¢ x3 + 3x2 = 3x2 + 6x f ¢ x3 + 3x2

(

)

(

) (

7

) (

) (

)


é3x2 + 6x = 0
g¢(x) = 0 Û 3x + 6x f ¢ x + 3x = 0 Û ê
ê¢ 3
f x + 3x2 = 0
ê
ë
ééx = - 2
êê
êêx = 0

êê
êë 3
Û êé
x + 3x2 = a < 0
( 1)
ê
êê 3
êêx + 3x2 = b Ỵ ( 0;4) ( 2)
êê
êêx3 + 3x2 = c > 4
( 3)
ê
ëë

(

) (

2

3

2

)

(

)

éx = 0
Þ h¢(x) = 0 Û ê
êx = - 2
3
2
2
ê
ë
Xét hàm số h(x) = x + 3x ị hÂ(x) = 3x + 6x
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy
Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm
Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 3 điểm.
Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm.
Như vậy, phương trình g¢(x) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số

(

g(x) = f x3 + 3x2

)

có 7 cực trị.

2.3.2. Dạng 2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số hợp dạng
y = f ¢( x)
biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
.

Phân tích hướng giải.
Lập bảng biến thiên của hàm số

g( x) = f (x) + u ( x)

g( x) = f ( x) + u ( x)

khi

khi biết đồ thị hàm số

y = f ¢( x)
Bước 1: Đạo hàm

g¢( x) = f ¢( x) + u¢( x)

. Cho

g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = - u¢( x)

Bước 2. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

y = - u¢( x)
Bước 3: Xét dấu của hàm số

y = g¢( x)

, ta làm như sau

8

và đồ thị hàm số


- Phần đồ thị của

f ¢( x)

nằm bên trên đồ thị

- u¢( x)

trong khoảng

( a;b)

thì

f ¢( x)

nằm bên dưới đồ th

- uÂ( x)

trong khong

( a;b)

thỡ

gÂ( x) > 0 x ẻ ( a;b)
,
- Phần đồ thị của

g¢( x) < 0 x Î ( a;b)
,
Ví dụ 4. (Trích đề tham khảo BDG lần 1 năm 2020)
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ
thị của hàm số y = f '(x) như hình vẽ. Tìm số
điểm
cực
trị
của
hàm
số
g(x) = 2f (x) - x2 + 2x + 2017.
A. 2 .
C. 4.

B. 3.
D. 7 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số hợp dạng
g( x) = f (x) + u ( x)

.

2. Hướng giải:

g '(x) = 2 é
f '(x) - (x - 1)ù
ê
ú
ë
û
B1: Tính đạo hàm
B2:

Từ đồ thị của

f  x

và tương giao với đường thẳng y = x - 1ta tìm số

nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình  
B3: Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
ù
g '(x) = 2f '(x) - 2x + 2 = 2 é
êf '(x) - (x - 1)û
ú.
ë
Ta có
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x - 1 cắt đồ thị hàm số y = f '(x) tại 3 điểm:
g  x  0.

(- 1;- 2), (1;0), (3;2).

9


Dựa vào đồ thị ta có
éx = - 1
ê
ê
é
ù
g '(x) = 0 Û 2 ë
êf '(x) - (x - 1)û
ú= 0 Û êx = 1
êx = 3
ê
ë
đều là các nghiệm đơn
Vậy hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 5. (Trích đề chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định năm 2021)
Cho hàm số
hàm số

y = f ( x)

y = f ¢( x)

có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Hàm số

x3
+ x2 - x + 2
3
đạt cực đại tại.
A. x = - 1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.

g( x) = f ( x) -

Phân tích hướng dẫn giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm điểm cực trị của hàm số hợp dạng
g( x) = f (x) + u ( x)

.

2. Hướng giải:
2

B1: Tính đạo hàm
B2:

Từ đồ thị của

g¢( x) = f ¢( x) - ( x - 1) .
f  x

bảng biến thiên của

( P ) : y = ( x - 1)
và tương giao với Parabol

g  x .

B3: Từ BBT của   ta suy ra điểm cực đại.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
g x

10

2

ta lập


2

Ta có

g¢( x) = f ¢( x) - x2 + 2x - 1; g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = ( x - 1) .

Suy ra số nghiệm của phương trình
hàm số

f ¢( x)

g¢( x) = 0

( P ) : y = ( x - 1)
và parapol

2

chính là số giao điểm giữa đồ thị của

.

