(SKKN 2022) một số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH lớp 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 TRÁNH các SAI lầm KHI học CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH lớp 12 ỨNG DỤNG đạo hàm để KHẢO sát và vẽ đồ THỊ hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT
QUẢNG XƯƠNG 1 TRÁNH CÁC SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG 1
GIẢI TÍCH LỚP 12 “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ”

Người thực hiện: Ngô Văn Sơn
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.
SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học.


THANH HÓA NĂM 2022

1


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

1. Mở đầu

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
2.2

Cơ sở lí luận
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

2

3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

17

2.5

Các kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi
áp dụng biện pháp

18

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

19

3.2

Kiến nghị

19

2


1 – MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học, đóng vai trị quan
trọng trong chương trình tốn phổ thông và là nền tảng của nhiều lĩnh vực khác
nhau của tốn học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung. Để khảo sát một
hàm số, đạo hàm là một trong những ứng dụng rất hữu ích và phổ biến. Tuy vậy
trong thực tế học sinh khi ứng dụng phương pháp này để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số của giải tích 12 cịn gặp nhiều sai lầm dẫn tới kết quả khơng chính xác.
Chính vì lý do đó tơi đã chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 12
trường THPT Quảng Xương 1 tránh các sai lầm khi học chương 1 Giải tích
lớp 12 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Nội dung phạm vi đề tài nhằm các mục đích sau:
+ Giúp học sinh hiểu đúng và đủ các yêu cầu, điều kiện và phạm vi áp dụng của
định nghĩa, định lí và quy tắc.
+ Giúp học sinh vận dụng, áp dụng định nghĩa, định định lí và quy tắc một cách
chính xác trong các tình huống bài tập đưa ra.
+ Giúp học sinh nhận biết được các sai lầm hay mắc phải, nguyên nhân sai lầm
và cách khắc phục các sai lầm đó. Từ đó nâng cao năng lực tự đánh giá cho
mình và cho bạn đồng thời tăng cường khả năng tự học và tự nghiên cứu tìm tịi
sáng tạo.
+ Góp phần nâng cao chất lượng đại trà mơn tốn THPT của trường THPT
Quảng

Xương 1.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các định ngĩa, định lí và các quy tắc trong chương 1 giải tích lớp 12 : “ Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”
- Đề tài được áp dụng trong chương trình giải tích cơ bản lớp 12, cho đối tượng
học sinh ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra
trong q trình nghiên cứu tơi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
i) Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
- Nghiên cứu một số quan điểm dạy học tích cực, tư tưởng sáng tạo.
2i) Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm.
- Thu thập và xử lí số liệu thống kê.
3i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập.
- Nghiên cứu các bài toán gốc cơ bản và phát triển các bài toán gốc.
- Nghiên cứu các bài tốn có cấu trúc tương tự.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận: Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản
sau:
i) Kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm số, đạo hàm của hàm số hợp.
3


2i) Kiến thức cơ bản về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Hàm số đơn điệu: Định nghĩa hàm số đơn điệu trên tập K là khoảng hoặc đoạn
hoặc nửa khoảng. Định lí về hàm số đồng biến, nghịch biến trên K ( chú ý về
định lí mở rộng). Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Cực trị của hàm số: Khái niệm về cực đại, cực tiểu của hàm số. Điều kiện đủ

để hàm số có cực trị. Quy tắc I và quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
-Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Định nghĩa giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số liên tục trên một đoạn.
-Tiệm cận của đồ thị hàm số: Định nghĩa đường tiệm ngang, đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số và cách tìm chúng.
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba, hàm số bậc
y

ax  b
(ac  0, ad  bc  0)
cx  d

bốn trùng phương và hàm số phân thức hữu tỉ
- Tương giao của các đồ thị hàm số và tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
- Qua nhiều năm giảng dạy mơn Giải tích lớp 12 tôi nhận thấy một hạn chế của
HS là hay mắc sai lầm khi áp dụng định nghĩa hay sử dụng định lí, quy tắc vào
giải tốn mà đơi khi bản thân các em không biết tại sao. Điều này làm giảm đi
chất lượng học tập của cá nhân HS và chất lượng học tập chung của tập thể lớp.
- Chương 1 giải tích lớp 12 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm số là một chương rất quan trọng trong Giải tích lớp 12 nhằm phát triển tư
duy hàm số cho học sinh, chiếm thời lượng 21/78 tiết của chương trình giải tích
lớp 12 cơ bản và có tỉ trọng lớn trong đề thi THPTQG. Đặc biệt trong chương
này có nhiều câu hỏi và bài tập yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt các định
nghĩa, định lí và quy tắc vào giải quyết các bài toán mà học sinh thường mắc rất
nhiều sai lầm khi vận dụng.
- Qua khảo sát thực nghiệm trên các lớp 12 trong 4 khóa học, đặc biệt qua khảo
sát ý kiến các 13 đồng chí giáo viên Tốn trong tổ Tốn trường THPT Quảng
Xương 1 thì các sai lầm HS thường hay mắc phải tập trung ở các sai lầm sau

đây:
+ Sai lầm trong các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khơng nắm vững định
nghĩa tính đơn điệu của hàm số hay khơng chú ý đến các điểm tại đó đạo hàm
triệt tiêu hay khơng xác định, xác định dấu của đạo hàm sai do không chú ý đến
nghiệm bội chẵn-bội lẻ của đạo hàm.
+ Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, vận dụng
sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng  a; b  .
+ Sai lầm trong việc giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một miền D , khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
+ Sai lầm trong việc giải các bài tốn liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai
cơng thức tính đạo hàm đặc biệt là tính đạo hàm của hàm số hợp.

