(SKKN 2022) ỨNG DỤNG TOÁN học vào GIẢI QUYẾT một số bài TOÁN tối ưu THỰC tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG
THPT MAI ANH TUẤN
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI
TOÁN TỐI ƯU THỰC TẾ.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG
TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Người thực hiện: Trần Văn Thành
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn
Người thực hiện: Đào Anh Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề
tài .........................................................................

....02
1.2. Mục đích nghiên
cứu…………………………………………........02
1.3. Đối tượng nghiên
cứu………………………………………….......02
1.4. Phương pháp nghiên
cứu…………………………………….........02
1.5. Những điểm mới của
SKKN............................................................02
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh
nghiệm.......................................03
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng
kiến kinh nghiêm....03
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực
hiện...................................03
2.3.1. Một số kiến thức và ký hiệu áp dụng trong
sáng kiến:...……...04
2.3.2. Một số dạng toán thường gặp:……..…………. ..
………………05
Dạng 1. LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI
…..… 05
Dạng 2. LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI
HÌNH……..08
Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU
DÙNG…………..11
2.4. Những kết quả đạt
được.................................................................14

3. Kết
luận.............................................................................................
.............15
3.1. Kết
luận.............................................................................................
15
3.2. Kiến
nghị..............................................................................
.............16
(*)Tài liệu tham
khảo..........................................................................................1
7

1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài :
Tốn học là một trong những mơn học quan trọng để rèn luyện
tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề
xảy ra trong thực tế. Vì vậy việc dạy học mơn Tốn là dạy cho
học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp học sinh học
tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng
nó vào cuộc sống. Dạy học mơn Tốn người thầy khơng chỉ dạy
cho học sinh kiến thức toán học ( những công thức, những định
lý, định đề , tiên đề …) mà người thầy cịn phải dạy cho học
sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong
học tập và sau này.
Trong những năm gần đây khoa học càng ngày càng phát
triển, con người cần phải nắm bắt kiến thức hiện đại. Do đó việc
đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp thiết để học sinh
nắm bắt được các kiến thức khoa học và có khả năng vận dụng

vào thực tiễn góp phần vào việc xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
Với phương pháp dạy học hiện đại như hiện nay ngoài việc
truyền thụ, cung cấp kiến thức, kỹ năng cơ bản cần thiết cho
học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ
năng suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa các kiến thức
đã học một cách hệ thống để học sinh có khả năng vận dụng
các kiến thức đã học để tự giải quyết vấn đề một cách năng
động sáng tạo.
Trong Chương trình tốn học sơ cấp THPT thì các bài tốn
tối ưu thực tế là một trong những dạng toán quen thuộc và gần
gũi với mọi đối tượng học sinh. Rất nhiều các bài toán khác từ
những bài toán cổ trong thực tế đến những bài toán phức tạp
trong các bộ mơn học khác đơi khi cũng cần áp dụng những
tính chất của bài toán. Đặc biệt trong các kỳ thi HSG tỉnh cũng
như HSG quốc gia thì các bài tập về tốn thực tế ln là một
chủ đề hay và khiến đại bộ phận học sinh cảm thấy bế tắc
trong quá trình định hướng đi tìm lời giải.
Trên thực tế hiện nay có rất ít các tài liệu tham khảo cũng
như các bài giảng về bài toán thực tế tối ưu. Trong khi đó qua
nghiên cứu về dạng tốn này trong mấy năm gần đây ở các kỳ
thi tuyển sinh tơi nhận thấy các kiến thức hình học,giải tích cần
sử dụng để giải quyết những bài toán này khá đơn giản. Phần
lớn giả thiết của các bài toán đều gợi ý cho ta về mối liên hệ
của các tính chất nào đó của bài tốn. Trên cơ sở đó việc giải
quyết các bài toán này trở nên tương đối nhẹ nhàng với đại bộ
phận học sinh.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT cũng như giảng
dạy ở một số lớp ôn thi đại học, ôn thi THPT Quốc gia và bồi
dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy nhiều học sinh chưa có