éx = 0
ê
g¢( x) = 0 Û ê
êx = 1.
êx = 2
ê
ë
Dựa vào đồ thị, ta suy ra
Xét sự tương giao của đồ thị của hàm số
parapol
g  x 

số

( P ) : y = ( x - 1)

và

2

ta suy ra được dấu của

, chẳng hạn trên khoảng (- ¥ ;0) đồ thị của hàm

f ¢( x)

g  x 

f ¢( x)

nằm dưới parapol

( P ) : y = ( x - 1)

2

nên

mang dấu âm.

Bảng biến thiên

g( x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt cực đại tại x = 1.
Nhận xét: Ở ví dụ 4 tìm số điểm cực trị của hàm số nên ta chỉ cần tìm số nghiệm
đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình

g x   0

cịn ở ví dụ 5 tìm điểm cực đại của

hàm số nên ta phải lập bảng xét dấu của   hoặc bảng biến thiên của hàm số
Ví dụ 6. (Trích đề chuyên Quốc Học Huế năm 2021)
Cho f ( x) là một hàm đa thức và có đồ thị
g x

của hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên. Hàm
y  2 f ( x)   x  1

số
điểm cực trị?
A. 9 .
C. 3 .

2

có tối đa bao nhiêu
B. 7 .
D. 5 .

11

g  x .


Phân tích hướng giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tìm số điểm cực trị của hàm số hợp chứa dấu giá trị

tuyệt đối.
2

2. Hướng giải: Xét hàm số
B1: Tìm nghiệm của

g ( x ) = 2 f ( x ) - ( x - 1) .

g ¢( x) = 0

dựa vào đồ thị của hàm số

f ¢( x )

và đường thẳng

y = x - 1.

B2:

Lập bảng biến thiên của hàm số

B3: Kết luận số điểm cực trị của

g ( x)

và tìm số điểm cực trị của hàm số

y = g ( x)

bằng tổng số điểm cực trị của

g ( x)
g ( x)

.
và

g ( x) = 0.

số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
g ( x)  2 f ( x)   x  1 , x  ¡
2

Đặt

Ta có

.

g ( x)  2. f ( x)  2  x  1  2  f ( x)  ( x  1) 

x  0
x 1


g ( x)  0  f ( x )  x  1  

x  2

x  3
Xét phương trình

Ta có bảng biến thiên:

 Hàm số y  g ( x ) có 2 điểm cực trị

Vì đồ thị hàm số y  g ( x) và trục hồnh có nhiều nhất 3 điểm chung
 Số điểm cực trị tối đa của hàm số y  g ( x) là 5 .

g( x) = f é
u xù
ê
ë ( )ú
û đạt cực
y = f ¢( x)
trị thoả mãn điều kiện khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
.
Phân tích hướng giải.
u ( x) ù
g( x) g¢( x) = u¢( x) .f ¢é
ê
ú.
ë
û
B1: Tính đạo hàm của hàm số
,

2.3.3. Dạng 3 : Tìm giá trị của tham số để hàm số hợp dạng

12


B2: Sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên của

f ¢( x)

, suy ra nghiệm của phương trình

g x  0

B3: Biện luận theo m số nghiệm của

g  x 

, từ đó suy ra điều kiện để hàm số

g  x   f u  x  
có cực trị thoả mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 7. ( Đề tham khảo của Bộ năm 2022)
2
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm là f ( x)  x  10 x , x  ¡ . Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để hàm số
A. 16.
B. 9.
Phân tích hướng giải.

B1: Tính đạo hàm của hàm số

y  f  x4  8 x2  m 

có đúng 9 điểm cực trị?
C. 15.
D. 10.

g ( x)  f  x 4  8 x 2  m   g ( x)   4 x 3  16 x  f   x 4  8 x 2  m 

B2: Từ giả thiết suy ra
trình

f ¢( x) = 0 Þ x = 0, x = - 10

, suy ra nghiệm của phương

g x  0

B3: Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình
nghiệm bội lẻ phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải

g x  0

có 9 nghiệm đơn hoặc

Chọn D
x  0

f ( x)  x 2  10 x  0  
 x  10 .
Xét

Xét

y  f  x 4  8 x 2  m   y    4 x 3  16 x  f   x 4  8 x 2  m 

.

