Bài toán vận dụng cao chủ đề 3 NGUYÊN hàm – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
S ( t)
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC)Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
y=
2
lim S ( t ) .
( x + 1) ( x + 2 ) y = 0 x = 0 x = t (t > 0)
t →+∞
,
,
,
. Tìm
1
1
1
1
− ln 2 −
ln 2 −
− ln 2
ln 2 +
2
2
2
2
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
1

( x + 1) ( x + 2 )

a, b, c

*Tìm

2

=

a
bx + c
+
x + 1 ( x + 2) 2

sao cho

⇔ 1 = a ( x + 2 ) + ( bx + c ) ( x + 1) ⇔ 1 = ax 2 + 4ax + 4a + bx 2 + bx + cx + c
2

a + b = 0
a = 1


⇔  4a + b + c = 0 ⇔ b = −1
 4a + c = 1
 c = −3
⇔ 1 = ( a + b ) x 2 + ( 4a + b + c ) x + 4a + c



y=

[ 0;t ]
*Vì trên

1

( x + 1) ( x + 2 )

2

,

.

>0

nên ta có:

t 


1
1
x+3 
S ( t) = ∫
d
x
=
−
÷

2
∫0  x + 1 ( x + 2 ) 2 ÷÷dx

÷
0  ( x + 1) ( x + 2 ) 


t

Diện tích hình phẳng:

t
 1
1
1 
1 
 x +1

= ∫
−
−
+
÷dx =  ln
÷
2

÷
x
+
1
x
+
2
x
+
2
x+20
(
)

x
+
2
(
)
0

t

= ln

t +1
1
1
+
+ ln 2 −
t+2 t+2
2

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


*Vì

 t +1 
 t +1 
lim 
= 1 ⇒ lim ln 
÷
÷= 0
t →+∞ t + 2
t →+∞


t+2

Nên

lim

t →+∞

và

1
=0
t+2

1
1
1
 t +1
lim S ( t ) = lim  ln
+
+ ln 2 − ÷ = ln 2 −
t →+∞
t →+∞
2
2
 t+2 t+2

.

Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.

Diện tích hình phẳng:

t 

1
S ( t) = ∫
÷dx
2

÷
0  ( x + 1) ( x + 2 ) 

100

Cho

t = 100

=

∫
0

ta bấm máy



1

÷dx ≈ 0,193
 ( x + 1) ( x + 2 ) 2 ÷




Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B.
α

1
dx
1
+
tan
x
0

I =∫

Câu 2:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích
α
sin x
 π
J =∫
dx
α ∈  0; ÷
cosx + sin x
 4
0
với
, khẳng định sai là

phân

và

α

cos x
dx
cosx + sin x
0

I =∫

A.

I − J = ln sin α + cosα
.

I = ln 1 + tan α
C.

.

B.

.

D.

I + J =α

.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có

1
1
cos α
=
=
1 + tan α 1 + sin α cos α + sin α
cos α

nên A đúng.

α
d ( cos x + sin x )
cos x − sin x
dx = ∫
= ln cos x + sin x
cos
x
+
sin
x
cos

x
+
sin
x
0
0

α

I−J =∫

α
0

= ln cos α + sin α

B đúng
α

I + J = ∫ dx = x α0 = α
0

D đúng.


x

∫ ( 4t

f ( x) =

Câu 3:

1

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số

3

− 8t ) dt

f ( x)

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
M −m
.
A. 18
B. 12
C. 16

m, M
. Gọi

lần lượt
[ 0;6]
trên đoạn
. Tính
D. 9

Hướng dẫn giải
f ( x) =

x

∫ ( 4t

3

1

− 8t ) dt = ( t 4 − 4t 2 )

x
1

= x 2 − 4x + 3
, với

x≥0

.

f ′ ( x ) = 2 x − 4; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈ [ 1;6 ]
.
f ( 0 ) = 3; f ( 2 ) = −1; f ( 6 ) = 15

M = 15, m = −1
. Suy ra

. Suy ra

M − m = 16

.

Đáp án: C.

∫ x ( 1− x)
Câu 4:

2017

( 1− x)
dx =

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử
2a − b
các số nguyên dương. Tính
bằng:
2017
2018
2019
A.
.
B.
.
C.
.

a

a

(1− x)
−
b

D.

b

+C

a, b
với

2020

là

.

Hướng dẫn giải
Ta có:

∫ x ( 1− x)

2017

dx = ∫ ( x − 1 + 1) ( 1 − x )

2017

(

dx = ∫ ( 1 − x )

2017

− ( 1− x)

2018

)

( 1− x)
dx = −

2018

2018

( 1− x)
+

2019

2019

a = 2019, b = 2018 ⇒ 2a − b = 2020
Vậy

.

