SKKN rèn luyện tư duy học sinh lớp 12 thông qua hệ thống bài tập hàm ẩn

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Như ta đã biết Bộ Giáo dục từ năm học 2016-2017 đã quyết định chuyển đổi hình thức thi
môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm, nghĩa là phạm vi kiến thức ngoài độ rộng của vấn đề, các
câu hỏi còn xoáy vào rất nhiều khía cạnh khác nhau với nhiều cách hỏi khác nhau ở cùng một giả
thiết và ngày càng xuất hiện những câu hỏi mới, lạ và hóc búa. Chỉ xét riêng chương 1 của Giải
tích lớp 12, đây là một chương có nhiều vấn đề quan trọng và rất rộng, xuyên suốt mạch kiến
thức của cả hình học lẫn giải tích của các chương khác. Nhiều học sinh cảm thấy kiến thức mênh
mông biển sở, không thâu tóm được vấn đề và từ đó chán nãn mất tự tin trong quá trình học tập.
Bản thân là một giáo viên dạy lớp 12A1 và 12A12 trường THPT Yên Định 1, đối tượng học sinh
của tôi chủ yếu là học sinh có học lực mức khá đó là điều thuận lợi. Tuy nhiên học sinh đứng
trước một vấn đề đó là việc học cuối cấp của các em là rất nhiều, các em vừa phải học ôn thi đại
học vừa phải học các môn ôn thi tốt nghiệp nên thời gian rất hạn chế. Do vậy học sinh khó có sự
khái quát, tổng hợp vấn đề từ đó khó hiểu được bản chất bài toán điều đó dẫn đến tình trạng học
trước quên sau và rơi vào tình trạng bị loạn kiến thức, yếu về kĩ năng. Chính vì vậy bản thân tôi
rất trăn trở với những khó khăn mà các em gặp phải. Làm sao để hệ thống được kiến thức,
phương pháp giải để giúp các em hệ thống được mạch kiến thức từ đó giúp học sinh bớt khó
khăn hơn trong quá trình ôn tập. Chính vì vậy bản thân tôi lựa chọn đề tài để thực hiện đó là:
“Rèn luyện tư duy cho học sinh khối 12 thông qua hệ thống các bài tập vận dụng cao chủ đề
hàm số ẩn”. Đó cũng là tên đề tài mà tôi đã chọn để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Phân loại và phân dạng các bài tập phát triển tư duy cho học sinh theo từng vấn đề khác nhau
và rèn luyện kĩ năng giải toán theo các vấn đề đó giúp học sinh hệ thống kiến thức và để ôn tập
tốt phần hàm số của chương trình lớp 12 từ đó tạo hứng thú, động lực và phương pháp để các em
ôn tập tốt ở các chương sau.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài viết về một mảng kiến thức phần hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12 THPT và
hướng tới đối tượng học sinh 12A1,12A12 có học lực từ trung bình đến khá, giỏi ở trường THPT
Yên Định 1.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng năng lực,

tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A1,12A12 năm học 20187-2019.
Sử dụng phương pháp giảng giải, phương pháp hợp đồng làm việc, phương pháp thực
nghiệm (nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy ở lớp 12A1, 12A12). Ngoài ra còn sử dụng các
phương pháp:
- Phương pháp quan sát (công việc dạy-học của các giáo viên và học sinh).
- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn (lấy ý kiến của các giáo viên và học sinh thông qua trao
đổi trực tiếp).
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Con
người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, khi đứng trước một khó khăn cần
phải khắc phục. Để giúp các em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh
hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn
phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi và tổng hợp kiến thức cho riêng mình. Theo luật
giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập của học sinh”.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.


Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài toán liên quan đến hàm số cụ thể học
sinh bấm máy tính để chọn đáp án, do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng. Chính vì
vậy bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải
vận dụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi.
Ban đầu khi gặp dạng toán hàm số ở mức độ cơ bản trong sách giáo khoa Giải Tích 12
Nâng Cao thì học sinh có thể suy luận được. Khi bài toán mức độ yêu cầu vận dụng thì học sinh
lúng túng và không có định hướng giải bài toán một cách chủ động.
Đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017, 2017-2018, đề minh họa năm học 20172018,2018-2019 có những câu về hàm số ẩn ở mức độ vận dụng thậm chí ở mức độ vận dụng
cao. Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong cách

nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải.
Kiến thức rộng, câu hỏi đa dạng, có rải rác trong các đề thi thử của các trường, khó tổng
hợp. Nhiều học sinh cảm thấy chán nãn và mệt mỏi.
2.3. Giải quyết vấn đề.
PHẦN I. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

f '( x) .
Loại 1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f u ( x )  .

