(SKKN 2022) Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THTP QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HỐ
TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12
THƠNG QUA MỘT SỐ BÀI TỐN
VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÍ CỦA TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Phạm Anh Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
Sáng kiến kinh nghiệm thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, THÁNG 6 NĂM 2022


MỤC LỤC
Thứ tự
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.2
2.3
2.3.1

2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.4
3
3.1
3.2

Danh mục
Trang
MỞ ĐẦU..............................................................
1
Lý do chọn đề tài..................................................
1
Mục đích nghiên cứu............................................
1
Đối tượng nghiên cứu...........................................
2
Phương pháp nghiên cứu......................................
2
NỘI DUNG ĐỀ TÀI............................................
2
Cơ sở lí luận.........................................................
2
Ứng dụng hình học của tích phân ........................
3
Ứng dụng vật lí của tích phân .............................
4
Thực trạng của đề tài ...........................................

4
Giải pháp và tổ chức thực hiện.............................
5
Bài toán về diện tích hình phẳng………………..
5
Bài tốn về thể tích vật thể ..................................
8
Bài tốn về thể tích vật thể trịn xoay…………..
12
Bài tốn về chuyển động trong vật lí....................
14
Bài tập đề nghị…………………………………..
15
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với
hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và nhà trường........................................................
17
KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ..................................
17
Kết luận................................................................
17
Kiến nghị..............................................................
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................
19
Danh mục SKKN của tác giả đã được hội đồng
cấp Sở GD&ĐT đánh giá.....................................
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Giáo dục đang đổi mới một cách toàn diện, cho ta quyền hi vọng vào một
nền Giáo dục mới tân tiến, theo kịp thế giới. Sản phẩm của Giáo dục sẽ là những
con người với năng lực, phẩm chất đủ đáp ứng tiêu chuẩn của một cơng dân tồn
cầu, trong thế giới phẳng đang phát triển như vũ bão. Sự đổi mới của Giáo dục
đang được thể hiện rõ ở mục tiêu, phương pháp, kỹ thuật dạy học. Với mục tiêu
thay vì chú trọng truyền thụ kiến thức đơn thuần thì nay là dạy cách làm, kỹ
năng, hình thành năng lực. Đào tạo con người phát triển tồn diện, có tư duy
sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao
trước yêu cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hóa hiện đại hóa gắn với phát triển nền
kinh tế tri thức và xu hướng tồn cầu hóa trong thời đại 4.0 là nhiệm vụ trọng
tâm đối với ngành giáo dục. Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành
Trung ương đã đánh dấu một bước quan trọng trong q trình đổi mới căn bản
và tồn diện giáo dục Việt Nam. Nội dung trọng tâm được thể hiện tring nghị
quyết này là “ chuyển nề giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo
dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” [1]. Tất cả các mơn học
trong nhà trường đều có vai trị nhất định trong việc hình thành và phát triển
năng lực đặc thù, riêng đối với mơn Tốn có thể phát triển được các năng lực
như: tư duy và lập luận tốn học; mơ hình hố tốn học; giải quyết vấn đề tốn
học; giao tiếp tốn học; sử dụng cơng cụ và phương tiện toán học [2]. Trong số
những năng lực này, năng lực mơ hình hố tốn học là năng lực đã được nhiều
quốc gia phát triển trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước, và là năng lực
quan trọng của học sinh phổ thông. Các nền giáo dục tiên tiến trên thế giới
không chỉ đánh giá về kiến thức mà còn xem xét khả năng của học sinh trong
việc áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào giải quyết những vấn đề
thực tiễn và có thể làm được những gì trên cơ sở kiến thức đã học được. Q
trình mơ hình hố tốn học cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề
trong chương trình học dưới góc nhìn của tốn học. Do đó địi hỏi học sinh cần
vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so

sánh, khái qt hố, trừu tượng hố…
Đã có nhiều đề tài và cơng trình nghiên cứu về mơ hình hố tốn học ứng
dụng trong dạy học tốn ở trường phổ thông. Tuy nhiên những đề tài hay cơng
trình đó nghiên cứu một cách tổng qt hoặc áp dụng cho những đối tượng khác.
Mặt khác trong quá trình dạy học và ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 12 tôi
nhận thấy hầu hết học sinh không vận dụng được các kiến thức đã học vào giải
quyết các bài tốn thực tế. Vì những lí do trên, tơi đã chọn đề tài: “Phát triển
năng lực mơ hình hố tốn học cho học sinh lớp 12 thơng qua một số bài
tốn về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân”. Với mong muốn khơi dậy
niềm đam mê trong học tập và phát triển năng lực mơ hình hoá toán học giúp
các em giải quyết tốt các vấn đề dặt ra trong thực tiễn cuộc sống.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Trang 1