Chọn D.
F ( x)
Câu 5:

f ( x) =

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho
là nguyên hàm của hàm số
1
F ( 0 ) = − ln 4
3F ( x ) + ln ( x 3 + 3) = 2
S
3
và
. Tập nghiệm
của phương trình
là:
S = { 2}
S = { −2; 2}
S = { 1; 2}
S = { −2;1}
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1
e +3
x

+C


Hướng dẫn giải
F ( x) = ∫
Ta có:

dx
1 
ex 
1
x
=
1
−

÷dx = x − ln ( e + 3) + C
x
x
∫
e +3 3  e +3
3

1
F ( 0 ) = − ln 4
3

Do

(

nên

C=0

F ( x) =
. Vậy

)

(

1
x − ln ( e x + 3)
3

.

)
.

3F ( x ) + ln ( e x + 3) = 2 ⇔ x = 2

Do đó:
Chọn A.

f ( x), g ( x)
Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho
3

∫

[ 2; 6]

2

là các hàm số liên tục trên đoạn
6

6

3

3

f ( x) dx = 3; ∫ f ( x )dx = 7; ∫ g ( x )dx = 5

và thỏa mãn
KHÔNG đúng.

. Hãy tìm mệnh đề

6

3

∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 8

∫ [3 f ( x) − 4]dx = 5

3

A.

B.
ln e6

ln e6

2

3

∫ [4 f ( x) − 2 g ( x)]dx = 16

∫ [2f ( x) − 1]dx = 16

C.

2

D.
Hướng dẫn giải

3

∫
2

6

6

3

2

f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f( x)dx = 10
6

6

6

3

3

3

∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 3∫ g ( x)dx − ∫ f ( x) dx = 15 − 7 = 8

Ta có:

nên

3

3

3

2

2

2

∫ [3 f ( x) − 4]dx = 3∫ f( x)dx − 4∫ dx = 9 − 4 = 5
ln e6

∫
2

nên

6

6

6

2

2

2

B

A

đúng

đúng

[2f ( x) − 1]dx = ∫ [2f ( x) − 1]dx = 2 ∫ f( x) dx − 1∫ dx = 20 − 4 = 16
nên

C

đúng


ln e6

∫
3

D

Nên

6

6

3

3

3

sai

Chọn đáp án
Câu 7:

6

[4f ( x) − 2 g ( x)]dx = ∫ [4f ( x) − 2 g ( x)]dx = 4 ∫ f( x)dx − 2 ∫ g ( x) dx = 28 − 10 = 18

D

(NGUYỄN
KHUYẾN
TPHCM)
Giả
2x
3
2
3

2
2x
∫ e (2 x + 5 x − 2 x + 4)dx = (ax + bx + cx + d )e + C
a+b+c+d
. Khi đó
bằng
A. -2
B. 3
C. 2
D. 5

sử

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta

có

( (ax

3

∫e

2x

(2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C
nên

+ bx 2 + cx + d )e 2 x + C ) ' = (3ax 2 + 2bx + c )e 2 x + 2e 2 x (ax 3 + bx 2 + cx + d )
= ( 2ax 3 + (3a + 2b) x 2 + (2b + 2c) x + c + 2d ) e 2 x
= (2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)e 2 x

Do đó

2a = 2
a = 1
3a + 2b = 5
b = 1


⇔


2b + 2c = −2
c = −2
c + 2d = 4
 d = 3

. Vậy

a+b+c+d = 3

.

5

∫ f ( x)dx = 15

Câu 8:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết

−1

. Tính giá trị của

2

P = ∫ [f (5 − 3 x) + 7]dx
0

A.

P = 15

B.

P = 37

C.

P = 27

D.

P = 19

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


t = 5 − 3 x ⇒ dx = −

Để

P

tỉnh
−1

P = ∫ [f (t ) + 7](−
5

ta

dt
3

x=0⇒t =5
x = 2 ⇒ t = −1

đặt

nên

5

5
5

dt
1
1
) = ∫ [f (t ) + 7]dt =  ∫ f (t ) dt + 7 ∫ dt ÷
3
3 −1
3  −1
−1


1
1
= .15 + .7.(6) = 19
3
3

chọn đáp án

D
f ( x ) = a sin 2 x − b cos 2 x

Câu 9:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số
π 
f '  ÷ = −2
2

A.

thỏa mãn

b

∫ adx = 3
a

và

3.

. Tính tổng
B.

a+b

4.

bằng:
C.

5.

D.

