(SKKN 2022) ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Để phát triển các năng lực toán học cho học sịnh, đặc biệt là học sinh lớp
12 giúp các em có một kết quả cao nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Tác giả
nhận thấy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong
chương trình giải tích lớp 12 là nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng trong
bộ mơn tốn, điều này được thể hiện thông qua việc kiến thức của chương này
luôn chiếm tỉ lệ cao nhất trong đề thi THPT. Số câu hỏi ở mức vận dụng và vận
dụng cao của chương này cũng luôn mang đến cho giáo viên và học sinh những
sự quan tâm đặc biệt, trong đó phải kể đến các bài toán chứa tham số.
Qua quá trình giảng dạy tại trường THPT Tĩnh Gia 2, tác giả nhận thấy nội
dung của chương này luôn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, việc học
tốt và nắm vững kiến thức của chương này sẽ tạo đà cho việc học tập các
chương khác rất tốt. Các năm dạy học ôn thi tốt nghiệp THPT tác giả rút ra được
một điều là cần phải bồi dưỡng cũng như phát triển năng lực tư duy kết hợp
phân tích trực quan và suy luận logic để giải quyết một số bài toán trong chương
1 giải tích lớp 12. Các dạng toán chứa tham số luôn được giáo viên và học sinh
qua tâm tìm hiểu, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi ôn thi vào các trường
đại học.
Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT hàng năm thì các câu hỏi ở mức vận dụng,
vận dụng cao ở chương ứng dụng đạo hàm chiếm tỉ lệ cao, trong đó các bài tốn
chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) cũng thường
xuyên xuất hiện.
Từ những lý do nêu trên, cùng sự nghiên cứu của tác giả kết hợp sự chia se
kinh nghiệm của các đồng nghiệp. Tác giả đã đúc rút được những kinh nghiệm quý
báu thành đề tài “Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
y  f ( x; m) thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT ” để áp dụng trong giảng
dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi Đại học tại trường THPT Tĩnh Gia 2.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát
triển năng lực tư duy của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến khảo sát

hàm số trong chương trình giải tích lớp 12 với mục đích như sau:
- Kết hợp phân tích trên đồ thị của hàm số y  f ( x; m) để đưa ra các điều kiện
tương đương của bài toán giúp học sinh lĩnh hội kiến thức khó trở nên đơn giản hơn.
- Đưa ra nhiều hướng tiếp cận cho cùng một bài toán giữa trên việc phân tích
dấu hiệu của bài tốn đó.
- Học sinh nắm vững bản chất của các lập ḷn thơng qua việc phân tích các
trường hợp có thể xảy ra của các bài toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu, số cực
trị của hàm số, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x; m) .
- Rèn luyện cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề toán học để tạo hứng thú
học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục,
rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.
- Kết quả nghiên cứu để làm tài liệu giảng dạy cho đờng nghiệp trong tở Tốn 1


Tin trường THPT Tĩnh Gia 2.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh.
- Học sinh thi tốt nghiệp THPT để xét Đại học.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ
sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển
năng lực của học sinh.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của
từng bài toán, sử dụng các kinh nghiệm của bản thân để giúp học sinh phát triển
năng lực phân tích, tổng hợp.
- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với
giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em.
5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
- Trong đề tài này tác giả đã nêu lên được sự kết hợp trực quan đồ thị và lập
luận có lý giúp học sinh dệ hiểu và nắm vững bản chất của các bài toán chứa

tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) : Bài toán đơn điệu; bài
toán cực trị; bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Phân tích được các dấu hiệu của từng bài toán và đưa ra được nhiều định
hướng khác nhau giúp học sinh dễ dàng tìm ra hướng giải quyết bài tốn.
- Sử dụng mơ hình năng lực giải quyết vấn đề toán học để phân tích và định
hướng giúp học sinh phát triển các năng lực đọc hiểu dữ liệu câu hỏi; năng lực
suy luận toán học; năng lực thực hiện tính toán; năng lực vận dụng kiến thức
vào thực tiễn giải quyết vấn đề toán học.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận
1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x)
xác định trên K . Ta nói
+ Hàm số y  f ( x) đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 );
+ Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).

b. Định lý
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K .
+ Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K .
+ Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K .
( f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ).
c. Đồ thị hàm số đơn điệu
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

2

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải.

1.2. Cực trị của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng  a; b  và điểm
x0   a; b  .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   x0  h ; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   x0  h ; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
b. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý:
Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h ; x0  h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0.
+ Nếu f '( x)  0 trên khoảng  x0  h ; x0  và f '( x)  0 trên khoảng
 x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y  f ( x) .
+ Nếu f '( x)  0 trên khoảng  x0  h ; x0  và f '( x)  0 trên khoảng
 x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) .

1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D .
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu
f ( x )  M với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  M .
f ( x).
Kí hiệu M  max
D
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu
f ( x )  m với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  m.
f ( x ).

Kí hiệu m  min
D
3


b. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên đoạn đó.
1.4. Đồ thị hàm số y  f ( x)
 f ( x) nê´u f ( x)  0
 f ( x) nê´u f ( x)  0

Ta có y  f ( x)  

Do đó đờ thị hàm số y  f ( x) được suy ra từ đồ thị hàm số y  f ( x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trên trục hoành
+ Lấy đối xứng qua trục hồnh phần đờ thị hàm số y  f ( x) nằm dưới trục hồnh.