Qua nội dung của đề tài này giúp học sinh làm quen với các hoạt động
sáng tạo, hình thành kĩ năng xây dựng mơ hình tốn học của các bài tốn thực tế
đơn giản, nghiên cứu hiện tượng theo mơ hình đã đưa ra, áp dụng các phương
pháp, cơng cụ tốn học phù hợp mà ở đây là tích phân để giải quyết các vấn đề
đặt ra trong mơ hình và giải quyết bài tốn thực tiễn. từ đó phát triển năng lực
mơ hình hố tốn học cho học sinh.
Đề tài này cũng là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên nhằm mục đích
nâng cao nâng cao chất lượng dạy và kích thích khả năng tự học, tự sáng tạo, tự
nghiên cứu của mỗi cá nhân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các bài toán thực tiễn trong cuộc sống được giải
quyết trong mơ hình tốn học thơng qua ứng dụng hình học và vật lí của tích
phân, áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương II.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu lý luận chung, nghiên cứu

nghị quyết của Ban Chấp hành trung ương, nghiên cứu chương trình giáo dục
phổ thơng mới về các năng lực chun biệt của mơn Tốn và đặc biệt là năng lực
mơ hình hố tốn học cho học sinh lớp 12.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy trên lớp, khảo sát từ
thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Phương thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú,
thống kê điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận:
"Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực
hiện một hoạt động nào đó. Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con
người khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao” [4].
“Năng lực mơ hình hố tốn học ở cấp THPT thể hiện qua việc: thiết lập
được mơ hình tốn học (gồm cơng thức, mơ hình, bảng biểu, đồ thị…) để mơ tả
tình huống đặt ra trong một số bài tốn thực tiễn; giải quyết được những vấn đề
tốn học trong mơ hình được thiết lập; lí giải được tính đúng đắn của lời giải
(những kết luận thu được từ các tính tốn là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn
hay khơng). Đặc biệt nhận biết được cách đơn giản hố, cách điều chỉnh những
yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá…) để đưa đến
những bài toán giải được” [3].

Trang 2


Mơ hình hố tốn học có thể coi là một quy trình khép kín, nảy sinh từ
các tình huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện
vấn đề thực tiễn.
2.1.1. Ứng dụng hình học của tích phân [5].
a) Tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số y  f ( x) liên tục và khơng

âm trên đoạn  a; b . Khi đó diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng
b

x  a, x  b là S   f ( x)dx .
a

b) Tính thể tích vật thể

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cắt vật thể τ bởi hai mặt phẳng ( P)
và (Q) vng góc với trục Ox lần lượt tại các điểm có hồnh độ x  a, x  b với
a  b . Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x với
a  x  b cắt

τ theo thiết diện có diện tích là

S ( x) , giả sử S ( x) là một hàm số liên

tục trên đoạn  a; b . Người ta chứng minh được thể tích V của phần vật thể

τ

b

giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P) và (Q) là V   S ( x)dx .
a

c) Tính thể tích vật thể trịn xoay
Cho hàm số f ( x) liên tục và không âm trên đoạn  a; b . Hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay
b

2
quanh trục hoành tạo thành một khối trịn xoay có thể tích V    f ( x)dx .
a

Trang 3


2.1.2. Ứng dụng vật lí của tích phân [5].
Một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian v  f (t ), (0  t  T ) .
Quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t  a đến thời
b

điểm t  b , với 0  a  b  T là L  F (b)  F (a )   f (t )dt .
a

Trong đó F là một nguyên hàm bất kì của hàm số f trên khoảng  0;T  .
2.2. Thực trạng của đề tài:
Đối tượng học sinh tơi trực tiếp giảng dạy có học lực từ yếu đến khá nên
khi gặp những bài toán giải quyết những vấn đề trong thực tiễn ( bài toán thực
tế) học sinh rất lúng túng không biết giải quyết vấn đề từ đâu nên thường bỏ qua
không làm, dẫn đến tình trạng học lí thuyết thì thơng nhưng áp dụng thực tế thì
khơng làm được.
Qua thực tiễn q trình dạy học, làm bài tập hàng ngày, kiểm tra thường
xuyên, định kỳ và thơng qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh,
tổng hợp các thông tin có được tơi nhận thấy cịn tồn tại những thực trạng sau:
Đối với giáo viên:
Một số giáo viên trong quá trình dạy học mơn tốn chưa quan tâm nhiều

đến việc vận dụng ý nghĩa hình học và vậy lí của tích phân trong việc giải quyết
các bài trong thực tiễn, cũng một phần do năng lực học sinh có hạn, một phần do
quỹ thời gian dành cho hoạt động tìm tịi khám phá cịn ít. Nếu làm tốt điều này
sẽ giúp học sinh tư duy sáng tạo và giải quyết tốt các bài toán thực tiễn đặt ra
bằng năng lực mơ hình hố tốn học của bản thân.
Đối với học sinh:
Khi học ứng dụng của nguyên hàm tích phân thường chỉ biết áp dụng cơng
thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay để giải quyết các bài
toán cơ bản trong sách giáo khoa chứ chưa giải quết các bài toán thực tiễn cuộc
sống. Nếu phát huy tốt năng lực mơ hình hố tốn học chắc chắn sẽ giúp các em
tư duy tốt hơn và tự tin hơn khi đứng trước các bài toán thực tế trong đời sống
hàng ngày.