phương pháp giải quyết lớp bài tốn này, hoặc cịn lúng túng
nhầm lẫn trong q trình làm bài. Học sinh không biết vận dụng
kiến thức đã học để giải quyết vấn đề này vì những lý do sau:
quên kiến thức đã học, chưa hiểu đúng yêu cầu của bài tốn, ít
rèn luyện nên dẫn đến khả năng phân tích, tổng hợp các dạng
bài cịn yếu, khơng nhận dạng được loại bài tốn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Với những lý do nêu trên tơi chọn đề tài: “Ứng dụng tốn
học vào giải quyết một số bài toán tối ưu thực tế” với
mong muốn dần hình thành cho học sinh những tư duy và thuật
tốn cơ bản trong q trình tìm lời giải cho các bài toán về thực
tế, để học sinh tham khảo và vận dụng trong quá trình học tập.
Bên cạnh đó thơng qua những ví dụ và việc phân tích lời giải


các bài tập nêu ra trong đề tài nhằm giúp học sinh hình thành
những tư duy và thuật tốn cơ bản trong q trình tiếp cận với
các bài tốn về các dạng bài tập về toán thực tế và các mối liên
hệ giữa hình học và các yếu tố giải tích có liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh lớp 12 trong trường
THPT Mai Anh Tuấn và học sinh luyện thi THPT Quốc gia,thi học
sinh giỏi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu để hình thành đề tài, tơi chủ yếu sử
dụng các phương pháp sau đây
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy.
Thực hành thông qua các tiết dạy ôn thi đại học cũng như
ôn tập học sinh giỏi mơn Tốn của nhà trường.
1.5. Những điểm mới của SKKN:

“Bài toán tối ưu’’ là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông,
đặc biệt là học sinh khá, giỏi của trường THPT Mai Anh Tuấn vẫn
còn là điều mới mẻ. Chính vì thế, Sáng kiến kinh nghiệm của
bản thân tơi có thể giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với bài tốn
thực tế. Bên cạnh đó, qua các bài tốn có kèm theo những đánh
giá, nhận xét, đó là tính mới trong sáng kiến của tôi.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến:
Trên quan điểm dạy học là làm thế nào để phát huy được
năng lực trí tuệ, phẩm chất của người học. Để làm được điều
này người thầy phải tạo được hứng thú học tập ở các em, đặc
biệt là các em phải u thích mơn của mình dạy từ đó mới tạo
được sự hứng thú sự tìm tịi ở các em. Đối với một giáo viên
tốn qua nhiều năm cơng tác giảng dạy, tơi thấy để tạo được
niềm đam mê học tốn ở các em ngoài kỹ năng sư phạm, cái
tâm của người thầy thì người thầy phải ln vững chắc về
chun mơn, ln tìm ra các phương hướng để cùng giải quyết
vấn đề, tìm ra cách giải mới của bài tốn phù hợp. Từ đó mới
ngây được sự hứng thú, đam mê học tập ở các em.
Do vậy “Ứng dụng toán học vào một số bài toán tối ưu thực
tế ’’là một cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu hơn về những
dạng bài tốn thực tế, giúp các em có được một mạch kiến


thức liên thông và nắm rõ hơn được bản chất vấn đề của toán
thực tế.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:
Năm học 2016 – 2017, bộ GD – ĐT chuyển đổi hình thức
thi THPTQG của mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm
địi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù

hợp.
Toán thực tế được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh
từ nhỏ và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG.
Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, tốn thực tế cịn được
yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn ,
từ đó nó cũng đã được đưa vào để yêu cầu học sinh làm. Mặc
dù đã được học kỹ các phương pháp, nhưng đứng trước yêu cầu
về giải quyết một số bài toán thực tế đa số các em cịn nhiều
lúng túng và thậm chí là khơng định hình được lời giải khi đứng
trước các bài tốn dạng này.
Chính vì vậy mà khi dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều
đến những kiến thức thực tế để tăng tính tập trung và để các
em vận dụng kiến thức tốt hơn.
Người giáo viên phải gây
được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng
khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tiễn.
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:
2 .3.1. Một số kiến thức và ký hiệu áp dụng trong sáng
kiến:
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).
 f ( x)  M , x  D
M  max f ( x)  
D
x0  D : f ( x0 )  M