Đờ thị hàm số y  f ( x)
Đồ thị hàm số y  f ( x)
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT tại trường THPT Tĩnh
Gia 2:
+ Về phía giáo viên: Đa phần các đồng nghiệp tại trường THPT Tĩnh Gia 2
rất ít khi dạy các bài toán ở mức vận dụng cao, một phần vì năng lực học sinh
đại trà còn thấp một phần vì khó khăn trong việc tìm kiếm hướng giải cho các
bài tốn vận dụng cao, từ đó tạo nên một tâm lý e ngại khi gặp phải các bài tốn
khó, lâu dài dẫn đến việc giảng dạy cho học sinh ơn thi đại học gặp khó khăn.
+ Về phía học sinh: Sự tiếp cận các bài toán chứa tham số của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) ở mức độ vận dụng và vận dụng cao chỉ ở một bộ

phận nhỏ các em học sinh, tài liệu hướng dẫn chưa nhiều dẫn đến kết quả học
tập và thi chưa cao.
3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề.
3.1. Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu trên một
khoảng cho trước.
3.1.1. Hàm số y  f ( x; m) đồng biến trên khoảng  a; b  .
Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách giải các bài tốn xét sự đờng biến, nghịch
biến của các hàm số y  f ( x) ; bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số
y  f ( x; m) đồng biến trên khoảng  a; b  . Bài toán tìm điều kiện của tham số m
để hàm số y  f ( x; m) đồng biến trên  a; b  có giải được như thế khơng?
4


Sau khi tiếp cận câu hỏi thì học sinh sẽ có những suy nghị nảy sinh nhiều
định hướng khác nhau. Nhưng có một vấn đề đặt ra là phương pháp giải cho bài
tốn này có giống như các dạng đã gặp khơng? Hay có cách nào khác để giải
quyết bài tốn này nữa khơng?
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán.
Sau khi đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên
tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của bài toán tìm điều kiện
của tham số m để hàm số y  f ( x; m) đồng biến trên khoảng  a; b  ?
+ Ở bước này học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương là
f '( x ; m )  0; x (a ; b).

+ Đến đây giáo viên tiếp tục phân tích, nếu tìm được đạo hàm của hàm số
y  f ( x; m) thì chúng ta sẽ sử dụng điều kiện tương tự. Và đặt câu hỏi 3.

Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số
y  f ( x; m) .
+ Ở bước này học sinh sẽ có 2 định hướng:
 f ( x; m) nê´u f ( x; m)  0
y  f ( x; m)  
 f ( x; m) nê´u f ( x; m)  0

Hoặc y  f ( x; m)   f ( x; m) 
+ Phân tích: Ở bước này giáo viên cần phân tích để học sinh thấy được
2

việc sử dụng y  f ( x; m)   f ( x; m) để tính đạo hàm. Khi tìm được đạo hàm thì
chúng ta đã quy về bài toán quen y '  0; x  (a ; b).
Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn.
2

Ta có y  f ( x m)   f ( x; m) 
 y'

f '( x; m). f ( x; m)

 f ( x; m)

2

=

2

f '( x; m). f ( x; m)

.
f ( x; m)

Để hàm số y  f ( x; m) đồng biến trên khoảng  a; b   y '  0, x  ( a; b).
( f ( x; m)  0 )
  f '( x; m)  0
, x(a; b)

f
(
x
;
m
)

0

 f '( x; m). f ( x; m)  0, x  (a; b).  
  f '( x; m)  0

, x(a; b)
  f ( x; m)  0

Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán
Bằng cách biến đổi y  f ( x; m)   f ( x; m)  chúng ta đã quy bài toán về bài toán
quen  y '  0, x  (a; b).
Bài tốn cịn có các cách giải khác:
Cách 2: Sử dụng đồ thị
- Phân tích: Nếu đồ hàm số y  f ( x; m) thị cắt trục Ox
2

←
5


Ta suy ra đồ thị hàm số y  f ( x; m) như sau

Vì vậy hàm số y  f ( x; m) không đơn điệu trên khoảng  a; b  được.
(Nên đồ thị hàm số không thể cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau
đây)
Trường hợp 1:

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
 f '( x; m)  0
 f '( x; m)  0
x  (a; b).  
x  (a; b).

 f ( x; m)  0
 f (a)  0

Trường hợp 2:
 f '( x; m)  0
, x  (a; b).
 f ( x; m)  0
 f '( x; m)  0
 
, x  (a; b).
 f (a)  0

Điều kiện của bài toán trong trường hợp này là 

Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp y '  0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến
thiên sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán.
3.1.2. Hàm số y  f ( x; m) nghịch biến trên khoảng  a; b  .
Phân tích tương tự bài tốn đờng biến ta có:
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
2
Ta có y  f ( x; m)   f ( x; m)
6


 y'

f '( x; m). f ( x; m)

 f ( x; m)

2

=

f '( x; m). f ( x; m)
.
f ( x; m)

Để hàm số y  f ( x; m) nghịch biến trên khoảng  a; b   y '  0, x  (a; b).
( f ( x; m)  0 )
  f '( x; m)  0

, x(a; b)

f
(
x
;
m
)

0

 f '( x; m). f ( x; m)  0, x  (a; b).  
  f '( x; m)  0

, x(a; b)
  f ( x; m)  0

Cách 2: Sử dụng đồ thị
Trường hợp 1:

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
 f '( x; m)  0
 f '( x;)  0
, x  (a; b).  
, x  ( a; b).

 f ( x; m)  0
 f (b)  0

Trường hợp 2:

Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
 f '( x; m)  0
 f '( x; m)  0
, x  (a; b).  
, x  (a; b).

 f ( x; m)  0
 f (b)  0

Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp y '  0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến thiên
sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán.
Các trường hợp đơn điệu trên  a; b , (;b  ,  a;   ,  a;   ,  ;b  ta
phân tích tương tự.
3.1.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tởng tất cả các giá trị nguyên thuộc  5;5 của tham số m để hàm
1
3

2
đồng biến trên khoảng  1;5 là
3
B. 1.
C. 0.
D. 2.