A. Phương pháp giải:

( f u ( x )  ) ′ = u ( x ) ′ .( f u ( x )  ) ′
Bước 1: Tính

.

′
u ( x ) ′ . f u ( x )  > 0

(

)

Bước 2: Giải bất phương trình
′
u ( x ) ′ . f u ( x )  < 0

(

hoặc

)

f '( x)
Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
f u ( x )  .
nghiệm. Từ đó chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số

kết luận tập

B. Bài tập vận dụng:

y = f ( x) .

y = f ′( x)

Ví dụ 1: (Cho đồ thị) Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên dưới. Hàm
g ( x ) = f ( 3 − 2x )
số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?


( 0; 2 ) .

( 1;3) .
B.

A.

( −∞; −1) .

( −1; +∞ ) .

C.

D.

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra

g ′ ( x ) = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) .
Xét

Ta có

 −2 < x < 2
f ′( x) > 0 ⇔ 
.
x > 5

5
1
 −2 < 3 − 2 x < 2


g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2x ) > 0 ⇔ 
⇔ 2
2.

3 − 2 x > 5
 x < −1

g ( x)
Vậy

nghịch biến trên các khoảng

1 5
 ; ÷
2 2

( −∞; −1) .
và

y = f ( x) .
Ví dụ 2: Cho hàm số
Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Đồ thị hàm số

đồng biến trên khoảng

( 0; 2 ) .
nghịch biến trên khoảng

g ( x)
C. Hàm số

( −1; 0 ) .
nghịch biến trên khoảng

g ( x)
D. Hàm số

như hình bên. Đặt

3.

g ( x)
B. Hàm số

g ( x ) = f ( x2 − 2) .

f ′( x)

g ( x)
A. Hàm số

Chọn C.

nghịch biến trên khoảng

−1.

g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 2 ) ;

Lời giải. Ta có
x = 0
x = 0
x = 0
 2
theo do thi f '( x )
g′ ( x ) = 0 ⇔ 
¬ →  x − 2 = −1( nghiem kep ) ⇔  x = ±1.
2
′
 f ( x − 2 ) = 0
 x2 − 2 = 2
 x = ±2

Bảng biến thiên


Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

y = f ( x)
Ví dụ 3: (Cho bảng biến thiên) Cho hàm số

Hàm số

A.

5
3


g ( x ) = f  2x2 − x − ÷
2
2


1

 −1; ÷.
4


B.

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

1 
 ;1÷.
4 

Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

Ta có

Xét



có bảng biên thiên như hình vẽ

C.

 5
1; ÷.
 4

 x < −2
f ′( x) > 0 ⇔ 
x > 3

D.

9

 ; +∞ ÷.
4


f ′ ( x ) < 0 ⇔ −2 < x < 3.
và

5 
5
3

g ′ ( x ) =  4 x − ÷ f ′  2 x 2 − x − ÷.
2 
2
2


5
5


 4 x − 2 > 0
4 x − 2 < 0
g′ ( x ) < 0 ⇔ 
∨

 f ′  2 x 2 − 5 x − 3 ÷ < 0  f ′  2 x 2 − 5 x − 3 ÷
>0
 
 
2
2
2
2

5

5

4 x − 2 > 0
 x > 8
9
⇔
⇔ 1< x < .

4
 f ′  2 x 2 − 5 x − 3 ÷ < 0

 −2 < 2 x 2 − 5 x − 3 < 3
2
2

2
2
 




5

5
5


x<
x<
 x < −1
 4 x − 2 < 0




8
8
⇔
∨
⇔ 1

.

 5
3
5
3
5
3


 f ′  2x2 − x − ÷> 0
 2 x 2 − x − > 3 2 x 2 − x − < −2
8
4
 
2
2

2
2

2
2

Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.

f '( x) .
Loại 2: Cho đồ thị

f ( x) + g ( x) .
Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải:

Bước 1: Tính

( f ( x) + g ( x) )′ = ( f ( x) )′ + ( g ( x) )′ .

Bước 2: Vẽ đồ thị

y = − ( g ( x) ) ′

trên cùng hệ trục tọa độ

f '( x) , g '( x)
Bước 3: Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đồ thị

để kết

luận.
B. Bài tập vận dụng

y = f ( x)
Ví dụ 1: Cho hàm số
bên dưới

có đạo hàm liên tục trên

¡.

y = f ′( x)
Đồ thị hàm số

như hình

g ( x ) = f ( x ) − x,
Đặt

khẳng định nào sau đây là đúng ?

g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1) .
A.
g ( 1) < g ( −1) < g ( 2 ) .

g ( −1) < g ( 1) < g ( 2 ) .
B.

g ( −1) > g ( 1) > g ( 2 ) .
C.

g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1.
Lời giải. Ta có

D.


g′( x) = 0

y = f ′( x)

Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
d : y =1
đường thẳng
(như hình vẽ bên dưới).

và

g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = 2.
Dựa vào đồ thị, suy ra
Bảng biến thiên

⇒ g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1) .
Dựa vào bảng biến thiên

Chọn C.

y = f ( x)
Ví dụ 2: Cho hàm số
bên dưới

có đạo hàm liên tục trên

¡.

y = f ′( x)
Đồ thị hàm số

g ( x ) = 2 f ( x ) − x2

Hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

( −∞; −2 ) .
A.