8.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
f ' ( x ) = 2a cos 2 x + 2b sin 2 x
π 
f '  ÷ = −2 ⇔ −2a = −2 ⇔ a = 1
2
b

b

a

1

∫ adx = ∫ dx = 3 ⇔ b − 1 = 3 ⇔ b = 4
Vậy

a + b = 1 + 4 = 5.
ln 2



∫  x + 2e
0

1
x

1 a
5


÷dx = ln 2 + b ln 2 + c ln .
+1 
2
3

Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng:
a, b, c
S = a +b−c
đó
là những số nguyên. Khi đó
bằng:
3
2
4
A. .
B. .
C. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Trong

D.

5

.

ln 2

∫
0

ln 2

1 

x+ x
÷dx = ∫ xdx +
2e + 1 

0

ln 2

∫ 2e
0

1
x

+1

dx

.
ln 2

∫ xdx =
0

2 ln 2

x
2

Tính
ln 2

∫ 2e

1
x

0

+1

0

=

2

ln 2
2

dx

Tính
t = 2e x + 1 ⇒ dt = 2e x dx ⇒ dx =
Đặt
ln 2

∫ 2e

1
x

0

ln 2

5

+1



. Đổi cận :

.

dt
5
 1 1
= ∫
− ÷dt = ( ln t − 1 − ln t ) = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 = ln 2 − ln

3
t t − 1) 3  t − 1 t 
3
3 (

1
x

0

Vậy

x = ln 2 ⇒ t = 5, x = 0 ⇒ t = 3

5

dx = ∫

∫  x + 2e

dt
t −1

5

.

1 2
5


÷dx = ln 2 + ln 2 − ln ⇒ a = 2, b = 1, c = −1
+1
2
3

a +b−c = 4

.

( C)
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số
1
y = ( x 2 − 4 x + 3)
M ( 3; −2 )
( C)
2
và hai tiếp tuyến của
xuất phát từ
là
8
5
13
11
.
.
.
.
3
3

3
3
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
y′ =
Ta có

1
( 2 x − 4) = x − 2
2

.
y0 =

( x0 ; y0 )
Gọi

là tọa độ tiếp điểm. Khi đó,

1 2
( x0 − 4 x0 + 3)
2

( C)
Phương trình của tiếp tuyến của

và

.

( x0 ; y0 )
tại điểm có tọa độ

y = ( x0 − 2 ) ( x − x0 ) +

y ′ ( x0 ) = x0 − 2

là

1 2
( x0 − 4 x0 + 3)
2

M ( 3; −2 )
Vì tiếp tuyến đi qua điểm

nên

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


−2 = ( x0 − 2 ) ( 3 − x0 ) +

x = 1⇒ y = −x +1
1 2
x0 − 4 x0 + 3) ⇔  0

(
2
 x0 = 5 ⇒ y = 3x − 11

Diện tích hình phẳng cần tìm

S=

∫

3

1

1 2

 2 ( x − 4 x + 3) − ( − x + 1) dx +

∫

5

3

8
1 2

 2 ( x − 4 x + 3) − ( 3 x − 11)  dx = 3
π
4

x

∫ 1 + cos 2 x dx = aπ + b ln 2
0

Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân
16a − 8b
thực . Tính
4.
5.
A.
B.

, với

C.

2.

D.

a

,

b

là các số

3.

Hướng dẫn giải
Chọn A

Đặt

u = x
 du = dx


⇒

dx
1
d
v
=
v = tan x


1 + cos 2 x

2

. Ta có

π
π
1

1 π4
π 1
π 1
1 π 1
1
1
I = x tan x 4 − ∫ tan xdx = + ln cos x 4 = + ln
= − ln 2 ⇒ a = , b = −
2
2 0
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0

Do đó,

16a − 8b = 4

.
1

∫

5

f ( x ) dx = 3

∫

0

3

f ( z ) dz = 9

∫

0

Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử
bằng
12.
5.
A.
B.

1

và
C.

. Tổng

6.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

1

0

0

5

5

0

0

∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 3 ∫ f ( z ) dz = 9 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 9
Ta có

;

3.

5

f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt
3

5

1

3

5

3

5

0

1

3

1

3

9 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = 3 + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt
0

3

5

1

3

⇒ ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = 6.
ln 2

∫
0

e 2 x+1 + 1
a
dx = e +
x
e
b

Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân
1.
2.
A.
B.

. Tính tích
C.

6.

a.b

D.

.
12.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
ln 2

∫
0

e 2 x +1 + 1
dx =
ex

= e( x +1)

ln 2
0

− e− x

ln 2

∫

e x +1dx +

0

∫

e − x dx =

ln 2

e x +1d ( x + 1) −

∫

0

ln 2
0

ln 2

0

ln 2

∫ e d ( −x)
−x

0

1
1 

= ( 2e − e ) −  − 1÷ = e +
2 ⇒ a = 1, b = 2 ⇒ ab = 2
2 
π
3

sin x

∫π

−

1 + x 6 + x3

dx =

.