4


+ Sai lầm trong việc giải các bài toán về tương giao của hai đồ thị hàm số,
không để ý về tiệm ngang của đồ thị hàm số , sai lầm trong các bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Số liệu thống kê về các sai lầm học sinh hay mắc phải trước khi thực hiện đề tài
này cùng trong năm học đó , qua khảo sát thực nghiệm ở một số lớp 12 trong
bốn khóa học tại trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:

Năm

Lớp
12T1

2018-2019
12C2

12C1
2019-2020
12C5
12T1
12T2
2020 - 2021
12T2
12T6
2021-2022
12C7

Sĩ số
Tỉ lệ%

Số học sinh làm bài
không mắc sai lầm

Số học sinh làm bài
mắc sai lầm

45
Tỉ lệ %
43
Tỉ lệ %
48
Tỉ lệ %
46
Tỉ lệ %
50
Tỉ lệ %

52
Tỉ lệ %
52
Tỉ lệ %
42
Tỉ lệ %
44
Tỉ lệ %

33
74%
29
68%
35
73%
37
81%
39
68%
42
81%
38
73%
33
79%
34
77%

12
26 %

14
32%
13
27%
9
19%
11
22%
10
19%
14
27%
9
21%
10
23%

2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.
* Biện pháp 1 : Phân tích thật kĩ lưỡng các định nghĩa, định lí và quy tắc.
Đây là biện pháp trọng điểm bởi nếu học sinh hiểu đúng thì khả năng vận dụng
và tránh được các sai lầm khi làm bài sẽ rất tốt. Do đó tơi đã phân tích kĩ lưỡng
các định nghĩa và các định lí trong chương 1 Giải tích lớp 12 cho HS và yêu cầu
các em ghi nhớ khi áp dụng trong các tình huống cụ thể. Sau đây là một số ví dụ
mà tơi đã thực hiện khi áp dụng giải pháp :
Ví dụ 1. Định nghĩa hàm số đồng biến , nghịch biến
“ Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
Giả sử hàm số y  f ( x) xác định trên K . Ta có :
Hàm

số

y  f ( x) đồng

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

biến

(

tăng)

trên

K nếu

x1 , x2  K

mà

5


Hàm số y  f ( x) nghịch biến ( giảm) trên K nếu x1 , x2  K mà
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

Sau khi cho HS thảo luận, trao đổi, tôi giúp các em chốt lại các vấn đề sau :
+) Trong định nghĩa K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
+) x1 , x2 là hai số bất kì thuộc K
+) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên K thì hàm số phải xác định trên K
+) Trong định nghĩa người ta giả thiết K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

vậy thì trong bài tập nếu yêu cầu xác định tham số m để hàm số đồng biến,
nghịch biến trên tập D là hợp của các khoảng, đoạn, nửa khoảng thì xử lí như thế
nào ?
Sai lầm hay mắc phải khi HS áp dụng là :
+ Kết luận bài tốn sai hoặc thiếu điều kiện do đặc tính của tập K dẫn đến vi
phạm định nghĩa.
+ Không kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định trên K …
Ví dụ 2. Định lí mở rộng về tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K . Nếu f '( x)  0  f '( x )  0  , x  K và
f '( x)  0 Chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Sau khi cho HS thảo luận, trao đổi, tôi giúp các em chốt lại các vấn đề sau :
+) Hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K nên nó phải xác định trên K (mạnh hơn là
nó phải liên tục trên K )
+) f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x thuộc K chứ không phải xảy ra với
mọi x  K . Đặc biệt f '( x)  0 chỉ xảy ra với biển x chứ không xảy ra đối với tham
số trong các bài tốn chứa tham số. Vậy thì trong các tình huống có liên quan
đến các bài tốn chứa tham số thì ta xử lí như thế nào?
Sai lầm hay mắc phải khi HS áp dụng là :
+ Thiếu trường hợp f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K
+ Ngộ nhận f '( x)  0 xảy ra đối với tham số trong các bài toán chứa tham số.
+ Không kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định trên K
+ Tính đạo hàm sai khi đặt ẩn phụ ( đạo hàm hàm số hợp)
Ví dụ 3. Tôi cho HS nghiên cứu và thảo luận định lí 2 về cực trị của hàm số
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x0  h; x0  h) với h  0 .
Khi đó :
 f '( x0 )  0

a. Nếu  f ''( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số
 f '( x0 )  0


x0
 f ''( x0 )  0

b. Nếu
thì là điểm cực đại của hàm số
Tơi đặt ra vấn đề cho HS quan tâm và thảo luận: Điều ngược lại có đúng
khơng ?
Sau khi HS thảo luận tôi kết luận lại vấn đề đã nêu : Định lí trên chỉ là điều kiện
đủ chứ khơng phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại cơ bản không đúng.
6


 f '( x0 )  0
 x0

f ''( x0 )  0
x0

Chẳng hạn: Ta để ý rằng nếu
thỏa mãn
là điểm cực đại của
x0

hàm số, cịn điều ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu

là điểm cực đại vẫn có

thể f ''( x0 )  0 . Lí do là điều kiện f ''( x0 )  0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số f '( x)
nghịch biến trong một khoảng chứa x0 là  x0  h; x0  h  với h  0

 f '( x )  f '( x0 )  0 x  ( x0  h; x0 )
 x0

f '( x )  f '( x0 )  0 x  ( x0 ; x0  h)

Khi đó :
là điểm cực đại của hàm số .