( −2; 2 ) .
B.

( 2; 4 ) .
C.

g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 x 
→ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.
Lời giải. Ta có

( 2; +∞ ) .
D.

như hình


g′( x) = 0

y = f ′( x)

Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
d:y=x

đường thẳng
(như hình vẽ bên dưới).

và

g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = 4.
Dựa vào đồ thị, suy ra

x ∈ ( −2; 2 )

f ′( x)

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với
thì đồ thị hàm số
nằm phía trên
g′( x ) > 0 ⇒
g ( x)
( −2; 2 ) .
y=x
đường thẳng
nên
hàm số
đồng biến trên
Chọn B.

f '( x) .
Loại

3. Cho biểu thức

Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

f u ( x )  .

A. Phương pháp giải

( f u ( x )  ) ′ = u ( x ) ′ .( f u ( x )  ) ′
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

( f u ( x )  ) ′
Bước 2: Tìm hàm số

u ( x)
bằng cách thay x bởi

′
u ( x ) ′ . f u ( x )  > 0

(

′
u ( x ) ′ . f u ( x )  < 0

)

Bước 3: Giải bất phương trình

(

)

hoặc

B. Bài tập vận dụng

f ( x)
Ví dụ 1: Cho hàm số
 x
g ( x ) = f  1 − ÷+ 4 x
 2

có đạo hàm

với mọi

x∈¡ .

Hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

( −∞; −6 ) .
A.

f ′ ( x ) = x2 − 2x

( −6; 6 ) .
B.

C.

( −6

)

2; 6 2 .
D.

( −6

)

2; +∞ .


g′ ( x) = −

Lời giải. Ta có

2
1  x
1  x 
9 x2
 x 
f  1 − ÷+ 4 = −  1 − ÷ − 2  1 − ÷ + 4 = − .
2  2
2  2 
2 8
 2  

9 x2
− > 0 ⇔ x 2 < 36 ⇒ −6 < x < 6.
2 8

Xét

Chọn B.

y = f ( x)

f ′ ( x ) = x2 ( x − 9) ( x − 4)

Ví dụ 2: Cho hàm số
có đạo hàm
2
g ( x) = f ( x )
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

( −2; 2 ) .

( −∞; −3) .

A.

2

với mọi

x∈¡ .

( −∞; −3) ∪ ( 0;3) .

B.

Hàm số

( 3; +∞ ) .

C.

D.
g ′ ( x ) = 2 xf ( x 2 ) = 2 x5 ( x 2 − 9 ) ( x 2 − 4 ) ;
2

Lời

giải.

Ta

g ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x5 ( x 2 − 9 ) ( x 2 − 4 )

2

có
x = 0
= 0 ⇔  x = ±3.
 x = ±2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

f ' ( x, m ) .
Loại 4. Cho biểu thức

Tìm

m

để hàm số

f u ( x ) 

đồng biến, nghịch biến.

A. Phương pháp giải

( f u ( x )  ) ′ = u ( x ) ′ .( f u ( x )  ) ′
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

′
u ( x ) ′ . f u ( x )  > 0

(

Bước 2: Giải bất phương trình
B. Bài tập vận dụng

′

u ( x ) ′ . f u ( x )  < 0

)

(

hoặc

)


f ′ ( x ) = ( x − 1)

f ( x)

2

(x

2

− 2x )

x∈¡ .
có đạo hàm
với mọi
Có bao nhiêu
2
g ( x) = f ( x − 8x + m)
( 4; +∞ )

m < 100
số nguyên
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Ví dụ 1: Cho hàm số

A.

18.

f ′ ( x ) = ( x − 1)

2

B.

(x

Lời giải. Ta có

2

C.

83.

D.

84.

x < 0
− 2x ) > 0 ⇔ 
.
x > 2

g ′ ( x ) = ( 2 x − 8) . f ′ ( x2 − 8x + m ) .