2. Tính chất:
a) Nếu hàm

số

max f ( x)  f (b), min f ( x)  f (a)
[ a ;b ]

[ a ;b ]

b)

Nếu

hàm

số

[ a ;b ]

Lưu ý: Hàm số:

y  f(x)

đồng

biến

trên

[a;

b]

thì

trên

[a;

b]

thì

.

f

max f ( x)  f (a), min f ( x)  f (b)
[ a ;b ]

f

 f ( x )  m, x  D
m  min f ( x)  
D
x0  D : f ( x0 )  m

nghịch
.
ax  b
cx  d (1)

biến

+ Hàm số (1) đồng biến trên [e;h ] thì GTLN trên [e, h] là
f ( h ) , GTNN trên [e, h] là f ( e )

+ Hàm số (1) nghịch biến trên [e;h ] thì GTLN trên [e, h]
là f ( e ) , GTNN trên [e, h] là f ( h )
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Loại 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Loại 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục
trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …,
xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M  max f (x)  max f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)
[a;b]

m min f (x)  min f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)
[a;b]

2.3.2. Một số dạng toán thường gặp:
DẠNG 1:LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI
Ví dụ 1: Cho hai vị trí A, B cách nhau
615m, cùng nằm về một phía bờ sơng như

hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ
sông lần lượt là 118m và 487m. Một người
đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về
B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có
thể đi là:
A. 569,5 m
B. 671,4 m
C. 779,8 m
D. 741,2 m
Gải:


+ Gọi S là điểm trên bờ sông DC.
DC  6152   487  118   492
2

+ Tính được:
(m)
+ Đặt

SD  x  m   SC  492  x  m 

0  x  492  m 

với

+ Đoạn đường người đó cần đi để hồn
thành cơng việc là:
f  x   1182  x 2  4872   492  x 

+ Áp dụng đánh giá

a 2  b2  c2  d 2 

 a  c

2

2

b d

2

với a, b, c, d  0 .

a b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c d (quy ước mẫu bằng 0 thì tử

bằng 0)
+ Khi đó:

f  x 

 118  487 

2

  x  492  x   779,8m

2

.

118
x

 x  95,96  m 
Dấu "=" xảy ra khi 487 492  x

+ Vậy đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8m
Chọn C.
Bình luận: Có thể xét hàm số   để tìm ra GTNN của
sự kết hợp của máy tính cầm tay:
f x

f ' x 

Cụ thể:

x
118  x
2

SOLVE có thể nhẩm được:

2



f  x

với

  492  x 
487 2   492  x 

2

, bằng chức năng

f '  x   0  x  95,96  f  95,96   779,8  m 

Ví dụ 2: Trong bài thực hành của mơn huấn luyện qn sự có
tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn cơng một
mục tiêu ở phía bờ bên kia sơng. Biết rằng lịng sơng rộng
100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy
trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến


được mục tiếu nhanh nhất, nếu như dịng sơng là thẳng, mục
tiêu ở cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách
bờ bên kia sông 100m.
200
A. 3

B. 100

C. 100 101

200
D. 2

Giải:

+ Ký hiệu như hình vẽ A,B lần lượt là vị trí người chiến sĩ (CS) và
mục tiêu tân công; H, K nằm trên hai bờ sao cho AHBK là hình
chữ nhật; M trên bờ HB để người CS cần bơi đến để bắt đầu
chạy bộ.
+ Ta có:

HB  AB 2  AH 2  10002  1002  300 11  m 

 

HM  x  m  x  0;300 11



+ Đặt
; Gọi v (m/s) là vận tốc chạy bộ của
người CS.
+ Khi đó: - Người CS phải bơi một đoạn bằng
AM  AH 2  HM 2  1002  x 2  m 
tb 

AM 2 100 2  x 2

 s
vb

v

⇒ Thời gian người CS bơi là:
- Sau khi bơi, người CS cần chạy bộ một đoạn

MB  HM  HM  300 11  x  m 

tc 

MB 300 11  x

 s
vc
v

⇒ Thời gian người CS chạy bộ là:
+ Tổng thời gian người CS tấn công mục tiêu là:
T  t1  t2 





1
300 11
2 100 2  x 2  x 
v
v

f  x   2 1002  x 2  x

+ Đặt
phải nhỏ nhất.
+ Ta có:

f ' x 

2x
1002  x 2





x  0;300 11 

với

Để T nhỏ nhất thì

 1; f '  x   0  100 2  x 2  2 x  x 

f  x

100
 m
3

 100 

f  x  f 

 3 .
Từ đây suy ra được:
AM  1002  x 2 

+ Vậy người CS phải bơi một đoạn bằng
đến mục tiêu nhanh nhất.
Chọn A
Ví dụ 3:Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt
đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc
bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M
trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây
nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi
ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ
dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.
A. AM = 6m, BM = 18m
B. AM = 7m, BM = 17m
C. AM = 4m, BM = 20m
D. AM = 12m, BM = 12m
Giải:

200
 m
3
để



+ Đặt

Suy ra: BM  24  x
+ Tổng độ dài sợi dây cần dùng bằng:
AM  x  x  0; 24

L  102  x 2  30 2   24  x 

+ Ta có BĐT

2

a 2  b2  c2  d 2 

 a  c

2

bd

a, b, c, d  0

Dấu “=” xảy ra
tử bằng 0)
+ Khi đó:

L



với

a b

c d (quy ước mẫu bằng 0 thì

 10  30 


2

2

  x  24  x   8 34
2

10
x

 x  6  AM  6; BM  18
30 24  x

Dấu "=" xảy ra
Chọn A
Dạng 2: LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH



Ví dụ 1: Cắt bỏ hình quạt trịn AOB
từ một mảnh các tơng hình trịn bán
kính R rồi dán hai bán kính OA và
OB của hình quạt trịn cịn lại với

nhau để được một cái phễu có dạng
của một hình nón. Gọi x là góc ở
tâm của quạt trịn dùng làm phễu 0
< x < 2  . Tìm x để hình nón có thể
tích lớn nhất
A.
C.

x

2

3

x

3 2

3

B.
D.

x

2 2

3

x

4 2

3

1
V   r 2h
3
Giải:+ Thế tích cái phễu là:

+ Ta có chu vi đáy bằng:
+ Lại có:

h  R2  x2  R2 

2 r  Rx  r 

R2 x2
R

2
4
2

Rx
2

4 2  x 2

1

R3 2
V   r 2h 
x 4 2  x 2
2
3
24
+ Khi đó:

+ Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
3R 3 2 2
3R 3 2  4 2
3R 3 2  16 2

2
2
2
2
V
.x .  . 4  x 
.x .    4  x  
.x .    x 2 
3
3
3
48
2.48
3
3
 2.48
 3


2

1 3R 3  2  16 2
1 3R3 162 4 2 3
2 
 .
.
x



x

.
.
. 
 R3


3
8 48 3 
3
8
48

9
27



 2
2
2
 3   4  x
2 2
 x


3
 x 2  16  2  x 2
3
Dấu "=" xảy ra khi 

Chọn B.
Ví dụ 2: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có AD =
60cm và AB có độ dài khơng đổi. Ta gập tấm nhơm theo 2 cạnh
MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình
vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể


tích khối lăng trụ tạo thành lớn
nhất?
A. x  20
B. x  25
C. x  10
D. x  30
+ Ta có: AN = PD = x (cm, 0 < x
< 30) ⇒ NP = 60 – 2x (cm)
+ Thể tích hình lăng trụ tạo
thành bằng:

2

V  AB.S NPA

1
 NP 
 AB. . PA2  
 .NP
2
 2 
2

AB
 60  2 x 
3

. x2  
 .  60  2 x   2 15. AB.  30  x  x  15  cm 
2
2



+ Trong đó AB khơng đổi nên ta chỉ cần tìm x sao cho
f  x    30  x  x  15

+ Xét hàm số

đạt giá trị lớn nhất.

f  x

trên (15;30) ta được

max f  x   f  20   10 5  x  20
 15;30 

(Hoặc có thể thay trực tiếp các đáp án A,B,C,D rồi chọn giá trị
nào của x làm cho f(x) lớn nhất)
Chọn A.
Ví dụ 3: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia
gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là S1 )
và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải
là S2 ) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng (r +
d) sao cho biểu thức P = 3S2  S1 đạt giá trị lớn nhất
(không kể viền, mép, phần thừa).
A. 28,2
B. 26,2
C. 30,8
D. 28,2
Lời giải
+ Ta có: d  2r  22, 2

+ Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là: S1  2 rh   r
+ Diện tích vải để may phần dạng hình vành khăn là:
d2
S2 
 r2
4

+ Khi đó, ta có:
3  2r  22, 2 
3 d 2
P  3S2  S1 
 4 r 2  2 rh 
 4 r 2  2 r.31,3
4
4
2

2




  4r 2  16r  1478,52 
4

2
  4  r  2   1494,52 1494,52



4
4

Dấu "=" xảy ra khi r  2  d  26, 2  r  h  28, 2
Chọn D.

Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG

Ví dụ 1: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế
ln đặt mục tiêu sao cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon là ít
nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn
thể tích khối trụ đó bằng 1 dm3 và diện tích tồn phần của hình
trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?
1
dm
3

A.
1



B.

3

1
dm
2

C.

1
dm
2

D.

dm

Giải:
+ Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bị hình trụ lần lượt
là r, h (đơn vị dm)
h r 2  1  h 

1
 r 2 (dm)

+ Theo đề ra ta có:
2
+ Diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: S  2 r  2 rh
nhỏ nhất.
2
1 1
1
 2 r 2    2 3 2 r 2 . 2  3 3 2
r
r r
r
+ Ta có:
.
1
1
2 r 2   r  3
r
2 (dm)
Dấu "=" xảy ra khi:
S  2 r 2 

Chọn B.
Ví dụ 2: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, các nhà sinh học thấy
rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì
trung bình mỗi con cá sau một vụ có cân nặng P = 960 - 20n
(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của
mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
Giải:
+ Cân nặng của cả bầy cá sau một vụ thu hoạch là: N = P.n =
(960 – 20n)n (gam)
+ Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ⇔ Ta cần tìm giá
trị của n sao cho N đạt giá trị lớn nhất
+ Áp dụng BĐT AM - GM (Cauchy) cho 2 số dương ta có:


N   960  20n  n  20n  48  n 

 n  48  n 
 20.

4
n

48

n


n

24
Dấu "=" xảy ra khi

2

 11520  g 

Chọn B.
Ví dụ 3:Cơng ty mỹ phẩm cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng
trắng da chống lão hóa mới mang tên Sakura với thiết kế là một
khối cầu như một viên bi khổng lồ, bên trong là một khối trụ
nằm phần nữa để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Theo dự
kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R = 2 6
(cm). Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích
thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (nhằm thu hút khách hàng).

3
A. 16 2 cm

24 2 cm

3
B. 48 2 cm

3
C. 32 2 cm

D.