 4 x 3  16 x  0
y  0  
4
2
 f   x  8 x  m   0
Cho
.

x  0
4 x 3  16 x  0  
 x  2 .
Xét phương trình:
 x 4  8 x 2  m
 x4  8x2  m  0
 4
 4
2
f   x 4  8x 2  m   0
x  8 x 2  m  10


  x  8 x  m  10
Xét phương trình:

Đề hàm số

y  f  x4  8 x2  m 

f   x 4  8x 2  m   0

có đúng 9 điểm cực trị thì phương trình

cần có 6 nghiệm đơn x  0 và x   2 .

13

 1
 2


 x0
g '  x    x 3  16 x  0  
g x   x  8x
 x  2 .
Xét hàm số  
có
4

2

Ta có bảng biến thiên:

Xét hai đường thẳng d1 : y  m, d 2 : y  m  10 song song với trục Ox .
m  10  m  m  ¡ 
Vì
, nên đường thẳng d 2 nằm trên đường thẳng d1 .
Phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 4 nghiệm
0  m  10  16

 10  m  0
 m   9;...; 1
m  0
. Vì m  ¢ nên
.





y  f x4  8x 2  m
x

0
Vì
đã là cực trị của hàm số
nên ta lấy cả trường hợp m  0 .
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Ví dụ 8. (Trích đề chuyên Lam Sơn năm 2022)

y = f ( x)

y = f ¢( x)
Cho hàm số
có đồ thị hàm số
như
m
hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số

(

)

g( x) = f 2x2 - 4 x + m - 3

có 7 điểm cực trị.
B. 2 .
D. 4.

A. 1.
C. 3.
Phân tích hướng giải.
B1: Đặt
thì

h ( x)

(

)

h ( x) = f 2x2 - 4x + m - 3

g( x)
thì g(x) = h(| x |) , để
có 7 điểm cực trị

phải có 3 điểm cực trị dương.

B2: Tính đạo hàm

(

)

h '( x) = ( 4x - 4) .f ¢ 2x2 - 4x + m - 3

¢
B3: Tìm điều kiện của m để phương trình h (x) = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A

Đặt
Để

(

) . Suy ra h '( x) = ( 4x - 4) .f ¢( 2x

h ( x) = f 2x2 - 4x + m - 3

g( x)

có 7 điểm cực trị thì

h ( x)

2

phải có 3 điểm cực trị dương.

14

)

- 4x + m - 3


éx = 1
ê
ê2x2 - 4x + m - 5 = 0 *
( ).
ê
ë

é4x - 4 = 0
h ' ( x) = 0 Û ê
ê2x2 - 4x + m - 3 = 2 Û
ê
ë

Ta có:

h ( x)

có 3 điểm cực trị dương

Þ ( *)

có 2 nghiệm dương phân biệt, khác 1.

ìï 4 - 2( m - 5) > 0
ïï
ïï m - 5
Þ í
>0
Þ 5 < m < 7.
ïï 2
ïï 2- 4 + m - 5 ạ 0
ùùợ
Vỡ m nguyờn nờn m = 6. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.
2.3.4. Bài tập đề nghị.
Câu 1. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình
ỉx x2 + 2x ữ
ử
ữ
g(x) = f ỗ
e
ỗ
ữ
ỗ

ỗ
2 ữ
ố
ứ cú bao nhiờu điểm cực trị?
vẽ. Hàm số

A. 3.

B. 7 .

C. 6 .

Câu 2. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số
Tìm số điểm cực trị của hàm số

A. 5 .

(

g( x) = f x2 - x

B. 3.

)

y = f ( x)

15

là một hàm đa thức.

biết bảng xét dấu

C. 1.

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Nội 2021)

D. 4 .

f ¢( x)

như sau.

D. 7 .


Cho hàm số Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên ¡ và

hàm số

g( x) = 2f ( x) - x2 + 2x + 2019

hàm số

y = f ¢( x)

như hình vẽ. Số điểm cực trị của

y = g( x )

là

hàm số
A. 5.
C. 2 .

. Biết đồ thị

B. 3.
D. 4.

Câu 4. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2019)

y = f ( x)
y = f ¢( x)
Cho hàm số
, hàm số
có
đồ thị như hình bên. Hàm số
ỉ
ư (5sin x - 1)2
5sin x - 1ữ
ỗ
ữ
g(x) = 2f ỗ
+

+3
ữ
ữ
ỗ
2
4
ố
ứ
cú
bao nhiờu im cực trị trên khoảng (0;2p) .
B. 7 .