π3
3π 2
+
+ cπ + d 3
a
b

3

Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết
a+b+c+d
là các số nguyên. Tính

.
a + b + c + d = 28
a + b + c + d = 16
a + b + c + d = 14
A.
. B.
. C.
.

a , b, c , d
với

a + b + c + d = 22

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
π
3

∫π

I=

−

1+ x + x
6

dx =

3

t = − x ⇒ dt = −dx

π
−
3

∫(
π
3

∫π

−

3

Đặt

I=

sin x

π
3

)

(

)

1 + x 6 − x 3 sin x
1+ x − x
6

3

. Đổi cận

6

dx =

π
3

∫π (

−

3

π
π

 x = − 3 ⇒ t = 3


x = π ⇒ t = − π

3
3
π
3

1 + t 6 + t 3 sin ( −t ) ( − dt ) = − ∫
−

π
3

(

)

)

1 + x 6 − x 3 sin xdx
.

.
π
3

1 + t 6 + t 3 sin tdt = − ∫
−

π
3

(

)

1 + x 6 + x 3 sin xdx

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

.


2I =

π
3

∫π ( −2 x

−

Suy ra

3

sin x ) dx ⇔ I =

π

3

∫π x

−

3

x

3

sin xdx

3

.

3

3x 2

− sin x

(+)

6

+ cos x

(–)

+ sin x

0
I = ( − x sin x + 3 x cos x + 6 x sin x − 6 sin x )
2

π
3
π
−
3

a = 27, b = −3, c = −2, d = 6
Suy ra:

− cos x

(–)

6x

3

+ sin x

(+)

. Vậy

=

π3
3π 2
−
− 2π + 6 3
27
3

a + b + c + d = 28

Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của
a
sin x
2
∫0 1 + 3cos x dx = 3
.
2
1
4
A. .
B. .
C. .

a

.

trong đoạn

π

 4 ; 2π 

D.

3

thỏa mãn

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt

t = 1 + 3cos x ⇒ t 2 = 1 + 3cos x ⇒ 2tdt = −3sin xdx.

Đổi cận: + Với
+ Với
a

∫
0

Khi đó

x=0⇒t =2

x = a ⇒ t = 1 + 3 cos a = A.
2

2

sin x
2
2
2
2
dx = ∫ dt = t = ( 2 − A ) = ⇔ A = 1 ⇒ 1 + 3cos a = 1 ⇒ cos a = 0
3
3 A 3
3
1 + 3cos x
A


⇒a=

π
+ kπ ( k ∈¢ )
2

. Do

1
3 k = 0
π
 π π

a ∈  ; 2π  ⇒ ≤ + kπ ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ ⇒ 
4 2
4
2
4

k = 1

a=

.

π
+π
2

Bình luận: Khi cho
thì tích phân không xác định vì mẫu thức
không xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp
a=
nhận

π
2

.

Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường:
y =1
y = 2x , y = − x + 3

và
là:
1 1
1
47
1
−
S=
+1
S=
S=
+3
S = ln 2 2
ln 2
50
ln 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:

•

•
•

2x = − x + 3 ⇔ x = 1
2x = 1 ⇔ x = 0
−x + 3 = 1 ⇔ x = 2

Diện

tích

cần
1

tìm
2

 2x
  − x2

1 1
S = ∫ ( 2 − 1) dx + ∫ ( − x + 3 − 1) dx = 
− x÷ +
+ 2x ÷ =
−
 ln 2
0  2
 1 ln 2 2
0
1

1

2

x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

là:


a ∈ ( 0; 20π )
Câu 18: (CHUYÊN

PHAN
2
5
∫0 sin x sin 2 xdx = 7 .

BỘI

CHÂU)

Có

bao

nhiêu

số

sao

cho

a

A.

20

.

B.

19

9

.

C. .

D.

10

.

Hướng dẫn giải

Chọn D
a

a

a

2 7 a 2 7
2
5
6
6
∫0 sin x sin 2 xdx = 2∫0 sin x cos xdx = 2∫0 sin xd ( sin x ) = 7 sin x 0 = 7 sin a = 7 .

Ta có

π
+ k 2π
2

sin 7 a = 1 ⇔ sin a = 1 ⇔ a =
Do
0<

đó

π
1
+ k 2π < 20π ⇔ − < k < 10
2

2

và
n +1

lim

n →+∞

k ∈¢

1

∫ 1+ e

x

a ∈ ( 0; 20π )
.