Sai lầm mà HS hay mắc phải khi áp dụng là :
 f '( x0 )  0

x

 f ''( x0 )  0
0
a. Hàm số đạt cực tiểu tại
 f '( x0 )  0

b. Hàm số đạt cực đại tại x0   f ''( x0 )  0

* Biện pháp 2: Phân tích tìm sai lầm thường gặp, tìm hiểu nguyên nhân sai
lầm và xây dựng lời giải đúng.
Đây là bước vận dụng giũa nội dung định nghĩa, định lí và quy tắc với các bài
tập cụ thể về hàm số mà trong đó ẩn chứa các sai lầm thường gặp. Biện pháp 2
tôi thực hiện theo hướng tư duy sau: “ Sai lầm thường gặp – Nguyên nhân sai
lầm – Lời giải đúng “
Triển khai biện pháp2 :
- Thứ nhất: Tôi cho học sinh quan sát bài giải sẵn rồi yêu cầu các em thảo luận
trao đổi nhóm tìm các sai lầm trong lời giải và chỉ ra nguyên nhân sai lầm và
hướng khắc phục để có lời giải đúng. Một số ví dụ triển khai theo hướng thứ

nhất:
Ví dụ 1. Tơi cho HS quan sát bài làm sau:
3
2
Đề bài : Cho hàm số y  f ( x)  x  3x  9 x  1 . Tìm khoảng đồng biến của hàm
số.
Lời giải :
Tập xác định của hàm số: D  ¡
2
Đạo hàm: f '( x)  3x  6 x  9 .

Hàm số f ( x) đồng biến  f '( x)  0  x   ; 1   3;   .

Vậy hàm số đồng biến trên  ; 1   3;  
- Tôi yêu cầu học sinh thảo luận và cho nhận xét tính đúng sai, nếu sai thì sai ở
đâu và lời giải đúng như thế nào. Sau khi học sinh thảo luận tôi kết luận vấn đề
và liên hệ lại nội dung của các định nghĩa và định lí áp dụng
- Nguyên nhân sai lầm : Khi kết luận hàm số đồng biến trên  ; 1   3;  

nghĩa là xem  ; 1   3;   là một tập hợp gồm hợp của hai khoảng tuy nhiên
trong định nghĩa hàm số đơn điệu cũng như định lí về tính đơn điệu của hàm số
thì chỉ xét hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng. Vì thế nếu

ta lấy x1 , x2   ; 1   3;   , chẳng hạn x1  2  x2  4  f (2)  1  19  f (4) .
7


Vi phạm định nghĩa hàm số đồng biến. Vậy sai lầm xảy ra khi kết luận bài tốn.
Từ đó các em xây dựng lời giải đúng.
- Lời giải đúng:

2
Tập xác định của hàm số: D  ¡ . Đạo hàm: f '( x)  3x  6 x  9 .

Hàm số f ( x) đồng biến  f '( x)  0  x   ; 1   3;  

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  3;  
Ví dụ 2. Tôi cho học sinh quan sát bài làm sau:
3
2
Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  x  mx  x  1
đồng biến trên ¡
2
Lời giải : D  ¡ , f '( x)  3x  2mx  1

a  0
f '( x )  0 x  ¡  
 3m 3


0


¡
Hàm số đồng biến trên

- Tơi cho học sinh trao đổi nhóm và nhận xét bài làm từ đó các em tìm ngun
nhân sai lầm. Sau đó tơi khắc sâu cho các em: nếu hàm số f ( x) xác định trên
khoảng  a; b  và f '( x)  0 x   a; b  , dấu "  " xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm x

thuộc khoảng  a; b  thì hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  a; b  . Lời giải

trên bỏ qua trường hợp f '( x )  0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên ¡
- Học sinh xây dựng lời giải đúng : Hàm số đồng biến trên ¡ 
a  0
f '( x)  0 x  ¡  
 3m 3
  0

Ví dụ 3. Tơi cho cả lớp nghiên cứu và thảo luận lời giải của bài tập sau đây:
Đề bài: Cho hàm số y  f ( x)  mx . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số đạt cực đại tại điểm x  0
4

3
2
Lời giải : f '( x)  4mx , f ''( x)  12mx

 f '(0)  0
0.m  0
m  ¡



Điều kiện hàm số đạt cực đại tại x  0 là  f ''(0)  0 0.m  0 0  0 .
Hệ vô nghiệm. Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x  0

- Sau khi các em thảo luận tôi chốt lại vấn đề về nguyên nhân sai lầm: Nếu x0 là
điểm cực đại vẫn có thể f ''( x0 )  0 . Lí do là điều kiện f ''( x0 )  0 chỉ là điều kiện

đủ để hàm số f '( x) nghịch biến trong một khoảng chứa x0 là  x0  h; x0  h  với
h0

Tôi hướng dẫn học sinh xây dựng lời giải đúng:
Cách 1: Ta có

f '( x)  0 x   x0  h; x0 

f '( x)  4mx 3 .

Hàm số đạt cực đại tại

x0  0

thì

với h  0

4mx 3  0
m0


h

x

0
Tức là 
. Thử lại, ta thấy m  0 là điều kiện cần tìm.
Cách 2: Xét 3 trường hợp m  0, m  0, m  0 để lấy dấu f '( x) và kết luận bài toán.

8

- Thứ hai : Tôi cho các em thực hành làm các bài tập trong đó có tiềm ẩn các sai
lầm thường gặp. Sau khi các em thực hiện, tôi thống kê số lượng các em làm sai
và chọn các em đó nêu lời giải. Tơi u cầu cả lớp cùng thảo luận trao đổi nhóm
tìm ngun nhân sai lầm để khắc phục từ đó cho lời giải đúng. Sau đây là một số
ví dụ tơi đã triển khai trong hướng thứ hai:
Ví dụ 4. Tơi cho HS làm bài tập sau :
3
2
Đề bài: Cho hàm số y  f ( x)  x  x  mx  1 xác định trên ¡ . Tìm m để hàm số

1

D   ; 1   ;  
2
.
đồng biến trên tập

- Sau khi học sinh làm bài, tôi thống kê số các em làm sai và gọi một em trong
số đó trình bày lời giải, lời giải như sau :
2
Tập xác định D  ¡ . Đạo hàm : f '( x)  3x  2 x  m .