A. 9 .

C. 6 .

D. 8.

Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 2)

f ( 0) = 0.
¢
Cho hàm số f (x) có
Biết y = f (x)
là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong
trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số

( )

g(x) = f x4 + x2

là

A. 3.
C. 5.

B. 6.
D. 4.

Câu 6. (Chuyên Đại học Vinh - 2018) Cho hàm số
2

(

)

f ¢( x) = ( x - 1) x2 - 2x
số m để hàm số
A. 15 .

(

y = f ( x)

có đạo hàm

với " x Ỵ ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham

)

f x2 - 8x + m

có 5 điểm cực trị?

B. 17 .

C. 16

16

D. 18


Câu 7. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 3 - 2019) Cho hàm số
đạo hàm liên tục trên ¡ . Hàm số

y = f '( x)

y = f ( x)

có

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp
g( x) = 2f 2 ( x) + 3f ( x) + m

S tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
đúng 7 điểm cực trị, biết phương trình f '(x) = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt,

có

f ( x) = +¥
lim f ( x) = - ¥
f ( a) = 1, f ( b) = 0 xlim
, đ+Ơ
v xđ- Ơ
.

A.

S = ( - 5;0) .

B.

ổ 1ữ
ử
S =ỗ
.
ỗ- 8; ữ
ữ
ỗ
6ữ
ố
ứ
C.

S = ( - 8;0) .

ổ 9ữ
ử
S =ỗ

.
ỗ- 5; ữ
ữ
ỗ
8ữ
ố
ứ
D.

( )
( )
Cõu 8. (S GD Qung Nam - 2019) Cho hai hàm đa thức y = f x , y = g x có
( )
đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f x có đúng một
điểm cực trị là A , đồ thị hàm số

y = g( x)

có đúng một điểm cực trị là B và

AB =

(
)
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng - 5;5 để hàm số
y = f ( x) - g( x) + m

A. 1.

có đúng 5 điểm cực trị?

B. 3.

C. 4.

17

D. 6 .

7
4


Câu 9. (Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2021) Cho hàm số
2

(

y = f ( x)

có đạo hàm

)

f ¢( x) = ( x - 2) ( x - 1) x2 - 2( m + 1) x + m2 - 1 , " x Ỵ ¡
. Có bao nhiêu giá trị

( )

g ( x) = f x

nguyên của m để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 2.

D. 4.

Câu 10. ( Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội 2022)
f ( x)
f '( x) = x 2 - 82 x, " x Î ¡ .
Cho hàm số
có đạo hàm là
Có bao nhiêu giá trị nguyên

y = f ( x 4 - 18x 2 + m)
dương của tham số m để hàm số
có đúng 7 điểm cực trị?
A. 83.

B. Vô số.

C. 80.

D. 81.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong năm học 2019 – 2020 vừa qua, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ môn, được
sự đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, tôi đã áp dụng việc dạy học tại lớp 12C2

tiết ôn tập thi Tốt nghiệp THPT và cùng thời điểm thầy Lê Quang Thân cùng dạy nội
dung trên đối với lớp 12C1. Sau khi dạy xong, chúng tôi đã tổ chức kiểm tra đối với
lớp thực nghiệm (TN) là lớp 12C2 và lớp đối chứng (ĐC) là lớp 12C1. Ngoài kết quả
bài kiểm tra, tơi cịn kiểm tra mức độ hứng thú học tập của học sinh bằng phiếu thăm
dò, với 4 mức độ:
- Mức độ 1: Rất hứng thú học.
- Mức độ 2: Có hứng thú, nhưng khơng có ý định tìm tịi sáng tạo thêm.
- Mức độ 3: Bình thường.
- Mức độ 4: Không hứng thú. Không hiểu nhiều vấn đề.
Kết quả thể hiện qua biểu đồ sau:

Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

18


Biểu đồ so sánh kết quả học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm
Từ kết quả trên, cũng như xem xét bài làm của học sinh, tôi thấy rằng:
Học sinh lớp thực nghiệm có hứng thú học tập hơn hẳn so với học sinh lớp đối
chứng.
Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng, tỉ lệ học sinh
trung bình, yếu giảm, cịn lớp đối chứng tỉ lệ khá giỏi giảm, tỉ lệ trung bình và yếu lại
tăng lên.
Việc định hướng về phương pháp trong làm bài của học sinh lớp thực nghiệm tốt
hơn lớp đối chứng.
Học sinh lớp thực nghiệm tự tin hơn khi đứng trước bài kiểm tra. Không bị bất ngờ
trong từng bài tốn, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.
Khi dạy một nội dung khó nhưng cách tiếp cận dễ dàng dẫn đến việc học của học
sinh cũng nhẹ nhàng hơn, giảm áp lực cho giáo viên đứng lớp.
Được đồng nghiệp ở tổ bộ môn đánh giá cao và xem đây là một tài liệu quan trọng

giảng dạy môn Giải tích lớp 12 ơn thi Tốt nghiệp THPT.
Từ đó có thể khẳng định cách dạy luyện tập như trên đã mang lại hiệu quả trong q
trình dạy học mơn Giải tích lớp 12 ở trường THPT Quảng Xương 2.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại lớp
12C2, hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình bày
ở trên. Từ đó thấy rằng SKKN: “Một số kĩ thuật tìm lời giải các bài tốn vận dụng
cao về cực trị của hàm số hợp trong đề thi tốt nghiệp THPT ” có đóng góp khơng
nhỏ trong việc giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 2. Cụ thể:
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây quy trình giải các bài toán về
cực trị của hàm số hợp giúp học sinh xử lí nhanh được các bài tốn vận dụng và vận
dụng cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT.

19


Về thực tiễn: SKKN là một giáo án luyện tập mơn Giải tích 12 có hiệu quả dành
cho bản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm q
báu, giúp tơi hồn thành tốt hơn cơng việc giảng dạy của mình.
Tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và các đồng chí
trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tơi xin chân thành cảm ơn!
3.2. Kiến nghị.
Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần lưu ý
một số điểm sau:
Đối với giáo viên:
- Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực tư
duy sáng tạo của học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều
chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với

các thầy cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu mơn tốn hơn.
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp
dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi
dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về
những kiến thức cơ bản liên quan.
Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới
phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực
học sinh, viết và áp dụng SKKN.
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Cần phổ biến trong toàn ngành những sáng kiến kinh nghiệm hay, các SKKN đã
được HĐKH ngành đánh giá xếp loại để đồng nghiệp tham khảo và áp dụng để có hiệu
quả tốt nhất trong giảng day.
- Sở giáo dục và đào tạo cần tổ chức hội thảo chuyên đề về viết sáng kiến kinh
nghiệm qua đó giúp giáo viên hình thành tốt kĩ năng viết
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các em
học sinh đã giúp đỡ tơi hồn thành SKKN này.
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo Khoa Giải Tích 12
2. Đề thi chính thức và đề tham khảo tốt nghiệp THPT mơn Tốn của bộ các năm
gần đây.
3. Đề khảo sát chất lượng của các Sở giáo dục và các trường THPT trên cả nước.
4. Các bài toán về cực trị hàm số hợp trên các diễn đàn Toán học như: Toán học Bắc
Trung Nam; Diễn đàn giáo viên toán, Thư viện Violet; các trang mạng Internet,...

20


DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Hoàng Tuyên
Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn trường THPT Quảng Xương 2.
Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại
đánh giá Năm học
TT Tên đề tài SKKN
(Ngành
GD xếp loại
đánh giá
cấp huyện/tỉnh; (A,
B, xếp loại
Tỉnh...)
hoặc C)
1.
Một số sai lầm của học sinh Ngành
giáo C
2009-2010
trong việc tìm thiết diện.
dục cấp tỉnh
2.
Ứng dụng phép biến hình vào Ngành
giáo C
2012-2013
giải tốn hình học
dục cấp tỉnh
3.
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho Ngành
giáo B
2014-2015
học sinh thông qua dạy giải bài dục cấp tỉnh

tập véc tơ.
4.
Hướng dẫn học sinh lớp 12
Ngành
giáo B
2019-2020
trường THPT Quảng Xương 2 dục cấp tỉnh
tìm lời giải các bài tốn vận
dụng cao liên quan tính đơn
điệu của hàm số hợp trong đề
thi tốt nghiệp THPT
5.
Hướng dẫn học sinh khá giỏi Ngành
giáo C
2020-2021
lớp 11 giải bài tốn tính góc dục cấp tỉnh
giữa hai mặt phẳng bằng cơng
thức hình chiếu trong hình lăng
trụ
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 05 năm
2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Hoàng Tuyên

21