Xét

82.

g ( x)
Để hàm số

( 4; +∞ )
đồng biến trên khoảng

khi và chỉ

g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x > 4

khi
⇔ ( 2 x − 8 ) . f ′ ( x 2 − 8 x + m ) ≥ 0, ∀x > 4 ⇔ f ′ ( x 2 − 8 x + m ) ≥ 0, ∀x > 4

 x 2 − 8 x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( 4; +∞ )
⇔ 2
⇔ m ≥ 18
 x − 8 x + m ≥ 2, ∀x ∈ ( 4; +∞ )

. Vậy

18 ≤ m < 100.

f ′ ( x ) = x ( x − 1)

y = f ( x)

2

(x

2

Chọn B.

+ mx + 9 )

x∈¡ .

Ví dụ 2: Cho hàm số

có đạo hàm
với mọi
Có
g ( x) = f ( 3 − x)
( 3; +∞ )
m
bao nhiêu số nguyên dương
để hàm số

đồng biến trên khoảng
?
A.

5.

B.

6.

Lời giải. Chọn B. Từ giả thiết suy ra

C.

D.

8.

2
2
f ′ ( 3 − x ) = ( 3 − x ) ( 2 − x ) ( 3 − x ) + m ( 3 − x ) + 9  .



g′ ( x) = − f ′( 3 − x ) .
Ta có
g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ )

7.

g ( x)
Để hàm số

( 3; +∞ )
đồng biến trên khoảng

khi và chỉ khi

2
2
⇔ f ′ ( 3 − x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇔ ( 3 − x ) ( 2 − x ) ( 3 − x ) + m ( 3 − x ) + 9  ≤ 0, ∀x ∈ ( 3; +∞ )



( x − 3)
⇔m≤

2

x −3

+9

, ∀x ∈ ( 3; +∞ ) ⇔ m ≤ min h ( x ) , h ( x )
( 3; +∞ )

( x − 3)
=

2

x−3

+9

.


h( x)

( x − 3)
=

2

+9

x−3
Ta
có
m∈¢ +
m ≤ 6 
→ m ∈ { 1; 2;3; 4;5; 6} .

= ( x − 3) +

Loại 5. Cho bảng xét dấu của đạo hàm.

9
≥2

x−3

( x − 3) .

9
= 6.
x −3

Vậy

Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

suy

ra

f u ( x )  + g ( x )

Phương pháp giải
- Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức
y=f é
u x ù+ g( x)
f '( x)
g( x)
ê
ë ( )ú
û
trong đó ta đã biết dấu của
và
là một hàm cụ thể.

é
ù
y¢= u¢( x) f ¢êu ( x) ú+ g¢( x)
u¢( x) f ¢é
u xù
ê
ë
û
ë ( )ú
û
Hướng giải là tính đạo hàm
, từ dấu của
g '( x)
và dấu của
ta đưa ra kết luận phù hợp với bài toán.
Bài tập vận dụng
f ( x)

Ví dụ 1. Cho hàm số

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

y = 3f ( x + 3) - x3 + 12x

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( - ¥ ;- 1) .
A.

( - 1;0) .
B.

( 0;2) .
C.

y¢= 3f ¢( x + 3) - 3x2 + 12 = 3é
f '( x + 3) + ( - x2 + 4) ù
.
ê
ú
ë
û

Lời giải. Ta có
f ¢( x + 3)
- x2 + 4
và
ta có bảng:

( 2;+¥ ) .
D.

Xét dấu của


( - 4;- 2) ;( 2; +¥ ) .
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

Do đó ta chọn D.

f ( x)

Ví dụ 2. Cho hàm số

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

y = 3f ( - x + 2) + x3 + 3x2 - 9x

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( - ¥ ;- 2) .
A.

( 2;+¥ ) .

( 0;2) .

B.

C.

( - 2;1) .
D.

y¢= - 3f ¢( - x + 2) + 3x2 + 6x - 9 = 3 é
- f '( - x + 2) + ( x2 + 2x - 3) ù

.
ê
ú
ë
û

Lời giải: Ta có
f ¢( - x + 1)
x2 + 2x - 3
dấu của
và
ta có bảng:

( - 3;1) .
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

Do đó ta chọn D

PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

f '( x) .
Loại

1. Cho đồ thị

A. Phương pháp giải

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

f u ( x )  .

Xét


Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm chắc cách tìm khoảng đơn điệu của hàm số
y = f u ( x )  .
B. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Số điểm cực trị của hàm số không chứa giá trị tuyệt đối

y = f ′( x) .
Ví dụ 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
y = f ( x)
hàm số
là

A.

2.

B.

3.

C.

f ′( x)

4.

Số điểm cực trị của

D.

