Bài toán vận dụng cao chủ đề 1 KHẢO sát hàm số ỨNG DỤNG có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG
3

y = x − mx + 5 m
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số
,
là tham số. Hỏi hàm số đã
cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị
3
1
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
y = x 6 − mx + 5

Ta có:
y′ =

3x5
x

3

−m=

3 x5 − m x
x

3

3

Suy ra:

TH1:
x=0

m=0

và hàm số khơng có đạo hàm tại

y′ =

5 x5
x

3

x=0

.

=0

. Ta có:

vơ nghiệm và hàm số khơng có đạo hàm tại

.
x

−∞

0

+∞
−

y′

+

y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.

TH2:

m>0

. Ta có:

x > 0
m
3
y′ = 0 ⇔ 3x 5 = m x ⇔  5

⇔
x
=
3
3
3 x = mx

Bảng biến thiên
x
−∞

0

m
3

+∞

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


y′

−

−

+

0

y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.

TH3:

m<0

. Ta có:

x
−∞

y′

−

x < 0
m
3
y′ = 0 ⇔ 3 x 5 = m x ⇔  5
⇔ x=− −
3
3
3 x = −mx

− −

m
3

0

+

+∞

0

+

y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số
m>0

2

m

m

Chú ý:Thay vì trường hợp
ta xét
, ta có thể chọn
là một số dương
m=3
3
m = −3
(như

) để làm. Tương tự ở trường hợp , ta chọn
để làm sẽ cho
lời giải nhanh hơn.
y=

2 x + 2017
(1)
x +1

Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây là

đúng?
A. Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận
x = −1.
đứng là đường thẳng

y = −2, y = 2
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
và khơng có tiệm cận đứng.

y=2
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng
khơng có tiệm cận đứng.

và

D. Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận

x = −1, x = 1.
đứng là các đường thẳng


Hướng dẫn giải
Chọn B
y=

2 x + 2017
(1)
x +1

Hàm số
đứng

có tập xác định là

¡

, nên đồ thị khơng có tiệm cận

2 x + 2017
2 x + 2017
= 2; lim
= −2
x →+∞
x →−∞
x +1
x +1
lim

, nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

y = −2, y = 2
là các đường thẳng

.

Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất cả

m

sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x 3 + x 2 + mx − 1
nằm bên phải trục tung.
1
1
0m<
m
3
3
A. Không tồn tại .B.
.
C.
.

D.

m<0

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

y′ = 0
Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình

có hai

3 x 2 + 2 x + m = 0 (1)

nghiệm

phân

∆′ = 1 − 3m > 0 ⇔ m <

biệt
1
3

có

nghiệm

phân

biệt

.
xCĐ

(1)
Khi đó

hai

có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí Viet ta có
lớn hơn 0.

xCT

,

2

 xCĐ + xCT = − 3 < 0 (2)

 x .x = m (3)
 CĐ CT 3

là hoành độ hai điểm cực trị.

xCĐ < xCT
, trong đó

vì hệ số của

x3

xCT > 0
Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có:

(2)
kết hợp

(3)
và

⇔ xCĐ .xCT =

(1)
suy ra

có hai nghiệm trái dấu

m
<0⇔m<0
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

,

.

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình

x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1)

2

có nghiệm thực

khi và chỉ khi:
3
2

−6 ≤ m ≤ −
A.

.

B.

−1 ≤ m ≤ 3

.

C.

m≥3

.

D.

1
3
− ≤m≤
4
4

.

Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính bỏ túi.

x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ mx 4 − x 3 + ( 2m − 1) x 2 − x + m = 0
2

m=3

3x 4 − x3 + 5x 2 − x + 3 = 0

m = −6

−6 x 4 − x3 − 13x 2 − x − 6 = 0

Chọn
phương trình trở thành
thực) nên loại đáp án B, C.
Chọn
phương trình trở thành

thực) nên loại đáp án A.
Kiểm tra với
án D.

m=0

phương trình trở thành

2

Ta có
y=

Xét hàm số

(x
y′ =
( 3x
=
=

2

3

x3 + x 2 + x
x4 + 2x2 + 1

x3 + x 2 + x
x4 + 2x 2 + 1

xác định trên

¡

(1)

.