Vì

nên

nên có 10 giá trị của

k

dx

n

Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của
−1.
1.
A.
B.

bằng
C.

e.

D.

0.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
I=

n +1

1

∫ 1+ e

x

dx

n

Ta có:
Đặt

t = 1 + e x ⇒ dt = e x dx

I=
Khi đó:

1+ e

n+1

∫

1+ en

x = n ⇒ t = 1 + e n ; x = n + 1 ⇒ t = 1 + en +1

. Đổi cận: Khi

1
dt =
t ( t − 1)

1+ en+1

∫

1+ e n

1+ en+1
1 + en
 1 1
− ÷dt = ( ln t − 1 − ln t ) n = 1 + ln

1+ e
1 + e n +1
 t −1 t 

n

1 + en
1 + e n +1
Mà

1
 ÷ +1
1
e
=  n
→
e
1
 ÷ +e
e
π
6

∫ sin
0

Câu 20: (THTT – 477) Nếu

n

khi

n → +∞

x cos xdx =

, Do đó,

1
64
thì

n

1
lim I = 1 + ln = 0
n →+∞
e

bằng

A.

3.

4.

B.

C.

5.

D.

6.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Đặt

t = sin x ⇒ dt = cos xdx
1
2

I = ∫ t n dt =
0

Khi đó:
n +1

Suy ra

1
 ÷
2

=

x = 0 ⇒ t = 0; x =
. Đổi cận: khi

1
n +1 2

n +1

t
1 1
=
. ÷
n +1 0 n +1  2 

=

π
1
⇒t =
6
2

1
64
.

n +1
64
có nghiệm duy nhất

n=3

(tính đơn điệu).

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 )
Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số
có đồ thị
( C)
( C)
y=4
. Biết rằng đồ thị
tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm có hoành
y = f ′( x)
độ âm và đồ thị hàm số
cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích

A.

S =9

S

( C)
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
S=

.

B.

27
4

.

C.

21
4

.

và trục hoành.

D.

5
4

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Từ đồ thị suy ra

f ′ ( x ) = 3x 2 − 3

.

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x 2 − 3) dx = x3 − 3 x + C

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( C)

Do

y=4
tiếp xúc với đường thẳng

f ′ ( x0 ) = 0 ⇔ 3 x02 − 3 = 0 ⇔ x0 = −1

Suy ra

tại điểm có hoành độ

.

 x = −2
x3 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x =1

∫ (x
1

−2

3

.

− 3 x + 2 ) dx =

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho
Biết rằng

2

∫

y = f ( x)

và

f ( x ) dx = 8

3

∫

−1

B.

.

là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn
. Tính

6

f ( −2 x ) dx = 3

I=

∫ f ( x ) dx

−1

1

I = 11.

27

4

C.

I = 5.

D.

I = 2.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì

f ( x)

là hàm số chẵn nên

a

∫

f ( x ) dx = 0 ⇒

−a

3

∫
1

âm nên

f ( −1) = 4 ⇔ C = 2 ⇒ ( C ) : y = x 3 − 3 x + 2

Xét phương trình

A.

x0

3

1

3

K = ∫ f ( 2 x ) dx = 3
1

Đặt
u = 2 x ⇒ du = 2dx ⇒ dx =

du
2

x = 1 ⇒ u = 2; x = 3 ⇒ u = 6
Đổi cận:

∫

−1

f ( −2 x ) dx = ∫ f ( 2 x ) dx = 3

Xét tích phân

2

.

2

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 8
1

I = 14.

[ −6;6] .


6

6

6

1
1
f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = 3 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 6

∫
22
22
2

K=

Vậy

6

6

2

6

−1

1

1

2

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 + 6 = 14.

1

∫ 3e

0

1+ 3 x

dx =

Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
A.

T = 6.

B.

T = 9.

a 2 b
e + e + c ( a, b, c ∈ ¡
5
3

C.

T = 10.

)

T =a+
. Tính
D.

b c
+
2 3

.

T = 5.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt

t = 1 + 3 x ⇒ t 2 = 1 + 3 x ⇒ 2tdt = 3dx

Đổi cận: +

+

x = 0 ⇒ t =1

x =1⇒ t = 2
1

⇒ ∫ 3e
0

1+ 3 x

2

(

2

2

) (

2

2

1

1

dx =2 ∫ tet dt = 2 tet − ∫ et dt = 2 tet − et
1

a = 10
⇒
⇒ T = 10
b = c = 0

1

1

) = 2 ( 2e − e − e + e ) = 2e .
2

2

2

nên câu C đúng.

y = f ( x)

[ a; b]

D
liên tục trên đoạn
. Gọi
là diện
( C ) : y = f ( x)
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành, hai đường
x
=
b
x=a
thẳng
,
(như hình vẽ dưới đây).

Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SD
Giả sử
là diện tích hình phẳng
phương án A, B, C, D cho dưới đây?
0

b

a

0

D

. Chọn công thức đúng trong các

S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
A.

.
0

b

a

0

b

a

0

B.

S D = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
C.

0

S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
.
0

b

a

0

S D = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
.

D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:

• Đồ thị

O ( 0;0 )

(C )
cắt trục hoành tại

• Trên đoạn
• Trên đoạn

[ a; 0]

f ( x) = − f ( x)

(C )
, đồ thị

[ 0;b]

ở dưới trục hoành nên
f ( x) = f ( x)

( C)
, đồ thị

ở trên trục hoành nên

b

0

b

0

b

a

a

0

a

0

S D = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

+ Do đó:
5

I =∫
Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết
S = a − b.
các số nguyên. Tính
S = 9.

S = 11.
A.
B.

1

2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5
x

C.

a ,b
, với

S = 5.

Hướng dẫn giải

D.

S = −3.

là


Chọn B.
5

I =∫

1

Ta có:
2

=∫
1

2
5
2 x − 2 +1
2 x − 2 +1
2 x − 2 +1
dx = ∫
dx + ∫
dx
x
x
x
1
2

5
2 5 − 2x
5 2x − 3
2( 2 − x) +1
2 ( x − 2) +1
dx + ∫
dx = ∫
dx + ∫

dx
1
2
x
x
x
x
2

2 5
5
2
5
3

= ∫  − x ÷dx + ∫  2 − ÷dx = ( 5ln x − x ) + ( 2 x − 3ln x )
1
2
1
2
x
x



a = 8
⇒
⇒ a − b = 11.
= 8ln 2 − 3ln 5 + 4
b = −3

4

I = ∫ x ln ( 2 x + 1) dx =

a
ln 3 − c,
b

a , b, c
0
Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết
trong đó
là các
b
S = a + b + c.
c
số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
S = 60.
S = 70.
S = 72.
S = 68.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4

I = ∫ x ln ( 2 x + 1) dx
0

Ta có

Đặt

2

du =
dx

u = ln ( 2 x + 1)

2x +1
⇒

2
dv = xdx
v = x

2

4
x 2 ln ( 2 x + 1)
x2
I = ∫ x ln ( 2 x + 1) dx =
−∫
dx
2

2x +1
0
0
0
4

4

x 1
1
= 8ln 9 − ∫  − +
2 4 4 ( 2 x + 1)
0
4

4


 x2 1

1
63
dx
=
16
ln
3
−
−
x

+
ln
2
x
+
1
=
ln 3 − 3
÷

÷
÷
4
4
8
4



0

a = 63
a
63

⇒ ln 3 − c = ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = 70
b
4
c = 3


.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( H)
Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
2
y = x −1
(H)
y = k , 0 < k < 1.
k
và
Tìm để diện tích của hình phẳng
gấp hai lần
diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
k = 3 4.
A.
B.

C.
D.

k = 3 2 − 1.

1
k= .
2

k = 3 4 − 1.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Oy
Do đồ thị nhận trục

làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
y = 1 − x2 , y = k , x = 0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

bằng diện tích hình

y = 1 − x , y = x − 1, y = k , x > 0.
2

2

phẳng giới hạn bởi :

1− k

∫ (1− x
0

2

− k ) dx =

1+ k

1

∫ ( k − 1 + x ) dx + ∫ ( k − x
2

1− k

1

2

+ 1) dx ⇔ ( 1 − k ) 1 − k −

1
( 1− k ) 1− k
3

1
1
1
1
= − ( 1− k ) − ( 1− k ) 1− k + ( 1 − k ) 1− k + ( 1+ k ) 1 + k − ( 1+ k ) 1+ k − ( 1+ k ) +
3
3
3
3
⇔

2
4
( 1+ k ) 1+ k = ⇔
3
3

(

1+ k

)

3

=2

⇔ k = 3 4 − 1.


y = f ′( x)

y = f ( x)

Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số
có đồ thị
cắt trục Ox tại
a ba điểm có hoành độ
như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

f (c) > f (a ) > f (b).
A.

f (c) > f (b) > f (a ).
B.

f (a) > f (b) > f (c).
C.

f (b) > f (a ) > f (c).
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

y = f ′( x)

Đồ thị của hàm số

[ a; b]
các đoạn

liên tục trên

[ b; c ]

f ( x)

và

, lại có

f ′( x )
một nguyên hàm của
.