5.

x1 ; 0; x2 ; x3

4

Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số
có điểm chung với trục hoành
nhưng chỉ
x3 .
x1 ; x2
0
cắt thực sự tại hai điểm là
và
Nghiệm
là các nghiệm bội chẵn của phương trình
′
′
f ( x) = 0
f ( x)
qua đó
không đổi dấu.
Bảng biến thiên

y = f ( x)
Vậy hàm số

có

2

điểm cực trị. Chọn A.

y = f ( x)
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số
f ′( x) = 0

bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình

y = f ( x) , y = f ( x )

Dạng 2: Số điểm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

f ( x)


Phương pháp giải:
Để giải quyết bài toán loại này học sinh cần nắm vững cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối và biết biến đổi đồ thị.
Nắm vững kết quả sau:
y = f ( x)

y = f ( x)

Số điểm cực trị của hàm số

bằng số điểm cực trị của hàm số
f ( x) = 0
số nghiệm bội lẻ của phương trình
.

-

cộng

y= f ( x)

Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)
cộng 1.

-

bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số

y= f ( x)

y = f ( x+m)

Số điểm cực trị của hàm số

-

bằng số điểm cực trị hàm số

y = f ( x)

Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + p)
,
.

-

-

y = f ( x) + C
bằng số điểm cực trị của các hàm số

f ( x)
Số điểm cực trị của hàm số dạng
bằng 2m + 2q + 1 . Trong đó: n là số điểm
f ( x)
cực trị n của hàm số
, m là số điểm cực trị dương (với m < n ) của hàm số
f ( x)
, q là số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành trong đó có q điểm có
hoành độ dương.
y = f ( x) .

Ví dụ 1: Cho hàm số

y = f ′( x)
Đồ thị của hàm số

như hình vẽ bên dưới

g ( x ) = f ( x ) + 2019

Hỏi hàm số
A.

2.

.

có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.

3.

C.

5.

D.

7.


f ′( x)
Lời giải. Từ đồ thị hàm số

f ′( x)
ta thấy

cắt trục hoành tại

2

điểm có hoành độ dương
y= f ( x)
f ( x)
5
1
2
(và điểm có hoành độ âm)
có điểm cực trị dương. Suy ra
có điểm cực trị
⇒ f ( x ) + 2019
5
có điểm cực trị (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến số
điểm cực trị của hàm số). Chọn C.

y = f ( x) .
Ví dụ 2: Cho hàm số

y = f ′( x)
Đồ thị hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
A.

3.

B.

m

4.

như hình vẽ bên dưới

g ( x) = f ( x + m )

để hàm số
C.

f ′( x)

có

5.

5

điểm cực trị ?

D. Vô số.

f ′( x)

2
ta thấy
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương
y= f ( x)
y = f ( x)

5
1
2
(và điểm có hoành độ âm)
có điểm cực trị dương. Suy ra
có điểm
y = f ( x+m )
5
m
cực trị
có điểm cực trị với mọi
(vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không
ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D.

Lời giải. Từ đồ thị hàm số

y = f ( x) .
Ví dụ 3: Cho hàm số

y = f ′( x)
Đồ thị hàm số

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
A.

2.

B.

3.

m

như hình vẽ bên dưới.

g ( x) = f ( x + m)

để hàm số
C.

4.

có

5

D. Vô số.

điểm cực trị ?


 x = −2
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .
 x = 2

f ′( x)
Lời giải. Từ đồ thị

Yêu cầu bài toán

⇔

ta có

f ( x + m)
hàm số
f ( x + m)

ta được đồ thị hàm số

có
có đúng

f ( x) ,

2

5

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn

đơn vị

 Tịnh tiến sang phải không vượt quá

Suy ra bảng biến thiên của

Oy

điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua

điểm cực trị).

f ( x + m)

Từ bảng biến thiên của
suy ra
f ( x)
(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn
1

f ( x)

luôn có

2

điểm cực trị dương

⇔

tịnh tiến

⇒ m < 1.

2

đơn vị

⇒ m ≥ −2.

m∈¢
−2 ≤ m < 1 
→ m ∈ { −2; −1;0} .

Suy ra

Chọn B.
f ′ ( x ) = x 2 ( x + 1) ( x 2 + 2mx + 5 )

y = f ( x)
Ví dụ 4: Cho hàm số

có đạo hàm
g ( x) = f ( x )
m > −10
5
bao nhiêu số nguyên
để hàm số
có điểm cực trị ?
A.

6.

B.

7.

C.

8.

D.