+ x 2 + x ) ′ ( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x 3 + x 2 + x ) ( x 4 + 2 x 2 + 1) ′

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

2

+ 2 x + 1) ( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x 3 + x 2 + x ) ( 4 x 3 + 4 x )

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

− x6 − 2 x5 − x4 + x 2 + 2 x + 1

( x + 2 x + 1)

( − x + 1) ( x + 2 x + 1)
=
( x + 2 x + 1)
4

4

2

2

2

4

2

2

2

(khơng có nghiệm

− x3 − x 2 − x = 0 ⇔ x = 0

Tự luận
x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ m =

(khơng có nghiệm

nên chọn đáp


x =1
y′ = 0 ⇔ ( − x 4 + 1) ( x 2 + 2 x + 1) = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên

y=m
Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng
y=

⇔

cắt đồ thị hàm số

x3 + x 2 + x
x4 + 2 x2 + 1

−1
3
≤m≤
4
4

.

Chọn đáp án D.
f ( x) =

Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số
f ( a ) + f ( b − 2)

9x
, x∈ R
3 + 9x

. Nếu

a +b = 3

có giá trị bằng

1
A. .

2
B. .

C.

1
4

D.

3
4

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
f ( a) =

b − 2 = 1− a

9a
91− a
3
;
f
b
−
2
=
f
1
−
a
=
=
(
)
(
)
a
1− a
3+9

3+9
3 + 9a

9a
3
⇒ f ( a ) + f ( b − 2) =
+
=1
a
3 + 9 3 + 9a

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

thì


Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của

m

thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ

y = x + 3 x + mx + m − 2
3

thị hàm số
m>3
A.
.

2

nằm về hai phía so với trục hồnh?
−1 < m < 2
m<3
2B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
y′ = 3x 2 + 6 x + m

Ta có:

.

y′ = 0
Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình
phân biệt.
Do đó

∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3

x1

Ta có:

.

x2

Gọi ,
ứng.

có 2 nghiệm

y1
là điểm cực trị của hàm số và

y2
,

là các giá trị cực trị tương

1  2
2
1

y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 = y ′.  x + ÷+  m − 2 ÷x + m − 2
3  3
3
3


y1 = k ( x1 + 1)

nên

,

y2 = k ( x2 + 1)
.
Yêu

cầu

bài

⇔ y1. y2 < 0 ⇔ k 2 ( x1 + 1) ( x2 + 1) < 0 ⇔ x1 x2 + x1 + x2 + 1 < 0 ⇔

Vậy

m<3

m
− 2 +1< 0 ⇔ m < 3
3

toán

.

thỏa mãn bài tốn.

Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của

m

để đường thẳng đi qua
y = x − 3mx + 2
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
cắt đường tròn tâm
I ( 1;1) ,
A, B
1
2
bán kính bằng tại
điểm phân biệt
sao cho diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn nhất.
2± 3
1± 3
2± 5
2± 3
m=
m=
m=
m=
2
2
2
3
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
3

Hướng dẫn giải


Chọn A.
y′ = 3 x 2 − 3m

Ta có

y′ = 0 ⇔ x 2 = m

nên

.

y = x 3 − 3mx + 2

Đồ thị hàm số
m>0
chỉ khi
.

Ta có

có hai điểm cực trị khi và

1
1
y = x3 − 3mx + 2 = x ( 3 x 2 − 3m ) − 2mx + 2 = x. y ′ − 2mx + 2
3
3

.
y = x 3 − 3mx + 2

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

có

∆ : y = −2mx + 2
phương trình

Ta có:

1
1
1
S∆IAB = .IA.IB.sin ·AIB = sin ·AIB ≤
2
2
2

Diện tích tam giác

Gọi

H

IAB

là trung điểm

d( I ,∆ ) =
Mà

lớn nhất bằng

AB

IH =
ta có:

1
2

khi

sin ·AIB = 1 ⇔ AI ⊥ BI

1
2
AB =
= d( I ,∆ )
2

2

2m + 1 − 2
4m 2 + 1

d( I ,∆) =

Suy

ra:

⇔ 8m 2 − 16 m + 2 = 0 ⇔ m =

2± 3
2

2m + 1 − 2

=

4m 2 + 1

2
⇔ 4m − 2 = 2 ( 4m 2 + 1)
2

.

Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của
y = x + m −1

AB = 2 3

A.

.

cắt đồ thị hàm số

2x +1
y=
x +1

m

để đường thẳng

tại hai điểm phân biệt

A, B

sao cho

.

m = 4 ± 10

.

B.

m = 4± 3

.

C.

m = 2± 3

.

D.

m = 2 ± 10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

.


Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hoành

độ

giao

điểm

 f ( x ) = x 2 + ( m − 2 ) x + m − 2 = 0
2x +1
= x + m −1 ⇔ 
x +1
 x ≠ −1
Đường thẳng

y = x + m −1

khi phương trình

là

nghiệm

PT:

.

cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ

f ( x) = 0

có hai nghiệm phân biệt khác

 ∆ > 0
 m 2 − 8m + 12 > 0
m < 2
⇔
⇔



 f ( −1) ≠ 0
m > 6
1 ≠ 0

−1

, hay

.

( *)

x1 , x2

Khi đó, gọi

là hai nghiệm của phương trình

f ( x) = 0

, ta có

 x1 + x2 = 2 − m

 x1 x2 = m − 2

(Viète).
Giả sử

A ( x1 ; x1 + m − 1) , B ( x2 ; x2 + m − 1) ⇒ AB = 2 x2 − x1

Theo giả thiết

.

AB = 2 3 ⇔ 2 x2 − x1 = 2 3 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 6 ⇔ m 2 − 8m + 6 = 0
2

⇔ m = 4 ± 10

Kết hợp với điều kiện

( *)

Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho

ta được

x

y
,

m = 4 ± 10

.

xy ≤ 4 y − 1

là các số dương thỏa mãn
6 ( 2x + y )
x + 2y
P=
+ ln
x
y
a + ln b
ab
nhỏ nhất của
là
. Giá trị của tích
là

.Giá trị


A.

45

.

B.

81

.

C.

108

.

D.

115

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
xy ≤ 4 y − 1 ⇔ xy + 1 ≤ 4 y ≤ 4 y + 1
2

x, y

⇔0<

dương ta có:

P = 12 + 6
Có
t=

Đặt

.

x

y
+ ln  + 2 ÷
x
y


x
y

, điều kiện:

x
≤4
y

.

0
thì

6
P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + 2 )
t
6
1
t 2 − 6t − 12

f ′( t ) = − 2 +
= 2
t
t+2
t ( t + 2)

t = 3 + 21
f ′( t ) = 0 ⇔ 
t = 3 − 21

t

0

4
f ′( t ) −
P = f ( t)
27
+ ln 6
2
GTNN ( P ) =
Từ BBT suy ra
⇒a=

27
, b = 6 ⇒ ab = 81
2

27
+ ln 6

2

khi

t=4

.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


y=

Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số

( C)

ab = 4

hằng số dương,

ax 2 + x − 1
4 x 2 + bx + 9

( C)

a, b

có đồ thị

(

là các

y=c

). Biết rằng
có tiệm cận ngang
và có đúng 1
T = 3a + b − 24c
tiệm cận đứng. Tính tổng
T = 1.
T = 4.
T = 7.
T = 11.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

lim y =
x →±∞

a
4

y=c⇒
. Tiệm cận ngang

a
=c
4

.

(C)
có một tiệm cận đứng nên phương trình

∆ = 0 ⇔ b − 144 = 0 ⇔ b = ±12
2

Vậy

T = 11

. Vì

4 x 2 + bx + 9 = 0

có nghiệm kép.

1
1
b > 0 ⇒ b = 12 ⇒ a = ⇒ c =
3
12

.

.

Câu 11: (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số
y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x + 2017
( a; b )
nghịch biến trên khoảng
sao cho
b−a >3
là
m < 0
m > 6
m>6
m=9
m<0

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3

2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
y′ = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 )
Ta có

( a; b ) ⇔ x 2 + ( m − 1) x + ( m − 2 ) ≤ 0 ∀x ∈ ( a; b )
Hàm số nghịch biến trên

∆ = m 2 − 6m + 9
∆ ≤ 0 ⇒ x 2 + ( m − 1) x + ( m − 2 ) ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇒
TH1:

Vơ lí


x1 , x2 ( x2 > x1 )

∆ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y′
TH2:

⇒

có hai nghiệm

( x1; x2 )
Hàm số luôn nghịch biến trên

.

Yêu cầu đề bài:
⇔ x2 − x1 > 3 ⇔ ( x2 − x1 ) > 9 ⇔ S 2 − 4 P > 9
2

m > 6
2
⇔ ( m − 1) − 4 ( m − 2 ) > 9 ⇔ m 2 − 6m > 0 ⇔ 
m < 0

Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của

m

[ 1, 2]

đồng biến trên
m>
A.

1
3

3

y = 2x −x

2

+mx

để hàm số

.
m≥

.

B.

1
3

m ≥ −1
.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

m > −8

.