Hàm số đồng biến trên

 ; 1  

1


;  
2


3x 2  2 x  m  0 x   ; 1
m  3x 2  2 x x   ; 1
 f '( x)  0 x   ; 1




1
 2
1

1

2
 f '( x)  0 x   2 ;   3x  2 x  m  0x   ;   m  3x  2 x x   ;  


2

2




1


;  

2
 được kết quả
Lập BBT của hàm số y  3x  2 x trên tập  ; 1 và  2

m  1

- Tôi cho cả lớp trao đổi nhóm, nhận xét cách giải trên và tìm ngun nhân sai
lầm sau đó tơi chốt lại vấn đề: Cách giải trên chỉ phù hợp với yêu cầu f ( x) đồng
1

;  

 . Còn với yêu cầu f ( x ) đồng biến trên
biến trên khoảng  ; 1 và  2
1

1
D   ; 1   ;  
f (1)  f ( )
2
 thì cần có thêm điều kiện
2 . Từ đó cho các em

xây dựng lời giải đúng.
- Lời giải đúng:
2
Tập xác định của hàm số D  ¡ , f '( x)  3x  2 x  m .

1

D   ; 1   ;  
2

Hàm số đồng biến trên

1

2
m  3x  2 x x   ; 1   2 ;    m  1
m  1



1





m



11

4
m


1
1
 f (1)  f ( )
4
 m  1 
m   4
8

2

Ví dụ 5. Tơi cho HS làm bài tập sau:
Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
biến trên  2;  

y  f ( x) 

3 x  5
2 x  m đồng

9


- Sau khi quan sát các em thực hiện tôi tổng hợp kết quả và thấy phần lớn các
3m  10
m
f '( x) 
D ¡ \ 
2
2x  m


2


em giải như sau: Tập xác định
. Đạo hàm
 2;   

Hàm số đồng biến trên
f '( x)  0 x   2;   

3m  10

 2x  m

2

 0  x   2;    3m  10  0  m 

10
3

- Tôi cho HS thảo luận nhóm về cách giải trên và yêu cầu tìm sai lầm của cách
giải. Sau khi các em cho ý kiến tôi chốt lại vấn đề. Bài làm trên mắc hai sai lầm:

* f '( x )  0 tại một số hữu hạn đối với x trên  2;   chứ không phải f '( x)  0 xảy
ra đối với tham số m do đó việc cho 3m  10  0 là sai lầm thứ nhất ( vì với
m

5 
10

¡ \ 
3 )
3 hàm số suy biến thành hàm số hằng f ( x)  3 trên
 2;  
f ( x)

* Hàm số
đồng biến trên
thì nó phải xác định trên  2;   lời giải
trên không đề cập đến việc này là sai lầm thứ hai. Từ đó yêu cầu các em viết lời
giải đúng:
3m  10
m
D  ¡ \   f '( x) 
2
2x  m

2


- Lời giải đúng:
,

Hàm số đồng biến trên  2;   

f '( x)  0 x   2;   

3m  10

 2x  m

2

 0x   2;  

10

3m  10  0
10

m 
 m

m4
3 
3
 2  2
m  4

Ví dụ 6. Tơi cho HS làm bài tập trắc nghiệm:

Đề bài: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  4;3 sao cho hàm số
y

cos x  m
cos x  m

 
 0; 
nghịch biến trên khoảng  2  là:

B. 5 .

A. 4 .
C. 3
D. 6 .
- Sau khi thống kê số đáp án mà các em chọn, tơi gọi bất kì một em chọn sai đáp
án và yêu cầu em trình bày bài giải. Lời giải của em như sau:
 
x   0; 
 2  ta có t  0 .
Đặt t  cos x ,

Khi đó


y  f (t ) 

2m

 t  m
 4;3 nên
2

2m
t m
y '  f '(t ) 
 o t   0;1
2
 t  m
t  m . Bài toán thỏa mãn khi:

 o t   0;1  2m  0  m  0
m   4; 3; 2; 1

. Vì

tham số m nguyên thuộc đoạn

. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  4;3

bằng 4 nên chọn A.
- Tôi cho các em thảo luận nhóm, nhận xét cách giải trên của bạn và tìm hiểu
sai lầm của lời giải này: Các em đã chỉ ra trong ví dụ này bạn đã mắc sai lầm
10


khi tính đạo hàm của hàm hợp và chưa để ý đến điều kiện xác định của hàm số
dẫn đến chọn đáp án A. Lời giải cần phải sử dụng công thức đạo hàm của hàm
số hợp y '( x)  f '(t ).t '( x)
- Lời giải đúng : Đạo hàm
y '  y '( x)  f '(t ).t '( x) 

2m

 t  m

2

.   sin x  

2m

 cos x  m 

2

.   sin x 

 
x   0; 
 2  ta có sin x  0 nên bài tốn thỏa mãn
Do
2m
2m
 
 
 y' 
.  sin x   0x   0;  
 0x  0; 
2 
2
 2
 2
 cos x  m 
 cos x  m 
 2m  0
m  0




 m 1




m  cos x x   0; 2   m   0;1



. Vì

 m  ¢

 m   4;3 nên m   1; 2;3 .