Có

9.
f ( x)

Oy

Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục
⇔ f ( x)
2
toán
có điểm cực trị dương.

với mọi

x∈¡ .

của đồ thị hàm thị hàm số
( *)

nên yêu cầu bài


Xét

x = 0

 x2 = 0


f ′( x) = 0 ⇔ x +1 = 0
⇔  x = −1
.
2
2
 x + 2mx + 5 = 0 ( 1)
 x + 2mx + 5 = 0



( *) ⇔ ( 1)
Do đó

có hai nghiệm dương phân biệt

∆′ = m 2 − 5 > 0

⇔  S = −2m > 0 ⇔ m < − 5
P = 5 > 0


m >−10

→ m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} .
m∈¢

Chọn B.

a + b > 1

f ( x ) = x + ax + bx − 2
Ví dụ 5. Cho hàm số
thỏa mãn  3 + 2a + b < 0 . Số điểm cực trị của hàm số
y= f ( x)
bằng
A. 11
B. 9
C. 2
D. 5
3

Lời giải: Chọn A. Hàm số
Ta có
và

2

y = f ( x)

(là hàm số bậc ba) liên tục trên ¡ .

f ( 0 ) = −2 < 0 f ( 1) = − a + b − 1 > 0 f ( 2 ) = 2a + b + 3 < 0
,
,
.

lim f ( x ) = +∞

x → +∞

nên

∃x0 > 2; f ( x0 ) > 0

Do đó, phương trình
Hàm số

y= f ( x)

Vậy hàm số

f ( x) = 0

.

có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên ¡ .

là hàm số chẵn. Do đó, hàm số

y= f ( x)

y= f ( x)

có 5 điểm cực trị.

có 11 điểm cực trị.

f ( x) .
Loại 2. Cho bảng biến thiên của hàm

Hỏi số điểm cực trị của hàm

y = f ( x)
Ví dụ 1. Cho hàm số

xác định, liên tục trên

¡

f u ( x )  .

và có bảng biến thiên như sau


g ( x) = 3 f ( x) +1
Hàm số
A.

đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?

x = −1

.

B.

x =1

.

C.

x = ±1

.

x=0

D.

.

g′ ( x ) = 3 f '( x ) .
Lời giải. Ta có

g ( x)
Do đó điểm cực tiểu của hàm số

trùng với điểm cực tiểu của hàm số

g ( x)
Vậy điểm cực tiểu của hàm số

f ( x) .

là

x = ±1.

Chọn C.

y = f ( x)
Ví dụ 2. Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

g ( x ) = f ( x 2 + 1)

Hỏi hàm số
A.

có bao nhiêu điểm cực trị ?

0.

B.

1.

C.

2.

D.

3.

g ′ ( x ) = 2 x. f ′( x 2 + 1) ;

Lời giải. Ta có
x = 0
x = 0
 x = 0 ( nghiem don )

theo BBT
g′( x) = 0 ⇔ 
¬ 
→  x 2 + 1 = −2 
⇔ x = 0 ( nghiem boi 3 )
2
x
=
0
nghiem
kep
(
)

 f ′( x + 1) = 0
 x2 + 1 = 1 


g′( x) = 0
Vậy

có duy nhất nghiệm bội lẻ

x=0

g ( x)
nên hàm số

f ( x) .
Loại 3. Cho đồ thị

Hỏi số điểm cực trị của hàm số

có

1

điểm cực trị. Chọn B.

f u ( x, m )  .

.


y = f ( x)
Ví dụ. Cho hàm bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham
g ( x) = f ( x) + m
m
3
số
để hàm số
có điểm cực trị là

A.

m ≤ −1

hoặc

m ≥ 3.

B.

m ≤ −3

m ≥ 1.

hoặc

C.

m = −1

f ( x)

Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số



A

B

bằng

hoặc

A+ B

m = 3.

D.

1 ≤ m ≤ 3.

với

f ( x)
là số điểm cực trị của hàm

f ( x)
là số giao điểm của

với trục hoành (không tính các điểm trùng với

f ( x)
Áp dụng: Vì hàm

đã cho có

Do đó yêu cầu bài toán

⇔

2

f ( x) + m
điểm cực trị nên

f ( x) + m
số giao điểm của đồ thị

f ( x) + m
Để số giao điểm của đồ thị

xuống dưới tối thiểu

1

f ( x)
 Hoặc tịnh tiến đồ thị
A.

lên trên tối thiểu

f ( x, m ) .
Loại 4. Cho biểu thức

Tìm

2

ở trên)
điểm cực trị.

1
với trục hoành là .

1
với trục hoành là , ta cần

f ( x)
 Tịnh tiến đồ thị

cũng luôn có

A

m

đơn vị

3

⇒ m ≤ −1.

đơn vị

để hàm số

⇒ m ≥ 3.

f u ( x ) 

có

Vậy

n

m ≤ −1

hoặc

điểm cực trị

m ≥ 3.