Chọn C.
3
2
y′ = ( 3 x 2 − 2 x + m ) 2 x − x +mx ln 2
Ta có

.
Hàm số đã cho đồng biến trên
[ 1, 2] ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ 1, 2] ⇔ 3 x 2 − 2 x + m ≥ 0, ∀x ∈ [ 1, 2] ( *)
a = 3 > 0, −

f ( x ) = 3x 2 − 2 x + m
Vì

có

b 1
= <2
2a 3

nên

1 − 3m ≤ 0

 ∆′ ≤ 0
1

m≥



3
 1 − 3m > 0
 ∆′ > 0




⇔  1
⇔ 
1 ⇔ m ≥ −1
( *) ⇔   x1 + x2
m<
<1

 < 1


3
 3
 2

 m 2

  m ≥ −1
 ( x1 − 1) ( x2 − 1) ≥ 0
 − + 1 ≥ 0
 3 3

Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng

y = ( 3m − 1) x + 6m + 3
cắt đồ thị

y = x − 3x + 1
3

2

hàm số

tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều
m
hai giao điểm cịn lại. Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( −1;0)
A.

3
(1; )
2

(0;1)
.

B.

.

C.
.
Hướng dẫn giải.

D.

3
( ;2)
2

.

Chọn A.
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng
x 3 − 3 x 2 + 1 = ( 3m − 1) x + 6m + 3 ⇔ x3 − 3 x 2 − ( 3m − 1) x − 6m − 2 = 0
.
3
2
x − 3 x − ( 3m − 1) x − 6m − 2 = 0
x1 , x2 , x3
Giả sử phương trình
có ba nghiệm
thỏa
x1 + x3
x2 =
(1)
2
mãn
.
x1 + x2 + x3 = 3 (2)
x2 = 1
x =1
(1)
(2)

Mặt khác theo viet ta có
. Từ
và
suy ra
. Tức
x =1
là một nghiệm của phương trình trên. Thay
vào phương trình ta được
1
m=−
3
.
1
m=−
3
Thử lại
thỏa mãn đề bài.

Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
y=
đồ thị
A.

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
x2 − x

2.

B.

là:

3.

4.
C.
Hướng dẫn giải

D.

1.

Chọn A.
1  1 

D =  −∞; −  ∪  ;1÷∪ ( 1; + ∞ )
2 2 


Tập xác định:
Tiệm cận đứng:

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
lim+ y = lim+
= +∞
x →1
x →1
x ( x − 1)

;

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
lim− y = lim−
= −∞
x →1
x →1
x ( x − 1)

x =1
Suy ra
là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang:

lim y = lim

x→+∞

x →+∞

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
= lim
x→+∞
x2 − x

4 1
2
− 4 + 3+ 2
2
x
x

x =3
1
1−
⇒ y =3
x

là tiệm cận ngang


lim y = lim

x→−∞

4 1
2
− 4 + 3+ 2
2
x
x
x =3
1
1−
⇒ y=3
x

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
= lim
x→−∞
x2 − x

x →−∞

là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm sớ có hai tiệm cận.

Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho

. Biết rằng
f ( x) = e

với

A.

là các số tự nhiên và

m, n

m − n = 2018
2

.

B.

1+

1
x2

+

1

f ( 1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

( x +1) 2

tối giản. Tính

m
n

m − n = −2018
2

.

C.

m − n2

m − n =1
2

.

.

D.

m − n = −1
2

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có :
1+

1
1
+
=
2
2
x
( x + 1)

(x

2

+ x + 1)

x 2 ( x + 1)

.

2

2

Suy ra :

f ( 1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

d

(lấy ln hai vế)

1
m
20182 − 1 m
= ⇔
=
2018 n
2018
n

Ta chứng minh

Giả sử

x2 + x + 1
1
1
1
= 1+

= 1+ −
2
x +x
x ( x + 1)
x x +1

m
n

m
⇔ f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) =
n

⇔ 2018 −

=

2018 − 1
2018
2

là phân số tối giản.

là ước chung của

Khi đó ta có

2018 − 1
2

và

2018

,
suy ra
1Md ⇔ d = ±1
20182 − 1Md 2018Md ⇒ 20182 Md

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

m
n


Suy ra

Vậy

20182 − 1
2018

m − n 2 = −1

là phân số tối giản, nên

m = 20182 − 1, n = 2018

.

.

Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y = sin x + cos x + mx

¡.
đồng biến trên
m ≤ − 2.
− 2 < m < 2.
B.
C.
Hướng dẫn giải

đồ thị hàm số
− 2 ≤ m ≤ 2.
A.

D.

m

để

m ≥ 2.