3

Giải: + Các ký hiệu như hình vẽ bên
2
2
2
2
+ Ta có: r  R  h  24  h
+ Thể tích khối trụ bằng:
+ Để thể tích V lớn nhất
+ Ta có:

V   r 2 h    24  h 2  h

 f  h    24  h 2  h

lớn nhất.

2
2
2
1
1  24  h  24  h  2h 
2
2
2
f  h 
.  24  h   24  h  2h 

.
 32 2
2
2
27
(Áp dụng
3

BĐT Cauchy)
2
2
Dấu “=” xảy ra khi 24  h  2h  h  2 2
+ Từ đó suy ra:
Chọn C.

V  32 2  cm3 

2.4. Những kết quả đạt được, những kinh nghiệm rút ra,
những sản phẩm chính của đề tài:


- Qua thời gian thực nghiệm, học sinh đã nắm được những
kĩ năng cơ bản nhất của việc nhìn nhận các bài toán “tối ưu
thực tế”.
- Kinh nghiệm cho thấy, những kiến thức cơ bản nhất phải
được trang bị, bồi dưỡng cho các em ngay từ năm lớp 10.
Không để đến gần thi cuối cấp mới dạy, lúc đó các em tiếp cận
rất hạn chế.
- Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm chính tơi thu
được là niềm đam mê học tốn của thầy và trị, những kĩ năng

được trang bị làm cho tư duy người học ngày một phát triển.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng
rộng rãi trong toàn bộ học sinh khối 12. Đặc biệt, có thể dùng
để ơn thi học sinh giỏi và luyện thi THPT Quốc gia.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận.
Qua một thời gian giảng dạy, nghiên cứu về tổ hợp, những
vướng mắt của học sinh do thiếu kĩ năng cơ bản về các phép
biến đổi, đánh giá, nhìn nhận. Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm
của tơi thật sự cần thiết và hữu ích cho giáo viên và học sinh.
Đặc biệt là giáo viên trẻ mới ra trường, cịn non kinh nghiệm.
Một lần nữa, tơi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh
nghiệm này là kết quả mà Tôi thu được sau một thời gian
học tập, rèn luyện và nghiên cứu về tích phân. Đồng thời,
tích lũy những kinh nghiệm qua quá trình dạy học với đối
tượng học sinh. Đó là sự kết tinh kiến thức đã qua nhiều
thế hệ và là sự giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp. Một số bài
tốn có nêu lời giải đầy đủ, cịn có một số bài chỉ vạch ra
hướng giải.Hầu hết qua các bài tập đều có nhận xét để
học sinh hoặc người đọc có thể cảm nhận sâu sắc hơn về
bài toán. Do yếu tố thời gian, cũng như kiến thức và cách


trình bày cịn nhiều hạn chế. Rất mong được sự nhận xét,
góp ý của quý đồng nghiệp và các em học sinh, để sáng
kiến này được hoàn thiện hơn. Hy vọng rằng, tài liệu này
có thể giúp ích cho q đồng nghiệp và các em học sinh
trong quá trình giảng dạy và học tập.
Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để hoàn
thiện hơn, nhằm từng bước hoàn thiện kĩ năng cho bản

thân và tạo mũi nhọn cho nhà trường.
3.2.Kiến nghị:
Có thể dùng sáng kiến của tơi cho các em học sinh
giỏi,các giáo viên có niềm đam mê về toán học một cách
rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 1 tháng 06

ĐƠN VỊ

năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép
nội dung của người khác.

Trần Văn Thành

(*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban cơ bản;
2. Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa của Bộ GD và
ĐT từ năm 2016 đến nay;
3. 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng của nhà sách Lovebook –
GSTT Group;
4. Một số kiến thức về tối ưu trên mạng Internet, cùng hệ
thống bài tập trên facebook của các nhóm Tốn Vận
Dụng Cao;


5. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ;

6. Website :toanmath.com.
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN
.....................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.............................................................