Trang 4


2.3. Giải pháp thực hiện:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi đưa ra hướng giải quyết các các bài tốn thực tế theo hướng
phát triển năng lực mơ hình hố tốn học của người học như sau:
Giai đoạn thứ nhất là quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận
ra các yếu tố quan trọng (như biến, tham số).
Giai đoạn thứ hai là thiết lập được mô hình tốn học (gồm cơng thức, mơ
hình, bảng biểu, đồ thị…) để mơ tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực
tiễn
Giai đoạn thứ ba là áp dụng các phương pháp, cơng cụ tốn học phù hợp
để giải quyết các vấn đề toán học đã được thiết lập trong mơ hình.
Giai đoạn thứ tư là thơng báo kết quả, đối chiếu với mơ hình với thực tiễn
và kết luận.
2.3.1. Bài tốn về diện tích hình phẳng.

Ví dụ 1 [8].
Một bể bơi hình elip có độ dài trục lớn
bằng 10 m và trục nhỏ bằng 8 m . Khu vực
màu cam là nơi lát gạch; khu vực màu tím là
bậc thang lên xuống bể bơi có dạng nửa
đường trịn có tâm là một tiêu điểm của elip,
bán kính bằng 1m ; phần còn lại là khu vực
màu xanh chứa nước của bể bơi. Chi phí lát
gạch cho mỗi mét vng là 500 000 đồng thì
chi phí lát gạch ( khu vực màu cam ) là bao
nhiêu ? ( làm trịn đến hàng nghìn).
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ như
hình vẽ ( trục hoành đi qua hai tiêu
điểm F1 , F2 , gốc toạ độ O là trung
điểm đoạn thẳng F1 F2 ). Khi đó
phương trình của elip có dạng
x2 y 2
 2  1; (c 2  a 2  b 2 , a  b  0)
2
a
b
Độ dài trục lớn 2a  10  a  5 , độ
dài trục bé 2b  8  b  4 cho nên
x2 y 2

1
elip có phương trình
25 16
Do c 2  25  16  9  c  3 suy ra

Trang 5


tiêu điểm F1 (3; 0) . Đường tròn tâm F1 , bán kính R  1 có phương trình:
( x  3) 2  y 2  1 . Vậy diện tích khu vực lát gạch (màu cam) là:
5
44

4

S  2  
25  x 2  1  ( x  3) 2 dx  
25  x 2 dx   7,375 m 2
5

4
35

Vậy chi phí lát gạch (khu vực màu cam của bể bơi) là 7,375 x500 000  3688000 đ

Nhận xét: Học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ hình tốn học là
tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường elip, đường trịn và đường
thẳng từ đó thiết lập phương trình đường elip

x2 y2

 1 , đường tròn
25 16

( x  3) 2  y 2  1 , và đường thẳng x  3. Sau đó áp dụng tích phân để tính diện tích

cần tìm, từ đó tính được số tiền cần tìm.
Ví dụ 2 [8].
Một gia đình muốn làm bộ cửa cổng ( như
hình vẽ). Phía trên cổng có hình dạng là một phần
Parabol, với IH  1 m , phần phía dưới là một hình
chữ nhật có kích thước AD  2,5 m và CD  3, 6 m .
Giá để làm phần cổng màu cam là 1000 000 ®/m 2 và
giá để làm phần cổng màu xanh phía trên là
1200 000 ®/m 2 . Tính số tiền gia đình đó phải trả cho
bộ cửa cổng.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ (như hình
vẽ), trục Ox đi qua hai điểm A, B ; trục
Oy đi qua hai điểm I , H . Khi đó
A  1,8; 0  , B  1,8; 0  và I  0; 1 , Parabol
đi qua hai điểm A, B và có đỉnh I có
dạng y  ax 2  bx  c , suy ra ta có
9
25
 81

 25 a  5 b  c  0
a   81


25
c
 1  b

 0  y   x2  1

81

c
b
1



0
2a


1,8

Diện tích phần cửa sơn màu xanh là: S1 

 25

   81 x

1,8

2

12

 1dx  m 2
5



Diện tích phần cửa sơn màu cam là: S2  2,5.3,6 = 9 m 2 , do đó tổng số tiền gia
đình đó phải trả cho bộ cửa cổng là:

12
.1200 000  9.1000 000  11880 000 ( đồng).
5

Trang 6


Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol và
đường thẳng từ đó chọ hệ trực toạ độ và thiết lập phương trình đường Parabol
y