Chọn D.

y = sin x + cos x + mx
Ta có:

y ' = cos x − sin x + m
¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ . ⇔ m ≥ sin x − cos x, ∀x ∈ ¡ .
Hàm số đồng biến trên
⇔ m ≥ max ϕ ( x ) ,

ϕ ( x ) = sin x − cos x.

¡

với

Ta có:

π

ϕ ( x ) = sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ ≤ 2.
4

max ϕ ( x ) = 2.
¡

Do đó:

Từ đó suy ra

m ≥ 2.

Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hàm số

y = f ( x)

[ −2; 2]

xác định và liên tục trên

đoạn

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Xác định giá
f ( x) = m
trị của tham số m để phương trình
có số nghiệm thực nhiều nhất.

A.3 .

B.6 .

C.4 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

D.5.


y = f ( x)
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số

Câu 18: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số
m

A.

f ( x) = m

0
Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa
nghiệm nhiều nhất là 6.
y=

là:

x2 − 4 x
x+m

thì phương trình

có số

[ 1; +∞ )
đồng biến trên

thì giá trị của

là:
 1 
m ∈  − ; 2  \ { −1}
 2 

m ∈ ( −1; 2] \ { −1}

. B.

. C.
Giải

1

m ∈  −1; ÷
2


.

D.

1

m ∈  −1; 
2


.

Chọn D.
x2 − 4x
y=
x+ m

D = ¡ \ { −m}
có tập xác định là

y' =

x2 + 2mx − 4m

( x + m)

2

và
.
− m< 1
[ 1;+∞ ) ⇔  x2 + 2mx − 4m≥ 0,∀x∈ 1;+∞
)
[


Hàm số đã cho đồng biến trên
x2 + 2mx − 4m≥ 0, ∀x∈ [ 1; +∞ ) ⇔ 2m( x − 2) ≥ − x2,∀x∈ [ 1; +∞ )

(1)

2m( x − 2) ≥ − x2

x= 2
Do
thỏa bất phương trình
x≠ 2
.


− x2
2
m
≤
,∀x∈ [ 1;2)

x− 2
( 1) ⇔ 
2
2m≥ − x ,∀x∈ ( 2; +∞ )
x− 2

Khi đó
(2)

với mọi

m

nên ta chỉ cần xét

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


− x2
f ( x) =
x− 2

Xét hàm số
x = 0

f ′ ( x) = 0 ⇔ 
x = 4

f ′ ( x) =

[ 1;+∞ ) \ { 2}
trên

có

− x2 + 4x

( x − 2)

2

Bảng biến thiên

m> −1
1

YCBT ⇔ 2m≤ 1 ⇔ −1< m≤
2
2m≥ −8


.

Cách khác
x2 − 4x

y=
x+ m

y' =

D = ¡ \ { −m}
có tập xác định là

Hàm số đã cho đồng biến trên

x2 + 2mx − 4m

( x + m)

2

và
.
− m< 1
[ 1;+∞ ) ⇔  x2 + 2mx − 4m≥ 0, ∀x∈ 1; +∞
)
[



 −4 ≤ m≤ 0

2
   m> 0
 m + 4m≤ 0

∆ ≤ 0
   m< −4
 2

2
x + 2mx − 4m≥ 0,∀x∈ [ 1; +∞ ) ⇔  ∆ > 0
⇔   m + 4m> 0
⇔  
m≥ −1
  x1 < x2 ≤ 1   −m+ m2 + 4m ≤ 1  

 
1
 m≤
2
 


Kết hợp với đk

m> −1

−1< m≤
ta được

1
2

.

a , b, c

Câu 19: (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho các số thực

−8 + 4a − 2b + c > 0

8 + 4a + 2b + c < 0

thỏa mãn
y = x + ax + bx + c
Ox
giao điểm của đồ thị hàm số
và trục
là
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D.
3

2

Chọn D.
y = x3 + ax 2 + bx + c

Ta có hàm số

xác định và liên tục trên

¡

.

3

.

. Số


lim y = +∞

x →+∞

Mà

nên tồn tại số

y( M ) > 0
sao cho

sao

cho

lim y = −∞

;

y ( m) < 0

m < −2

số

M >2

x →−∞

nên tồn tại

y ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > 0
;

và

y ( 2 ) = 8 + 4a + 2b + c < 0
.
y ( m ) . y ( −2 ) < 0
Do

y=0
suy ra phương trình

có ít nhất một nghiệm thuộc

( m; −2 )

khoảng

.

y ( −2 ) . y ( 2 ) < 0

y=0
suy ra phương trình

có ít nhất một nghiệm thuộc

( −2; 2 )
khoảng

.

y ( 2) .y ( M ) < 0

y=0
suy ra phương trình

có ít nhất một nghiệm thuộc

( 2; M )
khoảng

.
y = x 3 + ax 2 + bx + c

Vậy đồ thị hàm số

và trục

Ox

có 3 điểm chung.