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  4;3 bằng 3 nên chọn C.
Ví dụ 7. Tơi cho HS thực hiện bài tập trắc nghiệm:
Đề bài: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
x - m2 - 2
x - m trên đoạn [ 0; 4] bằng - 1.
A. 3 .
B. 2 .
f ( x) =

C. 1 .
D. 0 .
- Sau khi tổng hợp các phương án các em lựa chọn , tơi cho nhóm các em chọn
sai kết quả thực hiện lời giải chi tiết, đa số các em làm như sau:
Tập xác định:
trên

D = ¡ \ { m}

mỗi

max f ( x)  f (4)  1 
 0;4

y ¢=

,

khoảng

m2 - m + 2

( x - m)

2

> 0, " x ¹ m

. Do đó hàm số đồng biến
( m; +¥ ) .
và
Nên

( - ¥ ; m)

m  2

2  m2
 1  
4m
 m  3 nên chọn B

- Tôi yêu cầu cả lớp tìm nguyên nhân sai lầm, các em đưa đã đưa ra sai lầm của
cách giải: Bài giải chưa xét đến việc hàm số phải liên tục trên đoạn [ 0; 4] . Tôi cho
học sinh thực hiện lời giải đúng bằng việc khắc phục sai lầm trên
- Cách giải đúng: Tập xác định:

D = ¡ \ { m}

y ¢=

,

m2 - m + 2

( x - m)

2

> 0, " x ¹ m

.

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ¥ ; m) và ( m; +¥ ) .
Bảng biến thiên của hàm số:

11

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [ 0; 4] bằng - 1
ìï m < 0
ï
ïìï m < 0
Û ïí 2 - m 2
Û
í
ï
ïï f ( 4) =- 1 ïï 4 - m =- 1
ỵ
ỵ

ïìï m < 0
Û
í 2
ïïỵ m + m - 6 = 0

ìïï m < 0
í
ïïỵ m = 2, m =- 3 Û m =- 3

khi
nên
chọn C
Ví dụ 8. Tôi tiếp tục cho học sinh thực hiện bài tập trắc nghiệm về tương giao
của hai đồ thị hàm số:
Đề bài: Tìm m để đồ thị hàm số
điểm phân biệt.

y

x 1
mx  2 cắt đồ thị hàm số y  x  1 tại hai

A. m   ;0  \  2 .
B. m  ¡ \  2;0 .
C. m   0;    .
D.  m  ¡ .
- Sau khi các em đã thực hiện theo yêu cầu của tôi, tôi thống kê số HS làm sai và
gọi một em trong số đó thực hiện lời giải như sau:
Đồ thị hàm số

y

x 1
mx  2 cắt đồ thị hàm số y  x  1 tại hai điểm phân biệt

x 1
2
 x 1
mx  2
có hai nghiệm phân biệt  mx   m  3 x  1  0 có hai nghiệm
2
phân biệt    m  2m  9  0 đúng với m nên chọn D


- Tôi cho các em học sinh thảo luận nhóm tìm các sai lầm đã mắc phải, các em
đã chỉ ra hai sai lầm: không xét trường hợp m  0 và không xét điều kiện

nghiệm để hai đồ thi cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Tôi yêu cầu các em cho lời
giải đúng:
- Cách giải đúng:
TH1: m  0 ta có, đồ thị hàm số
y  x  1 tại hai điểm phân biệt.
TH2: m  0 . Điều kiện:
Ycbt



y

x 1
1
1
 x
2
2
2 không thể cắt đồ thị hàm số

mx  2  0  x 

2
m.

x 1
2
 x 1
mx  2
có hai nghiệm phân biệt khác m

2
2
có hai nghiệm phân biệt khác m  mx   m  3 x  1  0 có
2
hai nghiệm phân biệt khác m
 x  1   mx  2   x  1



m  0
m  0


m  0
2

     m  3   4m  0
  m 2  2m  9  0  
 m  2


2
2
m  2    m  3 2  1  0
1   0
m

  m 
m


nên chọn B

Ví dụ 9. Tơi tiếp tục cho học sinh thực hiện bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu
hàm số tiềm ẩn sai lầm khi xét dấu đạo hàm mà đạo hàm có nghiệm bội chẵn.
12


Đề bài: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm f '( x) như sau:

Hàm số

y  f  x2  2 x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

2;1
1; 0 
0;1
2; 1
A. 
.
B. 
.
C.   .
D. 
Sau khi quan sát và phát hiện sai lầm các em mắc phải , tôi cho 1 HS lên bảng
trình bày . Nội dung em trình bày như sau:

Đặt:

y  g ( x)  f  x 2  2 x 

;

g ( x)   f ( x 2  2 x)    2 x  2  . f ( x 2  2 x)

g ( x )  0   2 x  2  . f ( x 2  2 x)  0
 x  1

 x  1
 x  1  2
 2
x

2
x


2(
VN
)
2 x  2  0

 2
  x  1  2
2
 x  2x  1

f

(
x

2
x
)

0

x 1


 x 2  2 x  3
 x  3
Bảng xét dấu đạo hàm g ( x)

y  f  x2  2x 
Qua bảng xét dấu g ( x) ta thấy g ( x)  0 x  (1;0) nên hàm số

 , nên chọn B.
nghịch biến trên 
Tôi cho cả lớp thảo luận bài làm của bạn và các em cũng chỉ ra được sai làm bạn
1; 0

2
mắc phải là : x  1  2 ; x  1  2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x  2 x  1

nên đạo hàm g ( x) không đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm này. Từ đó các em xét
dấu đúng đạo hàm g ( x) như sau:

13



 nên chọn D
Kết quả ta được
Nhận xét : Sai lầm khi xét dấu đạo hàm mà đạo hàm có nghiệm bội chẵn HS rất
hay mắc phải trong các bài về hàm ẩn do đó trong q trình ơn tập tơi đã đề cập
vấn đề này rất kĩ cho HS.
Ví dụ 10. Tôi tiếp tục cho học sinh thực hiện bài tập trắc nghiệm về tương giao
tiềm ẩn các sai lầm rất dễ mắc phải khi không nắm vững về đường tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số cũng như các nhánh đồ thị được phân chia bởi tiệm cận
đứng.
g ( x)  0 x  2; 1

Đề bài: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai
nghiệm phân biệt.