25 2
x  1 theo giả thiếu bài tốn. Sau đó áp dụng tích phân để tính diện tích
81

cần tìm, từ đó tính được số tiền làm cửa.
Ví dụ 3 [8].
Trên mảnh đất hình vng cạnh 40 m , người ta
cần trồng một vườn hoa hồng sao cho nó tạo thành
bốn cánh hoa bằng nhau. Người thiết kế đã sử dụng
bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm hình vng
để tạo ra bốn cánh hoa bằng nhau (được tơ mầu tím
như hình vẽ bên). Tính số tiền tối thiểu để trồng xong
vườn hoa. Biết rằng để trồng mỗi m2 hoa cần 600 000

đồng.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ (gốc
toạ độ là tâm của hình vng, các trục toạ độ
song song với cạnh của hình vng).
Bây giờ ta sẽ tính diện tích phần khơng
trồng hoa (phần trong hình vng và khơng có
màu); nó bằng tám lần diện tích tam giác cong
OAB giới hạn bởi đường cong parabol, trục
hoành và hai đường thẳng x  0, x  20 .
Parabol đi qua gốc toạ độ có dạng y  ax 2
và nó đi qua điểm A(20; 20) nên y 
20

S  8
0

1 2
x , vì vậy diện tích phần kơng trồng hoa là
20

1 2
3200 2
x dx 
m ; diện tích hình vng cạnh 40 m là: 1600 m 2
20
3

Vậy số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa là:
3200 


 1600 
.600 000  320 000 000 đồng.
3 


Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tính diện tích bốn cánh hoa gián tiếp thơng phần diện tích
khơng trồng hoa. Phần diện tích khơng trồng hoa là hình phẳng giới hạn bởi
đường Parabol trục hoành và các đường thẳng x  0, x  20 . Biết chọn hệ trục
toạ độ và thiết lập phương trình đường Parabol y 

1 2
x theo giả thiếu bài
20

tốn. Sau đó áp dụng tích phân để tính diện tích cần tìm, từ đó tính được số tiền
cần thiết để trồng hoa.
Trang 7


2.3.2. Bài tốn về thể tích vật thể
Ví dụ 4 [8].
Để chuẩn bị cơ sở vật chất phục vụ
công tác phịng chống Covid-19, các
chiến sĩ ở chốt kiểm sốt dựng một cái
lều (như hình vẽ). Biết rằng mặt trước và
mặt sau của lều là hai parabol bằng nhau,
nằm trên hai mặt phẳng song song và
cùng vng góc với mặt nền. Nền của lều

là một hình chữ nhật có kích thước:
Chiều rộng (lối vào lều) là 4 m , chiều dài
là 6 m ; đỉnh parabol cách nền 3m . Tính
thể tích phần khơng gian bên trong lều.
Lời giải:
Trong khơng gian chọn hệ trục
toạ độ Oxyz (như hình vẽ). Một mặt
phẳng ( ) vng góc với trục hồnh,
cắt trục hồnh tại một điểm tuỳ ý có
hồnh độ x thoả mãn 0  x  6 ; mặt
phẳng ( ) cắt lều theo một thiết diện có
diện tích S ( x) khơng đổi.

Thiết diện (hay mặt cắt ngang) của lều là một
phần đường parabol.
Trong mặt phẳng ( ) c họn hệ trục toạ độ
(như hình vẽ); trục Ox đi qua hai chân của
lều, trục Oy đi qua đỉnh lều và vng góc với
mặt nền, suy ra A(2;0) và đỉnh I (0;3) .
Gọi parabol cần tìm là y  ax 2  bx  c ; theo
giả thiết parabol đi qua điểm A và có đỉnh I
nên ta có:
3


a   4
 4a  2b  c  0


3

c
 3  b  0  y   x 2  3

4

c  3
b
 

0
2a



Trang 8


2



2
2
Diện tích thiết diện ngang của lều là: S ( x)     x  3 dx  8(m ).
3
4
2 

6

6

0

0



3
Vậy thể tích của lều là V   S ( x)dx   8dx  48 (m ).

Nhận xét: Trong bài toán này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng song
song (ở đây lều được giới hạn bởi mặt trước và mặt sau nằm trên hai mặt phẳng
song song); khi đó một mặt phẳng tuỳ ý song song và nằm giữa hai mặt phẳng
trên sẽ cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích khơng đổi.
Diện tích thiết diện lại là một mơ hình tốn học tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng. Học sinh phải biết chọn hệ trục
toạ độ trong mặt phẳng phù hợp để viết phương trình parabol và tính được diện
tích thiết diện, từ đó tính được thể tích vật thể cần tìm.
Ví dụ 5 [9].
Một xe téc chở xăng dầu, xitec
(bình chứa xăng dầu) có thơng số kĩ
thuật như hình bên. Kích thước dài,
rộng, cao lần lượt là: 8550 mm ,
2450 mm và 1520 mm . Thiết diện
ngang của xitec là một hình elip,
dung tích của xitec là 25 khối ( 2500
lít), (bỏ qua bề dày của thành xitec).
Theo quy định an tồn phịng chống

cháy nổ, người ta chỉ chở xăng không
quá

4
chiều cao của xitec. Hỏi xe téc
5

chở được tối đa bao nhiêu lít xăng ?
(làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải:
Thiết diện ngang của xitec là một elip có trục lớn là 2450 mm , trục bé là
1520 mm . Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ( Ox chứa trục bé, Oy chứa trục lớn, với
O là điểm chính giữa của trục lớn và trục bé). Chiều cao của xăng tối đa trong
4
5

xitec là h  .1520  1216 mm .
Gọi phương trình của elip là
0  a  b . Theo giả thiết ta có:

x2 y 2

 1 với
a 2 b2

Trang 9


 2a  1520
 a  760

x2
y2

  E :