Câu 20: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của
y=

2x −1
( mx − 2 x + 1) ( 4 x 2 + 4mx + 1)

để đồ thị hàm số

2

có đúng 1 đường tiệm cận là
( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

{ 0} .
A.

C.

m

B.
∅

( −∞; −1) ∪ { 0} ∪ ( 1; +∞ ) .
D.

Chọn A.
lim y = 0
x →±∞

y=0

Có
. Nên hàm số ln có 1 đường tiệm cận ngang
điều kiện để hàm số khơng có tiệm cận đứng .

Xét phương trình:

. Vậy ta tìm

 mx 2 − 2 x + 1 = 0 (1)
2
2
mx
−
2
x
+
1
4
x
+
4

mx
+
1
=
0
⇔
(
)(
)
 2
 4 x + 4mx + 1 = 0 (2)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


TH1: Xét

TH2: Xét
Th2a.

m=0
m≠0

Cả

y=

, ta được

2x −1

1
=− 2
2
4x + 1
( −2 x + 1) ( 4 x + 1)

∆ 2 = 4m 2 − 4

∆1 = 1 − m
. Có:
2

(thỏa ycbt)

và

phương

trình

(1)

và

(2)

đều

vơ

nghiệm:

1 − m < 0
m > 1
⇔ 2
⇔
⇔ m ∈∅
−
1
<
m
<
1
4
m
−
4
<
0


x=
Th2b: (1) vơ nghiệm, (2) có nghiệm kép
m >1
(vì
)
x=
Th2c: (2) vơ nghiệm, (1) có nghiệm kép
−1 < m < 1
(vì

)

Câu 21: (NGƠ SĨ LIÊN) Trên đoạn
khi và chỉ khi
m = 2.
A.

B.

y=

[ −2; 2]
, hàm số

m ≥ 0.

C.

1
2

1
2

: ta thấy trường hợp này vơ lí

: ta thấy trường hợp này vơ lí

mx
x2 + 1

đạt giá trị lớn nhất tại

m = −2.

D.

m < 0.

Chọn B

Cách 1: Với
Với

Đặt

m≠0

m=0

max y = 0

y=0
thì

[ −2;2]

nên

khi

x = tan t

m>0

.

.
y=
, ta được

m
.sin 2t
2

x ∈ [ −2; 2]
. Với

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại

Khi

x =1

max

[ − arctan 2;arctan 2]

thì

y=

m
2

t ∈ [ − arctan 2;arctan 2]
thì

x =1

t=
tương ứng với
t=

khi và chỉ khi

.

π
4

.

π
4

.

x =1

Khi

m<0

Vậy

m≥0

max

[ − arctan 2;arctan 2]

y=

thì

m
2

t=−
khi và chỉ khi

π
4

.

thỏa mãn bài toán.
m ( 1 − x2 )

y′ =

(x

2

+ 1)

Cách 2: Ta có

2

,

m=0⇒ y =0
TH1:

TH2:

là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng

m≠0

. Khi đó:

0

khi

x =1

 x = −1 ( n)
y′ = 0 ⇔ 
 x = 1 ( n)

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị

lớn nhất tại
m≠0
(do
)
Vậy

x =1

[ −2; 2]
trên đoạn

khi và chỉ khi

 y ( 1) ≥ y ( −2 )

 y ( 1) ≥ y ( 2 ) ⇔ m ≥ 0 ⇒ m > 0

 y ( 1) ≥ y ( −1)

m≥0

Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2

cũng tìm được kết quả như trên.

m≠0

, ta có thể xét

m>0

,

m<0

rồi lập BBT

m

Câu 22: (SỞ GD BẮC NINH) Tìm các giá trị thực của tham số để phương trình
2 − x + 1 − x = m + x − x2

A.

 23 
m ∈ 5;  .
 4

có hai nghiệm phân biệt.
 23 
m ∈  5; ÷∪ { 6} .
m ∈ [ 5;6] .
 4 

B.
C.

D.