3
2
số y  x  (m  1) x  (2m  3) x 

A. 1.

7


1
3

Lời giải: Đặt f ( x)  x3  (m  1) x 2  (2m  3) x 

2
3

Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hồnh và có đởi dấu trong khoảng  1;5
thì đồ thị hàm số y  f ( x) không đơn điệu trên  1;5 .
Nên y  f ( x) không đổi dấu trên khoảng  1;5
 hàm số y  f ( x) đồng biến trên  1;5  xảy ra hai trường hợp
Trường hợp 1:

Hàm số y  f ( x) đồng biến và đờ thị nằm phía trên trục hồnh trên
khoảng  1;5
 x 2  2(m  1) x  2m  3  0
 f '( x)  0

x  (1;5).  
x  (1;5).
 f ( x)  0
 f (1)  0

x  3

 2m( x  1)   x 2  2 x  3
m
, x  (1;5)



2
 
x  (1;5)  
13
3
m


0

 m  13
3


9
x  3

(
) 1
 m  Max
 1;5
13

2

 m .
9
 m  13

9

Trường hợp 2:

Hàm số y  f ( x) nghịch biến và đồ thị nằm phía dưới trục hoành trên
khoảng  1;5
 x 2  2(m  1) x  2m  3  0
 f '( x )  0

, x  (1;5).  
, x  (1;5).
 f ( x)  0
 f (1)  0
x  3

 2m( x  1)   x 2  2 x  3
m
, x  (1;5)



2
 
, x  (1;5)  

13
3m   0
 m  13
3


9

8


x  3

(
)  1
 m  Min
 1;5
2

 m  1.
 m  13

9
13

m

9
Cả hai Trường hợp ta được 
 m  1

Vì m nguyên và thuộc  5;5

 m   5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5
Vậy tởng các giá trị của m thỏa mãn bài tốn bằng 1

Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đờng biến, nghịch biến
Ta có y  f ( x )   f ( x)
 y' 

f '( x ). f ( x)

 f ( x) 

2

=

2

f '( x). f ( x )
.
f ( x)

Để hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  1;5  y '  0, x  (1;5).
( f ( x)  0 )
 f '( x). f ( x)  0, x  (1;5).
 f '( x)  0
 f '( x)  0
, x  (1;5)  

, x  (1;5)
Trường hợp 1: 
 f ( x)  0
 f (1)  0
 x 2  2(m  1) x  2m  3  0
 
, x  (1;5).
f
(1)

0

x  3

 2m( x  1)   x 2  2 x  3
m
, x  (1;5)



2
 
,

x

(1;5)


13

3m   0
 m  13
3


9
x  3

(
) 1
 m  Max
 1;5
13
2

 m .
9
 m  13

9
 f '( x)  0
 f '( x)  0
, x  (1;5)  
, x  (1;5)
Trường hợp 2: 
 f ( x)  0
 f (1)  0
 x 2  2(m  1) x  2m  3  0
 
x  (1;5).

 f (1)  0
x  3

 2m( x  1)   x 2  2 x  3
m
, x  (1;5)



2
 
x  (1;5)  
13
3m   0
 m  13
3


9

9


x  3

(
)  1
 m  Min
 1;5
2


 m  1.
 m  13

9
13

m

9
Cả hai trường hợp ta được 
 m  1

Vì m nguyên và thuộc  5;5

 m   5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5

Vậy tởng các giá trị của m thỏa mãn bài tốn bằng 1
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có f '( x)  0  x 2  2(m  1) x  2m  3  0
 x  1

 x  3  2m

Trường hợp 1: 3  2m  1  m  2 (*)
Ta có bảng biến thiên
x





f ( x)
f ( x)

3  2m
0
f (3  2m)



1
0





f (1)



Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  1;5  f (1)  0
13
13
kết hợp (*) ta được m  2
0  m
3
9

Trường hợp 2: 3  2m  1  m  2 (**)
 3m 

Ta có bảng biến thiên
x





f ( x)
f ( x)

1
0
f (1)





3  2m
0





f (3  2m)

Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  1;5  có hai khả năng như sau
 m  1
5  3  2m


 m  1
Khả năng 1: 
13
 f (1)  0
3m  3  0
kết hợp với (**) ta được m  1
m  1
3  2m  1
13

 
 m
Khả năng 2: 
13
9
 f (1)  0
3m  3  0

10


13
m2
9

13

m

9
Cả hai trường hợp ta được 
 m  1
Vì m nguyên và thuộc  5;5

kết hợp (**) ta được

 m   5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5
Vậy tởng các giá trị của m thỏa mãn bài tốn bằng 1

Chọn đáp án: B
Nhận xét: Mỗi cách làm có một ưu điểm nhất định, các em cần nhận định được
những dấu hiệu của hàm số phù hợp để định hướng cách giải nhanh.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y  2 x 3  mx  1 đồng biến trên khoảng (1; ).
A. 2.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
3
Lời giải: Đặt f ( x)  2 x  mx  1
Nhận thấy f '( x)  0 nhẩm được nghiệm nên chúng ta sử dụng cách bảng
biến thiên
Ta có f '( x)  6 x 2  m
Trường hợp 1: Nếu m  0 thì hàm số đồng biến trên ¡


6m
x 
6
Trường hợp 2: Nếu m  0 thì f '( x)  0  

6m
x  
6


Ta có bảng biến thiên
x




f ( x)
f ( x)



6m
6

0
ycd





6m
6
0





yct

Từ bảng biến thiên suy ra
3
Để hàm số y  2 x  mx  1 đồng biến trên khoảng (1; )
 6m
m  6
1

 6

 m3
m

3

 f (1)  0

Từ hai trường hợp ta được m  6
Vì m nguyên dương nên m   1; 2;3

Chọn đáp án: C
Nhận xét: Nếu f '( x)  0 nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng
biến thiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất.
11