 1 , do đó

7602 12252
 2b  2450
b  1225

diện tích phần chứa xăng (màu xanh) là:
760

S 2

1225
7602  x 2 dx  2508391 mm 2
760
456



Vậy thể tích xăng tối đa xe téc có thể chở được là
8550

V



8550

Sdx 

0



2508391dx

0

 21451360 050 mm3  21451 (lít)

Nhận xét: Ở bài tốn này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tính diện tích của một phần elip, bằng cách chọn hệ trục toạ độ
hợp lí để tìm được phương trình elip. Từ đó sử dụng tích phân tính được diện
tích phần chứa dầu
Tiếp theo chọn hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian thoả mãn vật thể
(xitec) giới hạn bởi hai mặt phẳng cùng vng góc với trục hồnh. Thiết diện
của vật thể với mặt phẳng vng góc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ x tuỳ
ý với 0  x  8550 là một phần của elip có diện tích khơng đổi ở trên. Từ đó sử
dụng tích phân tính được thể tích tối đa xe téc có thể chở.
Ví dụ 6 [8].
Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ có đường
kính đáy bằng 20 cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có
giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với
đáy một góc 45o . Tính thể tích của khối gỗ bé (màu nâu)
được cắt ra từ khối trụ.
Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ( Ox song
song với đường kính đáy AB , Oy đi qua tâm I của
đáy và vng góc với Ox ; trục Oz vng góc với
mặt phẳng đáy tại O ), suy ra I (0;10) , A(10;10) .
Dựng một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với
Ox tại điểm có hồnh độ x  10  x  10  , mặt
phẳng này cắt phần mặt trụ bé (màu nâu) theo một
thiết diện là tam giác vng cân có diện tích là
S ( x) . Đường tròn nằm trong mặt phẳng đáy có
tâm I (0;10) , bán kính là R  10 nên có phương trình x 2  ( y  10)2  100 cho nên
cạnh góc vng của tam giác thiết diện là 100  x 2 , do đó diện tích
S ( x) 

1
2



100  x 2



2

1
 (100  x 2 ) .
2

Trang 10

Vậy thể tích của khối gỗ bé (màu nâu) là:
10

S



10

10

10

0

0

S ( x )dx  2  S ( x )dx   (100  x 2 )dx 

2000
cm3 .
3

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mơ
hình tốn học là tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng cùng vuông góc
với trục hồnh. Tư duy mơ hình hố ở đây là học phải biết chọn hệ trục toạ độ
hợp lí để tính được diện tích thiết diện S ( x) của khối gỗ màu nâu và mặt phẳng
vng góc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ x là một hàm số theo biến x .
Sau đó áp dụng tích phân để tính thể tích cần tìm.

Ví dụ 7 [7].
Có một cốc thủy tinh hình trụ,
bán kính trong lịng đáy cốc là 4cm ,
chiều cao trong lòng cốc là 10cm
đang đựng một lượng nước. Tính thể
tích lượng nước trong cốc, biết khi
nghiêng cốc nước vừa lúc nước
chạm miệng cốc thì ở đáy cốc mực
nước trùng với đường kính đáy.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ( Ox song
song với đường kính đáy chứa mực nước, Oy đi qua
tâm của đáy cốc và vng góc với Ox , Oz vng
góc với mặt phẳng chứa đáy cốc tại O ), suy ra tâm
của đường tròn đáy cốc là I (0; 4) .
Dựng một mặt phẳng tùy ý vng góc với
Ox
trục
tại điểm x ( 4  x  4 ), mặt phẳng này cắt
vật thể theo thiết diện có diện tích là S  x  .
Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông,
giả sử là tam giác ABC vng tại B như trong hình
vẽ.
Ta có tan  

OK 10 5
  , đường trịn đáy có
OI
4 2

z
h
A
S(x
)

O
x

y

α
α
B

C

x



2
2
phương trình: x 2   y  4   16 , suy ra điểm B có toạ độ B x; 4  16  x



nên

5

đoạn thẳng BC  16  x 2 và AB  BC.tan   16  x 2 . Do đó diện tích S  x  bằng
2

Trang 11


1
1
5
5
AB.BC  . 16  x 2 . 16  x 2   16  x 2  . Vậy thể tích lượng nước
2
2
2
4
4
4
4
5
320
2
trong cốc là: V   S  x  dx  2 S  x  dx 2 4  16  x  dx  3 ( cm3 ).
4
0
0
S  x   S ABC 