 23 
m ∈ 5; ÷∪ { 6} .
 4 

Hướng dẫn giải
2 − x + 1 − x = m + x − x2 1
+)
( )
Điều kiện:

−1 ≤ x ≤ 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( 1) ⇔ 3 + 2

− x2 + x + 2 = − x2 + x + m

+)
2
− x 2 + x = t ; f ( x ) = − x + x; f ′ ( x ) = −2 x + 1

Đặt:
1

1 1

f ( −1) = 2, f ( 2 ) = −2, f  ÷ = ⇒ t ∈  −2; 
4
2 4


( 1) ⇔ 3 + 2

t + 2 = t + m ⇔ 2 t + 2 = t + m−3 ⇔ m = 2 t + 2 + 3− t

f ( t) = 2 t + 2 + 3− t

Đặt

1
1− t − 2
−1 =
f ′ ( t ) = 0 ⇒ 1 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1
t+2
t −2
.

f ′( t ) =

Bảng biến thiên
1

t

-∞

-2

-1

+∞

4

f'(t)
6
f(t)
23
5

+)

4

− x2 + x = t ⇔ − x2 + x − t = 0

⇔ ∆ = 1 − 4t > 0 ⇔ t ≤
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1
4

( ∗)
Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình

nghiệm

1

t ∈  −2; 
4

⇒ m ∈ [ 5;6]

Từ bảng biến thiên
Chọn B

.

có


y=

Câu 23: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số

x3 3 2
− x + 4 x + 2017
3 2

y' = m −m
2

m

để phương trình
 1+ 2 
;2÷

÷
 3

A.
.
B.

. Định

[0; m]

có đúng hai ngiệm thuộc đoạn
 1− 2 2 
 1− 2 2 
 1+ 2 2 
;2÷
; 2÷
; 2



÷
÷
 3


 2

 2

.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D
y ' = m2 − m ⇔ x 2 − 3 x + 4 = m2 − m
Ta có:
y = m2 − m
4
7
4
3
3
2
2

f ( x ) = x 2 − 3x + 4 ( P )
Đặt

Yêu cầu bài toán :

3
3

<
m
2 < m
2


2
7
7
⇔  < m 2 − m ≤ m 2 − 3m + 4 ⇔  < m − m
4
4
 2
2
2
m − m ≤ 4
m − m ≤ m − 3m + 4

 2

m − m ≤ 4
3
2 < m


1− 2 2
m <
 1+ 2 2 
2


⇔ 
⇔ m ∈ 
; 2
 2

  m > 1 + 2 2

2

m ≤ 2
0 < m ≤ 2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 24: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị của tham số

(

)

y = ln 16 x + 1 − ( m + 1) x + m + 2
2

( −∞; ∞ ) .

nghịch biến trên khoảng
m ∈ [ 3; +∞ ) .
m ∈ ( −∞; −3) .
B.
C.

m ∈ ( −∞; −3] .
A.

m

m ∈ [ −3;3] .
D.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

(

)

y = ln 16 x 2 + 1 − ( m + 1) x + m + 2
Ta có:
y′ =

32 x
− ( m + 1)
16 x 2 + 1

Hàm số nghịch biến trên

¡

y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡
khi và chỉ khi

⇔

Cách 1:

32 x
− ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ¡
16 x 2 + 1

32 x
− ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 32 x − ( m + 1) 16 x 2 + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ¡
16 x 2 + 1

(

)

⇔ −16 ( m + 1) x 2 + 32 x − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ¡
 m > −1

−
16
m
+
1
<
0
(
)
m
>

−
1


⇔   m ≤ −5 ⇔ m ≥ 3.
⇔
⇔

2
2
2
m ≥ 3
−16m − 32m + 240 ≤ 0
∆′ = 16 − 16 ( m + 1) ≤ 0


Cách 2:
⇔

32 x
− ( m + 1) ≤ 0
16 x 2 + 1

∀x ∈ ¡

32 x
≤ m + 1, ∀x ∈ ¡ ⇔ m + 1 ≥ max g ( x),
16 x 2 + 1
¡

g ′( x) =
Ta có:

−512 x 2 + 32

( 16 x

g ′( x) = 0 ⇔ x = ±

1
4

2

)

+1

2

g ( x) =
với

32 x
16 x 2 + 1

để hàm số


1

 1
lim g ( x) = 0; g  ÷ = 4; g  − ÷ = −4
x →±∞
4
 4
Bảng biến thiên:
x

−∞

g′ ( x )

−

−

1
4

1
4
+

0

0

+∞

−

4
g ( x)

0

0

−4

max g ( x) = 4
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Do đó:

¡

m + 1 ≥ 4 ⇔ m ≥ 3.