là

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
b

b

a

a

 y = f ′( x)
y = 0


x = a
 x = b

là:

S1 = ∫ f ′( x)dx = − ∫ f ′( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b )
b

.
S1 > 0 ⇒ f ( a ) > f ( b ) ( 1)
Vì

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
c

c

b

b

 y = f ′( x)
y = 0


x = b
 x = c

là:

S2 = ∫ f ′( x)dx = ∫ f ′( x)dx = f ( x ) b = f ( c ) − f ( b )
c

.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


S2 > 0 ⇒ f ( c ) > f ( b ) ( 2 )
.
Mặt

khác,

dựa

vào

hình

vẽ

ta

có:

S1 < S2 ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) ( 3)
.
Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
f ( a)
(có thể so sánh
f ( b)
sánh

với

Câu 29: Cho tam giác đều

dựa vào dấu của

dựa vào dấu của

của nó. Tính thể tích

V

trên đoạn

trên đoạn
3

có diện tích bằng

).

quay xung quanh cạnh

của khối tròn xoay được tạo thành.
V =

V = p.
B.

C.

7
p.
4

V =

D.

Hướng dẫn giải
Đáp án A
SABC = 3 Þ AB = BC = CA = 2
. Chọn hệ trục vuông góc

(

O ( 0;0) , A ( 1;0) , B 0;-

Oxy

)

3

sao cho

AC

với

. Phương trình đường thẳng

AB

O

và so

[ b; c ]

f ′( x )

ABC

[ a; b]

f ′( x)

f ( c)
với

V = 2p.
A.

f ( b)

là trung điểm

y = 3( x - 1)
là

, thể
Ox
ABO
AC
tích khối tròn xoay khi quay
quanh trục
(trùng ) tính bởi

1

V ¢= pò 3( x - 1) dx = p
0

. Vậy thể tích cần tìm

V = 2V ¢= 2p

.

p
2

2x- 1.cosx
ò 1+ 2x dx
p

-

Câu 30: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của
1
2
A. .
B. 0.
C. 2.

2

D. 1.

7
p.
8

AC


Hướng dẫn giải
Chọn A.
p
2

p
2

x- 1

x

2 cosx
2 cosx
ò 1+ 2x dx = ò 1+ 2x .2 dx p
0

(

-

p

2

2x cosx

ò ( 1+ 2 ) .2 dx ( 1)
x

0

2

Ta có:

Đặt

)

p
2

-

x =- t

x=0

ta có

p
2

x

2 cosx

t = 0,x = -

thì

p
2

t=

thì

p
2

2- t cos( - t )

p
2

và

dx = - dt
p
2

cost

cosx

ò ( 1+ 2 ) .2 dx = ò ( 1+ 2 ) .2 d( - t) = - ò ( 1+ 2 ) .2 dt = - ò ( 1+ 2 ) .2 dx
x

-t

0

t

0

x

0

0

Thay vào (1) có
p
2

p
2

x

2 cosx
2 cosx
cosx
dx = ò
dx + ò
dx
x
x
x
1+ 2
p
0 1 + 2 .2
0 1 + 2 .2

ò
-

p
2

x- 1

(

)

(

)

2

p
2

p
2

( 1+ 2 ) cosx dx = cosx dx = sin x
=ò
ò 2
2
( 1+ 2 ) .2
x

p
2

x

0

0

0

=

1
2

p
2

2x- 1 cosx
1
ò 1+ 2x dx = 2
p

-

Vậy

2

[ 1;3]
f g
Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho , là hai hàm liên tục trên
3

3

1

1

3

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6
thỏa:

A. 8.

.

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
. Tính

B. 9.

1

C. 6.

.
D. 7.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
3

3

3

1

1

1

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10
• Ta có

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3

3

3

1

1

1

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6
• Tương tự

• Xét hệ phương trình

u + 3v = 10
u = 4
⇔

2u − v = 6

v = 2

3

3

3

1

1

1

.
3

3

u = ∫ f ( x ) dx v = ∫ g ( x ) dx
1

, trong đó

,

1

.

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6
• Khi đó

Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích

.

V

của khối tròn xoay được sinh ra khi quay
(C ) : x 2 + ( y − 3) 2 = 1
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
xung quanh trục hoành
là
V = 6π 3
V = 3π 2
V = 6π 2
V = 6π
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
ChọnD.

x 2 + ( y − 3) 2 = 1 ⇔ y = 3 ± 1 − x 2

.
1

(


V = π ∫  3 + 1 − x2
−1 

Đặt

) (
2

− 3 − 1 − x2

x = sin t ⇒ dx = cos t.dt

⇒ V = 12π

π
2

∫π

−

2

. Với

)

2

1


2
 dx = 12π ∫ 1 − x dx
−1

π

 x = 1 ⇒ t = 2

 x = −11 ⇒ t = − π

2

1 − sin 2 t .cos tdt = 12π

π
2

∫π cos

−

2

2

.