Nhận xét: Tương tự như bài tốn ở ví dụ 6, nhưng ở bài toán này học sinh
phải biết xác định góc tạo bởi mặt thống của nước trong cốc khi nghiêng với

mặt phẳng chứa đáy cốc.
2.3.3. Bài toán về thể tích vật thể trịn xoay
Ví dụ 8 [9].
Một quả bóng bầu dục hình
elipxoit trịn xoay đã bơm đầy hơi có
kính cỡ (như hình vẽ). Hãy tính thể tích
quả bóng bầu dục ( kể cả vỏ bóng).
Lời giải:
Quả bóng bầu dục là một mặt trịn
xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
đường elip có độ dài trục lớn là 32 cm và độ
dài trục bé là 20 cm quanh trục lớn của nó.
Chọn hệ trục toạ độ (như hình vẽ), trục
Ox chứa trục lớn, trục Oy chứa trục bé của
elip, khi đó elip có phương trình dạng
x2 y 2
 2  1; (c 2  a 2  b 2 , a  b  0)
2
a
b
Độ dài trục lớn 2a  32  a  16 , độ dài trục bé 2b  20  b  10 cho nên
x2
y2

1 .
elip có phương trình
256 100

Vậy quả bóng bầu dục được sinh ra khi ta quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường y 

10
256  x 2 (elip phía trên trục hoành) và trục hoành xung quanh
16

trục Ox .
2

6400
 10

256  x 2  dx 
cm3
Vậy thể tích của quả bóng bầu dục là V    
16
3

16 
16

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tính thể tích vật thể trịn xoay của một hình phẳng là elip quay
xung quanh trục lớn của nó. Học sinh phải chọ hệ trục toạ độ phù hợp để viết
được phương trình elip, từ đó áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay
để tính thể tích quả bóng bầu dục với kích cỡ đã cho.
Trang 12


Ví dụ 9 [9].
Một chiếc săm xe ơtơ tải (hình vẽ), có

đường kính lịng trong (vị trí đặt lazang bánh
xe) là 40 cm ; thiết diện (mặt cắt) ngang của
săm xe là một đường trịn đường kính 20 cm .
Tính thể tích của săm (kể cả vỏ săm), làm
trịn đến hàng đơn vị.
Lời giải:
Theo bài tốn đường kính lịng trong của săm
xe là 40 cm ; thiết diện (mặt cắt) ngang của săm xe là
một đường trịn đường kính 20 cm . Vì vậy chọn hệ
trục toạ độ Oxy (như hình vẽ) ta có đường trịn thiết
diện có tâm I (0;30) , bán kính R  10 cm , do đó đường
2
trịn này có phương trình x 2   y  30   100 .
Thể tích của săm xe chính là hiệu thể tích của
hai vật trịn xoay sinh ra bởi hai hình phẳng sau quay
xung quanh trục hoành:


  y  30 


100  x , y  0, x  10, x  10 theo thứ tự đó quay quanh trục Ox , với

H1  y  30  100  x 2 , y  0, x  10, x  10 và
H2

2

y  30  100  x 2

và y  30  100  x 2 là phương trình của nửa đường trịn

x 2   y  30   100 phía trên và phía dưới đường thẳng y  30 .
2

Vậy thể tích săm xe là:

V 



10

30  100  x

10

2



2

dx 



10

30  100  x 2

10



2

dx  59218 cm3

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mơ
hình tốn học là tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay thiết diện
(mặt cắt) ngang của săm xe quanh vị trí trục bánh xe. Học sinh phải chọn được
hệ trục toạ độ phù hợp sao cho đường tròn thiết diện nằm ở vị trí thoả mãn giả
thiết bài tốn; lúc này học sinh phải biết thể tích vật thể trịn xoay trên chính là
hiệu thể tích của hai vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hai hình phẳng


  y  30 


100  x , y  0, x  10, x  10

H1  y  30  100  x 2 , y  0, x  10, x  10 và
H2

2

theo thứ tự đó quay quanh trục Ox , với

y  30  100  x 2 và y  30  100  x 2 là phương trình của nửa đường trịn thiết

Trang 13


diện x 2   y  30   100 phía trên và phía dưới đường thẳng y  30 . Từ đó áp
dụng cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay để tính thể tích săm xe cần tìm.
2

2.3.4. Bài tốn về chuyển động trong vật lí
Ví dụ 10 [6].
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km / h) phụ
thuộc thời gian t (h) có đồ thị như hình bên. Trong khoảng thời
gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một
phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song
song với trục tung; khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hồnh. Tính qng đường S mà vật
di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm trịn đến hàng
phần trăm).
Bài giải
Với hệ trục toạ độ như hình vẽ, gọi phương trình của parabol là
v  at 2  bt  c,  a  0  . Do parabol có đỉnh I (2;9) và cắt trục tung tại điểm có tung
độ v  4 nên:
b
5