3.2. Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n
điểm cực trị.
3.2.1. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề.
Câu hỏi 1: Các em đã biết cách giải các bài toán tìm các điểm cực trị của
hàm số y  f ( x) ; tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n điểm
cực trị. Bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n điểm
cực trị sẽ được giải như thế nào?
+ Ở bước này, sau khi tiếp nhận câu hỏi thì học sinh sẽ có nhiều hướng giải
quyết. Nhưng sẽ làm nảy sinh trong học sinh các vấn đề tư duy: Dạng toán này
đã gặp hay chưa? Phương pháp giải hiện tại có giải được hay khơng? Nếu khơng
thì có hướng giải quyết khác khơng?
Bước 2: Tìm tịi hướng giải bài toán
Khi học sinh đang phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Em hãy nhắc lại điều kiện để hàm số f ( x ; m) có n điểm cực trị?
+ Ở bước này học sinh sẽ nhớ lại được điều kiện tương đương của bài toán
hàm số f ( x ; m) có n điểm cực trị  phương trình f '( x ; m)  0 có n nghiệm làm
f ( x ; m) đổi dấu.
+ Đối với học sinh yếu hơn thì giáo viên có thể gợi mở: Nhắc lại điều kiện
đủ để hàm số có cực trị.
+ Phân tích: Giáo viên phân tích, nếu bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thì
chúng ta đã đưa bài toán f ( x ; m) về bài toán trên, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi.
Câu hỏi 3: Em hãy khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số y  f ( x; m) .
+ Ở bước này học sinh sẽ có hai định hướng:

 f ( x ; m) nê´u f ( x ; m)  0
y  f ( x ; m)  
 f ( x ; m) nê´u f ( x ; m)  0

Hoặc y  f ( x ; m)   f ( x ; m) 
+ Phân tích: Giáo viên phân tích, nếu sử dụng hướng 1 thì đạo hàm cho bởi
nhiều công thức thì việc xét số nghiệm của hai phương trình f '( x ; m)  0 và
 f '( x ; m)  0 gặp khó khăn trong việc xác định số nghiệm. Ta sử dụng hướng 2:
y '  0 có n nghiệm làm cho y ' đổi dấu.
Bước 3: Trình bày lời giải
(Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
2

Ta có y  f ( x; m)   f ( x; m)

2

 y'

f '( x; m). f ( x; m)
. suy ra
f ( x; m)

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x) là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội le của
 f '( x; m)  0

phương trình f '( x; m). f ( x; m)  0  
.
 f ( x; m)  0
Như vậy số điểm cực trị của hàm số y  f ( x ) chính là số điểm cực trị của hàm

số y  f ( x) và số giao điểm của y  f ( x) với trục hoành ( không tính điểm tiếp
xúc).
12


Minh họa bằng đồ thị:

Đồ thị y  f ( x)

Đồ thị y  f ( x)
Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán
+ Bài toán này thoạt nhìn hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối làm cho chúng
ta thấy khó khăn, nhưng khi đưa về hàm số y   f ( x; m) và tìm được đạo hàm
2

y'

f '( x; m). f ( x; m)
thì ta đã quy về bài toán quen.
f ( x; m)

+ Ngồi cách giải trên chúng ta cịn có thể sử dụng đồ thị hoặc bẳng biến
thiên để tìm điều kiện tương đương của bài toán.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Nếu hàm số y  f ( x; m) nhẩm được nghiệm của đạo hàm f '( x; m) thì chúng
ta lập bảng biến thiên, từ đó phân tích và đưa ra các điều kiện tương đương của
bài tốn.
3.2.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2021; 2021 để hàm
3

2
số y  x  3x  m có ba điểm cực trị?
A. 4040.
B. 4041.
C. 4037.
D. 4036.
3
2
Lời giải: Đặt f ( x)  x  3 x  m xác định trên ¡
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
2
Ta có y  f ( x )   f ( x)  y ' 

f '( x ). f ( x)
f ( x)

 Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x) là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội le
 f '( x)  0
của phương trình f '( x). f ( x)  0  
.
 f ( x)  0
 x  0
3 x 2  6 x  0

  3
  x  2
2
 x  3x  m  0
 x 3  3x 2  m  0 (*)


Để hàm số có 3 điểm cực trị  (*) có hai trường hợp
+ Một nghiệm khác 0 và khác 2
+ Hai nghiệm trong đó một nghiệm khác 0 và khác 2 nghiệm còn lại là
nghiệm kép bằng 0 hoặc bằng 2 .
Xét (*): x3  3 x 2  m  0  m   x3  3x 2

13


Xét hàm số g( x)   x3  3x 2 xác định trên ¡
x  0
 g '( x)  3 x 2  6 x  0  
x  2

Ta có bảng biến thiên
x





f ( x)
f ( x)

0
0





2



0



4


0

Từ bảng biến thiên suy ra
m  4

Điều kiện bài toán  
m  0
Do m nguyên và thuộc đoạn  2021; 2021 suy ra có 4040 giá trị m thỏa mãn
bài toán.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Xét f ( x)  x3  3x 2  m xác định trên ¡
x  0
 f '( x)  3 x 2  6 x  0  
x  2

Ta có bảng biến thiên
x




f ( x)
f ( x)