 .
.
  .
A. 
B. 
C. 
D. (1; ) .
Tôi cho các em HS trong lớp độc lập thực hiện bài tập này, sau khi quan sát bài
làm của các em tôi gọi 4 hS mà bốn HS đó chọn 4 đáp án khác nhau lên bảng
trình bày và kết quả thu được như sau:

2;   1

2; 

2;   1

HS1: Để phương trình f  x   m có hai nghiệm phân biệt thì m  2 , chọn B

m  2

HS 2: Để phương trình f  x   m có hai nghiệm phân biệt thì  m  1 , chọn A

HS3: Để phương trình f  x   m có hai nghiệm phân biệt thì m  1 , chọn D
m  2

HS 4: Để phương trình f  x   m có hai nghiệm phân biệt thì  m  1 , chọn C

Tơi cho cả lớp thảo luận bài làm của 4 bạn trình bày trên bảng và các em cũng
chỉ ra các sai lầm mắc phải như sau:
- Đối với HS 1: Phát hiện ra tiệm cận ngang bên trái y  2 nên không lấy m  2
Nhưng không nhận thức được đường thẳng y  2 (ứng với m  2 ) cắt nhánh bên
phải tiệm cận đứng x  0 tại hai điểm phân biệt. Hơn nữa cũng không ý thức
được đường thẳng y  1 ( ứng với m  1 ) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ( cắt
nhánh bên trái và tiếp xúc nhánh bên phải tiệm cận đứng x  0 )
- Đối với HS2: Phát hiện ra tiệm cận ngang bên trái y  2 nên không lấy m  2
14


Nhưng không nhận thức được đường thẳng y  2 cắt nhánh bên phải tiệm cận
đứng x  0 tại hai điểm phân biệt nhưng phát hiện ra đường thẳng y  1 ( ứng với

m  1 ) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ( cắt nhánh bên trái và tiếp xúc nhánh bên
phải tiệm cận đứng x  0 )
- Đối với HS 3: Chỉ để ý nhánh bên phải tiệm cận đứng x  0 mà không thấy
được mối liên quan từ nhánh bên trái tiệm cận đứng x  0 nên chọn m  1
- Đối với HS 4: Đã nhận thấy các mối quan hệ từ các phân tích trên nên đã chọn
đáp án đúng là C
Sau khi cho các em phân tích và tìm hiểu các sai lầm mắc phải tơi minh họa lời
giải trên BBT của hàm số để các em hiểu sâu sắc vấn đề :
Lời giải
Chọn C.
Từ bảng biến thiên ta có

m   2;     1

Ví dụ 11. Tơi cho học sinh thực hiện bài tốn về viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số.
Đề bài:Viết phương trình tiếp tuyến tuyến của đồ thị hàm số : y  x  3x  4 (C )
biết tiếp tuyến đi qua điểm A  (0; 4)
Tôi quan sát các em thực hiện và nhận thấy sai lầm các em đã mắc phải. Để thực
hiện mục đích của mình tơi gọi một em HS đã làm sai lên bảng trình bày cho cả
lớp. Nội dung bài làm của em như sau:
3

2

Ta có: y '  3x  6 x và nhận thấy điểm A  (0; 4)  (C ) nên phương trình tiếp tuyến
cần tìm là: y  y '(0)( x  0)  4  0.x  4  4 . Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  4
Tơi cho cả lớp quan sát, thảo luận và nhận xét bài làm của bạn. Sau khi thảo
luận các em đã phát hiện ra sai lầm của bạn: Bạn đã nhầm sang cách giải của bài
tốn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thi

hàm số. Còn bài tốn này là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước mà điểm đó có thể nằm trên đồ thị hoặc
không nằm trên đồ thị. Việc bạn nhận thấy A  (0; 4)  (C ) nên ngộ nhận đây là bài
tốn viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số tại điểm A thuộc đồ thi (C )
Từ đó tôi định hướng cho các em lời giải đúng:
2

15


2
Đạo hàm : y '  3x  6 x . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến  của

2
3
2
đồ thị (C ) tại M ( x0 ; y0 ) là: y  (3x0  6 x0 )( x  x0 )  x0  3x0  4 . Do  đi qua A(0; 4)

 x0  0
4  (3x  6 x0 )(0  x0 )  x  3 x  4  x (2 x0  3)  0  
 x0  3

2
nên ta có:
* Với x0  0 ta được phương trình tiếp tuyến y  4
2
0

3
0

2
0

2
0

9
3
y  x4
2 ta được phương trình tiếp tuyến
4
* Với
9
y  x4
y

4
4
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
và
x0 

Biện pháp 3: Thực hành – đánh giá.
Đây là bước cuối cùng giúp các em hoàn thiện. Sau khi hướng dẫn các em phát
hiện sai lầm, tìm hiểu nguyên nhân, khắc phục những sai lầm thường gặp và
thực hành các bài tập. Tôi tiếp tục cho các em luyện tập các dạng toán theo các
chủ đề trong chương 1 giải tích lớp 12 với 4 mức độ NB-TH-VD-VDC. Cứ như
vậy mỗi lần các em làm tôi lại kiểm tra, chấm điểm và nhận xét chi tiết mỗi bài
làm của các em (Tôi chỉ nhận xét trước lớp những bài tốt để nêu gương còn

những bài chưa tốt tơi góp ý và động viên các em cố gắng khắc phục). Tôi tiếp
tục kiểm tra và khắc phục các lỗi cho các em đến khi các em nắm rõ.
Để các em được suy nghĩ, luyện tập, cũng cố một cách hiệu quả tôi đan xen ôn
tập trong các giờ chính khóa và các buổi dạy ơn .
Sau đây là một ví dụ về việc xây dựng các đề ôn tập khắc phục các sai lầm mà
các em hay mắc phải, trong đề thi có các câu hỏi chứa đựng các sai lầm tiềm ẩn
khi mắc phải và thể hiện ở các phương án nhiễu:
ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
( Thời gian : 25 phút )
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại:
A. x  2 .
B. x  3 .
C. x  1 .
D. x  2 .
Câu 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.
Đó là hàm số nào?