2
  2a
a   4



5 2
31
4a  2b  c  9   b  5  v (t )   t  5t  4  v (1)  .
4
4

 c4
c
4





Vậy vận tốc của chuyển động có phương trình:
 5 2
  4 t  5t  4 ví i 0  t  1
v(t )  
31

ví i 1  t  3

4

Do đó quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đồng hồ là:
1

3

31
259
 5

S     t 2  5t  4 dt   dt 
 21,58 (km) .
4
4
12


0
1

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mơ
hình tốn học là tìm phương trình vận tốc tức thời của chuyển động theo thời
gian, sau đó sử dụng nguyên hàm tìm ra phương trình của chuyển động theo
thời gian từ đó tính được qng đường cần tìm; hoặc sử dụng tích phân tính
qng đường với hàm vận tốc đã tìm được.
Ví dụ 11 [9].
Một người lái xe ôtô đang chạy với vận tốc 20 (m / s) thì người lái xe phát
hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến
hàng rào), vì vậy người lái xe đạp phanh. Từ đó xe chuyển động chậm dần đều
Trang 14


với gia tốc 5(m / s 2 ) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng
hẳn, xe ơtơ cịn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến
hàng rào).
Bài giải:

Chọn mốc thời gian là t  0 lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh, gọi v(t ) là
vận tốc tức thời của ôtô tại thời điểm t (t  0) , suy ra v(0)  20 (m / s) .
Khi đó v(t )   5dt  5v  C , do v(0)  20 nên 20  v(0)  5.0  C  C  C  20
 v(t )  5t  20 ; khi xe dừng hẳn thì v(t )  0  5t  20  0  t  4 ( s ) .
Vậy quãng đường ôtô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẳn là:
4

S    5t  20  dt  40 (m) .
0

Vậy xe ôtô còn cách hàng rào ngăn cách là 45  40  5 (m) tính từ đầu xe
đến hàng rào.
Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài tốn thực tế về mơ
hình tốn học là tìm phương trình vận tốc tức thời của chuyển động theo thời
gian và sử dụng tích phân tính quãng đường với hàm vận tốc đã tìm được.
2.3.5. Bài tập đề nghị
1) [8]. Trong đợt hội trại kỉ niệm 50 thành
lập trường của một trường THPT X; Đoàn
trường X thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên
một pano có dạng parabol (như hình vẽ). Đồn
trường u cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên
khu vực hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại sẽ
được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí
trang trí hoa văn là 200000 đồng cho một mét
vng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hồn tất
hoa văn trên pano là bao nhiêu (làm tròn đến
hàng nghìn) ?
2) [8]. Ơng An dự định làm một vườn hoa
dạng elip, được chia ra làm bốn phần bởi hai
đường parabol có chung đỉnh đối xứng nhau qua

trục lớn của elip (như hình vẽ). biết độ dài trục
lớn và trục nhỏ của elip lần lượt là 200000 đồng
và 100000 đồng. Tính tổng tiền để hồn thành vườn hoa (làm trịn đến hàng
nghìn) ?
3) [8]. Một bồn hình trụ đang chứa nước đầy,
được đặt nằm ngang ; chiều dài của bồn là 4 m , bán
kính đáy là 1, 2 m . Người ta rút nước trong bồn một
Trang 15


lượng tương ứng như hình vẽ. thể tích lượng nước
trong bồn còn lại là bao nhiêu ? (bỏ qua bề dày của
vỏ bồn, làm trịn đến hàng phần nghìn).
4) [9]. Một chiếu bình pha lê (nhập khẩu
nguyên chiế từ Cộng hồ Séc) là một mặt trịn xoay
có kích thước như hình vẽ. Phần thân có đường
sinh là đồ thị của hàm số bậc ba, phần đáy là một
khối elipxoit đặc. bỏ qua bề dày của bình hãy tính
thể tích nước nhiều nhất mà bình có thể chứa được
(làm trịn đến hàng đơn vị).

5) [9]. Một ôtô đang chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
v1 (t )  7 (m / s) , đi được 5( s) thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh
2
gấp. Ơtơ chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  70  m / s  . Tính quãng
đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong dạy học Toán cho học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương II,

tôi nhận thấy phát triển năng lực mơ hình hố tốn học sẽ giúp học sinh hiểu
được ý nghĩa của việc học toán, biết vận dụng toán học vào thực tiễn. kết quả
thực nghiệm cho thấy các học sinh được tiếp cận đề tài có những tiến bộ đáng kể
Trang 16


ở kết quả học tập và kĩ năng thông qua các bài kiểm tra thường xuyên và định kì,
đặc biệt là kĩ năng giải quyết các vấn đề mà thực tiễn cuộc sống đặt ra. Từ đó
các em có niềm đam mê tìm tịi tự học và tự nghiên cứu khoa học để trở thành
các chủ nhân tương lai vừa hồng vừa chuyên của đất nước. Những phân tích cả
định tính và định lượng đã khẳng định được tính hiệu quả của đề tài trong việc
phát triển năng lực mô hình hố tốn học cho người học.
Lớp/năm
học
12A3
2020-2021
12A4
2020-2021
12B7
2021-2022