Chọn


y = f ( x)

−2; −1

Ví dụ 1. Hàm số
có đúng ba điểm cực trị là
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.

3.

B.

4.

C.

g ( x ) = f ( x2 − 2x )

0.

và

5.

Hàm số

D.

6.

f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 0.
Lời giải. Từ giả thiết
g ′ ( x ) = 2 ( x − 1) f ′ ( x 2 − 2 x ) ;

suy

ra

Ta

có

x =1
g′ ( x) = 0 ⇔ 
⇔ x = 1 ( nghiem boi ba ) , x = 0 ( nghiem don ) , x = 2 ( nghiem don )
2
 f ′ ( x − 2 x ) = 0

g′( x ) = 0
Vì

g ( x)
có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên

có

f ( x ) = x 3 − ( 2m − 1) x 2 + ( 2 − m ) x + 2
Ví dụ 2. Cho hàm số
các giá trị của

A.

m

g ( x) = f ( x )

để hàm số

5
−2 < m < .

4

với

B.

5
− < m < 2.
4

có

5

m

3

điểm cực trị. Chọn A.

là tham số thực. Tìm tất cả

điểm cực trị.

C.

5
< m < 2.
4

D.

5
< m ≤ 2.
4

Lời giải. Chọn C.
g ( x) = f ( x )

f ′ ( x ) = 3x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 2 − m.
Hàm số

⇔

điểm cực trị
hàm số
∆ > 0
5

⇔  S > 0 ⇔ < m < 2.
4
P > 0
f ( x)
⇔ f ′( x) = 0

có hai cực trị dương
có hai nghiệm dương phân biệt

Ta có

có

5

PHẦN 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
HOẶC NGHIỆM ĐÚNG TRÊN TẬP K CHO TRƯỚC
Loại 1. Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng trên D
A. Phương pháp giải

Bước 1: Cô lập tham số m đưa về một trong bốn dạng sau

f ( x ) < m , f ( x ) ≤ m, f ( x ) > m, f ( x ) ≥ m


y = f ( x)
Bước 2: Khảo sát hàm số

trên D

f ( x)
Bước 3: Tìm max hoặc min của

trên D.

Bước 4: Dựa vào đặc điểm bài toán kết luận về tham số m.

f ( x) < m
Lưu ý: Xét bất phương trình

x ∈ ( a, b )

đúng với mọi

f ( x)
Trong trường hợp

f ′( x)
đơn điệu (

[ a, b ]
liên tục trên

( a, b )
không đổi dấu ) trên
max f ( x ) ≤ m

và hàm

[ a ,b ]

thì yêu cầu bài toán trở thành

.

f ( x)
Trong trường hợp
max f ( x ) < m

f ( x)

x0 ∈ ( a, b )

đạt giá trị lớn nhất tại điểm

thì yêu cầu bài toán trở

[ a ,b ]

thành
B. Bài tập vận dụng

y = f ( x)
Ví dụ (Đề minh họa 2019). Cho hàm số
sau

y = f ′( x)
. Hàm số

f ( x) < ex + m
Bất phương trình

A.
m > f ( 1) − e.

x ∈ ( −1;1)
đúng với mọi

m ≥ f ( 1) − e.
B.

có bảng biến thiên như

1
m > f ( −1) − .
e

khi và chỉ khi

C.

1
m ≥ f ( −1) − .
e

f ( x ) < e x + m , ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ f ( x) − e x < m , ∀x ∈ ( −1;1)
Lời giải. Ta có:

.

D.


g ′( x) = f ′( x) − e x

g ( x) = f ( x) − e x
Xét hàm số

, ta có:

.

f ' ( x)

∀x ∈ ( −1;1)

f ′( x ) < 0 −e x < 0
Dựa vào bảng biến thiên
ta thấy
thì
,
nê
x
g ( x)
( −1;1)
g ′( x) = f ′( x) − e < 0 ∀x ∈ ( −1;1)
,
. Hàm số
nghịch biến trên
và liên tục
1
1
max ( f ( x ) − e x ) = g ( −1) = f ( −1) −
m ≥ f (−1) −
[ −1,1]
[ −1,1]
e
e
trên
. Suy ra:
. Do đó:
.

Loại 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trên D
A. Phương pháp giải

Bước 1: Cô lập tham số m đưa về dạng sau

u ( x) = t
Bước 2: Đặt

f ( u ( x) ) = m

t = u ( x) ∈ K
và đánh giá chặt

y = f ( t)
Bước 3: Khảo sát hàm số

trên K

f ( t)
Bước 4: Tìm max hoặc min của

trên K.