16


A.

y

x2
x 1

y

B.

2x 1
2  x  1

C.

y

x 1
x 1

y

D.

2x  7
2  x  1

Câu 3: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
5x2 - 4 x - 1
x 2 - 1 là
A. 0.
y=

B. 1.

Câu 4: Cho hàm số

nào sau đây là đúng?

C. 2.

y  f  x

D. 3.

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề

 1

  ;  
.
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  2

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3 .

1

D   ;    3;  
2

C. Hàm số đã cho đồng biến trên tập
1

 ;  
2  và  3;   .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 
f  x

f   x   0, x  0
f  1  2
¡

Câu 5 : Cho hàm số
có đạo hàm trên
hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
A.

f  2   f  3  4

.

B.

và

f  2016   f  2017 

.

. Biết

C.

f  2  1

.

D.

f  1  2

Câu 6: Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  ex  f  a  0  . Biết rằng hàm số
5

4

3

,
.

2

f ( x ) có đạo hàm là f   x  và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số

f  x

có ba cực trị.

B. Đồ thị

f  x

có đúng một điểm cực đại.

17


C. Hàm số

f  x

khơng có cực trị. D. Đồ thị hàm số

Câu 7: Cho hàm số
sau đây đúng?

y  f  x

 1;1 .

Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số
phân biệt.
A.

m   ;0  \  2

.

B.

có hai điểm cực tiểu.

có đồ thị f '( x) như hình vẽ bên. Khẳng định nào

0;1
A. Hàm số nghịch biến trên   .

C. Hàm số đồng biến trên

f  x

y

 ;  1
B. Hàm số đồng biến trên 
.

 ;0 
D. Hàm số nghịch biến trên 
.

x 1
mx  2 cắt đồ thị hàm số y  x  1 tại hai điểm

m  ¡ \  2;0

.

C.

m   0;   

.

D.

m   ;  2 

cosx  m
y
cosx  m với m là tham số . Số giá trị nguyên thuộc
Câu 9: Cho hàm số
 
[- 4;3] của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  là

A. 4 .

B. 5 .

C. 3 .

.

D. 6 .

Câu 10: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và có đồ thị f '( x) như hình vẽ. Tìm số
2
điểm cực trị của hàm số y  f ( x  x) ?

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

…………..HẾT………….

D. 13 .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
- Tôi đã kiểm chứng đề tài này trong 4 khóa dạy lớp 12 có đối tượng học sinh
tương đồng. Đề thi kiểm chứng tơi áp dụng cho các khóa như nhau, trong đề thi
chứa đựng các câu hỏi mà học sinh thường mắc các sai lầm như đã nêu. Kết quả:
1. Năm học 2018-2019: Hai lớp làm đối chứng 12T1 và 12T4 tôi không áp dụng
giải pháp: kết quả kiểm tra kiến thức của 2 lớp đều thấp
Năm học Lớp Sĩ Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Điểm
số 9-10
7-8
5-6
điểm dưới TB
5
18


SL
15

%
35.7

SL
17

%
40.5

SL
10

%
23.
8
29

SL
0

%
0

201812T1 42
7.81
2019
201812T4 45 14
31
20
40
11
0
0
7.74
2019
2. Năm học 2019-2020: Khi tôi áp dụng giải pháp đã nêu đối với 2 lớp 12T1 và
12T2 cho kết quả cao:
Năm học

Lớp Sĩ
Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Điểm
số
9-10
7-8
5-6
điểm dưới TB
5
SL %
SL %
SL %
SL %
2019-2020 12T1 42
23
54.8 19
55.2 0
0
0
0
8.91
2019-2020 12T2 44
23
52,3 20
45
1
2.7 0
0
8.85
3. Năm học 2020-2021, 2021-2022: Khi tôi tiếp tục áp dụng giải pháp cho 4 lớp
12T1, 12T2,12T3 và 12C2 đều cho kết quả cao:

Năm học Lớp Sĩ
Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Điểm
số
9-10
7-8
5-6
điểm dưới TB
5
SL %
SL %
SL %
SL %
202012T1 42
25
59.5 17
40,5 0
0
0
0
8.93
2021
202012T2 43
24
55.8 19
44.2 0
0
0
0
8.81
2021

Năm học Lớp Sĩ
Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Bài thi đạt Điểm
số
9-10
7-8
5-6
điểm dưới TB
5
SL %
SL %
SL %
SL %
202112T3 40
27
67.5 13
32.5 0
0
0
0
8.94
2022
202112C 43
24
55.8 15
44.2 0
0
0
0
8.86
2022

2
- Như vậy:
+ Khi chưa áp dụng giải pháp: Tỉ lệ HS đạt điểm giỏi của 2 lớp thấp: 31% và
35.7%. Tỉ lệ HS đạt điểm TB còn cao 23.8% và 29% và điểm bình quân của hai
lớp chỉ đạt ngưỡng từ 7.74 và 7.81
+ Khi áp dụng giải pháp trong ba năm học liên tục: Tỉ lệ HS đạt điểm giỏi tăng
cao từ 52% đến vượt ngưỡng 60%. Tỉ lệ HS TB giảm rõ rêt còn 0% đến 2,7% và
điểm TB tăng cao dao động từ 8.81 đến 8.94
- Các giải pháp mà đề tài đề cập cũng được tôi vận dụng trong các chương khác
nhau của chương trình tốn 12 đều cho kết quả tốt.
- Đề tài đã được triển khai trong tổ chuyên môn và thực hiện ở nhiều lớp 12 có
các đối tượng học sinh khác nhau của trường THPT QX1 đều cho kết quả khả
quan. Đóng góp hiệu quả trong việc nâng cao chất lượng đại trà bộ mơn Tốn
của nhà trường .
19