Trước khi tiếp cận (%)
Yếu TB
Khá

Giỏi

Sau khi tiếp cận (%)
Yếu
TB

Khá

Giỏi

06

56

38

0

0

25

60

15

18

57

25

0

03

30

55

12

25

55

20

0

08

35

47

10

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đất nước ta đang trên đường xây dựng và phát triển; Giáo dục đã được
Đảng và Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để phát triển nền giáo dục nước
nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một
nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt cơng
việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức,
nghiệp vụ chun mơn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu

quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng
cao chất lượng giáo dục.
Với khả năng sáng tạo khơng ngừng trong q trình tư duy, tìm tịi học hỏi
của giáo viên, chắc chắn, sẽ còn nhiều đề tài nghiên cứu về phát triển năng lực
mơ hình hố tốn học hiệu quả nữa ra đời, với mục đích làm cho những giờ dạy
Toán trở nên đẹp đẽ và thú vị hơn, có hiệu quả hơn và khơng cịn khô khan. Điều
cốt yếu cuối cùng thiết nghĩ không phải là phương pháp, kỹ thuật điêu luyện đến
bậc nào, mà là mối quan hệ gắn kết giữa người giáo viên và học sinh tạo nên
một môi trường học tập tốt đẹp “Mỗi ngày đến trường là một ngày vui”. Hoạt
động dạy học trở thành một hoạt động thú vị của q trình khám phá, chiếm lĩnh
tri thức. Để có được điều đó, người giáo viên phải nỗ lực khơng ngừng, với nhiệt
huyết, tình u khơng bao giờ phai nhạt đối với sự nghiệp dạy học.
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc phát triển năng lực mơ hình
hố tốn học cho học sinh lớp 12 thơng qua một số bài tốn trong thực tiễn về
ứng dụng của tích phân là đúng đắn và hiệu quả.
Về thực tiễn: SKKN là một tài liệu ôn tập tốt nghiệp cho học sinh khối 12
có hiệu quả dành cho bản thân và đồng nghiệp trong tổ bộ môn.
Trang 17


Do thời gian và khuôn khổ của một SKKN nên các dạng tốn cịn chưa hệ
thống một cách đầy đủ. Rất mong sự góp ý của q thầy, cơ để đề tài này được
hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với giáo viên:
Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển
năng lực tự học đặc biệt là năng lực mơ hình hố tốn học của học sinh. Sau mỗi
tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm
giúp các em có đam mê học tập, tích cực tự giác và chủ động học tập, giải quyết
được những vấn đề trong thực tiễn.

Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên
trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật
vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan.
Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào
đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát
triển năng lực người học. Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn nữa các buổi trao
đổi phương pháp giảng dạy.
Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
Cần phổ biến trong toàn ngành những sáng kiến kinh nghiệm hay, các
SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại để đồng nghiệp tham khảo và áp
dụng để có hiệu quả tốt nhất trong giảng dạy.

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, tháng 6 năm 2022.
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác

Phạm Anh Tuấn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nghị quyết số 29-NQ/TW, này 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hố, hiện đại hố trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hộ chủ nghĩa và hội nhập quốc tế, Ban
Chấp hành Trung ương (2013).
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, Bộ GD-ĐT (2017).
Trang 18

[3]. Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Ban hành kèm thông tư số
32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và
Đào tạo).
[4]. Từ điển Tiếng Việt, chủ biên GS Hoàng Phê, nhà xuất bản Hồng Đức.
[5]. Sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ bản, Nhà xuất bản giáo dục.
[6]. Đề thi THPT quốc gia mơn tốn năm 2017 của Bộ giáo dục và đào tạo..
[7]. Đề thi Khảo sát chất lượng lớp 12 THPT mơn tốn của Sở giáo dục đào tạo
Thanh Hóa năm học 2020-2021.
[8]. Đề thi thử tốt nghiệp THPT quốc gia của các Sở Giáo dục và các trường
THPT trên toàn quốc trong thời gian gần đây.
[9]. Nguồn tài liệu trên internet.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Anh Tuấn
Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Quảng Xương 2.
Trang 19


Cấp đánh giá
xếp loại
TT
Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
1. Sử dụng tọa độ của vectơ giải Ngành giáo dục
một lớp các bài toán bất đẳng cấp tỉnh

thức
2. Sử dụng định lý Vi-et cho hai Ngành giáo dục
bài toán về phương trình bậc cấp tỉnh
hai và quy về bậc trong
chương trình lớp 10 THPT
3. Phát triển năng lực tư duy cho Ngành giáo dục
học sinh thông qua việc vận
cấp tỉnh
dụng ý nghĩa hình học và vật
lí của số phức

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

2012-2013

C

2016-2017

C

2019-2020

Năm học
đánh giá

xếp loại

Trang 20