0
0
m





2
0






m4

Từ bảng biến thiên suy ra
m  0

m  0



Để hàm số y  f ( x) có 3 điểm cực trị  
m  4  0
m  4
Do m nguyên và thuộc đoạn  2021; 2021 suy ra có 4040 giá trị m thỏa mãn
bài toán.
Nhận xét: Các em cần nắm vững phương pháp và nhận ra các dấu hiệu để
đinh hướng nhanh lời giải của bài tốn. Ngồi hai cách trên các em có thể sử
dụng phép suy đờ thị để giải nhan bài tốn này.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m có đúng 7 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 5.
C. 6.
D. 4.
4
3
2
Lời giải: Đặt f ( x)  3x  4 x  12 x  m xác định trên ¡
Ta có f '( x)  12 x3  12 x 2  24 x
x  0
 f '( x)  0   x  1
 x  2

Ta có bảng biến thiên
x



1

0

2



14




f ( x)
f ( x)



0


m5

0
m



0




m  32

Từ bảng biến thiên suy ra
4
3
2
Để hàm số y  3x  4 x  12 x  m có 7 điểm cực trị  đồ thị hàm số y  f ( x) cắt
m  0
 0m5
m  5  0

trục hoành tại 4 điểm phân biệt  

Do m nguyên nên m   1; 2;3; 4 .
Nhận xét: ở bài toán này ta nhận thấy f '( x)  0 nhẩm được hết nghiệm nên ta
chọn cách lập bảng biến thiên.
3.3. Bài toán: Cho hàm số y  f ( x; m) . Tìm m để giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  a; b thỏa mãn một điều kiện cho trước.
3.3.1. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ Thâm nhập vấn đề
Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  f ( x) trên đoạn  a; b , trên khoảng  a ; b  . Bằng phương pháp đó các
em có thể giải được bài toán tìm điều kiện của tham số m để giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ; m) thỏa mãn điều kiện cho trước hay không?
+ Sau khi tiếp nhận câu hỏi thì học sinh có những định hướng khác nhau để
giải quyết. Nhưng sẽ làm nảy sinh trong học sinh các vấn đề cần tư duy: Phương
pháp này có giải được khơng?
Bước 2: Tìm tịi hướng giải bài tốn
Sau khi đặt câu hỏi số 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên

tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy trình bải một hướng giải quyết được cho là tối ưu theo
hướng suy nghĩ của các em?
+ Ở bước này, khi học sinh trình bày giải pháp của mình thì sẽ có một số
định hướng như sau: Học sinh dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Học sinh dùng quy tắc xác định giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  a ; b .
+ Nếu dùng phương pháp xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn  a ; b thì học sinh gặp phải khó khăn là khi chuyển sang giá trị tuyệt
đối thì việc so sánh để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Nếu dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  a ; b thì làm thế nào để xác định hết các khả
năng có thể xảy ra?
+ Phân tích: Giáo viên dùng đồ thị để phân tích các trường hợp có thể xảy
ra của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn  a ; b .
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
f ( x )  p ; min f ( x )  q.
+ Tìm max
 a ;b 
 a ;b 
+ Xét các trường hợp:
15


 min f ( x)  0
  a ;b 
Trường hợp 1: Nếu p.q  0  
f ( x)  max  p ; q 
 max
  a ;b

f ( x)  p
+ Nếu p  q  0 thì max
 a ;b 
f ( x)  q
+ Nếu p  q  0 thì max
 a ;b 


 min f ( x )  q
  a ;b 
Trường hợp 2: Nếu q  0  
f ( x)  p
 max
 a ;b

 min f ( x )  p   p
  a ;b 
Trường hợp 3: Nếu p  0  
f ( x)  q   q
 max
 a ;b



Bước 4: Đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài tốn
+ Sử dụng đờ thị giúp các em hiểu rõ bản chất của việc so sánh giá trị để
đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ; m) .
+ Bài toán cịn có cách giải khác đó là sử dụng tính chất và các bất đẳng
thức về giá trị tuyệt đối.
Cách 2: sử dụng công thức tính nhanh

16


pq  pq
max f ( x) 
;
 a ;b 
2

0, nê´u p.q  0

min f ( x)   p  q  p  q
 a ;b
, nê´u p.q  0


2

3.3.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ: (Đề tham khảo thi TN THPT năm 2020) Cho hàm số y 

xm
( m
x 1

là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho
max f ( x)  min f ( x)  2 . Số phần tử của S là
 0;1
 0;1
A. 6.

B. 2.
C. 1.
D. 4.
Lời giải:
x 1
1
x 1
f ( x)  min f ( x)  1  1  2 , m  1 thỏa mãn
 max
 0;1
 0;1

Xét m  1 ta có y 

1 m

Xét m  1 ta có y '  ( x  1)2 khơng đởi dấu trên ¡ \  1
 Hàm số đơn điệu trên đoạn  0;1

Ta có f (0)  m ; f (1) 

1 m
2

 min f ( x )  0
  0;1
1 m
 0  1  m  0  
Trường hợp 1: m.


1 m 
2
 max f ( x)   m ;

2 
  0;1

1 m 1

Do 1  m  0  m  1 ;
2
2
 max f ( x)  min f ( x)  2 , TH này khơng có giá trị m nào thỏa mãn.
 0;1

 0;1

m  0
1 m
0  
2
 m  1
1  m 3m  1
( do m và 1  m cùng dấu)
 max f ( x)  min f ( x)  m 

 0;1
 0;1
2
2

2

Trường hợp 2: m.

m  1
3
m

1
( m  1 không thỏa mãn)
f ( x)  min f ( x)  2 
 max
2
 0;1
 0;1
m   5
2
3

 5
Vậy S  1;   .
 3
Nhận xét: Bài này nhiều em mắc sai lầm vì không xét trường hợp m  1 .

3.4. Giải pháp thực hiện
Tác giả tổ chức hội thảo trong tở Tốn - Tin trường THPT Tĩnh Gia 2, trình
bày những quan điểm, luận điểm của mình trước các đờng nghiệp để xin ý kiến
nhận xét, góp ý trước khi đưa ra giảng dạy cho các em học sinh.