2.5. Các kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi áp dụng biện
pháp
Minh chứng 1: Kết quả thi THPT QG khi áp dụng giải pháp cho các chương
khác của mơn Tốn 12 trong các lớp mà tôi trực tiếp gảng dạy:
-Năm học 2019-2020: lớp 12T1 sĩ số 42 trong đó có 32 em đạt điểm trên 9.0 ; 8
em đạt từ 8.6 đến 8.8 và điểm TB của lớp là 9.15
-Năm học 2019-2020: lớp 12T2 sĩ số 44 trong đó có 35 em đạt điểm từ 9.0 trở
lên; 9 em đạt từ 8.4 đến 8.8 và điểm TB của lớp là 9.02
- Năm học 2020-2021 : lớp 12T1 sĩ số 42 trong đó có 31 em đạt điểm từ 9.0 trở
lên ; 12 em đạt từ 8.0 đến 8.8 và điểm TB của lớp là 8.94
-Năm học 2020-2021: lớp 12T2 sĩ số 43 trong đó có 23 em đạt điểm từ 9.0 trở
lên; 20 em đạt từ 8.4 đến 8.8 và điểm TB của lớp là 8.76
Tổng hợp:

Năm học Lớp Sĩ số 9.0=>10
8.0=>9.0
Điểm dưới
Điểm TB
8.0
2019-2020 12T
42
32
8
0
9.15
1
12T
44
35
9
0
9.02
2
2020-2021 12T
42
31
12
0
8.94
1
12T
43
23
20

0
8.76
2
Minh chứng 2: Khi triển khai giải pháp trong tổ chun mơn Tốn và áp dụng
cho tất cả các lớp trong khối 12 đối với các chương khác của môn Tốn lớp 12
đã góp phần đưa bộ mơn tốn nhà trường xếp thứ 6 tồn tỉnh trong các kì thi
THPTQG.
(Kết quả thống kê của Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa gửi các trường THPT
trong tỉnh kết quả thi THPTQG hai năm học 2019-2020 và 2020-2021 bộ mơn
Tốn )
Năm học
Bộ mơn
Điểm bình qn
Xếp thứ trong tỉnh
2019-2020
Tốn
7.46
6
2020-2021
Tốn
7.51
6
Minh chứng 3: Năm học 2021-2022 triển khai giải pháp trong tổ chun mơn
Tốn và áp dụng cho tất cả các lớp trong khối 12 đối với các chương khác của
mơn Tốn lớp 12 đã thu được kết quả khả quan sau hai lần thi khảo sát của Sở
giáo dục và đào tạo Thanh Hóa : Bộ mơn Tốn xếp trong tốp 5 tồn Tỉnh:
(Kết quả thống kê của Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa gửi các trường THPT
trong tỉnh kết quả hai lần thi khảo sát cho HS lớp 12 toàn Tỉnh)
Năm học 2021-2022
Khảo sát lần 1

Khảo sát lần 2

Bộ mơn
Tốn
Tốn

Điểm bình quân
6,87
7,03

Xếp thứ trong tỉnh
3
5

20


3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận:
- Như vậy qua nghiên cứu và áp dụng đề tài đã trình bày ở trên cho thấy nội
dung nghiên cứu và áp dụng: “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 12 trường
THPT Quảng Xương 1 tránh các sai lầm khi học chương 1 Giải tích lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ” của tơi là một nội
dung có tính khả thi cao. Qua đây cho thấy rằng việc dạy học theo khuôn khổ
sách giáo khoa là chưa đủ mà cần thêm sự tâm huyết, tìm tịi sáng tạo của mỗi
giáo viên.
- Những biện pháp của tôi đã nêu không phải là một cơng trình nghiên cứu hay
một đề tài sáng tạo cao siêu nào mà nó chỉ là một sáng kiến được phát hiện dựa
trên kết quả học tập của học sinh, qua đó tơi đã phát triển lên thành một nội
dung, dùng để dạy các em hiểu sâu sắc hơn các nội dung của định nghĩa, định lí
và quy tắc tránh các sai lầm khi áp dụng trong giải toán đồng thời rèn luyện cho

các em tư duy sáng tạo trong học toán .
- Biện pháp đề cập trong đề tài đã được đưa vào ứng dụng trong thực tế với các
chương khác nhau của mơn tốn lớp 12 và với nhiều đối tượng học sinh tại
trường THPT Quảng Xương 1 đều cho kết quả khả quan.
3.2. Kiến nghị:
- Đề tài có thể áp dụng để các tổ trưởng chỉ đạo tổ chuyên môn, bồi dưỡng HS
ôn
thi ĐH-CĐ nay là thi THPTQG, học sinh ôn thi HSG và dùng cho tất cả giáo
viên tốn THPT phục vụ cơng tác giảng dạy. Đề tài có thể được áp dụng thành
cơng trong các năm tiếp theo và có thể nhân rộng trong các trường phổ thông.
- Thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài cũng như phạm vi nghiên cứu chỉ tại
một trường THPT, nên có nhiều vấn đề chưa được phân tích một cách đầy đủ.
Rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý bổ sung của thầy cơ đồng nghiệp để đề
tài của tơi có được thêm các kinh nghiệm bổ ích áp dụng cho các năm học sau.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa và sách bài tập giải tích cơ bản và nâng cao lớp 12
[2]. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ.
[3]. Các đề thi THPT QG lớp 12 của các sở GD&ĐT và các trường THPT trong
các năm học 2018-2019, 2019-2020, 2020-2021 và 2021-2022 trên toàn quốc.
[4].Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán . Tác giả Trần Phương và
Nguyễn Đức Tấn. Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
[5].Các nhóm Tốn trên facebook.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 25 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

21


NGÔ VĂN SƠN

22