Bước 5: Dựa vào đặc điểm bài toán kết luận về tham số m.
B. Bài tập vận dụng

y = f ( x)
Ví dụ. Cho hàm số
nguyên của tham số

A.

Lời giải. Đặt

2

.

m

¡
xác định trên
và có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị
f  4 ( sin 4 x + cos 4 x )  = m

để phương trình:

B.

4

.

có nghiệm.

3

C.

4

4
2
t = 4 ( sin x + cos x ) = 4 − 2sin 2 x ⇒ t ∈ [ 2; 4 ]

.

.

D.

5

.


Do đó phương trình
có nghiệm trên đoạn

f  4 ( sin 4 x + cos 4 x )  = m

[ 2; 4]

có nghiệm

⇔

f ( t) = m
phương trình

.

f ( t) = m
Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy: phương trình
m ∈ { 1; 2;3; 4;5}
⇔1≤ m ≤ 5
. Vậy
.

có nghiệm

t

t ∈ [ 2; 4]
với

PHẦN 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán: Tìm tiệm cận thông qua đồ thị của hàm số hoặc bảng biến thiên
Phương pháp: Học sinh nắm vững khái niệm và cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số cụ thể:
Bài tập vận dụng:

y = f ( x)
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ dưới. Đồ thị hàm số
x+2
y = g ( x) =
f ( x) +1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A.
B.

C.
D.

0
1
2.
3

g ( x) =

f ( x ) = −1 ⇔ x = 2, x = −2(boi 2)
Lời giải:
hai tiệm cận đứng.

. Do vậy rút gọn

1

( x − 2) ( x + 2)
. Vậy đồ thị có

y = f ( x)
Ví dụ 2: Cho hàm số

g ( x) =
thị hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới. Tìm tất cả giá trị m để đồ

1

f ( x) − m
có ba đường tiệm cận đứng?


A.
B.

C.
D.

m < −1
m = −1
2 ≤ m < 3
 m = −1


−1 ≤ m < 3
f ( x) = m

Lời giải: Xét phương trình

. Vì tử luôn khác không với mọi x nên để đồ thị hàm số có
2 ≤ m < 3
⇔
 m = −1
3 đường tiệm cận đứng thì phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt
. Chọn C

y = f ( x)
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba

có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số
2
x − 2x
g ( x) = 2
f ( x) − 4
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0, x = 2
Lời giải: Phương trình
 f ( x) = 2
 x = 0, x = x0 ∈ ( 1; 2 ) , x = x1 ∈ ( 2; +∞ )
f 2 ( x) = 4 ⇔ 
⇔
 f ( x ) = −2
 x = x1 ∈ ( −∞;0 )

Phương trình
số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

. Vậy đồ thị hàm

2.4. Hiệu quả của SKKN.

Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá trình tham
khảo các đề thi : THPT Quốc Gia năm 2017, 2018; Các đề minh họa của các năm học, các tài liệu
liên quan trên mạng.
Quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải dạng toán hàm ẩn. Bản thân tôi suy
nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc phục lối dạy học truyền
thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học. Do đó tôi xây dựng đề tài trên cho học sinh


lớp 12. Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng
khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú
học tập cho các em.
Tôi mong đề tài được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi nhận và được
giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự thay
đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục.
Lớp

Sĩ số

12A1
12A12

44
44

Tỉ lệ điểm
Giỏi
25%
12%

Khá

25%
37%

TB
27%
46%

Yếu
23%
5%

- Được đồng nghiệp đánh giá cao. Một số thầy, cô giáo trong trường dạy khối 12 đã áp dụng
vào giảng dạy và thu được hiệu quả rất tích cực.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận: Bài viết trên đã thể hiện rất rõ ràng ý tưởng của tôi. Mong rằng nó là một ý tưởng
có ích cho các thầy, cô giáo trong việc soạn bài và dạy ôn tập cho học sinh.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường:
Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện tìm tòi và thực
hiện các phương pháp dạy học mới.
- Đối với tổ, nhóm chuyên môn:
Tăng cường trao đổi chuyên môn, đặc biệt là các thành viên trong nhóm chuyên môn tích
cực chia sẻ các phương pháp dạy học, phương pháp giải bài tập mới, hiệu quả để đồng nghiệp
trao đổi, đánh giá, hoàn thiện hơn và vận dụng vào dạy học.

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm

của mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

Mạch Quang Tài


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi thử của các trường THPT, của các sở GD&ĐT trong cả nước ở các năm
học 2016 – 2017 và 2017 – 2018.
2. Các đề minh họa, đề thi của BGD ở các năm học 2016 – 2017 và 2017 – 2018 .
3. 218 bài tập hàm ẩn, trang Diễn đàn toán học.
----------------------------------------------------------------