17

Để đem lại hiệu quả cao nhất trong quá trình giảng dạy đối với các bài toán
này, trước tiên giáo viên phải trang bị cho các em kiến thức về các kiến thức phần
lý luận thực tiễn. Đó là những kiến thức nền tảng sẽ giúp các em nghiên cứu các bài
tốn khó hơn; phức tạp hơn, địi hỏi ở các em học sinh cần phải có kĩ năng, kĩ xảo
trong q trình biến đởi tốn học.
Giáo viên phải xây dựng được các bài tốn tởng qt. Chia lớp thực nghiệm
thành các nhóm có lực học ngang nhau, sau đó giao nhiệm vụ cụ thể cho từng
nhóm trên lớp cũng như về nhà. Đối với những câu cơ bản thì giáo viên có thể cho
đại diện các nhóm lên bảng trình bày; sau đó tở chức cho các em trao đởi, nhận xét,
góp ý bài làm của bạn, của nhóm khác. Cuối cùng giáo viên tổng hợp và đưa ra kết
luận. Đối với những câu nâng cao thì giáo viên giảng giải trực tiếp và lựa chọn
phương pháp vấn đáp, gợi mở để từng bước giúp các em giải quyết được vấn đề.
Sau khi nghiên cứu kĩ các bài toán tổng quát, giáo viên cho các em luyện tập
bằng hệ thống bài tập vận dụng (trình bày ở các phụ lục). Khi giải các bài tập này
cần lưu ý là không cho các em vận dụng các công thức đã xây dựng mà thay vào đó
là các em giải các bài tốn một cách tường minh, cụ thể. Có như vậy, các em mới
không phụ thuộc vào việc ghi nhớ cơng thức một cách máy móc; tạo cho các em
các kĩ năng, kĩ xảo về các thao tác biến đổi toán học, tạo ra được những phản xạ
nhanh nhẹn trong quá tính toán. Mặt khác, để các em hiểu sâu hơn các bài tốn
tởng qt thì giáo viên u cầu các em học sinh về nhà làm lại những bài tập này
vào giấy rồi nộp cho giáo viên chấm điểm, xem như đây là một bài tập lớn, một bài
kiểm tra. Điều này vừa giúp các em ôn tập, vừa rèn luyện được tinh thần trách
nhiệm của từng em đối với công việc học tập của mình; các em hiểu được tầm quan
trọng của mảng kiến thức này nói riêng và kiến thức bộ mơn Tốn nói chung.
Tác giả tiến hành kiểm tra ở 4 lớp 12 có trình độ tương đương lúc khởi điểm:
Lớp 12C1; 12C6 là hai lớp thực nghiệm dạy các nội dung kiến thức mà tác giả đã
trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm; lớp 12C3; 12C5 là hai lớp đối chứng được
dạy bằng kiến thức của giáo viên tởng hợp chưa có tính logic chặt chẽ. Sau khi

giảng dạy xong ở các lớp, tác giả tiến hành kiểm tra (cho các lớp thực nghiệm và
đối chứng làm chung một đề kiểm tra), chấm bài, thu thập số liệu để đưa ra những
nhận xét, đánh giá và kết luận về hiệu quả của việc áp dụng đề tài nghiên cứu.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
4.1. Đối với hoạt động giáo dục
Sau khi tiến hành giảng dạy ở các lớp thực nghiệm và đối chứng, tác giả
nhận thấy rằng: các em học sinh ở các lớp thực nghiệp rất hứng thú với các bài
giảng; các em hoạt động nhóm hết sức hiệu quả và có nhiều em có những sáng tạo
trong quá trình làm bài. Việc làm cho các em hiểu được bản chất của các phương
pháp giải các bài tốn tởng quát trên đã khơi dậy ở các em tinh thần học tập, niềm
đam mê nghiên cứu khoa học. Việc vận dụng kiến thức đã trang bị vào giải ba bài
toán đã tạo sự hứng thú mạnh mẽ đối với các em, các em cảm nhận được sự kết nối
giữa các mạch kiến thức mơn Tốn.
Qua việc kiểm tra, chấm bài ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng,
tác giả thu được kết quả như sau:

18


Điểm

1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 Sĩ số
Lớp
0 1 5 5 18 9 7
Lớp TN 15 phút 0 0 0
42
12C1
45 phút 0 0 0

0 1 7 12 17 7 3
0 9 8 7 14 5 3
Lớp TN 15 phút 0 0 0
42
12C6
45 phút 0 0 0
0 9 8 9 12 5 2
5 12 10 9 3 1 0
Lớp ĐC 15 phút 0 0 2
42
12C3 45 phút 0 0 2
6 13 10 7 4 0 0
6 12 12 5 5 1 0
Lớp ĐC 15 phút 0 0 1
42
12C5 45 phút 0 0 2
5 14 10 6 5 0 0
Qua kết quả bài kiểm tra tác giả rút ra một số nhận xét như sau:
- Các lớp thực nghiệm 12C1, 12C6 cao hơn so với các lớp đối chứng 12C3,
12C5 về tỷ lệ điểm trên trung bình, những điểm cao của lớp thực nghiệm cũng
nhiều hơn so với lớp đối chứng theo tỷ lệ phần trăm.
- Các lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức một cách hệ thống, khoa học
hơn so với các lớp đối chứng.
4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà tường
Đối với bản thân tác giả thì đề tài này như một đứa con tinh thần. Tác giả
đã nung nấu trong quá trình giảng dạy; các em học sinh rất hứng thú với việc áp
dụng kiến thức Toán học và nghiên cứu các bài toán tởng qt.
Sau khi có kết quả giảng dạy, tác giả trình bày trước tở chun mơn để lấy ý
kiến góp ý, nhận xét, đánh giá thì được các đồng nghiệp đánh giá rất cao về tính
khả thi của đề tài. Đặc biệt, nhiều thầy cô hết sức tâm đắc với việc áp dụng

nhiều hướng đi trong việc giải quyết ba bài tốn trình bày trong đề tài. Các thầy
cơ giáo áp dụng vào giảng dạy ở nhiều lớp khác nhau và đều cho kết quả rất tốt,
các em dễ hiểu, tiếp thu nhanh bản chất của vấn đề, không cần phải ghi nhớ một
cách máy móc các cơng thức. Đề tài nghiên cứu đã cung cấp thêm cho các thầy
cô, các em học sinh một tư liệu hỗ trợ đắc lực và hiệu quả trong quá trình giảng
dạy ba bài toán này.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong đề tài này tôi đã nghiên cứu và trình bày lại các kinh nghiệm của bản
thân về ba bài toán quan trọng của hàm số y  f ( x; m) . Kết quả đạt được của đề
tài như sau:
- Phân tích làm rõ bản chất của ba bài toán: Tính đơn điệu của hàm số
y  f ( x; m) , cực trị của hàm số y  f ( x; m) , Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y  f ( x; m) bằng cách kết hợp đồ thị và lập luận logic để đưa ra các
điều kiện tương đương của từng bài toán. Đề tài đã đưa ra được nhiều phương pháp
cho cùng một bài toán và phân tích các dấu hiệu nhận dạng phương pháp của từng
ví dụ cụ thể.
- Kết quả nghiên cứu của đề tài là nguồn tài liệu quan trọng cho nhóm tốn
trường THPT Tĩnh Gia 2 trong giảng dạy ôn thi TN THPT, ôn thi Đại học và được
tở đánh giá cao tính thiết thực của nó.
19


- Áp dụng của đề tài trong giảng dạy tại trường THPT Tĩnh Gia 2 đã tạo cho
học sinh sự hứng thú, niềm tin khi học các dạng toán ở mức vận dụng và vận dụng
cao của chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tạo tiền đề cho
việc học các chương sau và đã thu được nhiều kết quả tích cực trong giảng dạy ôn
thi TN THPT, ôn thi Đại học.
2. Kiến nghị áp dụng vào thực tiễn giảng dạy.
2.1. Đối với các em học sinh

- Phải có tinh thần học tập nghiêm túc, cầu tiến bộ. Luôn nêu cao tinh thần tự
học và rèn luyện.
- Có kiến thức tởng hợp, biết vận dụng kiến thức của các môn học khác nhau
trong việc giải quyết một vấn đề.
- Có niềm đam mê đối với mơn học, có niềm tin và khát khao chinh phục
những thử thách.
2.2. Đối với giáo viên đứng lớp
- Luôn nêu cao tinh thần tự học và sáng tạo; không ngừng nghiên cứu tìm tòi
những phương pháp mới hữu ích trong việc truyền thụ tri thức cho các em học sinh.
Các thầy cô phải là những người nhiệt huyết, tận tâm, hết lòng vì những học trò
thân yêu của mình.
2.3. Đối với nhà trường THPT Tĩnh Gia 2
- Ban giám hiệu nhà trường cần tạo mọi điều kiện về vật chất và tinh thần cho
các thầy cơ giảng dạy có những đóng góp lớn về mặt chun mơn như xây dựng
các chuyên đề dạy học hữu ích; các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao cấp ngành
và đem lại hiệu quả thiết thực khi áp dụng vào thực tế giảng dạy. Bên cạch đó ban
giám hiệu nhà trường cần có những biểu dương, khen thương thưởng kịp thời để
nhân rộng các điển hình tiên tiến trong cơ quan; tạo động lực cho sự phát triển
chung cuả nhà trường.
- Ban giám hiệu nhà trường tổ chức các buổi hội thảo theo chuyên đề trong
việc ôn thi tốt nghiệp THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi, tạo điều kiện để các thầy cơ
có cơ hội học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, có thời gian trao đổi; cùng nhau thảo luận
vấn đề, cùng nhau nêu ra những giải pháp hữu ích trong quá trình giảng dạy.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Nguyễn Thế Mạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải tích 12 - Trần Văn Hạo; Vũ Tuấn ( chủ biên).
20


[2]. Tạp chí giáo dục - tapchigiaoduc.moet.gov.vn.
[3]. GIẢI MỘT BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? - G.Polya.
[4].Hướng dẫn thực hiện chương trình giáo dục phổ thông hiện hành theo hướng
phát triển năng lực và phẩm chất học sinh - Bộ Giáo dục và Đào tạo.
[5]. Đề thi TN THPT, đề thi thử TN THPT các trường trên toàn quốc
[6]. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể mơn Tốn - Bùi Văn Nghị.
[7]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán - Bộ GD&ĐT 2018.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN,TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.
21


Họ và tên tác giả: Nguyễn Thế Mạnh.
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2.
STT
1
2
3

4

5

6

Tên đề tài SKKN
Phương pháp giải các dạng
phương trình lượng giác

Cấp đánh giá
xếp loại.

Ngành GD cấp
tỉnh, tỉnh Thanh
Hóa.
Rèn luyện tư duy của học
Ngành GD cấp
sinh qua việc giải bải tập
tỉnh,Tỉnh Thanh
tốn
Hóa.
Rèn luyện tư duy của học
Hội đồng khoa
sinh qua việc giải bải tập
học cấp tỉnh,
tốn
tỉnh Thanh Hóa
Một số giải pháp nhằm
Ngành GD cấp

nâng cao chất lượng dạy và tỉnh, tỉnh Thanh
học ở trường THPT Tĩnh
Hóa
Gia 2 hiện nay
Sử dụng quy tắc tính đạo
Ngành GD cấp
tỉnh, tỉnh Thanh
hàm để sáng tạo và giải
một số bài tốn về hàm ẩn Hóa
Kỷ tḥt sử dụng hình học Ngành GD cấp
tỉnh, tỉnh Thanh
trong hoạt động giải tốn
Hóa
trắc nghiệm cực trị của
mơđun số phức

Kết quả
đánh giá
xếp loại
Loại C

Năm học
đánh giá
xếp loại.
2008 - 2009

Loại B

2009 -2010

Loại B

2012 - 2013

Loại C

2017 - 2018

Loại C

2019 - 2020

Loại C

2020 - 2021

PHỤ LỤC 1
Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu trên một khoảng
cho trước.
22


Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y  x 5  5 x 2  5(m  1) x  8 nghịch biến trên khoảng (;1)?
A. 2.
B. 0.
C. 4.
D. 1.
5
2

Lời giải: Đặt f ( x)  x  5 x  5(m  1) x  8
Nhận thấy f '( x)  0 không nhẩm được nghiệm nên ta không dùng cách 3 để
giải bài toán này, mà dung cách 1
f ( x)   nên hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  ;1 
Ta có xlim

5 x 4  10 x  5m  5  0
 f '( x)  0
, x  ( ;1)  
, x  (;1)

 f ( x)  0
 f (1)  0
 m  Max( x 4  2 x  1)
4
(  ;1)
m   x  2 x  1


, x  (;1)  

17
5m  17  0
m 
5

m
m

3

Vì nguyên nên

 m  2.1905...

17

 m  5

Nhận xét: Khi nhận định được giải bài toán theo cách 1 hoặc 2 thì các em cần
nhận thấy ở nhánh  đồ thị f ( x) nằm dưới trục hồnh để khơng phải xét hai
trường hợp.

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số
y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m nghịch biến trên khoảng  ; 1 ?
A. 6.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
4
3
2
Lời giải: Đặt f ( x)  3x  4 x  12 x  m
Cách 1: Sử dụng đồ thị
f ( x)  
Ta nhận thấy xlim


Nên hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  ; 1
12 x 3  12 x 2  24 x  0
 f '( x)  0

 
, x  (; 1)  
, x  (; 1)
 f ( x)  0
 f (1)  0
 5  m  0  m  5

23


Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m   5;6;7;8;9
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
x  0

Ta có f '( x)  12 x  12 x  24 x  0   x  1
 x  2
3

2

Ta có bảng biến thiên
x





f ( x)

1

0




f ( x)

0
0
m





2
0




m5

m  32

Từ bảng biên thiên suy ra
Để hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  ; 1  m  5  0  m  5
Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m   5;6;7;8;9
Nhận xét: Bài tốn này chúng ta có thể làm bằng ba cách, nhưng các em cần
nhận định các dấu hiệu để giảm bớt các lập luận thừa.

Bài 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y  x 3  3(m  1) x 2  3m(m  2) x đồng biến trên khoảng (0; ) , biết rằng
2021  m  2021 ?
A. 2020.
B. 2021.
C. 2022.
D. 2019.
3
2
Lời giải: Đặt f ( x )  x  3(m  1) x  3m (m  2) x xác định trên ¡
Ta có f '( x)  3x 2  6(m  1) x  3m(m  2)
x  m
f '( x )  0  
x  m  2

Ta có bảng biến thiên
x




f ( x)
f ( x)

m
0





m2
0






Từ bảng biến thiên suy ra
m  2  0
 m  2.
 f (0)  0

Để hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (0; )  

Vì m nguyên và 2021  m  2021 nên m   2021; 2020;...; 2
Nhận xét: Bài này các em nhận thấy f '( x)  0 nhẩm được nghiệm nên ta chọn
cách 3 để giải.
Bài 4: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  10;10
mx  3
đồng biến trên khoảng  1;   .
xm2
A. S  55.
B. S  54.
C. S  3.

để hàm số y 

D. S  5.

Lời giải:
24


mx  3
với x  m  2.
xm2
m 2  2m  3
.
Ta có f '( x) 
( x  m  2) 2
Hàm số y  f ( x) đồng biến trên  1;   khi xảy ra hai trường hợp sau

Xét hàm số f ( x) 

 m 2  2m  3
 ( x  m  2) 2  0
 f '( x )  0


, x  (1; )   f (1)  0
, x  (1; )
Trường hợp 1:  f ( x )  0
 m  2  (1; )
m  2  1



  m  3

 m 2  2m  3  0


m  1
m  3

 
0
 1  0
 m  1.
m  3
 m  3
 m  3


 m 2  2m  3
 ( x  m  2) 2  0
 f '( x )  0


f
(
x
)

0
,

x


(1;

)

, x  (1; )
Trường hợp 2: 
 f (1)  0
 m  2  (1; )
m  2  1



 m 2  2m  3  0
 m 2  2m  3  0


m  3
 
0
 1  0
 m  .
m  3
 m  3

 m  3

Vậy m  (1; ) , vì m nguyên và thuộc đoạn  10;10
Suy ra m   2;3; 4;5;6;7;8;9;10 . Vậy S  2  3  4  5  6  7  8  9  10  54.
Nhận xét: Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì đạo hàm luôn khác
không và chú ý tập xác định phải chứa khoảng (a; b).

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y  x  5 
đồng biến trên  5;   ?
A. 11.
B. 10.

C. 8.

1 m
x2

D. 9.

Lời giải:

1 m
trên  5;   .
x2
m 1
x2  4 x  m  3

.
Ta có f '( x)  1 
( x  2) 2
( x  2) 2

Xét hàm số f ( x)  x  5 

25