Câu 25: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

π π 
cot x − 1
y=
 ; ÷
4 2
m cot x − 1

đồng biến trên khoảng
.
m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ )
m ∈ ( −∞;0 )
A.
.
B.
.
m ∈ ( 1; +∞ )
C.

m ∈ ( −∞;1)
.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
y′ =

(

)

(

)

− 1 + cot 2 x ( m cot x − 1) + m 1 + cot 2 x ( cot x − 1)

( m cot x − 1)

2

( 1 + cot x ) ( 1 − m )
=

Ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng

2

( m cot x − 1)

2

.
π π 
 ; ÷
4 2

khi và chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




π π 
m cot x − 1 ≠ 0, ∀x ∈  4 ; 2 ÷


m ≤ 0 ∨ m ≥ 1

⇔
⇔ m≤0

2
1 − m > 0
 y′ = 1 + cot x ( 1 − m ) > 0, ∀x ∈  π ; π 

÷
2

4 2
( m cot x − 1)


(

)

3

Câu 26: (NGUYỄN TRÃI – HD) Phương trình

.

2

223 x .2 x − 1024 x + 23 x3 = 10 x 2 − x

có tổng các

nghiệm gần nhất với số nào dưới đây
0,35.
0, 40.
0,50.
0, 45.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
3
2
3
2
223 x .2 x − 1024 x + 23 x3 = 10 x 2 − x ⇔ 223 x + x + 23 x3 + x = 210 x + 10 x 2
Ta có
f ( t ) = 2t + t
Hàm số
2

23 x3 + x

đồng biến trên

10 x 2

+ 23 x + x = 2
3

¡

nên

+ 10 x ⇔ 23 x + x = 10 x ⇔ x = 0
2

3

x=

2

hoặc

5± 2
23

10
≈ 0, 4347
23

Tổng các nghiệm bằng
 Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình
bậc ba”

ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Nếu phương trình
b
c
d
x1 + x2 + x3 = − ; x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = ; x1 xx x3 = −
a
a
a

Câu 27: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Đường thẳng
y = x + 2mx + ( m + 3) x + 4
3

2

x1 x2 x3
có ba nghiệm , ,
thì:

d : y = x+4
A ( 0; 4 ) , B

cắt đồ thị hàm số
C

tại 3 điểm phân biệt
và
sao cho diện tích
M ( 1;3) .

MBC
m
tam giác
bằng 4, với
Tìm tất cả các giá trị của
thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
m=2
m = 3.
m = −2
m = 3.
A.
hoặc
B.
hoặc
m = 3.
m = −2
m = −3.
C.
D.
hoặc
Hướng dẫn giải
Chọn C.


Phương

trình

hồnh

độ

giao

điểm

d

của

( C) :
và

đồ

thị

x + 2mx + ( m + 3) x + 4 = 4
3

2

x = 0
⇔ x3 + 2mx 2 + ( m + 2 ) x = 0 ⇔ 
2
ϕ ( x ) = x + 2mx + m + 2 = 0

A ( 0; 4 ) .

x = 0,
Với

( 1)

ta có giao điểm là

( C)

d

cắt
tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt khác 0.
ϕ ( 0 ) = m + 2 ≠ 0
⇔
2
∆′ = m − m − 2 > 0

(*)

Ta gọi các giao điểm của

d

( C)
và

A, B ( xB ; xB + 2 ) , C ( xC ; xC + 2 )
lần lượt là

xB , xC
là nghiệm của phương trình (1).
 xB + xC = −2m

= m+2
 xB .xC
Theo định lí Viet, ta có:

Ta có diện tích của tam giác
Phương trình

MBC

S=

1
×BC ×d ( M , BC ) = 4.
2

là
d : y = x + 4 ⇔ x − y + 4 = 0.

d

được viết lại là:
1− 3 + 4
d ( M , BC ) = d ( M , d ) =
= 2.
2

12 + ( −1)

Mà
BC =

8
8
=
⇔ BC 2 = 32
d ( M , BC )
2

Do đó:
BC 2 = ( xC − xB ) + ( yC − y B ) = 2 ( xC − xB ) = 32
2

2

2

Ta lại có:
⇔ ( xB + xC ) − 4 xB .xC = 16 ⇔ ( −2m ) − 4 ( m + 2 ) = 16
2

2

⇔ 4m 2 − 4m − 24 = 0 ⇔ m = 3; m = −2.

Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị

m = −2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

với