.

tdt = 6π 2

.

Oxyz

( E)

Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ
cho
có phương
2
2
x
y
+
= 1, ( a, b > 0 )
( E)
( C ) : x 2 + y 2 = 7.
a 2 b2
trình
và đường tròn
Để diện tích elip

( C)
gấp 7 lần diện tích hình tròn
khi đó
ab = 7 7
ab = 7
ab = 7
ab = 49
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.


x2
a

2

+

y2
b

2

= 1, ( a, b > 0 ) ⇒ y =

b 2
a − x2
a

.

a

( E)
Diện tích

Đặt

a

b a2 − x2 dx
b
= 4 ∫ a2 − x2 dx
a
a0
0

S( E) = 4∫

là

 π π

x = asin t, t ∈  − ;  ⇒ dx = acos tdt
 2 2

x = 0 ⇒ t = 0; x = a⇒ t =

Đổi cận:
S( E) = 4

a

.

π
2

a

b 2
a .cos2tdt = 2ab∫ ( 1+cos2t) dt = π ab
∫
a0
0

Mà ta có

Sπ( CR) = . π2 = 7 .
S( E) = 7.S( C ) ⇔ π ab = 49π ⇔ ab = 49.

Theo giả thiết ta có
1

∫ x.ln ( 2 x + 1)
0

Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân
b
c
phân số
tối giản. Lúc đó
b + c = 6057.
b + c = 6059.
b + c = 6058.
A.
B.
C.

2017

b
dx = a + ln 3
c
. Với

D.

b + c = 6056.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1

I = ∫ x.ln ( 2 x + 1)
0

2017

1

dx = 2017 ∫ x.ln ( 2 x + 1) dx
0

Ta có

Đặt

.

2

du =
dx

u = ln ( 2 x + 1)

2x +1
⇒

2
dv = xdx
v = x − 1


2 8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

1
  x2 1  2 
 x2 1 
x
.ln
2
x
+
1
d
x
=
ln
2
x
+
1
−
−
)
))
( (

÷dx
÷ ∫ − ÷
∫0 (
 2 8  0 0   2 8  2x +1 
1

Do đó

1

 x2 − x 
3
3
= ln 3 − 
÷ = ln 3
8
 4 0 8
1

⇒ I = ∫ x.ln ( 2 x + 1)

2017

0

Khi đó

3
 6051
dx = 2017  ln 3 ÷ =

ln 3.
8
8


b + c = 6059.

S
Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 2
y , ( m > 0)
2 mx =
2my = x ,
S =3
m
2
. Tìm giá trị của
để
.

A.

3
m= .
2

B.

m = 2.

C.

m = 3.

D.

1
m= .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2my = x 2 ⇔ y =

Ta có
mx =

và

1 2
x >0
2m

(do

m>0

).

 y = 2mx ≥ 0
1 2
y ⇔ y 2 = 2mx ⇔ 
2
 y = − 2mx < 0

.
mx =

2my = x 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
x = 0
1 2
x = 2mx ⇔ x 2 = 2m 2mx ⇔ x 4 − 8m3 x = 0 ⇔ 
2m
 x = 2m
2m

S=

∫
0

Khi đó

1 2
x − 2mx dx =
2m

2m

 1

∫  2m x
0

2


− 2mx ÷dx


và

.

1 2
y
2

ta có


1 x 3 2 2m
=
. −
x x
2m 3
3

S =3⇔

Để

2m

0

4m 2
=
3

.

4m 2
9
3
= 3 ⇔ m2 = ⇒ m =
3
4
2

(do

m>0

).

( H)
Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi

là phần giao
1
a
4
của hai khối
hình trụ có bán kính , hai
trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên.
( H)
thể tích của
.
3
2a
3a 3
V( H ) =
V( H ) =
3
4
A.
.
B.
.
V( H ) =

C.

a3
2

V( H ) =

.

D.

π a3
4

Tính

.

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.

( H)

Oxyz

Ta gọi trục tọa độ

như hình vẽ. Khi đó phần giao

một phần tư hình tròn tâm
trục

Ox

O

bán kính

a

là một vật thể có đáy là

, thiết diện của mặt phẳng vuông góc với

S ( x ) = a2 − x2
là một hình vuông có diện tích
a

0

0

2
2
∫ S ( x ) dx = ∫ ( a − x ) dx =

( H)
Thể tích khối

a

là

2a 3
3

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất